Построение квадратурных формул для вычисления сингулярных интегралов с ядром Коши тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Марданов, Алексей Асмедович

• Марданов, Алексей Асмедович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Марданов, Алексей Асмедович

Глава 1. Построение квадратурных формул для сингулярного интеграла с ядром Коши, точных для рациональных дробей с полюсами первого порядка в точках, обратных к узлам

§ 1. Построение квадратурной формулы открытого типа

§ 2. Оценка погрешности полученной формулы.

§ 3. Применение построенной формулы для вычисления сингулярного интеграла на отрезке.

Глава 2. Построение квадратурных формул для сингулярного интеграла с ядром Коши, точных для тригономет-трических многочленов >

§ 1. Формула средних прямоугольников для интеграла без особенностей по вложенному промежутку с чебышевским весом

§ 2. Формула трапеций для интеграла без особенностей по вложенному промежутку с чебышевским весом.

§ 3. Применение построенных формул для вычисления интеграла от функции, аналитической внутри отрезка и имеющей особенности на концах.

§ 4. Построение квадратурных формул открытого типа на основе формулы A.A. Корнейчука.

§ 5. Оценка погрешности полученных формул.

§ 6. Применение построенных формул для вычисления сингулярного интеграла на отрезке

§ 7. Формула открытого типа, основанная на замене плотности сингулярного интеграла тригонометрическим многочленом

§ 8. Оценка погрешности полученной формулы.

§ 9. Применение построенной формулы для вычисления сингулярного интеграла на отрезке

- 3

Глава 3. Равномерные оценки погрешностей формул открытого и замкнутого типа для сингулярного интеграла на отрезке

§ 1. Равномерная оценка для формулы открытого типа, построенной в

§ 4 главы 2.

§ 2. Равномерная оценка для формулы открытого типа, построенной в

§ 4 главы 2, примененной для вычисления сингулярного интеграла на отрезке

§ 3. Равномерная оценка для аналогичной формулы замкнутого типа

§ 4. Равномерная оценка для формулы открытого типа, построенной в

§ 7 главы 2.

§ 5. Равномерная оценка для формулы открытого типа, построенной в

§ 7 главы 2, примененной для вычисления сингулярного интеграла на отрезке.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Построение квадратурных формул для вычисления сингулярных интегралов с ядром Коши»

Интегралы типа Коши лежат в основе построения теории краевых задач теории аналитических функций комплексного переменного. Решение многих краевых задач аналитических функций выражается через интегралы типа Коши с заданной плотностью или с неизвестными плотностями, для нахождения которых нужно решать в общем случае систему сингулярных интегральных или интегро -дифференциальных уравнений, содержащих сингулярный интеграл - главное значение интеграла типа Коши.

Свойства этих интегралов к настоящему времени достаточно хорошо изучены ([6], [16]), однако приближенные методы развиты ела -б о по сравнению с методами вычисления обычных интегралов Ри-мана. Методы приближенного вычисления интегралов типа Коши приобретают все большее теоретическое и практическое значение, поскольку теория краевых задач имеет разнообразные и многочисленные приложения в задачах математической физики, особенно в задачах механики сплошной среды, в ряде которых получены лишь приближенные результаты без оценки погрешности.

Одним из наиболее простых способов приближенного вычисления сингулярного интеграла является его регуляризация ( выделение главной части ). Пусть тогда регуляризацией этого интеграла назовем представление его в виде где Ь - кусочно - гладкая кривая.

В формуле (1) первый интеграл является сингулярным и вычисляется аналитически, второй уже является регулярным, если функция

1) f(x) принадлежит классу Гельдера с показателем а Н(а), и к нему применимы известные приближенные методы ( [3]). При этом, обозначив МД t — х надо полагать (если существует производная функции f(x) ), что

F(t,t) = f'(t).

Представление (1) наиболее целесообразно использовать, когда Негладкий замкнутый контур, так как в этом случае ([6], [16])

J(t) = -тгif(t) + [ f{x) ~i{t)dx,

J L t x или для интеграла с ядром Гильберта, когда имеем

J(t) = J*\(f(x)-f(t))ctg{^)dx, t е [0,24 (2)

Если f(x) принадлежит классу Нг(а) на L, т.е. f^(x) 6 H(a),r ^ 1, то функция F(x,t) принадлежит классу Hr-i{a) на! и поэтому из стандартных оценок для регулярных интегралов ( [3]) автоматически получаются оценки для сингулярного интеграла с потерей одного порядка в скорости сходимости квадратурных формул к сингулярному интегралу. При более аккуратном учете структуры функции F(x,t) можно получить более точные оценки скорости сходимости ([5, 22, 23, 30]).

Если кривая L является кусочно - гладкой (например, разомкнутой), то, как правило, функция f(x) представима в виде f(x) = ш(х)ф(х), где функция и{х) неотрицательна и имеет интегрируемые особенности в узлах кривой L, а ф(х) С Н на L. Тогда вместо формулы (1) целесообразно использовать представление m = mff^+fu(x)^)-f))dx (3)

J L t — X JI t — X

В представлении (3) сингулярный интеграл, как правило, опять удается найти аналитически. Представления (1), (2) и (3) используются в основном для получения равномерных оценок, т.е. если обозначить

Rn(t) = \J(t) - Jn(t)l то оценивается maxie£ Rn(t), или maxiC£ie£ Rn(t), или Rn(t) для фиксированного множества точек на L.

Оценка скорости сходимости квадратурных формул к сингулярным интегралам в равномерной метрике затруднена тем, что сингулярный интеграл является неограниченным оператором ([12], [14]) в пространстве непрерывных функций.

С другой стороны, рассмотрим на кривой L пространство L2)W с нормой где \dx\ - дифференциал дуги на L. Тогда сингулярный интеграл, записанный как т/ , % С со(х)гЬ(х) , J l t — x является оператором из bL2i ([7,16,29]). Если uj{x) имеет вид m u{x) = П\х - ck\ak, k= 1 где с*., к = 1, m - все узлы кривой L и a^ 6 (—1,1), то сингулярный оператор J(u>,ij>,t) является ограниченным из L2,ш в Ь2 х. на L ([7], [29]). Более того, если для сингулярного интеграла на замкнутой кривой L или для интеграла с ядром Гильберта взять ш(х) = 1, то норма этого оператора будет равна единице. Норма этого оператора равна единице и в том случае, если L состоит из конечного числа отрезков числовой оси ОХ и а^ = ±|, к = 1,га ([1, 7, 29]). Возьмем теперь Jn(i) = фп, t). Тогда из сказанного вытекает, что

Rn(t)\\r t ^сМх)-фп(х)\\Ь2ш

С-постоянная) и поэтому оценка скорости сходимости Jn (t) к J(t) в метрике L2 j, сводится к оценке скорости сходимости функций ш фп(х) к функции ф(х) в метрике

Одним из основных подходов к построению квадратурных формул для вычисления сингулярных интегралов является аппроксимация плотности (или ее производной) алгебраическим или тригонометрическим многочленом.

В работе [11] построены квадратурные формулы интерполяционного типа для сингулярного интеграла с ядром Гильберта и для сингулярного интеграла с ядром Коши на отрезке. Первая квадратурная формула имеет вид . х — t , 1 V—-V „¿игл ч „.ттт, / f(x) ctg -—dx « - 5--t / - ,

J о 2 n п п

Мам = sin—-—a: sm —— cosec — (4) w 2 2 2 w и является точной для тригонометрических полиномов п — 1-го порядка. В предположении абсолютной сходимости ряда Фурье функции f(x) получена оценка остатка порядка оо где

Д| < 2 Е Ы> fc|=n

1 Г27Г ск = — / f(x)e~tkxdx. 27Г 7О

Для интеграла т/ , Ч f1 ш(х)ф(х) 7 J(w,ib,t)= v J v J dx J-i t-x в [11] построена квадратурная формула, основанная на разложении плотности ф{х) по системе ортогональных многочленов Рп(х)-, ортогональных на [-1,1] с весом uj(x), ф(х) £ Н(а): jw,t)« S(t) = ±iM( %М , где Xk - корни Рп(х),

41 w(®)Pn(a;)

QnW = / da;

J-i t — x функция второго рода. Алгебраическая степень точности этой формулы равна п — 1. Пусть tj,j = 1,г - корни функции Qn{t)- Тогда формула в этих точках получит вид те

Ф(хк)ак к= 1 tj ~ Хк

Qn (^fe)

Для погрешности этой формулы дана оценка где «(я) = /^¿¿(т^т, - наилучшее приближение функции я) многочленами степени 2тг — 1. Поэтому, если функция 6 Нг(а) на [—1,1], то Е2п-1 ^ 0(пГ-а+1), причем в [9], [17] указаны точные константы в неравенстве для Е^п-ь В работе [11] показано, что = J(u^,ф^tj), когда ф(х) является многочленом степени не выше 2п.

В последнее время получены более точные оценки для этих квадратурных формул. Так, в работе [15] показано, что если ф{х) Е Нг(а), и{х) = (1 — х)^(1 + х)и, то при t Е (—1,1) и достаточно больших п справедлива оценка

5) где u*(t) = Unit) при t Е [0,1), uj*(t) = wv(t) при t Е (-1,0] и

1, М ^ 2' vW = < (l-t)2^, -§</*<§> (l + i)^, —| < г/ < (1 + *)", -1 < // < Ранее ([30]) для этой квадратурной формулы были получены другие оценки. Если — 1 < г/, // < 0, то для всех i Е (—1,1) имеем lofe*), 7

6) где 7 = max(v, /i); если же > 0, то для всех t Е [—1,1] имеет место та же оценка, только без множителя Если в качестве

УЗЛОВ ВЗЯТЫ ТОЧКИ = COS 7Г, & = 1, П ИЛИ Xk = cos А: = 0, п, то получается оценка 1 < < о, . fj, > 0.

Отметим, что формула (5) более удобна по сравнению с (6) тем, что не требует, чтобы ь> и ц были одновременно либо отрицательны,

- ю либо положительны. При — 1 < г/, ¡л ^ — \ формула (5) дает более точную оценку. Однако, если — | < v, ц < 0, то формула (6) более удобна, так как во многих задачах желательно,чтобы функция си-1(£)| J(u;, ф, t) — 5(í)| имела равномерную оценку на [—1,1]. Формула (6) дает такую оценку при соответствующем a, a формула (5) - нет. Действительно, полагая в (5) у = ^ = и домножая обе части на u;-1 (í), получаем оценку

J(W,lM) - S(t)\ = (1 +í)^(l -í)^o(^), которая не ограничена на [—1,1]. При z/, ¡i ^ | преимущество имеет оценка (5).

Для случая р = ц = — т.е. uj(x) = Для интеграла J(oj, ф, í) предложена квадратурная формула ( [23]): г1 <ф(х)

4 ¿ Hll^frT^K). fe=l ti / \ sin(n arceos ж) -«г» Тт л где Un-i{x) = sin(arccosa.) = 1,2,. - многочлены Чебышева второго рода, и получена удобная оценка для всех í £ [—1,1]:

В монографии [18] представлены результаты по точным методам вычисления интегралов типа Коши специального вида, которые наиболее часто встречаются в прикладных задачах. В [19] построены приближенные формулы для вычисления сингулярных интегралов вида

Т(Ж) = ^

Г1 № д

Г1

У1 - ж) где /(ж) - плотность (вещественная функция), - весовая функция, аналитическая в I), а также для интегралов Шварца и Гильберта

Для построения формул применен метод аппроксимации плотности (или ее производной) интеграла типа Коши. Рассмотрены полиномиальная аппроксимация, аппроксимация отрезком тригонометрического и степенного рядов. Кроме того, сформулированы необходимое (без доказательства) и два достаточных условия, при которых возможно вычисление интеграла с заранее заданной погрешностью. Построенные формулы требуют, кроме вычисления коэффициентов Фурье, вычисления ряда специальных функций (например, полилогарифмов), которые описаны в [20].

Квадратурные формулы для вычисления сингулярных интегралов играют важную роль при построении численных методов для приближенного решения сингулярных интегральных уравнений. Поскольку сингулярный интеграл - это интеграл, расходящийся в обычном смысле, то первоначально существовала точка зрения, что к таким интегралам неприменимы формулы типа прямоугольников, и для сингулярных интегральных уравнений разрабатывали методы интерполяционного типа. Однако такие методы практически не удается распространить на двумерные уравнения, которые есте

7Г сг)-£ = ехр(гсг), \г\ < 1, 7Г ственным образом возникают в приложениях (аэродинамике, электродинамике, теории упругости) при решении пространственных задач. Поэтому в начале пятидесятых годов в работах по аэродинамике, где сингулярные уравнения возникают при естественном моделировании обтекаемой поверхности вихревым слоем, С.М. Бе-лоцерковским был создан метод дискретных вихрей численного решения сингулярных интегральных уравнений на отрезке (обтекание тонкого профиля) и на прямоугольнике (обтекание крыла конечного размаха прямоугольной формы в плане), нашедший широкое применение при решении прикладных задач. Идея метода дискретных вихрей состоит в следующем. Непрерывный вихревой слой, моделирующий несущую поверхность и след за нею, заменяется системой дискретных вихрей. На несущей поверхности выбираются точки, называемые расчетными, в которых выполняется условие непротекания (сумма нормальных составляющих скоростей, индуцируемых вихрями, и набегающего потока равна нулю). Задача нахождения неизвестных циркуляций дискретных вихрей сводится к системе линейных алгебраических уравнений. Решение задачи не единственно и может иметь особенности на кромках и изломах несущей поверхности. Нужный класс решения определяется физическим содержанием задачи и выделяется выбором указанных особенностей. В методе дискретных вихрей он осуществляется следующим образом (Б - условие метода дискретных вихрей). К тем кромкам, где решение должно быть неограниченным, ближайшими располагаются дискретные вихри, а там, где требуется ограниченность -расчетные точки. Кроме того, квадратурные суммы, которыми заменяются сингулярные интегралы в теории несущей поверхности, должны соответствовать главным значениям интегралов в смысле Коши. Для этого внутренние расчетные точки должны лежать посредине между вихрями на поверхности (или стремиться к этим положениям).

Проиллюстрируем идеи метода на примере обтекания слабоизогнутого тонкого профиля, когда профиль заменяется вихревым слоем интенсивности -у(х). Как показано в [13], задача сводится к характеристическому сингулярному интегральному уравнению первого рода на отрезке: -ИД).

Вихревой слой, моделирующий профиль, заменяется бесконечно длинными прямолинейными шнурами постоянной интенсивности, уравнение которых х = х^, = — 1 + кН, к = к = 1,п.

Граничное условие непротекания профиля выполняется в расчетных точках = хь + |, к = 0, п.

В аэродинамике рассматриваются три вида обтекания профиля: циркуляционное, бесциркуляционное и безударное. Первый основан на гипотезе Чаплыгина - Жуковского о конечности "у(х) на задней кромке и служит для изучения несущих свойств крыльев. Здесь, вообще говоря, на передней кромке профиля решение обращается в бесконечность, и интегральное уравнение заменяется следующей системой алгебраических уравнений: к=1 Хк

Второй вид обтекания встречается в задачах о колебаниях профиля в неподвижной жидкости. При этом обе кромки находятся в одинаковых условиях, величина суммарной циркуляции равна нулю, а на кромках решение обращается в бесконечность. Здесь получается следующая система уравнений: п к=1

Последнее уравнение выражает условие бесциркуляционности, причем согласно Б - условию у обеих кромок ближайшими будут вихри.

Третий вид обтекания изучается в задачах, когда определяются не только несущие свойства крыла, но и деформации его, при которых на передней кромке удается избежать отрыва потока, получающегося при обращении 7(х) в бесконечность. Вместо интегрального уравнения приходим к системе алгебраических уравнений:

Здесь 7оп— дополнительная неизвестная, которая связана с деформацией, необходимой для обращения в нуль интенсивности 'у(х) на передней кромке: 7(—1) = 0. С математической точки зрения она может трактоваться как регуляризирующий фактор, так как согласно Б - условию требование о конечности 7(—1) и 7(1) приводит к появлению лишней расчетной точки.

Метод дискретных вихрей обладает следующими важными особенностями. В нем не делается предположения о характере обращения в бесконечность решения на концах отрезка и на изломах. Требуемый класс решения выделяется выбором взаимного расположения двух множеств (сеток) - дискретных вихрей и расчетных точек.

По существу в методе дискретных вихрей сингулярный интеграл вычисляется приближенно по квадратурной формуле типа прямоугольников. В книге [13] такие формулы построены для сингулярных интегралов по замкнутому гладкому контуру, отрезку и кусочно - гладкой кривой, а также для кратных и многомерных сингулярных интегралов. Там же изложен численный метод дискретных вихрей для сингулярного интегрального уравнения первого рода на отрезке, окружности и с ядром Гильберта.

Численные методы типа дискретных вихрей могут быть применимы к очень широкому классу задач, но имеют невысокую скорость сходимости. В [13] для сингулярных интегральных уравнений первого и второго рода построены интерполяционные методы, скорость сходимости которых зависит от дифференциальных свойств регулярного ядра и правой части. Эти методы основаны на одном свойстве сингулярных интегральных операторов:

7гг т — х где х - индекс оператора, г(1) = (< - 1) — уа2(4) + Ь2(4)ехр(Г(«)),

1 ^кОД а(х)-гЪ(х)

2ттгJ1t-x ' w а(х)+М(х)

В предположении, что &(£) = гб1(£)Ьг(£),где Ьх(£) - вещественная, неотрицательная на [—1,1] функция, которая может иметь нули не целого порядка на одном или обоих концах отрезка, 6Г(£) - вещественный многочлен степени г ^ 0, а(£) - вещественная функция на [—1,1] класса Н, рп(х) и дп-.>е(х) - произвольные вещественные многочлены степени п и п — х, где п > г + в [13] доказаны соотношения и^км) = (-1

S[-\wl-\x)qn-«{x)) = (7) где

W<?\x) = Wi-)(X) = (-1)^-)^), qn-x(t) и pn(t) - вещественные многочлены степеней п — х и п.

Аналогичные соотношения оказываются справедливыми и для случая, когда рп(х) и - полиномы, ортогональные на [—1,1] соответственно с весом и wi \х). Доказательство этого факта впервые было приведено в [31]. В [13] полиномы иpn{t) выписаны в явном виде через коэффициенты многочленов рп(%), qn->c(x),br(x) и моменты весовых функций wj^\x) и wi~\x). В применении к уравнению второго рода a(t)<p{t) + y£- С f1 k(x,t)<p{t)dt = f(t), t £ [-1,1] (8) к J-i t — x ji описываемый метод состоит в следующем. Будем искать решение этого уравнения индекса х класса h ([16]) в виде <р(х) = W^ (х)и(х), где и(х) - новая неизвестная функция. В предположении, что

Ь(х) = Ъ1(х)Ъг(х), k(x,t) = ^$-M(x,t), f(x) = b1(x)f*(x)i

7Г где bi(x) и Ъг(х) описаны выше, M(x,t) и f*(x) - гладкие функции, по целому числу п > г + \х\ построим на [—1,1] две сетки Еп с п различными узлами, отличными нулей b(t), и Епcn-х различными узлами, отличными от нулей b(t) и узлов сетки Еп. Узлы этих сеток должны обеспечивать аппроксимацию функций, входящих в уравнение (8). Из соотношений (7) следует, что если в уравнении (8) функцию f*{t) заменить на многочлен степени п — х, а функцию M(x,t) заменить на многочлен Мп-^{х, t) по переменной t степени п — х, то решением уравнения (8) будет многочлен ип(х) степени п. Представляя неизвестную функцию ип(х) в виде интерполяционного многочлена Лагранжа по узлам сетки Еп, подставляя полином в (8) и требуя выполнения последнего равенства в узлах сетки Еп-к, придем к системе уравнений метода коллокации. Доопределяя полученную систему при я > О или вводя регуляризующие неизвестные ( [12]) при к < О, получим систему уравнений, которая имеет единственное решение. Обоснование изложенного метода основано на общей схеме построения численных методов интерполяционного типа ( [25]) применяемой к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода и приведено в [13].

Подробную библиографию по численным методам решения сингулярных интегральных уравнении первого и второго рода можно найти в [13].

Диссертация посвящена построению квадратурных формул для сингулярных интегралов с ядром Коши с плотностью, аналитической внутри отрезка и имеющей особенности степенного характера на концах.

Рассмотренные выше методы вычисления сингулярных интегралов основаны на полиномиальной аппроксимации и в силу известных аппроксимационных теорем имеют степенную скорость сходимости с порядком, зависящим от гладкости плотности. Между тем, для сингулярных интегральных уравнений на разомкнутом контуре наличие особенностей на концах является типичным обстоятельством, и следовательно скорость сходимости этих методов весьма невысока. В диссертации удается построить универсальные квадратурные формулы, имеющие порядок сходимости выше любого степенного, точнее 0(е~с^) (с - постоянная, п - число узлов формулы).

Построенные формулы основываются на оптимальной в Н2 квадратурной формуле для промежутка [—а, а] С [—1,1], предложенной Б.А. Самокишем ([21]) и имеющей вид:

Г « ТТЛ-1 £ у/1 - к*зи(«*т), (9) о —а уй X гп—1 где 5ТО = 8пит = япК, к), К = - полный эллиптический интеграл, к = а2, а модуль к и множитель Л выбраны в соответствии с первым главным преобразованием п-й степени эллиптических функций Якоби: п1, ХК' = Ь'.

Формула (9) применяется для обычных интегралов от функций, аналитических внутри отрезка [—а, а] при а близком к единице и может быть приспособлена для вычисления интегралов с особенностями. Именно, возьмем а близким к 1 и заменим

1 а а

Г F(x)

1 = j f(x) dx&Ia = J f(x) dx = J dx> 1 —a —a

F(x) = Va2 - x2f(x), а интеграл Ia вычислим по формуле (9): n

I « Ia « Ja,n = 7rA-1a Y^ л/1 - sm\/l - k2s2mf(asm). m— 1

Для формулы (9) в классе функций из Н1, допускающих оценку г =1-0 для фиксированного к получена оценка остатка порядка 0(е~сп) (с - постоянная, п - число узлов ). Для этой же формулы, примененной для вычисления интеграла I от функций, регулярных внутри единичного круга и удовлетворяющих оценкам

При а близком к единице из асимптотических представлений вп(щ к) « 1Ъ(и) « 1 - 2е~2и вытекает, что узлы этой формулы сгущаются к концам отрезка приближенно по закону геометрической прогрессии. Эти узлы используются всюду в дальнейшем для построения квадратурных формул для сингулярных интегралов. Различные подходы к построению формул дают различные формулы для квадратурных коэффициентов.

Рассмотрены два подхода к построению приближенных формул. В первом случае сначала строится квадратурная формула для сингулярного интеграла по промежутку [—а, а] (формула открытого типа), которая затем применяется для вычисления исходного интеграла по промежутку [—1,1]. Таким образом, при оценке ее погрешности приходится учитывать погрешность, возникающую за счет сужения интервала. Во втором случае строится приближенная формула для сингулярного интеграла на отрезке [—1,1] без отбрасывания концов (формула замкнутого типа).

В настоящей работе построены квадратурные формулы открытого типа с чебышевским весом для сингулярных интегралов с ядром Коши. Введем в рассмотрение класс функций Аа, регулярных получена оценка порядка внутри единичного круга и удовлетворяющих оценкам

2| —

Для построенных формул в классе Аа получены оценки погрешности, годные для внутренних точек отрезка [—а,а] порядка

В главе 1, § 1 строится квадратурная формула открытого типа, точная для рациональных дробей с полюсами первого порядка в точках, обратных к узлам. Коэффициенты ее зависят от параметра. Для расчета коэффициентов при одном значении параметра приходится решать по формулам Крамера линейную систему порядка п и выполнять п2 операций. В случае, когда число параметров равно числу узлов, приходится вычислять п2 значений коэффициентов и выполнять п3 арифметических операций.

В § 2 получена оценка остатка построенной формулы.

В § 3 построенная формула применяется для приближенного вычисления интеграла J(t).

Узлы формулы (9) хт = asn(um,k) = a sn(2m^n~1 k) можно рассматривать как преобразование с помощью функции х = asn(ii, к) равномерной сетки чисел ат — 7r('2m2~n~1^ с шагом I", так что если ввести переменную х = asnu = asn то в переменной в числа ит образуют равномерную сетку. При этом также оказывается, что после замены переменной в исходном интеграле коэффициенты квадратурной формулы, полученной из формулы (9), оказываются постоянными, так что эта формула похожа на формулу средних прямоугольников. Однако она не является ею, так как квадратурные суммы указанных формул отличаются множителем, близким к единице. Естественно все же рассмотреть формулу прямоугольников для этого интеграла, взяв в качестве узлов числа ато,га - 1,п.

О (е~

В связи с этим в § 1 главы 2 формула средних прямоугольников после указанной выше эллиптической замены переменной применяется для вычисления обычного интеграла с чебышевским весом по вложенному промежутку.

В § 2 для вычисления того же интеграла применяется формула трапеций с узлами äm = , ш = 0, п, которая также точна для тригонометрического полинома.

В § § 1 и 2 получены оценки погрешностей построенных формул, совпадающие по порядку с оценкой для формулы (9).

В § 3 полученные формулы применяются для вычисления обычного интеграла от функции, аналитической внутри отрезка [—1,1] и имеющей особенности на концах. Для функций класса Аа получены оценки остатков этих формул порядка 0(e~7rv/n(a+1)/2).

Отметим, что формула (9) точна для рациональных дробей, а формула средних прямоугольников точна для тригонометрических полиномов. Оказывается возможным построение достаточно простых формул для сингулярного интеграла на основе формулы типа средних прямоугольников, т.е. точных для тригонометрических многочленов. Такие формулы для интеграла с ядром Гильберта были построены A.A. Корнейчуком ([11]).

В § 4 для сингулярного интеграла с ядром Коши после эллиптической замены, выделения полюса с помощью ядра Гильберта и применения формулы A.A. Корнейчука построены формулы открытого типа с узлами формулы средних прямоугольников и трапеций. Коэффициенты их вычисляются существенно проще по сравнению с коэффициентами формулы, полученной в первой главе.

В § 5 получены оценки погрешности построенных формул.

В § б построенные формулы применяются для вычисления сингулярного интеграла по промежутку [—1,1].

В § 7 для сингулярного интеграла с ядром Коши построена формула открытого типа с узлами формулы трапеций, основанная на замене плотности тригонометрическим многочленом.

В § 8 получена оценка остатка построенной формулы.

В § 9 построенная формула применяется для вычисления интеграла J(t).

В главе 3 получены равномерные по параметру t оценки погрешности формул, построенных в § § 4 и 7 главы 2. Задача вычисления сингулярного интеграла с плотностью, имеющей особенности на концах отрезка по универсальным формулам, т.е. без явного выделения особенности, особенно актуальна при решении методом механических квадратур сингулярного интегрального уравнения на отрезке, поскольку даже при гладких коэффициентах решение такого уравнения имеет на концах особенности, которые трудно выделить явно. Для этой цели важно иметь квадратурные формулы, остаток которых можно оценить на всем отрезке интегрирования или по крайней мере на отрезке, содержащем все узлы квадратурной формулы.

В § 1 такая оценка получена для формулы открытого типа, построенной в § 4 главы 2, совпадающая по порядку с оценкой для формулы (9).

В § 2 для случая, когда параметр £ пробегает совокупность узлов квадратурной формулы, построенной в § 4 главы 2, примененной для вычисления интеграла J(t), для функций класса Аа и нечетного числа узлов п получена равномерная оценка остатка порядка

В § 3 для функций, аналитических в единичном круге и допускающих оценку ж)| 0 < а < 1

- 23 получена равномерная оценка остатка аналогичной формулы замкнутого типа порядка

В § 4 получена равномерная оценка остатка формулы, построенной в § 7 главы 2, совпадающая по порядку грубо с оценкой для формулы (9).

В § 5 для случая, когда параметр £ пробегает совокупность узлов квадратурной формулы, построенной в § 7 главы 2, примененной для вычисления интеграла J(t), для функций класса Аа и нечетного числа узлов п получена равномерная оценка остатка порядка

Нумерация формул в тексте сквозная, порядок ссылки на формулы определяется двумя числами. Первое число указывает номер главы, второе - номер формулы в главе.

Автор считает своим долгом выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю доценту Б.А.Самокишу за постоянную помощь и поддержку во время работы над диссертацией.

Основные результаты диссертации опубликованы в [32], [33].

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Марданов, Алексей Асмедович

Заключение

Приведем сводку результатов. В главе 1, § 1 для сингулярного интеграла г1 *(х) = / х, te(-a,a)

7-1 1-х получена квадратурная формула открытого типа, точная для правильных дробей с полюсами в точках, обратных к узлам (полюсы не выше первого порядка): п

Щ И £ Ат(г)Р(хт), (1) т=1 где

Г(х) = у/а2 - ж2/(ж), п

7Г V ^ ^ хк - 1)(1 - хтхк)ак(хк)у/1 - а2х\ ' ат(х) = - Ж/) / П(1 - хк = аяп^——-—

Для внутренних точек отрезка (£ £ (—а, а)) в § 3 получена оценка остатка

С <i6^/2мi тг + 21п

X I 7Г ^ + А ,

1 у/2{а2 - ¿2)(1 - 2е-^/2) ^Г^2 V 2 6 ) ' л 8 .о, 1 х ( - + 1п --1—г + 4а 1п

2 1- |*|у а2-г2

В § 4 главы 2 для интеграла J(t) построены формулы открытого типа с узлами формулы трапеций и средних прямоугольников: т 2п-1 2Кт

-- УЗ Р1(агп,ф)(3(агп-п + ф)-3(ат-ф))Р(а8п-), ап соя ф ' п т 171 = 0

2) где

2К 2К , х = ав п-в: t = asn-ф,

7Г 7Г г,, ч . П — 1 . П X

Ь [х) = яш-х яш —х сояес —,

2 2 2' т>(а /\ втф-зтв 2К тгт

8П й^ф 8П ¿Л-0 7Г П

7Г ' 7Г

1 " ап т=1

7г О.ТП 77 1

- 7Г + ф)~ 5(/Зт - ф)))Р(а 8П-(3) где

2Кф * - • - - .^

СП —- гс

7Г

7Г эп — ф - вп —в

7Г ' 7Г

7Г ( в — 7Г+ ф в — ф\ ъп: И —г-

4К сп

7Г г э 7г(2т—п —1)

Рт —

2п

1 \—^ , ,ч 7Г агс <<—'.2 сп — ф т=О 7г т

2т -гс х вп --/О, (4) п где 7г(2т —п)

7т — 2п •

Формулы точны для тригонометрического полинома п — 1-ой степени.

В § 6 для внутренних точек отрезка получены оценки погрешностей построенных формул, примененных для вычисления интеграла т

Для формулы (2) получена оценка

Д(1)Й1 < exp(-7iV^/2)(—^^(2 + ехр(тгу/^/2))х х. . 1-iо2 — t2

Для формул (3) и (4) получены оценки

В § 7 для интеграла «/(£) построена формула, точная, когда f(a sn ^-0) тригонометрический полином п — 1 - го порядка:

J(t) ъ

2те —1 те-1

7Г х - ф)1) - (-1)! sin((^ + ф)1)) X ч /i il> '

2апсп—'ф ' f—' V го n

7Г r rn=0 /=1 nlK 2Кт. х th —— xFiasn-). (5)

2if v n ' w

В § 9 для внутренних точек отрезка для формулы (5) получена оценка остатка

М (\ + — /^М 1

ЛИ| < ехр(—7Г\Аш/2)( + 1п

В § 2 главы 3 для случая, когда параметр £ пробегает совокупность узлов квадратурной формулы и нечетного числа узлов п для формулы (2) получена равномерная оценка остатка С„ехр2(ГТ2^))' Сп = (294п + 212 п3/2) + 4Жп(2.96 + б.Збп).

В § 3 главы 3 для интеграла

11 /(*) X

Ь — х после замены х = яп —в построена формула замкнутого типа

К Г2* /(8п^6>)1сп^6>|ап^6> тГ То БП ^ф - БП 2Кв ' Р3(ат,ф)(8(ат -7т + ф)- £(ат - ф))/Ып-)

I / , ^ у/ " I у/ »-' у-^гп "г!) Л I \1

ПСОБф \ П / г т=0

6) где

Рз(0,Ф) = вт ф — вш 0

7Г ' 7Г

СП -б'

7Г ап—б»,

7Г имеющая ту же тригонометрическую степень точности. Для формулы (6) получена равномерная оценка остатка -тга I п

Д| < Сп ехр а+1)'

Сп = 0.3^ (а + 1)2в+3 |тг(с'^1) + 1ба+1^2)) + где С = 1.05, - %Т1ГИ + 0.21П,) +-г(|Т2)-^ х (1.0б + 1.бЗтг),

210+7~п а„ а = (1 - с^4с,+6 Г(2а + 3)«2а + ^

3) = 1Шг(0-52+0Л4п1)+

4^/2тгГ(^) /-тг /п\ / 1 Щ + 2) Мт^) Х (0-22- + 0-28П,

П ГП . о9+7а„а+1 а? + 1 х. п

В § 5 для формулы (5) для случая, когда параметр £ пробегает совокупность узлов квадратурной формулы и нечетного числа узлов п получена равномерная оценка остатка

Щ < (М1(0.61^ + 0.22п) + 4Л^1п(2.96 + б.36п))х п х ехр! —7го;

2(1 + 2«)/'

- 93

Все оценки, полученные для квадратурных формул, применяемых для вычисления интеграла J(t), годные для внутренних точек отрезка [—а, а], имеют один и тот же порядок в главном члене 0(е7Гл^"/2). Этот порядок достигается путем выбора оптимальным образом модуля эллиптических функций, который зависит от величины а, характеризующей класс, в котором даются оценки. Что касается "равномерных" оценок, то они для разных формул различны и тут оптимальное а достигается при другом выборе модуля эллиптических функций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Марданов, Алексей Асмедович, 2000 год

1. Ахиезер Н.И. О некоторых формулах обращения сингулярных интегралов // Изв. АН СССР. Математика 1945. Т.9. С. 275-290.

2. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М., 1970. 304 с.

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М., 1987. 600 с.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М., 1965. 300 с.

5. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М., 1985. 256 с

6. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М., 1977. 640 с.

7. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. Кишинев, 1973. 426 с.

8. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1962. 1106 с.

9. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.-Л., 1952. 696 с.

10. Карпенко Л.Н. Приближенное решение одного сингулярного интегрального уравнения при помощи многочленов Якоби. ПММ, 1966, 30, вып.З. С. 564-569.

11. Корнейчук A.A. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов // Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы. 3VL, 1964. С. 64-74.

12. Лифанов И.К. О некорректности и регуляризации численного решения сингулярного интегрального уравнения первого рода // ДАН СССР. 1980. Т.255. № 5. С. 1046-1050.

13. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М., 1995. 520 с.

14. Лузин Н.Н. Интеграл и тригонометрический ряд. М.-Л., 1951. 552 с.

15. Мусаев Б.И. Приближенное решение полного сингулярного интегрального уравнения на отрезке / Ин-т кибернетики АН АзССР. Баку, 1985. 34 с. Деп. в ВИНИТИ 23.10.85, № 7377-85.

16. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1968. 512 с.

17. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М.-Л., 1949. 688 с.

18. Пыхтеев Г.Н. Точные методы вычисления интегралов типа Коши. Новосибирск, 1980. 120 с.

19. Пыхтеев Г.Н. Приближенные методы вычисления интегралов типа Коши специального вида. Новосибирск, 1982. 128 с.

20. Пыхтеев Г.Н., Мелешко И.Н. Полилогарифмы, их свойства и методы вычисления. Минск, 1976. 68 с.

21. Самокиш Б.А.Квадратурные формулы для интегралов от функций, аналитических внутри отрезка // Вестн. Ленингр. ун-та. 1990. № 1. С. 42-49.

22. Саникидзе Д.Г. О приближенном вычислении интеграла с суммируемой плотностью методом механических квадратур // Укр. матем. журн. 1970. Т.22. № 1. С. 106-114.

23. Саникидзе Д.Г. О равномерной оценке приближения сингулярных интегралов с чебышевской весовой функцией суммами интерполяционного типа // Сообщение АН Груз. ССР. 1974. Т.75. № 1. С. 53-55.

24. Старк И. Обобщенная квадратурная формула для интегралов Коши II Ракетная техника и космонавтика. 1971. № 9. С. 244-245.

25. Треногин В.А. Функциональный анализ. М., 1980. 496 с.

26. Уолш Дж. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. М., 1961. 508 с.- 105

27. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М., 1954. 308 с.

28. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. т.З. М., Физматгиз, I960. 656 с.

29. Хведелидзе Б.В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярных интегральных уравнений и некоторые их приложения // Труды Тбил. матем. ин-та АН Груз. ССР. 1957. Т. XXIII. С. 3-158.

30. Шешко М.А. О сходимости квадратурных процессов для сингулярного интеграла // Изв. выс. уч. заведений. Математика. 1976. № 12. С. 108-118.

31. Elliott D. Orthogonal polynomials, associated with singular integral equation having a Cauchy kernel // SIAM J. Numer. Anal. 1982. Vol. 13. № 6. P. 1041-1052.

32. Map данов A.A. Об одной квадратурной формуле для интегралов типа Коши с плотностью, аналитической внутри отрезка // Методы вычислений. Вып. 17. СПб, 1995. С. 131-144.

33. Марданов A.A. О вычислении сингулярных интегралов с плотностью, аналитической внутри отрезка // Методы вычислений. Вып. 18. СПб, 1999. С. 144-159.