Применение и развитие феноменологической f-модели турбулентности при расчетах внутренних течений несжимаемой вязкой жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Чистов, Алексей Леонидович

• Чистов, Алексей Леонидович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чистов, Алексей Леонидович

Введение.

Глава 1. Модели течения жидкости.

§1.1. Гидродинамика, ее математический аппарат и методы.

§ 1.2. Проблемы турбулентности и ее современное состояние.

§ 1.3. Модели турбулентности, используемые в прикладных расчетных комплексах.

§ 1.4. Феноменологическая f — модель турбулентности.

§ 1.5. Выводы по Главе 1.

Глава 2. Описание плоского и кругового течений Пуазейля на основе / — модели турбулентности.

§ 2.1. Плоское течение Пуазейля.

§ 2.2. Круговое течение Пуазейля.

§ 2.3. Выводы по Главе 2.

Глава 3. Описание плоских течений Куэтта на основе / - модели турбулентности.

§ 3.1. Плоское безнапорное течение Куэтта.

§ 3.2. Плоское напорное течение Куэтта. Постановка задачи.

§ 3.3. Течения с куэттообразными профилями.

§ 3.4. Течения с пуазейлеобразными профилями.

§ 3.5. Особые случаи.

§ 3.6. Интегрирование задач о внутренних течениях в рамках / — модели.

§ 3.7. Выводы по Главе 3.

Глава 4. Обобщение феноменологической f — модели турбулентности для учёта анизотропии и памяти турбулентного потока.

§ 4.1. Деформационная анизотропия турбулентных потоков.

§ 4.2. Опыт описания нелинейности, анизотропии и памяти в других ветвях механики сплошных сред.

§ 4.3. Дифференциальная феноменологическая / - модель турбулентности.

§ 4.4. Анализ дифференциального определяющего соотношения.

§ 4.5. Расчёт пульсационных характеристик для течения в плоском канале при больших числах Рейнольдса.

§ 4.6. Выводы по Главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение и развитие феноменологической f-модели турбулентности при расчетах внутренних течений несжимаемой вязкой жидкости»

В современной гидродинамике ламинарный и турбулентный режимы течения жидкости изучаются раздельно. Результатом такого подхода стало возникновение обособленных и различных по содержанию теорий двух режимов течения, в рамках которых записываются свои реологические соотношения, что в свою очередь порождает разные аналитические выражения для профилей скорости, коэффициентов сопротивления и других гидродинамических характеристик [1-4]. В сложившейся ситуации рассмотрение последовательного преобразования ламинарного потока в турбулентный является нетривиальной задачей.

Каждому типу геометрии течения соответствует своё критическое число Рейнольдса перехода от ламинарного режима к турбулентному для круглых труб и 2300), которое является определяющим фактором при выборе математической модели течения жидкости. Однако в ряде случаев, например, если течение мало исследовано экспериментально (такая ситуация возникает при создании новой техники), указать Яекр весьма проблематично, что не позволяет с уверенностью сказать какую модель течения необходимо использовать. Проблема выбора может быть обусловлена ещё и тем, что при обтекании тел не всегда известно заранее какой режим течения — ламинарный или турбулентный — реализуется на том, или ином участке поверхности. Использование же математической модели течения, несоответствующей режиму движения жидкости, весьма критически сказывается на достоверности результатов расчётов.

Описание турбулентных течений, ввиду сложности явления, представляет крайне сложную задачу. В теории турбулентности развивается несколько существенно отличающихся направлений, однако наибольшие успехи связаны с феноменологическим подходом [6]. В нём возникает проблема замыкания системы уравнений движения жидкости, которая решается посредством записи дополнительных реологических соотношений, содержащих эмпирические параметры. На данный момент времени существует целый перечень уже апробированных моделей турбулентности, в то же время интенсивно ведутся работы по созданию новых. Это связано с развитием вычислительной гидродинамики (Computational Fluid Dynamics, CFD), которая за последние десятилетия проделала путь, сопоставимый со столетиями для классической гидродинамики. Практическое применение моделей турбулентности значительно упрощается посредством использования специальных вычислительных комплексов, содержащих широкий перечень математических моделей, описывающих течения жидкости и предназначенных для инженерных расчётов разнообразных течений жидкости [103]. Однако при рассмотрении конкретных турбулентных течений каждый раз возникает дополнительная проблема -проблемы выбора модели турбулентности, которая обусловлена тем, что каждая модель, как правило, ориентирована на некоторый класс течений, применительно к которому её использование особенно эффективно. Здесь стоит также отметить, что содержащиеся в модели эмпирические константы, с целью наилучшего описания конкретного течения, могут быть подвержены ревизии. На выбор модели турбулентности могут оказывать влияние и другие параметры, в частности, требуемая точность и располагаемые вычислительные ресурсы [141]. Очевидно, что выбор модели турбулентности, её возможная адаптация к рассматриваемому течению и оценка получаемых результатов требует определенной квалификации исследователя.

Существующие модели турбулентности, к сожалению, нельзя считать универсальными, поскольку их применение к различным классам турбулентных течений, не позволяет получать результаты одинаково высокой степени точности и достоверности. Это означает, что научные исследования в области гидродинамики турбулентных течений, в том числе и в рамках феноменологического подхода всё ещё не закончены.

Проблема описания турбулентности является сложной и многоплановой, и до настоящего времени окончательно не решена в рамках какого-либо одного подхода. В то же время рассмотрение её с различных точек зрения, использование различных методов исследований позволяет надеяться на существенное продвижение. На основании этого может быть полезным новый подход к описанию течений вязкой жидкости, основанный на использовании такого реологического соотношения, которое независимо от режима течения, и удовлетворительно, в согласии с опытом, описывает поле осреднённых скоростей и трение на стенках для каждого конкретного числа Рейнольдса.

Здесь следует отметить, что в настоящее время различными авторами предпринимаются попытки разработать подобную модель. В этом плане характерны работы В. С. Мингалева с сотрудниками [37], в которых используются наборы специальных параметров и функций.

Достичь этой цели можно также и на чисто феноменологическом уровне, анализируя обширные экспериментальные данные по течениям вязкой жидкости, прежде всего в турбулентном режиме, поскольку для ламинарного режима течения теория и опыт блестяще согласуются. Основы такой феноменологической модели, являющейся в некотором смысле чисто феноменологической альтернативой гипотезе длины пути перемешивания Л. Прандтля, содержатся в работе В. А. Павловского [38]. В фундамент настоящего исследования положена именно эта феноменологическая теория для течения вязкой жидкости. В дальнейшем, для краткости, указанную модель течения будем называть / - моделью турбулентности. Теория нуждается в дальнейшем развитии и распространении ее на различные случаи течений, что позволит строить достаточно простые инженерные методики расчетов течений жидкости при произвольных числах Рейнольдса. На основе расчётов течения по этой модели можно выполнить предварительную оценку гидродинамических характеристик потока и затем, если требуется уточнение расчётов, выбрать из существующих моделей турбулентности наиболее подходящую. В работе последовательно изложено развитие / - модели, предложенной с целью наилучшего описания гидродинамических характеристик при любом режиме течения вязкой несжимаемой жидкости.

Для исследования работоспособности f — модели и её развития в работе были выбраны внутренние течения. Особое место здесь занимает напорное течение Куэтта, поскольку оно до настоящего времени вызывает большой исследовательский интерес [6, 51, 53-59] ввиду его широкого применения в технических приложениях.

Предметом исследования является / — модель турбулентности. Применительно к простым сдвиговым течениям эта модель позволяет получать методами интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений решения в квадратурах. Содержащаяся в / — модели эмпирическая функция может быть модифицирована с целью лучшего согласования с экспериментом, особенно в зоне перехода от ламинарного режима к турбулентному. Ревизия эмпирической функции может исключить возможность получения решения в квадратурах, поэтому полезно реализовать процедуру численного решения задач о внутренних течениях в рамках рассматриваемой модели, что также является предметом исследования. Для верификации / - модели результаты расчётов требуется сравнить с данными, полученными экспериментально и по методикам расчётов других авторов.

Цели и задачи исследования

• Применение / — модели турбулентности для расчёта внутренних течений

• Получение аналитического решения задачи о плоском напорном течении Куэтта при произвольных числах Рейнольдса

• Разработка и верификация процедуры численного решения задачи о плоском напорном течении Куэтта в рамках используемой модели

• Сопоставление полученных результатов с расчётами по другим методикам и имеющимся экспериментальными данными

• Обобщение / — модели турбулентности для учета анизотропии и памяти течения

• Расчёт осреднённых и пульсационных характеристик течения на основе обобщенной модели

Методы исследования. В диссертации использованы теоретические методы исследования — методы механики сплошных сред, гидродинамики, аналитические методы и численные методы решения краевых задач, в том числе методы решения нелинейных уравнений.

Достоверность основных полученных результатов базируется на корректном использовании методов и аппарата механики сплошных сред, гидромеханики, математического анализа и численных методов. Характеристики течений, рассчитанные по представленным расчётным методикам, сравниваются с известными экспериментальными данными и результатами других авторов.

Научная новизна результатов диссертации состоят в следующем:

• Расчеты внутренних течений выполнены на основе / — модели турбулентности

• В рамках / - модели турбулентности решена задача о плоском напорном течении Куэтта в широком диапазоне чисел Рейнольдса

• Рассматриваемая / — модель турбулентности обобщена на случай учета анизотропии и памяти турбулентного потока

• На основе обобщённой модели рассчитаны пульсационные характеристики турбулентного течения в плоском канале.

Результаты, выносимые на защиту:

• Результаты применения / — модели турбулентности для расчёта внутренних течений

• Решение задачи о напорном течении Куэтта при произвольных числах Рейнольдса

• Развитие / - модели турбулентности с целью учета анизотропии и памяти турбулентного потока

• Расчёт пульсационных характеристик турбулентного течения в плоском канале в рамках обобщённой феноменологической модели

Практическая значимость. Результаты, полученные в работе, развивают теорию течений вязкой жидкости и могут быть использованы для расчета внутренних течений жидкости в широком диапазоне чисел Рейнольдса. При этом проблема выбора математической модели течения, соответствующей ламинарному либо турбулентному режимам течения решается в рамках / — модели автоматически и не требует дополнительных усилий со стороны исследователя. Данное свойство позволяет в первом приближении рассчитывать течения независимо от режима движения жидкости, что особенно ценно при неизвестных критериях переходного режима. На основе результатов расчётов может быть сделан вывод о режиме течения жидкости, затем, с целью повышения точности, могут быть использованы другие, отличные от / - модели, методы решения соответствующие тому или другому режиму.

Разрабатываемая / - модель в перспективе может быть включена в расчётные комплексы, предназначенные для численного интегрирования уравнений движения жидкости.

Результаты работы могут быть использованы в энергетической и транспортной отраслях промышленности.

Апробация результатов исследования. Основные результаты исследований по теме диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры, а также на международной научной конференции студентов и аспирантов «Процессы управления и устойчивость» на факультете ПМ-ПУ СПбГУ в 2007 году, XVI

Республиканской научной конференции аспирантов, магистрантов и студентов «Физика конденсированного состояния» в ГГУ им. Янки Купалы в 2008 году; международной научной конференции по механике «Пятые поляховские чтения» в 2009 году.

Сведения о публикациях. Основные результаты диссертационной работы отражены в 5 публикациях [161]-[165]. В совместной работе [162] соавтору В. А. Павловскому принадлежит постановка задачи, диссертанту — аналитические выкладки, в работе [164] соавтору Д. В. Никущенко — постановка задачи и реализация расчетов, диссертанту — участие в теоретической модификации алгоритма, в [165] соавтору В. А. Павловскому - постановка задачи и анализ результатов, диссертанту — теоретические выкладки и реализация численных расчетов.

Статьи [163]-[164] опубликованы в изданиях, входящем в перечень

ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 145 страницах, содержит 39 рисунков, 4 таблицы. Список литературы содержит 165 наименований.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Чистов, Алексей Леонидович

Заключение

В диссертации применена и развита феноменологическая / - модель турбулентности. Проведена апробация модели для простых сдвиговых течений несжимаемой вязкой жидкости, на ее основе решена задача о плоском напорном течении Куэтта. Получены решения в квадратурах, дающие при малых числах Рейнольдса предельный переход к известным формулам для ламинарного режима течения. С целью учета анизотропии и памяти турбулентного потока выполнено обобщение модели, в результате которого алгебраическое определяющее соотношение . заменено дифференциальным. На основе модифицированной f — модели турбулентности выполнен расчет осредненных и пульсационных характеристик течения в плоском канале, выполнено их сравнение с опытными данными. Основные выводы проведенного анализа заключаются в следующем:

1. Для рассмотренных задач / - модель турбулентности позволяет ^ получать решения в квадратурах в широком диапазоне чисел Рейнольдса, включающем как ламинарный, так и турбулентный режимы течения. Эти решения удовлетворительно согласуются с опытными данными, как по профилям скоростей, так и по сопротивлениям, за исключением сравнительно узкой переходной зоны от ламинарного режима течения к турбулентному

2. При больших числах Рейнольдса, для турбулентного режима течения, модель приводит к логарифмическим профилям скорости, включающим в себя также вязкий подслой, буферную зону и зону внешнего течения

3. Особенностью / — модели турбулентности является её однослойность. Феноменологических констант в ней всего две, и они являются универсальными

4. Для турбулентного режима / — модель демонстрирует удовлетворительное качество согласования расчётов с экспериментальными данными и результатами, полученными в рамках других подходов к расчёту4 турбулентных течений (DNS, применение k-s, к —со моделей турбулентности)

5. Качество описания ламинарно-турбулентного перехода (ЛТП) может быть улучшено за счет ревизии функции Ч7 и введения в рассмотрение дополнительных эмпирических констант. Данная модификация может исключить возможность получения решения в квадратурах, в результате чего возникает необходимость использования численных методов, поэтому была реализована процедура численного интегрирования, а также выполнена ее верификация. Указанная процедура может быть использована для дальнейшего совершенствования модели (улучшение качества описания ЛТП), а также при рассмотрении других типов задач, для которых отсутствует возможность получения решений в квадратурах.

6. Применение обобщенной / - модели турбулентности, использующей дифференциальное определяющее соотношение, для расчета осредненных и пульсационных характеристик простых сдвиговых течений приводит к двум алгебраическим соотношением. Первое, из которых представляет собой алгебраическое определяющее соотношение исходной / - модели и позволяет определить профили осредненных скоростей, касательных напряжений и коэффициент сопротивления, что иллюстрируют вторая и третья главы работы. Второе соотношение, при использовании уже рассчитанных касательных напряжений, дает возможность выполнить расчет нормальных напряжений.

7. Сравнение результатов расчета пульсационных характеристик для течения в плоском канале с опытными данными позволяют говорить об удовлетворительном согласовании

В целом, можно сказать, что модель показала свою работоспособность. Также стоит отметить и то обстоятельство, что она может быть успешно

129 применена и для расчета более сложных гидродинамических задач, что и было сделано, например, в работе, посвященной расчету гидродинамических характеристик систем крыльев относительно большой толщины.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чистов, Алексей Леонидович, 2011 год

1. Кочин H. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика, ч. 1. II. М.: Физматгиз, 1963. - 584, 728с.

2. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа: Учеб. для вузов. 7-е изд., испр. - М.: Дрофа, 2003. - 840с.

3. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука. 1974. 712с.

4. Ламб Г. Гидромеханика. М-Л.: ОГИЗ Гостехиздат. 1947. - 900с.

5. Лойцянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой. М.: Физматгиз, 1962.-479с.

6. Новожилов В. В., Павловский В. А. Установившиеся турбулентные течения несжимаемой жидкости: Монография. СПб.: Изд. центр СПбГМТУ, 1998. 484с.

7. Павловский В. А. Краткий курс механики сплошных сред. СПб.: изд. СРбГТУ РП. 1993. 209с.

8. Белов И. А., Кудрявцев H.A. Теплоотдача и сопротивление пакетов труб. Л.: Энергоатомиздат. 1987. — 223с.

9. Короткин А. И., Роговой Ю. А. Метод расчета продольных средних скоростей в пристенных турбулентных течениях несжимаемой жидкости. СПб.: Мор Вест, 2009. — 121с.

10. Бабкин А. В., Селиванов В. В. Основы механики сплошных сред: Учебник для втузов. 2-е изд., испр. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. - 376с.

11. Белов И. А., Исаев С. А., Коробков В. А. Задачи и методы расчета отрывных течений несжимаемой жидкости. — Л.: Судостроение, 1989.-256с.

12. Белов И. А., Исаев С. А. Моделирование турбулентных течений, 1998.- 106с.

13. Reynolds О. On the dynamical theory of turbulent incompressible viscous fluids and the determination of the criterion // Phil. Trans Royal Soc.-1894.-Vol. 186-pp. 123-161.

14. Хинце И. О. Турбулентность, ее механизм и теория. М.: Физматгиз, 1963. 630с.

15. Смольяков А. В., Ткаченко В. М. Измерение турбулентных пульсаций. Л. : Энергия, 1980.

16. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика, ч. I. СПб.: Гидрометеоиздат, 1992 — 693с.

17. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика, ч. II. М.: Наука, 1967-720с.

18. Турбулентность. Принципы и применения./Сборник статей/Под ред. У. Фроста, Т. Моулдена./пер. с англ. М.: Мир, 1980.

19. Методы расчёта турбулентных течений./Сборник статей/Под ред. В. Кольмана./пер. с англ. М.: Мир. 1984.

20. Рождественский Б. JL, Симакин И. Н. Двух- и трёхмерные вторичные течения в плоском канале, анализ и сравнение с турбулентными потоками/ДАН СССР. 1983. т.273. № 3. с. 553-558.

21. Струминский В. В. Основные направления теоретических исследований проблемы турбулентности//Механика турбулентных потоков. М.: Наука. 1980. с. 28-43.

22. Boussinesq J Théorie de l'Écoulement Tourbillant//Mem. Présentés par Divers Savants Acad. Sci. Inst. Fr., Vol. 23, p. 46-50.

23. Прандтль Л. Новые результаты в исследовании турбулентности. M.-JL: ОНТИ. 1936.

24. Карман Т. Некоторые вопросы теории турбулентности//Сб. переводов. Проблемы турбулентности. М.: ОНТИ. НКТП СССР, 1936.

25. Кутателадзе С. С. Основы теории теплообмена. М.: Атомиздат. 1979.-416с.

26. Колмогоров А. Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости //Изв. АН СССР. Сер. Физ. 1942. Т.6. № 12. с. 56-58.

27. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса//Докл. АН СССР. 1941. Т. 30. №4. с. 299-303.

28. Рота И. К. Турбулентный пограничный слой в несжимаемой жидкости. Л.: Судостроение. 1957.

29. Глушко Г. С. Некоторые особенности турбулентных течений несжимаемой жидкости с поперечным сдвигом//Изв. АН СССР. Сер. Механика жидкости и газа. 1971. №4 с. 128-136.

30. Секундов А. Н. Применение дифференциальных уравнений для турбулентной вязкости к анализу плоских неавтомодельных течений // Изв. АН СССР. Сер. Механика жидкости и газа. 1971. №5 с. 114-127.

31. Коловандин Б. А. Моделирование теплопереноса при неоднородной турбулентности. Минск: Наука и техника. 1980. -184 с.

32. Ле Ким Тхань. Анализ возможности обобщения теорий турбулентности Прандтля и Кармана. Деп. в ВИНИТИ, № 156-В95 от 18.01.1995.23 с.

33. Новожилов В. В. Теория плоского турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости. Л.: Судостроение. 1977. 165с.

34. Павловский В. А. О расчёте пульсационных характеристик турбулентных потоков. Журнал прикл. мех. и технич. физики. 1988. №3. с. 114-122.

35. Павловский В. А. Различные формы трансформаций уравнений Навье-Стокса//Проблемы экономии топливно-энергетических ресурсов на промпредприятиях и ТЭС: Межвуз. сб. науч. трудов/ГОУВПО СПбГТУ РП. 2007. с.5-11.

36. Helsten A. Some improvements in Menter's к —со SST turbulence model. Tech, rep., American Institute of Aeronautics and Astronautics (1998). AIAA-98-2554.

37. Мингалев И. В., Мингалев О. В., Мингалев В. С. Обобщенная ньютоновская реологическая модель для ламинарных и турбулентных течений//Математическое моделирование т.11. №11. 1999. с.39-63.

38. Павловский В. А. Об одной феноменологической альтернативе гипотезе длины пути перемешивания/УМодели механики сплошной среды. Сб. Физическая механика. Вып. 7/Под ред. Б. В. Филиппова. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1998. с.21-35.

39. Павловский В. А. Приложения единой феноменологической ламинарно-турбулентной модели для расчёта неизотермических течений жидкости в трубах/ЯСораблестроительное образование и наука. Материалы региональной НТК/СПб ГМТУ. СПб. 2003. с. 33-37.

40. Галин Н. М., Кириллов П. Л. Тепломассообмен (в ядерной энергетике): Учебное пособие для вузов. М.: Энергоатомиздат, 1987.-375с.

41. Конт-Белло Ж. Турбулентное течение в канале с параллельными стенками. М.: Мир, 1968. 175с.

42. Миллионщиков М. Д. Турбулентные течения в пограничном слое и трубах. М.: Наука, 1969. 52с.

43. Миллионщиков М. Д. О турбулентном тепло- и массообмене // Атомная энергия. 1970. т.29.вып.6, с.411-416.

44. Никурадзе И. Закономерности турбулентного движения жидкости в гладких трубах./Шроблемы турбулентности/под ред. М. А. Великанова, Н. Т. Швейковского. M.-JL: ОНТИ, 1936. с. 75-150.

45. Reichardt Н. Über die Geschwindigkeitsverteilung in einer geradigen turbulenten Couetteströmung//Zeit. Angew. Math. Mech. Sonderheft, 1956. vol. 36. p. 26-29.

46. Coutte M. Etudes sur le frottement des liquids//Ann. De chemie et de physique, 1896. ser.6, Vol. 21. p. 433-510

47. Robertson J.M., Johnson H. F. Turbulence Structure in plane Couette flow//ASME J. Eng. Mech. Div. 1970. Vol. 96. p. 1171-1182.

48. Aydin E. M., Leutheusser H. J. Experimental investigation of turbulent plane Coette flow//ASME Forum on Turbulent Flows FED. 1987. Vol.51.

49. Thurlow E. M., Klewicki J. C. Experimental study of turbulent Poiseuille-Coette flow//Physics of fluids v. 12. №4. apr. 2000. p.865-875.

50. Bech К. H., Tillmark N., Alfredsson P. H., Andersson H. I. An investigation of turbulent plane Couette flow at low Reynolds numbers //J. Fluid Mech., Mar 10, 1995. p. 286, 291-325.

51. Tognola S. Berechnung der turbulenten Strömung im Spalt mit bewegter Wand//escher wyss mitteilungen 1/2 1980. p. 26-32.

52. Виленский В .Д., Смирнов В.П. Турбулентное течение Куэтта // Атомная энергия. 1965. №18, вып. 5. с. 508-509.

53. Шваб А. В., Шваб В. А. Обобщенное течение Куэтта//Вопросы гидромеханики и тепломассообмена. Сб. науч. Тр./ТГУ. Томск. 1979. с. 112-117.

54. Новожилов В. В., Павловский В. А. Напорное плоское турбулентное течение Куэтта несжимаемой жидкости в светеобобщенной теории Кармана//ДАН СССР. 1985. т.283б № 5, с. 1131-1134.

55. El Telbany М.М., Reynolds A.J. Turbulence in plane channel flows//J. fluid mechanics. 1981. Vol.111, p.283-318.

56. Xo M., Вор Д. Применение энергетической модели турбулентности для расчёта течений смазки//Проблемы трения и смазки. 1974, № 1, с. 105-113.

57. Лаундер Б., Лешцинер М. Течение в упорных подшипниках конечной ширины с учётом влияния сил инерции. Турбулентное течение//Проблемы трения и смазки. 1976. №3, с. 30-37.

58. Кацман Ф. М., Пустошный А. Ф., Штумпф В. М. Пропульсивные качества морских судов. Л.: Изд. Судостроение. 1972. 320 с.

59. Cheng А.С., Thorpe J.F. An experiment numerical study of the combinated Couette and Poiseille flow//Develop. Of the Theor. And Appl. Mech. 1978. Vol. 9,p.l03-lll.

60. Павловский В. А. Расчёт кругового течения Пуазейля для произвольных чисел Рейнольдса/ЛТроблемы экономии топливно-энергетических ресурсов на промпредприятиях и ТЭС: Межвуз. Сборник науч. тр. (под ред. Р. С. тюльпанова)/СПбГТУ РП, 1999, с. 121-126.

61. Theodorsen Т., Regier A. Experiments on drag of resolving disks, cylinders and streamline rods of high speeds//NASA Rep. 793. 1944. p.367-382.

62. Nikuradze J. Stromungsgesetze in rauchen Rohren//forsh. Arb. Ing. Wes. 1933. №391.

63. Павловский В. А. Расчёты установившихся турбулентных течений вблизи шероховатых поверхностей в свете обобщённой теории кармана//Вопросы судостроения. Серия «проектирование судов», вып. 42. 1985. с.132-140.

64. Брайтон Д., Джонс П. Полностью развитый турбулентный поток в каналах кольцевого сечения//Теоретические основы инженерных расчётов. 1964. № 4, с.240-242.

65. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. Пер. с англ. М.: Мир, 1988. 352с.

66. Федяевский К. К., Гиневский А. С., Колесников А. В. Расчёт турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости. JL: Судостроение. 1973. 256с.

67. Шерстюк А. Н. Турбулентный пограничный слой. М.: Энергия. 1974.-272с.

68. Ротта И. К. Турбулентный пограничный слой в несжимаемой жидкости. Л.: Судостроение. 1967. — 232с.

69. Петухов Б. С. Вопросы теории теплообмена (избранные труды). М.: Наука. 1987.

70. Михеев М. А. Основы теплопередачи. М.: ГЭИ. 1956.

71. Nusselt W. Wameubergang in Rorbeitungen//Mitt. Forsch. Arb. Ing. Wess. 1910. № 89, p.1-38.

72. Таранов Г. С. О турбулентном числе Прандтля//ДАН СССР. 1968. т.183. № 5, с.1032-1034.

73. Тоунес, Гоу, Пау, Вебер. Турбулентный поток в гладких и шероховатых трубах//Труды амер. о-ва инж-мех. Теоретические основы инженерных расчётов. М.: Мир, 1972. №2, с. 108-119.

74. Эккерт Э. Р., Дрейк Р. М. Теория тепло- и массообмена. M.-JI. Госэнергоиздат, 1961.

75. Жукаускас А. А. Конвективный перенос в теплообменниках. М.: Наука, 1982.-472с.

76. Волков П. М., Иванова А. В. Изучение локальных и средних коэффициентов теплоотдачи длинных круглых труб//Теплообмен и гидродинамика в элементах энергооборудования. Труды ЦКТИ, вып.73. Л.: 1966. с. 16-26.

77. Яковлев В. В. Местная и средняя теплоотдача при турбулентном течении некипящей воды в трубе и при высоких тепловых нагрузках//Атом. энергия, 1960. т.8, №3, с.250-252.

78. Malina J.A., Sparrow Е.М. Variable property, constant property, and entrance region heat transfer result for turbulent flow of water and oil in a circular tube//Chem. Eng. Sei. 1964. Vol.19, p.953-962.

79. Hamilton R. H. Solid-liquid mass transfer in turbulent pipe flow//PhD. Thesis. Cornell univ., 1963.

80. Петухов Б. С., Генин JI. Г., Ковалев С. А., Соловьев С. Л. Теплообмен в ядерных энергетических установках. Учебное пособие для вузов. М.: МЭИ, 2003. с. 302-389.

81. Ибрагимов М. X., Субботин В. И., Таранов Г. С. Пульсации скорости, температуры и их корреляционные связи при турбулентном течении воздуха в трубе//ИФЖ. 1970. т. 19, №6, с. 1060-1069.

82. Бобылев Д. Об успехах теории движения жидкостей за последние трдцать лет. СПб.: Типография Ю. Н.Эрлиха 1987.

83. Современная гидродинамика, успехи и проблемы / Под. Ред.Дж. Бэтчелора и Г. Моффата. М.: Мир, 1984.

84. Reichardt Н. Die Grundlfgen des turbulenten Warmeubergangs//Arch. Ges. Warmetechn. 1951. N6/7, p.129-142.

85. Reichardt H. Vollstfmdige Darsteltung der turbutenten Geschwindigkeitsverteilung in glatten Leitungen, Z. Angew. Math. Mech. 1951. 31, p. 208-219.

86. Reichardt H. Gesetzmässigkeiten der geradlinigen turbulenten Couette-Strömung Mitt. № 22 des Max-Planck-Inst. für Strömungsforschungund der AVA Göttingen. 1959.

87. Laufer J., Natl. Advisory Comm Aeronaut. Tech. Notes, № 2123, 1950.

88. Трёхмерные турбулентные пограничные слои: пер. с англ./Под. ред. X. Фернхольца, Е. Краузе. М.:Мир, 1985.

89. Кутателадзе С. С. Пристенная турбулентность. Новосибирск: Наука. 1973.-228с.

90. Deissler R. G. Heat transfer and fluid friction for fully developed turbulent flow of air and supercritical water with variable properties//Trans. ASME, 1954. Vol.76, №1, p.73-86.

91. Ибрагимов M. X. Структура турбулентного потока. M.: Наука. 1976.

92. Дорощук В. Е., Фрид Ф. И. Теплообмен при высоких тепловых нагрузках и других специальных условиях. М.: Госэнергоиздат. 1959.

93. Tyldessley J. R., Silvu R. S. Heat transfer.//Intern. J. Heat Mass Transfer. 1968. Vol.11. №9, p. 1325.

94. Кириллов П. Л. Обобщение опытных данных по переносу тепла в жидких металлах//Атом. энергия. 1962. т.13. №5, с.481-484.

95. Себеси Т., Брэдшоу П. Конвективный теплообмен. М.: Мир. 1987. -592с.

96. Шестов К. В. Оптимизация численных процедур при расчёте течений вязкой жидкости//Проблемы экономии экономиитопливно-энергетических ресурсов на промпредприятиях и ТЭС. Межвуз. сб. науч. тр.//СПб ГТУ РП. СПб. 2005. с.48-51.

97. Navier C.L.M.H. Memoire sur les lois du mouvement des fluids//Mem.Acad.Roy.Sci. 1823. v.6, p.389-440.

98. Пантакар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. 152 с.

99. FLUENT 6.3 User's Guide Inc., 2005.

100. Temam R. Navier-Stokes Equations. Oxford.: Elsevier Science Publishers В. V., 1984. 526 p.

101. Best Practice Guidelines for Marine Applications of Computational Fluid Dynamics, prepared by WS Atkins, Consultants and members of the NSC.

102. Launder В. E., Spalding D. B. Mathematical Models of Turbulence. New York.: Academic Press, 1972. 169 p.

103. Prandtl L. Bericht Über Untersuchungen zur ausgebideten Turbulenz//ZAMM. 1925. V/5, p.136-139.

104. Stanisic M. M. The Mathematical Theory of Turbulence. Berlin.: Springer-Verlag, 1988. - 501p.

105. Брэдшоу П. Введение в турбулентность и ее измерение. М.: Мир, 1974.-278с.

106. Фриш У. Турбулентность. Наследие А. Н. Колмогорова. М.: ФАЗИС, 1998.-346с.

107. Wilcox D. С. Turbulence Modeling for CFD. La Canada, California.: DWC Industries Inc., 1998. 540p.

108. Chorin A. J. New perspectives in turbulence//Quarterly of Applied Mathematics. 1998. v.56. №4, p.767-785.

109. Grötzbach G., Worner M. Direct numerical and large eddy simulations in nuclear applications//Int. J. Heat and Fluid Flow. 1999. Vol.20, p.222-240.

110. Шуман У., Гретцбах Г., Кляйзер JI. Прямые методы моделирования турбулентных течений//Методы расчета турбулентных течений/Под. Ред. В. Кольмана. М.: Мир, 1984. -103 с.

111. Белоцерковский О. М., Опарин А. М., Чечеткин В. М. Турбулентность: новые подходы. М.: Наука, 2002. — 286 с.

112. Piomelli U. Large Eddy simulation of turbulent flows//Advances in Turbulence Modeling. Lecture Series 1998-05 1998. p. 1-54.

113. Fureby G., Tubor G., Weller H. G., Gasman A. D. Large Eddy Simulations of the Flow Around a Square Prism//AIAA J.2000.Vol.38. №3, p.442-452.

114. Ferziger J. H., Peric M. Computational Methods for Fluid Dynamics: Springer-Verlag, 2002. 423p.

115. Dol H. S., Hanjalic K., Versteegh T. A. A DNS-based thermal second-moment closure for buoyant convection at vertical walls//J. Fluid. Mech. 1999. Vol.39 l,p.211-247.

116. Hanjalic K. One-point closure models for buoyancy-driven turbulent flows//Annu. Rev. Fluid Mech. 2002.Vol.34. p.321-347.

117. Роди В. Модели турбулентности окружающей среды//Методы расчета турбулентных течений/Под. ред. К. М.: Мир, 1984. 227 с.

118. Hanjalic К., Launder В. Е. Fully developed asymmetric flow in a plane channel//J. Fl. Mech. 1972. v.51. p.301-335.

119. Spalart P. R., Almaras S. R., A one-equation turbulence model for aerodynamic flows//La Rech. Aerospatiale. 1994.Vol.l, p.5-21.

120. Bardina J. E., Huang P. G., Coakley T. J. Turbulence modeling validation, testing and development//NASA Technical Memorandum 110446. 1997. p.1-98.

121. Mathieu J., Scott J. An introduction to Turbulent Flow: Cambridge Univ. Press. 2000. 374p.

122. Launder B.E., Spalding D.B. The Numerical Computation of Turbulent Flows // Сотр. Meth. Appl. Mech. Eng. 1974. - Vol. 3. - P. 269-289.

123. Yakhot V., Orzag S. A. Renormalization Group Analysis of Turbulence I Basic Theory//Journal of scientific Computing. 989. Vol.l.№l, p.l-51.

124. Shih T. H., Liou W. W., Shabbir A., Zhu J. A New k-e Eddy Viscosity Model for High Reynolds Number Turbulent Flows Model Development and Validation//Computers Fluids. 1995. Vol. 24. №3, p.227-238.

125. Menter F. R. Zonal two equation k-o turbulence models for aerodynamic flows//AIAA Paper. 1993. №93-2906, 21p.

126. Menter F. R. Two-Equation Eddy-Viscosity Turbulence Models for Engineering Applications // AIAA J. 1994. Vol.32.№8, p.1598-1605.

127. Menter F. R., Kuntz M., Langtry R. Ten Years of Industrial Experience with the S ST Turbulence Model//Turbulence, Heat and Mass Transfer. 2003. Vol.4.

128. Kim S.-E., Rhee S.H. Assessment of Eight Turbulence Models for a Three-Dimensional Boundary Layer Involving Crossflow and Streamwise Vortices. Fluent Technical Notes, TNI65. 2002. 25p.

129. Gibson M.M., Launder В. E., Ground Effects on Pressure Fluctuations in the Atmospheric Boundary Layer//J. Fluid Mech. 1978. Vol.86, p.491-511.

130. Speziale C. G., Sarkar S., Gatski T. B. Modeling the Pressure-Strain Correlation of Turbulence//J. Fluid Mech. Vol.227, p.245-272.

131. Бахвалов H. С., Жидков H. П., Кобельков Г. М. Численные методы: Учеб. пособие для вузов/МГУ им. М. В. Ломоносова. 4-е изд. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — 636с.

132. Самарский А. А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987. — 286с.

133. Калиткин H. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512с.

134. Андерсен Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. М.: Мир, 1990. т. 1,2. 726с.

135. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. — 616с.

136. Флетчер К. Вычислительные методы в механике жидкости. В 2-х томах /под ред. Шидловского. М.: Мир, 1991. 504, 552с.

137. Никущенко Д. В., Рогожина Е. А. Применение пакета Fluent® для нахождения суммарных и распределенных гидродинамических характеристик сложных крыльев систем. СПб.:2004.

138. Никущенко Д. В. Исследование течений вязкой несжимаемой жидкости на основе расчетного комплекса FLUENT®. Учеб. Пособие. СПб.: Изд. СПбГМТУ, 2006. 92с.

139. Седов Л. И. Механика сплошной среды. T.I, И. М.: «Лань», 2004. -528, 560с.

140. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990. -310с.

141. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.:Мир, 1975. 592с.

142. Фомин В. Л. Механика континуума для инженеров. Л.: Изд-во ЛГУ, 1975.- 116с.

143. Павловский В. А. Реологические модели механики сплошных сред: Учеб. пособие. Л.: ЛКИ, 1983.

144. Астарита Д., Маруччи Д. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. М.: Мир, 1978. -312с.

145. Новожилов В. В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. — 370с.

146. Ильюшин А. А. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948. — 376с.

147. Коларов Д., Балтов А., Бончева Н. Механика пластических сред./Пер. с болг. В. А. Дмупанова, С. П. Радева. М.: Мир, 1979. -302с.

148. Новожилов В. В. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейно-упругой среде//ПММ. 1951. T.XV. с. 180-194.

149. Новожилов В. В. О физическом смысле инвариантов напряжения, используемых в теории пластичности/ЯТрикладная математика и механика. 1952. Т. XVI. Вып.5. с.617-619.

150. Эриксон М. Исследование по механике сплошных сред. М.: Мир, 1977.

151. Белов И. А. Модели турбулентности: Учеб. пособие. 2-е изд., перераб. и доп. JL: Изд-во ЛМИ, 1986. 100с.

152. Launder В. Е., Reece G. J., Rodi W. Progress in the Development of a Reynolds-Stress Turbulence Closure//J. Fluid Mech. 68(3). 1975 -p.537-566.

153. Нг, Пэн, Линеаризованная теория турбулентного течения смазки, Теоретические основы инженерных расчетов, № 3, 1965, стр. 157, изд-во Мир.

154. Элрод, Нг, Теория турбулентного течения жидкости в тонких пленках и ее применение к подшипникам, Теоретические основы инженерных расчетов, №4, 1967, стр. 266, изд-во Мир. г

155. Strelets M.: Detached Eddy Simulation of Massively Separated Flows, AIAA 2001-0879, (2001).

156. Чистов А. Л. О построении моделей турбулентных течений в пакетах прикладных программ//Процессы управления и устойчивость. Труды XXXVIII международной научной конференции аспирантов и студентов (CPS'07). СПб.: Изд-во СПбГУ, 2007. с.221-226.

157. Павловский В. А., Чистов А. Л. Связь между истинной и изотропной диссипациями через осредненные параметрытечения//Проблемы экономии топливно-энергетических ресурсов на промпредприятиях и ТЭС: Межвуз. сб. науч. трудов/ГОУВПО СПбГТУ РП. 2007. с.3-4.

158. Чистов А. Л. Единая ламинарно-турбулентная дифференциальная модель для течений вязкой несжимаемой жидкости. Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2008, вып.4, с. 103-106.

159. Никущенко Д. В., Чистов А. Л. Алгоритм расчета гидродинамических характеристик систем крыльев относительно большой толщины. Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2009, вып.З, с.95-104.

160. Павловский В. А., Чистов А. Л. Расчет плоского напорного течения Куэтта при произвольных числах Рейнольдса//Проблемы экономии топливно-энергетических ресурсов на промпредприятиях и ТЭС: Межвуз. сб. науч. трудов/ГОУВПО1. СПбГТУ РП. 2009. с.5-12.