Некоторые вопросы теории приближений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Куликова, Татьяна Юрьевна

• Куликова, Татьяна Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Куликова, Татьяна Юрьевна

Содержание

Введение

Глава I. Аппроксимация в пространствах с весами Якоби, Лагерра и

Эрмита

§1. Определения и формулировка основных результатов

§2. Свойства дифференциального оператора

§ 3. Свойства операторов обобщенного сдвига

§ 4. Операторы сдвига, задаваемые рядами Фурье по ортогональным системам. Неограниченность некоторых операторов

Глава II. Аппроксимация на прямом произведении сфер

§1. Определения и формулировка основных результатов

§ 2. Вспомогательные утверждения

§3. Свойства дифференциального оператора Лапласа-Бельтрами

Глава III. Аппроксимация на торе

§1. Определения и формулировка основных результатов

§2. Свойства оператора дифференцирования

§3. Свойства операторов обобщеного сдвига

Глава IV. Аппроксимация полиномами по системе Уолша

§1. Определения и формулировка основных результатов

§ 2. Свойства оператора обобщенного сдвига

Глава V. Теоремы аппроксимации в абстрактной модели

§1. Определения и формулировка основных результатов

§ 2. Доказательство теоремы о прямоугольнике

§ 3. Доказательство теоремы об угле

§ 4. Свойства смешанных логарифмических классов

§5. Доказательство теоремы о гиперболическом угле

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы теории приближений»

Введение

Одно из основных направлений теории приближений - это выяснение связи структурных свойств функции со скоростью убывания последовательности ее наилучших приближений многочленами. Систематические исследования этого вопроса ведутся с начала XX века, причем эти исследования проводятся в двух направлениях. С одной стороны, находится скорость стремления к нулю величин наилучшего приближения при тех или иных условиях на функцию /. Такие теоремы получили впоследствии название прямых теорем теории приближений. А с другой стороны, изучаются структурные свойства функции в зависимости от ее наилучших приближений. Эти теоремы называют обратными теоремами теории приближений.

Впервые прямые теоремы о приближении непрерывных функций на отрезке действительной прямой получены Д.Джексоном [56], а первые обратные теоремы получены С. Н. Бернштейном [6]. В этих работах речь идет о приближении функций одной переменной в равномерной метрике.

В диссертации прямые и обратные теоремы рассматриваются для случая среднеквадратичного приближения функций двух переменных с интегрируемым квадратом, заданных на прямых произведениях различных измеримых пространств.

Приведем сначала некоторые одномерные результаты, имеющие отношение к этим вопросам.

Рассмотрим пространство L^{X) функций с суммируемым квадратом, заданных на некотором измеримом пространстве X с мерой, в котором имеется счетная полная ортонормированная система. Через En(f) будем обозначать наилучшее среднеквадратичное приближение функции / полиномами порядка ниже п по этой системе.

Структурные свойства функций одной переменной удобно описывать в терминах классов Hr, г = га + о", т (Е Z+, а <Е (0, 1], называемых классами С. М. Никольского. Это классы функций, имеющих т-ую производную, удовлетворяющую интегральному условию Липшица порядка <т (при а < 1):

\\f(x) - f(x + h)\\L2{x) < Mfh% или условию Зигмунда (при сг = 1):

II f(x) - 2f(x + h) + f(x + 2/0||ад < Mjh.

Подобные классы в периодическом случае рассматривались А. Зигмундом [60].

В случае среднеквадратичного приближения тригонометрическими полиномами 27г-периодических функций из классов Никольского, прямые и обратные теоремы аппроксимации были получены Н. И. Ахиезером [1]. Из этих результатов следует, что условие

En(f) = 0(n~r) (1)

является конструктивной характеристикой класса Нг.

В непериодическом случае условие (1) уже не является конструктивной характеристикой соответствующего класса Никольского. Поэтому для того, чтобы в этом случае получить замкнутые теоремы аппроксимации, структурные свойства функций надо описывать в терминах не обычного сдвига, а обобщенного. Обычную производную также удобно заменить на обобщенную операторную производную.

Приближение функций в интегральной метрике в одномерном непериодическом случае (т.е. в случае, когда X —< а,Ь >, —оо < а < Ъ < +оо, с весом Якоби, Лагерра или Эрмита) рассматривалось многими математиками, в частности Е. В. Ржавинской [32] и В.М.Федоровым [46] для полуоси с весом Лагерра, С. 3. Рафальсоном [30] и В.М.Федоровым [47] для всей действительной оси с весом Эрмита, Г.В.Жидковым [14], С. 3. Рафальсоном [31], Б. А. Халиловой [50], М. К. Потаповым [25, 26] и Е. В. Ржавинской [33] для отрезка с весом Якоби.

В случае, когда X - это единичная сфера в многомерном евклидовом пространстве, а структурные свойства функций описываются дифференциальным оператором Лапласа-Бельтрами, конструктивная характеристика Н-класса установлена С. М. Никольским и П. И. Лизоркиным [57]. Ранее в некоторых частных случаях эта оценка была получена С. Павелке [58].

В случае, когда X - это интервал (0, 1), а в качестве базиса в LP(X) выбрана система Хаара, прямая теорема аппроксимации (теорема типа Джексона) установлена П.Л.Ульяновым [45].

В многомерном случае L2{X i x...xlj), где Xi, i = 1,... d, - измеримые пространства с мерой, можно рассматривать различные методы наилучшего приближения - в зависимости от того, какому множеству принадлежат гармоники приближающих полиномов. (Мы ограничимся случаем d = 2, хотя все результаты можно легко перенести на случай произвольного натурального d.) В диссертации мы рассматриваем приближение прямоугольником, углом и гиперболическим углом.

Наилучшим приближением прямоугольником в пространстве ¿2,А,<5 называется величина

Enin2(f) = min У/- РП1П2\\,

"гг I п2

где минимум берется по всем полиномам, спектр которых лежит в прямоугольнике еП1п2 = {(fc, 0 € Ъ\ : 0 < к < щ, 0 < I < п2} .

Наилучшим приближением углом в пространстве ¿2,а,<5 называется величина

Уп1П2(1) = min ||/ - РЩП21|,

Pniri2

где минимум берется по всем функциям РПгП2(х 1,жг) g ь2,а,s со спектром в угле

Упщ2 = {(М) € Ъ\ : к > щ, 1>п2].

Наилучшим приближением гиперболическим углом с параметром р = (/)1,/э2), р% > 0, ¿ = 1,2 порядка N £ в пространстве л,<5 называется величина

4Г2)=тт||/-Р||, где минимум берется по всем полиномам со спектром в множестве

= {(к, I) е Ъ\ : кР11Р2 < А^} .

Обобщение //-классов на случай л,5 тоже можно проводить по-разному. Мы будем рассматривать анизотропные и смешанные классы - Н^Г1'Ги 8Н^Г1,Г2\ Анизотропные классы определяются ограничениями на модули гладкости функций по всем переменным по-отдельности, эти классы имеют конструктивную характеристику в терминах наилучших приближений прямоугольником. Смешанные классы определяются ограничениями на смешанные модули гладкости и характеризуются в терминах приближения углом.

Анизотропные //-классы были определены С.М.Никольским [20], хотя ранее подобные классы функций рассматривались С. Н. Бернштейном [7] практически одновременно с одномерными //-классами у Зигмунда, но только в равномерной метрике. Смешанные классы в непериодическом случае были определены С.М.Никольским [21], а в периодическом подобные классы рассматривались Н. С. Бахваловым [4].

Прямые и обратные теоремы о приближении прямоугольником в интегральной метрике были получены А. Ф. Тиманом [43, с. 288], [44].

Впервые приближение полиномами со спектром в угле рассматривал Я.С.Бугров в [10, с.45-47]. Им было найдено приближение углом для функций, имеющих ограниченную в интегральной метрике обобщенную смешанную производную. Прямые и обратные теоремы о приближении углом в метрике ЬР функций из смешанных классов Никольского получены М.К.Потаповым в [27, 28], причем сам термин "приближение углом" был впервые введен в [28]. В [29] М.К.Потапов при помощи приближения углом установил вложения и совпадения некоторых классов функций, смешанный модуль гладкости которых обладает теми или иными свойствами. Все эти результы относятся к приближению функций, периодических по каждой переменной. Для пространств непериодических функций с весами Якоби, Лагерра и Эрмита характеристика классов Никольского в некоторых частных случаях получена Б. А. Халиловой [51] и Е. В. Ржавинской [33] в метрике ¿2, К.В.Руновским [34] в метрике Ьр. Приближение углом функций, заданных на прямом произведении многомерных сфер впервые рассматривал В. М. Федоров [49].

Приближение полиномами с гармониками в гиперболическом угле впервые рассматривал К.И.Бабенко [2, 3]. В этих работах речь идет о приближении периодических функций из некоторых классов, определяемых ограничениями на смешан-

ные производные определенных порядков, в равномерной метрике и в метрике Ь2. Основные известные результаты для приближения гиперболическим углом получены, в частности, Б. С. Митягиным [18], С. А. Теляковским [40], С.М.Никольским [21], Я. С. Бугровым [11, 12], Н. С. Никольской [19], В. Н. Темляковым [41, 42].

Отметим, что мы рассматриваем не классы Никольского, а их обобщения - логарифмические классы Н(Г1,Г2\ь,1,ь>2) и 8Н^Г1,Г2\и) (см. определения в соответствующих главах). Это делается потому, что прямые и обратные теоремы о приближении гиперболическим углом оказываются замкнутыми в этой шкале пространств.

Несколько слов о структуре диссертации. Настоящая работа состоит из введения и пяти глав. В первом параграфе каждой главы даются необходимые определения и приводятся формулировки основных результатов этой главы.

В первых четырех главах рассматривается приближение в функций в конкретных пространствах. Основными результатами этих глав являются теоремы о приближении прямоугольником, углом и гиперболическим углом в соответствующих пространствах. В главе V рассматривается абстрактная модель, т.е. пространство функций с интегрируемым квадратом, заданных на прямом произведении произвольных измеримых пространств с мерой. Полученные в этой главе теоремы о приближении прямоугольником, углом и гиперболическим углом используются в главах I - IV для получения соответствующих теорем в конкретных пространствах.

Расскажем подробнее о результатах каждой главы.

В главе I рассматривается пространство -£/2,а,<5 функций /(ж^жг), заданных на множестве < а, Ь > х < с, о! >, где < а,Ь > и < с, с? > - конечные или бесконечные промежутки на прямой, с нормой

||/|| = ^ ! Р(х1,Х2)\(Х1)5(Х2)(1Х1<1Х2

где А(ж1) и 6(х2) ~ веса Якоби, Лагерра или Эрмита. В пространстве & фиксируется ортонормированная система полиномов (о.н.с.) ^2)} и задаются операторы обобщенного дифференцирования - и Б2 - и обобщенного сдвига -и Т/^ (индексы 1 и 2 означают, что операторы действуют по первой и по второй переменной соответственно).

В §2 главы I доказывается лемма о ряде Фурье операторной производной, которая представляет из себя условие на коэффициенты Фурье функции /(ж!,ж2) по рассматриваемой о.н.с., необходимое и достаточное для существования обобщенной операторной производной .О™1!}™2/ порядков гп\ и т2 по Х\ и ж2 соответсвенно. В качестве вспомогательного утверждения доказывается самосопряженность всех рассматриваемых операторов на их областях определения.

В §3 приводятся выражения для коэффициентов Фурье функции

1,ж2), ¿ = 1,2 через коэффициенты Фурье функции /(жх,^) по соответствующей системе. Эти выражения имеют вид

сы(Т$/) = /Зк(Н1)сы(/),

где /^(Д) - некоторые непрерывные функции, называемые коэффициентами оператора обобщенного сдвига. В этом параграфе получены также некоторые свойства функций которые вместе с леммой о ряде Фурье операторной производной

(§2) позволяют доказать теоремы аппроксимации, применяя абстрактную модель главы V к случаю пространства £2,а,<5-

В §4 главы I рассматриваются некоторые другие операторы обобщенного сдвига, задаваемые через коэффициенты Задание операторов обобщенного сдвига через коэффициенты рассматривалось в ряде работ, например [55]. С помощью операторов сдвига, построенных в этом параграфе, теоремы аппроксимации распространяются на все возможные параметры весов Якоби и Лагерра {а,(3 > — 1), в то время как сдвиги, рассмотренные в §§1-3 не всегда могут быть использованы для описания структурных свойств функций, поскольку при а,/? < —1/2 эти операторы становятся неограниченными. Эта неограниченность также установлена в этом параграфе.

В главе II рассматривается приближение функций, заданных на множестве Ях х ¿2, где - единичная сфера в ¿¿-мерном действительном пространстве К.^, ¿ = 1,2. В пространстве £2(61 х ¿>2) фиксируется базис из сферических гармоник, а также опредедяются операторы обобщенного сдвига и операторы обобщенного дифференцирования Лапласа-Бельтрами. Для всех этих операторов сферические гармоники являются собственными функциями.

В §3 главы II доказывается лемма о ряде Фурье операторной производной в пространстве 1*2 (¿>1 х й^), аналогичная соответствующей лемме для пространств с весами Якоби, Лагерра и Эрмита. Доказательство этой леммы опирается на утверждение о самосопряженности оператора Лапласа-Бельтрами на области его определения. Для доказательства этого утверждения потребовались технические леммы, которые мы выделили в отдельный параграф (§2).

В главе III рассматривается пространство Ь\ = ^([0;2тг]2) функций /(ж!,ж2), XI Е Л, г = 1,2, 27Г-периодических по каждой переменной, квадрат которых суммируем на [0; 2тт\2. Для описания структурных свойств функций из этого пространства используются операторы дифференцирования (по Леви) и два варианта обобщенного сдвига - обычный сдвиг /(ж!,ж2) /(ж1 + ^ь и сдвиг, задаваемый средними Стеклова. Специфика данного случая состоит в том, что элементы базиса в Ь\ не являются собственными функциями операторов дифференцирования и обычного сдвига. В результате этого, для того, чтобы изложенная в главе V абстрактная модель была применима для получения теорем аппрокси-

мации в пространстве в нее необходимо было внести некоторые изменения. В частности, пришлось допустить "повороты" гармоник при задании операторов обобщенного дифференцирования и сдвига через ряды Фурье по ортогональным системам, а также вместо коэффициентов оператора сдвига работать с коэффициентами операторов разностей.

В главе IV рассматривается пространство Ь2([0] 1)), в котором приближение функций осуществляется полиномами и квазиполиномами по системе Уолша. В отличии от пространств, рассмотренных в главах I - III, в L2([0] 1)) мы не рассматриваем дифференциальных операторов, поэтому логарифмические классы и SH(rur2\v) здесь определены не для всех возможных значений параметров, а только для ri,r2 G (0; 1]. Но при этих ri,r2 порядки наилучших приближений прямоугольником, углом и гиперболическим углом совпадают с соответствующими порядками приближения по системе полиномов Лежандра на отрезке (частный случай результатов главы I), хотя полиномы по системе Уолша являются кусочно-постоянными функциями, а полиномы Лежандра - функции гладкие.

В главе V рассматривается пространство L2(Xi х Х2), где Xj - произвольные измеримые пространства с мерой. В Ь2(Х\ х Х2) вводятся так называемые муль-типликаторные операторы обобщенного дифференцирования и обобщенного сдвига, задаваемые своими коэффициентами через ряды Фурье по фиксированной в L2(X 1 х Х2) полной о.н.с. На коэффициенты этих операторов накладываются ограничения таким образом, чтобы эта абстрактная модель была применима к конкретным ситуациям, рассмотренным в главах I - IV.

В §2 и §3 получены конструктивные характеристики анизотропных и смешанных логарифмических классов в терминах приближения прямоугольником и углом соответственно. Из этих результатов, в частности, следует, что один и тот же класс может быть выражен в терминах разных мультипликаторных операторов обобщенного дифференцирования и обобщенного сдвига. Этот факт используется в §4 для доказательства теоремы о приближении гиперболическим углом для функций из смешанных логарифмических классов. Поэтому переход к абстрактной модели, использующей мультипликаторные операторы, существенно необходим для доказательства теорем о гиперболическом угле.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [62, 63, 64, 65, 66, 67, 68].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю канд. физ.-мат. наук, доц. В. М. Федорову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Куликова, Татьяна Юрьевна, 1999 год

Список литературы

[1] Ахиезер И. И. Лекции по теории аппроксимаций - Москва, Гостехиздат, 1947.

[2] Бабеико К. И. О приближении периодических функций многих переменных тригонометрическими многочленами // ДАН СССР, i960, т. 132, 2, с. 247-250.

[3] Бабенко К. И. О приближении одного класса периодических функций многих переменных тригонометрическими многочленами // ДАН СССР, 1960, т. 132, 5, с. 982-985.

[4] Бахвалов Н. С. Теоремы вложения для классов функций с несколькими ограниченными производными. // Вест. МГУ, 1963, 3, с. 7-16.

[5] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т.2 - Москва, "Наука", 1965.

[6] Бернштейн С. Н. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени, 1912 // Собр. соч., Изд. АН СССР, 1952, с. 11-104.

[7] Бернштейн С. Н. О свойствах однородных функциональных классов // ДАН СССР, 1945, т. 48, с. 563-566.

[8] Бернштейн С. Н. Собр. соч., т. 1, статья 16 // Изд. АН СССР, 1952.

[9] Бернштейн С. Н. Собр. соч., т. 2, статья 82 // Изд. АН СССР, 1954.

[10] Бугров Я. С. Приближение тригонометрическими полиномами функций многих переменных. // Труды научного объединения преподавателей физ.-мат. ф-тов пед. ин-тов Дальнего Востока, 1962, т. 1 (Матем.), с. 28-49.

[11] Бугров Я. С. Приближение классов функций с доминирующей смешанной производной // Мат. сб., 1964, т. 64(106), 3, с. 410-418.

[12] Бугров Я. С. Конструктивная характеристика классов функций с доминирующей смешанной производной // Труды МИАН, 1974, т. 131, с. 25-32.

[13] Голубов Б. И., Ефимов A.B., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша: теория и применения - Москва, "Наука", 1987.

[14] Жидков Г. В. Конструктивная характеристика одного класса непериодических функций // ДАН СССР, 1966, т. 169, 5, с. 1002-1005.

[15] Зорич В.А. Математический анализ, т. 1, Москва, "Наука", 1981.

[16] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа - Москва, "Наука", 1981.

[17] Ляшко И. И. и др. Справочное пособие по высшей математике, т. 1 - Москва, Изд-во "УРСС", 1995.

[18] Митягин Б. С. Приближение функций в пространстве ЬР и С на торе. // Мат. сборн., 1962, т. 58(100), 4, с. 397-414.

[19] Никольская Н. С. Приближение дифференцируемых функций многих переменных суммами Фурье в метрике ЬР // Сиб. мат. журн., 1974, т. 15, с. 395-412.

[20] Никольский С. М. Неравенства для целых функций конечной степени // Тр. МИАН, 1951, т. 38, с. 244-278.

[21] Никольский С. М. Функции с доминирующей смешанной производной, удовлетворяющей кратному условию Гельдера. // Сиб. мат. журн., 1963, т.4, N 6, с. 1342-1364.

[22] Никольский С. М. Функции многих переменных и теоремы вложения - Москва, "Наука", 1969.

[23] Никольский С. М. Курс математического анализа - Москва, "Наука", 1991.

[24] Никольский С. М. Лизоркин П. И. Оценки для производных гармонических многочленов и сферических полиномов в ЬР.// Acta Sei. Math., 48 (1985), pp. 401-416.

[25] Потапов M. К. О приближении многочленами Якоби // Вестн. Моск. ун-та, сер. математика, механика, 1977, 5, с. 70-82.

[26] Потапов М. К. О приближении алгебраическими многочленами в интегральной метрике с весом Якоби. // Вестник Московского Университета, матем., 1983, 4, с. 43-52.

[27] Потапов М. К. О некоторых условиях принадлежности к Ьр смешанных производных. // Mathematica (Cluj), 1968, т. 10(33), 2, с. 355-367.

[28] Потапов М. К. О приближении "углом". // Proceedings of the Conference on Constructive Theory of Functions. Budapest, 1969, c. 371-399.

[29] Потапов M.K. Изучение некоторых классов функций при помощи приближения "углом". // Тр. МИАН, 1972, т. 117, с. 256-291.

[30] Рафальсон С. 3. О приближении функций в среднем суммами Фурье-Эрмита // Изв. вузов, 1968, 7, с. 78-84.

[31] Рафальсон С. 3. О приближении функций суммами Фурье-Якоби // Известия вузов, Матем., 1968, 4, с. 55-56.

[32] Ржавинская Е. В. О приближении функций в среднем суммами Фурье-Лагерра // Известия вузов, Матем., 1979, И, с. 87-93.

[33] Ржавинская Е. В. О приближении функций двух переменных двумерным углом классических ортогональных полиномов, рукопись депонирована в ВИНИТИ, N 4248-80 деп. Москва, 1980.

[34] Руновский К. В. Некоторые вопросы теории приближений. - Диссертация на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. - Москва, 1989. - 150 стр.

[35] Сегё Г. Ортогональные многочлены - Москва, "Физматгиз", 1962.

[36] Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. - Москва, "Наука", 1976.

[37] Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике - ЛГУ, 1950, сс. 1-251.

[38] Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах - Москва, "Мир", 1974.

[39] Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены - Москва, "Наука", 1979.

[40] Теляковский С. А. Об оценках производных тригонометрических полиномов многих переменных // Сиб. мат. журн., 1963, т. 4, 6, с. 1404-1413.

[41] Темляков В.Н. О приближении периодических функций нескольких переменных с ограниченной смешанной разностью // ДАН СССР, 1980, т. 253, 3, с. 544548.

[42] Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. МИАН, 1986, т. 178.

[43] Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного -Москва, "Физматгиз", 1960.

[44] Тиман А. Ф. Некоторые экстремальные свойства периодических функций. // Научные записки Днепропетровского ун-та, 1948, т. 34, с. 153-162.

[45] Ульянов П. JI. О рядах по системе Хаара // Мат. сборн., 1964, т.63, 3, с. 356-391.

[46] Федоров В.М. Аппроксимация многочленами на полуоси // Конструктивная теория функций 81. София, 1983, с. 181-184.

[47] Федоров В. М. Приближение алгебраическими многочленами с весом Чебышева-Эрмита // Изв. вузов. Матем., 1984, 6, с. 55-63.

[48] Федоров В. М. Некоторые вопросы теории приближений - Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, 1983.

[49] Федоров В.М. Приближение функций на многообразиях приближения сфер // - В сборн.: Международная конференция "Функциональные пространства, теория приближений и нелинейный анализ", тезисы докладов., Москва, изд-во МИРАН, 1995, с. 283-284.

[50] Халилова Б. А. О коэффициентах Фурье-Якоби и о приближении функций ультрасферическими многочленами // Известия АН АзССР, сер. физ-техн. и матем. наук, 1973, 2, с. 87-94.

[51] Халилова Б. А. Приближение функций полиномами и их обобщениями - Дисс. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук, Баку, 1977.

[52] Халилова Б. А. О некоторых оценках для полиномов. // Изв. АН АзССР, 1974, 2, с. 46-55.

[53] Халмош П. Гильбертово пространство в задачах - Москва, "Мир", 1970.

[54] Berens Н., Butzer Р., Pavelke S. Limitierungsverfahren von Reihen mehrdimensionaler Kugelfunktionen und deren Saturationsverhalten// Publ. Res. Inst. Math. Sei (Kyoto), Ser. A, 1968, 4, pp. 201-268.

[55] Butzer P. L., Stens R. L., Wehrens R. L. Higher order of continuity basis on the Jacobi translation and best approximation // C.R. Math. Ren. Acad. Sei. Canada, 1980, v. 2, pp. 83-87.

[56] Jackson D. Uber die Genauigkeit der Annäherung stetiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen gegenbenen Grades und trigonometrische Summen gegebener Ordnung, Preisschrift und Inaugural-Dissertation, 1911.

[57] Lizorkin Р. I., Nikol'skii S. M. A Theorem Concerning Approximation on the Sphere // Analysis Mathematica, 1983, v.9, pp. 207-221.

[58] Pawelke S. Über Approximationsordnung bei Kugelfunktionen und algebraischen Polynomen // TÔhoku Math. J., 1972, v. 24, pp. 473-486.

[59] Watson G. N. Another note in Laguerre polinomials// J. London Math. Soc., 1939, v. 14, pp. 19-22.

[60] Zygmund A. Smoots funktions // Duke Math, 1945, v. 12.

[61] Математическая энциклопедия - Москва, "Советская энциклопедия", 1985.

[62] Куликова Т. Ю. Приближение функций в метрике Ь2 с весом // - В сборн.: Современные проблемы теории функций и их приложения, тезисы докладов 9-й Саратовской зимней школы, Изд-во Саратовского Ун-та, 1997, с. 95.

[63] Куликова Т. Ю. Приближение функций гиперболическим углом в метрике Ь2 с произвольным весом // - В сборн.: Международная конференция "Теория приближений и гармонический анализ", тезисы докладов., Тула, 1998, с. 143144.

[64] Куликова Т. Ю. Приближение функций углом и гиперболическим углом из сферических многочленов // - В сборн.: Современные методы теории функций и смежные проблемы, тезисы докладов Воронежской зимней математической школы, Воронеж, 1999, с. 116.

[65] Куликова Т. Ю. Приближение функций в метрике Ь2 с весом JIareppa // Вестн. Моск. Ун-та, сер. 1, математика, механика, 1998, 2, с. 65-66.

[66] Куликова Т. Ю. Приближение функций в метрике Ь2 с весом. Деп. в ВИНИТИ, N 3074-В98, Москва, 1998.

[67] Куликова Т. Ю. Приближение функций гиперболическим углом в метрике Ь2 с произвольным весом // Известия Тульского Гос. Ун-та, сер. математика, механика, информатика, 1998, т. 4, вып. 1, с. 93-96.

[68] Куликова Т. Ю. О приближении функций гиперболическим углом в метрике Ь2 // Матем. Заметки, т. 65, вып. 3 (март 1999), с. 471-473.