Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений в исключительных случаях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Кудряшова, Наталья Юрьевна

• Кудряшова, Наталья Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кудряшова, Наталья Юрьевна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБЗОР ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ

СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1 Вспомогательные утверждения

ГЛАВА 2. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ

СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫХ СЛУЧАЯХ

1 Уравнения на замкнутых контурах

1.1 Постановка задачи

1.2 Вычислительная схема

1.3 Доказательство однозначной разрешимости приближенного уравнения

1.4 Оценка близости решений

2 Уравнения на отрезках

2.1 Постановка задачи

2.2 Первая вычислительная схема

2.3 Доказательство однозначной разрешимости

2.4 Вторая вычислительная схема

2.5 Доказательство однозначной разрешимости

2.6 Близость решений

3 Бисингулярные уравнения на замкнутых контурах

3.1 Постановка задачи

3.2 Вычислительная схема

3.3 Доказательство однозначной разрешимости приближенного уравнения

3.4 Близость решений

4 Бисингулярные уравнения на отрезках

4.1 Постановка задачи

4.2 Вычислительная схема

4.3 Доказательство однозначной разрешимости

4.4 Близость решений

5 Уравнения на бесконечной прямой

5.1 Постановка задачи

5.2 Первая вычислительная схема

5.3 Доказательство однозначной разрешимости

5.4 Вторая вычислительная схема

5.5 оказательство однозначной разрешимости

5.6 Близость решений

6 Уравнения на двух бесконечных прямых

6.1 Постановка задачи

6.2 Первая вычислительная схема

6.3 Доказательство однозначной разрешимости

6.4 Вторая вычислительная схема

6.5 Доказательство однозначной разрешимости

6.6 Близость решений

7 Бисингулярные уравнения на бесконечных прямых

7.1 Постановка задачи

7.2 Первая вычислительная схема

7.3 Доказательство однозначной разрешимости

7.4 Вторая вычислительная схема

7.5 Доказательство однозначной разрешимости

7.6 Близость решений

8 Системы уравнении

8.1 Постановка задачи

8.2 Вычислительная схема

8.3 Доказательство однозначной разрешимости

8.4 Близость решений

9 Приближенное решение системы сингулярных интегральных уравнений, используемой в теории кавитирующего крыла

9.1 Постановка задачи

9.2 Вычислительная схема

9.3 Обоснование однозначной разрешимости

10 Нелинейные уравнения

10.1 Постановка задачи

10.2 Вычислительная схема

10.3 Доказательство однозначной разрешимости

10.4 Близость решений

11 Многомерные уравнения с интегралами Адамара

11.1 Постановка задачи

11.2 Вычислительная схема

11.3 Доказательство однозначной разрешимости

ГЛАВА 3. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ

1 Метод сингулярных интегральных уравнений для задачи аналитического продолжения на плоскости

1.1 Постановка задачи

1.2 Вычислительная схема

1.3 Доказательство однозначной разрешимости

1.4 Погрешность квадратурной формулы

1.5 Итерационная регуляризация

1.6 Замечания

2 Сеточный метод

3 Продолжение гармонических функций

3.1 Постановка задачи

3.2 Вычислительная схема

2.3 Погрешность квадратурной формулы 110 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 113 ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений в исключительных случаях»

При решении многих задач теории упругости, физики, аэродинамики, гравиметрии, теории оболочек, электродинамики и др. приходится сталкиваться с сингулярными интегральными уравнениями (с.и.у.) [41,42,43,62] В связи с тем, что точные решения известны только для очень немногих классов с.и.у., возникает необходимость в разработке численных методов решения сингулярных интегральных уравнений. Приближенным методам вычисления сингулярных интегралов и решения сингулярных интегральных уравнений посвящены многочисленные работы, среди которых в первую очередь следует указать на монографии [31,42,54,60,61].

Начиная с тридцатых годов нашего столетия численные методы решения с.и.у. стали активно развивающимся напралением вычислительной математики.

Фундаментальный вклад в становление и развитие приближенных методов решения с.и.у. внесли такие ученые как Бабаев А.А, Белоцерковс-кий С.М., Бойков И.В., Гохберг И.Ц., Джишкариани A.B., Иванов В.В., Каландия А.И., Лаврентьев М.А., Лаврентьев М.М., Лифанов И.К., Маль-сагов С.М., Шешко М.А., Аткинсон К.Е., Голберг М., Иоакимидис Н., Пресдорф 3., Шмидт Г. и многие другие.

В диссертации строятся и обосновываются вычислительные схемы приближенного решения с.и.у. в исключительных случаях, а также предлагается несколько численных методов приближенного решения задачи аналитического продолжения на плоскости и в пространстве.

Диссертация состоит из введения, трех глав и приложения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кудряшова, Наталья Юрьевна, 2000 год

1. Бабаев A.A., Садырханов P.C. Об одном квадратурном процессе для особого интеграла и его приложении. - ДАН СССР, 1974, т.214, N 4, с.743-746.

2. Бабаев A.A., Мальсагов С.М., Салаев В.В. Обоснование метода квадратур для нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта // Уч. зап. Азерб. ун-та. Сер. физ.-мат. наук. -1971. N 1. - С. 13-33.

3. Белоцерковский С.М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М.: Наука, 1965. - 244 с.

4. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Некоторые сингулярные интегральные уравнения аэродинамики. Дифференциальные уравнения, 1981, т.17, N 9, с.1539-1547.

5. Белоцерковский С. М., Лифанов И. К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука, 1985, - 256с.

6. Бойков И.В. Об одном исключительном случае сингулярных интегральных уравнений.//Применение вычислительных методов в научно-технических исследованиях. Пенза:Издательство Пенз. политехи, ин-та, 1984, с.3-11.

7. Бойков И. В. Оптимальные по точности алгоритмы вычисления сингулярных интегралов. Саратов.: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1983, - 210с.

8. Бойков И.В. Оптимальные методы вычислений в задачах автоматического регулирования. Пенза: ППИ, 1983. - 96 с.

9. Бойков И.В. Пассивные и адаптивные алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Часть 1. Пенза: Изд-во Пенз. гос. техн. ун-та, 1995. - 214 с.

10. Бойков И.В. Пассивные и адаптивные алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Часть 2. Пенза: Изд-во Пенз. гос. техн. ун-та, 1995. -128 с.

11. Бойков И.В., Добрынина Н.Ф., Домнин Л.Н. Приближенные методы вычисления интегралов Адамара и решения гиперсингулярных интегральных уравнений. Пенза: Изд-во Пенз. гос. техн. ун-та, 1996. - 188 с.

12. Бойков И.В., Кудряшова Н.Ю. Об одном приближенном методе решения сингулярных интегральных уравнений в исключительных случаях // Вопросы мат. анализа: Сб. научных статей. Вып. 2. Красноярск: Изд-во КГТУ, 1997, с. 3-11.

13. Бойков И.В., Кудряшова Н.Ю. Метод сингулярных интегральных уравнений в задачах аналитического продолжения в пространстве // Геофизика и математика. Материалы 1-й Всероссийской конференции. Москва, ОИФЗ РАН, 1999, с. 21-24.

14. Бойков И.В., Кудряшова Н.Ю. Применение интегральных уравнений с интегралами типа Коши для продолжения потенциальных полей // Кубатурные формулы и их приложения: Тез. докладов V Международного семинара-совещания. Красноярск: КГТУ, 1999, с. 5-6.

15. Бойков И.В., Крючкова О.А., Кудряшова Н.Ю., Мойко Н.В. Оптимальные методы вычисления интегралов типа Коши // Кубатурные формулы и их приложения: Тез. докладов V Международного семинара-совещания. Красноярск: КГТУ, 1999, с. 6.

16. Бойков И.В., Кудряшова Н.Ю. Метод сингулярных интегральных уравнений в задачах аналитического продолжения. Киев. - Геофизический журнал. - Т. 22, N 1, 2000.

17. Бойков И.В., Кудряшова Н.Ю. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений в исключительных случаях. Дифференциальные уравнения. - N 9, 2000.

18. Бойков И. В., Жечев И. И. Приближенное решение сингулярных интегро-дифференциальных уравнений. В кн.: Сб. асп. раб. Точные науки. - Казань: Изд-во Каз. гос. ун-та, 1972, с. 169-174.

19. Бойков И.В., Жечев И.И. Приближенное решение сингулярных интегро-дифференциальных уравнений на замкнутых контурах интегрирования // Исследования по прикладной математике. Казань: Изд-во КГУ, 1973. - Вып. 2. - С. 3-17.

20. Бойков И.В., Жечев И.И. Приближенное решение сингулярных интегро-дифференциальных уравнений на разомкнутых контурах интегрирования / / Приложение функционального анализа к приближенным вычислениям. Казань: Изд-во КГУ, 1974. - С. 21-28.

21. Бойков И. В., Жечев И. И. К приближенному решению сингулярных интегро-дифференциальных уравнений I (линейные уравнения). -Дифференциальные уравнения, 1973, т. 9, N 8, с. 1493-1502.

22. Бойков И. В., Жечев И. И. К приближенному решению сингулярных интегро-дифференциальных уравнений II (нелинейные уравнения). -Дифференциальные уравнения, 1975, т. 11, N 3, с. 562-571.

23. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. М.: Наука, 1970. - 380 с.

24. Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных перменных. М: Наука, 1964.

25. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.- М.: Наука, 1967, 576 с.

26. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1963, 640 с.

27. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. - 296 с.

28. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971. - 352 с.

29. Гравиразведка // Под редакцией Е. А. Мудрецовой, М: Наука, 1981. 397 с.

30. Джишкариани A.B. К решению сингулярных интегральных уравнений коллокационными методами // ЖВМ и МФ. 1981. - Т. 21, N 2. -С. 355-362.

31. Джишкариани A.B. К решению сингулярных интегральных уравнений приближенными проекционными методами // ЖВМ и МФ. 1979. - Т. 19, N 5. - С. 1149-1161.

32. Жданов М. С. Аналоги интегралов типа Коши в теории геофизических полей. М: Наука, 1984, 328 с.

33. Иванов В.В. О применении метода моментов и смешанного метода к приближенному решению сингулярных интегральных уравнений// ДАН СССР. 1957. - Т. 114, N 5. - С. 945-948.

34. Иванов В.В. Приближенное вычисление сингулярных интегралов//Труды Новочеркас. политехнич. ин-та. 1958. - Т. 67 (81). - С. 75-86.

35. Иванов В.В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений в случае разомкнутых контуров интегрирования // ДАН СССР. 1956. - Т. 11, N 5. - С. 933-936.

36. Иванов В.В. Методы приближенного решения сингулярных интегральных уравнений. //Математический анализ, 1963 (Итоги науки и техники), М.: ВИНИТИ, 1965, с. 125-177.

37. Иванов В.В. Приложение теории краевых задач и сингулярных интегральных уравнений в теории автоматического управления. Дифференциальные уравнения, 1965, т.1, N 8, с.1099-1107.

38. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев: Наукова думка, 1968. - 287 с.

39. Каландия А.И. О приближенном решении одного класса сингулярных интегральных уравнений // ДАН СССР. 1959. - Т. 125, N 4. - С. 715-718.

40. Канторович JI. В., Акилов Г. П. Функцианальный анализ. М: Наука, 1984, 750 с.

41. Коган Х.М. Об одном интегро-дифференциальном уравнении. -Дифференциальные уравнения, 1967, т.З, N 2, с.278-293.

42. Кудряшова Н.Ю. Приближенное решение задачи аналитического продолжения с помощью разностных методов. Пенза, 2000. - 8 с. - Библ. И назв. - Рус. - Деп в ВИНИТИ 31.10.00, N 2743-ВО.

43. Лаврентьев М. А. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы. В кн.: Труды ГАЦИ, 1932, т. 118 с. 3-56.

44. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, 1958.

45. Лаврентьев М.М. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений. //УМН. 1979, Т.34, N 2, с.143.

46. Лаврентьев М.М. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений. //Сиб. мат. журн.,1980, Т.21, N 3, с.225-228.

47. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатских С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа М: Наука, 1980. - 288 с.

48. Лифанов И.К. О сингулярных интегральных уравнениях с одномерными и кратными интегралами типа Коши // ДАН СССР. 1978. -Т. 239, N 2. - С. 265-268.

49. Лифанов И. К. О методе дискретных вихрей. //Прикладная математика и механика. 1979, - т. 43, N 1, - с. 184-188.

50. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент Москва: ТОО "Янус", - 1995. - 520 с.

51. Лифанов И.К., Полонский Я.Е. Обоснование численного метода "дискретных вихрей" решения сингулярных интегральных уравнений // Прикладная математика и механика. 1975. - Т. 39, N 4. - С. 742-746.

52. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965, 520 с.

53. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962. - 254 с.

54. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения.-М.: Наука, 1968, 512 с.

55. Обломская Л. Я. О методах последовательных приближений для линейных уравнений в банаховых пространствах // ЖВМ и МФ, 1968. -Т. 8, N 2. с. 417-426.

56. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М: Мир, 1979. - 494 с.

57. Пыхтеев Г.Н. Приближенные методы вычисления интегралов типа Коши специального вида. Новосибирск: Сиб. отделение: Наука, 1982. -128 с.

58. Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления. М.: Физматгиз, 1960.

59. Старостенко В. И., Кислинская O.A. Интеграл Шварца для полосы и его приложения в геофизике // Доклады Академии Наук Украины, 1993, N 10, с. 126-129

60. Страхов В. Н. К теории плоской обратной задачи магнитного потенциала при переменной намагниченности // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1970, N 3, с. 44-58

61. Страхов В. Н. Некоторые вопросы плоской обратной задачи магнитного потенциала // Изв. АН СССР, 1970, N 9, с. 31-41

62. Страхов В. Н. Некоторые вопросы плоской задачи гравиметрии // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1970, N 12, с. 32-44

63. Фукс Б. А. Теория аналитических функций многих комплексных переменных. М: Физматгиз, 1962.

64. Хачай О. А., Цирульский А. В. Об интерпретации повысотных аэромагнитных наблюдений // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1988, N 12, с. 47-56

65. Цирульский А. В. О связи задачи аналитического продолжения логарифмического потенциала с проблемой определения границ возмущающей области //Изв. АН СССР, серия геофиз., 1964, N 11, с. 1646-1693

66. Чибриков JI.И. Основные граничные задачи для аналитических функций. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1977. - 302 с.

67. Шешко М.А. О методах приближенного решения сингулярных интегральных уравнений. Докл. АН БССР, 1977, т.21, N 12, с.1067-1069.

68. Шешко М.А. К численному решению сингулярных интегральных уравнений первого рода // Дифференциальные уравнения. 1977. - Т. 13, N 8. - С. 1493-1502.

69. Шешко М.А. Двухмерные сингулярные интегральные уравнения первого рода с ядрами Коши. Дифференциальные уравнения, 1981, т.17, N 8, с. 1518-1521.

70. Шешко М.А. К численному решению сингулярных интегральных уравнений в случае разомкнутого контура // Изв. АН БССР. Сер. физ.- мат. наук. 1975. - N 1. - С. 29-36.

71. Шокамолов И. О приближенном вычислении повторных интегралов, содержащих интеграл типа Коши или сингулярный интеграл специального вида // Изв. АН Тадж. ССР. Отд. физ.-мат. и геол.-хим. н. 1978.- N 2. С. 8-15.

72. Atkinson К.Е. The Numerical Evaluation of the Cauchy Transform on Simple Closed Curves // Society for Industrial and Applied Mathematics. -Journal on Numerical Analysis. 1972, - V. 9. - P. 284-299.

73. Delves L.M., Abd Elal L.F., Hengry J.A. A fast Galerkin algoritm for singular integral equations // JIMA. - 1979. - V. 23. - P. 139-166.

74. Ehskoq D. Acta Math., Z. Journ., 1930.

75. Elliot D. The Approximate Solution of Singular Integral Equations // Solution Methods for Integral Equations. Theory and Applications. - 1979.- P. 83-107.

76. Golberg M.A. Galerkins Method for Operator Equations with Nonnegatie Index With Application to Cauchy Singular Integral Equations //J. Math. Anal, and Appl. - 1983. - N 91. - P. 394-409.

77. Golberg M.A., Lea M., Miel G. A Superconvergence Result For the Generalized Airfoil Equation with Application to the Flap Problem // Journal of Integral Equations. 1982. - V. 5, N 2. - P. 175-186.

78. Ioakimidis N.I. On the Natural Interpolation Formula for Cauchy Type Singular Integral Equations of the First Kind. Computing, 1981, N 26, p. 73-77.

79. Ioakimidis N.I., Theocaris P.S. A Remark on the Lobatto Chebyshev method for the solution of singular integral equations and the evaluation of stress intensity factors. - Сердика Бълг. Мат. списание, 1980, т. 6, N 4, с. 384-390.

80. Ioakimidis N.I., Theocaris P.S. On convergence of two direct methods for solution of Cauchy type singular integral equations of the first kind. BIT, 1980, N 2, p. 83-87.

81. Jen E., Srivastav R.P. Cubic splines and approximate solution of singular integral equations. Math. Comp., 1981, v. 37, N 156, p. 417-423.

82. Junghanns P. Kollokationverfahren zur naherungsweisen Losung singular Integralgleichungen mit unstetegen Koeffizienten. Math. Nachr., 1981, v. 102, p. 17-24.

83. Michlin S.G., Prossdorf S. Singulare Integraloperatoren. Berlin, Acad. - Verl., 1980, 514 s.

84. Prossdorf S. Approximation Methods for Solving Singular Integral Equations. Berlin, 1981, Preprint, P. - Math -12/81.

85. Prossdorf S., Shmidt G. A Finite Element Collocation Method for Singular Integral Equations. //Math. Nachr. 1981, - v. 100, - p. 33-60.

86. Shmidt G. On spline collocation for singular integral equations. Preprint. P. Math. - 13/82, Berlin, 1982, 42 p.

87. Theocaris P.S., Ioakimidis N.I. A Method of Numerical Solution of Cauchy Type Singular Integral Equations with Generalized Kernels and Arbitrary Complex Singularities. - J. Comput. Physics, 1979, v. 30, p. 309323.

88. Theqcaris P.S., Kazantzakis J.G. On the Numerical Evaluation of Two and Three - Dimensional Cauchy Principal - Value Integrals. - Acta Mechanica, 1981, N 39, p. 105-115.

89. Tsamasphyros G., Theocoris P.S., Stassinakis C.A. A numerical solution of singular integral equations without using special collocation points. Internat Journal for numerical methods in engineering, 1983, v. 19, p. 421-430.

90. Tsamasphyros G., Theocoris P.S. On the convergence of some quadrature rules for Couchy principal value and finite - part integrals. - Computing, 1983, v. 31, N 2, p. 105-114.