Гармонический анализ на некоторых бесконечномерных классических группах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Осиненко, Антон Андреевич

• Осиненко, Антон Андреевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Осиненко, Антон Андреевич

Содержание

Введение

1 Гармонический анализ на бесконечномерной унитарной группе

1.1 Характеры и граф Гельфанда-Цетлина

1.2 Конструкция представлений Тгт

1.3 Коммутант и разложение на блоки

1.4 Построение вектора урдгз

1.5 Цикличность вектора урдгз

1.6 Доказательство лемм 1.5.5, 1.5.6 и 1.5.7

1.7 Дизъюнктность

2 Многомерные многочлены Якоби и интеграл Сельберга

2.1 Ветвление многомерных многочленов Якоби, когерентные системы мер, пространство Г2

2.2 г-меры

2.3 Формулировка основного результата. Редукция к вырожденному случаю

2.4 Начало доказательства для вырожденного случая

2.5 Интеграл типа Каделла

2.6 Окончание доказательства для вырожденного случая

3 Гармонический анализ на бесконечномерной унитарно-симплектической группе

3.1 Характеры и граф Якоби V

3.2 Представления Тг, коммутант и разложение на блоки

3.3 Построение вектора урд

3.4 Цикличность вектора урд

3.5 Доказательство лемм 3.4.4, 3.4.5 и 3.4.6

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гармонический анализ на некоторых бесконечномерных классических группах»

Введение

Одной из задач гармонического анализа на топологической группе является разложение наиболее естественных представлений данной группы по неприводимым. В случае компактной группы К и регулярного представления в пространстве Ь2(К) такое разложение было получено в 1927 году Вейлем и Петером. Рассматриваемые в диссертации бесконечномерные унитарная и унитарно-симплектическая группы не являются даже локально

компактными, а двойственные к ним пространства имеют бесконечную размерность.

Бесконечномерная унитарная группа С/(оо) является индуктивным пределом конечномерных унитарных групп, естественным образом вложенных друг в друга. Все неприводимые представления этой группы не могут быть классифицированы разумным образом, поэтому мы будем рассматривать унитарные представления группы [/(сю) х [/(сю), обладающие выделенным циклическим [/(оо)-инвариантым вектором. Такие представления называются сферическими; множество сферических представлений пары (С, К) — ([/(сю) х [/(сю), [/(сю)) находится во взаимно-однозначном соответствии с множеством характеров группы [/(оо) - нормированных центральных положительно определенных функций на [/(оо), при этом неприводимым сферическим представлениям соответствуют экстремальные характеры (т. е. крайние точки множества всех характеров). Таким образом, задача разложения данного сферического представления по неприводимым сводится к задаче разложения характера этого представления по экстремальным. Множество всех экстремальных характеров группы [/(оо) было описано Войкулеску в работе [42], они параметризуются некоторым множеством О, С Ж4оо+2, точное определение которого будет дано ниже. Ольшанским в работе [34] было доказано, что для любого характера \ группы [/(оо) существует и единственна такая вероятностная мера Р на топологическом пространстве Г2, что

Эта мера называется спектральной мерой характера % (или соответствующего ему сферического представления).

Группа [/(сю) не является локально компактной, и инвариантной меры на ней нет, поэтому стандартная конструкция бирегулярного представления не применима. Естественные представления могут быть получены двумя основными способами. Во-первых, можно для каждого N вложить бирегулярное представление И^дг группы [/(./V) х [/(./V) в представление и взять индуктивный предел этих представлений. Предельное представление существенно зависит от цепи вложений : И^дт —»■ а таких вложений слишком много, поэтому основной трудностью этого способа является правильный выбор вложений. Во-вторых, можно вложить С/К в некое большее пространство С/Х, на котором также будет действовать группа С, с инвариантной или квазиинвариантной мерой т. Тогда стандартным образом можно определить представление группы С в пространстве Ь2(С/К,т). Основной трудностью этого метода является необходимость угадать подходящее объемлющее пространство, а также

указать на нем подходящую меру.

Вторая конструкция впервые была реализована в работе Пикрелла [38]. Он рассмотрел пару С = ИшС/(2АГ), К = Ит£/(ЛГ) х С/(ЛГ) и построил объемлющее пространство (7/К как проективный предел грассманианов, а также определил на этом пространстве семейство мер тп5, по которым строятся естественные представления пары ((?, К). В дальнейшем Неретин в работе [30] перенес эту конструкцию на случай всех десяти (С, К)-и&р, которые являются индуктивными пределами десяти классических серий компактных римановых симметрических пространств.

Для бесконечной симметрической группы 5 (оо) обе конструкции были реализованы в работе Керова, Ольшанского и Вершика [23]. В этой работе строится вложение 5 (сю) в пространство так называемых виртуальных перестановок (5, которое является проективным пределом конечных симметрических групп 5П при отображениях рп : Зп —> 5П_ 1, состоящих в удалении п из цикла, который его содержит. Это пространство не является группой, но группа ¿>(оо) действует на нем с двух сторон в силу того, что рп эквивариантно относительно двустороннего действия 5(п — 1). Кроме того, (5 компактно как проективный предел компактных множеств. На 5 (оо) существует мера ("считающая"), инвариантная относительно действия 5(оо) х ¿>(оо), однако эта мера не является конечной, а соответствующее бирегулярное представление является неприводимым. В свою очередь на (5 существует "честный" аналог меры Хаара — вероятностная мера /¿1, инвариантная относительно действия 5(оо) х 5(оо). Кроме того, в работе [23] построено целое семейство мер зависящих от вещественного параметра Ь > 0, деформирующих меру Эти меры являются инвариантными относительно действия группы 5(оо), вложенной в 5(оо) х ¿'(сю) по диагонали, и квазиинвариантными относительно действия всей группы 5(сю) х 5(оо), что дает возможность определить семейство представлений Тг с помощью следующей стандартной конструкции. Если группа С действует справа на пространстве X с мерой ц, квазиинвариантной относительно действия группы, то в пространстве Ь2(Х^) можно определить однопараметрическое семейство унитарных представлений группы С следующим естественным способом:

где

¡1,{йх) производная Радона Никодима. Отметим, что представления Тг имеют выделенный 5(оо) = diag(5(oo) х ¿'(сю))-инвариантный вектор — функция, тождественно равная единице на 6.

При \г\ —> сю представления сходятся к неприводимому бирегулярному представлению ¿"(сю) х 5(оо) в пространстве £2(^(00)), упомянутому выше.

В работе [23] была также рассмотрена задача гармонического анализа на группе 5(оо), состоящая в разложении представлений Т2 по неприводимым, и были найдены спектральные меры этих представлений при целых значения параметра г. В этом случае спектральные меры сосредоточены на конечномерных гранях симплекса Тома. Случай нецелого г был исследован в цикле работ Бородина и Ольшанского [4, 5, 6, 7, 8]. Рассуждения первой главы диссертации опираются на идеи, развиваемые в работе [23], однако случай унитарной группы является более сложным и требует привлечения новых идей.

В случае бесконечномерной унитарной группы обе конструкции были реализованы в работе Ольшанского [34]. Снова объемлющее пространство было построено как проективный предел групп £/(Л0 при некоторых отображениях рдг : и(М) —>■ £/лг-ъ эквивариантных относительно двустороннего действия [/(ЛГ — 1), и на этом пространстве было построено семейство квазиинвариантных мер, с помощью которых было определено двупараметрическое семейство представлений Тгъи. В разделе 1.2 мы приводим только конструкцию этих представлений, реализуемых как индуктивный предел бирегулярных представлений допредельных компактных групп.

Структура спектральных мер представлений Т2Ш существенно зависит от того, являются ли параметры г и и) целыми числами. Основной трудностью в этом случае является построение циклического К-инвариантного вектора; в случае же нецелых параметров выделенный вектор - единичная функция на Ь2(С/К) - является циклическим. Этот случай разобран в работе Бородина и Ольшанского [3]: пространство П, упомянутое выше, вложено в пространство точечных конфигураций на вещественной прямой с двумя выколотыми точками и доказано, что при этом отображении спектральная мера представления Т2У) переходит в детерминантный точечный процесс; найдено корреляционное ядро этого процесса.

Основным результатом первой главы диссертации является получение разложения представлений Т2ги в случае целых параметров. В теореме 1.3.3 доказано, что представление Тгги может быть разложено в прямую сумму счетного числа представлений Трдгз, которые мы называем блоками. При этом в каждом блоке построен циклический /^-инвариантный вектор урдгз и найдена спектральная мера представления (Трдг8,урчг8), доказано, что ее носителем является конечномерная грань д;г, й) множества П.

Реализация представлений Тгу} в виде индуктивного предела представлений групп и(Ы) х II{IV) дает возможность применять технику, предложенную в работах Вершика и Керова [25, 26]. В этих работах они показывают, как результаты Тома и Войкулеску об экстремальных характерах бесконечной симметрической группы и бесконечномерной унитарной группы могут быть получены с помощью аппроксимации этих

характеров характерами допредельных групп ¿>(п) и С/(А/") соответственно. Подробное доказательство, использующее асимптотический метод Вершика и Керова, было дано позднее в работах [21, 32].

Экстремальные характеры II (М) находятся во взаимно-однозначном соответствии с неприводимыми представлениями II(Л/") и параметризуются сигнатурами Л - упорядоченными наборами из N целых чисел Л = (Ах > Аг > ... > Адг); при этом N называется длиной сигнатуры А. Множество всех сигнатур длины N обозначим через СТ/у- Графом Гельфанда-Цетлина называется градуированный граф СТ = и^=0СТдг. Две вершины А 6 СТдг и V е соединены ребром (в этом случае мы пишем А -< у), если

выполнено некоторое соотношение перемежаемости

> Ах > > А2 > ... > ^ > Адг > ^N+1-

Граф Гельфанда-Цетлина возникает естественным образом при рассмотрении ветвления характеров конечномерных унитарных групп:

а: а

и является удобным техническим средством для описания характеров группы £/(оо).

Пусть х - произвольный характер группы II(сю). Ограничивая его на и{ И), получаем нормированный характер группы и {И). Значит, он раскладывается по нормированным экстремальным характерам этой группы:

Хм = рк(х)хх, хм = х\ и(М), N = 1,2,....

АеСТлг

Таким образом, каждому характеру группы [/(сю) соответствует семейство вероятностных мер на Л^-ом этаже графа Гельфанда-Цетлина. При этом меры на А^-ом и N + 1-ом этажах связаны некоторым условием согласованности, называемом условием когерентности. В работе [34] показано, что это соответствие на самом деле является биекцией. Кроме того, там же доказано, что спектральную меру Р характера х можно восстановить, зная семейство мер {-Р/у}, в следующем смысле: Р является пределом образов мер Рдг при некоторых вложениях гдг : СТдт —> £1. Это утверждение является ключевым для вычисления спектральных мер представлений Тгш, так как для когерентных систем, соответствующих характерам Хг-ш, рассматриваемым в первой главе, существует явная формула.

Как уже отмечалось выше, основной трудностью в случае целых г и ш является построение циклического /Г-инвариантного вектора. Предложение 1.4.4 показывает, что /^-инвариантные векторы находятся

во взаимно-однозначном соответствии с функциями на графе ОТ, удовлетворяющим некоторым двум условиям. При этом для построения К-инвариантных векторов в каждом из блоков Трдг8, которые упоминались ранее, необходимо построить функцию, удовлетворяющую тем же двум условиям и сосредоточенную на некотором подграфе q] г, в) С СТ графа Гельфанда-Цетлина. В случае симметрической группы и графа Юнга в работе [23] для построения аналогичных функций существенно использовалась симметрия графа Юнга относительно транспозиций диаграмм Юнга, аналога которой нет в случае унитарной группы, поэтому для требуемого построения функции приходится привлекать новые идеи.

Вторая глава диссертации мотивирована задачей гармонического анализа на "больших" группах и может рассматриваться как продолжение работы Ольшанского [35]. Основной результат этой главы — доказательство существования некоторого семейства вероятностных распределений с бесконечномерным носителем; эти распределения являются аналогом многомерных бета-распределений Эйлера, которые фигурируют в интеграле Сельберга.

Известно, что экстремальные характеры не только бесконечномерной унитарной группы и бесконечной симметрической группы, но также и других бесконечномерных классических групп (равно как и экстремальные сферические функции на бесконечномерных римановых симметрических пространствах компактного типа) зависят от счетного набора непрерывных координат (Тома [40], Вершик и Керов [41], Керов-Окуньков-Ольшанский [21], Пикрелл [39], Окуньков-Олынанский [32], [33]). Будем обозначать (бесконечномерное) пространство экстремальных характеров или сферических функций символом О,. В задаче гармонического анализа возникает семейство спектральных мер на пространстве О — это вероятностные распределения, которые задают разложение так называемых обобщенных регулярных представлений, заменяющих несуществующее регулярное представление [22], [23], [35], [3], [9]. Для унитарной группы это уже известные нам представления ТгУ].

Первым обратил внимание на связь спектральных мер с интегралом Сельберга Керов. Он предпринял первую попытку ее использовать в работах (см. [19, §§11-12], [20, §13]). Связь, о которой идет речь, состоит в следующем: наши спектральные меры зависят от нескольких непрерывных параметров, и когда параметры принимают некоторые особые значения, происходит вырождение: носитель меры становится конечномерным, меру тогда можно задать плотностью, и эта плотность имеет тот же вид, что в интеграле Сельберга. (Похожее явление хорошо известно в теории представлений полупростых групп: при специальных значениях параметров модули Хариш-Чандры или модули со старшим весом вырождаются в конечномерные

модули.)

Отсюда проистекает идея интерпретировать спектральные меры как результат аналитического продолжения вырожденных мер по параметрам. На этой идее построены работы [35], [36], [37], а также и вторая глава диссертации. Мы проводим вычисления для вырожденных мер, а затем экстраполируем результат на общие значения параметров, опираясь на теорему Карлсона о единственности продолжения с целых точек для аналитических функций, удовлетворяющих определенным условиям. (Аналогично, общие модули Хариш-Чандры или модули со старшим весом можно интерпретировать как результат аналитического продолжения по параметрам конечномерных представлений. Это наблюдение было использовано еще 60 лет назад в работе Годемана [15].)

Как и в [35], наш подход к спектральным мерам формально не зависит от конструкции обобщенных регулярных представлений. Известно, что пространство допускает является границей некоторого бесконечного градуированного графа. Это означает, что имеет место биективное соответствие М {Мдг : N = 1,2,...} между вероятностными мерами МнаПи последовательностями {Мдг} вероятностных мер на этажах графа, удовлетворяющих так называемому условию когерентности:

= = 2,3,..., (0.1)

где — некоторые некоторые канонические стохастические матрицы,

связывающие соседние этажи графа (строки матрицы индексируются

вершинами ЛГ-го этажа, а столбцы — вершинами (А/" — 1)-го этажа; сами меры Мдг при этом интерпретируются как векторы-строки).

Тем самым, вопрос о существовании той или иной меры М на П сводится к предъявлению последовательности {Мдг}, удовлетворяющей условию когерентности (0.1). Проверка этого условия нетривиальна и является основным техническим результатом второй главы.

Интересующие нас графы являются графами ветвления многомерных ортогональных многочленов гипергеометрического типа, связанных с классическими системами корней. В [35] рассматривался случай многочленов Джека (он отвечает системе корней типа А), этот случай соответствует при 9 — 1 унитарной группе, рассматриваемой в первой главе. Во второй главе мы разбираем случай симметрических многочленов Якоби (системы корней типа В, С, .О и, более общо, ВС). Эти многочлены зависят от 3 непрерывных параметров: тех же двух параметров (а,Ь), что и классические многочлены Якоби от одного переменного, а также так называемого параметра Джека 9. который возникает только для И> 2 переменных. Мы будем предполагать, что 9 — 1; тогда многомерные многочлены Якоби элементарны в том смысле, что их можно выразить явными детерминантными формулами

через классические многочлены от одного переменного. Этот случай уже содержателен, поскольку при подходящей специализации параметров (а, 6) элементарные многочлены Якоби от N переменных задают характеры ортогональных и унитарно-симплектических групп, а также сферические функции на комплексных грассманианах.

Подход к доказательству когерентности, изложенный в диссертации, переносится и на более общий случай, когда многомерные многочлены Якоби зависят от дополнительного параметра Джека в. Однако, необходимые вычисления, и без того достаточно трудоемкие, приобретают еще более громоздкий вид. Поэтому, чтобы не затенять основные идеи доказательства, мы решили ограничиться случаем 9 = 1.

В третьей главе диссертации мы вновь обращаемся к задаче гармонического анализа, на этот раз на унитарно-симплектической группе. Рассматриваемые нами представления Тг были введены Неретиным в работе [30]. Их спектральные меры совпадают с вышеупомянутыми мерами, изучаемыми во второй главе, при а = Ь = Рассуждения этой главы в целом аналогичны рассуждениям первой главы, однако соответствующие вычисления становятся более трудоемкими, а также используются результаты второй главы.

Опишем более подробно структуру диссертации.

В первой главе диссертации описывается конструкция сферических представлений Тгу} бесконечномерной унитарной группы и изучается вопрос разложения этих представлений по неприводимым при целых значениях параметров.

В разделе 1.1 сформулированы основные утверждения, касающиеся характеров бесконечномерной унитарной группы и(оо), которые потребуются в дальнейшем для вычисления спектральных мер представлений Тгг1).

В разделе 1.2 приведена конструкция представления Тгги как индуктивного предела бирегулярных представлений компактных групп II(./V) и

выделенного К-инвариантного вектора £о, лежащего во всех пространствах Нн представлений Вычисляются коэффициенты по

характерам £л группы II (./V), откуда находится явная формула для соответствующей представлению Т2ги когерентной системе мер Рм(\\г, ги) на графе Гельфанда-Цетлина.

В разделе 1.3 строится взаимно-однозначное соответствие между коммутантом представления Тгги и множеством ограниченных функций на графе Гельфанда-Цетлина, удовлетворяющим некоторому условию согласованности на этажах. С помощью этого соответствия выводится

разложение представления Тггп в случае целых г кги ъ счетную прямую сумму

Тгги — СЕ^ Трдгз

д—р=г, в—г=/, р>0, г>0

некоторых подпредставлений, которые называются блоками. Каждое из представлений Трдгз приводимо, и в дальнейшем находятся спектральные меры этих представлений.

В разделе 1.4 строится изоморфизм между множеством /^-инвариантных векторов представления Тги) и пространством комплекснозначных функций на графе Гельфанда-Цетлина, удовлетворяющим условию псевдогармоничности и условию типа Харди. С помощью этого изоморфизма в каждом из блоков Трдгз представления Т2Ь) строится /^-инвариантный вектор урдгз, а также находится спектральная мера ардгз сферического представления (Трдгз, урдгз), что является основным результатом первой главы (теорема 1.4.5).

В разделах 1.5 и 1.6 преодолевается техническая трудность, связанная с доказательством цикличности построенного в разделе 1.4 вектора урдгз. Для этого в лемме 1.5.10 показывается, что для любого неотрицательного эрмитова оператора А в коммутанте представления Трдгз выполнено неравенство

{.Аирдг31ирдгз) > 0,

из которого легко следует цикличность урдгз. Доказательства технических вспомогательных лемм 1.5.5, 1.5.6 и 1.5.7 вынесены в раздел 1.6.

В разделе 1.7 результаты разделов 1.1-1.6 применяются для доказательства дизъюнктности представлений Т2п) при различных г и

IV.

Во второй главе, мотивированной задачей гармонического анализа на бесконечномерных классических группах, доказывается существование некоторого семейства вероятностных мер на границе графа ветвления многомерных многочленов Якоби. Эти меры являются аналогом многомерных бета-распределений Эйлера, фигурирующих в интеграле Сельберга, и в некоторых частных случаях являются спектральными мерами сферических представлений бесконечномерных классических групп.

В разделе 2.1 определяются "элементарные" многочлены Якоби, зависящие от двух вещественных параметров а и Ь, их граф ветвления и его граница.

В разделе 2.2 определяется семейство 2-мер Мдг(А | 2, г', а, Ь). В разделе 2.3 формулируется основной результат второй главы — теорема 2.3.1, утверждающая, что семейство мер Мдг(А | г, г', а, Ь) является когерентным.

В разделе 2.3 доказывается когерентность мер Мм в предположении, что меры Мдг когерентны в вырожденном случае, когда параметр г является натуральным числом, а параметр г > г' - вещественным. Это делается

в два этапа: сначала, фиксируя натуральное 2, показывается, что можно избавиться от предположения о вещественности г', потом, фиксируя уже г', показывается, что можно избавиться от предположения о натуральности 2.

В разделах 2.4-2.6 доказывается когерентность системы мер Мдг(Л | 2, г', а, Ь) в вырожденном случае. Для этого сначала в разделе 2.4 эта задача сводится к доказательству некоторого интегрального равенства. В разделе 2.5 описывается способ вычисления данного интеграла, а в разделе 2.6 проделывается оставшаяся необходимая техническая работа.

Результаты диссертации опубликованы в статьях автора [45], [46] и совместной статье с Г. И. Ольшанским [44]. Основные результаты докладывались на семинаре кафедры теории функций и функционального анализа "Бесконечномерный анализ и математическая физика" под руководством профессоров О. Г. Смолянова и Е. Т. Шавгулидзе (2009-2013, неоднократно), на семинаре "Представления и вероятность" Независимого Московского университета под руководством профессора Г. И. Ольшанского (2011), на петербургском семинаре по теории представлений и динамическим системам в ПОМИ РАН под руководством профессора А. М. Вершика (2013) и на Международной молодежной научной конференции "Ломоносов-2012".

Автор глубоко благодарен Григорию Иосифовичу Ольшанскому за постановку задач, постоянное внимание к работе и плодотворные обсуждения и Олегу Георгиевичу Смолянову за поддержку на всех этапах подготовки диссертации. Также автор признателен Вадиму Евгеньевичу Горину и Леониду Александровичу Петрову за ценные замечания во время докладов и неформальных обсуждений работы. Наконец, автор благодарен Фонду "Конкурс Мебиуса" за поддержку во время написания диссертации.

1 Гармонический анализ на бесконечномерной унитарной группе

В этой главе описывается конструкция семейства естественных сферических представлений Тгп) бесконечномерной унитарной группы и изучается вопрос разложения этих представлений по неприводимым при целых значениях параметров. Мы покажем, что спектральный тип Тги} определяется набором мер на конечномерных гранях д; г, й) С определенных в разделе 1.1.

1.1 Характеры и граф Гельфанда-Цетлина

В этом разделе мы сформулируем некоторые утверждения, касающиеся характеров произвольных топологических групп и бесконечномерной

унитарной группы в частности. Доказательства утверждений, приводимых в разделах 1.1 и 1.2, можно найти в [34] и ссылках внутри.

Определение 1.1.1. Пусть К — топологическая группа. Характером этой группы будем называть непрерывную комплекснозначную функцию х на К, удовлетворяющую следующим трем условиям:

(1) X центральна, т.е. постоянна на классах сопряженности К\

(2) х положительно определена, т.е. для любого конечного числа элементов <71,... ,дп группы К матрица 91)}1<1^<п эрмитова и неотрицательно определена;

(3) х(е) = 1, гДе е единичный элемент группы К.

Множество всех характеров группы К обозначим через 3£(К). Очевидно, что Х(К) является выпуклым множеством. Крайние точки этого множества называются экстремальными характерами.

В данной главе в качестве К будет выступать бесконечномерная унитарная группа [/(оо) = идг>1[/(А^), являющаяся индуктивным пределом унитарных групп II{./V), состоящих из унитарных матриц размера N х N. При этом вложение II (И) в и {И + 1) устроено следующим образом: мы отождествляем £/(А0 с подгруппой в {¡{Ы + 1) тех матриц, которые оставляют неподвижным (/V + 1)-ый базисный вектор. Таким образом, II(оо) есть группа бесконечных унитарных матриц £/ — [С/уЬ ЬЗ = 1,2,..., у которых лишь конечное число элементов отлично от Снабдим [/(оо) топологией индуктивного предела. В этой топологии II(оо) не является локально компактной группой.

Классы сопряженных элементов группы и(./V) параметризуются спектром унитарных матриц, т.е. неупорядоченным набором комплексных чисел -£¿1,...,!^ по модулю равных 1. Очевидно тогда, что классы сопряженных элементов группы [/(оо) параметризуются счетными наборами комплексных чисел (щ,..., ип:...), из которых лишь конечное число отлично от 1; упорядочивание щ несущественно.

Множество экстремальных характеров [/(оо), а также сами эти характеры, допускают явное описание. Обозначим через произведение счетного числа копий К и положим

К4оо+2 = х коо х ^оо х Моо х к х

Обозначим через П С М4оо+2 подмножество таких шестерок

что

а± = (а± > ... > 0) е Ж°°, = (/^ > $ ... > 0) б 00

г=\

Положим

00

7± = ^ - + /?) > 0.

г=1

Для любого шбО определим функцию на и( оо):

иеЯрес и К.

II 1 _ а+(гл _ 1) ! _ аГ(и-1 _ 1) | '

где и — матрица из II {оо), а произведение берется по всем ее собственным значениям. Все кроме конечного числа собственных значений равны 1, поэтому произведение по и в действительности конечно. Произведение по г сходится, так как сумма параметров конечна, а^, ^ и 7± (или 5±) называются параметрами Войкулеску (см. [42]).

Теорема 1.1.1. Функции ш пробегает множество есть в

точности экстремальные характеры группы II(оо).

Теорема 1.1.2. Для любого характера х группы II (оо) существует и единственна такая вероятностная мера Р на топологическом пространстве О,, что

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Осиненко, Антон Андреевич, 2013 год

Список литературы

[1] G. Е. Andrews, R. Askey, R. Roy, Special functions. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 71, Cambridge Univ. Press, 1999.

[2] A. Borodin, Duality of orthogonal polynomials on a finite set. J. Statist. Phys. 109 (2002), 1109-1120.

[3] A. Borodin, G. Olshanski, Harmonic analysis on the infinite-dimensional unitary group and determinantal point processes, Ann. of Math. 161 (2005), no. 3, 1319-1422.

[4] G. Olshanski, Point processes and the infinite symmetric group. Part 1: The general formalism and the density function, arXiv: math/9804086.

[5] A. Borodin, Point processes and the infinite symmetric group. Part 2: Higher correlation functions, arXiv: math/9804087.

[6] A. Borodin, G. Olshanski, Point processes and the infinite symmetric group. Part 3: Fermion Point processes, arXiv: math/98404088.

[7] A. Borodin, Point processes and the infinite symmetric group. Part 4- Matrix Whittaker kernel, arXiv: math/9810013.

[8] G. Olshanski, Point processes and the infinite symmetric group. Part 5: Analysis of the matrix Whittaker kernel, arXiv: math/9810014.

[9] A. Borodin and G. Olshanski, Representation theory and random point processes. In: A. Laptev (ed.), European congress of mathematics (ECM), Stockholm, Sweden, June 27-Juiy 2, 2004. Zurich: European Mathematical Society, 2005, pp. 73-94.

10] A. Borodin and G. Olshanski, Random partitions and the Gamma kernel. Adv. Math. 194 (2005),141-202; arXiv:math-ph/0305043.

11] A. Borodin and G. Olshanski, The boundary of the Gelfand-Tsetlin graph: A new approach. Advances in Math. 230 (2012), 1738-1779; arXiv:1109.1412.

12] A. Borodin and G. Olshanski, The Young bouquet and its boundary. Preprint arXiv: 1110.4458.

13] A. Erdelyi et al. Higher transcendental functions, vols. 1-2. Mc Graw-Hill. 1953.

14] P. J. Forrester and S. O. Warnaar, The importance of the Selberg integral. Bull. Amer. Math. Soc. (New Ser.) 45 (2008), 489-534.

15] R. Godement, A Theory of Spherical Functions I. Trans. Amer. Math. Soc. 73, No. 3, 496-556.

16] V. Gorin, Disjointness of representations arising in harmonic analysis on the infinite-dimensional unitary group, Funct. Anal. Appl. , 44 (2010), no. 2, 92-105

17] R. A. Gustafson, Multilateral summation theorems for ordinary and basic hypergeometric series in U(n). SIAM J.Math.Anal., 18, No. 6, 1576-1596 (1987).

[18] К. W. J. Kadell, The Selberg-Jack symmetric functions. Adv. Math. 130 (1997), 33-102.

[19] S. Kerov, The boundary of Young lattice and random Young tableaux. In: Formal power series and algebraic combinatorics (New Brunswick, NJ, 1994), pp. 133-158, DIMACS Ser. Discrete Math. Theoret. Comput. Sci., 24, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1996.

[20] S. V. Kerov, A multidimensional hyper geometric distribution and characters of the unitary group. (Russian) With a preface by G. I. Olshanski. Записки научных семинаров ПОМИ РАН 301 (2003), 35-91 (Russian); translation in J. Math. Sci. (N. Y.) 129 (2005), no. 2, 3697-3729.

[21] S. Kerov, A. Okounkov, and G. Olshanski, The boundary of Young graph with Jack edge multiplicities. Intern. Mathematics Research Notices, 1998, no. 4, 173-199; arXiv:q-alg/9703037.

[22] S. Kerov, G. Olshanski, and A. Vershik, Harmonic analysis on the infinite symmetric group. A deformation of the regular representation. Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, Sér. I 316 (1993), 773-778.

[23] S. Kerov, G. Olshanski, and A. Vershik, Harmonic analysis on the infinite symmetric group. Invent. Math. 158 (2004), 551-642; arXiv:math/0312270.

[24] W. Kônig, Orthogonal polynomial ensembles in probability theory. Probab. Surveys 2 (2005), 385-447.

[25] A. M. Вершик, С. В. Керов,Асимптотическая теория характеров симметрической группы, Функциональный анализ и его приложения, 15:4(1981), 15-27.

[26] А. М. Вершик, С. В. Керов, Характеры и фактор-представления бесконечной унитарной группы, ДАН СССР, 267:2(1982), 272-276.

[27] С. Krattenthaler Advanced determinant calculus. Séminaire Lotharingien de Combinatoire 42 (1999) Paper B42q, 67 pp.; arXiv:math/9902004.

[28] I. G. Macdonald, Symmetric functions and Hall polynomials. 2nd edition. Oxford University Press, 1995.

[29] K. Mimachi, A duality of the Macdonald-Кoornwinder polynomials and, its application to the integral representations. Duke Math. J. 107 (2001) 265281.

[30] Yu. A. Neretin, Hua-type integrals over unitary groups and over projective limits of unitary groups, Duke Math. J. 114(2002), 239-266.

[31] Ю. А. Неретин, Бета-интегралы и конечные ортогональные системы многочленов Вильсона. Матем. сб. 193 (2002), вып. 7, 131-148 (Russian); перевод: Sbornik: Mathematics 193 (2002), no. 7, 1071-1090; arXiv:math/0206199.

[32] A. Okounkov and G. Olshanski, Asymptotics of Jack polynomials as the number of variables goes to infinity. Internat. Math. Res. Notices 1998 (1998), no. 13, 641-682.

[33] A. Okounkov and G. Olshanski, Limits of ВС-type orthogonal polynomials as the number of variables goes to infinity. In: Jack, Hall-Littlewood and Macdonald polynomials. Contemp. Math., 417, pp. 281-318. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2006.

[34] G. Olshanski, The problem, of harmonic analysis on the infinite-dimensional J unitary group. J. Funct. Anal. 205 (2003), 464-524; arXiv:math/0109193.

[35] Г. И. Ольшанский, Вероятностные меры на дуальных объектах к компактным симметрическим пространствам и гипергеометрические тождества. Функц. анализ и прил. 37 (2003), по. 4, 49-73; translation in Funct. Anal. Appl. 37 (2003), no. 4, 281-301.

[36] G. Olshanski, Laguerre and Meixner symmetric functions, and infinite-dimensional diffusion processes. Записки научных семинаров ПОМИ РАН 378 (2010), 81-110. Reproduced in J. Math. Sci. (New York) 174 (2011), No. 1, 41-57; arXiv:1009.2037.

[37] G. Olshanski, Laguerre and Meixner orthogonal bases in the algebra of symmetric functions. Intern. Math. Research Notices 2012 (2012), 36153679; arXiv: 1103.5848.

[38] D. Pickrell, Measures on infinite dimensional Grassmann Tnanifold. J. Func. Anal. 70 (1987); 323-356.

[39] D. Pickrell, Separable representations for automorphism groups of infinite symmetric spaces. J. Funct. Anal. 90 (1990), no. 1, 1-26.

[40] E. Thoma, Die unzerlegbaren, positive-definiten Klassenfunktionen der abzahlbar unendlichen, symmetrischen Gruppe. Math. Zeitschr., 85 (1964), 40-61.

[41] А. М. Vershik and S. V. Kerov, Asymptotic theory of characters of the symmetric group. Funct. Anal. Appl. 15 (1981), no. 4, 246-255.

[42] D. Voiculescu, Representations factorielles de type Hi de U(oo), J. Math. Pures et Appl. 55 (1976), 1-20.

[43] Д. П. Желобенко, Компактные группы Ли и их представления. Наука, Москва, 1970.

[44] Г. Ольшанский, А. Осиненко, Многомерные многочлены Якоби и интеграл Сельберга. Функциональный анализ и его приложения, 46:4 (2012), 31-50

[45] А. Осиненко, Гармонический анализ на бесконечномерной унитарной группе, Зап. научн. семин. ПОМИ 390 (2011), 237-285.

[46] А. Осиненко, Гармонический анализ на бесконечномерной унитарной-симплектической группе, Зап. научн. семин. ПОМИ 403 (2012), 118-141.