Определение параметров среды методами миграции сейсмических полей и векторной лучевой инверсии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.10, кандидат физико-математических наук Яковлев, Иван Валерьевич

• Яковлев, Иван Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Яковлев, Иван Валерьевич

Введение

1. Метод вертикального сейсмического профилирования (ВСП)

2. Математическая модель упругой среды

3. Моделирование сейсмических полей, лучевое приближение, полное динамическое решение п

4. Метод миграции волновых нолей |

5. Цели, задачи, новизна, защищаемые положения

Глава 1. Численное моделирование сейсмических полей методом конечно-разностных схем

1. Математическая постановка задачи для уравнений теории упругости

2. Ко меч но-раз постные схемы

3. Порядок аппроксимации, сходимость и устойчивость разностной схемы

4. Сеточная дисперсия

5. Задание граничных условий, диссипативные граничные условия

Глава 2. Математическая постановка задачи миграции сейсмических полей

1. Формулировка задачи миграции.

2. Оптимизационная постановка задачи продолжения сейсмических полей ^

3. Особенности и ограничения процедуры экстраполяции волнового поля

Глава 3. Векторная инверсия сейсмических полей

1. Постановка задачи инверсии на основе лучевой селекции

2. Определение кинематических параметров среды и нормали к границе gg

3. Определение отношения плотностей и вычисление векторных коэффициентов отражений

4. Регуляризация процедуры инверсии

5. Метод селекции волновых полей ВСП

6. Построение изображения среды в векторных коэффициентах отражения

Глава 4. Алгоритмы решения, результаты численного моделирования и обработки реальных данных

1. Алгоритм вычисления продолженного поля

2. Алгоритм векторной инверсии, исследование устойчивости

3. Модельный эксперимент, описание модели, результаты, оценка эффективности метода gj

4. Применение алгоритмов миграции и инверсии для обработки реальных данных gj

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Определение параметров среды методами миграции сейсмических полей и векторной лучевой инверсии»

1. Метод вертикального сейсмического профилирования (ВО ])

2. Математическая модель упругой среды

3. Моделирование сейсмических полей, лучевое приближение, полное динамическое решение

4. Метод миграции волновых полей

5. Цели, задачи, новизна, защищаемые положения

Метод вертикального сейсмического профилировании

Вертикальное сейсмическое профилирование [13] - метод сейсмической разведки, при котором регистрация колебаний, возбужденных источником на поверхности, осуществляется во внутренних точках среды на вертикальном профиле (а точнее, вдоль скважины). Существуют также и модификации метода, когда источник возбуждения помещается в скважину, а приемники -на земную поверхность.

ВСП выросло из сейсмического каротажа, призванного обеспечить глубинное преобразование наблюдений сейсморазведки на поверхности, получаемых исходно в масштабе времен. Использование последующих вступлений создало возможности для полноценного изучения волновых полей в скважине и дальнейших попыток исследования околоскважинного пространства с использованием выносных пунктов возбуждения, профилей возбуждения (метод обращенного годографа - МОГ) и двумерных систем возбуждения (3D ВСП).

К принципиальным особенностям метода BCII относятся следующие 114J: изучается не только волновое поле, наблюдаемое на дневной поверхности, но и сам процесс его формирования. Одновременно выделяются, прослеживаются и изучаются волны разных типов и классов (прямые, отраженные, кратные, преломленные, продольные, поперечные и обменные), возбуждаемые в источнике и образовавшиеся на неоднородностях среды; в отличие от большинства традиционных геофизических (электрических, акустических и др.) измерений в скважинах, изучающих разрез только в ближайшей окрестности ствола скважины, ВСП позволяет исследовать околоскважинное и межскважинное пространство на значительных расстояниях от скважины и в большом диапазоне геологических условий, не только в интервале глубин, вскрытых скважиной, но и глубже забоя;

- ВСП, являясь одновременно сейсмическим и скважинным методом, находится на стыке наземной сейсморазведки и ГИС - геофизических исследований скважин. ВСП позволяет, с одной стороны, достичь разрешающей способности, близкой к ГИС, при изучении разреза вдоль ствола скважины и, с другой — распространить эти данные на окрестности скважины.

Среди решаемых при помощи ВСП задач основными на сегодняшний день являются:

- изучение упруго-плотностных характеристик среды на сейсмических частотах;

- динамическая привязка отражений, регистрируемых на поверхности, к литологическому разрезу;

- детальное изучение околоскважинного пространства с использованием более широкого спектра частот, чем при сейсморазведке на поверхности;

- прогнозирование геологического разреза ниже забоя скважины. Очевидными преимуществами ВСП являются возможности деконволюции по форме прямой волны, а также достоверной оценки интервальной скоростной модели среды по временам первых вступлений с нескольких пунктов возбуждения [31, 34]. Кроме того, система наблюдений ВСП обеспечивает полноценную трехкомпонентную регистрацию колебаний среды, что делает возможным качественное разделение и изучение различных типов волн и условий их формирования, а использование полного вектора смещений при построении сейсмических изображений делает их динамически наиболее адекватными реальной среде. Наконец, только наличие информации о полном векторе колебаний является основой для построения алгоритмов инверсии поля упругих смещений с целью восстановления таких характеристик среды, как импедансы, соответствующие продольным и поперечным волнам, и/или векторные (вдоль нормали к границе раздела жесткостей) коэффициенты отражения.

Математическая модель упругой среды

При обработке и интерпретации данных сейсмической разведки одним из основных объектов изучения является модель физических параметров среды. Распределение физических характеристик горных пород, восстанавливаемое по данным сейсмических наблюдений, используется при построении геологической модели месторождения.

Математически модель упругой среды описывается тензором 4-го ранга, состоящим из 36 независимых материальных параметров. Этот тензор входит в закон Гука, определяющий связь между напряжением а и деформациями б материала: = Сё, или &J = CiJU£u. (1)

Закон Гука, а также второй закон Ньютона рип = div<j, (2) где р = p{x,y,z) - плотность и diver = V ® <т, задают уравнение относительно вектора смещений u = u(x,y,z) для процесса распространения упругих колебаний. Коэффициентами этого уравнения являются компоненты тензора С материальных параметров среды.

В изотропном случае тензор С зависит только от двух параметров Л и которые называются параметрами Ламэ и связаны со скоростями распространения продольных и поперечных волн а и b соотношениями:

Л = {а2-2Ъ2)р,

3)

М = Ь Р

При этом уравнения (1) и (2) принимают вид:

7 = Aldivu + 2 {.is, (4) pwtt = grad(^di vu) 4- 2div(//£), (5) где I — единичный тензор.

Коэффициенты уравнения (5) в предположении о слабом изменении параметров среды могут быть выражены через скорости продольных и поперечных волн, а само уравнение в этом случае расщепляется на независимые волновые уравнения относительно дилатации и ротора смещения, описывающие распространение соответственно продольных и поперечных волн [24].

На практике вместо параметров Ламэ для описания модели упругой среды часто используют другие величины: скорости продольных и поперечных волн и плотности, коэффициент Пуассона и модуль Юнга, импедансы (произведение скорости и плотности) или коэффициенты отражения для продольных и поперечных волн. Это обусловлено, прежде всего, требованиями конкретной задачи и соображениями удобства. Так, в процессе обработки данных сейсморазведки (в том числе и при миграционном преобразовании), а также при математическом моделировании в качестве опорной используется главным образом скоростная модель среды, в то время как для задач геологической интерпретации физически более значимыми являются импедансы или коэффициенты отражения.

Наибольший разведочный интерес представляют такие параметры реальных сред, как пористость, проницаемость, трещиноватость, флюидосодержание и т.п. Эти параметры довольно многочисленны и не могут быть ни напрямую учтены при описании математической модели среды, ни, соответственно, восстановлены по результатам сейсмических наблюдений. Однако об их изменении можно судить по характеру распределения скоростей, плотности, коэффициентов анизотропии и других величин, характеризующих свойства упругих сред.

Используемые на практике модели различаются по степени сложности распределения параметров среды. Выбор того или иного описания модели определяется главным образом условиями поставленной задачи, а также имеющимися в распоряжении вычислительными мощностями. Модели реальных сред можно разделить на одномерные, двумерные и трехмерные.

При рассмотрении одномерной модели предполагается, что параметры разреза слабо изменяются по латерали и этими вариациями можно пренебречь. В случае существенной латеральной неоднородности необходимо переходить к двумерным или трехмерным моделям среды.

Реальные среды в нефтегазовой геологии и геофизике часто описываются слоистыми моделями. При этом предполагается, что внутри слоев параметры разреза меняются гладко, а на границах раздела терпят разрыв. Границы слоев задаются в виде гладких или кусочно-гладких кривых (для трехмерных моделей — поверхностей).

Моделирование сейсмических полей, лучевое приближение, полное динамическое решение

Математическое моделирование получило широкое применение при решении различных задач геофизики и геологии. Моделирование сейсмических данных помогает решить многие вопросы методики проведения полевых работ, обработки волновых полей и интерпретации ее результатов. Под математическим моделированием в сейсморазведке подразумевают процедуры построения сейсмогеологической модели среды, математическое описание ее параметров, расчет синтетических волновых полей для заданных конфигураций систем наблюдения. Интерпретация реальных волновых полей на основе математического моделирования предполагает последовательное уточнение априорной модели путем сравнения теоретических сейсмограмм с реальными данными и корректировки параметров модели.

Методы расчета волновых полей можно разбить на две группы. К первой группе относятся асимптотические методы, основанные на лучевом приближении, их обзор см. в работе [2]. Ко второй группе относятся методы расчета полного волнового поля, основанные либо на точном решении уравнения распространения упругих или акустических колебаний с теми или иными ограничениями на рассматриваемую модель среды [38, 50, 68], либо на численном решении этого уравнения с помощью конечно-разностных схем [42, 46, 50].

Лучевой метод [1, 27, 28] позволяет рассчитывать волновое поле путем его представления в виде бесконечного ряда, каждый член которого описывает вклад в суммарное поле так называемой элементарной (обобщенной) волны и называется лучевым приближением. Каждая такая волна соответствует какому-либо допускаемому геометрической сейсмикой лучу, выходящему из источника и приходящему к приемнику, имеет определенную природу и характеризуется амплитудой, формой и временем прихода в точки наблюдения. Сейсмограмма образуется путем суммирования вкладов всех элементарных волн, причем в каждый момент времени число ненулевых вкладов конечно.

Описание волнового поля в рамках лучевого метода справедливо, когда поле времен, определяющее фронт волны, является аналитической функцией. Там, где это условие нарушается, происходит либо разрыв волновых фронтов, либо разрыв на фронте амплитуды волны, определяемой лучевым методом. Вблизи таких особенностей значительная часть энергии будет переноситься в направлениях, отличных от направления распространения волны и в которых законы лучевого распространения теряют силу. Явления распространения упругой энергии, не соответствующие лучевой схеме, относят к явлениям дифракции. Таким образом, с помощью лучевого метода невозможно получить полное решение прямой задачи при наличии границ, являющихся источниками дифрагированных волн: границ с изломами, выпуклых границ, при переходе через которые скорость терпит разрыв.

Точное решение прямой динамической задачи можно получить для вертикально неоднородных сред методом полного разделения переменных. При этом решение уравнения упругости, описывающего колебания среды, находится в виде двойного интеграла, где один интеграл берется по частоте, а второй — по параметру луча. Несмотря на то, что формальное решение и записывается в явном виде, для практических расчетов волновых полей необходимо вычислять интегралы с бесконечными пределами, что является самостоятельной и нетривиальной задачей.

В основе конечно-разностного подхода лежит аппроксимация производных конечными разностями при решении уравнений распространения колебаний. Конечно-разностные методы условно можно разделить на три группы [61]: 1) методы экстраполяции; 2) комбинированные методы, типа «предиктор-корректор»; 3) подстановочные методы, типа метода Рунге-Кутта. В силу исторических причин, а также благодаря своей простоте и универсальности наиболее широкое распространение в сейсмическом моделировании получили методы первой группы.

Являясь наиболее естественным подходом к математическому моделированию волновых полей, использование конечно-разностных схем потенциально свободно от ограничений на сложность используемых моделей. При этом в результате получаются все типы волн, которые могут образоваться в изучаемой среде при заданной модели распространения.

Заметим, что при использовании конечно-разностных методов следует помнить о таких проблемах, как точность и устойчивость используемой разностной схемы, выполнение законов сохранения, граничные условия, эффекты рассеяния на пространственной сетке и др.

Метод миграции волновых полей

Миграция сейсмических волновых полей — один из эффективных методов, применяемых в настоящее время при обработке данных сейсморазведки. Некоторые из теоретических и методических основ метода миграции были заложены еще в 50-60-х годах прошлого века до превращения сейсморазведки в промышленную технологию [57].

Идея миграционного преобразования записей сейсмических волновых полей впервые была четко сформулирована Ю.В. Тимошиным в 1960 г. Им было введено представление о сейсмическом поле как о суперпозиции дифрагированных волн и о среде как о совокупности точек дифракции, а также даны основы теории дифракционных преобразований [35]. Г.И. Петрашенем и С.А. Нахамкиным введено представление об обращенном продолжении сейсмического поля как об инструменте восстановления поля в среде в момент его возникновения в точках дифракции, обозначена роль фундаментальных законов теории распространения волн как теоретической основы продолжения полей [29].

За рубежом всплеск в развитии теории миграционных преобразований произошел в 70-е годы и был вызван появлением серии основополагающих работ Клаербоута и его коллег из Стэнфордского университета [51, 52, 53]. Спустя некоторое время были представлены методы решения задачи миграции на основе интегральной формулы Кирхгоффа, аналогичные дифракционным преобразованиям [62, 66, 69], в пространстве частота-волновое число [12, 55, 71], а также работы по миграции в обратном времени [44, 48, 49, 63, 74].

Основной задачей миграции является перенесение и фокусирование сейсмической энергии, рассеянной на неоднородностях среды и зарегистрированной на земной поверхности или в скважине, в реальные местоположения рассеивателей, к которым она относится. В результате такой процедуры формируется структурное изображение среды, которое в общем случае динамически должно отражать распределение упруго-плотностных параметров (например, коэффициентов отражения). Метод миграции логически состоит из нескольких этапов. Вначале производится продолжение зарегистрированных приемниками сейсмических полей в геологическую среду, описываемую опорной моделью. Затем к продолженному полю применяется условие отображения, сформулированное Клаербоутом [52]: отражатели находятся в тех точках среды, где пересекаются поля времен падающей и отраженной волн. И, наконец, проводится инверсия полученного изображения среды.

Процедуры миграции волнового поля могут выполняться на основе лучевого подхода, в частотной области либо продолжением сейсмического поля с помощью метода конечных разностей.

Применение лучевого подхода и расчет продолженного поля в частотной области, как и при решении задачи моделирования, накладывают определенные ограничения на сложность опорной модели. Кроме того, при использовании лучевого метода возникают трудности, связанные с необходимостью учета множественных траекторий. С другой стороны, в случае применения конечно-разностного подхода приходится решать типичные для разностных схем проблемы выбора граничных условий, устойчивости, рассеяния на сетке и др.

Для последующей инверсии принципиален вопрос о сохранении динамических характеристик волнового поля в процессе миграции. В этом отношении более предпочтительными являются конечно-разностные методы, так как вся динамика содержится в уравнениях для упругих колебаний, на основе которых и строятся разностные схемы, в то время как корректный учет всех факторов распространения (преломление, рассеяние, обмен, геометрическое расхождение и т.п.) в рамках лучевого приближения требует усложнения вычислений.

По способу экстраполяции волнового поля во внутренние точки среды методы миграции делятся на интегральные, алгоритмы продолжения с поверхности вдоль вертикальной оси, основанные на решении параксиальных аппроксимаций волновых уравнений, и методы продолжения путем решения нестационарных краевых задач распространения колебаний с обратным временем. Наиболее естественным и точным [56] методом экстраполяции сейсмического поля является последний из перечисленных, однако на практике (особенно при миграции данных наземной сейсморазведки) часто используются более простые и экономичные алгоритмы продолжения в нижнее полупространство вдоль оси глубин или интегральные методы. В то же время при обработке данных ВСП в силу специфики геометрии и ограниченности апертуры наблюдений экстраполяция в пространстве вдоль заданной оси теряет смысл, а применение процедур миграции, основанных на продолжении полей с использованием формул Кирхгоффа и Грина, является теоретически некорректным, а практически не всегда адекватным.

Результатом алгоритмов экстраполяции является волновое поле, первоначально заданное в точках приема, а затем продолженное в геологическую среду. Мигрированное волновое поле качественно отражает изучаемый геологический разрез в том смысле, что наибольшее изменение поля соответствует искомым рассеивающим неоднородностям среды, таким как границы слоев, нарушения границ и т. д.

Заключительным этапом процедуры миграции является построение изображения среды, количественно описывающее ее характеристики, то есть, по сути, решение задачи инверсии. Практически все известные подходы в этой области основаны на эвристическом положении, высказанном в первых работах по миграции [52, 19, 20]. Суть его состоит в том, что коэффициент отражения равен отношению амплитуд мигрированного и первично падающего поля. Ясно, что такой подход не применим при инверсии векторных полей упругих смещений для определения векторного коэффициента отражения, то есть коэффициента, соответствующего направлению вдоль нормали к отражающей границе. Кроме того, для получения такого коэффициента является необходимым использование информации обо всех типах волн (т.е. о полном векторе смещений), образующихся в каждой точке среды. Это требование редко выполняется на практике, так как в силу устоявшейся традиции большинство методов миграции базируются на скалярном волновом уравнении. При этом существующие алгоритмы упругой инверсии [65, 73], имеют ряд недостатков, среди которых недостаточная устойчивость, обусловленная объединением процессов миграции и инверсии в одну оптимизационную процедуру, и необходимость серьезных вычислительных затрат для достижения приемлемой точности.

Комплекс вышеизложенных фактов с учетом специфики и преимуществ метода вертикального сейсмического профилирования определяет актуальность разработки алгоритмов инверсии с целью восстановления векторных коэффициентов отражения и для формирования идеологии миграции и построения динамически представительных сейсмических изображений в истинных коэффициентах отражения по данным ВСП.

Цели, задачи, новизна, защищаемые положения

Цель работы

Разработка алгоритмов и программ моделирования и миграции волновых полей ВСП на основе конечно-разностного подхода, инверсии волновых полей для решения задачи восстановления векторного коэффициента отражения для продольных и поперечных волн и построения изображения среды в виде вертикальных профилей с количественной оценкой коэффициентов отражения границ раздела.

Основные задачи исследования

1. Разработка программы расчета сейсмических полей методом конечных разностей

2. Исследование свойств различных типов диссипативных граничных условий в задаче конечно-разностного моделирования сейсмических волновых полей

3. Разработка алгоритма и программы продолжения волнового поля ВСП в обратном времени

4. Разработка алгоритма и программы векторной инверсии волнового поля ВСП

5. Оценка эффективности разработанных алгоритмов и программ на модельных данных

6. Опробование разработанных алгоритмов миграции для обработки реальных данных ВСП

Научная новизна

1. Получено решение задачи продолжения сейсмического поля в оптимизационной постановке

2. Получено решение задачи восстановления векторного коэффициента отражения по данным ВСП (векторная лучевая инверсия)

3. На основе комбинации процедур миграции, селекции и инверсии волнового поля ВСП разработан метод построения сейсмического изображения среды в терминах нормальных коэффициентов отражений

Практическая ценность

1. Реализована программа конечно-разностного моделирования волновых полей

2. Составлен алгоритм и написана программа продолжения волновых полей ВСП в среду на основе конечно-разностного подхода

3. Разработан алгоритм и программа векторной лучевой инверсии данных ВСП

4. Разработана методика построения изображения среды в терминах векторного коэффициента отражения

Защищаемые положения

1. В оптимизационной постановке задачи миграции данных ВСП экстраполированное сейсмическое поле вычисляется методом градиентного спуска, направление которого определяется в результате решения нестационарной краевой задачи распространения упругих колебаний с обратным временем

2. Метод векторной лучевой инверсии на основе информации о векторах смещений всех типов волн позволяет эффективно определять коэффициенты отражения вдоль нормали к границе для продольных и поперечных волн, а также параметры залегания пластов

3. Сейсмическое изображение среды в истинных (по нормали к границе) коэффициентах отражения продольных и поперечных волн может быть построено как результат селекции и последующей векторной инверсии продолженного волнового поля на множестве (вертикальных) профилей, пересекающих исследуемую область

Личный вклад автора

1. Разработка алгоритма экстраполяции волнового поля ВСП на основе решения задачи распространения упругих колебаний методом конечных разностей

2. Разработка алгоритма динамической векторной инверсии данных ВСП

3. Исследование устойчивости и регуляризация процедуры инверсии, выбор оптимальных значений параметров регуляризации

4. Исследование эффективности алгоритмов экстраполяции и инверсии волнового поля ВСП на модельных данных

5. Опробование предложенного метода миграции на реальных материалах ВСП

Заключение диссертации по теме «Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых», Яковлев, Иван Валерьевич

Основные результаты работы:

1. Получено решение задачи продолжения волнового ноля ВСП во внутренние точки среды в оптимизационной постановке. Теоретически обосновано, что экстраполяция сейсмического поля является итерационным процессом спуска, первое приближение которого соответствует решению задачи распространения с обратным временем

2. Разработанные для комплекса обработки геофизических данных Univers программы моделирования и экстраполяции волновых полей на основе метода конечных разностей позволяют эффективно решать задачи распространения упругих колебаний в произвольных сложнопостроенных изотропных средах. Реализованные алгоритмы успешно адаптируются для параллельных вычислений

3. Проведен сравнительный анализ эффективности различных формулировок диссипативных граничных условий для задач распространения упругих колебаний и выбран оптимальный вариан т

4. Показана возможность надежного определения коэффициентов отражения по нормали к границе по наблюдениям ВСП с помощью разработанного метода векторной инверсии. Предложен алгоритм построения сейсмических изображений в истинных коэффициентах отражения на основе экстраполяции и последующей инверсии полей смещений, зарегистрированных в скважине, что обеспечивает повышение геологической эффективности результатов обработки данных ВСП

AAA

Возможные направления дальнейших исследований:

1. Изучение устойчивости алгоритмов к возмущениям опорной скоростной модели среды. Исследование возможности одновременного уточнения модели в процессе миграции.

2. Расширение алгоритма экстраполяции на случай анизотропной среды.

3. Разработка и внедрение в алгоритм экстраполяции-инверсии метода автоматического разделения волнового поля на векторы падающей, отраженных продольной и поперечной и проходящих продольной и поперечной волн.

4. Изучение применимости и возможная модификация алгоритмов для данных, отличных от традиционного В СП: в частности, для наблюдений МОГ и наземной сейсморазведки. *

AAA

Автор выражает благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору МГГРУ А. А. Никитину за внимание, помощь и поддержку, оказанную автору в процессе подготовки данной работы.

Автор выражает признательность и благодарность начальнику отдела ВСП ОАО «ЦГЭ» А. А. Табакову как идейному вдохновителю этой работы, а также доктору физико-математических наук, профессору факультета ВМиК МГУ А.В.Баеву за ценные консультации и помощь в наведении научной строгости.

Заключение

1. Итоги

2. Перспективы

3. Благодарности

•к-к-к

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Яковлев, Иван Валерьевич, 2005 год

1. А.С. Алексеев, В.М. Бабич, Б.Я. Гельчинский. Лучевой метод вычисления интенсивности волновых фронтов. Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л.: Изд-во ЛГУ, 196L 5. С.3-25.

2. В.М. Бабич, П.В. Крауклис, Л.А. Молотков. Асимптотические методы исследования и расчета волновых полей в неоднородных средах. Численные методы в сейсмических исследованиях. Новосибирск: Наука, 1983. С.41-50.

3. А.В. Баев, А.А. Табаков, И.Е. Солтан. Об инверсии и миграции данных ВСП. Материалы научно-практической конференции «Гальперинские чтения-2001». 2001. С. 26-29.

4. А.В. Баев, А.А. Табаков, И.Е. Солтан, И.В. Яковлев. Оценка динамической представительности векторной конечно-разностной миграции данных ВСП. Материалы научно-практической конференции «Гальперинские чтения-2002». 2002. С. 16-1 7.

5. А.В. Баев, И.Е. Солтан, А.А. Табаков, И.В. Яковлев. Векторная миграция сейсмических волновых полей на материалах BCII. Материалы международной конференции «Геофизика XXI века -прорыв в будущее». М., 2003.

6. А.В. Баев, И.Е. Солтан, И.В. Яковлев, А.А. Табаков. Оптимизация граничных условий при моделировании волновых нолей методом конечных разностей. Материалы научно-практической конференции «Гальперинские чтения-2002». 2002. С. 15-16.

7. А.В. Баев, И.В. Яковлев, А.А. Табаков, И.Е. Солтан. Векторная миграция данных ВСП. Технологии сейсморазведки. 2004. I. С. 4-9.

8. К.В. Баранов, B.C. Бикеев, Н.В, Стариков, А.А. Табаков. Результаты применения методик «ЗО+ВСП Локальный проект» и «2D+BC1I

9. Локальный проект» в условиях Западной Сибири. Технологии сейсморазведки. 2004. 1. С. 19-22.

10. Ф.П. Васильев. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980. 520 с.

11. В.М. Вержбицкий. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. М.: Высшая школа, 2000. 266 с.

12. Е. Газдаг, П. Сгуадзеро. Миграционное преобразование сейсмических данных. ТИИЭР. 1974. 72. №10. С. 83-99.

13. Е.И. Гальперин. Вертикальное сейсмическое профилирование. М.: Недра, 1971.

14. Е.И. Гальперин. Вертикальное сейсмическое профилирование: опыт и результаты применения. М: Наука, 1998.

15. Е.И. Гальперин. Поляризационный метод сейсмических исследований. М.: Недра, 1978. 279 с.

16. С.К. Годунов, B.C. Рябенький. Разностные схемы. М.: Наука, 1977, 440с.

17. И.И. Гурвич. Сейсмическая разведка. Изд. 2-е. М: Недра, 1970, 552 с.

18. А.К. Душутин. Технология контроля качества и оперативной обработки записей полевых работ ВСП. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. 2002. МГГРУ.

19. Д.Ф. Клаербоут. Сейсмическое изображение земных недр. М.: Недра, 1989, 407 с.

20. Д.Ф. Клаербоут. Теоретические основы обработки геофизической информации. М.: Недра, 1981. 304 с.

21. В.Н. Кобранова. Физические свойства горных пород. М.: Гостоптехиздат, 1962.

22. Е. А. Козлов. Миграционное преобразование в сейсморазведке. М.: Недра, 1986,247 с.

23. А.В. Копчиков, В.Н. Ференци, А.А. Табаков, А.В. Решетников. Выделение регулярных волн на фоне интенсивных помех методом «Поликор». Материалы научно-практической конференции «Гальперинские чтения-2004». 2004. С. 70-74.

24. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теория упругости. М.: Наука, 1965.

25. С.А. Нахамкин. О новом методе разделения регулярных волн в сейсморазведке. Прикладная геофизика. М.: Недра, 1967. 50. С. 23-44.

26. А.А. Никитин. Теоретические основы обработки геофизической информации. М.: Недра, 1986.

27. Г.И. Петрашень. Элементы динамической теории распространения сейсмических волн. Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л.: Изд-во ЛГУ, 1959. 3. С. 107-161.

28. Г.И. Петрашень. Распространение волн в анизотропных упругих средах. Л.: Наука, 1980. 280 с.

29. Г.И. Петрашень, С.А. Нахамкин. Продолжение волновых полей в задачах сейсморазведки. Л., Наука, 1973.

30. М.Б. Рапопорт. Вычислительная техника в полевой геофизике. М., Недра, 1993. 350 с.

31. И.В. Савин, Г.А. Шехтман. Обратная кинематическая задача ВСП для сред с неплоскими границами раздела. Прикладная геофизика. 1995. 129. С. 34-46.

32. А.А. Самарский. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. 616 с.

33. А.А. Табаков. Оценка геолого-геофизического разреза ниже забоя разведочной скважины по данным ВСП. Труды СреднеазНИИ геологии и минералогии сырья. 1975. 18. С. 69-72.

34. Ю.В. Тимошин. Основы дифракционного преобразования сейсмических записей. М.: Недра, 1972.

35. А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.

36. JT. Хаттон, М. Уэрдингтон, Дж. Мейкин. Обработка сейсмических данных. Теория и практика. М.: Мир, 1989, 216 с.

37. В. Червени. Расчет синтетических сейсмограмм для одномерных и двумерных сред. Численные методы в сейсмических исследованиях. Новосибирск: Наука, 1983. С. 41-50.

38. Р. Шерифф, J1. Гелдарт. Сейсморазведка. М.: Мир, 1987.

39. И.В. Яковлев, А.В. Баев, А.А. Табаков. Конечно-разностная миграция данных ВСП. Материалы VI международной конференции «Новые идеи в науках о Земле». 2003. С. 40.

40. И.В. Яковлев, А.А. Табаков, А.В. Баев, А.Ю. Барков, А.В. Копчиков. Применение преобразования т-p-q для селекции волн по скоростям в данных МОГ. Материалы научно-практической конференции «Гальперинские чтения-2004». 2004. С. 74-77.

41. R.M. Alford, K.R. Kelly, D.M. Boore. Accuracy of finite-difference modeling of the acoustic wave equation. Geophysics. 1974. 39. P. 834-842.

42. Z.S. Alterman, D. Loewenthal. Seismic waves in a quarter and three-quarter plane. Geophys. J. Roy. Astr. Soc. 1970. 20. P. 101-126.

43. E. Baysal, D.D. Kosloff, J.W.C. Sherwood. Reverse time migration. Geophysics. 1983. 48. P. 1514-1524.

44. A.J. Berkhout. Multidimensional linearized inversion and seismic migration. Geophysics. 49. 1984. P. 1881-1895.

45. D.M. Boore. Finite-difference solutions to the equations of elastic wave propagation, with applications to Love waves over dipping interfaces. Ph.D. thesis, M.I.T. 1970.

46. C. Cerjan, D. Kosloff, R. Kosloff, M. Reshef. A nonreflecting boundary condition for discrete acoustic-wave and elastic-wave equations. Geophysics. 1985. 50. P. 705-708.

47. W.F. Chang, G.A. McMechan. Reverse-time migration of offset vertical seismic profiling data using the excitation-time imaging condition. Geophysics. 1986. 51. P. 67-84.

48. W.F. Chang, G.A. McMechan. Elastic reverse-time migration. Geophysics. 1987.52. P. 1365-1375.

49. C.H. Chapman. The computation of synthetic body-wave seismograms. Computing methods in geophysical mechanics. N.Y.: Amer. Soc. Mech. Eng., 1977. P. 43-77.

50. J.F. Claerbout. Coarse grid calculations of waves in inhomogeneous media with application to delineation of complicated seismic structure. Geophysics. 1970. 35. P. 407-418.

51. J.F. Claerbout. Toward a unified theory of reflector mapping. Geophysics. 1971.36. P. 467-481.

52. J.F. Claerbout, S.M. Doherty. Downward continuation of moveout-corrected seismograms. Geophysics. 1972. 37. P. 741-768.

53. R. Clayton, B. Engquist. Absorbing boundary conditions for acoustic and elastic wave equations. Bull. Seis. Soc. Am. 1977. 67. P. 1529-1540.

54. J. Gazdag. Wave equation migration with the phase-shift method. Geophysics. 1978. 43. P. 1342-1351.

55. S.H. Gray, J. Etgen, J. Dellinger, D. Whitmore. Seismic migration problems and solutions. Geophysics. 2001. 66. P. 1622-1640.

56. J.G. Hagedoorn. A process of seismic reflection interpretation. Geophysical Prospecting. 1954. 2. P. 85-127.

57. R.L. Higdon. Absorbing boundary conditions for elastic waves. Geophysics. 1991.56. P. 231-241.

58. P. Hubral. Time migration some ray theoretical aspects. Geophysical Prospecting. 1977. 25. P. 738-745.

59. K.R. Kelly, R.W. Ward, S. Treitel, R.M. Alford. Synthetic seismograms: a finite-difference approach. Geophysics. 1976. 41. P. 2-27.

60. G. Kneib, C. Kerner. Accurate and efficient seismic modeling in random media. Geophysics. 1993. 58. P. 576-588.

61. K. Larner, L. Hatton. Wave equation migration: two approaches. 1976. Offshore Technology Conference OTC-2568.

62. G.A. McMechan. Migration by extrapolation of time-dependent boundary values. Geophysical Prospecting. 1983. 31. P. 413-420.

63. D. Miller, M. Oristaglio, G. Beylkin. A new slant on seismic imaging: migration and integral geometry. Geophysics. 52. 1987. P. 943-964.

64. P. Mora. Nonlinear two-dimensional elastic inversion of multioffset seismic data. Geophysics. 52. 1987. P. 1211 -1228.

65. P. Newman. Amplitude and phase properties of a digital migration process. Materials of 37th Meeting of the EAEG. 1975.

66. A.C. Reynolds. Boundary conditions for the numerical solution of wave propagation problems. Geophysics. 1978. 43. P. 1099-1110.

67. P.C. Richards. Theoretical seismic wave propagation. Rev. Geophys. and Space Phys. 1979. 17. P. 312-327.

68. W.A. Schneider. Integral formulation for migration in two and three dimensions. Geophysics. 1978. 43. P. 49-76.

69. R. Stacey. Improved transparent boundary formulations for the elastic-wave equation. Bull. Seism. Soc. Am. 1988. 78. P. 2089-2097.

70. R.H. Stolt. Migration by Fourier Transform. Geophysics. 1978. 43. P. 23-48.

71. В.В. Tal-Virsky, А.А. Tabakov. High-resolution prediction of acoustic impedances below bottom-of-hole. Geophysical Prospecting. 1983. 31. P. 225-236.

72. A. Tarantola. A strategy for nonlinear elastic inversion of seismic reflection data. Geophysics. 1986. 51. P. 1893-1903.

73. N.D. Whitmore. Iterative depth migration by backward time propagation. SEG 53rd Ann. Internat. Mtg., Exp. Abstr. 1983. P. 382-385.

74. J. Zahradnik, P. O'Leary, J. Sochacki. Finite-difference schemes for elastic waves based on the integration approach. Geophysics. 1994. 59. P. 928-937.

75. J. Zahradnik, E. Priolo. Heterogeneous formulations of elastodynamic equations and finite-difference schemes. Geophysics. 1995. 60. P. 663-676.

76. B. Zhou, S.A. Greenhalgh. Linear and parabolic т-р transforms revisited. Geophysics. 1994. 59. P. 1133-1149.