Разработка конечно-элементных моделей тонкостенных пьезоэлектрических устройств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Даниленко, Алексей Сергеевич

• Даниленко, Алексей Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Даниленко, Алексей Сергеевич

Введение

Глава 1.КЭ аппроксимации задач акустоэлектроупругости на 16 примере реализации в пакете АСЕЬА№

1.1. Континуальные постановки задач акустоэлектроупругости

1.2. Слабые постановки и конечно-элементные аппроксимации 22 задач акустоэлектроупругости

1.3. Симметричные формы разрешающих уравнений

Глава 2. Одномерные конечно-элементные модели 33 колебания пьезоэлектрических тел

2.1. Конечно-элементные модели толщинных колебаний 33 пьезоэлектрических тел

2.2. Конечно-элементные модели толщинных колебаний 39 многослойных структур, нагруженных на акустическую среду

2.3. Конечно-элементные модели изгибные колебания полностью 43 электродированных биморфов

2.4. Конечно-элементные модели изгибных колебаний биморфов при 51 различных типах электродных покрытий

2.5. Расширенная модель изгибных колебаний

2.6. Переход к глобальным координатам

2.7. Общий вид связанных и редуцированных формулировок

Глава 3. Соединение одномерных и двумерных конечных 66 элементов с различным числом степеней свободы

3.1. Модель учета стыковки одномерных и двумерных конечных 66 элементов

3.2. Учет уравнений связи в МКЭ

3.3. Особенности использования одномерных элементов и условий 74 их контакта с двумерными КЭ в пакете АСЕЬАИ

Глава 4. Двумерные конечно-элементные модели изгиба 82 электроупругих пластин

4.1. Двумерные конечно-элементные модели изгиба электроупругих 82 пластин

Глава 5. Численные эксперименты

5.1. Численные эксперименты с конечными элементами толщинных 97 колебаний

5.2. Численные эксперименты с конечными элементами изгибных 105 колебаний

5.3. Численные эксперименты с условием контакта 1Р и 2Р 116 элементов с различным набором степеней свободы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка конечно-элементных моделей тонкостенных пьезоэлектрических устройств»

Пьезоэлектрический эффект был открыт в 1880 году Джексом и Пьером Кюри. Они заметили, что в некоторых кристаллах при механическом воздействии на них появляется электрическая поляризация, причем степень ее пропорциональна величине воздействия. Позже Кюри открыл инверсионный пьезоэлектрический эффект — деформирование материалов, помещенных в электрическое поле. Эти явления называют прямым и обратным пьезоэлектрическими эффектами [35, 70]. К настоящему времени достигнут значительный прогресс в изучении свойств взаимодействия механических и электрических полей в пьезоактивных материалах, созданы разнообразные технические устройства, работа которых основана, на пьезоэффекте.

Для последующего понимания целесообразно ввести следующее общепринятое в зарубежной практике условное деление типовых пьезоэлементов в зависимости от их конфигурации: пластина (plate), диск (disc), кольцо (ring), брусок (bar), стержень (rod), цилиндр (cylinder). Существуют также гибкие пьезокерамические элементы: пластинчатые (plate bender) и дисковые (disc bender), которые, в свою очередь, подразделяются на юниморфы (unimorph), то есть однослойные, и биморфы (bimorph) — двухслойные.

Пьезоэлектрические элементы идеальны при использовании в качестве электромеханических преобразователей. Они достаточно широко используются для изготовления пьезокерамических компонентов, узлов и устройств [29, 46, 61]. Все изделия, изготовленные на базе пьезокерамики, подразделяют на следующие основные группы: генераторы, датчики (сенсоры), актюаторы (пьезоприводы), преобразователи и комбинированные системы.

Пьезокерамические генераторы преобразуют механическое воздействие в электрический потенциал, используя прямой пьезоэффект. Примерами могут служить искровые воспламенители нажимного и ударного типов, применяемые в разного рода зажигалках и поджигающих системах, а также твердотельные батареи на основе многослойной пьезокерамики, применяемые в современных электронных схемах.

Пьезокерамические датчики преобразуют механическую силу или движение в пропорциональный электрический сигнал, то есть также основаны на прямом пьезоэффекте. В условиях активного внедрения компьютерной техники датчики являются незаменимыми устройствами, позволяющими согласовывать механические системы с электронными системами контроля и управления. Выделяются два основных типа пьезокерамических датчиков: осевые (механическая сила действует вдоль оси поляризации) и гибкие (сила действует перпендикулярно оси поляризации). В осевых датчиках в качестве пьезоэлементов используют диски, кольца, цилиндры и пластины. В качестве примеров можно привести датчики ускорения (акселерометры), датчики давления, датчики детонации, датчики разрушения и т. п. Гибкие датчики строятся на основе последовательных (слои керамики имеют противоположную направленность поляризации) и параллельных (направленность поляризации слоев совпадает) пьезокерамических биморфов. Наиболее распространены датчики силы и ускорения.

Актюаторы строятся на принципе обратного пьезоэффекта и поэтому предназначены для преобразования электрических величин (напряжения или заряда) в механическое перемещение (сдвиг) рабочего тела. Актюаторы подразделяются на три основные группы: осевые, поперечные и гибкие. Осевые и поперечные актюаторы имеют еще общее название — многослойные пакетные, так как набираются из нескольких пьезоэлементов дисков, стержней, пластин или брусков) в пакет. Они могут развивать значительное усилие (блокирующую силу), но при очень малых отклонениях рабочей части. Такие актюаторы также называют мощными.

Гибкие актюаторы (биморфы) развивают незначительную блокирующую силу при малых отклонениях рабочей части. Гибкие актюаторы применяются в печатающих головках струйных принтеров в качестве активаторов [76, 92], за счет которых происходит выброс чернил.

Пьезокерамические преобразователи [39, 41] предназначены для преобразования электрической энергии в механическую. Так же как и актюаторы, основываются на принципе обратного пьезоэффекта. Преобразователи в зависимости от диапазона частот подразделяются на три вида:

• звуковые (гаже 20 кГц) — зуммеры, телефонные микрофоны, высокочастотные громкоговорители, сирены и т. п.;

• ультразвуковые — высокоинтенсивные излучатели для сварки и резки, мойки и очистки материалов, датчики уровня жидкостей, дисперсионные распылители, генераторы тумана, ингаляторы, увлажнители воздуха. Значительной группой выделяются так называемые ультразвуковые измерители расстояния в воздушной среде (Air Transducers), являющиеся пьезокерамическими компонентами. Они используются в качестве измерителей расстояния для автотракторной техники, сенсоров наличия и движения в охранных системах, в уровнемерах, для дистанционного контроля и управления, в устройствах отпугивания птиц, зверей, сельскохозяйственных вредителей и т. д.;

• высокочастотные ультразвуковые — оборудование для испытания материалов и неразрушающего контроля, диагностика в медицине [16, 17, 39] и промышленности, линии задержки и т. д.

Комбинированные пьезоэлектрические системы состоят из нескольких элементов перечисленных выше типов. В качестве примеров таких систем можно привести эхолоты, пьезотрансформаторы [109], смарт-материалы, состоящие из сенсоров и актюаторов. Такие материалы используются для гашения нежелательных колебаний, минимизации прогибов, задания определенной формы колебаний [73, 110, 114, 115, 117, 126, 133, 139, 145]. Проблемы гашения колебаний также решаются с помощью применения пьезоэлектрических пленок [143, 149].

Как уже говорилось ранее, многие из современных технических конструкций, работа которых основана на пьезоэффекте, создаются на базе многослойных элементов, в частности, на основе биморфных пьезоактивных пластин [7, 27, 41, 132, 138]. Популярность таких устройств обусловлена высокой эффективностью преобразования ими электрической энергии в механическую и акустическую, простотой конструкции, а также низкой себестоимостью при производстве.

Настолько широкая область применения пьезокерамических материалов объясняет необходимость углубленного изучения закономерностей статического и динамического деформирования пьезокерамических тел.

К настоящему времени осуществлена общая постановка трехмерных краевых задач электроупругости для различных вариантов физически реализуемых граничных условий [31, 35, 57, 61, 62, 77]. В работах [12, 13, 35, 61] дана строгая математическая постановка задач электроупругости, сформулированы вариационные принципы, обоснованы приближенные методы решения. Систематическое изложение теории и методов электроупругости дается в работах Бабешко В.А., Белоконя A.B., Воровича И.И. [12, 13], Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульги H.A. [34, 35], Сенника

H.A. [75], Мэзона У. [61, 62], Новацкого В. [68], Партона В.З., Кудрявцева Б.А. [70], Tiersten H.F. [141], Nelson D.F. [131].

В настоящее время продолжаются попытки проведения точного анализа и расчета задач, основанных на использовании трехмерных уравнений теории пьезоэлектричества [93, 147], однако точные решения трехмерных уравнений электроупругости получены лишь для некоторых преобразователей простой геометрии и структуры [20, 48 и др.]. Динамические же задачи электроупругости для неканонических областей в общем случае не поддаются решению чисто аналитическими методами и требуют применения прямых численных методов. Основными семействами среди таких методов для решения краевых и начально-краевых задач для неоднородных составных областей являются: методы конечных разностей (МКР), к которым отнесем также и вариационно-разностный метод (ВРМ), метод конечных элементов (МКЭ) и метод граничных элементов (МГЭ).

Впервые среди прямых численных методов для решения динамических задач электроупругости был использован, по-видимому, МКР [124, 125]. В монографии H.A. Шульги и A.M. Болкисева [81] подробно описан ВРМ для решения задач электроупругости в случае установившихся колебаний и приведены результаты ряда расчетов.

Применительно к нестационарным задачам разностные схемы разрабатывались также в [58-60]. В этих работах для плоских и осесимметричных задач электроупругости на основе энергетических вариационных подходов были построены разностные схемы, дан их анализ с установлением порядка точности и продемонстрированы результаты некоторых расчетов.

Разностная схема, являющаяся аналогом схемы распада разрывов С.К. Годунова, тестировалась в [78] на примере одномерной нестационарной задачи для стержня, однако, при более простых для расчетов граничных условиях.

Возможности применения МГЭ для задач электроупругости исследовались А.О. Ватульяном и B.J1. Кубликовым [25, 26, 146], а для задач термоэлектроупругости - А.О. Ватульяном и А.Ю. Кирютенко [23, 24]. В [25, 26, 146] были получены граничные интегральные уравнения (ГИУ) для плоских задач электроупругости об установившихся колебаниях в оригинальной форме, допускающей алгоритмическую реализацию, и проведены конкретные расчеты. Простейшая нестационарная антиплоская задача электроупругости решалась по МГЭ лишь в [44], где осуществлена также регуляризация ГИУ по методу [127].

Наиболее же разработанным и подходящим для решения необходимых для практики задач электроупругости следует признать МКЭ.

Первое применение метода конечных элементов показано в 1956 году в работе M.J. Turner, R. W. Clough, Н.С. Martin, L.J. Topp [144]. В 1963 году Ray Clough вводит понятие «метод конечных элементов». С этого момента МКЭ начинает набирать популярность. Для пьезоэлектрических сред вывод уравнений МКЭ из энергетических принципов проведен впервые в 1970 году Allik H., Hughes T.J.R. [83]. В последующих многочисленных публикациях МКЭ получил серьезное дальнейшее развитие. Были использованы различные КЭ, разработана техника учета граничных условий для электродированных поверхностей, созданы специализированные [1, 89, 148] и универсальные [85, 86] КЭ программы, позволяющие определять все требуемые характеристики полей, частоты резонансов и антирезонансов, КЭМС и т.п. В [104] дан обзор исследований, выполненных с использованием МКЭ до 1980 г., а в [81] - до 1990 г.

На сегодняшний день число публикаций, посвященных работам и применению МКЭ для расчетов пьезоустройств, чрезвычайно велико, и привести полный перечень работ не представляется возможным. Упомянем здесь лишь некоторые публикации и их авторов.

В СССР и на постсоветском пространстве применением МКЭ в электроупругости активно занимались С.М. Балабаев и Н.Ф. Ивина [8, 9, 49], A.M. Болкисев и H.A. Шульга [19, 81], Р.-Й. Ю. Кажис и Л.Ю. Мажейка [50-54], Г.Г. Писаренко, И.Е. Гордиенко, С.П. Ковалев, В.М. Чушко и др. [33, 55, 71], Г.А. Шинкаренко [79, 80]. Отметим при этом, что в работах Р.-Й. Ю. Кажиса и Л.Ю. Мажейки центральное внимание было уделено расчетам переходных процессов для двумерных V-задач электроупругости. Для интегрирования по времени системы МКЭ в этих работах была использована неявная схема Ньюмарка. Среди последних работ отметим разработку КЭ пакета Feapiezo A.A. Ерофеевым и С.А. Ерофеевым [47], а также пакета ACELAN (ACoustoElectric ANalysis) в РГУ.

В работе над проектом ACELAN принимала большая группа разработчиков под руководством проф. A.B. Белоконя: О.Н. Акопов, В.А. Еремеев, Н.В. Курбатова, К.А. Надолин, A.B. Наседкин, A.C. Скалиух, А.Н. Соловьев и др. Результаты этой работы отражены в публикациях [1-6, 11, 14, 18, 64—67] и др. Специально для пакета ACELAN A.B. Наседкиным был разработан комплекс оригинальных алгоритмов решения матричных задач МКЭ, возникающих при КЭ аппроксимациях задач электроупругости и акустоэлектроупругости [2, 14, 15], и новая методика учета демпфирования [18,67].

Зарубежные работы по МКЭ в электроупругости еще более многочисленны. Помимо перечисленных ранее, можно отметить статьи Н. Alik, K.M. Webman, J.T. Hunt [84], D. Boucher, M. Lagier, С Maerfeld [95], P. Challande [96, 97], D.R. Cowdrey, J.R. Willis [102], G. Hayward, J.A. Hossack [106, 108], Y. Kagawa, T. Yamabuchi [111, 113], R. Lerch [120, 121], M. Naillon, R.H. Coursant, F. Besnier [130], H.S. Tzou, C.I. Tseng [145], V.

Tomikawa, H. Miura, S.B. Dong [142]. Из публикаций последнего времени стоит отметить статьи J. Kim, В. Ко, J.-K. Lee, С.-С. Cheong [114], Naidu А., Soh С. К. [129], а также работы J.-N. Decarpigny, R. Bossut, P. Tierce, В. Hamonic и других авторов, входящих в коллективы разработчиков пакетов ATILA (в [89] приведен список из 54 работ), САРА [116, 121, 122] и PZFlex [148, 82].

Более подробно можно остановиться на работах, посвященных конечно-элементному моделированию пьезоактивных стержней, многослойных балок и пластин.

Первой работой, в которой был получен конечный элемент для моделирования изгиба пьезоэлектрической балки, по-видимому, является работа [112]. Для моделирования толщинных смещений пьезоэлектрических актюаторов в [134] применены тригонометрические аппроксимации по толщинной координате и обычные кончено-элементные полиномиальные аппроксимации по продольным координатам.

Конечно-элементный расчет актюаторов с учетом начальных смещений проведен в [137]. Актюаторы в этой работе представляли собой балочные структуры из кремния и кварца. В [138] для расчетов актюаторов использовался комбинированный метод граничных-конечных элементов с геометрической нелинейностью для описания больших деформаций.

Биморфный актюатор со сложной формой электродов на торцевой поверхности изучался с использованием моделирования по МКЭ в [150]. Аналитическое решение для колебаний биморфного актюатора с разрезными электродами было построено в [132]. При этом полученные по аналитическим формулам результаты были сравнены с рассчитанными в пакете ANS YS.

Конечно-элементные модели актюаторов для многослойных балок и пластин строились в большом числе работ, как например, в [94, 98, 99, 118,

119, 123, 135, 151], причем в работах [99, 118, 119, 123] учитывались также и температурные эффекты. В работах [132, 140, 117] рассмотрены конечно-элементные модели активных многослойных материалов с распределенными сенсорами и актюаторами.

Анализируя эти публикации, можно отметить, что к настоящему времени МКЭ в электроупругости разработан до уровня готовых программных продуктов и накоплен значительный опыт в практике расчетов по МКЭ разнообразных пьезоэлектрических устройств. С другой стороны, процесс разработки МКЭ для задач электроупругости происходил в основном в распространении на эти задачи обычных подходов МКЭ, принятых для задач структурного анализа. При этом старались свести к минимуму количество необходимых изменений в алгоритмической реализации блоков МКЭ. Такие методики привели к ряду ограничений в пьезоэлектрическом конечно-элементном анализе.

Одним из ограничений является отсутствие одномерных пьезоэлектрических конечных элементов. В [41] предложена обратная «электромеханическая аналогия» для моделирования пьезоэлектрических и акустических КЭ эквивалентными упругими элементами с пружинами с отрицательными коэффициентами жесткости и заданными в отдельных узлах матрицами демпфирования. Такой подход расширяет возможности одномерного моделирования пьезоустройств, однако, не снимает проблемы построения специальных одномерных пьезоэлектрических конечных элементов. Поэтому основной целью данной работы и является построение таких элементов.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. В первой главе приводятся континуальные постановки задач акустоэлектроупругости, из которых строятся слабые постановки, а затем и аппроксимации МКЭ, рассматриваются различные варианты

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Даниленко, Алексей Сергеевич

Заключение

В диссертационной работе исследованы задачи о толщинных колебаниях пьезоактивных дисков и многослойных структур на базе таких дисков; задачи об изгибных колебаниях биморфных пьезоэлектрических пластин с различными электродными покрытиями.

К основным результатам работы можно отнести:

1. Построен и программно реализован набор одномерных КЭ, моделирующих работу многослойных пьезоизлучателей, нагруженных на акустическую среду.

2. На основании серии расчетов многослойного излучателя силовой антенной решетки литотриптора ЛУ-1 предложена эффективная для медицинских применений форма электрического импульса.

3. Построены одномерная и двумерная КЭ модели изгибных колебаний биморфов с различными видами электродных покрытий и проанализированы АЧХ биморфов для различных моделей.

4. Предложены квазиупругие или обратные электромеханические аналогии для пьезоэлектрических элементов растяжения-сжатия и изгиба, позволяющие моделировать пьезоэлектрические и акустические КЭ чисто упругими КЭ. Выделены КЭ с дальней связью электрических степеней свободы.

5. Предложена модель соединения одномерных и двумерных упругих и пьезоэлектрических КЭ с различным набором степеней свободы.

6. Разработанные КЭ допускают модели учета демпфирования, принятые в пакете АСЕЬАЫ, и имеют матрицы симметричной седловой структуры. Созданные одномерные КЭ в рамках единой методологии внедрены в пакет АСЕЬА1М.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Даниленко, Алексей Сергеевич, 2004 год

1. Акопов О.Н., Белоконь A.B., Надолин К.А., Наседкин A.B., Скалиух A.C., Соловьев А.Н. Статический анализ пьезоэлектрических устройств в ACELAN. I. Структура и возможности // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды IV

2. Международной конференции Ростов-на-Дону, 27-28 октября 1998. Ростов-на-Дону: Издательство СКНЦ ВШ, 1999. Т. 1. С. 1417.

3. Бабаев А.Э., Моисеенков Ю.Б. Нестационарные колебания тонкостенной биморфной электроупругой полосы // Докл. АН Украины. 1994. № 12. С. 54-58.

4. Белоконь A.B. VIII всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотация доклада. Екатеринбург, 2001. С. 447-448.

5. Белоконь A.B., Еремеев В.А., Наседкин A.B., Соловьев А.Н. Блочные схемы метода конечных элементов для динамических задач акустоэлектроупругости // ПММ. 2000. Т.64. № 3. С. 381393.

6. Болкисев A.M. Конечно-элементный анализ деформированного состояния пьезоэлектрического двигателя // Прикладнаямеханика. 1993. Т. 29, № 8. С. 69-72.

7. Ватулъян А. О., Гетман И.П., Лапицкая КБ. Об изгибе пьезоэлектрической биморфной пластины // Прикладная механика. 1991. Т. 27, № 10. С. 101-105.

8. Ватулъян А. О., Кирютенко А.Ю., Наседкин A.B. О формулировке граничных интегральных уравнений связаннойтермоэлектроупругости // Интегродифференциальные операторы и их приложения. Межвузовский сборник научных трудов. ДГТУ, Ростов-на-Дону, 1996. С. 19-25.

9. Ватулъян А. О., Кирютенко А.Ю., Наседкин A.B. Плоские волны и фундаментальные решения в линейной термоэлектроупругости // Прикладная механика и техническая физика. 1996. Т. 37, № 5. С. 135-142.

10. Ватулъян А. О., Кубликов B.JT. Метод граничных элементов в электроупругости // Механика деформируемых тел. Межвузовский сборник научных трудов. ДГТУ, Ростов-на-Дону, 1994. С. 17-21.

11. Ватулъян А.О., Кубликов B.JI. О граничных интегральных уравнениях в электроупругости // ПММ. 1989. Т. 53. № 6. С. 10371041.

12. Ватулъян А.О., Рынкова A.A. Моделирование изгибных колебаний пьезоэлектрического биморфа // IV Всероссийский симпозиум "Математическое моделирование и компьютерные технологии":

13. Сборник научных трудов. Кисловодск. 2000. Т. 2. Часть 1. С. 3437.

14. Гайджуров 77.77. Конечно-элементный анализ собственных частот и форм объемно-стержневых систем. Известия ВУЗов СевероКавказский регион. Технические науки. 2003. Приложение №3. С. 83-87.

15. Ганополъский В.В., Касаткин Б. А., Леуша Ф.Ф Пьезокерамические преобразователи: Справочник. Л.: Судостроение, 1984. 256 с.

16. Гетман И.П., Устинов Ю.А. К теории неоднородных электроупругих плит // ПММ. 1979. Т.43. №5. С. 924-932. Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. Ростов-на-Дону: РГУ. 1993. 144 с.

17. Даниленко A.C., Наседкин A.B. Разработка конечных элементов для стержневых и балочных пьезоэлектрическихпреобразователей // Bîchhk Донецького ушверситету. Сер.А: Природнич1 науки. 2002. Вип.1. С. 127-130.

18. Даниленко A.C., Наседкин A.B. Специальные формы одномерных конечных элементов для пьезоэлектрического анализа // Известия ВУЗов Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2004. Спецвыпуск. С. 78-82.

19. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. М.: Мир, 1984. 333 с.

20. Дудкина С.И., Гавриляченко C.B., Данцигер А.Я., Панич А.Е. Пьезоактивные материалы. Физика. Технология. Применение в приборах. Выпуск 9. Ростов-на-Дону: Издательство РГУ, 1991. С. 47-51.

21. Ерофеев A.A. Пьезоэлектронные устройства автоматики. JL: Машиностроение. 1982. 210 с.

22. Жиров В.Е., Устинов Ю.А. Некоторые задачи теории плит из электроупругого материала // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1977. Вып. 17. С. 62-67.

23. Ивина Н. Ф. Численный анализ собственных частот круглыхпьезокерамических пластин конечных размеров // Акустический журнал. 1989. Т. 35. № 4. С. 667-673.

24. Кажис Р.-Й. Ю. Ультразвуковые информационно-измерительные системы. Вильнюс: Мокслас, 1986. 216 с.

25. Красилъников В.А., Крылов В.В. Введение в физическую акустику. М.: Наука, 1984. 400 с.

26. Мельник В.Н., Москалъков М.Н. Разностные схемы и анализ приближенных решений для двумерных нестационарных задач связанной электроупругости. // Дифференциальные уравнения. 1991. Т. 27, № 7. С. 1220-1229.

27. Москалъков М.Н. Исследование разностной схемы решения задачи излучения звука цилиндрическим пьезовибратором. // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22, № 7. С. 1220-1226.

28. Мэзон У. Пьезоэлектрические кристаллы и их применение в ультроакустике. М.: Изд-во иностр. лит. 1952. 447 с.

29. Мэзон У, Терстон Р. Физическая акустика. М.: Мир. 1974.

30. Наседкин A.B. Альтернативные формулировки методов Ньюмарка и Вильсона // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды II Международной конференции, Ростов-на-Дону, 19-20 сентября 1996 г. Т.2. / Ростов-на-Дону: МП "Книга", 1996. С.115-119.

31. Наседкин A.B. К расчету по МКЭ пьезопреобразователей, нагруженных на акустическую среду // Известия ВУЗов. СевероКавказский регион. Естественные науки. 1999. №1. С. 48-51.

32. Наседкин A.B. Особенности учета демпфирования в конечноэлементном пьезоэлектрическом анализе // Материалы Международной научно-практической конференции

33. Фундаментальные проблемы пьезоэлектрическогоприборостроения" ("Пьезотехника-2000"), Москва, 27 ноября 1 декабря 2000 г. / Москва: МИРЭА, 2000. С. 154-158.

34. Наседкин A.B. Схемы конечноэлементного анализа пьезоэлектрических устройств, взаимодействующих сакустической средой // Математика в индустрии: Труды Международной конференции (29 июня 3 июля 1998 г.), Таганрог: ТГПИ, 1998, С. 239-241.

35. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение. М.: Мир, 1989.

36. Рогачева H.H. Активное гашение вибраций на основе пьезоэффекта // Исследования по теории пластин и оболочек. 1992. №25. С. 25-30.

37. Рынкова A.A. Изгибные колебания электроупругих пластин сразрезными электродами: Дисс. на соискание уч. степени канд. физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 2001.

38. Сенник H.A. Моделирование и расчет электроупругих полей пьезокерамических оболочек и пластин: Дисс. на соискание уч. степени канд. физ.-мат. наук. М., 1984.

39. Уарова Р., Стерликова А. «Капля по требованию», или Непрерывная струя? Разновидности струйной печати. Digital Printing Magazine № 2. 2003 г. С. 24-31.

40. Улитко А.Ф. О некоторых особенностях постановки граничных задач электроупругости // Современные проблемы механики и авиации. М.: 1982. С. 290-300.

41. Чебан В.Г., Форня Г.А. Решение задачи о распространении электроупругой волны в пьезокерамическом стержне. // Известия АН МССР. Математика. 1990. № 1. С. 55-59.

42. Шинкаренко Г.А. Проекционно-сеточные аппроксимации для вариационных задач пироэлектричества. I. Постановка задач и анализ установившихся вынужденных колебаний // Дифференциальные уравнения. 1993. Т. 29, № 7. С. 1252-1260.

43. Шинкаренко Г.А. Проекционно-сеточные аппроксимации для вариационных задач пироэлектричества. II. Дискретизация и разрешимость нестационарных задач // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30, № 2. С. 317-326.

44. Шулъга H.A., Болкисев A.M. Колебания пьезоэлектрических тел. Киев: Наук. Думка, 1990. 228 с.

45. Abboud N.N, Wojcik G.L., Vaughan D.K., Mould J., Powell D.J., Nikodym L. Finite element modeling for ultrasonic transducers // Proc. SPIE Int. Symp. Medical Imaging. 1998.

46. Allik H., Hughes T.J.R. Finite element method for piezoelectricvibration // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1970. № 2. P. 151-157.

47. Allik H., Webman K.M., Hunt J.T. Vibration response of sonar transducers using piezoelectric finite elements // Journal of the Acoustical Society of America. 1974. V. 56, № 6. P. 1782-1791.

48. ANSYS. Basic Analysis Procedures Guide. Release 5.4. Ed. P. Kothnke / ANSYS Inc. Houston, 1997.

49. ANSYS. Commands Reference Release 5.4. Ed. P. Kothnke / ANSYS Inc. Houston, 1997.

50. ANSYS. Elements Reference Release 5.4. Ed. P. Kothnke / ANSYS Inc. Houston, 1997.

51. ANSYS. Theory Reference Release 5.4. Ed. P. Kothnke / ANSYS Inc. Houston, 1997.

52. ATILA. Finite element code for piezoelectric and megnetostrictive transducer and actuator modeling. V.5.1.1. User's Manual / Lille Cedex (France): ISEN, 1997.

53. Beurer G., Kretschner J. Function and performance of a shear modepiezo printhead, in Proc. IS&T's NIP 13 // International Conference on Digital Printing Technologies. 1997. P. 621-624.

54. Bisegua P., Maceri F. An exact three-dimentional solution for simply sup-ported rectangular piezoelectric plates // Trans. ASME. Journal of Applied Mechanics. 1996. № 3. P. 628-638.

55. Blandford G.E., Tauchert T.R., Du Y. Self-strained piezothermoelastic composite beam analysis using first-order shear deformation theory // Composites. B. 1999. V.30. P. 51-63.

56. Boucher D., Lagier M., Maerfeld C. Computation of the vibrational modes for piezoelectric array transducers using a mixed finite element-perturbation method 11 IEEE Transactions on Sonics and Ultrasonics. 1981. V. SU-28, № 5. P. 318-330.

57. Challande P. Finite element method applied to piezoelectric cavités study: influence of the geometry on vibration modes and coupling coefficient // Jornal de Mecanique theorique et appliquée. 1988. V. 7, №4. P. 461-477.

58. Challande P. Optimizing ultrasonic transducers based on the finite element method // IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control. 1990. V. 37, № 2. P. 135-140.

59. Chandrashekhara K., Agarwai A.N. Active vibration control of laminated composite plates using piezoelectric devices: a finite element approach // Journal of Intelligent Material System and Structures. 1993. V. 4. P. 496-507.

60. Chandrashekhara K., Tenneti R. Thermally induced vibration suppression of laminated plates with piezoelectric sensors and actuators // Smart Materials and Structures. 1995. V. 42 . P. 281-290.

61. Chee C.Y.K., Tong L., Steven G.P. A mixed model for composite beams with piezoelectric actuators and sensors // Smart Materials And

62. Structures. 1999. № 8. P. 417-432.

63. Cosmos/M. V.2.0. Advanced Modules Manual. ASTAR. / Structural Research & Analysis Corp., 1997.

64. Cowdrey D.R., Willis J.R. Application of the finite element method to the vibrations of quartz plate // Journal of the Acoustical Society of America. 1974. V. 56, № 1. P. 94-98.

65. Ddkmeci. Vibration of piezoelectric crystals // International Journal for Engineering Sciencies. 1980. V. 18. № 3A. P. 431-448.

66. Ha S.K., Keilers C., Chang F.-K. Analysis of Laminated Composites Containing Distributed Piezoelectric Ceramics // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. 1991. V. 2. P. 60-71.

67. Hayward G., Benett J. Assessing the influence of pillar aspect ratio on the behavior of 1-3 connectivity composite transducers // IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control. 1996. V. 43, № l.p. 98-107.

68. Ho-Le K. Finite element mesh generation methods: a review and classification// Computer-Aided Design. 1988. V. 20. № 1. P. 27-38.

69. Hossak J.A., Hayward G. Finite-element analysis of 1-3 composite transducers // IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control. 1991. V. 38, № 6. P. 618-629.

70. Hsu Y.-H., Lee C.-K., Hsiao W.-H. Optimizing piezoelectric transformer for maximum power transfer // Smart Materials and Structures. 2003 № 3. P. 373-383.

71. Hwang J.K., Choi C.-H., Song. C.K., Lee J.M. Identification of a thin plate with piezoelectric actuators and sensors // Trans. ASME. Journal of Vibration and Acoustics. 1998. № 3. C. 826-828.

72. Kagawa Y. Finite element simulation of transient heat response in ultrasonic transducers // IEEE Transactions on Sonics and Ultrasonics. 1992. V. SU-39, № 3. P. 432-440.

73. Kagawa Y. A new approach to analysis and design of electromechanical filters by finite-element technique // Journal of the Acoustical Society of America. 1971. V.49, No. 2 (Part.l). P. 13481356.

74. Kagawa Y., Yamabuchi T. Finite element simulation of two-dimensional electromechanical resonators // IEEE Transactions on Sonics and Ultrasonics. 1974. V. SU-21, № 4. P. 273-280.

75. Kim J., Ko B., Lee J.-K, Cheong C.-C. Finite element modeling of a piezoelectric smart structure for the cabin noise problem // Smart Materials and Structures. 1999 № 8. P. 380-389.

76. Kim J., Varadan V.V., Varadan V.K. Finite element modeling of dtructures including piezoelectric active devices // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1997. № 40(5). P. 817-832.

77. Landes H., Kaltenbacher M., Lerch R. CAP A Users manual. Department of sensor technology, Friedrich-Alexander-University of Erlanger-Nuremberg, 2000.

78. Lee C.K. Theory of laminated piezoelectric plates for the design of distributed sensor/actuators. Part I: Governing equations and reciprocal relations. // Journal of the Acoustical Society of America. 1990, № 87(3). P. 1144-1158.

79. Lee H.J., Saravanos D.A. Coupled layerwise analysis of thermopiezoelectric composite beams // American Institute of

80. Aeronautics and Astronautics Journal. 1996. V.34, No.6 . P. 12311237.

81. Lee H.J., Saravanos D.A. Generalized finite element formulation for smart multilayered thermal piezoelectric composite plates // International journal of solids and structures. 1997. V. 34, No.26. P. 3355-3371.

82. Lerch R. Exact computer modeling: a tool for the design of imaging transducers // Acoustic Imaging. 1992. V. 19. P. 175-186.

83. Lerch R. Finite element analysis of piezoelectric devices by two- and tree-dimensional finite elements // IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control. 1990. V. 37, № 3. P. 233-247.

84. Lerch R., Landes H. CAPA Users manual. / Institute of Measurement Technology, University of Linz, A-4040 Austria. 1997.

85. Liew K.M., He X.Q., Ng T.Y., Kitipornchai S. Finite element piezothermoelasticity analysis and active control of FGM plates with integrated piezoelectric sensors and actuators // Computational Mechanics. 2003. V. 31. P. 350-358.

86. Lloyyd P., Redwood M. Finite-difference method for the investigation of the equivalent-circuit characteristics of piezoelectric resonators Part I-II // Journal of the Acoustical Society of America. 1966. V. 39, 346361.

87. Lloyyd P., Redwood M. Finite-difference method for the investigation of the equivalent-circuit characteristics of piezoelectric resonators Part III // Journal of the Acoustical Society of America. 1966. V. 40, 82-85.

88. Luo Q., Tong L. An accurate laminated element for piezoelectric smart beams including peel stress // Computational Mechanics. V. 33. 2004. P. 108-120.

89. Mansur W.J., Brebbia C.A. Further developments on the solution ofthe transient scalar wave equation, Ch.4 / Topics in boundary element research (Ed. Brebbia C.A.). V. 2. Berlin: Springer-Verlag, 1985. P. 87-123.

90. Mehlhorn K., Näher S. LEDA, a Platform for Combinatorial and Geometric Computing // Comm. ACM. 1995. V.38. № 1. P. 96-102.

91. Naidu A.S.K., Soh C.K. Damage severity and propagation characterization with admittance signatures of piezo transducers // Smart Materials and Structures. 1999 V 13, № 2. P. 380-389.

92. Naillon M., Coursant R.H., Besnier F. Analysis of piezoelectric structures by a finite element method // Acta Electrónica. 1983. V. 25, №4. P. 341-362.

93. Nelson D.F. Electric, optic and acoustic interactions in dielectric. New York: J. Wiley, 1979.

94. Ng T.Y., He X.Q., Liew K.M. Finite element modeling of active control of functionally graded shells in frequency domain via piezoelectric sensors and actuators // Computational Mechanics. V. 28. 2002. P. 1-9.

95. Pradhan S.C., Reddy J.N. Vibration control of composite shells using embedded actuating layers // Smart Materials and Structures. 2004 № 13. P. 1245-1257.

96. Raoeluaona F., Dulmet B. Finite element analysis using trigonometric interpolations for quazi-thickness piezoelectric resonators // IEEE Ultrasonics Symposium Proceedings. 1994. P. 965-968.

97. Robbins D.H., Reddy J.N. Analysis of piezoelectrically actuated beams using a layer-wise displacement theory // Computers And Structures. 1991. V. 41 .P. 265-279.

98. Ruppert J. A Delaunay Refinement Algorithm for Quality 2-Dimensional Mesh Generation // Journal of Algorithms. 1995. V. 18. № 3. P. 548-585.

99. Stewart J.T. Finite element modeling of resonant microelectromechanical structures for sensing applications // IEEE Ultrasonics Symposium Proceedings. 1994. P.643-646.

100. Stewart J.T. Geometricaly non-linear finite element modeling of resonant microelectromechanical structures subjected to electrostatic loading // IEEE Ultrasonics Symposium Proceedings. 1995. P. 511514.

101. Sugavanam S., Varadan V.K., Varadan V. V. Modeling and control of a lightly damped T-beam using piezoceramic actuators and sensors // Smart Materials and Structures. 1998. 7. № 6. C. 899-906.

102. Suleman A., Venkayya V.B. A simple finite element formulation for a laminated composite plate with piezoelectric layers // Journal of Intelligent Material System and Structures. V. 6. 1995. P. 776-782.

103. Tiersten H.F. Linear piezoelectric plate vibrations. New York: Plenum Press, 1969.

104. Tomikawa V., Miura H., Dong S.B. Analysis of electrical equivalent circuit elements of piezo-tuning forks by finite element method // IEEE Transactions on Sonics and Ultrasonics. 1978. V. SU-25, № 3. P. 206212.

105. Tsuomi N., Yasushi O., Mitsuru E. Vibration sensing and control of a flexible beam using piezoelectric films. Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers. 1997. V. 63. № 615. P. 3728-3734.

106. Turner M.J., Clough R.W., Martin H.C., Topp L.J. Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures // Journal of Aero Science, 23 (9), Sept. 1956.

107. Tzou H.S., Tseng C.I. Distributed piezoelectric sensor/actuator design for dynamic measurement/control of distributed parameter systems: a piezoelectric finite element approach // Journal of Sound and

108. Vibration. 1990. V. 138, № 1. P. 17-34.

109. Vatulian A.O., Kublikov V.L. Boundary element method in electroelasticity // Boundary Elements Communications. 1995. V. 6. P. 59-61.

110. Vel S.S., Batra R.C. Exact solution for the cylindrical bending of laminated plates with embedded piezoelectric shear actuators // Smart Materials and Structures. 2001 № 2. P. 240-251.

111. Wojcik G.L., Vaughan D.K., Abboud N., Mould J. Electromechanical modeling using explicit time-domain finite elements // IEEE Ultrasonics Symposium Proceedings. 1993. V. 2. P. 1107-1112.

112. Yang J., Liu Y. Boundary formulation and numerical analysis of elastic bodies with surface-bonded piezoelectric films // Smart Materials and Structures. 2002 № 2. P. 308-311.

113. Yokoyama H., Wakatsuki N., Kudo S. Piezoelectric servo-actuator of LiNbC>3 with an Integrated sensor // IEEE Ultrasonics Symposium Proceedings. 1998. P. 551-554.

114. Zallo A., Gaudenzi P. Finite element models for laminated shells with actuation capability // Computers And Structures. 2003. V. 81. P. 1059-1069.