Функциональные интегралы и представления группы диффеоморфизмов окружности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Досовицкий, Алексей Алексеевич

• Досовицкий, Алексей Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Досовицкий, Алексей Алексеевич

Введение

1 Меры, квазиинвариантные относительно действия групп диффеоморфизмов.

1.1 Меры, квазиинвариантные относительно действия группы диффеоморфизмов отрезка.

1.2 Меры, квазиинвариантные относительно действия группы диффеоморфизмов окружности.

1.3 Доказательства теорем.

1.3.1 Доказательство теоремы 1.

1.3.2 Доказательство теоремы 2.

1.3.3 Доказательство теоремы 3.

1.3.4 Доказательство теоремы 4.

1.4 Доказательства лемм.

1.4.1 Доказательство леммы 1.

1.4.2 Доказательство леммы 2.

1.4.3 Доказательство леммы 3.

1.4.4 Доказательство леммы 4.

2 Представления групп диффеоморфизмов отрезка и окружности.

2.1 Доказательства предложений и теорем.

2.1.1 Доказательство предложения 4.

2.1.2 О доказательствах теорем.

2.1.3 Доказательство теоремы 5.

2.1.4 Доказательство теоремы 6.

2.2 Доказательства лемм.

2.2.1 Доказательство леммы 5.

2.2.2 Доказательство леммы 6.

2.2.3 Доказательство леммы 7.

3 Диаграммы Фейнмана.

3.1 Диаграммная техника в суперпространствах.

3.1.1 Супоралгебры и суперпространства.

3.1.2 Производная и интеграл.

3.1.3 Суперскалярпое произведение и гауссовские супермеры.

3.1.4 Теорема Вика и её обобщения.

3.1.5 Интегралы от одночленов.

3.1.6 Интегралы от многочленов.

3.1.7 Диаграммы и графы.

3.1.8 Интегрирование экспоненты от многочлена.

3.1.9 Интегрирование экспоненты от суммы многочленов.

3.2 Диаграммная техника в гильбертовых пространствах.

3.2.1 Интеграл Фейнмана, теорема Вика.

3.2.2 Интегрирование многочленов и экспонент от многочленов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Функциональные интегралы и представления группы диффеоморфизмов окружности»

Введение.

В настоящей диссертации рассматривается два круга вопросов, связанных с интегрированием в бесконечномерных пространствах. Это, во-первых, изучение мер на множествах кусочно-гладких гомеоморфизмов отрезка и окружности и связанных с ними представлений групп диффеоморфизмов отрезка и окружности, и, во-вторых, математическое обоснование диаграммной техники Фейнмана в гильбертовых пространствах и в суперпространствах.

В первой главе диссертации изучаются меры на специального вида подмножествах множества кусочно-гладких гомеоморфизмов окружности и отрезка, квазиинвариантные относительно действия групп диффеоморфизмов, соответственно, отрезка и окружности, с борелевской ограниченной второй производной. Далее во второй главе строятся серии неприводимых представлений групп С3-диффеоморфизмов окружности и отрезка в пространствах функций, квадратично интегрируемых по этим мерам.

Исследования мер, квазиинвариантных относительно действия групп диффеоморфизмов многообразий, и связанных с ними представлений, начались в начале 1970-х годов в работах P.C. Исмагилова [1, 2, 3, 4, 5]. В статье [1] вводится мера на пространстве сходящихся последовательностей на окружности, доказывается ее квазиинвариантность относительно действия группы диффеоморфизмов окружности, а также неприводимость и унитарность соответствующих представлений. В работах [2, 3] близкие построения проводятся для группы диффеоморфизмов компактного многообразия. В статьях [4, 5] вводится пуассоновская мера на пространстве конфигураций (локально конечных множеств) в 1", и с ее помощью исследуются представления группы финитных (тождественных вне компакта) диффеоморфизмов. Другими методами меры (в том числе пуассоновские) на пространстве конфигураций на некомпактном многообразии и связанные с ними представления изучаются в статье A.M. Вершика, И. М. Гельфанда, М.И. Граева [6]. Также различные

способы построения представлений группы диффеоморфизмов окружности изучаются в работах Ю. А. Неретина [7, 8, 9]. Мера., квазиинвариантная относительно действия группы диффеоморфизмов окружности и заданная не на пространстве последовательностей, а на пространстве непрерывных функций на окружности, построена в работе Е. Т. Шавгулидзе [10]. Тем же автором в статье [11] другими методами построены квазиинвариантные меры на группах диффеоморфизмов многообразий, в том числе окружности.

Позже в работах Е. Т. Шавгулидзе [12, 13, 14] развит новый подход к построению меры: вводится оператор А, задающий взаимно-однозначное соответствие между группой (^-диффеоморфизмов окружности и непрерывных функций на отрезке, равных нулю в концах отрезка, и доказывается квазиинвариантность образа меры Винера при этом отображении. Та же тематика изучается в работах П. Малявена и М. П. Малявен [15, 16]. В статье А. В. Косяка [17] рассматривается серия представлений группы диффеоморфизмов окружности, построенных с помощью мер типа Шавгулидзе, доказывается их неприводимость и неэквивалентность. В работе П. А. Кузьмина [18] доказывается квазиинвариантность мер Шавгулидзе относительно более широкого класса диффеоморфизмов, чем это сделано в оригинальных работах. В диссертации развивается подход Е. Т. Шавгулидзе к построению квазиинвариантных мер и представлений группы диффеоморфизмов окружности.

Третья глава диссертации посвящена математическому формализму диаграммной техники вычисления некоторых классов функциональных интегралов: в гильбертовых пространствах — интегралы Фейнмана, в суперпространствах Владимирова-Воловича — интегралы по гауссовским супермерам (в смысле Смолянова-Шавгулидзе). Доказывается, что в некоторых случаях можно ограничиться суммированием лишь по связными диаграммами, если вычислять логарифм интеграла.

Во второй половине двадцатого века в квантовой механике и, в частности, в квантовой теории поля, широкое распространение получило континуальное интегрирование, в том числе — интеграл Фейнмана. Этот подход к квантовой механике был предложен Р. Фейнманом в его работе [19] (и более подробно — в книге [20]), но без соответствующего математического обоснования. В дальнейшем теория интеграла Фейнмана получила развитие в работах С. Альбеверио, Ф.А. Березина, X. фон Вайцзеккера, Э. Виттена, И. М. Гель-

фанда, Р. Камерона, В. П. Маелова, Э. Нельсона, Б. Саймона, О. Г. Смоля-нова, А. В. Угланова, А. Трумена, Р. Хег-Крона, А. Хибса, А. Ю. Хренникова, А. М. Чеботарева, Е. Т. Шавгулидзе, П. Экснера, А. М. Яглома и многих других. Существует несколько определений интеграла Фейнмана: восходящее к самому Фейнману определение через предел конечнократных интегралов; предложенное Р. Камероном определение через аналитическое продолжение интегралов по гаус.совским мерам в комплексную плоскость; разработанное в статьях и книгах В. П. Маелова [21], С. Альбеверио и Р. Хег-Крона ¡22}. А. М. Чеботарева определение интеграла через равенство Парсеваля. Хотя бы факт наличия такого количества определений, связи между которыми не вполне ясны, говорит о том, что теория интеграла Фейнмана далека от завершения. По-видимому, наиболее систематическое и строгое изложение математических результатов, связанных с интегралами Фейнмана, содержится в книге О. Г. С-молянова и Е. Т. Шавгулидзе [23].

Суть диаграммной техники состоит в том, чтобы наглядным образом графически представлять сложные интегралы, возникающие при использовании теории возмущений в физических вычислениях. Впервые подобный метод, по-видимому, был предложен в 1930х гг. Э. Шткжельбергом при построении кова-риантной теории возмущений для квантовой теории ноля. Но широкое распространение и признание диаграммная техника получила после работы Р. Фейнмана [24], где она была применена для вычислений в области квантовой электродинамики. К настоящему времени диаграммы Фейнмана — стандартный инструмент для различных физических вычислений, описанный в множестве стандартных текстов по квантовой теории поля [25, 26, 27, 28, 29, 30, 31 Однако в большинстве случаев использование диаграмм Фейнмана не сопровождается удовлетворительным с математической точки зрения обоснованием.

Имеются, однако, и работы о диаграммах Фейнмана, выполненные на математическом уровне строгости. В книге О. И. Завьялова [32] детально рассмотрены различные подходы к перенормировкам диаграмм Фейнмана. В работах А. Конна и Д. Креймера [33, 34] для рассмотрения структуры диаграмм применяется аппарат алгебр Хопфа, та же тема развивается в работах К. Эбрагими-Фарда и Д. Креймера [35], а также К. Брудера с соавторами [36, 37]. В книге Д. Креймера [38] изучается связь между диграммной техникой и теорией узлов. В работе С. X. Джаха, Г. Готтшалка и X. Эрди-

ана [39] диаграммная техника применяется для вычисления интегралов по функциональным мерам типа Леви.

В физической литературе (см. например книги Р. Д. Маттука [40], К. Хуан-га [41], М. Чини [42], В. Нолтиига [43]) известна так называемая linked-cluster theorem, утверждающая, что при вычислении логарифма от некоторого интеграла можно ограничиться суммированием лишь по связным диаграммам среди всех соответствующих этому интегралу. Этот факт ноеит комбинаторный характер и доказательство его не слишком сложно, но на достаточно формальном уровне, особенно в случае интегрирования по антикоммутирую-щим переменным, он не доказывался. В статье К. Брудера и Ф. Патраша [44] эта теорема доказывается в абстрактной форме в контексте алгебраического подхода к диаграммной технике.

В физических теориях изучаются как бозонные (коммутирующие), так и фермионные (антикоммутирующие) поля. Последним естественным образом соответствуют интегралы по антикоммутирующим (грассмановым) переменным. Теория, изучающая функции антикоммутирующих переменных, получила название суперанализ. Впервые попытки построить теорию антикоммутирующих переменных на математическом уровне строгости предпринимаются в начале 1960-х годов. Первыми работами в этой области принято считать статьи Дж.Л. Мартина [45, 46]. В дальнейшем, предложенный Дж. Л. Мартином подход развивался в работах Ф. А. Березина [47, 48, 49, 50], Д. А. Лейтеса [51, 52] и других авторов. Сейчас такой подход называют алгебраическим супсранализом. Другой подход к антикоммутирующим переменным основан на понятии суперпространства, введенном в работах А. Салама и Дж. Стратди [53. 54]. Этот подход развивался в работах Б. Де Витта [55], А. Роджерс [56, 57, 58], В. С. Владимирова и И. В. Воловича [59, 60], О. Г. Смо-лянова и Е. Т. Шавгулидзе [61, 62], А. Ю. Хренникова [63, 64, 65] и других. Это направление носит название функциональный суперанализ. Именно этот подход используется в диссертации при вычислении интегралов по антикоммутирующим переменным.

Теперь подробнее скажем о структуре диссертации.

В главе 1 строятся две серии мер на, соответственно, двух типах специального вида подмножеств множества кусочно-гладких гомеоморфизмов отрезка. Множество первого типа задается двумя наборами вещественных чисел

{О < ¿1 < ... < и < 1} и {[1,..., [г} и представляет из себя множество гомеоморфизмов отрезка [0,1], непрерывно дифференцируемых всюду, кроме точек tj) в которых имеют изломы, причем = е[?'. Множество второго типа за-

дается такими же наборами и удовлетворяет тем же условиям и еще одному

г

дополнительному: ущ — е1=г . Оказывается, что каждое из множеств первого типа можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с множеством функций Со([0,1]) = {с е С([0,1]) : с(0) = 0}, а каждое из множеств второго типа — с множеством Соо([0,1]) = {с £ С0([0,1]) : с(1) = 0}. Меры получаются как образы меры Винера (соответственно,броуновского моста) при этих соответствиях. Основные результаты главы сформулированы в теоремах 1-4 и состоят в следующем:

• Доказана квазиинвариантность построенных мер относительно действия С3-диффеоморфизмов окружности и отрезка, причем приведена явная формула для плотности преобразованной меры относительно исходной.

• Доказана квазиинвариантность мер относительно более широкого класса диффеоморфизмов, а именно, (^-диффеоморфизмов окружности и отрезка с ограниченной борелевской второй производной.

В главе 2 изучаются свойства представлений групп диффеоморфизмов отрезка и окружности, задаваемых на пространствах функций, квадратично интегрируемым по построенным в главе 1 мерам следующей формулой:

(идГ)(х) = (Рд-1(х))^+хЩд-1х). (1)

Здесь Рд{х) = ц(д (1х)/¡1(<1х) — плотность образа меры ¡1 при действии элемента группы д относительно самой меры ц, А — произвольный вещественный параметр. Оказывается естественным изучать представления группы диффеоморфизмов отрезка на пространствах функций, заданных на множествах первого типа, а представления группы диффеоморфизмов окружности — второго тина. Каждое представление задается наборами {0 < < ... < < 1} и {[1,..., 1г}, дисперсией о меры Винера (броуновского моста) и параметром Л из формулы (1). Основные результаты этой главы — теоремы 5 и 6 — состоят в следующем:

• Доказана неприводимость построенных представлений.

• Доказана попарная неэквивалентность построенных представлений.

В главе 3 настоящей диссертации обосновывается диаграммный метод вычисления интегралов от полиномов и экспонент от полиномов в следующих двух случаях:

1) Гауссовские и фейнмановекие интегралы в гильбертовых пространствах. При этом используется определение аналитического интеграла Фейнмана, приведенное в книге О. Г. Смолянова и Е. Т. Шавгулидзе [23].

2) Гауссовские интегралы в суперпространствах. Все факты, касающиеся анализа на суперпространствах, взяты из работ B.C. Владимирова и И. В. Во-ловича [59, 60], а определение гауссовских супермер — из работы О. Г. Смолянова и Е.Т. Шавгулидзе [61].

Для таких интегралов доказываются аналоги linked-cluster theorem (теоремы 12, 13, 15, 16), состоящие в следующем:

• Если /(t) = f elp^p(dx), g(t) = In f(t), где p(x) — полином (в случае суперпространства — с четными коэффициентами), а /х — гауссовская мера, фейнмановская псевдомера или гауссовская супермера, то (при некоторых дополнительных условиях) при вычислении диаграммным методом д(п\0) суммирование следует проводить лишь по связным диаграммам среди соответствующих /^(0).

• Если /(*!,...,*,) = f etlPl^+'"+tlPi^ p(dx) 7 g(tu...,ti) = In f{tu ..., tt\ где Pj{x) — полиномы (в случае суперпространства — с четными коэффициентами и четными значениями), а р — гауссовская мера, фейнмановская псевдомера или гауссовская супермера, то (при некоторых дополнительных условиях) при вычислении диаграммным методом gfi 9 (0) суммирование следует проводить лишь по связным диаграммам среди соответствующих щт^т J (0).

В заключение выражаю глубокую признательность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Евгению Тен-гизовичу Шавгулидзе за постановку задач, постоянное внимание к работе и многолетнюю поддержку.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Досовицкий, Алексей Алексеевич

Заключение

Отметим еще раз основные результаты, полученные в работе:

• Построены две серии мер: на множествах кусочно-гладких гомеоморфизмов окружности и отрезка. Доказана квазиинвариантность построенных мер относительно действия С3-диффеоморфизмов, соответственно, окружности и отрезка, причем приведена явная формула для плотности преобразованной меры относительно исходной.

• Доказана квази инвариантность построенных мер относительно более широкого класса диффеоморфизмов, а именно, С^-диффеоморфизмов окружности и отрезка с ограниченной борелевской второй производной.

• В пространствах функций, квадратично интегрируемых по построенным мерам, введены регулярные представления групп С3-диффеоморфизмов, соответственно, окружности и отрезка. Доказана неприводимость и попарная неэквивалентность построенных представлений.

• Обоснован метод диаграмм Фейнмана вычисления интегралов в двух следующих случаях: интегралы по гауссовским супермерам в суперпространствах и интегралы по фейнмановским мерам в гильбертовых пространствах.

• Для диаграммного метода вычисления интегралов от экспонент от полиномов в обоих приведенных случаях доказано, что при переходе от интеграла к его натуральному логарифму перебор диаграмм ограничивается лишь связными диаграммами.

Наконец, хочу еще раз поблагодарить своего научного руководителя, доктора физико-математических наук, профессора Евгения Тенгизовича Шавгу-лидзе за постановку задач, интерес к работе и всестороннюю поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Досовицкий, Алексей Алексеевич, 2011 год

Литература

[1] P.C. Исмагилов, Об унитарных представлениях группы диффеоморфизмов окружности, Функциональный анализ и его приложения, 5, N. 3, 1971, с. 45-53.

[2] P.C. Исмагилов, Об унитарных представлениях группы диффеоморфизмов компактного многообразия, Функциональный анализ и его приложения, 6, N. 1, 1972, с. 79-80.

[3] P.C. Исмагилов, Об унитарных представлениях группы диффеоморфизмов компактного многообразия, Известия Академии Наук СССР, Серия математическая, 36, 1972, с. 180-208.

[4] P.C. Исмагилов, Об унитарных представлениях группы диффеоморфизмов пространства Mn, п ^ 2, Функциональный анализ и его приложения, 9, N. 2, 1975, с. 71-72.

[5] Р. С. Исмагилов, Об унитарных представлениях группы диффеоморфизмов пространства Rn, п ^ 2, Математический сборник, 98(140), N. 1(9), 1975, с. 55-71.

[6] А. М. Верпшк, И. М. Гельфанд, М. И. Граев, Представления группы диффеоморфизмов, Успехи математических паук, 30, N. 6, 1975, с. 3-50.

[7] Ю. А. Неретин. Дополнительная серия представлений группы диффеоморфизмов окружности, Успехи математических наук, 37, N. 2(224), 1982, с. 213-214.

[8] Ю. А. Неретин. Унитарные представления со старшим весом группы диффеоморфизмов окружности, Функциональный анализ и его приложения, 17, N. 3. 1983, с. 85—86.

[9] Ю.А. Неретин. Представления алгебры Вирасоро и аффинных алгебр, Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 22, 1988, с. 163-224.

[10] Е. Т. Шавгулидзе, Один пример меры, квазиинвариантной относительно действия г]>уппы диффеоморфизмов окружности, Функциональный анализ и его приложения, 12, N. 3, 1978, с. 55-60.

[11] Е. Т. Шавгулидзе, Об одной мере, квазиинвариантной относительно действия группы диффеоморфизмов конечномерного многообразия, Доклады Академии Наук СССР, 303, N4, 1988, с. 811-814.

[12] Е. Т. Шавгулидзе, Распределения на бесконечномерных пространствах и вторичное квантование в струнных теориях, V международная Вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистике. Июнь 1989: тезисы кратких сообщений. Вильнюс, 1990. с. 359-360.

[13] Е. Т. Шавгулидзе, Квазиинвариантные меры на группах диффеоморфизмов, Труды МИАН им. Стеклова, 217, 1997, с. 189-208.

[14] Е. Т. Shavgulidze, Some Properties of Quasi-Invariant Measures on Groups of Diffeomorphisms of the Circle, Russian Journal of Mathematical Physics, 7, N. 4, 2000, pp. 464-472.

[15] M. P. Malliavin, P. Malliavin, Measures quasi invariantes sur certain groupes de dimension infini, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. 1, 311, 1990, pp. 765-768.

[16] M. P. Malliavin, P. Malliavin, Integration on loop groups. I. Quasi invariant measures, Journal of Functional Analysis, 93, N1, 1990, pp. 207-237.

[17] А. V. Kosyak, Irreducible Regular Gaussian Representations of the Groups of the Interval and Circle Diffeomorphisms, Journal of Functional Analysis, 125, 1994, pp. 493-547.

[18] P. A. Kuzmin, On circle diffeomorphisms with discontinuous derivatives and quasi-invariancc subgroups of Malliavin-Shavguhdze measures, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 330, 2007, pp. 744-750.

[19] R. P. Feynman, Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics, Reviews of Modern Physics, 1948, 20, №2, pp. 367-387.

[21

[22

[23

[24

[25

[26 [27

[29

[30

[31 [32

Р. Фейнман, А. Хибс, Квант,овая механика и интегралы по траекториям, М.: Мир, 1968.

B. П. Маслов, Комплексные цепи Маркова и интеграл Фейнмана для нелинейных систем, М.: Наука, 1976.

S. Albeverio, R. Hoegh-Krohn, Mathematical theory of Feynman path integrals, Lecture notes in math, Berlin: Springer, 1976.

О. Г. Смолянов. E. Т. Шавгулидзе, Континуальные интегралы, A/I.: Изд-во МГУ, 1990.

R. P. Feynman, Space-Time Approach to Quantum Electrodynamics, Physical Review, 1949, 76, pp. 769-789.

Дж. Д. Бьёркен, С. Д. Дрелл, Релятивистская квантовая теория (в 2х томах), М.:Наука, 1978.

Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков, Квантовые поля, М.: Наука, 1980.

Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков, Введение в теорию квантованных полей, М.: Наука, 1984.

К. Ициксон, Ж.-Б. Зюбер, Квантовая теория поля (в 2х томах), М.:Мир, 1984.

J. Glimm, A. Jaffe, Quantum Physics: A Functional Integral Point of View, Springer-Verlag New York Inc., 1987.

M. Пескин, Д. Шрёдер, Введение в квантовую теорию поля, М.: РХД, 2001.

C. Вайнберг, Квантовая теория поля (в 2х томах), М.: ФМЛ, 2003.

О. И. Завьялов. Перенормированные диаграммы Фейнмана, М.: Наука, 1979.

[33] A. Connes, D. Kreimer, Hopf algebras, renormalization and noncommutatwe geometry, Communications in Mathematical Physics, 1998, 199, №1, pp. 203242.

[34] A. Connes, D. Kreimer, Renormalization in quantum field theory and the Riemann-Hilbert problem I:the Hopf algebra structure of graphs and the main

theorem, Communications in Mathematical Physics, 2000, 210, №1, pp. 249273.

[35] K. Ebrahimi-Fard, D. Kreimer, The Hopf algebra approach to Feynman diagram calculations , Journal of Physics A: Mathematical and General, 2005, 38, №50, R385.

[36] Ch. Brouder, B. Fauser, A. Frabetti, R. Oeckl, Quantum field theory and Hopf algebra cohomology, Journal of Physics A: Mathematical and General, 2004, 37, №22, pp. 5895-5927.

[37] Ch. Brouder, Quantum field theory meets Hopf algebra, Mathematische Nachrichten, 2009, 282, №12, pp. 1664-1690.

[38] D. Kreimer, Knots and Feynman diagrams, Cambridge: University Press, 2000.

[39] S.H. Djah, H. Gottschalk, H. Ouerdiane, Feynman graph representation of the perturbation series for general functional measures, Journal of Functional Analysis, 2005, 227, №1, pp. 153-187.

[40] R. D. Mattuck, A Guide to Feynman Diagrams in the Many-Body Problem, Mcgraw-Hill, New York, 1967.

[41] K. Huang, Quantum Field Theory: From Operators to Path Integrals, John Wiley & Sons, Inc., 1998.

[42] M. Cini, Topics and Methods in Condensed Matter Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg , 2007.

[43] W. Nolting, Fundamentals of many-body physics: principles and methods, Springer-Verlag Berlin Heidelberg , 2009.

[44] Ch. Brouder, F. Patras, Nonlocal, noncommutative diagrammatics and the linked cluster theorems, Journal of Mathematical Chemistry, 2011, published online, DOI: 10.1007/sl0910-011-9828-l.

[45] J. L. Martin, The Feynman principle for a Fermi system, Proceedings of the Royal Society of London. Series A, 1959, 251, p. 543-549.

[46] J.L. Martin, Generalized Classical Dynamics, and the 'Classical Analogue' of a Fermi Oscillator, Proceedings of the Royal Society of London. Series A, 1959, 251, p. 1934-1990.

[47] Ф. А. Березин, Метод вторичного квантования, М.: Наука, 1965.

[48] Ф. А. Березин, Д. А. Лейтес, Супермногообразия, Доклады Академи Наук СССР, 1975, 224, №3, с. 505-508.

[49] Ф. А. Березин, Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными, М.: Изд-во МГУ, 1983.

[50] Ф. А. Березин, Дифференциальные формы на супермногообразиях, Ядерная физика, 1979, 30, №4, с. 1168-1174.

[51] Д. А. Лейтес, Введение в теорию супермногообразий, Успехи математических наук, 1980, 35, №1(211), с. 3-57.

[52] Д. А. Лейтес, Теория супермногообразий, Петрозаводск: АН СССР, Карельский филиал, 1983.

[53] A. Salam, J. Strathdee, Super-gauge transformations, Nuclear Physics B,

1974, 76, №3, p. 477-482.

[54] A. Salam, J. Strathdee, Feynman rules for superfields, Nuclear Physics B,

1975, 86, №1, p. 142-152.

[55] B.S. De Witt, Supermamfolds, Cambrige: U.P., 1984.

[56] A. Rogers, Super Lie groups: global topology and local sturcture, Journal of Mathematical Physics, 1980, 21, №6, pp. 724-731.

[57] A. Rogers, Fermionic path integration and Grassmann Brownian motion, Communications in Mathematical Physics, 1980, 113, №3, pp. 353-368.

[58] A. Rogers, Supermamfolds: Theory and Applications, World Scientific Publishing Company, 2007.

[59] B.C. Владимиров, И. В. Волович, Суперанализ. I. Дифференциальное исчисление, ТМФ, 1984, 59, №1, с. 3-27.

[60] B.C. Владимиров, И. В. Волович, Суперанализ. II. Интегральное исчисление, ТМФ, 1984, 60, №2, с. 169-199.

[61] О. Г. Смолянов, Е. Т. Шавгулидзе, Преобразование Фурье и псевдодифференциальные операторы в суперанализе, Доклады РАН, 1989, 299, №4, с. 816-820.

[62] О. Г. Смолянок, Е. Т. Шавгулидзе, Представление решений линейных эволюционных супердифференциальных уравнений второго порядка континуальными интегралами, Доклады РАН, 1989, 309, №3, с. 545-549.

[63] А. Ю. Хренников, Функциональный суперанализ, Успехи математических наук, 1988, 43, №2(260), с. 87-144.

[64] А. Ю. Хренников, Псевдодифференциальные операторы в суперанализе, Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук, Успехи математических наук, М.:МИАН, 1990.

[65] А. Ю. Хренников, Суперанализ, М.: Физматлит, 2005.

[66] А. В. Булинский, А. Н. Ширяев, Теория случайных процессов, М.: Физматлит, 2005.

[67] X. С. Го, Гауссовские меры в банаховых пространтвах. — Мир, Москва, 1979.

[68] L. Gross, Uniqueness of ground states for Schro dinger operators over loop groups, Journal of Functional Analysis, 112, 1993, pp. 373-441.

[69] Ф.Харари, Э.Палмер, Перечисление графов, М.: Мир, 1977.

[70] В. И. Богачев, Основы теории меры (том 1), РХД- Москва, Ижевск, 2003.

[71] О. Г. Смолянов. Е. Т. Шавгулидзе, Формулы Фейнмана для решений бесконечномерных уравнений Шредингера с полиномиальными потенциалами, Доклады РАН, 2003, 390, №3, с. 321-324.

[72] А. А. Досовицкий, Об одном свойстве интеграла Фейнмана, Вестник Московского Университета. Серия 1. Математика, механика, 2007, №5, с. 65-69.

[73] А. А. Досовицкий, Некоторые меры на множестве кусочно-гладких гомеоморфизмов окружности и связанные с ними представления группы диффеоморфизмов окружности, Математические заметки, 2010, 88, №6, с. 946-949

[74] A. A. Dosovitskii, Quasi-invariant measures on sets of piecewise smooth homeomorphisms of closed intervals and circles and representations of diffeomorphism groups , Russian Journal of Mathematical Physics, 2011, 18, №3, pp. 258-296. DOI: 10.1134/S1061920811030022.