Разностные методы высокого порядка точности для решения акустического волнового уравнения и уравнений анизотропной упругости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Довгилович, Леонид Евгеньевич

• Довгилович, Леонид Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Довгилович, Леонид Евгеньевич

Содержание

Введение

Глава 1. Моделирование волновых полей в задачах геофизики

1.1. О роли моделирования в геофизике

1.2. Рассматриваемые модели

1.3. Обзор методов

Глава 2. Аппроксимация второй производной неявными центрально-разностными

операторами

2.1. Постановка задачи

2.1.1. Исследуемые операторы второй производной

2.2. Периодический случай

2.2.1. Асимптотический анализ

2.2.2. Спектральный анализ

2.3. Непериодический случай

2.3.1. Однородные условия Дирихле и Неймана

2.3.2. Общий случай

2.4. Использование неявных центрально-разностных операторов для параллельных вычислений

2.5. Оценки количества операций с плавающей точкой для получения заданной точности

2.6. Обсуждение результатов

Глава 3. Консервативные разностные схемы высокого порядка точности по пространству для одномерного волнового уравнения

3.1. Постановка задачи

3.2. Проблема чет-нечет

3.3. Сдвинутые шаблоны

3.4. 8ВР подход для операторов на сдвинутых шаблонах

3.5. Граничные условия

3.5.1. Условия Дирихле

3.5.2. Условия Неймана

3.5.3. Условия Неймана с включением граничных точек

3.5.4. Условия третьего рода и поглощения энергии

3.6. Консервативная разностная схема, сходимость и устойчивость

3.7. Обсуждение результатов

Глава 4. Разностный метод высокого порядка для решения трехмерного волнового

уравнения на равномерной сетке

4.1. Постановка задачи

4.2. Дискретизация

4.2.1. Граничные условия

4.3. Реализация

4.4. Численные эксперименты

4.4.1. Тестирование основных характеристик алгоритма. Отладка программы

4.4.2. Пример трехмерного расчета различными операторами

4.5. Обсуждение результатов

Глава 5. Разностный метод высокого порядка точности для решения уравнений анизотропной упругости в криволинейных координатах

5.1. О конечно-разностных подходах моделирования задач сейсмики

5.2. Выбор типа конечно-разностной аппроксимации для решения задачи

5.2.1. Консервативная форма записи уравнений анизотропной упругости в криволинейных координатах

5.2.2. Последовательная и смешанная аппроксимация

5.2.3. Разнесенные и не разнесенные сетки

5.3. Дискретизация уравнений анизотропной упругости в криволинейных координатах

5.4. Граничные условия

5.4.1. Условия Дирихле

5.4.2. Условия свободной поверхности

5.4.3. Условия поглощения энергии

5.4.4. Комбинирование граничных условий

5.5. Схема по времени, устойчивость и сходимость предложенного метода

5.6. Реализация

5.7. Обсуждение результатов

Глава 6. Численные эксперименты на задачах упругости

6.1. Сеточная сходимость

6.2. Задача Лэмба

6.3. Сейсмические модельные эксперименты

6.4. Обсуждение результатов

Заключение

Список использованных источников

Приложение А. Значения коэффициент для операторов второй производной

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разностные методы высокого порядка точности для решения акустического волнового уравнения и уравнений анизотропной упругости»

Введение

Актуальность темы исследования

В настоящее время в подавляющем большинстве случаев задачи моделирования сейсмических полей описываются скалярным волновым уравнением или системой линейных уравнений упругости. Специфика состоит в огромном объеме обрабатываемой и получаемой информации. Например, если говорить о сеточных методах, то размеры сеток могут достигать нескольких тысяч узлов в каждом направлении, а количество правых частей, т.е. отдельных задач, - десятков тысяч. Неудивительно, что такие расчеты требуют практически предельно возможных объемов оперативной памяти, и могут вестись неделями и месяцами на высокопроизводительных вычислительных системах. Типичными классами задач сейсмического моделирования с тысячами положений источников являются а) расчеты эталонных волновых полей и сейсмограмм - так называемая синтетика (synthetics); б) обратные задач сейсморазведки, где на каждой итерации решаются прямые задачи; в) задачи миграции в обратном времени. В последнее десятилетие резко возросла сложность моделируемых объектов как за счет учитываемых физических свойств (анизотропия, приповерхностные аномалии упругих свойств породы и т.п.), так и за счет геометрических особенностей (рельеф, сложная структура пластов и т.п.). Поэтому создание методов и алгоритмов, позволяющих решать такие задачи, является актуальной проблемой для вычислительной математики. Также актуальной является и возможность многократного уменьшения требуемой памяти и времени счета при использовании этих новых подходов там, где применяются традиционные.

Основные вычислительные особенности, связанные с рассматриваемыми классами задач, состоят в следующем: 1) расчет волновых полей должен вестись с контролируемой и достаточно высокой точностью; 2) допустимо использование достаточно гладких параметров среды при решении обратных задач и задач миграции в обратном времени (сильные градиенты в местах предполагаемых границ пластов при этом вполне возможны); 3) должен учитываться рельеф земной поверхности; 4) источники могут располагаться вблизи целевой зоны сейсморазведки, например, для систем наблюдений в скважинной сейсмике (речь идет о сопряженных уравнениях в теории обратных задач); 5) должна иметься возможность учета разрывов свойств среды (разломы, солевые тела, пласты и т.п.).

Известны три основных класса методов, используемых при моделировании волновых процессов в неоднородных средах: метод конечных разностей (МКР), метод спектральных элементов (МСЭ), и спектральные методы (СМ). Указанные выше особенности 1), 2), 3) вполне определенно указывают на необходимость использования алгоритмов высокого порядка точности на криволинейных сетках для гиперболических задач с гладкими переменными коэффициентами. В приме-

нении к задачам сейсмики наиболее развитым в последнее десятилетие оказался МСЭ. Сочетание гибкости конечно-элементного представления сложной геометрии и спектральной аппроксимации уравнений внутри отдельного элемента привело к созданию достаточно универсальных и эффективных алгоритмов высокого порядка точности (эффективность алгоритма здесь означает использование как можно меньшего объема вычислительных ресурсов для достижения заданной точности решения). Построение аналогичных по гибкости алгоритмов на основе МКР высокого порядка точности для уравнений упругости является предметом данной работы. О СМ заметим лишь, что их применение в геофизике пока мало заметно.

В работе рассматриваются две модели волновых процессов, характерные для геофизики. Это трехмерное акустическое волновое уравнение с переменной скоростью и трехмерная система На-вье уравнений анизотропной упругости для неоднородных сред. Развивается МКР со схемами высокого порядка точности, строятся соответствующие алгоритмы, которые реализуются в виде параллельных программ для высокопроизводительных систем с распределенной памятью, и проводятся исследования их эффективности на ряде тестовых задач.

Акустическое волновое уравнение рассматривается для частного случая аппроксимации оператора Лапласа на прямоугольных сетках с относительно простыми граничными условиями. Чтобы получить более эффективный алгоритм по сравнению с общепринятым центрально-разностным подходом, исследуются неявные центрально-разностные операторы (компактные схемы) вплоть до 20-го порядка точности для вычисления вторых производных.

Для системы Навье уравнений анизотропной упругости предлагается новый высокоточный конечно-разностный метод решения на криволинейных сетках. Его создание потребовало проведения предварительного анализа для выбора типа сетки - традиционно используемая разнесенная сетка или обычная. Оказалось, что обычная сетка позволяет экономить память при высоких порядках аппроксимации. Описываемый алгоритм обладает точностью вплоть до 8-го порядка во внутренних точках криволинейной сетки и четвертым порядком точности на границах. Интегрирование по времени реализовано явными схемами второго порядка точности, устойчивыми для любого невырожденного преобразования координат при соблюдении условия CFL (Courant-Friedrichs-Lewy). Построение схем основано на технологии суммирования по частям (Summation by Parts - SBP) и слабой формы учета граничных условий (Simultaneous Approximation Term -SAT). Для того, чтобы обеспечить максимальную скорость вычислений на современных высокопроизводительных системах, включая графические ускорители, алгоритм использует последовательное применение операторов первых производных на обычных (не разнесенных) сетках при аппроксимации операторов вторых и смешанных производных системы Навье уравнений анизотропной упругости. Избежать паразитных решений, свойственных центрально-разностным one-

раторам на обычных сетках, позволяет аппроксимация первых производных разностями, сдвинутыми вперед и назад. Это также благоприятно сказалось на возможности аппроксимировать точечные источники, см. особенность 4) из вышеприведенного списка. Что касается особенности 5), то она учтена в рамках многоблочного подхода, см. [53], но этот вопрос не рассматривается в диссертации.

Отметим, что теория, развитая в работе при построении разностных схем для системы Навье уравнений анизотропной упругости, может быть использована и в модели акустического волнового уравнения, если, например, возникнет необходимость применения криволинейных сеток для учета топографии поверхности Земли.

Целью диссертационной работы является разработка эффективных конечно-разностных методов высокого порядка точности для решения акустического волнового уравнения и системы Навье нестационарных уравнений анизотропной упругости в трехмерных неоднородных средах.

Научная новизна. Впервые предложен параллельный алгоритм для вычислений с использованием неявных центрально-разностных операторов на основе доказанного экспоненциального убывания ошибки от граничных условий склейки по направлению внутрь подобласти. Впервые обобщен подход SBP (суммирование по частям) построения разностных схем на случай использования операторов с несимметричным шаблоном. Построена теория аппроксимации и устойчивости этих новых разностных схем для волнового уравнения и системы Навье уравнений анизотропной упругости. Впервые построены аппроксимации высокого порядка точности для учета граничных условий свободной поверхности и условий поглощения энергии для произвольной гладкой границы и для произвольной анизотропной гладкой среды.

Теоретическая и практическая значимость.

Разработанная теория разностных SBP операторов высокого порядка аппроксимации на несимметричных шаблонах позволяет моделировать волновые процессы без возникновения нефи-зичных высокочастотных волн.

Построенные в диссертации новые разностные схемы высокого порядка точности для решения задач динамической упругости на криволинейных сетках позволяют эффективно рассчитывать сейсмические волновые поля для достаточно сложной геометрии в неоднородных анизотропных средах.

Реализованный параллельный алгоритм расчета сейсмических волн является основой комплекса программ миграции в обратном времени (Reverse Time Migration - RTM) и обратной задачи сейсмики (Full Waveform Inversion - FWI), разработанного совместно с В.Г. Байдиным и И.Л. Софроновым. Комплекс применяется в Московском научно-исследовательском центре "Шлюм-берже".

Положения, выносимые на защиту:

1. Предложены и исследованы методы построения разностных краевых задач высокого порядка аппроксимации для расчета акустических и упругих волновых полей. Проведено теоретическое и экспериментальное обоснование устойчивости и точности полученных разностных схем. Показано преимущество использования обычных (не разнесенных) сеток при высоких порядках аппроксимации для задач анизотропной упругости.

2. Построен параллельный алгоритм высокого порядка точности на криволинейных сетках для моделирования распространения волн в анизотропных упругих неоднородных средах. На основе многочисленных тестовых расчетов исследованы его точностные характеристики.

3. Предложен алгоритм разбиения на подобласти для параллельных вычислений с использованием неявных центрально-разностных операторов (компактных схем), основанный на перекрытии сеток. Теоретически и численно показано, что ширина перекрытия сопоставима с шириной шаблона.

4. Разработан и реализован параллельный алгоритм высокого порядка точности для решения трехмерного акустического уравнения с использованием неявных центрально-разностных операторов. Проведены численные расчеты, подтвердившие его высокую эффективность. Выявлено, что аппроксимация 12-го порядка точности близка к оптимальной по рассмотренным критериям вычислительной эффективности.

Апробация результатов

Результаты работы были доложены, обсуждены и получили одобрение специалистов на следующих научных конференциях:

1. 52-ая, 53-ая и 55-ая конференции МФТИ, Москва-Долгопрудный, 2009, 2010, 2012;

2. XVIII и XIX Всероссийские конференции, посвященные памяти К.И. Бабенко, Абрау-Дюрсо, 2010, 2012;

3. 74-ая ежегодная конференция и выставка European Association Geoscientists & Engineers, Копенгаген, 2012;

4. Международная конференция «Разностные схемы и их приложения» посвященная 90-летию профессора B.C. Рябенького, Москва, 2013;

5. 75-ая ежегодная конференция и выставка European Association Geoscientists & Engineers, Лондон, 2013.

Результаты работы были доложены, обсуждены и получили одобрение специалистов на научных семинарах в следующих организациях:

1. Институт вычислительной математики Российской академии наук, Москва, 2013;

2. Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, Москва, 2013;

3. Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва, 2013;

4. Московский физико-технический институт, кафедра информатики, Москва, 2013;

5. Московский научно-исследовательский центр "Шлюмберже", Москва, 2010-2013. Публикации

Материалы диссертации опубликованы в 11 печатных работах, из них две [70, 71 ] - статьи в изданиях из списка, рекомендованного ВАК РФ. Подана и опубликована заявка на патент [96].

Личный вклад автора.

Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, библиографии и приложения. Общий объем диссертации - 120 страниц. Библиография включает 96 наименований.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Довгилович, Леонид Евгеньевич

Заключение

В заключении мы выделим следующие основные результаты работы:

1. Проведен анализ аппроксимаций второй производной высокого порядка на равномерных сетках. Показано, что использование неявных центрально-разностных операторов вычисления второй производной позволяет сократить требования к вычислительным ресурсам при сохранении точности.

2. Предложен и реализован эффективный параллельный численный алгоритм высокого порядка аппроксимации для решения трехмерного волнового уравнения с неоднородной скоростью на основе неявных центрально-разностных операторов вычисления второй производной.

3. Проведен анализ конечно-разностных аппроксимаций высокого порядка на разнесенных и обычных сетках с целью минимизации вычислительных ресурсов, необходимых для решения волнового уравнения Навье в криволинейных координатах для анизотропных сред. Показано, что использование обычных сеток предпочтительнее для схем высокого порядка (> 04).

4. Предложена конечно-разностная схема высокого порядка точности для решения трехмерных задач динамической упругости в анизотропных неоднородных средах на криволинейных сетках, адаптированных к геометрическим и скоростным неоднородностям среды. Схема обладает пространственным порядком вплоть до 08 во внутренних точках и вплоть до 04 на границах. Проанализированы устойчивость и сходимость.

5. С целью минимизации числа операций на точку и эффективного распараллеливания на многоядерных вычислительных системах использован подход последовательного применения разностных операторов первого порядка для аппроксимации системы уравнений второго порядка. Для устранения паразитных «чет-нечет»-решений разработана схема аппроксимации на сдвинутых вперед и назад шаблонах.

6. Предложена аппроксимация граничных условий на свободной криволинейной границе с четвертым порядком для произвольной анизотропной среды.

7. Реализован эффективный параллельный алгоритм высокого порядка аппроксимации для решения трехмерного волнового уравнения Навье на криволинейных сетках в неоднородных анизотропных средах.

8. На численных примерах подтверждены ожидаемые характеристики обоих алгоритмов по устойчивости, точности и производительности. Тестирование проводилось с использованием известных аналитических решений (задача Лэмба), искусственных аналитических решений, сеточной сходимости и др.

9. Реализованы алгоритмы решения прямых задач для комплекса программ миграции в обратном времени, разработанного совместно с В.Г. Байдиным и И.Л. Софроновым.

Благодарности

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю Софронову Ивану Львовичу за постоянную поддержку, участие в обсуждениях работы, постоянные консультации, многочисленные советы и помощь в подготовке защиты диссертации.

Автор также хочет поблагодарить Шевченко Алексея Александровича, Байдина Василия Григорьевича и Сотрудников Московского научно-исследовательского центра Шлюмберже за помощь в работе и поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Довгилович, Леонид Евгеньевич, 2013 год

Список использованных источников

1. AlMuhaidib Abdulaziz М, Fehler Michael М, Toksoz М Nafi, Zhang Yang M. Finite difference elastic wave modeling including surface topography // 2011 SEG Annual Meeting. — 2011.

2. Alterman Z, Karal FC. Propagation of elastic waves in layered media by finite difference methods // Bulletin of the Seismological Society of America. — 1968, — Vol. 58, no. 1, — P. 367-398.

3. Andrews DJ. A numerical study of tectonic stress release by underground explosions // Bulletin of the Seismological Society of America.— 1973. — Vol. 63, no. 4,— P. 1375-1391.

4. Appelo Daniel, PeterssonN Anders. A stable finite difference method for the elastic wave equation on complex geometries with free surfaces // Communications in Computational Physics. — 2009. — Vol. 5, no. 1,—P. 84-107.

5. Baysal Edip, Kosloff Dan D., Sherwood John W. C. Reverse time migration // Geophysics.— 1983.—November. —Vol. 48, no. 11. — P. 1514-1524.

6. Bernth Henrik, Chapman Chris. A comparison of the dispersion relations for anisotropic elastodynamic finite-difference grids // Geophysics. — 2011. — Vol. 76, no. 3. — P. WA43-WA50.

7. Bogey Christophe, Bailly Christophe. A family of low dispersive and low dissipative explicit schemes for flow and noise computations // Journal of Computational Physics. — 2004. — Vol. 194, no. 1, —P. 194-214.

8. Camp William J, Thierry Philippe. Trends for high-performance scientific computing // The leading • edge. — 2010. — Vol. 29, no. 1. — P. 44^17.

9. Castillo JE, Hyman James M, Shashkov M, Steinberg Stanly. Fourth-and sixth-order conservative finite difference approximations of the divergence and gradient // Applied Numerical Mathematics. —2001, —Vol. 37, no. 1, —P. 171-187.

10. Chapman Chris. Fundamentals of seismic wave propagation. — Cambridge University Press, 2004.

11. Charara Marwan, Vershinin Anatoly, Deger Evgeniya et al. 3D spectral element method simulation of sonic logging in anisotropic viscoelastic media // 2011 SEG Annual Meeting. — 2011.

12. Chu Peter C, Fan Chenwu. A three-point sixth-order nonuniform combined compact difference scheme // Journal of Computational Physics. — 1999. — Vol. 148, no. 2. — P. 663-674.

13. Chu Peter C, Fan Chenwu. A three-point combined compact difference scheme // Journal of Computational Physics. — 1998, — Vol. 140, no. 2, — P. 370-399.

14. Courant Richard, Isaacson Eugene, Rees Mina. On the solution of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences // Communications on Pure and Applied Mathematics.— 1952.— Vol. 5, no. 3, —P. 243-255.

15. Dovgilovich L. High-order FD Method on Curvilinear Grids for Anisotropic Elastodynamic Simulations // 75th EAGE Conference & Exhibition.— 2013,— P. 1-5,— URL: http://www. earthdoc.org/publication/publicationdetails/?publication=68514.

16. Dumbser Michael, Käser Martin. An arbitrary high-order discontinuous Galerkin method for elastic waves on unstructured meshes-II. The three-dimensional isotropic case // Geophysical Journal International. — 2006, — Vol. 167, no. 1, — P. 319-336.

17. Fornberg Bengt. The pseudospectral method: accurate representation of interfaces in elastic wave calculations // Geophysics. — 1988. — Vol. 53, no. 5. — P. 625-637.

18. Hesthaven Jan S, Gottlieb Sigal, Gottlieb David. Spectral methods for time-dependent problems. — Cambridge University Press, 2007. — Vol. 21.

19. Hyman James M, Steinberg Stanly. The convergence of mimetic discretization for rough grids // Computers & Mathematics with Applications. — 2004. — Vol. 47, no. 10. — P. 1565-1610.

20. Igel Heiner, Mora Peter, Riollet Bruno. Anisotropic wave propagation through finite-difference grids//Geophysics. — 1995, —Vol. 60, no. 4. —P. 1203-1216.

21. Käser Martin, Dumbser Michael. An arbitrary high-order discontinuous Galerkin method for elastic waves on unstructured meshes-I. The two-dimensional isotropic case with external source terms // Geophysical Journal International. — 2006. — Vol. 166, no. 2. — P. 855-877.

22. Kelly KR, Ward RW, Treitel Sven, Alford RM. Synthetic seismograms: a finite-difference approach // Geophysics. — 1976. — Vol. 41, no. 1. — P. 2-27.

23. Komatitsch Dimitri, Barnes Christophe, Tromp Jeroen. Wave propagation near a fluid-solid interface: A spectral-element approach // Geophysics. — 2000. — Vol. 65, no. 2. — P. 623-631.

24. Komatitsch Dimitri, Coutel Fabien, Mora Peter. Tensorial formulation of the wave equation for modelling curved interfaces // Geophysical Journal International.— 1996.— Vol. 127, no. 1.— P. 156-168.

25. Komatitsch Dimitri, Liu Qinya, Tromp Jeroen et al. Simulations of ground motion in the Los Angeles basin based upon the spectral-element method // Bulletin of the Seismological Society of America. — 2004, — Vol. 94, no. 1, — P. 187-206.

26. Komatitsch Dimitri, Tromp Jeroen. Spectral-element simulations of global seismic wave propagation—I. Validation // Geophysical Journal International.— 2002.— Vol. 149, no. 2.— P. 390-412.

27. Komatitsch Dimitri, Tromp Jeroen. Introduction to the spectral element method for three-dimensional seismic wave propagation // Geophysical Journal International.— 1999.— Vol. 139, no. 3.—P. 806-822.

28. Komatitsch Dimitri, Vilotte Jean-Pierre. The spectral element method: an efficient tool to simulate the seismic response of 2D and 3D geological structures // Bulletin of the Seismological Society of America. — 1998, — Vol. 88, no. 2, — P. 368-392.

29. Kosloff D, Kessler D, Filho AQ et al. Solution of the equations of dynamic elasticity by a Chebychev spectral method // Geophysics. — 1990. — Vol. 55, no. 6. — P. 734-748.

30. Kozdon Jeremy E, Dunham Eric M, Nordstrom Jan. Simulation of dynamic earthquake ruptures in complex geometries using high-order finite difference methods // Journal of Scientific Computing. — 2013, —P. 1-33.

31. Lan Haiqiang, Zhang Zhongjie. Three-dimensional wave-field simulation in heterogeneous transversely isotropic medium with irregular free surface // Bulletin of the Seismological Society of America.— 2011, — Vol. 101, no. 3, —P. 1354-1370.

32. Lax Peter D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1954. — Vol. 7, no. 1. — P. 159-193.

33. Levander Alan R. Fourth-order finite-difference P-SV seismograms // Geophysics.— 1988.— Vol. 53, no. 11.— P. 1425-1436.

34. Leviant VB, Petrov IB, Chelnokov FB, Antonova IY. Nature of the scattered seismic response from zones of random clusters of cavities and fractures in a massive rock // Geophysical prospecting. — 2007. — Vol. 55, no. 4. — P. 507-524.

35. Lisitsa Vadim, Vishnevskiy Dmitriy. Lebedev scheme for the numerical simulation of wave propagation in 3D anisotropic elasticity^ // Geophysical Prospecting.— 2010.— Vol. 58, no. 4.— P. 619-635.

36. Lombard Bruno, Piraux Joël, Gélis Céline, Virieux Jean. Free and smooth boundaries in 2-D finite-difference schemes for transient elastic waves // Geophysical Journal International. — 2008. — Vol. 172, no. 1, —P. 252-261.

37. Madariaga Raul. Dynamics of an expanding circular fault // Bulletin of the Seismological Society of America. — 1976. — Vol. 66, no. 3. — P. 639-666.

38. Mattsson Ken. Summation by parts operators for finite difference approximations of second-derivatives with variable coefficients//Journal of Scientific Computing. — 2012. — Vol. 51, no. 3. — P. 650-682.

39. Mattsson Ken, Ham Frank, Iaccarino Gianluca. Stable boundary treatment for the wave equation on second-order form // Journal of Scientific Computing. — 2009. — Vol. 41, no. 3. — P. 366-383.

40. Mattsson Ken, Svärd Magnus, Nordström Jan. Stable and accurate artificial dissipation // Journal of Scientific Computing. — 2004. — Vol. 21, no. 1. — P. 57-79.

41. Moczo Peter, Robertsson Johan OA, Eisner Leo. The finite-difference time-domain method for modeling of seismic wave propagation // Advances in Geophysics.— 2007.— Vol. 48.— P. 421— 516.

42. Muir Francis, Dellinger Joe, Etgen John, Nichols Dave. Modeling elastic fields across irregular boundaries // Geophysics. — 1992. — Vol. 57, no. 9. — P. 1189-1193.

43. Nilsson Stefan, Petersson N Anders, Sjögreen Björn, Kreiss Heinz-Otto. Stable difference approximations for the elastic wave equation in second order formulation // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 2007. — Vol. 45, no. 5. — P. 1902-1936.

44. Petersson N Anders, Sjogreen Bjorn. An energy absorbing far-field boundary condition for the elastic wave equation // Communications in Computational Physics. — 2009. — Vol. 6, no. 3. — P. 483.

45. Podgornova O, Owusu JC, Charara M et al. Anisotropic Elastic Full-waveform Inversion for a Real Walkaway VSP Data from The Arabian Gulf-Towards High Frequencies // 75th EAGE Conference & Exhibition incorporating SPE EUROPEC 2013, — 2013.

46. Popov Mikhail, Semtchenok Nikolay, Popov Peter, Verdel Arie. Reverse time migration with Gaussian beams and its application to a few synthetic data sets // 2007 SEG Annual Meeting. — 2007.

47. de la Puente J, Ferrer M, Castillo JE et al. Elastic Mimetic Finite-differences in the Presence of Topography // 75th EAGE Conference & Exhibition incorporating SPE EUROPEC 2013, — 2013.

48. Saenger Erik H, Bohlen Thomas. Finite-difference modeling of viscoelastic and anisotropic wave propagation using the rotated staggered grid // Geophysics. — 2004. — Vol. 69, no. 2. — P. 583-591.

49. Saenger Erik H, Gold Norbert, Shapiro Serge A. Modeling the propagation of elastic waves using a modified finite-difference grid // Wave motion. — 2000. — Vol. 31, no. 1. — P. 77-92.

50. Schoenberg Michael, Sayers Colin M. Seismic anisotropy of fractured rock // Geophysics. — 1995. — Vol.60, no. 1.—P. 204-211.

51. Sjögreen Björn, Petersson N Anders. A fourth order accurate finite difference scheme for the elastic wave equation in second order formulation // Journal of Scientific Computing. — 2012. — Vol. 52, no. 1.—P. 17—48.

52. Sjögreen Björn, Petersson N.Anders. Source Estimation by Full Wave Form Inversion // Journal of Scientific Computing.— 2013,— P. 1-30,— URL: http://dx.doi.org/10.1007/ s10915-013-9760-6.

53. Sofronov IL, Zaitsev NA, Dovgilovich L et al. Multi-block FD Method for 3D Geophysical Simulation with Explicit Representation of Sub-horizontal Interfaces // 74th EAGE Conference & Exhibition.— 2012.— P. 1-5.— URL: http://www.earthdoc.org/publication/ publicationdetails/?publication=58892.

54. Strand Bo. Summation by Parts for Finite Difference Approximations for< i> d/dx</i> // Journal of Computational Physics. — 1994. — Vol. 110, no. 1. — P. 47-67.

55. Thomsen Leon. Weak elastic anisotropy//Geophysics.— 1986. — Vol. 51, no. 10. — P. 1954—1966.

56. Tromp Jeroen, Komattisch Dimitri, Liu Qinya. Spectral-element and adjoint methods in seismology // Communications in Computational Physics. — 2008. — Vol. 3, no. 1. — P. 1-32.

57. Virieux Jean. P-SV wave propagation in heterogeneous media: Velocity-stress finite-difference method // Geophysics. — 1986. — Vol. 51, no. 4. — P. 889-901.

58. Virieux Jean. SH-wave propagation in heterogeneous media: Velocity-stress finite-difference method//Geophysics. — 1984, — Vol. 49, no. 11. — P. 1933-1942.

59. Zienkiewicz Olgierd Cecil, Taylor Robert Leroy. The Finite Element Method: Solid Mechanics. — Butterworth-heinemann, 2000. — Vol. 2.

60. Алексеев АС, Гельчинский БЯ. О лучевом методе вычисления полей волн в случае неоднородных сред с криволинейными границами раздела // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. — 1959. — Т. 3. — С. 107-160.

61. Бабенко Константин Иванович. Основы численного анализа. — М.; Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002.

62. Бреховских Леонид Максимович. Вольны в слоистых средах. — " Наука,", 1973.

63. Годунов Сергей Константинович. Разностный метод расчета ударных волн // Успехи математических наук. — 1957,—Т. 12, № 1 (73,—С. 176-177.

64. Гольдин СВ. Введение в геометрическую сейсмику.— Новосибирский Гос. Университет, 2005,—С. 260.

65. Горшков АГ, Медведский АЛ, Рабинский ЛН, Тарлаковский ДВ. Волны в сплошных средах. Учебное пособие для вузов // М.: ФИЗМАТЛИТ. — 2004.

66. Довгилович Л.Е. Анализ явных и неявных конечно-разностных операторов в применении к задачам распространения волн в анизотропной упругой среде // Тезисы докладов XIX Всероссийской конференции «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики», посвященной памяти К.И. Бабенко. — Москва: Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша, 2012. — С. 36-37.

67. Довгилович Л.Е. Параллельный конечно-разностный алгоритм моделирования распространения упругих волн в трехмерной анизотропной гетерогенной среде с условиями свободной поверхности на криволинейных сетках // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть VII. Управление и прикладная математика: Труды 55-й научной конференции МФТИ. — Т. 2. — Москва: МФТИ, 2012. — С. 87-88.

68. Довгилович Л.Е. Анализ производительности алгоритма решении обратной задачи сейсморазведки методом миграции в обратном времени с применением компактных схем // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть VII. Управление и прикладная математика: Труды 53-й научной конференции МФТИ.— Т. 3,— Москва: МФТИ, 2010.— С. 19-20.

69. Довгилович Л.Е. О решении обратной задачи сейсморазведки методом миграции в обратном времени с применением компактных схем // Современные проблемы фундаментальных и при-

кладных наук. Часть VII. Управление и прикладная математика: Труды 52-й научной конференции МФТИ. — Т. 3. — Москва: МФТИ, 2009. — С. 122-124.

70. Довгилович Л.Е, Софронов И.Л. Анализ явных и неявных центрально-разностных операторов для вычисления второй производной на равномерных сетках // Труды МФТИ. — 2013. — Т. 5, №2,—С. 175-182.

71. Довгилович Л.Е, Софронов И.Л. Конечно-разностный метод высокого порядка точности расчета волновых полей в анизотропных средах // Технологии Сейсморазведки. — 2013. — № 2. — С. 24-30.

72. Довгилович Л.Е, Софронов И.Л. Аппроксимация вторых и смешанных производных 8ВР подходом на основе несимметричных первых разностей // Сборник научных трудов Международной конференции «Разностные схемы и их приложения» посвященной 90-летию профессора

B.С. Рябенького.— Москва: Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша, 2013.—

C. 52-53.

73. Довгилович Л.Е, Софронов И.Л. О трехуровневом параллельном алгоритме обратной миграции во временной области (ЯТМ) на основе компактных схем // Тезисы докладов XVIII Всероссийской конференции «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики», посвященной памяти К.И. Бабенко.— Москва: Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша, 2010. — С. 31-32.

74. Качалов Александр Павлович, Попов Михаил Михайлович. Применение метода суммирования гауссовых пучков для расчета теоретических сейсмограмм // Записки научных семинаров ПОМИ,— 1986,—Т. 156, № 0, — С. 73-97.

75. Квасов И Е, Панкратов С А, Петров Игорь Борисович. Численное моделирование сейсмических откликов в многослойных геологических средах сеточно-характеристическим методом // Математическое моделирование. — 2010. — Т. 22, № 9. — С. 13-22.

76. Коновалов А Н. Численные методы в динамических задачах теории упругости // Сибирский математический журнал. — 1997. — Т. 38, № 3. — С. 551-568.

77. Куликовский АГ, Свешникова ЕИ. Нелинейные волны в упругих средах. — Моск. лицей М., 1998.

78. Лебедев ВИ. Уравнения и сходимость дифференциально-разностного метода (метода прямых) // Вестн. МГУ. Сер. физ.-мат. наук. — 1965. — № 10. — С. 47-58.

79. Лебедев Вячеслав Иванович. Разностные аналоги ортогональных разложений, основных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач математической физики. I // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1964. — Т. 4, № 3. — С. 449-465.

80. Левянт ВБ, Петров ИБ, Панкратов СА. ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОДОЛЬНЫХ И ОБМЕННЫХ ВОЛН ОТКЛИКА ОБРАТНОГО РАССЕЯНИЯ ОТ ЗОН ТРЕЩИНОВАТОГО КОЛЛЕКТОРА // Seismic Technology. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 3-11.

81. Левянт ВБ, Петров ИБ, Челноков ФБ. Кластерная природа сейсмической энергии, рассеянной от зоны диффузной каверзности и трещиноватости в массивных породах // Геофизика. — 2005, —№6,—С. 5-19.

82. Лехницкий Сергей Георгиевич. Теория упругости анизотропного тела. — Наука, 1977.

83. Лурье Анатолий Исакович. Пространственные задачи теории упругости.— Гос. изд-во технико-теоретической лит-ры, 1955.

84. Ляв А, Булгаков Б В, Натанзон В Я. Математическая теория упругости: Пер. с англ. — НКТП СССР, 1935.

85. Магомедов К М, Холодов Александр Сергеевич. О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1969. — Т. 9, № 2. — С. 373-386.

86. Молотков Лев Анатольевич. О методах вывода уравнений, описывающих эффективные модели слоистых сред // Записки научных семинаров ПОМИ. — 1998. — Т. 250, № 0. — С. 219-243.

87. Попов Михаил Михайлович, Попов П М. Сравнение метода Хилла и метода глубинной сейсмической миграции с помощью суммирования гауссовых пучков // Записки научных семинаров ПОМИ,—2010, —Т. 379, № 0,—С. 88-102.

88. Рябенький Виктор Соломонович, Филиппов Алексей Федорович, Чудов Лев Алексеевич. Об устойчивости разностных уравнений.— Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.

89. Самарский Александр Андреевич. Теория разностных схем. — " Наука," Глав. ред. физико-математической лит-ры, 1989.

90. Сильвестров ИЮ, Неклюдов ДА. Многокомпонентная миграция данных НВСП по методу наименьших квадратов с подавлением артефактов // Seismic Technology.— 2008.— Т. 5, №4,—С. 15-24.

91. Скалько ЮИ, Шевченко АВ, Цыбулин ИВ. Метод, использующий идеи лагранжевого формализма, для численного моделирования задач упругой динамики // Труды МФТИ.— 2010.— Т. 2, № 3, — С. 196-201.

92. Тихонов АН, Самарский АА. Об однородных разностных схемах // Доклады Академии наук СССР,—Т. 122,— 1958.

93. Федоренко Р.П. Применение разностных схем высокого порядка точности для гиперболических уравнений//Журнал вычислительной математики и математической физики.— 1962.— Т. 2, №6,—С. 1122-1128.

94. Хохлов НИ, Петров ИБ. Моделирование сейсмических явлений сеточно-характеристическим методом // ТРУДЫ МФТИ. — 2011. — Т. 3.

95. Шевченко А.А. Сейсмические исследования в скважинах.— МГУ Геологический факультет. Кафедра сейсмометрии и геоакустики., 2007.— С. 136.

96. Baydin Vasily, Dovgilovich Leonid, Lin Kui et al. Reverse time migration model dip-guided imaging. Appl.No.: 13/725,154; Pub.No.: US2013/0182538 А1;заявл.21.12.2012; опубл. 18.07.2013, 14c.

Приложение А. Значения коэффициент для операторов второй

производной

Значения коэффициентов/^ = [/?0, Рх, Р2, ■■■] для CDOP в (2.3):

р4 = [-5/2, 4/3, -1/12]

р6 = [-49/18, 3/2, -3/20, 1/90] f = [-205/72, 8/5, -1/5, 8/315, -1/560] /З10 = [—5269/1800, 5/3, -5/21, 5/126, -5/1008, 1/3150] рп = [-5369/1800, 12/7, -15/56, 10/189, -1/112, 2/1925, -1/16632]

р14 = [-266681/88200, 7/4, -7/24, 7/108, -7/528, 7/3300, -7/30888, 1/84084]

/?16 = [-1077749/352800, 16/9, -14/45,

112/1485, -7/396, 112/32175, -2/3861, 16/315315, -1/411840]

/}18 = [-9778141/3175200, 9/5, -18/55, 14/165, -63/2860, 18/3575, - 2/2145, 9/70070, -9/777920, 1/1969110]

/?20 = [-1968329/635040, 20/11, -15/44, 40/429, -15/572, 24/3575, -5/3432, 30/119119, -5/155584, 10/3741309, -1/9237800] Значения коэффициентов^р = [/?0, рх, Р2,...] для ICDOP в (2.4):

р4 = [-12/5, 6/5]

р6 = [-51/22, 12/11, 3/44] Р8 = [-751/342, 147/152, 51/380, -23/6840] Р10 = [-4361/2088, 1126/1305, 247/1305, -74/9135, 43/146160] рп = [-147629/73800, 4595/5904, 605/2583, -155/11808, 5/5904, -23/688800]

РХА = [-38179/19800, 27317/38500, 167/616, -299/16632, 241/154000, -19/169400, 101/22869000]

Р16 = [-11701951/6262200, 83447/127800, 4627/15336, -1379/61344,

19999/8434800, -3941/16869600, 931/54826200, -139/214918704]

/?18 = [-57111661/31399200, 594376/981225, 3934/12015, -3514/132165, 8491/2643300, -3346/8590725, 16598/420945525, -236/84189105, 61/598678080]

/?20 = [-614938969/346096800, 4835619/8545600, 2094/5995, -4361/143880, 6321/1558700,

- 1779/3117400, 4118/57282225, -3513/488808320, 2043/4154870720, -233/13736511360] Значения коэффициентов ариз (2.4) и предела ар из (2.27) для /СООР:

а4 = 1/10, аА= - 0.101

а6 = 2/11, ав= - ■0.188

а8 = 9/38, а8= - ■ 0.252

а10 = 8/29, а10= - -0.301

а12 = 25/82, ап = - 0.340

а14 = 18/55, а14 = -0.373

а16 = 49/142, а16 = - 0.400

а18 = 32/89, а18 = - 0.424

а20 = 81/218, я20 = - 0.445