Представления вполне несвязных групп преобразований неархимедовых многообразий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Людковский, Сергей Викторович

• Людковский, Сергей Викторович
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Людковский, Сергей Викторович

I ГЛАВА. Неархимедовы группы диффеоморфизмов и обёрток.стр. 21.

§1. Неархимедовы полиэдральные разложения ультраравномерных пространств. . стр. 21.

§1.1. Введение. . стр. 21.

§1.2. Обозначения и предварительные сведения. . стр. 21.

§1.3. Полиэдральные разложения. . стр. 32.

§1.4. Абсолютные полиэдральные разложения и их применения. . стр. 36.

§2. Вложения неархимедовых банаховых многообразий в неархимедовы банаховы пространства. . стр. 37.

§3. Неархимедовы группы диффеоморфизмов. . стр. 38.

§3.1. Введение, стр. . 38.

§3.2. Топологии неархимедовых групп диффеоморфизмов. стр. 38.

§3.3. Структура групп диффеоморфизмов. . стр. 49.

§4. Неархимедовы группы обёрток. . стр. 67.

§4.1. Введение. . стр. 67.

§4.2. Моноиды обёрток. . стр. 67.

§4.3. Группы обёрток. . стр. 82.

§5. Проконечные и конечные группы ассоциированные с неархимедовыми группами диффеоморфизмов и обёрток. . стр. 84.

§5.1. Введение. . стр. 84.

§5.2. р-адические компактификации групп диффеоморфизмов. . стр. 84.

§5.3. р-адические компактификации групп обёрток. . стр. 90.

II ГЛАВА. Квазиинвариантные меры на неархимедовых банаховых пространствах. . стр. 98.

§1. Действительнозначные квазиинвариантные меры. . стр.

§2. Квазиинвариантные и псевдодифференцируемые меры со значениями в неархимедовых полях на неархимедовых банаховых пространствах. . стр. 123.

§2.1. Введение. . стр. 123.

§2.2. Слабые распределения и семейства мер. . стр. 125.

§2.3. Квазиинвариантные меры. . стр. 132.

§2.4. Псевдодифференцируемые меры. . стр. 143.

§3. Неархимедовы стохастические процессы на неархимедовых банаховых пространствах. . стр. 146.

III.

ГЛАВА. Квазиинвариантные меры на группах диффеоморфизмов и обёрток неархимедовых многообразий. . стр. 151.

§1. Квазиинвариантные и псевдодифференцируемые меры на группах обёрток. . стр. 151.

§1.1. Введение. . стр. 151.

§1.2. Меры на полугруппах и группах обёрток. . стр. 152.

§2. Меры на группах диффеоморфизмов неархимедовых многообразий. . стр. 162.

§2.1. Введение. . стр. 162.

§2.2. Специфические изоморфизмы пространств. . стр. 162.

§2.3. Квазиинвариантные и псевдодифференцируемые меры на группах диффеоморфизмов неархимедовых многообразий. . стр. 167.

§3. Стохастические процессы на вполне несвязных группах. . стр. 174.

IV. ГЛАВА. Представления групп с помощью квазиинвариантных мер. Непрерывность и измеримость представлений. . стр. 175.

§1. "Унитарные представления групп с помощью квазиинвариантных мер. . стр. 175.

§1.1. Введение. . стр. 175.

§1.2. Регулярные унитарные представления групп с помощью квазиинвариантных мер. . стр. 175.

§2. Представления с помощью мер на многообразиях. . стр.

§2.1. Представления неархимедовых групп диффеоморфизмов. . стр. 188.

§2.2. Представления групп диффеоморфизмов действительных банаховых многообразий. . стр. 199.

§3. Представления с помощью пуассоновых мер на конфигурационных пространствах. . стр. 206.

§3.1. Введение. . стр. 206.

§3.2. Пуассоновы меры. . стр. 207.

§3.3. Унитарные представления ассоциированные с пуассо-новыми мерами. . стр. 216.

§4. Индуцированные представления с подгрупп и разложения представлений. . стр. 234.

§5. Непрерывность представлений топологических групп. . стр. 242.

§6. Измеримость представлений топологических групп. . стр. 256.

§6.1. Локально компактные группы. . стр. 257.

§6.2. Абелевы группы. . стр. 271.

§6.3. Группы петель и их обобщения. . стр. 271.

§6.4. Группы Банаха-Ли и ядерные группы Ли. . стр. 273.

§7. Измеримость автоморфизмов топологических групп. . стр. 275.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Представления вполне несвязных групп преобразований неархимедовых многообразий»

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Одним из важнейших разделов современной алгебры является топологическая алгебра, которая берёт своё начало с работ С. Ли о топологических группах 1 и работ о неархимедовых полях, например, р-адических чисел впервые введённых К. Гензелем 2. Всевозможные локальные поля возникающие из поля рациональных чисел с помощью пополнений по мультипликативным нормам были описаны А. Островским 3.

Данная работа посвящена построению новых классов вполне несвязных нелокально компактных групп преобразований над бесконечными полями с неархимедовыми нетривиальными мультипликативными нормами. В ней исследуется их структура и изучаются их представления. Для этого используется и развивается вспомогательный аппарат теории квазиинвариантных мер. Более того, выяснены специфические особенности таких объектов и исследуются новые классы некоммутативных неассоциативных алгебр на последовательностях таких вложенных подгрупп. Исследуемые группы относятся к классу групп Ли, так как они имеют структуру многообразий, а групповые операции в них непрерывны или дифференцируемы в зависимости от различных классов гладкости.

Часть топологической алгебры, посвященная структуре, и представлениям локально компактных групп хорошо разработана. Этим вопросам были посвящены многочисленные статьи и книги. При этом активно использовались (неотрицательные) меры Хаара на локально компактных группах, которые инвариантны при левых или правых сдвигах, порожденных элементами группы. Это послужило основой для теории С*-алгсбр или вполне регулярных коммутативных колец, которые использовались в теории унитарных представлений. При изучении представлений локально компактных групп С*-алгебры возникают как алгебры операторов ассоциированные с унитарными представлениями. Также широко используются банаховы *-алгебры или банаховы симметричные коль

1S. Lie, Math. Ann. 16 (1880), 441-528.

2K. Hensel, Jahresber. Deutsch. Math. Ver. 6: 1 (1899), 83-88

3A. Ostrowski, Math. Zeit. 39 (1935), 269-404. ца как алгебры функций ¿^(С?, С) со значениями в поле комплексных чисел С относительно свёртки на локально компактной группе (7 с нетривиальной (неотрицательной) мерой Хаара /1 или С*-алгебры на пространстве Ь2{в, /х, С) для локально компактной абелевой группы или компактной группы [72, 28].

Однако, согласно теореме А. Вейля [120], существование нетривиальной неотрицательной меры, лево (или право) квазиинвариантной относительно всей топологической группы, влечет ее локальную компактность. Это означает, что на топологической не являющейся локально компактной группе С? мера может быть лево (или право) квазиинвариантной лишь относительно собственной подгруппы С, С ф С. Это препятствует применению традиционных банаховых *-алгебр или С*-алгебр для исследования представлений групп, так как алгебры, ассоциированные с квазиинвариантными мерами топологических не являющихся локально компактными групп, обладают гораздо более бедной структурой: они некоммутативны и неассоциативны. Таким образом, для топологических не являющихся локально компактными групп эта область была менее разработанной.

Имеются существенные различия в теории представлений локально компактных групп и не локально компактных топологических групп. Далее рассматриваются Хаусдорфовы топологические группы, что не является сильным ограничением, так как аксиома отделимости То для топологической группы влечёт выполнение аксиомы Т3.5 в силу примера 8.1.17 и теоремы 8.1.20 [46]. Так каждое сильно непрерывное неприводимое унитарное представление компактной группы конечномерно и, следовательно, сильно непрерывно. При этом групповой гомоморфизм Т : (? —» и(Н) называется унитарным представлением, то есть, 7};/ = ТдТ/ для любых 5,/бС1, Тд-\ —Т*- эрмитово сопряженный унитарный оператор, Те = I - единичный оператор на Н для единичного элемента е £ С, где 17(Н) - унитарная группа, а Н - гильбертово пространство над полем комплексных чисел С.

Определение. Представление Т топологической группы С в унитарную группу II (Н) называется непрерывным (сильно непрерывным), если

Т непрерывен относительно топологии в U(H) индуцированной операторной нормой (сильной операторной топологией соответственно).

Для локально компактных абелевых (то есть, коммутативных) групп непрерывное унитарное представление всегда одномерно, то есть является характером. Тогда как для нелокально компактных абелевых групп могут быть бесконечномерные топологически неприводимые сильно непрерывные унитарные представления [13, 51]. Для некоммутативных локально компактных групп сильно непрерывные топологически неприводимые унитарные представления могут быть бесконечномерными.

Для классических некомпактных локально компактных групп .Пи бесконечномерные унитарные представления были построены в работах И.М. Гельфанда и М.А. Наймарка, например, для группы аффинных преобразований прямой, SX(n,R), SL(n, С), 50(п, С) при п > 2, SU(n,m), SO(n,m) при nm > 2 4. Они использовали в своих работах лево или правоинвариантные меры Хаара на этих группах. Конечномерные группы Ли обладают тем преимуществом, что они ещё удовлетворяют, по крайней мере локально, формуле Кэмнбелла-Хаусдорфа, устанавливающей биективное соответствие между локальной группой и отвечающей ей алгеброй Ли. В случае бесконечномерных групп Ли формула Кэмпбелла-Хаусдорфа не обязана выполняться даже локально.

Еще в шестидесятых годах прошлого века один из основоположников теории представлений локально компактных групп И.М. Гельфанд сформулировал проблему о построении унитарных представлений топологических (не являющихся локально компактными) групп с помощью квазиинвариантных мер на них или соответствующих конфигурационных пространствах. Возможные подходы к решению этой проблемы построения унитарных представлений с помощью квазиинвариантных мер обсуждали A.A. Кириллов и У. Макки хотя У. Макки занимался главным образом индуцированными представлениями локально компактных групп. Частные случаи над полем вещественных чисел рассматривали

4М.А. Наймарк, "Нормированные кольца" (Москва: Наука, 1968); И.М. Гельфанд, М.А. Наймарк, Труды МИАН им. Стеклова, 36 (1950).

5А.А. Кириллов, Усп. Матом. Наук, 22: 5 (19G7), G7-8U; G.W. Makkey, Ann. of Math., 58: 2 (1953), 193-221. также P.C. Исмагилов для группы диффеоморфизмов локально компактных римановых многообразий, например, Евклидова пространства Rn, единичной окружности S1. Эти частные случаи изучали также Ю.А. Неретин и A.B. Косяк. Но над неархимедовыми полями никто это ранее диссертанта не исследовал.

Различным топологизациям групп диффеоморфизмов и их связно-стям классов гладкости бесконечно дифференцируемых отображений С°° и ио Соболеву локально компактных римановых многообразий был посвящен ряд работ Д.Дж. Эбин, Дж. Марсден, X. Омори 6. Представления групп диффеоморфизмов локально компактных римановых многообразий с помощью квазиинвариантных пуассоновых мер исследовались в 7. При этом случаи групп для многообразий над неархимедовыми полями ранее не рассматривались.

Интерес к топологическим (в особенности, не являющимся локально компактными) группам объясняется как развитием самой математики, так и естественно возникающими потребностями в них теоретической и математической физики, например, квантовой механики на многообразиях, теории суперструн, квантовой гравитации, калибровочной теории и даже в такой традиционной области как гидродинамике [6, 62, 43, 86, 72, 11, 27, 50]. При этом большую роль в квантовой механике и калибровочной теории приобретают стохастические процессы. Среди них наиболее важны группы диффеоморфизмов и геометрические группы обёрток многообразий (как семейств эквивалентности отображений / : M —» N одного многообразия M в другое N, сохраняющих отмеченные точки s0 G M и г/о G N, f(s0) = y0).

С другой стороны, значительная часть топологической алгебры посвящена топологическим полям, теории чисел и неархимедову анализу. Более того, теория топологических полей исторически послужила отправной точкой развития топологической алгебры. В отличии от классического анализа (то есть над полями R вещественных чисел и С комплексных чисел) неархимедов анализ сравнительно молод, многие из его

6D.G. Ebin, J. Marsden, Ann. of Math. 92 (1970), 102-163; II. Omori, J. Mat. Soc. Japan, 24: 1 (1972), 00-88; H. Omori, Trans. Ашег. Math. Soc. 179 (1973), 85-121.

7A.M. Вершик, И.M. Гельфанд, И.М. Граев, Успехи Матем. Наук, 30 : 5 (1975), 3-50.

разделов разработаны недостаточно.

Имеются принципиальные различия между классическим и неархимедовым анализами. Многообразия над неархимедовыми полями вполне несвязны. Нормированное пространство X над пеархимедовым полем можно представить в виде дизъюнктного объединения шаров, и каждая пара шаров в X либо не пересекается, либо один их них содержится в другом. При этом замкнутый шар положительного радиуса в X также открыт, то есть открыто-замкнут в X. В классическом случае большую роль играют гильбертовы пространства над R или С, но в неархимедовом случае билинейная форма на линейном пространстве над Qp не может дать нормы.

Для неархимедовых метрических пространств (X, d) вместо неравенства треугольника выполнятеся более сильное ультраметрическое неравенство: d(x,z) < max(d(x,y),d(yJ z)) для любых x,y,z Е X, где d - ультраметрика на X. Равномерное пространство становится ульраравиомерным с соответствующим ультра неравенством в терминах окружений диагонали. Для равномерных пространств X. Фрейденталь, Дж. Р. Исбелл и И. М. Козловский 8 развили теорию их полиэдральных разложений в виде пределов обратных спектров, где полиэдры брались в банаховых или нормированных пространствах над полем вещественных чисел R, но оставалась проблема содержательных разложений для ультраравномерных пространств. В диссертации также представлено решение этой проблемы с полиэдрами в банаховых или нормированных пространствах над неархимедовыми локально компактными полями. Это послужило также для изучения структур групп преобразований неархимедовых многообразий и самих многообразий в качестве равномерных пространств.

В классическом случае при определённых условиях бесконечномерное многообразие над R можно вложить в соответствующее линейное пространство над R в качестве открытого подмножества 9. В диссертации

8Н. Freudenthal, Compositio Mathem. 4: 2 (1937), 145-234; J.R. Isbell, Indag. Mathem., Ser А, 23: 2 (ÍOCI), 242-248; J.R. Isbell, Amer. Mat. Soc. Surv. 12 (1964); И.М. Козлонский, Труды Моск. Матем. Общ., 40 (1979), 83-119.

9D.W. Henderson, Topology, 9 (1970), 25-35. был доказан специфический неархимедов вариант о вложении вполне несвязного бесконечномерного многообразия над неархимедовым нолем К при определённых условиях в качестве открыто-замкнутого подмножества в бесконечномерное линейное пространство над К.

Пространства непрерывных функций на вполне несвязных компактах со значениями в неархимедовых полях полных как равномерные пространства имеют локальные разложения в ряды по базисным многочленам 10. Аналитические функции на поле р-адических чисел Qp даже при г G Qp, где г2 = —1, имеют отличные свойства от комплексных голоморфных функций. Теорема Лиувилля о комплексно голоморфных функциях для них не выполняется, так как существуют аналитические функции / : Qp —» Qp ограниченные и отличные от постоянных 11.

До работ В.Х. Шикова главным образом использовались пространства аналитических функций р-адических чисел, что полезно в теории жёсткой геометрии, теории гомологий и когомологий неархимедовых аналитических многообразий и математической физике, но является довольно ограничительным 12. Несколькими годами позже В.Х. Шиков исследовал неархимедовы функции классов гладкости Сп типа Гёльдера 13. Для их корректного определения он использовал не только операторы дифференцирования, но также операторы разделённых разностей для функций и непрерывные продолжения этих операторов, когда они существуют. При этом получается, что пространство Сп+1([/, Qp) вкладывается компактным оператором в Cn(U, Qp) аналогично классическому случаю над нолем действительных чисел, тогда как при использовании одного лишь дифференцирования над Qp получается обратное включение, где U - компактное открыто-замкнутое подмножество в Qp, п G N. Он работал с конечномерными линейными пространствами над неархимедовыми полями. Эти поля могут быть локально компактными или не локально

10Y. Amice, Bull. Soc. Math. France, 92 (1964), 117-180.

11W.H. Schikhof, "Ultrametric calculus"(Cambridge: Cambrdge Univ. Press, 1984).

12.J. Tate, "Rigid analytic spaces" (Bures, France: IH KS, 1962); .J. Fresnel, M. van dor Put "Geometrie analytique rigide et applications" (Boston: Birkhäuser, 1981); B.C. Владимиров, И.В. Волович, Е.И. Зеленов, "р-адический анализ и математическая физика"(Москва: Наука, 1994).

13W.H. Schikhof, "Non-Archimedean calculus", Report 7812 (Nijmegen, The Netherlands: Math. Inst., Kath. Univ., 1978) компактными.

Напомним, что под локальным полем понимается коммутативное недискретное локально компактное поле. В дальнейшем рассматриваются ноля нулевой характеристики, если не оговорено иное.

Для исследования нелокально компактных групп преобразований многообразий над неархимедовыми полями в диссертации потребовалось развить эту теорию на случай пространств функций на бесконечномерных линейных пространствах над неархимедовыми полями и, затем, развить с помощью таких пространств над неархимедовыми полями нежесткую геометрию, изучить многообразия и их топологические группы преобразований. Это было также необходимо для построения стохастических процесов и квазиинвариантных мер на многообразиях и топологических группах.

В неархимедовом анализе для функций из поля р-адических чисел в поле действительных чисел R, используется понятие псевдодифференци-руемости, которое было перенесено с классического случая на неархимедов в 14. Это связано с тем, что кроме локально постоянных функций не существует дифференцируемых функций из открытого подмножества в Qp в ft. Это послужило мотивацией для исследования в диссертации наряду с квазиинвариантностью также псевдодифференцируемости мер на неархимедовых банаховых пространствах X со значенмяи в R или локальном поле отличном от неархимедова поля над которым задано X.

Другое отличие имеется в теории меры: так теоремы Лебега о сходимости интегралов и Радона-Никодима для интегралов и мер со значениями в неархимедовых полях не выполняются. Вместо них имеются весьма специфические неархимедовы аналоги. При этом пространства интегрируемых функций также имеют особые свойства.

Основы теории мер и интегрирования со значениями в неархимедовых полях заложили преимущественно А.П. Монна, Т.А. Спрингер, А.С.М. ван Роой и В.Х. Шиков 10. Неархимедовыми аналогами вероятностей

14В.С. Владимиров, Успехи Матем. Наук, 43: 5 (1989), 17-53.

15А.Р. Monna, Т.А. Springer, Indag. Math. 25: 4 (1963), 634-653; А.С.М. van Rooj, W.H. Schikhof, Indag. Math., Ser. A, 31 (1969), 190-199; W.H. Schikhof, Indag. Math., Scr. A, 33: 1 (1971), 78-85. занимался также А.Ю. Хренников 16 Но ни они, ни другие авторы не изучали в достаточной степени квазиинвариантные меры со значениями в ноле действительных чисел или неархимедовом на бесконечномерных банаховых пространствах или многообразиях над неархимедовыми полями. Так, например, не было теорем о квазиинвариантности или псев-додифференцируемости мер на бесконечномерных банаховых пространствах над неархимедовым полем относительно линейных и нелинейных операторов, удовлетворяющих определенным условиям. Поэтому стояла проблема развития такой теории квазиинвариантных мер на бесконечномерных банаховых пространствах и многообразиях над неархимедовыми полями. Это было необходимо для построения квазиинвариантных мер и стохастических процессов на нелокально компактных группах преобразований.

В неархимедовом случае теория операторных алгебр также весьма специфична. Под С*-алгебрами над неархимедовыми полями имеются в виду другие объекты по сравнению с операторными алгебрами над полем комплексных чисел, а теорема Гельфанда-Мазура для неархимедовых алгебр не выполняется в общем случае 17.

В частности, не были изучены группы обёрток и группы диффеоморфизмов неархимедовых многообразий, а также квазиинвариантные меры даже на неархимедовых банаховых пространствах. Для классических многообразий группы петель были исследованы лишь для римано-вых многообразий и только для М, являющейся единичной окружностью S1. Эти группы не удовлетворяют даже локально формуле Кэмибелла-Хаусдорфа. Для многообразий отличных от окружности или сферы петлевая интерпретация теряется, поэтому они названы группами оберток. Известны группы, называемые также группы петель, но под ними имеют в виду группы Сп-отображений многообразия М в локально компактную группу Ли с поточечной операцией умножения, поэтому эти группы удовлетворяют локально формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа. Структуре и представлениям таких бесконечномерных групп был иосвящён ряд ра

16Л. Khrennikov, "Interpretations of probability"(Utrecht: VSP, 1999).

17A.C.M. van Rooij, "Non-Archimedean functional analysis"(New York: Marcel Dekker Inc., 1978). бот 18, поэтому они не являются главным объектом изучения данной диссертации.

Впервые группы петель для отображений из окружности в локально компактные римановы многообразия были введены С. Лефшецем 19 Для многообразий над неархимедовыми полями они ранее не изучались. Для общих многообразий отличных от окружности и сферы петлевая интерпретация уже теряется, поэтому их обобщения также названы группами обёрток. Необходимо отметить, что для многообразий над неархимедовыми полями их конструкция и топологизация в диссертации существенно отличны от случая римановых многообразий.

Несмотря на то, что группы диффеоморфизмов и обёрток могут быть сами снабжены структурой гладкого многообразия с дифференцируемыми групповыми операциями, они не удовлетворяют ни в какой окрестности единичного элемента (локально) формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа. Поэтому их исследование существенно отличается от групп Ли, локально удовлетворяющих формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа.

Проблема об исследовании стохастических процессов и квазиинвари-аптиых переходных мер на топологических, возможно, не являющихся локально компактными, группах Ли, не удовлетворяющих локально формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа и об отыскании для группы G ее плотной подгруппы G', относительно которой мера квазиинвариантна обсуждалась и ставилась Макки, Кирилловым, Гельфандом в их статьях и Далецким в главе 6 книги [55]. В неархимедовом случае эта проблема практически не рассматривалась ранее.

Для построения представлений вполне несвязных групп преобразований многообразий над неархимедовыми полями стояла ассоциированная проблема в построении квазиинвариантных мер с помощью теории стохастических процессов на неархимедовых банаховых пространствах и многообразиях. Поскольку данный предмет не является главным в диссертации, то это описывается лишь кратко и подробно дано в опублико

18A.M. Вершик, И.М. Гельфанд, М.И. Граев, Успехи Матем. Наук, 28: 5 (1973), 83-128; Э. Прессли, Г. Сигал, "Группы петель" (Москва: Мир, 1990); Ю.А. Неретин, "Категории симметрии и бесконечномерные группы" (Москва: Эдиториал УРСС, 1999) и ссылки в них

19S. Lefschetz, "Introduction to topology"(New Jersey: Princeton, 1949); P. Gajer, in: "Advances in Geometry", J.-L. Brylinski ed., Progr. Math. 172 (1999), 195-235 (Boston: Birkhaüser, 1999). ванных статьях автора, приведенных в списке литературы. Эта задача имела специфические особенности: необходимо было исследовать стохастические процессы на пространствах функций (непрерывных или интегрируемых) из линейного пространства X над локальным нолем К в линейное пространство Y над К и распространить затем эту теорию на случай соответствующих равномерных пространств отображений из многообразия M в многообразие N над К и далее на вполне несвязные группы, которые могут быть нелокально компактными. Эта проблема ранее не рассматривалась, хотя имелись некоторые работы о стохастических процессах на пространствах функций со значениями в поле комплексных чисел С, а также для стохастических процессов с переходными действительнозначными мерами с компактными носителями , которые нельзя было использовать для построения квазиинвариантных мер на вполне несвязных группах, которые могут быть нелокально компактными. Необходимо отметить, что ранее рассматривались стохастические псевдодифференциальные уравнения, использующие операторы Владимирова. В то время как для стохастических процессов на вполне несвязных многообразиях и группах нужно было исследовать иеархимедовы алгебраические стохастические антидифференциальные уравнения, основанные на операторах антидифференцирования по Шикову, что обнаружилось в процессе изучения данной проблемы. Неархимедовы алгебраические стохастические процессы не являются главным предметом данной диссертации, поэтому они лишь кратко описаны в тексте диссертации, а подробно они даются в цитируемых статьях и книгах, в том числе автора диссертации.

Развитие теории представлений нелокально компактных вполне несвязных групп потребовало от автора исследования квазиинвариантных мер, но теория меры не является главным предметом диссертации. С другой стороны, полученные результаты тоже представляют значительный интерес. В частности, был сформулирован и доказан неархимедов аналог

20А.Х. Бикулов, И.В. Волович, Изв. РАН Сер. Матем. 61: 3 (1997), 75-90; S.N. Evans, Proc. London Math. Soc. (3) 56: 2 (1988), 380-416; S.N. Evans, .1. Theorot. Probab. 6: 4 (1993), 817-850; A.N. Kochubei, "Pseudo-differential equations and stochastics over non-Archimedean fields" (New York: Marcol-Dekker, 2001). теоремы Колмогорова о продолжении цилиндрического распределения со значениями в неархимедовом поле до меры. Эта проблема, была сформулирована А.С.М. ван Роой около двенадцати лет тому назад [146, 144]. Практически в диссертации была решена более общая проблема для проективной системы пространств с мерами, включающей в себя также впервые сформулированный и доказанный нерахимедов аналог теоремы Прохорова, откуда, в частности, был выведен неархимедов аналог теоремы Колмогорова 21.

При изучении унитарных представлений как правило используются непрерывные или дифференцируемые представления. Изучение дифференцируемое™ представлений важно, так как позволяет, например, с помощью представлений групп Ли строить представления соответствующих алгебр Ли. Поэтому вопрос дифференцируемости представлений тоже рассматривался в диссертации.

Реже изучаются разрывные представления. Впервые для локально компактных групп Бихтелер 22 доказал существование разрывных представлений. Однако вопрос о существовании неизмеримых представлений топологических групп является более тонким и ранее не исследовался.

К этому вопросу тесно примыкает также другая проблема о восстановлении унитарного представления группы по ее ограничениям на подгруппу. Хорошо известна теория Фробениуса-Макки об индуцированных представлениях для локально компактных групп. В ней используется мера Хаара. Для топологических (возможно, не являющихся локально компактными) групп теория индуцированных представлений с помощью квазиинвариантных мер была практически неразработанной. С другой стороны, важно знать имеет ли данная подгруппа нетривиальные унитарные представления. Топологическая группа, не имеющая непрерывных нетривиальных унитарных представлений, называется экзотической. Такие группы почти не были исследованы и впервые были введены в 1975 году 23 В статьях автора диссертации эта тема была также продолжена для подгрупп топологических (возможно, не являющихся

21С.В. Людковский, Фундам. и Прикл. Матем. 7: 4 (2001), 1091-1105.

22К. Bichteler, Invent. Math., 6 (1968), 159-162.

2:iW. Herer, J. Christensen, Math. Annal. 213: 3 (1975), 203-210. локально компактными) групп, таких как группы петель.

Эта тема исследований обсуждалась диссертантом также с академиком, доктором физико-математических наук Гельфандом Израилем Моисеевичем летом 1996 года на математическом отделении международного института теоретической физики (1СТР) в г. Триесте в Италии. Гельфанд И.М. отметил, что это направление исследований интересно, актуально, является новым и важным как для теории представлений, так и для неархимедова анализа. Более того, Гельфанд И.М. предложил развить его теорию, опубликованную совместно с Вершиком и Граевым в Успехах математических наук в 1975 году, о пуассоновых мерах на конфигурационных пространствах и унитарных представлениях групп диффеоморфизмов римановых многообразий на новый случай групп диффеоморфизмов неархимедовых многообразий.

Таким образом, данная область топологической алгебры является актуальной, как для развития математики, так и для развития теоретической и математической физики.

Целью работы является:

1) Определение и исследование топологических (возможно, не являющихся локально компактными) групп преобразований неархимедовых многообразий, в частности, групп диффеоморфизмов и групп обёрток.

2) Изучение групповой и топологической структуры топологических (возможно, не являющихся локально компактными) групп преобразований многообразий.

3) Развитие в неархимедовом случае вспомогательного инструмента теории квазиинвариантных мер. Построение и исследование квазиинвариантных мер на топологических (возможно, не являющихся локально компактными) группах преобразований неархимедовых многообразий и на ассоциированных конфигурационных пространствах.

4) Исследование ассоциированных с квазиинвариантными мерами алгебр и унитарных представлений, также их измеримости, непрерывности, восстановлению их по ограничению на подгруппу, исследование индуцированных представлений, изучение существования экзотических и неэкзотических подгрупп топологических (возможно, не являющихся локально компактными) групп.

Научная новизна Основные результаты диссертации следующие:

1) Определены группы диффеоморфизмов и группы обёрток многообразий на банаховых пространствах над неархимедовыми полями. При этом для этих групп рассмотрены как конечномерные, так и бесконечномерные многообразия над соответствующими полями. Для групп диффеоморфизмов и групп обёрток исследована их групповая и также топологическая структура. Доказано, что эти группы вполне несвязны и не удовлетворяют локально формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа. В неархимедовом случае по сравнению с классическим найдены принципиальные отличия в их строении.

2) Построены квазиинвариантные меры на этих группах относительно плотных подгрупп. В неархимедовом случае это потребовало развития теории квазиинвариантных и псевдодифференцируемых мер на неархимедовых банаховых пространствах. При этом в неархимедовом случае построены как аналоги гауссовых мер, так и более широкие классы мер.

3) С помощью предыдущих результатов диссертации также построены вспомогательные квазиинвариантные меры пуассонова типа на соответствующих конфигурационных пространствах.

4) Построены регулярные сильно непрерывные унитарные представления плотных подгрупп вполне несвязных групп, в частности, групп диффеоморфизмов и групп обёрток, ассоциированные с квазиинвариантными мерами как на группах, так и на соответствующих конфигурационных пространствах. Исследованы условия, накладываемые на меры и группы, при которых такие унитарные представления топологически неприводимы.

5) С использованием квазиинвариантных мер построены неассоциативные некоммутативные гильбертовы алгебры, для них доказан аналог теоремы Гельфанда-Мазура. Показано, что, в частности, для локально компактных групп эти алгебры сводятся к С*-алгебрам, но в общем случае топологических групп, не являющихся локально компактными, структура этих неассоциативных некоммутативных гильбертовых алгебр иная.

6) Исследованы индуцированные представления топологических групп с помощью квазиинвариантных мер на топологических группах. Рассмотрен вопрос о существовании экзотических и неэкзотических подгрупп топологических (возможно, не являющихся локально компактными) групп.

7) Доказано существование неизмеримых представлений и автоморфизмов топологических групп, а также соответствующее исследование проведено для общих локально компактных групп.

Все основные результаты глав 1-5 получены автором диссертации и являются новыми. Тем самым в пунктах (1 — 5) решена проблема И.М. Гельфанда об унитарных представлениях не локально компактных групп, в пунктах (1,3) решена проблема Макки-Кириллова-Гельфаида о мерах на не локально компактных группах, в пункте (2) решена проблема А.С.М. ван Роой о неархимедовых мерах на банаховых пространствах, в пункте (6) решена проблема об индуцированных представлениях топологических, возможно, не являющихся локально компактными, групп (как развитие по сравнению со случаем локально компактных групп соответствующей теории Макки), в пункте (7) решена обобщенная проблема Бихтелера о существовании неизмеримых унитарных представлений.

Общие методы исследования В диссертации используются методы топологической алгебры, а именно, методы неархимедова анализа, метод алгебр проекционных операторов в теории представлений групп, метод квазиинвариантных мер на группах и ассоциированных конфигурационных пространствах, С*-алгебры и также неассоциативные алгебры.

Теоретическая и практическая ценность Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены в топологической алгебре, в частности, в неархимедовом анализе, теории представлений нелокально компактных групп, алгебрах мер и алгебрах функций, стохастическом анализе на топологических (возможно, не являющихся локально компактными) группах, а также в теоретической и математической физике, в частности, в калибровочной теории, теории суперструн, квантовой гравитации, гидродинамике и т.д.

Апробация работы Результаты диссертации докладывались на международных конференциях:

1) "Groups'97nB университете г. Бат (Англия) в августе 1997 г.;

2) "Italian-Spanish conference on general topology and applications "в университете г. Триест (Италия) в 1999 г.;

3) "Workshop on measure theory and real analysis11 в университете г. Гори-ция (Италия) в 1999 г.;

4) "p-Adic analysis'^ университете г. Векшё (Швеция) в 2001 г.; на семинарах:

5) теоретического отдела института Общей физики РАН в 1997 г.;

6) отдела математической физики Математического института им. В.А. Стеклова РАН в 1998 и 2010 г.г.;

7) лаборатории чистой математики университета г. Клермон-Ферран (Франция) в 1999 г.;

8) математического отделения университета г. Триеста (Италия) в 1999 г.;

9) математического отделения университета г. Сиена (Италия) в 2000 г.;

10) факультета прикладной математики университета г. Эльче (Испания) в 2000 г. и в 2001 г.;

11) математического отделения Фламандского университета ULB г. Брюсселя (Бельгия) в 2004 г.;

12) кафедры дифференциальной геометрии математического факультета Валлонского университета VUB г. Брюсселя (Бельгия) в 2004 г.;

13) математического отделения университета г. Антверпена (Бельгия) в 2004 г.;

14) математического отделения университета г. Падова (Италия) в 2004 г.;

15) математического отделения университета г. Милана (Италия) в 2005 г-;

16) математического факультета университета г. Дармштадта (Германия) в 2006 г.;

17) кафедры высшей математики Московской государственной академии приборостроения и информатики в 2005 г.;

18) кафедры алгебры Московского педагогического государственного университета в 2009 г.;

19) конференции и заседании кафедры прикладной математики Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики (технического университета) МИРЭА в 2006 г. и 2009; на семинарах Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова:

20) П.С. Александрова кафедры общей топологии и геометрии в 19972002 годах;

21) кафедры высшей алгебры в 2000, 2001, 2003, 2004, 2007 и 2009 годах;

22) кафедры высшей геометрии и топологии в 1998-2000 и 2004 годах;

23) кафедры теории функций и функционального анализа в 2002, 2003 и 2007 годах.

Публикации Результаты по теме диссертации опубликованы в работах автора [121] - [172], при этом основные результаты опубликованы в работах [121]-[170]. Все результаты диссертации опубликованы в журнальных статьях.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, 5 глав и 19 параграфов. Полный объем диссертации - 314 страниц (в том числе оглавление и введение - 19 страниц), приложение занимает 57 страниц. Библиография включает 173 наименования и занимает 16 страниц.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Людковский, Сергей Викторович, 2009 год

1. Бахтурип Ю.А. Основные структуры современной алгебры. -Москва: Наука, 1990.

2. Березанский Ю.М., Кондратьев Ю.Г. Спектральные методы в бесконечномерном анализе. Киев: Наукова думка, 1988.

3. Бикулов А.Х., Волович И.В. р-адическое броуновское движение // Известия РАН. Серия матем. 1997,- Т. 61. - № 3,- С. 75-90.

4. Бурбаки Н. Многообразия. Москва: Мир, 1975.

5. Бурбаки Н. Интегрирование. Главы 1-9. Москва: Наука, 19701977.

6. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Москва: Мир, 1976.

7. Вахания H.H., Тариеладзе В.И., Чобанян С.А. Вероятностные распределения в банаховых пространствах. Москва: Наука, 1985.

8. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления. Москва: Иностр. Лит., 1947.

9. Вершик A.M., Гельфанд И.М., Граев М.И. Представления группы диффеоморфизмов // Успехи матем. наук. 1975.- Т. 30.- № 5.- С. 3-50.

10. Владимиров B.C. Обобщенные функции над полем р-адических чисел / / Успехи матем. наук. 1989.- Т. 43,- № 5.- С. 17-53.

11. Владимиров B.C., Волович И.В., Зеленов Е.И. р-адический анализ и математическая физика. Москва: Наука, 1994.

12. Гаптмахер Ф.Р. Теория матриц. Москва: Наука, 1988.

13. Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я. Некоторые применения гармонического анализа. Обобщенные функции. Т. 4,- Москва: Физ.-Мат. Лит., 1961.

14. Го Х.-С. Гауссовы меры в банаховых пространствах. Москва: Мир, 1979.

15. Далецкий Ю.Л., Шнайдерман Я.И. Диффузия и квазиинвариантные меры на бесконечномерных группах Ли // Функц. анализ и его прил. 1969.- Т. 3.- С. 156-158.

16. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы Т. 1, 2- Москва: Иностр. лит., 1958; 1963.

17. Дйордйевич Г.С., Драгович Б. р-адический и аделъный гармонический осциллятор с зависящей от времени частотой // Теор. и матем. физика, 2000,- Т. 124,- № 2.- С. 1059-1067.

18. Исмагилов P.C. Группы и однородные области, связанные с факторами типа II, и представления групп диффеоморфизлюв, сохраняющих иррациональную обмотку // Алгебра и анализ. 1993.- Т. 5.-№ 1,- С. 215-231.

19. Келли Дж. Общая топология. Москва: Наука, 1980.

20. Кириллов A.A. Введение в теорию представлений и некоммутативный гармонический анализ // Итоги науки и техники. Серия соврем, пробл. матем. 1988.- Т. 22 - С. 5-162.

21. Кириллов A.A. Унитарные представления группы диффеоморфизмов и некоторых ее подгрупп // Инст. Прикл. Матем. АН СССР. -Препринт № 82.- Москва: ИПМ, 1974.

22. Кириллов A.A. Элементы теории представлений. Москва: Паука, 1978.

23. Козловский И.М. Абсолютные полиэдральные разложения метрических пространств // Труды Моск. матем. общества. 1979.- Т. 40.- С. 83-119.

24. Куратовский К. Топология. Т. 1, 2.- Москва: Мир, 1966, 1969.

25. Ленг С. Алгебра. Москва: Мир, 1968.

26. Марков A.A. О свободных топологических группах // Известия АН СССР. Серия матем. 1945.- Т. 9.- № 1.- С. 3-64.

27. Менский М.Б. Группы путей. Измерения. Поля. Частицы. -Москва: Наука, 1983.

28. Наймарк М.А. Нормированные кольца. Москва: Наука, 1968.

29. Неретин Ю.А. Представления алгебры Вирасоро и аффинных алгебр // Итоги науки и техники. Серия соврем, пробл. матем. 1988. - Т. 22,- С. 163-230.

30. Паринов М.А. О группе диффеоморфизмов, сохраняющих невырожденные аналитические векторные поля // Матем. сборн. -1995,- Т. 186.- № 5,- С. 115-126.

31. Пасынков Б.А. О спектральной разложимости топологических пространств // Матем. сборн. 1965 - Т. 66.- № 1.- С. 35-79.

32. Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства. Москва: Мир, 1967.

33. Плоткин Б.И. Группы автоморфизмов алгебраических систем. -Москва: Наука, 1966.

34. Понтрягин J1.C. Непрерывные группы. Москва: Наука, 1984.

35. Прессли Э., Сигал Г. Группы петель. Москва: Мир, 1990.

36. Риордан Дж. Комбинаторные тождества. Москва: Наука, 1982.

37. Скороход A.B. Интегрирование в гильбертовом пространстве. -Москва: Наука, 1975.

38. Федерер Г. Геометричекая теория меры. Москва: Наука, 1987.

39. Федорчук В.В., Чигогидзе А.Ч. Абсолютные ретракты и бесконечномерные многообразия. Москва: Наука, 1992.

40. Хренников А.Ю. Математические методы неархимедовой физики. // Успехи матем. наук. 1990.- Т. 45.- № 4.- С. 79-110.

41. Хренников А.Ю., Эндо M. Неограниченность р-адических гауссовых распределений // Известия РАН, Серия матем. 1992.- Т. 56.-С. 1104-1115.

42. Хренников А.Ю. Принцип неопределенности для операторов координаты и импульса в р-адическом гильбертовом пространстве. // Докл. АН СССР. 1997,- Т. 55,- № 2,- С. 283-285.

43. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. -Москва: Наука, 1979.

44. Шавгулидзе Е.Т. Об одной мере, квазиинвариантной относительно действия группы диффеоморфизмов конечномерного многообразия // Докл. АН СССР. 1988.- Т. 303.- № 4,- С. 811-814.

45. Шефер X. Топологические векторные пространства. Москва: Мир, 1971.

46. Энгелькинг Р. Общая топология. Москва: Мир, 1986.

47. Amice Y. Interpolation p-adique // Bull. Soc. Math. France. 1964.-V. 92.- P. 117-180.

48. Araujo J., Schikhof W.H. The Weierstrass-Stone approximation theorem for p-adic Cn-functions // Ann. Math. B. Pascal. 1994.-V. 1,- P. 61-74.

49. Aref'eva I.Ya., Dragovich В., Volovich I.V. On the p-adic summability of the anharmonic oscillator // Phys. Lett. 1988,- V. В 200.- P. 512514.

50. Arnold V.I. Sur la geometrie différentielle des groupes de Lie de dimension infinie et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits U Ann. Inst. Grenoble. 1966.- V. 16,- P. 319-361.

51. Banaszczyk W. Additive Subgroups of topological vector spaces. Berlin: Spinger-Verlag, 1991.

52. Banaszczyk W. On the existence of exotic Banach-Lie groups // Math. Annal. 1983,- V. 264,- № 4,- P. 485-493.

53. Banyaga A. The structure of classical diffeomorphism groups. Mathcm. and its Applic. V. 400.- Dordrecht: Kluwer, 1997.

54. Barut A.O., Raczka R. Theory of groups representations and applications. Warszawa: Polish Scient. Publ., 1977.

55. Belopolskaya Ya. I., Dalecky Yu. L. Stochastic equations and differential geometry. Dordrecht: Kluwer, 1989.

56. Bichteler K. On the existence of noncontinuous representations of locally compact groups // Invent. Math. 1968.- V. 6.- P. 159-162.

57. Bochner S., Montgomery D. Groups on analytic manifolds // Annals of Mathem. 1947.- V. 48,- P. 659-668.

58. Bosch S., Guntzer U., Remmert R. Non-Archimedean analysis. Berlin: Spinger-Verlag, 1984.

59. Brylinski J.L. Loop spaces, characteristic classes and geometric quantisation. Progr. in Math. V. 107.- Boston: Birkhauser, 1993.

60. Cahen P.-J., Chabert J.-L. On the ultrametric Stone-Weierstrass theorem on Mahler's expansion // J. de Théorie des Nombres de Bordeaux. 2002,- V. 14,- P. 43-57.

61. Castro C. Fractal strings as an alternative justification for El Naschie's cantorian spacetime and the fine structure constants // Chaos, Solitons and Fractals. 2002,- V. 14.- P. 1341-1351.

62. Cattaneo A.S., Cotta-Ramusino P., Fucito F., Martellini M., Rinaldi M., Tanzini A., Zeni M. Four-dimensional Yang-Mills theory as deformation of topological BF theory // Commun. Math. Phys. 1998.-V. 197.- P. 571-621.

63. Christensen J.P.R. Topology and Borel structure. North-Holland Math. Studies. V. 10.- Amsterdam: Elsevier, 1974.

64. Constantinescu C. Spaces of measures. Berlin: Spinger-Verlag, 1984.

65. Corson H.H., Isbell J.R. Some properties of strong uniformities // Quart. J. Math. I960.- V. 11.- P. 17-33.

66. Dalecky Yu.L., Fomin S.V. Measures and differential equations in infinite-dimensional space. Dordrecht: Kluwer, 1991.

67. Diarra B. Ultraproduits ultrametriques de corps values // Ann. Sei. Univ. Clermont II, Sér. Math. 1984.- V. 22.- P. 1-37.

68. Diarra B. On reducibility of ultrametric almost periodic linear representations // Glasgow Math. J. 1995.- V. 37,- P. 83-98.

69. Diarra B. Sur quelques représentations p-adiques rfe Zp // Indag. Math.- 1979.- V. 41.- № 4,- P. 481-493.

70. Dragovich B. On signature change in p-adic space-time // Modern Phys. Lett. 1991.- V. A 6,- № 25,- P. 2301-2307.

71. Ebin D.G., Marsden J. Groups of Diffeomorphisms and the Motion of Incompressible Fluid // Ann. of Math. 1970.- V. 92.- P. 102-163.

72. Fell J.M.G., Doran R.S. Representations of *-algebras, locally compact groups, and Banach *-algebraic bundles. Boston: Acad. Press, 1988.

73. Fidaleo F. Continuity of Borel actions of Polish groups on standard measure algebras // Atti Sem. Mat. Fiz. Univ. Modena. 2000.- V. 48.-P. 79-89.

74. Fresnel J., Put M. van der. Géométrie analytique rigide et applications.- Boston: Birkhäuser, 1981.

75. Freudenthal H. Entwicklungen von Räumen und ihren Gruppen // Compositio Mathem. 1937,- V. 4,- № 2,- P. 145-234.

76. Gajer P. Higher holonomies, geometric loop groups and smooth Deligne cohomology // In: Advances in Geometry. Editor J.-L. Brylinski. Progr. Math. V. 172.- P. 195-235. - Boston: Birkhäuser, 1999.

77. Gruenberg K. Profinite groups // In: Algebraic number theory. Editors J.W.S.Cassels and A.Frohlich. Chapter V. London: Acad. Press, 1967.

78. Henderson D.W. Infinite-dimensional manifolds are open subsets of Hilbert space // Topology. 1970.- V. 9,- P. 25-35.

79. Herer W., Christensen J. On the existence of pathological submeasures and the construction of exotic topological groups // Mathem. Annal. -1975.- V. 213,- № 3.- P. 203-210.

80. Hirai T. Irreducible unitary representations of the group of diffeomorphisms of a non-compact manifold // J. Math. Kyoto Univ. -1993.- V. 33.- № 3,- P. 827-864.

81. Isbell J.R. Euclidean and weak uniformities // Pacif. J. Math. 1958.-V. 8,- № 1,- P. 67-86.

82. Isbell J.R. On finite-dimensional uniform spaces // Pacif. J. Math. -1959.- V. 9.- № 1.- P. 107-121.

83. Isbell J.R. Irreducible polyhedral expansions // Indag. Mathem. Ser. A.- 1961.- V. 23,- № 2,- P. 242-248.

84. Isbell J.R. Uniform neighborhood retracts // Pacif. J. Math. 1961.- V. 11.- № 2,- P. 609-648.

85. Isbell J.R. Uniform spaces // AMS Mathem. Surveys. 1964,- V. 12.

86. Isham C.J. Topological and global aspects of quantum theory. In: Relativity, groups and topology II. Editors B.S. De Witt, R. Stora. -P. 1007-1290,- Amsterdam: Elsevier Sci. Publ., 1984.

87. Jang Y. Non-Archimedean quantum mechanics // Tohoku Math. Publ.- 1998.- V. 10.

88. Khrennikov A.Yu. Ultrametric Hilbert space representation of quantum mechanics with a finite exactness // Found. Phys. 1996.- V. 26,- P. 1033-1054.

89. Khrennikov A.Yu. N on-Archimedean analysis: quantum paradoxes, dynamical systems and biological models. Dordrecht: Kluwer, 1997:

90. Klingenbcrg W. Riemannian geometry. Berlin: Walter de Gruyter, 1982.

91. Kobayashi S. Transformation groups in differential geometry. Berlin: Springer-Verlag, 1972.

92. Kosyak A.V. Irreducible Gaussian representations of the group of the interval and circle diffeomorphisms // J. Funct. Anal. 1994.- V. 125.-P. 493-547.

93. Kunen K. Set theory. Amsterdam: Nort-Holland Pub.Com., 1980.

94. Littlewood D.E. The theory of group characters and matrix representations of groups. Oxford: Oxford Univ. Press, 1950.

95. Mather J. Commutators of diffeomorphisms.I, II // Comment. Math. Helvetici. 1974,- V. 49.- P. 512-528; - 1975. - V. 50.- P. 33-40.

96. Milnor J. Microbundles I // Topology. Supplement № 1. - 1964,- V. 3,- P. 53-80.

97. Mitchell B. Theory of categories. New York: Acad. Press, 1965.

98. Monna A.H., Springer T.A. Integration non-Archimedienne // Indag. Math. 1963,- V. 25.- P. 634-653.

99. Montgomery D., Zippin L. Topological transformation groups. New York: J. Wiley and Sons, 1955.

100. Neumann B.H., Neumann H. Extending partial endomorphisms of groups// Proc. Lond. Math. Soc. Ser. 3. 1952,- V. 2,- P. 337-348.

101. Narici L., Beckenstein E. Topological vector spaces. New York: Marcel Dekker Inc., 1985.102. 0ksendal B. Stochastic differential equations. Berlin: Springer-Verlag, 1995.

102. Omori H. Groups of diffeomorphisms and their subgroups // Trans. Amer. Math. Soc. 1973.- V. 179.- P. 85-121.

103. Puusemp P. Endomorphisms and endomorphism semigroups of groups// In: Focus on Groups Theory Research. Editor Ying L.M. -P. 27-57.- New York: Nova Science Publishers, Inc. 2006.

104. Robert A. Représentations p-adiques irréductibles de sous-groupes ouverts de SL2{Zp) // C.R. Acad. Sci. Paris. Série I. 1984,- V. 98.-№ 11.- P. 237-240.

105. Rooij A.C.M. van. Non-Archimedean functional analysis. New York: Marcel Dekker Inc., 1978.

106. Rooij A.C.M. van. Notes on p-adic Banach spaces. Report 7633.-Nijmegen, The Netherlands: Math. Inst., Kath. Univ., 1976.

107. Rooij A.C.M. van, Schikhof W.H. Group representations in non-Archimedean Banach spaces // Bull. Soc. Math. France. Memoire. -1974.- V. 39-40,- P. 329-340.

108. Ruiz L.M.S., Pellicer M.L. On linearly topologized spaces and real-compact spaces,II // Portugal. Math. 1991,- V. 48.- № 4,- P. 475-482.

109. W.H. Schikhof. Ultrametric calculus. Cambridge: Cambr. Univ. Press, 1984.

110. Schikhof W.H. Non-Archimedean calculus. Report 7812.- Nijmegen, The Netherlands: Math. Inst., Kath. Univ., 1978.

111. Schikhof W.H. On p-adic compact operators. Report 8911.- Nijmegen, The Netherlands: Math. Inst, Kath. Univ., 1989.

112. Schikhof W.H. A Radon-Nikodym theorem for non-Archimedean integrals and absolute continuous measures on groups // Indag. Mathem. Ser. A. 1971.- V. 33.- № 1.- P. 78-85.

113. Shimomura H. Poisson measures on the configuration space and unitary representations of the group of diffeomorphisms // J. Math. Kyoto Univ. 1994.- V. 34.- P. 599-614.

114. Straume E. . Compact differentiable transformation groups on exotic spheres // Math. Ann. 1994.- V. 299.- P. 355-389.

115. Swan R.C. The Grothendieck ring of a finite group // Topology. 1963.-V. 2.- P. 85-110.

116. Tate J. Rigid analytic spaces // Invent. Math. 1971.- V. 12.- P. 257289.

117. Vladimirov V.S., Volovich I.V., p-adic quantum mechanics // Commun. Mathem. Phys. -1989,- V. 123,- P. 659-676.

118. Weil A. Basic number theory. Berlin: Springer-Verlag, 1973.

119. Weil A. L'integrtion dans les groupes topologiques et ses applications. Actual. Scient, et Ind. V. 869.- Paris: Herman, 1940.Публикации автора по теме диссертации

120. Людковский C.B. Компактные соотношения между инвариантами унитарных групп U(п) и степеннными суммами // Теоретическая и математическая физика. 1988. - Т. 75. - № 2. - С. 316-320. - 0,47 п.л.

121. Людковский C.B. Матрицы, представляющие канонические элементы универсальных обертывающих классических алгебр Ли в базисе Гелъфанда-Цетлина // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 1989. - № 5. - С. 73-76. - 0,38 п.л.

122. Людковский C.B. Базисы неприводимых представлений классических алгебр Ли // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 1990. - № 5. - С. 18-25. - 0,75 п.л.

123. Людковский C.B. Тензорные операторы алгебр Ли и(тг) и о(и) // Теоретическая и математическая физика. 1990. - Т. 82.- JV* 3. С. 474-479. - 0,47 п.л.

124. Людковский C.B. Компактные соотношения между инвариантами классических групп Ли и элементарными симлгетричными полиномами // Теоретическая и математическая физика. -1991. Т. 89. - № 3. - С. 380-387. - 0,75 п.л.

125. Людковский C.B. Классификация некоторых типов локально компактных групп по их унитарным представлениям // "Успехи математических наук. 1992. - Т. 47. - № 5. - С. 185-186. -0,25 п.л.

126. Людковский C.B. Непрерывность представлений топологических групп // Успехи математических наук. 1993. - Т. 48.- № 6. С. 157-158. - 0,25 п.л.

127. Людковский C.B. Измеримость представлений локально коль-пактных групп // Математический сборник. 1995. - Т. 186.- № 2. С. 83-92. - 1,1 п.л.

128. Людковский C.B. Экзотические группы и факторгруппы групп петель // Математический сборник. 1995. - Т. 186. - № 9.- С. 87-96. 1,1 п.л.

129. Людковский C.B. Меры на группах диффеоморфизмов неархимедовых банаховых многообразий / / Успехи математических наук. 1996. - Т. 51. - № 2. - С. 169-170. - 0,25 п.л.

130. Людковский C.B. Измеримость представлений бесконечномерных групп // Успехи математических паук. 1996. - Т. 51. -№ 3. - С. 205-206. - 0,25 п.л.

131. Людковский C.B. Квазиинвариантные меры на неархимедовых полугруппах петель // Успехи математических наук. 1998.- Т. 53. № 3. - С. 203-204. - 0,25 п.л.

132. Людковский C.B. Вложения неархимедовых банаховых многообразий в банаховы пространства // Успехи математических наук. 1998. - Т. 53. - № 5. - С. 241-242. - 0,25 п.л.

133. Людковский C.B. Неархимедовы полиэдральные разложения ультраравномерных пространств // Успехи математических наук. 1999. - Т. 54. - № 5. - С. 163-164. - 0,25 п.л.

134. Людковский C.B. Измеримость автоморфизмов топологических групп // Математические заметки. 2000. - Т. 68. - № 1. - С. 105-112. - 1,1 п.л.

135. Людковский C.B. Представления топологических групп, порожденные пуассоновыми мерами // Успехи математических наук. 2001. - Т. 56. - № 1. - С. 169-170. - 0,25 п.л.

136. Людковский C.B. Гауссовы меры на свободных пространствах петель // Успехи математических наук. 2001. - Т. 56. - № 5. - С. 183-184. - 0,25 п.л.

137. Людковский C.B. Меры на группах диффеоморфизмов неархимедовых многообразий, представления групп и их применения // Теоретическая и математическая физика. 1999. - Т. 119. - № 3. - С. 381-396. - 1,5 п.л.

138. Людковский C.B. Квазиинвариантные меры на неархимедовых банаховых пространствах // Успехи математических наук. -2003. Т. 58. - 2. - С. 167-168. - 0,25 п.л.

139. Людковский C.B. Структура групп диффеоморфизмов неархимедовых многообразий // Успехи математических наук. -2003. Т. 58. - № 6. - С. 155-156. - 0,25 п.л.

140. Людковский C.B. Топологические группы преобразований многообразий над неархимедовыми полями, их представления и квазиинвариантные меры // Современная математика. Фундаментальные направления. 2006. - Т. 18. - С. 5-100. - 13,8 п.л.

141. Людковский С.В. Измеримость автоморфизмов топологических групп // Математические заметки. 2008. - Т. - 83. № 4. - 480. - 0,05 п.л.

142. Людковский С.В. Неархимедовы полиэдральные разложения ультраравномерных пространств // Фундаментальная и прикладная математика. 2000. - Т. 6. - № 2. - С. 455-475. - 2,3 п.л.

143. Людковский С.В. Стохастические процессы на группах диффеоморфизмов и петель действительных, комплексных и неархимедовых многообразий. // Фундаментальная и прикладная математика. 2001. - Т. 7. - № 4. - С. 1091-1105. - 1,64 п.л.

144. Людковский С.В. Квазиинвариантные и псевдодифференциру-емые действительнозначные меры на неархимедовом банаховом пространстве // Analysis Mathematica. 2002. - Т. 28. - С. 287-316. - 2,5 п.л.

145. Khrennikov A., Ludkovsky S.V. On infinite products of non-Archimedean measure spaces. // Indagationes Mathematicae. -2002. T. 13. - № 2. - C. 177-183. - (авторский вклад 50 %). - 0,78 п.л.

146. Людковский С.В. Неархимедовы свободные банаховы пространства // Фундаментальная и прикладная математика. -1995. Т. 1. - № 4. - С. 979-987. - 0,98 п.л.

147. Людковский С.В. Топологические группы и их к-метрики // Успехи математических наук. 1993. - Т. 48. - № 1. - С. 173-174. - 0,25 п.л.

148. Людковский С.В. Квазиинвариантные и псевдодифференцируе-мые меры со значениями в неархимедовых полях на неархимедовых банаховых пространствах // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. - Т. 9. - № 1. - С. 149-199. - 5,35 п.л.

149. Людковский С.В. Квазиинвариантные меры на группах петель римановых многообразий // Доклады Академии наук. 2000.- Т. 370. № 3. - С. 306-308. - 0,5 п.л.

150. Людковский С.В. Нормальные семейства функций и группы псевдоконформных диффеоморфизмов кватернионных и октони-онных переменных // Современная математика. Фундаментальные направления. 2006. - Т. 18. - С. 101-164. - 9,20 п.л.

151. Ludkovsky S.V. Topological transformation groups of manifolds over non-Archimedean fields, their representations and quasi-invariant measures. I // Journal of Mathematical Sciences. 2007. - V. 147. -№ 3. P. 6703-6846. - 22,5 п.л.

152. Ludkovsky S.V. Stochastic processes on geometric loop groups, diffeomorphism groups of connected manifolds, and associated unitary representations // Journal of Mathematical Sciences. 2007. - V. 141.- № 3. P. 1331-1384. - 8,43 п.л.

153. Ludkovsky S.V. Differentiability of functions: approximate, global and differentiability along curves over non-archimedean fields // Journal of Mathematical Sciences. 2009. - V. 157. - № 2. - P. 311-366. - 8,75 п.л.

154. Ludkovsky S.V. Quasi-invariant and pseudo-differentiable measures with values in поп-Archimedean fields on a поп-Archimedean Banach space // Journal of Mathematical Sciences. 2004. - V. 122. - № 1. - P. 2949-2983. - 5,46 п.л.

155. Ludkovsky S.V. Generalized geometric loop groups of complex manifolds, Gaussian quasi-invariant, measures on them and their representations // Journal of Mathematical Sciences. 2004. - V. 122.- № 1. P. - 2984-3011. - 4,37 п.л.

156. Ludkovsky S.V. Infinite dimensional unitary representations of dense subgroups of exotic groups // Far East Journal of Mathematical Sciences. 2009. - V. 32. - № 2. - P. 169-180. - 0,9 п.л.

157. Ludkovsky S.V. Irreducible unitary representations of a diffeomorphisms group of an infinite-dimensional real manifold // Rendiconti dell'Istituto di Matemica dell'Universita di Trieste. Nuova Serie. 1998. - V. 30. - P. 21-43. - 1,77 п.л.

158. Ludkovsky S.V. Irreducible unitary representations of non-Archimedean groups of diffeomorphisms // Southeast Asian Bulletin of Mathematics. 1998. - V. 22. - № 3. - R 419-436. - 4,27 п.л.

159. Ludkovsky S.V. Properties of quasi-invariant measures on topological groups and associated algebras // Annales Mathématiques Blaise Pascal. 1999. - V. 6. - № 1. - P. 33-45. - 1,17 п.л.

160. Ludkovsky S.V. Quasi-invariant measures on non-Archimedean groups и semigroups of loops и paths, their representations. I, II //' Annales Mathématiques Blaise Pascal. 2000. - V. 7. - № 2. - P. 19-53, 55-80. -5,49 п.л.

161. Ludkovsky S.V. Poisson measures for topological groups and their representations // Southeast Asian Bulletin of Mathematics. 2002.- V. 25. № 4. - P. 653-680. - 3,15 п.л.

162. Ludkovsky S.Y. Groups of diffeomorphisms and wraps of manifolds over non-archimedean fields. Lie Groups. New Research. Editor Canterra A.B. P. 563-600.- New York: Nova Science Publishers, Incorporation, 2009. - 4,81 п.л.

163. Ludkovsky S.V. Quasi-invariant and pseudo-differentiable measures in Banach spaces. New York: Nova Science Publishers, Incorporation, 2009. - 28,41 п.л.

164. Ludkovsky S.V. Stochastic processes on totally disconnected topological groups // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 2003. - V. 2003. - № 48. - P. 3067-3089. - 2,3 п.л.

165. Ludkovsky S.V., Diarra B. Spectral integration and spectral theory for поп-Archimedean Banach spaces // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 2002. - V. 31. - № 7. - P. 421-442. - (авторский вклад 50 %). - 2,2 п.л.

166. Ludkovsky S.V. A structure and representations of diffeomorphism groups of поп-Archimedean manifolds // Southeast Asian Bulletin of Mathematics. 2003. - V. 26. P. 975-1004. - 3,37 п.л.

167. Ludkovsky S.V. Stochastic processes on поп-Archimedean Banach spaces // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 2003. - V. 2003. - № 21. - P. 1341-1363. - 2,30 п.л.

168. Ludkovsky S.V. Stochastic antiderivational equations on non-Archimedean Banach spaces // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 2003. - V. 2003. - № 41. - P. 2587-2602. -1,6 п.л.

169. Людковекий С.В. Неархимедовы полиэдральные разложения ультраравномерных пространств. Резюме доклада на семинаре П. С. Александрова // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2000.- № 3.- С. 73. - 0,03 п.л.