Применение локально-рекурсивных нелокально-асинхронных алгоритмов в полноволновом численном моделировании тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Закиров, Андрей Владимирович

• Закиров, Андрей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Закиров, Андрей Владимирович

Введение

Глава 1. Постановка задачи.

1.1. Волновые уравнения

1.2. Конечно-разностный метод во временной области.

1.3. Модели среды.

1.4. Граничные условия для открытых систем

1.5. Отражение от граничных условий РМЬ.

1.6. Источник волн.

Глава 2. Локально-рекурсивные нелокально-асинхронные алгоритмы

2.1. Специфика современных вычислительных систем.

2.2. Декомпозиция графа зависимостей разностной схемы.

Глава 3. Тестирование и апробация в задачах нанооптики

3.1. Программный комплекс СРтахд\ге11.

3.2. Тестирование эффективности

3.3. Примеры расчетов.

Глава 4. Применение в сейсморазведке и геофизике.

4.1. Программный комплекс CFgeo.

4.2. Модель соляного купола.

4.3. Полноволновое моделирование на глубину земной коры

4.4. Микросейсмы в океанической среде.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение локально-рекурсивных нелокально-асинхронных алгоритмов в полноволновом численном моделировании»

Диссертация посвящена разработке эффективных методов численного решения волновых уравнений в пространственно-временной области в конечных разностях. В ней исследуются следующие вопросы:

• Реализация локально-рекурсивных нелокально-асинхронных (LRnLA) [1] алгоритмов для трехмерного численного решения волновых уравнений с помощью метода FDTD (Finite-Difference Time-Domain) [2].

• Применение разработанного программного кода, для решения актуальных задач нанооптики, геофизики и сейсморазведки.

Наибольшее прикладное значение (в смысле распространенности и разнообразности задач) имеет трехмерное численное моделирование волновых процессов в основном для уравнений упругости и уравнений электродинамики. В диссертации описано применение алгоритмов LRnLA для реализации решения уравнений Максвелла методом FDTD и уравнений упругости с помощью численной схемы на смещенных сетках, аналогичной FDTD. В ходе реализации программного кода было решено несколько новых оригинальных промежуточных задач, также описанных в диссертации.

Актуальность работы Волновые уравнения характеризуют разнообразные физические процессы. Среди них особый интерес представляют процессы, происходящие в сложных структурах, состоящих из мелких объектов, размер которых сравним с длиной волны, либо много меньше ее.

В нанооптике такими структурами являются современные искусственные оптические устройства и материалы, такие как фотонные кристаллы, ме-таматериалы, обтекаемые покрытия [3-8]. Их создание и изучение представляется актуальным ввиду открывающихся возможностей управления электромагнитным излучением [9, 10], построением различных волноводов, конструирования материалов с отрицательным показателем преломления [113

18], суперлинз [11], скрывающих покрытий [19-23] и т.д. Аналитические расчеты распространения света в них как правило возможны лишь при существенно упрощающих предположениях. Для конструирования таких устройств необходимо предварительное теоретическое исследование, которое может оказаться чрезвычайно трудоемким, либо вообще невозможным.

Задачи сейсморазведки и геофизики в России традиционно имеют практическую экономическую основу. Перспективные месторождения, интенсивная разведка которых ведется к настоящему времени, имеют целевую мощность нефте- и газоносных пластов зачастую меньше длин волны сейсмического поля (10-30 м против 100м) при глубине залегания много больше длины волны (более 2км) [24-26].

Таким образом, актуальные волновые задачи нанооптики и сейсморазведки разномасштабны по пространству.

В задачах сейсморазведки, кроме этого, также дополнительно очень важен высокий абсолютный темп счета. Это связано с тем, что решение задач сейсморазведки имеет реальное практическое коммерческое применение, при котором критична минимизация стоимости расчетов. Основным результатом прямого моделирования в задачах сейсморазведки на нефть и газ являются сейсмограммы. Генерация синтетических сейсмограмм обязана в этом случае быть а) быстрой (стоимость разработки эффективных программ экономически выгодней), б) адекватной (в смысле использования методов без существенных приближений, то есть использование трехмерного полноволнового моделирования в пространственно-временной области с поглощающими граничными условиями), в) обладать высокой точностью, поскольку важно то, что конечной целью является не качественное решение той или иной задачи, а генерация синтетических сейсмограмм, неотличимых от полевых.

В полной мере наиболее адекватно и приближенно к реальности эти процессы в трехмерном случае описываются с помощью полноволнового численного моделирования, то есть моделирования в пространственно-временной области.

Однако, из-за существенных размеров счетной области трехмерное полноволновое моделирование в пространственно-временной области требует больших вычислительных ресурсов.

В то же время длительное экспоненциальное развитие вычислительной техники к настоящему моменту привело, с одной стороны, к практической готовности и возможности решения таких задач, однако, с другой стороны, существующие в данный момент методы и алгоритмы решения не используют эти возможности в полной мере и обладают в этом смысле крайне низкой эффективностью. Такое положение вещей вынуждает уходить от трехмерного полноволнового моделирования в пространственно-временной области в пользу развития других методов, содержащих в свою очередь различные приближения и ограничения. Тем не менее остается открытым вопрос актуальности разработки высокоэффективных алгоритмов, которые бы максимально использовали существующие вычислительные ресурсы для решения задач волнового моделирования без существенных приближений.

Исследование вопроса Во многих работах, описывающих численное моделирование того или иного эксперимента [16, 18], ввиду ограниченности счетных ресурсов и недостатков вычислительных алгоритмов делаются значительные упрощения (например, замена трехмерной задачи двумерной, моделирование в частотной области, пренебрежение неоднородностями исследуемого материала, дисперсионными потерями, предположение бесконечности образца и т.п.), которые позволяют описывать результаты в лучшем случае только качественно. Для прикладного использования может понадобиться количественное исследование большого набора таких экспериментов, которые гораздо проще и дешевле производить численно. Тем не менее численный эксперимент, максимально приближенный к реальному, должен учитывать множество различных факторов, которые, соответственно, зачастую могут уменьшать скорость расчетов.

Моделировать волновые процессы можно как в пространственно-временной области, так и в частотной области. Пространственно-частотное моделирование больше подходит для предварительного исследования спектральных характеристик материалов, которые нельзя оценить аналитически. Пространственно-временное моделирование позволяет проследить эволюцию поля и лучше понять принципы распространения волн в материале, а также обладает хорошей наглядностью. Для реалистичного изучения происходящих процессов необходимо именно пространственно-временное моделирование.

В таких разделах электродинамики, как нанооптика, размер моделируемой области как раз становится очень большим. Кроме того, теоретическое описание происходящих явлений и процессов, как правило возможно лишь в простейших случаях. В реальности же неидеальность и конечность объектов наномасштаба в оптическом диапазоне (когда характерный размер структурного материала сравним с длиной волны света) сильно влияют на свойства объекта. В этом случае понимание происходящих процессов требует численного моделирования, приближенного к реальности, а значит необходимо полноволновое трехмерное моделирование с большим размером сетки.

Для моделирования распространения волн в земле могут применяться различные методы — лучевой, моделирование в частотной области и т.д. Тем не менее ни один из этих методов, кроме полноволнового моделирво-ания, не дает адекватного решения для задач сейсморазведки. Этот выбор, кроме того, обосновывается тем, что размер целевых слоев меньше длины волны распространяющегося волнового возмущения в земле. Тем не менее в этом случае существенно повышается размер моделируемой области и время расчета. При этом, как правило, прикладные потребности заключаются в проведении большого количества расчетов, что приводит к необходимости создания эффективных алгоритмов и комплексов программ для проведения таких расчетов и получения синтетических сейсмограмм, так как на данный момент не существует программных комплексов для трехмерного моделирования сейсмических волн в земной коре до актуальных глубин (до 50км) без существенных приближений.

Для полноволнового моделирования в пространственно-временной области в качестве численной схемы, как правило, используется схема в конечных разностях ЕОТБ [2], базовый алгоритм которой предложен Йи в 1960х годах для уравнений Максвелла [27]. Ввиду своей универсальности, эта схема затем была распространена и на остальные волновые уравнения, в частности на уравнения упругости [28, 29]. Метод РОТБ описывает лишь общую картину и схему, поэтому требует уточнения, модификаций, исследований для различных типов моделей сплошной среды, для повышения порядка точности, дисперсии, анизотропии. При этом исходя из задачи необходимо учитывать несколько ограничений:

• допустимые пределы численной дисперсии;

• допустимые пределы численной анизотропии;

• условие Куранта [30];

Впоследствии было предложено различное множество модификаций метода РБТБ [2, 31-50] с целью ослабить или исключить данные условия. Но при этом сами по себе они сложнее как с вычислительной точки зрения, так и с точки зрения практической реализации. Поэтому необходимо однозначно оценивать реальный практический выигрыш от использования тех или иных модификаций ГОТБ.

Условие Куранта можно исключить, если использовать неявные схемы, обладающие абсолютной устойчивостью [41, 48-51]. Тем не менее условие Куранта для большинства задач само по себе не является значительным ограничением и лишь немного может усиливать ограничения допустимой численной дисперсии. В то же время неявные схемы требуют существенно больше операций для одной итерации по времени, чем явные.

Численную дисперсию уменьшают, используя схемы FDTD повышенного порядка точности по пространству (для уменьшения пространственной дисперсии) и/или по времени (для уменьшения временной дисперсии) [52].

При этом в силу больших размеров обрабатываемых данных (из-за большого размера трехмерной счетной области и полноволнового моделирования) требуется разработка и реализация эффективных алгоритмов численного моделирования. Существует множество реализаций метода FDTD, как платных и широко распространенных (CST MicroWave Studio, Lumerical FDTD Solutions, XFdtd, CrystalWave FDTD, OmniSim, FullWAVE), так и opensource и бесплатных программ (Меер, ЕМ Explorer, EMTL) [53, 54]. Тем не менее все они имеют один недостаток: при больших размерах данных существенно падает эффективность кода. Таким образом, общий класс решаемых задач ограничен сравнительно небольшими размерами области. Эти ограничения можно обходить с помощью различных упрощений, таких как уменьшение размерности задачи, периодические граничные условия и так далее. Тем не менее в задачах, в которых эти ограничения нельзя применять, большой размер области критически необходим.

Решение таких задач на данный момент производится на массивно-параллельных вычислительных системах кластерного типа с использованием метода разделения области [26, 55]. Тем не менее этот подход становится неэффективен для многоядерных систем, которые в настоящий момент являются наиболее популярными (в первую очередь из-за ограничений по пропускной способности оперативной памяти) и в особенности для гетерогенных систем с развитой иерархией параллельности, получающие все большее распространение. На практике производительность кода в результате оказывается существенно ниже пиковой.

Для достижения пиковой производительности при больших размерах данных необходимо учитывать иерархическую структуру подсистемы памяти вычислительного узла с одной стороны и иерархию параллельности с другой стороны. Основываясь на этих требованиях были разработаны локально-рекурсивные нелокально-асинхронные (ЬГ1пЬА) [1] алгоритмы, являющиеся универсальным инструментом для разработки алгоритмов численного моделирования для явных схем эволюции во времени.

Отдельно можно отметить сложность программной реализации алгоритмов ЬЯпЬА, заключающийся в новизне и оригинальности применяемых конструкций.

Кроме этого, при моделировании задач нанооптики и процессов, описываемых волновыми уравнениями вообще существует очень важная проблема аппроксимации границ материалов (вследствие разрывности коэффициентов уравнений) [56-60]. Она заключается в сохранении порядка точности схемы на границе. Особенность же задач моделирования наноматериалов как раз состоит в большом количестве этих границ, что говорит о недопустимости игнорирования и пренебрежения возможными неточностями схемы в этих областях. Дабы преодолеть этот недостаток, самым простым и очевидным является способ измельчения сетки в местах понижения порядка точности. Этот способ может являться достаточно трудоемким в реализации и неизбежно увеличивает время счета порой значительно, и, вообще говоря, не решает окончательно проблемы с точностью схемы. Альтернативным подходом является способ уточнения численной схемы на местах разрыва коэффициентов, а точнее, правильного (с точки зрения сохранения порядка точности) их усреднения на границах материалов. Для простых границ (плоских) усреднение проводится исходя из граничных соотношений для уравнений Максвелла [56]. Для неплоских границ материалов (таких как углы и ребра) граничные соотношения становятся уже не столь тривиальными в особенности из-за возникающих сингулярностей решения уравнений Максвелла [61-65].

При моделировании открытых систем, размеры области можно существенно уменьшить, применяя поглощающие граничные условия. В качестве таких условий наиболее удачными являются граничные условия PML (Perfectly Matched Layer) [66], впервые предложенные Ж.-П. Беренгером в 1994 году [67]. Они оказались настолько хорошими для большинства практических задач, что различные их модификации и улучшения [68-77] до сих пор представляют интерес скорее фундаментальный.

Однако, до сих пор остается открытым вопрос поиска оптимальных параметров PML для минимизации численного отражения от граничных условий типа PML [78-81]. Поглощающий слой PML на границах счетной области не будет отражать падающую на него волну для непрерывных уравнений. Тем не менее из-за дискретности пространства при численном моделировании незначительное отражение от границ в этом случае все равно будет присутствовать. Величина этого отражения сильно зависит от параметров задачи, при этом на практике существуют заданные требования на предел этой величины. В свою очередь толщина PML влияет на общую производительность кода, в силу чего необходим способ подбора оптимальных параметров PML в зависимости от требований на допустимый коэффициент отражений.

Классический FDTD имеет 2-ой порядок точности по пространству. При этом закон дисперсии волн начинает заметно отличатся от закона дисперсии для непрерывных волновых уравнений уже на 20 узлах сетки на длину волны. Существуют различные модификации метода FDTD для уменьшения этого отклонения. Одним из самых простых способов это сделать является увеличение порядка точности схемы до 4-го [52]. В этом случае аналогичное отклонение от закона дисперсии для непрерывных уравнений становится существенно заметным при 6-ти узлах сетки на длину волны. Кроме того, подбор оптимальных параметров PML для схем 4-го порядка будет отличаться от схем 2-го порядка.

Цель работы состоит в разработке и реализации методов, алгоритмов, комплекса программ для численного моделирования волновых процессов в актуальных задачах нанооптики, геофизики и сейсморазведки.

Решены следующие задачи

1. Реализован высокоэффективный программный код для решения уравнений Максвелла в пространственно-временной области. Программный код является открытым и свободным для использования.

2. Реализовано высокоэффективное ядро программного комплекса для трехмерного полноволнового моделирования уравнений упругости в пространственно-временной области. Произведено внедрение программного комплекса в задачах сейсморазведки на нефть и газ и массового расчета синтетических сейсмограмм.

3. Реализованы поглощающие граничные условия РМЬ как для уравнений упругости, так и для уравнений электродинамики. При этом граничные слои обрабатываются локально-рекурсивным образом, как и вся область.

4. Предложен способ подбора оптимальных параметров поглощающего слоя РМЬ исходя из требований максимально допустимого коэффициента отражения от границ для схем РБТБ 2-го и 4-го порядков аппроксимации.

5. В рамках решения уравнений Максвелла с использованием алгоритмов Ы1пЬА реализована возможность моделирования различных материалов: бездисперсионных диэлектриков, материалов с дисперсией, проводников, анизотропных материалов, материалов с отрицательным показателем преломления. Реализовано подсеточное сглаживание для разрывных коэффициентов материальных уравнений, реализован подсчет вектора Пойнтинга со 2-ым порядком точности.

6. Для уменьшения дисперсионных отклонений волн реализован повышенный 4-ый порядок точности разностной схемы по пространству. При этом аналогично изменился порядок схемы в РМЬ.

Научная новизна работы

1. Впервые реализован метод РБТБ как для уравнений упругости, так и для уравнений электродинамики, с реальной эффективностью, приближенной к пиковой, при произвольном объеме обрабатываемых данных. При этом качественно меняется весь класс задач, основанных на решении трехмерных волновых уравнений. Таким образом программный код может одинаково эффективно применяться как на небольших персональных компьютерах, так и на кластерных суперкомпьютерах и достигать предельной производительности во всех случаях.

2. Предложен способ подбора оптимальных параметров граничных условий РМЬ для достижения минимального отражения от границ для схем РБТБ 2-го и 4-го порядков аппроксимации по пространству. При этом обнаружено, что расчет отражения от границ РМЬ, основанного на одномерном уравнении, хорошо описывает отражение и в реальных трехмерных расчетах.

3. С помощью программного комплекса продемонстрирована возможность численного моделирования ряда задач нанооптики, моделирование которых ранее требовало либо больших вычислительных мощностей и ресурсов, либо было в принципе невозможным. 4. С помощью программного комплекса впервые появилась возможность трехмерного численного моделирования распространения упругих волн в земной коре на глубину до 50 км и генерации синтетических сейсмограмм за приемлемое время.

Практическая ценность работы

I. Разработанный программный комплекс для моделирования уравнений Максвелла может быть применен для расчета больших задач на суперкомпьютерах. При этом обладая высокой эффективностью благодаря использованию локально-рекурсивных нелокально-асинхронных (Ы1пЬА) алгоритмов, данный программный комплекс позволяет использовать его для решения совершенно новых типов задач.

2. Разработан программный комплекс для моделирования уравнений упругости для массовой генерации синтетических сейсмограмм в прямых задачах сейсморазведки на нефть и газ. Программный комплекс обладает высокой эффективностью, позволяющий проводить расчеты с высокой скоростью без существенных приближений задач.

3. Реализованы методы для задания сложных геометрических объектов, материалов, структур с различными материальными моделями, такими как анизотропные, дисперсионные среды, проводники и т.д

4. Приведены примеры эволюции электромагнитного поля в реальных задачах распространения электромагнитных волн в таких материалах и структурах, как трехмерные фотонные кристаллы, метаматериалы, материалы с отрицательным показателем преломления. В рамках программного комплекса разработаны методы диагностики и анализа результатов. Реалистичное моделирование позволяет визуально наблюдать происходящие процессы, реальное поведение полей.

Положения, выносимые на защиту

1. Реализованы локально-рекурсивные нелокально-асинхронные (ЬЫпЬА) алгоритмы для численной схемы РБТБ 2-го и 4-го порядков, граничных условий РМЬ, различных моделей сплошной среды.

2. Предложен способ подбора оптимальных параметров РМЬ для достижения заданного коэффициента отражения от границ.

3. Разработан высокоэффективный программный комплекс для моделирования уравнений Максвелла, который может быть использован для моделирования сложных устройств и материалов нанооптики.

4. Разработан программно-аппаратный комплекс для прямого моделирования эволюции сейсмического поля в земной коре. Комплекс использован для решения задач геофизики (распространения штормовых микросейсм в океаническом волноводе) и сейсморазведки на нефть и газ. Произведено моделирования волнового поля на глубину земной коры.

Личный вклад автора Автором были самостоятельно написана существенная часть программы, реализованы граничные условия, все модели среды. Автором был самостоятельно предложен и реализован способ подбора оптимальных параметров граничных условий для 2-го и 4-го порядков точности. Автором получены все результаты и примеры расчетов.

Достоверность и обоснованность результатов. Достоверность расчетов обеспечивается использованием всемирно признанных и неоднократно исследованных численных схем; сравнением реализованного программного кода с другими аналогичными программами; сравнением результатов моделирования с реальными физическими процессами и явлениями.

Апробация работы Результаты, описанные в диссертации, докладывались и обсуждались на международных научно-технических конференциях:

• 50-я, 51-я, 52-я, 54-я научные конференции МФТИ;

• Progress in Electromagnetics Research Symposium (PIERS2009 in Moscow, PIERS2012 in Kuala-Lumpur, Малайзия);

• Фундаментальные проблемы оптики — 2010 (Санкт-Петербург);

• First Russian — Italian joint seminar on mathematical and physical models applications to condensed matter and preservation of the cultural heritage (On the occasion of ICIAP 2011, Равенна, Италия);

• Взаимодействие ионов с поверхностью (ВИП-2011), Звенигород;

• Вторая научно-практическая конференция «Суперкомпьютерные технологии в нефтегазовой отрасли», Москва, МГУ, 2011;

• Балтийская школа-семинар «Петрофизическое моделирование осадочных пород» (Петергоф, 2012);

• XIII школа-семинар им. академика Л.М.Бреховских «Акустика океана»

Москва, 2011);

• XI Международная научно-техническая конференция «Современные методы и средства океанологических исследований» (Москва, 2009)

• Пятая международная конференция «Распределённые вычисления и Грид-технологии в науке и образовании» (Дубна, 2012);

• Международная конференция по математическим методам в геофизике «ММГ-2008» (Новосибирск).

Также результаты были представлены и неоднократно обсуждались на научных семинарах кафедры прикладной математики научно-образовательного центра ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, семинарах ВНИИГеосистем, семинаре лаборатории метаматериалов ИТМО (Санкт-Петербург). Работа стала лауреатом конкурса прикладных разработок и исследований в области компьютерных технологий «Компьютерный континуум: от идеи до воплощения», проводимого компанией Intel в 2011 году.

Работа поддержана грантами РФФИ 09-07-00236, 12-01-00708, Гос. контрактом 02.740.11.0475.

Программный комплекс CFgeo в течение нескольких лет используется на практике для моделирования синтетических сейсмограмм для нужд ВНИИГеосистем.

На основе данной работы был разработан курс «Моделирование устройств нанооптики», читаемый автором на 5-ом и 6-ом курсе на базовой кафедре ФУПМ МФТИ «Прикладная математика» в ИПМ им.М.В. Келдыша РАН.

Научные результаты диссертации опубликованы в 14 работах [78, 82-94], из которых 5 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ [78, 82-84, 92].

Объем диссертации составляет 137 страниц, диссертация содержит 51 рисунок и 122 наименования списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Закиров, Андрей Владимирович

Основные результаты работы

• Разработан метод подбора оптимальных параметров идеально-согласованного слоя РМЬ исходя из требований минимального коэффициента отражения от граничных условий. Данный способ подходит как для схемы КЭТИ РМЬ 2-го порядка точности по пространству, так и для схемы 4-го порядка точности. Показано, что данный способ может применяться также и для трехмерных задач.

• Разработан программный комплекс СРтахуеН для моделирования процессов электродинамики в нанооптике, обладающий высокой эффективностью (приближеной к пиковой) вне зависимости от вычислительной сложности задачи. Программный комплекс основан на полноволновом моделировании в пространственно-временной области с поглощающими граничными условиями, что позволяет преодолевать многие приближения других методов. Высокая эффективность достигается благодаря использованию локально-рекурсивных нелокально-асинхронных алгоритмов и позволяет решать с помощью численного моделирования широкое разнообразие задач оптики нано-масштаба, решение которых ранее считалось невозможным, либо требующим сверх-высокопроизводительных вычислительных систем (суперкомпьютеров).

• Аналогично в силу однотипности решаемых уравнений (т.е. волновых) разработан программный комплекс CFgeo для моделирования уравнений упругости в задачах сейсморазведки. Разработанный комплекс применяется в настоящее время в прямых задачах сейсморазведки на нефть и газ и по своей эффективности не имеет аналогов в мировой практике. В частности с помощью данного программного комплекса произведено трехмерное полноволновое моделирование распространения волнового возмущения на глубину земной коры вплоть до границы Мохоровичича.

• Также с помощью данного программного комплекса произведено моделирование распространения низкочастотных импульсных сейсмоакусти-ческих полей в океанической среде, позволившее подтвердить теоретические положения и данные экспериментов по распространению мик-росейсм в океаническом волноводе, а также выявить ряд неизвестных ранее подробностей и показать большое разнообразие процессов при распространении полей в волноводе с наклонным упругим дном.

• Проведено сравнение программного комплекса СРтахиеН с аналогичной программой Меер, предназначенной для численного моделирования уравнений Максвелла с помощью метода РОТБ. Сравнение показало характерное ограничение возможностей Меер'а, основанного на использовании традиционных алгоритмов численного моделирования, приводящее к крайне невысокой эффективности скорости вычислений по сравнению с СРтахиеН, основанного на использовании ЬЯпЬ А-алгоритмах.

В рамках реализации обозначенных выше требований к сложности задачи (которые преодолеваются с помощью локально-рекурсивных нелокально-асинхронных алгоритмов) решено несколько проблем и особенностей:

• были проанализированы рациональность использования схем ЕБТО повышенного порядка точности по пространству для задач сейсморазведки и нанооптики (положительно для повышения порядка точности до 4-го) и полностью реализована и внедрена данная схема в разработанный программный комплекс на основе идеологии локально-рекурсивных нелокально-асинхронных алгоритмов (Ы1пЬА);

• реализованы граничные условия РМЬ для волновых уравнений (для задач сейсморазведки и нанооптики) в алгоритмах Ы1пЬА;

• в программном комплексе СРтахуеН реализованы различные модели среды — бездисперсионные диэлектрики, диэлектрики с дисперсией по модели Друде, проводники, анизотропные материалы, метаматериалы с отрицательным показателем преломления;

• разработан и реализован локальный шаблон Ы1пЬА для подсеточно-го сглаживания разрывных коэффициентов материальных уравнений в уравнениях Максвелла, а также локальный шаблон ЬЯпЬА для подсчета вектора Пойнтинга со 2-м порядком точности.

Благодарности Хочу выразить благодарность Левченко Вадиму Дмитриевичу, моему руководителю за прекрасное научное воспитание, а также Горячеву Ивану и Перепелкиной Насте за проявленный интерес к работе и существенные критические замечания.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Закиров, Андрей Владимирович, 2012 год

1. В. Д. Левченко. Асинхронные параллельные алгоритмы как способ достижения эффективности вычислений // Информационные технологии и вычислительные системы. — 2005. — № 1.

2. A. Taflove, S. С. Hagness. Computational Electrodynamics: the Finite-Difference Time-Domain Method. — 3rd edition. — Norwood, MA: Artech House, 2005.

3. Minghao Qi, Elefterios Lidorikis, Peter T. Rakich et al A three-dimensional optical photonic crystal with designed point defects // Nature. — 2004. — Vol. 429. Pp. 538-542.

4. Sh.-Yu Lin, E. Chow, V. Hietala et al Experimental Demonstration of Guiding and Bending of Electromagnetic Waves in a Photonic Crystal // Science. 1998. - October. - Vol. 282, no. 5387. - Pp. 274-276.

5. E. Yablonovitch. Inhibited spontaneous emission in solid-state physics and electronics // Phys. Rev. Lett. 1987. - Vol. 58.- Pp. 2059-2061.

6. E. Yablonovitch, T. J. Gmitter, К. M. Leung. Photonic band structure: The face-centered-cubic case employing nonspherical atoms // Phys. Rev. Lett. — 1991. Vol. 67. - Pp. 2295-2297.

7. D. S. Filonov, A. E. Krasnok, A. P. Slobozhanyuk et al. Experimental verification of the concept of all-dielectric nanoantennas // Appl. Phys. Lett. 2012. - Vol. 100, no. 20. - Pp. 201113(1-4).

8. C. R. Simovski, P. A. Belov, A. V. Atrashchenko, Y. S. Kivshar. Wire Metamaterials: Physics and Applications // Advanced Materials. — 2012. — Vol. 24, no. 31.- Pp. 4229-4248.

9. В. А. Сойфер. Нанофотоника и дифракционная оптика // Компьютерная оптика. 2008. - Т. 32, № 2. - С. 110-118.

10. В. В. Котляр. Нанофотоника — манипулирование светом с помощью наноструктур // Компьютерная оптика.— 2008.— Т. 32, № 2.— С. 119-135.

11. J. P. Pendry. Negative Refraction Makes a Perfect Lens // Phys. Rev. Lett. 2000. - Vol. 85, no. 18. - Pp. 3966-3969.

12. V. M. Shalaev. Opical negative-index metamaterials // Nature Photonics. —2007.-Vol. l.-Pp. 41-48.

13. N. M. Litchinitser, I. R. Gabitov, A. I. Maimistov, V. M. Shalaev. Negative Refractive Index Metamaterials in Optics // Progress in Optics / Ed. by E. Wolf. Elsevier, 2008. — Vol. 51 of Progress in Optics. — Pp. 1-68.

14. N. M. Litchinitser, A. I. Maimistov, Gabitov I. R. et al. Metamaterials: electromagnetic enhancement at zero-index transition // Opt. Lett.—2008. Vol. 33, no. 20. - Pp. 2350-2352.

15. Maimistov A. I., Gabitov I. R. Nonlinear optical effects in artificial materials // Eur. Phys. J. Special Topics. — 2007.— Vol. 147, no. l.-Pp. 265-286.

16. U. K. Chettiar, S. Xiao, A. V. Kildishev et al. Optical Metamagnetism and Negative-Index Metamaterials // MRS Bulletin. — 2008. — Vol. 33, no. 10. — Pp. 921-926.

17. В. Г. Веселаго, E. А. Виноградов, В. И. Голованов и др. Волноводное распространение СВЧ-излучения в двухслойном метаматериале // Письма в ЖТФ. 2011. - Т. 37, № 5. - С. 57-63.

18. V. M. Shalaev, W. Cai, U. К. Chettiar et al. Negative index of refraction in optical metamaterials // Opt. Lett. — 2005.— Vol. 30, no. 24.— Pp. 3356-3358.

19. J. B. Pendry, D. Schurig, D. R. Smith. Controlling Electromagnetic Fields // Science. 2006. - Vol. 312, no. 5781. - Pp. 1780-1782.

20. V. M. Shalaev. PHYSICS: Transforming Light // Science. 2008.- Vol. 322, no. 5900. - Pp. 384-386.

21. J. Valentine, J. Li, T. Zentgraf et al. An Optical Cloak Made of Dielectrics // Nature Materials. 2009. — Vol. 8. — Pp. 568-571.

22. W. Cail, U. K. Chettiar 1, A. V. Kildishev, V. M. Shalaev. Optical cloaking with metamaterials // Nature Photonics. — 2007. — Vol. 1. — Pp. 224-227.

23. J.-W. Dong, H. H. Zheng, Y. Lai et al. Metamaterial slab as a lens, a cloak, or an intermediate // Phys. Rev. B. — 2011. — Vol. 83, no. 11. — P. 115124.

24. И. Д. Полякова, В. И. Богоявленский. Баженовская свита — источник промышленных нефтей и жирных газов в титон-неокомских отложениях Южно-Карского региона // Доклады Академии наук. — 2011.— Т. 440, № 1.-С. 105-110.

25. М. А. Вордюг, В. С. Славкин, С. С. Гаврилов, А. А. Потрясов. Особенности строения и формирования аномального разреза баженовской свиты на примере Северо-11онитлорского месторождения // Геология нефти и газа. 2010. — № 1. — С. 32-40.

26. В. И. Костин, В. В. Лисица, Г. В. Решетова, В. А. Чеверда. Конечно-разностный метод численного моделирования распространения сейсмических волн в трехмерно-неоднородных разномасштабных средах //

27. Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. 2011. - Т. 12, № 1. - С. 321-329.

28. К. S. Yee. Numerical Solution of Initial Boundary Value Problems Involving Maxwell's Equations in Isotropic Media // IEEE Trans, on Ant. and Propagat. 1966. - May. - Vol. 14. - Pp. 302-307.

29. Raul Madariaga. Dynamics of an expanding circular fault // Bulletin of the Seismological Society of America. — 1976. — Vol. 66, no. 3. — Pp. 639-666.

30. Jean Virieux. P-SV wave propagation in heterogeneous media: Velocity-stress finite-difference method // Geophysics.— 1986.— Vol. 51, no. 4.— Pp. 889-901.

31. P. Курант. Уравнения с частными производными. — Москва: Мир, 1964. С. 832.

32. W. Gwarek. Analysis of an arbitrarily shaped planar circuit — A time-domain approach // IEEE Trans, on Microwave Theory and Techniques. — 1985.— Vol. 33, no. 10.- Pp. 1067-1072.

33. A. Taflove, K. R. Umashankar, B. Beker et al. Detailed FDTD analysis of electromagnetic fields penetrating narrow slots and lapped joints in thick conducting screens // IEEE Trans, on Ant. and Propagat — 1988. — Vol. 36, no. 2. Pp. 247-257.

34. T. G. Jurgens, A. Taflove, K. R. Umashankar, T. G. Moore. Finite-difference time-domain modeling of curved surfaces // IEEE Trans, on Ant. and Propagat. 1992. - Vol. 40, no. 4. - Pp. 357-366.

35. T. G. Jurgens, A. Taflove. Three-Dimensional Contour FDTD Modeling of

36. Scattering from Single and Multiple Bodies // IEEE Trans, on Ant and Propagat. 1993. - Vol. 41, no. 12.

37. T. Kashiwa, I. Fukai. A treatment by FDTD method of dispersive characteristics associated with electronic polarization // Microwave and Optical Technology Lett. — 1990. — Vol. 3, no. 6. Pp. 203-205.

38. R. Luebbers, F. Hunsberger, K. Kunz et al. A frequency-dependent finite-difference time-domain formulation for dispersive materials // IEEE Trans, on Electromagnetic Compatibility. — 1990. — Vol. 32, no. 3. — Pp. 222-227.

39. Q. H. Liu. The pseudospectral time-domain (PSTD) method: A new algorithm for solutions of Maxwell's equations // IEEE Ant. and Propagat. Society International Symposium Digest. — 1997. — Vol. 1. — Pp. 122-125.

40. A. S. Nagra, R. A. York. FDTD analysis of wave propagation in nonlinear absorbing and gain media // IEEE Trans, on Ant. and Propagat. — 1998. — Vol. 46, no. 3. Pp. 334-340.

41. J. B. Schneider, C. L. Wagner. FDTD dispersion revisited: Faster-than-light propagation // IEEE Microw. Guid. Wave Lett. — 1999. — Vol. 9, no. 2.— Pp. 54-56.

42. F. Zhen, Z. Chen, J. Zhang. Toward the development of a three-dimensional unconditionally stable finite-difference time-domain method // IEEE Trans, on Microwave Theory and Techniques. — 2000. — Vol. 48, no. 9. — Pp. 1550-1558.

43. F. Zheng, Z. Chen. Numerical dispersion analysis of the unconditionally stable 3-D ADI-FDTD method // IEEE Trans, on Microwave Theory and Techniques. 2001. - Vol. 49, no. 5. - Pp. 1006-1009.

44. T. Rylander, A. Bondeson. Stable FDTD-FEM hybrid method for Maxwell's equations // Computer Physics Communications. — 2000. — Vol. 125, no. 1-3.-Pp. 75-82.

45. H. De Raedt, K. Michielsen, J. S. Kole, M. T. Figge. Solving the Maxwell equations by the Chebyshev method: A one-step finite difference timedomain algorithm // IEEE Trans, on Ant. and Propagat. — 2003. — Vol. 51, no. 11.-Pp. 3155-3160.

46. I. Ahmed, E. K. Chua, E. P. Li, Z. Chen. Development of the three-dimensional unconditionally stable LOD-FDTD method // IEEE Trans, on Ant. and Propagat. 2008. - Vol. 56, no. 11. - Pp. 3596-3600.

47. P. Yang, G. W. Kattawar, K.-N. Liou, J. Q. Lu. Comparison of Cartesian grid configurations for application of the finite-difference time-domain method to electromagnetic scattering by dielectric particles // Appl. Opt. — 2004. Vol. 43, no. 23.

48. W. Sun, Q. Fu. Finite-difference time-domain solution of light scattering by dielectric particles with large complex refractive indices // Appl. Opt. — 2000. — Vol. 39, no. 30.

49. Y. Yang, R. S. Chen, E. K. N. Yung. The unconditionally stable Crank-Nicolson FDTD method for three-dimensional Maxwell's equations // Microwave and Optical Technology Lett. — 2006.— Vol. 48, no. 8.

50. Y. Yang, R. S. Chen, D. X. Wang, E. K. N. Yung. Unconditionally stable Crank-Nicolson finite-different time-domain method for simulation of three-dimensional microwave circuits // IET Microwaves, Ant. and Propagat. — 2007. Vol. 1, no. 4. - Pp. 937-942.

51. G. Sun, C. W. Trueman. Unconditionally-stable FDTD method based on Crank-Nicolson scheme for solving three-dimensional Maxwell equations // Electronics Lett. 2004. - Vol. 40, no. 10. - Pp. 589-590.

52. J. Crank, P. Nicolson. A practical method for numerical evaluation of solutions of partial differential equations of the heat conduction type // Proc. Camb. Phil Soc. 1947. - Vol. 43, no. 1.- Pp. 50-67.

53. N. V. Kantartzis, T.D. Tsiboukis. Higher Order FDTD Schemes for Waveguide and Antenna Structures. — 1st edition. — Morgan & Claypool Publishers, 2006.

54. A. F. Oskooi, D. Roundyb, M. Ibanescua et al Meep: A flexible free-software package for electromagnetic simulations by the FDTD method // Computer Physics Communications. — 2010. — Vol. 181. — Pp. 687-702.

55. I. Valuev, A. Deinega, S. Belousov. Iterative technique for analysis of periodic structures at oblique incidence in the finite-difference time-domain method // Opt. Lett. — 2008. — Vol. 33, no. 13.- Pp. 1491-1493.

56. Andrea Toselli, Olof Widlund. Domain Decomposition Methods Algorithms and Theory. — Springer, 2004. — Vol. 34 of Springer Series in Computational Mathematics.

57. A. Farjadpour, D. Roundy, A. Rodriguez et al Improving accuracy by subpixel smoothing in FDTD // Opt. Lett. 2006. - October 15. - Vol. 31, no. 20. - Pp. 2972-2974.

58. A. F. Oskooi, С. Kottke, S. G. Johnson. Accurate finite-difference timedomain simulation of anisotropic media by subpixel smoothing // Opt. Lett. 2009. - September 15. - Vol. 34, no. 18. — Pp. 2778-2780.

59. A. Deinega, I. Valuev. Subpixel smoothing for conductive and dispersive media in the finite-difference time-domain method // Opt. Lett. — 2007.— December 1. — Vol. 32, no. 23.- Pp. 3429-3431.

60. S. Dey, R. Mittra. A conformal finite-difference time-domain technique for modeling cylindrical dielectric resonators // IEEE Trans, on Microwave Theory and Techniques. 1999. -Sep. - Vol. 47, no. 9.- Pp. 1737-1739.

61. Y. Zhao, P. A. Belov, Y Hao. Accurate modeling of the optical properties of left-handed media using a finite-difference time-domain method // Phys. Rev. E. 2007. - Vol. 75, no. 3. - Pp. 037602(1-4).

62. J. Andersen, V. Solodukhov. Field behavior near a dielectric wedge // IEEE Trans, on Ant. and Propagat. 1978. - Vol. 26, no. 4. - Pp. 598-602.

63. Г. И. Макаров, Осипов А. В. К вопросу о структуре рядов Мейкснера // Изв. вузов. Радиофизика. 1986. - Т. 29, № 6. - С. 714-720.

64. C.-L. Хи, Wei-Ping Huang, К. Yokoyama, S. Seki. Full-vectorial mode analysis with considerations of field singularities at corners of optical waveguides // Journal of Lightwave Technology. — 1999. — Vol. 17, no. 8. — Pp. 1509-1513.

65. G.R. Hadley. High-accuracy finite-difference equations for dielectric waveguide analysis I: uniform regions and dielectric interfaces // Journal of Lightwave Technology. 2002. - Vol. 20, no. 7. — Pp. 1210-1218.

66. G.R. Hadley. High-accuracy finite-difference equations for dielectricwaveguide analysis II: dielectric corners // Journal of Lightwave Technology. 2002. - Vol. 20, no. 7. - Pp. 1219-1231.

67. J.-P. Berenger. Perfectly Matched Layer (PML) for Computational Electromagnetics. — 1st edition. — Morgan & Claypool Publishers, 2007.

68. J.-P. Berenger. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves // Journal of Comp. Phys.— 1994.— Vol. 114. — Pp. 185-200.

69. Z. S. Sacks, D. M. Kingsland, R. Lee, J.-F. Lee. A perfectly matched anisotropic absorber for use as an absorbing boundary condition // IEEE Trans. Ant. Propagat. 1995. - Vol. 43. - Pp. 1460-1463.

70. J. L. Volakis, A. Chatterjee, L. C. Kempel. Finite-Element Method for Electromagnetics. — Piscataway, NJ: IEEE Press, 1998.

71. J. Fang, Z. Wu. Generalized perfectly matched layer — An extension of Berenger's perfectly matched layer boundary condition // IEEE Microw. Guid. Wave Lett. 1995. - Vol. 5, no. 12. - Pp. 451-453.

72. M. Kuzuoglu, R. Mittra. Frequency dependence of the constitutive parameters of causal perfectly matched absorbers // IEEE Microw. Guid. Wave Lett. 1996. - Vol. 6. - Pp. 447-449.

73. T.-B. Yu, G. h. Zhou, B. Chen. An unsplit formulation of the Berenger's PML absorbing boundary condition for FDTD meshes // IEEE Microw. Wirel. Comp. Lett. 2003. - Vol. 13. - Pp. 348-350.

74. J. A. Roden, S. D. Gedney. Convolutional PML (CPML): An efficient FDTD implementation of the CFS-PML for arbitrary media // Microw. Opt. Technol. Lett. 2000. - Dec. - Vol. 27, no. 5. - Pp. 334-339.

75. S. A. Cummer. A simple, nearly perfectly matched layer for general electromagnetic media // IEEE Microw. Wirel. Lett. — 2003.— Vol. 13, no. 3. Pp. 128-130.

76. J.-P. Berenger. On the reflection from Cummer's nearly perfectly matched layer // IEEE Microw. Wirel. Lett. 2004. - Vol. 14, no. 7. - Pp. 334-336.

77. W. Ни, A. Cummer. The nearly perfectly matched layer is a perfectly matched layer // Ant Wirel. Propagat. Lett. — 2004. — Vol. 3.

78. S. D. Gedney. An anisotropic perfectly matched layer-absorbing medium for the truncation of FDTD lattices // IEEE Trans. Ant. Propagat. — 1996.— Vol. 44. Pp. 1630-1639.

79. Закиров А.В., Левченко В.Д. Подбор оптимальных параметров идеально-согласованного слоя для задач нанооптики // Математическое Моделирование. 2011. - Т. 23, № 8. - С. 55-64.

80. Seunghwan Kim, Jaehoon Choi. Optimal design of PML absorbing boundary condition for improving wide-angle reflection performance // Electronics Lett. 2004. - Vol. 40, no. 2. - Pp. 104-106.

81. S.C. Winton, C.M. Rappaport. Specifying PML conductivities by considering numerical reflection dependencies // IEEE Trans, on Ant. and Propagat. — 2000.- Vol. 48, no. 7.- Pp. 1055-1063.

82. Jinyuan Fang, Zhonghua Wu. Closed-form expression of numerical reflection coefficient at PML interfaces and optimization of PML performance // IEEE Microw. Guid Wave Lett. 1996. - Vol. 6, no. 9. - Pp. 332-334.

83. Левченко Д.Г., Левченко В.Д., Закиров А.В. Динамическое полноволновое моделирование распространения штормовых микросейсм в океанической среде // Океанология. — 2011. — Т. 51, № 4. — С. 723-733.

84. Левченко Д.Г., Левченко В.Д., Закиров A.B. Динамическое моделирование распространения низкочастотных сейсмоакустических полей в океанической среде // Доклады Академии наук. — 2010.— Т. 435, № 4.— С. 544-547.

85. Левченко В.Д., Змиевская Г.И., Бондарева А.Л., Закиров A.B. Моделирование задач нанофотоники и получения нанопленок: кинетический код LRnLA/nano // Прикладная физика. — 2012. — №3. — С. 9-18.

86. Закиров A.B., Левченко В.Д. Эффективный алгоритм для трехмерного моделирования распространения электромагнитных волн в фотонных кристаллах // Препринт / ИПМ. — 2008. — № 21. — С. 20.

87. Закиров A.B., Левченко В.Д. Реализация высокоэффективного кода для трехмерного моделирования эволюции электромагнитного поля в актуальных задачах электродинамики // Препринт / ИПМ. — 2009. — № 28. С. 20.

88. Zakirov A.V., Levchenko V.D. The Effective 3D Modeling of Electromagnetic Waves' Evolution in Photonic Crystals and Metamaterials // PIERS Proceedings, Moscow, Russia. — 2009.— Pp. 580-584.

89. Закиров A.В., Левченко В.Д. Трехмерное моделирование эволюции во времени электромагнитного поля в актуальных задачах нанооптики // Сборник трудов конференции «Фундаментальные Проблемы Оптики» / ИТМО С.-Петербург, 2010. - С. 424.

90. Дж. Э. Уайт. Возбуждение и распространение сейсмических волн. — Москва: Недра, 1986. С. 263.

91. Masahiro Sato. Finite-Difference Time-Domain Numerical Analysis of Elastic Wave Fields Using both Elastic and Velocity Potential Variables // Jpn. J. Appl. Phys. — 2006. — Vol. 45, no. 5B.- Pp. 4453-4461.

92. A. R. Levander. Fourth-order finite-difference P-SV seismograms // Geophysics. — 1988. — Vol. 53, no. 11.- Pp. 1425-1436.

93. Дж. Слэтер. Диэлектрики, Полупроводники, Металлы. — Москва: Мир, 1969.

94. Т. О. Korner, W. Fichtner. Auxiliary differential equation: efficient implementation in the finite-difference time-domain method // Opt. Lett. — 1997. Vol. 22, no. 21. - Pp. 1586-1588.

95. A. Deinega, J. Sajeev. Effective optical response of silicon to sunlight in the finite-difference time-domain method // Opt. Lett. — 2012. — Vol. 37, no. 1.- Pp. 112-114.

96. В. Г. Веселаго. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями ей//// УФН. 1967. - Т. 92, № 7. - С. 517.

97. К. R. Umashankar, A. Taflove. A novel method to analyze electromagnetic scattering of complex objects // IEEE Trans, on Electromagnetic Compatibility. 1982. - Vol. 24, no. 4. - Pp. 397-405.

98. Matteo Frigo, Volker Strumpen. The memory behavior of cache oblivious stencil computations // The Journal of Supercomputing. — 2007. — Vol. 39, no. 2.- Pp. 93-112.

99. G. M. Morton. A computer Oriented Geodetic Data Base and a New Technique in File Sequencing: Tech. rep. — Ottawa, Canada: IBM Ltd., 1966.

100. Christoph Lameter. Local and Remote Memory: Memory in a Linux/NUMA System. — 2006.—June 20th. http://de.rpmfind.net/pub/mirror/ftp. kernel.org/people/christoph/pmig/numamemory.pdf.

101. Страуструп Б. Язык программирования С++. — Москва: Бином, 2011.- С. 1136.

102. Г. Россум, Ф.Л.Дж. Дрейк, Откидан Д. С. Язык программирования Python.-2001.-С. 454.

103. AMD. Performance Guidelines for AMD Athlon 64 and AMD Opteron ccNUMA Multiprocessor Systems. Application Note 40555. — 2006. — June, http://support.amd.com/us/ProcessorTechDocs/40555.pdf.

104. Intel.— Intel 64 and IA-32 Architectures Developer's Manual, 2012.— August.

105. F. Sturm. Numerical study of broadband sound pulse propagation in three dimensional oceanic waveguides // J AS A. — 2005.— Vol. 117, no. 3.— Pp. 1058-1079.

106. T. W. Yudichak, G. S. Royal, D. P. Knobles et al. Broadband modeling of downslope propagation in a penetrable wedge / / J ASA. — 2006. — Vol. 119, no. 1. Pp. 143-152.

107. Левченко Д. Г. Регистрация широкополосных сейсмических сигналов и возможных предвестников сильных землетрясений на морском дне. — Москва: Научный мир, 2005. — С. 240.

108. ИЗ. Webb S. С. The equilibrium oceanic microseism spectrum // JASA.— 1992.- Vol. 92, no. 4.- Pp. 2141-2157.

109. И. Толстой, К. С. Клей. Акустика океана. — М.: Мир, 1969. — С. 300.

110. F. Press, М. Ewing. A theory of microseisms with geologic applications // Trans. Am. Geoph. Un. 1948. - Vol. 29, no. 3. - Pp. 163-174.

111. JI. Д. Ландау, E. M. Лифшиц. Теоретическая физика. Теория упругости. М.: Наука, 1987. - С. 245.

112. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Теоретическая физика. Гидродинамика. — М.: Наука, 1988.-С. 720.

113. А. Е. Ляв. Математическая теория упругости. — M.-JL: ОНТИ, 1935.— С. 674.

114. Справочник геофизика. — М.: Недра, 1966. — Т. 4. — С. 750.

115. Hans Petter Langtangen. Python Scripting for Computational Science.— Springer, 2008. P. 750.

116. Stefan Behnel, Robert Bradshaw, Craig Citro et al. Cython: The Best of Both Worlds // Computing in Science and Engineering. — 2011. — Vol. 13, no. 2. Pp. 31-39.

117. Ludwig Hahne. — Empirical Comparison of SCons and GNU Make.— Technical University Dresden, 2008. —August 21. http: //www. genode-labs. com/publicat ions/scons-vs-make-2008.pdf.