Представления эволюционных полугрупп интегралами по траекториям в вещественных и р-адических пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Шамаров, Николай Николаевич

• Шамаров, Николай Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Шамаров, Николай Николаевич

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Нормированные поля и нормированные линейные пространства над ними

1.2 Сильно непрерывные операторные полугруппы в вещественных банаховых пространствах и формулы Чернова и Троттера

1.3 Меры, их вариации и образы.

1.4 Специфические свойства р-адических полей

1.5 Измеримые и топологические структуры координатных пространств X = С}й (<1 е М) над полями С1 = (р £ Р).

1.6 Меры Хаара в пространствах X = О^

1.7 Пространства функций и обобщенных функций.

1.8 Билинейные интегралы.

1.9 Переходные меры.

1.10 Дробные части р-адических чисел и характеры аддитивных групп пространств X = С}*1.

1.11 Версии операторов в пространствах (обобщенных) функций и псевдодифференциальные операторы

1.12 Определение цилиндрических функций на пространствах над полями $ = 0>р (р Е Р) и цилиндрических множеств в этих пространствах

1.13 Алгебры цилиндрических множеств в векторных пространствах над Я =

1.14 Цилиндрические меры и действия с ними.

1.15 Порождение сверточной полугруппой цилиндрических мер новой полугруппы мер в пространствах траекторий и выражение преобразования Фурье мер новой полугруппы через преобразования Фурье мер исходной полугруппы.

2 Представления полугрупп, порождаемых уравнениями типа теплопроводности относительно функций вещественного и р-адического аргументов

2.1 Постановка задач Коши

2.2 Существование и единственность решений для задачи Коши (1)

2.3 Формулы Фейнмана в конфигурационном пространстве для задачи (1).

2.4 Формулы Фейнмана-Каца в конфигурационном пространстве для решений задач вида (1) в терминах интеграла по счетно аддитивной мере.

2.5 Формулы Фейнмана в импульсном пространстве для представления решения задачи (1).

2.6 Формулы Фейнмана-Каца в импульсном пространстве для им- ^ пульсного представления решения задачи (1).

2.7 Формулы Фейнмана в фазовом пространстве для задачи (1)

2.8 Гамильтонов интеграл Фейнмана для задачи (1).

2.9 Формулы Фейнмана-Каца в фазовом пространстве со счетно аддитивной мерой интегрирования.

2.10 Переменный коэффициент при операторе Владимирова.

3 Уравнения типа Шредингера с р-адической пространственной переменной

3.1 Постановка задач Коши.

3.2 Формулы Фейнмана для решений задачи (3, Зо) в конфигурационном пространстве.

3.3 Формула Фейнмана в импульсном пространстве.

3.4 Формулы Фейнмана в фазовом пространстве.

3.5 Формулы Фейнмана-Каца в импульсном пространстве.

3.6 Формулы Фейнмана-Каца в конфигурационнном пространстве.

4 Классическое уравнение Дирака

4.1 Постановка задач Коши и терминология

4.2 Интегральные представления.

Добавление.

Д.1 Вероятностное решение задачи Неймана

Д. 2 Бесконечномерные уравнения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Представления эволюционных полугрупп интегралами по траекториям в вещественных и р-адических пространствах»

Тема диссертации относится к бесконечномерному анализу над локально компактными пополнениями поля рациональных чисел.

Бесконечномерный анализ ([1]-[8], [И]-[30], [33]—[36], [62]—[40], [46]—[90], [96]-[110], [120]—[127], [129]—[140]) использует дифференцируемые и обобщенные функции и меры на бесконечномерных вещественных пространствах для постановки и решения как собственно бесконечномерных, так и конечномерных задач. Первым примером применения бесконечномерного интегрирования к конечномерным задачам стало представление решений стандартного трехмерного уравнения Шредингера фейнмановским интегралом (идея была высказана Фейнманом [120] в 1948 г. на "физическом уровне строгости", математически реализована в простейшем случае Нельсоном [125] в 1964 г.).

Именно фейнмановский формализм функционального интегрирования, обобщенный на случай функциональных суперпространств, позволил Глэшоу, Саламу и Вайнбергу в конце 60-х гг. построить единую квантовую теорию электромагнитного и слабого ядерного взаимодействий (им за это присуждена Нобелевская премия в 1979г.). На сегодня этот формализм является общим фундаментом как для Стандартной модели электрослабого и сильного ядерного взаимодействий, так и теории суперструн (и супербран).

Хотя самые первые работы по бесконечномерному анализу (принадлежащие, в частности, Адамару1, Фреше2, Вольтерре3, Гато4) появились в начале XX века, фактически бесконечномерный анализ в том виде, как он понима

1J. Hadamard: Sur les operations fonctionnelles// C.R. Acad. Sei. Paris, 136 (1903), 351-354.

2M. Frechet: Sur les operations lineaires // Trans. Amer. Math. Soc., 5:4 (1904), 493-499

3V. Volterra: Lections sur les fonctions de lignes// Paris: Gauthier-Villars. 1910.

4R. Gateaux : Sur les fonctionnelles continues et les fonctionnelles analytiques // Comptes rendus de l'academie des sciences (Paris) 157 (1913), 325-327 ется сегодня, сформировался в значительной мере в работах советских математиков, начиная с пионерских работ А.Н. Колмогорова 5, C.B. Фомина6 и их последователей, причем нужно отметить, в частности, что определяющий вклад в это формирование внесен классическими результатами О.Г. Смоля-нова и его учеников: В.И. Богачева, A.B. Угланова и Е.Т. Шавгулидзе.

О важности создания нелинейной теории случайных процессов — этой важнейшей области развития бесконечномерных идей — А.Н. Колмогоров говорил, в частности, в самом последнем из своих выступлений на заседании Московского математического общества. Примерно в то же время на одном из заседаний совета по присуждению ученых степеней он отдельно отметил актуальность бесконечномерного анализа.

С.В.Фомин первый высказал идею о том, что пространства обобщенных функций бесконечномерного аргумента (то есть пополнения пространств обычных функций этого аргумента, обладающих хорошими аналитическими свойствами, относительно некоторой локально выпуклой сходимости, более слабой, чем локально равномерная) естественным образом сопряжены не пространствам бесконечно дифференцируемых функций, но пространствам бесконечно дифференцируемых мер, причем последние пространства не обладают никакими естественными изоморфизмами на пространства функций (в силу отсутствия меры Хаара). При этом двойственным к пространству достаточно хороших функций является пространство именно обобщенных мер, а не функций. При этом естественный аналог интеграла Фурье переводит пространство мер в пространство функций. C.B. Фомину же принадлежит первое (и наиболее прямое — в терминах значений самой меры) определение производной меры по направлению.

Спустя примерно 30 лет после процитированного высказывания Колмогорова, на рубеже веков, подводя итоги развития математики в XX веке (начало которого, как уже говорилось, отмечено первыми работами по бесконечномер

5A.N. Kolmogorov. La transformation de Laplace dans les espaces linéaires. // C.R. Acad. Sei. Paris , 200 (1935) pp. 1717-1718

6 C.B. Фомин: Дифференцируемые меры в линейных пространствах// Тезисы кратких научных сообщений Международного конгресса математиков, секция 5, 1966, с 78-79. ному анализу), о важности развития бесконечномерного анализа ярко высказался известный британский математик М.Ф.Атья7. В лекции, прочитанной в Филдсовском институте г. Торонто на Мировом математическом симпозиуме 2000 года, говоря о перспективах математики в начавшемся XXI-м веке он сказал8 (цитата из опубликованного перевода9 на русский язык):

XXI-й век может стать эпохой квантовой математики, или, если угодно, бесконечномерной математики. Что бы это могло означать? Квантовая математика означает, в широком смысле, "подлинное понимание анализа, геометрии, топологии, алгебры в различных нелинейных функциональных пространствах", .

При этом в качестве тех открытых в XX веке перспективных областей, от которых следует ожидать развития в веке XXI-м, он выделил, в частности, анализ над локальными (по Вейлю) полями. Важными частными случаями последних являются нетривиальные нормированные пополнения поля рациональных чисел (относительно различных нормирований). Кроме того, он отметил важность (для приложений в математической и теоретической физике, особенно в теории калибровочных полей и струн) распространения преобразования Фурье на случай нелинейных бесконечномерных областей определения преобразуемых функций. Наконец, он отметил и важность исследований, связанных с некоммутативным анализом — и особо отметил, что определенно ожидает результатов в первом десятилении века.

После этих уточнений уместно вернуться к продолжению цитаты: . а "подлинное понимание" для меня означает, что найдены вполне строгие доказательства всех тех замечательных фактов, о которых размышляли физики.

К проводимой М.Ф.Атьей аналогии между квантовой и бесконечномерной математикой стоит ещё добавить, что все современные учебники по квантовой теории поля, статистической механике и теории струн используют контину

7являющийся также иностранным членом РАН sAtiyah М.: MATHEMATICS IN THE 20ТН CENTURY// Bulletin of the London Mathematical Society, 2002, Vol.34, No 1, p. 1-15.

Атья M.: Математика в двадцатом веке// Матем. проев., серия 3, 2003, выпуск 7, с. 5—24. альный интеграл как основной элемент формализма.

Таким образом, к числу областей математики, развитие которых им ожидалось, отнесены, в частности: математические модели физики, особенно квантовой теории; бесконечномерный анализ как таковой (включая бесконечномерный гармонический анализ) и как сформировавшийся аппарат современных физических теорий; анализ над различными локально компактными полями и некоммутативный анализ.

Результаты настоящей диссертации относятся ко всем этим актуальным направлениям, о которых говорили как Колмогоров при их рождении (закладывая основы значительной части их) в XX веке, так и Атья в самом конце XX века, и которые на сегодня, с одной стороны, обрели признаки классических, а с другой стороны — набрав темп развития, пока ещё весьма далеки от завершения. Она представляет собой исследование операторных полугрупп, порожденных конечномерными (над локально компактными полями) псевдодифференциальными операторами (ПДО), методами бесконечномерного анализа, включающими как преобразования Фурье функций и мер, заданных на конечномерных и бесконечномерных пространствах над различными локальными полями, так и строгое доказательство формул, содержащих фун-циональные интегралы, аналогичных, классическим формулам с интегралами Фейнмана для решений уравнений Шредингера. Упомянутые полугруппы естественным образом возникают как разрешающие для эволюционных уравнений, в которых правые части содержат псевдодифференциальные генераторы этих полугрупп. Таким образом, результаты о представлениях операторов этих полугрупп приводят к результатам о свойствах решений соответствующих эволюционных уравнений, в частности — к представлениям этих решений.

Следует отметить, что в только что закончившемся первом десятилетии века активно находил применения и развивался так называемый ультраметрический анализ, в частности, — анализ на пространствах над полями р-адических чисел, или р-адический анализ ([31], [32], [45]). В частности, именно на базе р-адического анализа построены математические модели таких физических процессов, как "спектральная диффузия" (в коллективе макромолекул протеина) и явление абсорбции угарного газа миоглобином. Исследование физических состояний белковых молекул иногда относят к мезофизике из-за типичных порядков размеров исследуемых объектов, находящихся между типичными порядками размеров макрофизики и объектов микрофизики (атомной). Важнейшим ингредиентом р-адических моделей процессов с белковыми молекулами является уравнение, аналогичное уравнению теплопроводности и понимаемое как кинетическое [9]. В этом уравнении искомая вегцественно-значная функция зависит как от вещественного, так и от р-адического аргумента, а роль оператора Лапласа играет ПДО Владимирова подходящего порядка. Потенцированию ПДО, включающх — в качестве слагаемых — ПДО Владимирова с отрицательными и с чисто мнимыми коэффициентами, посвящены две главы, работы, 2-я и 3-я (с учетом использования в них общих конструкций, развитых в 1-й главе, — первые 3 главы из 4-х). 4-я глава посвящена исследованию аналогичными методами, развитыми автором, ПДО с некоммутирующими (матричными) коэффициентами, входящих в правую часть записанного в эволюционной форме классического уравнения Дирака для электрона и позитрона в пространственно неоднородном потенциале.

Цель работы — развитие метода функционального интегрирования для изучения эволюционных операторных полугрупп.

Основная задача работы. Исследование операторных полугрупп, генерируемых дифференциальными и псевдидифференциальными операторами в классах функций, определенных на векторных пространствах над полями вещественных или р-адических чисел и принимающих комплексные числовые или матричные значения.

При этом аргументы функций могут пробегать как соответствующее одномерное пространство — тогда получаются применения бесконечномерных структур для получения новой информации о прикладных конечномерных задачах, — так и бесконечномерное пространство, в случае которого сама постановка задачи использует структуры бесконечномерного анализа.

Задача включает, в частности, представления изучаемых полугрупп с помощью интегралов по путям в пространствах над полями вещественных и р-адических чисел, в том числе — разработку аппарата пуассоновских мер в пространствах траекторий, инвариантного относительно выбора основного поля пространств значений траекторий и их размерности, для случая неком-мутирующих (матричных) значений мер.

Основные методы. Главный метод работы — использование бесконечномерного интегрирования в широком смысле. При этом интегрирование производится как по вероятностным функциональным распределениям, аналогичным мерам Винера, так и по матрично-значным обобщениям мер Маслова-Пуассона, а также по более общим распределениям, не являющимися счетно аддитивными, примерами которых являются меры типа Фейнмана. Для определения функциональных интегралов используются' как аппроксимации их классическими конечномерными интегралами в смысле Лебега, так и бесконечномерные преобразования Фурье. Конечнократные аппроксимации функциональных интегралов основаны на продакт-формуле Чернова для операторных полугрупп. Для построения таких функциональных интегралов, в которых значения подынтегральной функции не обязаны коммутировать со значениями меры интегрирования, используется разработанный автором новый аппарат переходных мер с некоммутирующими значениями.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. В работе впервые систематически развита теория интегрирования по линейным функциональным пространствам, во многом инвариантная относительно выбора локально компактного нормированного числового поля этих пространств. Для таких функциональных пространств построен новый аппарат переходных мер с некоммутирующими значениями, позволяющий интегрировать опера-торнозначные функции по операторнозначным мерам (предполагается, что значения этих мер и функций не обязаны коммутировать). Полученные на этой базе основные результаты диссертации состоят в следующем.

• Получены представления решений уравнений типа теплопроводности с р-адическим конфигурационным пространством с помощью интегралов по траекториям в импульсном и фазовом пространствах;

• получены представления решений уравнений типа Шредингера с р-адическим конфигурационным пространством с помощью интегралов по траекториям в конфигурационном и импульсном пространствах;

• получены представления решений классического 4-мерного уравнения Дирака для релятивистского электрона в неоднородном поле электромагнитного потенциала с помощью интегралов по траекториям в импульсном пространстве.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер.

Полученные в ней результаты, в частности, являются основой математической теории (хронологического) функционального интегрирования опера-торнозначных функций по операторнозначным мерам (предполагается, что значения этих мер и функций не обязаны коммутировать).

Такие интегралы позволяют строить аналитические выражения, выражающие общие решения псевдодифференциальных уравнений с операторнознач-ными символами (например, со значениями в супералгебрах), включая оригинальное 4-мерное уравнение Дирака для электрона и позитрона в прост-ранственно-иеоднородном электромагнитном поле.

Таким образом, результаты и новые методы диссертации могут быть полезны для математической физики; в частности, с помощью новых хронологических интегралов можно строить общие решения классических уравнений типа Дирака на математическом уровне строгости, что ранее было невозможно; особое значение полученные результаты имеют для суперанализа.

Результаты диссертации служат основой для новых специальных курсов, читаемых на механико-математическом факультете МГУ.

Все основные результаты диссертации опубликованы в 18 статьях автора, 14 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.

Результаты диссертации неоднократно докладывались, в том числе: — на научно-исследовательских семинарах: "Бесконечномерный анализ и его приложения" механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, руководители: проф. О.Г. Смолянов, проф. Е.Т. Шавгулидзе, 19972010; "Семинар по многомерному комплексному анализу" механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова, руководители: проф. В.К. Бе-лошапка,чл.-корр. РАН С.Ю. Немировский, проф. А.Г. Сергеев, чл.-корр. РАН Е.М.Чирка, 2010; Семинар "Актуальные проблемы геометрии и механики" механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова, руководители проф. Д.В. Георгиевский, д.ф.-м.н. М.В. Шамолин, проф. С.А. Агафонов, 2005-2010; "Открытый семинар по теоретической физике" Московский Государственный Открытый Университет, факультет прикладной математики, кафедра физики,руководитель проф. Т.Ф.Камалов, 2007-2010; "Семинар Отдела математической физики" МИАН им. В.А. Стеклова, руководители акад. В.С.Владимиров, член-корр. РАН И.В. Волович, 1997-2010; Семинар лаборатории Теории нелинейных физико-математических процессов Института химической физики РАН, руководитель член-корр. РАН В.А. Аве-тисов, 1997-2010; на научных конференциях: Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвящённая памяти И.Г.Петровского, Москва, 2004; Третья международная конференция по р-адической математической физике: от физики планковских масштабов до сложных систем и биологии "p-ADIC MATHPHYS.2007" Москва, 2007; Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвящённая памяти И.Г.Петровского, Москва, 2007; 3rd Conference on Mathematical Modeling of Wave Phenomena, Vaxjo, Sweden, 2008; 1-я Международная Самарская конференция "Математическая физика и ее приложения", Самара, 2008; Международная конференция "Stochastic Analysis and Random Dynamical Systems", Львов, Украина, 2009; Международная конференция "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященная 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего, Москва, 2009; Российекая Школа-конференция "Математика, информатика, их приложения и роль в образовании", Москва, РУДН, 2009; Международная научно-техническая конференция "Нанотехнологии и наноматериалы", Москва, МГОУ, 2009; 2-я Международная Самарская конференция "Математическая физика и ее приложения", Самара, 2010.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, двух дополнений и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Шамаров, Николай Николаевич, 2010 год

1. Авербух В. И., Смоляное О. Г., Фомин С. В.: Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах 1. Дифференцируемые меры.// Труды Московского математического общества, 1971, т. 24, с. 133-174.

2. Авербух В. И., Смоляное О. Г., Фомин С. В.: Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. II. Дифференциальные операторы и их преобразование Фурье// Труды Московского математического общества, 1972, т.27, 247-262.

3. Авербух В.И., Смоляное О.Г.: Теория дифференцирования в линейных топологических пространствах.// Успехи математических наук, 1967. т.22, вып. 6, 201-260.

4. Авербух В.И., Смоляное О.Г.: Дифференцирование в линейных топологических пространствах.// Доклады АН СССР, 1967. т. 173, N 4, 735-738.

5. Авербух В.И., Смоляное О.Г.: Различные определения производной в линейных топологических пространствах// Успехи математических наук, 1968. т.23, вып. 4, 67-116.

6. Авербух В.И., Смоляное О.Г.: Дополнение к статье "Различные определения производной в линейных топологических пространствах"// Успехи математических наук, 1968. т.23, вып. 5, 223-224.

7. Авербух В. И., Смоляное О. Г.: Дифференцирование и псевдотопологии.// Вестник Московского университета, серия матем., мех. 1972, N0 1, с. 3-7.

8. Авербух В. И., Смоляное О. Г.: Псевдотопологии и дифференцирование./ / Вестник Московского университета, серия матем., мех. 1972, N0 2, с. 3-9.

9. Аветисов В.А., Вищлов А.Х., Осипов В.Ал.: р-Адические модели ультраметрической диффузии в конформационной динамике макромолекул// Тр. Матем. ин-та РАН. 2004. 245, 55-64.

10. Аккарди Л., Смоляное О.Г.: Расширения пространств с цилиндрическими мерами и носители мер, порождаемых лапласианом Леви// Матем. заметки. 1998. Т. 64, № 4. С. 483-492

11. Аккарди Л., Смоляное О.Г.: Представления лапласианов Леви и связанных с ними полугрупп и гармонических функций// Доклады Академии Наук, 2002, т. 384, № 3, стр. 295-301.

12. Аккарди Л., Смоляное О.Г.: Операторы Лапласа-Леви в пространствах функций на оснащенных гильбертовых пространствах, Математические заметки, 2002, том 72, выпуск 1, 145-150.

13. Альбеверио С., Смоляное О.Г. Представления функциональными интегралами решений некоторых стохастических уравнений типа Шредингера-Белавкина Доклады Российской Академии Наук 1999, 364(6), 747-751.

14. Альбеверио С., Смоляное О.Г.: Формулы Фейнмана-Каца для эволюционных дифференциальных уравнений с коэффициентами типа белого шума// Доклады Российской Академии Наук, 1999, 367(1). 26-30.

15. Альбеверио С., Смоляное О.Г.: Квантование по Шредингеру систем Гамильтона-Дирака и интегралы Фейнмана по суперпространству.// Доклады Академии Наук, 2003, т. 390, № 6, стр. 727-732.

16. Альбеверио С., Смоляное О.Г., Хренников А.Ю.: Представление функциональными интегралами решений уравнений Лиувилля для обобщенных гамильтоновых систем// Доклады РАН, 2001, 381 (2), 155-159.

17. Алъбеверио С., Смоляное О.Г., Шавгулидзе Е.Т: Решение уравнений Шредингера для конечномерных систем Гамильтона-Дирака с полиномиальными гамильтонианами.// Доклады Академии Наук, 2004, т. 397, № 2, стр. 151-154.

18. Атпъя М.: Математика в двадцатом веке// Матем. проев., серия 3, 2003, выпуск 7, 5—24.

19. Богачев В.И., Смоляное О.Г.: Действительный и функциональный анализ: университетский курс.// НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Москва—Ижевск, 2009

20. Бутпко Я.А.: Функциональные интегралы, соответствующие решению задачи Коши—Дирихле для уравнения теплопроводности в области компактного риманова многообразия// Фундаментальная и прикладная математика, 2006, том 12, № 6, с. 3—15.

21. Бутко Я.А., Гротхаус М., Смоляное О.Г.: Формула Фейпмана для параболического уравнения второго порядка в области// Доклады Академии наук, 421 (2008), 6 (август), 727-732.

22. Бухер В., Фрелихер А.: Дифференциальное исчисление в векторных пространствах без нормы. М., Мир, 1970.

23. Вайцзеккер Х.ф., Леандр Р., Смоляное О.Г.: Алгебраические свойства бесконечномерных дифференциальных форм конечной костепени// Доклады Российской Академии Наук, 1999, 369(6), 727-731.

24. Вайцзеккер Х.ф., Смоляное О.Г.: Дифференциальные формы на бесконечномерных пространствах и аксиоматический подход к формуле Сток-са// Доклады Российской Академии Наук, 1999, 367(2), 151-154.

25. Вайцзеккер Х.ф., Смоляное О.Г.: Связи между гладкими мерами и их логарифмическими градиентами и производными// Доклады Российской Академии Наук, 1999, 369(2), 1-5.

26. Ватанабэ С., Икэда Н.: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. — М.: Наука, 1986.

27. Бахания H.H., Тариеладзе В.И., Чобанян С.А. Вероятностные распределения в банаховых пространствах.// "Наука", М., 1985.

28. В ершик А. М., Судаков В. Н.: Вероятностные меры в бесконечномерных пространствах. //Записки научных семинаров ЛОМИ, 1969, вып. 12, с. 767.

29. Вишик М.И.: Параметрикс эллиптических операторов с бесконечным числом независимых переменных.// Успехи мат. наук. 1971. Т 26, N 2, с. 155-174.

30. Вишик М.И.: Фундаментальные решения бесконечномерных эллиптических операторов любого порядка с постоянными коэффициентами.// — ДАН СССР. 1973. Т 208, N 4, с. 764-767.

31. Владимиров B.C., Воловин И.В.: р-адическая квантовая механика// ДАН СССР, т. 302, 1988, 320-322.

32. Владимиров B.C., Волович И.В., Зеленое Е.И.: р-Адический анализ и математическая физика. М.: Наука, Физматлит, 1994.

33. Гельфанд И.М., Яглом A.M.: Интегрирование в функциональных пространствах и его применения в квантовой физике.// УМН, 11,1(67), 1956, 77-114.

34. Гихман И.И., Скороход A.B.: Теория случайных процессов, т.1. М.: Наука, 1971.

35. Годунов А.Н., Дуркин А.П.: О дифференциальных уравнениях в линейных топологических пространствах. // Вестник МГУ, сер. 1 — матем., механика. 1969, N 4, с 39-47.

36. Далецкий Ю., Фомин C.B.: Меры и дифференциальные уравнения на бесконечномерных пространствах. М.: Наука, 1983.

37. Данфорд H., Шварц Дою.: Линейные операторы. Общая теория.// ИЛ, М., 1962.

38. Дынкин Е.Б.: Основания теории марковских процессов.// Серия: Теория вероятностей и математическая статистика, Издательство: ФИЗМАТ-ЛИТ, 1959 г.

39. Дэвис Я., Смоляное О. Г., Тру мен А.: Представление функциональными интегралами решений стохастических уравнений Шредингера на компактных римановых многообразиях// Докл. РАН, т. 373, N 1, 2000, 10-14.

40. Г.К.Завада, Н.Н.Шамаров: Разложение де Рама-Ходжа-Кодаиры па бесконечномерном пространстве относительно гладкой продакт-меры// Вестник Московского Университета, сер. математика, механика, 2000, № 2, с. 14-18.

41. Р. С. Исмагилов: О спектре самосопряженного оператора в Ь2(К), где Клокальное поле; аналог формулы Фейнмана—Каца// ТМФ, 89:1 (1991), 18-24

42. К. Ито, Г. Маккин: Диффузионные процессы и их траектории// "Мир", М., (1968)

43. Каку, М.: Введение в теорию суперструн // пер. с англ. Г.Э. Арутюнова, А.Д. Попова, C.B. Чудова; под ред. И. Я. Арефьевой. — М.: Мир, 1999.- 624 с.

44. Карасев М.В.: К теории континуального интеграла// УМН. 1976, Т 31, вып. 2, стр. 213-214.

45. Козырев C.B.: Методы и приложения ультраметрического и р-адического анализа: от теории всплесков до биофизики// Современные проблемы математики/ МИ АН, 2008

46. Маслов В. П. : Комплексные марковские цепи и континуальный интеграл Фейнмана для нелинейных уравнений.// — М.: Наука, 1976.

47. Невё Ж. Математические основы теории вероятностей.// "Мир", М., 1969.

48. Саймон Б.: Модель Р(ф)2 евклидовой квантовой теории поля.// М.: Мир. 1976.

49. Скороход А. В.: Интегрирование в гильбертовом пространстве. М., Наука, 1975.

50. Смоляное О.Г.: Измеримые линейные многообразия в произведениях линейных пространств с мерой.// Математические заметки, 1969, т.5, выпуск 5, 623-634.

51. Смоляное О.Г.: Линейные дифференциальные операторы в пространствах мер и функций на гильбертовом пространстве.// Успехи мат. наук. 1973. Т 28, N 5, с. 251-252.

52. Смоляное О.Г.: Класс пространств, в которых справедлива теорема об ограниченной дифференцируемости обратной функции.// Математические заметки, 1975, т. 17, вып.5, с.703-709.

53. Смоляное О. Г.: Линейные представления эволюционных дифференциальных уравнений.// ДАН СССР. 1975. Т 221, N 6, с. 1288-1291.

54. Смоляное О. Г.: Анализ на топологических линейных пространствах и его приложения.// М.: Московский гос. Ун-т, 1979.

55. Смоляное О. Г.: Бесконечномерные псевдодифференциальные операторы и квантование по. Шредингеру.// Докл. АН СССР. — 1982. — 263, № 3. С. 558-562.

56. Смоляное О.Г., Вайцзеккер Х.ф., Виттих О.: Формулы Фейнмана для для задачи Коши в областях с границей.// Доклады Академии Наук, 2004, т. 395, № 5, стр. 596-600.

57. Смоляное О.Г., фон Вайцзеккер X., Виттих О. Построение диффузий на множестве отображений отрезка в компактное риманово многообразие // ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2005, т. 402, № 3, р. 316-320.

58. Смоляное О.Г., Вайцзеккер Х.ф., Виттих О., Сидорова H.A.: Поверхностные меры на траекториях в римановых многообразиях, порождаемые диффузиями// Доклады РАН, 2001, 377 (4), 441-446.

59. Смолянов О.Г., Вайцзеккер Х.ф., Виттих О., Сидорова H.A.: Поверхностные меры Винера на траекториях в римановых многообразиях// Доклады Академии Наук, 2002, т. 383, № 4, стр. 458-463.

60. Смолянов О. Г., Тру мен А.: Стохастические уравнения Шредингера для гамильтоновых систем со связями// Доклады Российской Академии Наук, 1999, 369(5), 600-604.

61. Смолянов О. Г., Тру мен А.: Формулы Фейнмана для решений уравнений Шредингера на компактных римановых многообразиях// Матем. заметки, 68:5 (2000), 789-793.

62. Смолянов О. Г., Тру мен А.: Формулы замены переменной в интеграле Фейнмана по траекториям-в компактном римановом многообразии// Доклады РАН, 2001, 380 (1), 14-18.I

63. Смолянов О. Г., Тру мен А.: Вероятностные модели квантовых систем и неравенства типа Белла.// Доклады Академии Наук, 2002, т. 387, № 1, стр. 31-36.

64. Смоляное О. Г., Тру мен А.: Интегралы Фейнмана по траекториям в ри-мановых многообразиях.// Доклады Академии Наук, 2003, т. 392, № 2, стр. 174-179.

65. Смоляное О. Г., Тру мен А.: Гамильтоновы формулы Фейнмана для уравнения Шредингера в ограниченных областях.// Доклады Академии Наук, 2004, т. 399, № 3, стр. 310-314.

66. Смоляное О. Г., Тру мен А., Хренников А.Ю.: Колмогоровские вероятностные модели квантовых корреляций.// Доклады Академии Наук, 2003, т. 393, № 1, стр. 28-32.

67. Смоляное О. Г., Угланов A.B.: Всякое гильбертово подпространство ви-неровского пространства имеет меру нуль.// Математические заметки, 1973, т. 14, N 3, 369-374.

68. Смоляное О.Г., Хренников А.Ю.: Неклассические модели колмогоров-ского типа, описывающие квантовые эксперименты.// Доклады Академии Наук, 2003, т. 388, № 1, стр. 27-32.

69. Смоляное О.Г., Хренников А.Ю., Шелкович В.М.: Мультипликативные структуры в линейном простарнстве векторнозначных распределений.// Доклады Академии Наук, 2002, т. 383, № 1, стр. 28-31.

70. Смоляное О. Г., Фомин С. В.: Меры на топологических линейных пространствах.// Успехи математических наук, 1976, т.31, N5 4, 3-56.

71. Смоляное О.Г., Шавгулидзе Е.Т.: Континуальные интегралы.//Москва, Издательство МГУ, 1990.

72. Смоляное О.Г., Шавгулидзе Е.Т.: Простое доказательство теоремы Та-риеладзе о достаточности положительно достаточных топологий// Теория вероятн. и ее примен. 1992. Т. 37, № 2. С. 421-424

73. Смоляное О.Г., Шавгулидзе Е.Т.: Формулы Фейнмана для решений бесконечномерных уравнений Шредингера с полиномиальными потенциалами./ / Доклады Академии Наук, 2003, т. 390, № 3, стр. 321-324.

74. Смоляное О.Г., Шамаров H.H.: Представления функциональными интегралами решений уравнения теплопроводности с оператором Владимирова/ / Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 2008. № 4. С. 16-22.

75. Смоляное О.Г., Шамаров H.H.: Формулы Фейнмана и Фейнмана-Каца для эволюционных уравнений с оператором Владимирова// ДАН, 2008, том 420, № 1, с. 4-6.

76. Смоляное О.Г., Шамаров H.H.: Представление решений эволюционных уравнений с оператором Владимирова интегралами Фейнмана по траекториям// Докл. РАН. 2009. Т.425. К0- 4. 600-604.

77. Смоляное О.Г., Шамаров H.H.: Формулы Фейнмана и интегралы по траекториям для эволюционных уравнений с оператором Владимирова Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН. 2009. Т. 265. С. 229-240.//

78. Смоляное О.Г., Шамаров H.H.: Гамильтоновы интегралы Фейнмана для уравнений с оператором Владимирова// Докл. РАН. 2010. Т.431. № 2. С. 170-174.

79. Сухинин М. Ф. : Несколько теорем о неявной и обратной функциях в линейных топологических пространствах.// Успехи математических наук. 1973. т. 28, N 1.

80. Угланов А. В.: Дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами для обобщенных мер на гильбертовом пространстве // Изв. АН СССР. 1975. Т 39, N 2, с. 438-468.

81. Угланов А. В.: Дифференциальною уравнения второго порядка для функций бесконечномерного аргумента.// ДАН СССР. 1976. Т 230, N 1, с. 44-47.

82. Фейнман Р.: Развитие пространственно-ввременнбй трактовки квантовой электродинамики// УФН, т.91, вып.1, 29-48 (1967).

83. Фейнман Р., Хибс А.: Квантовая механика и интегралы по траекториям.// М.:Мир,1965.

84. Фомин С. В.: Дифференцируемые меры в линейных пространствах// Тезисы кратких научных сообщений Международного конгресса математиков, секция 5, 1966, с 78-79.

85. Фомин С. В. Метод преобразования Фурье для уравнений в функциональных производных.// ДАН СССР. 1968. Т 181, N 4, с. 812-814.

86. Фомин С. В.: Дифференцируемые меры в линейных пространствах. Успехи математических наук. 1968. т. 23, Вып. 1., с. 221-222.

87. Фомин С.В.: О некоторых новых проблемах и результатах в нелинейном функциональном анализе.// Вестник МГУ. 1970. N 2, с. 57-65.

88. Фомин С. В.: Дифференцируемые меры в линейных пространствах// Тезисы кратких научных сообщений Международного конгресса математиков, секция 5, 1966, с 78-79.

89. Хёрмандер Л.: Интегральные операторы Фурье, I, сб.Математика, 16:1, 17-61; 16:2, 67-136.// "Мир", М., 1972.

90. Хъюитт Э., Росс К.: Абстрактный гармонический анализ, т. 1// М.: Наука., 1975.

91. Хъюитт Э.} Росс К.: Абстрактный гармонический анализ, т.2// М.: Мир, 1975.

92. Цикон X., Фрёзе Р., Кирш В., Саймон Б.: Операторы Шредингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии.// "Мир", М., 1990.

93. Шамаров Н. И.: Некоторые формулы исчисления дифференциальных форм конечной костепени на локально-выпуклом пространстве.// — Вестник МГУ, сер. математика, механика, 1996, N2, с 26-33.

94. Шамаров H.H.: Вероятностное решение задачи Неймана для уравнения Пуассона в области гильбертова пространства// — Вестник МГУ, сер. математика, механика, 1996, N4, с. 102-106.

95. Шамаров H.H.: О восстановлении гладкой плотности одной меры относительно другой гладкой меры на бесконечномерном пространстве по их обобщенным плотностям// — Труды конференции молодых ученых МГУ 1996, с.46-49.

96. Шамаров H.H.: Преобразование Фурье распределений некоммутативных процессов типа Маркова-Маслова// — Труды конференции молодых ученых МГУ 2003, с.89-91.

97. Шамаров H.H.: Преобразование Фурье распределений однородных случайных полей с независимыми приращениями и комплексные цепи Маркова-Маслова// Матем. заметки, 2004, V.75. No.2. с. 275-281.

98. Шамаров H.H.: Функциональный интеграл по счетно-аддитивной мере, представляющий решение уравнения Дирака// Труды Московского Математического Общества, 2005, т.66., с. 263-276.

99. Шамаров H.H.: Полиномиальные замены антикоммутирующих переменных в функциональном суперанализе// Вестник Московского университета. Серия 1. Математика, Механика. 2006, № 4, 3-8.

100. Шамаров H.H.: Мера Пуассона-Маслова и формулы Фейнмана для решения уравнения Дирака// Фундаментальная и прикладная математика, 2006, т. 12, вып. 6, 193-211.

101. Шамаров Н.Н.: Применения нестандартных числовых систем в математической физике.// "Итоги науки и техники" ВИНИТИ, сер. "Современные проблемы математики и ее приложения", тематические обзоры, том посвященный памяти В.В.Трофимова, 2007 Том 23, 182—194.

102. Шилов Г. Е.: О мерах в линейных пространствах.// — ДАН СССР, 159, N 1, 1955. с.46-48.

103. Шилов Г. Е.: Интегрирование в бесконечномерных пространствах и интеграл Винера.// Успехи математических наук, 18, вып. 2, 1963.

104. Шилов Г. Е.: "О некоторых вопросах анализа в гильбертовом пространстве, I"// Функц. анализ и его прил., 1:2 (1967), 81-90.

105. Шилов Г.Е.: О некоторых вопросах анализа в гильбертовом пространстве. И. // Матем. исслед. 1968. Т 2, N 4, с. 166-186.

106. Шилов Г. Е.: "О некоторых вопросах анализа в гильбертовом пространстве. ИГ'// Матем. сб., 74(116):1 (1967), 161-168.

107. Accardi L., Smolyanov O.G.: Semigroups and harmonic functions generated by Levy Laplacians.// — Centro Vito Volterra (Univercita di Roma II), January 2002, Preprint No.505, 1-24.

108. Albeverio S., Khrennikov A., Smolyanov O.: A Local Liouville Theorem for Infinite-Dimensional Hamilton-Dirac Systems// Russian Journal of Mathematical Physics; 2002, v. 9, No 2., 123-140.

109. Arsove M.G.: The Paley—Wiener theorem in metric linear spaces.// Pacific J.Math 10 (1960).

110. Atiyah M.: MATHEMATICS IN THE 20TH CENTURY// Bulletin of the London Mathematical Society, 2002, Vol.34, No 1, p.1-15.

111. Chernoff R.: A Note on Products Formulas for Operator Semigroups// Journal of Functional Analysis, No 2 (1968) p.238-242.

112. Chemo ff P., Marsden J.: Inßnite-dimensional Hamiltonian systems.// Lecture Notes in Math., No. 425, 1974.

113. Davies E.B.: One-parameter semigroups// Academic Press, 1980.

114. Diestel J., Uhl J.J.,jr: Vector measures (Mathematical surveys, no.15)// Providence, Rhode Island. American Mathematical Sosiety 1977.

115. Dirac P.: Statement of a Problem in Quantum Mechanics// J. London Math. Soc. V.8, 274-277 (1933).

116. Dwyer. T. A. W.: Partial differential equations in Fischer-Fock spaces for the Hilbert-Schmidt holomorphy type// Bull. Amer. Math. Soc., 77:723-730, 1971.

117. Engel K.-J., Nagel R.: One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations.// Springer-Verlag, N.Y., 2000.

118. Feynman R. P.: Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics// Rev. Mod. Phys. 20, 367-387 (1948)

119. Gross L. Potential theory on Hilbert space //J. Funct. Anal. 1967. V. 1, N 2, p. 123-181.

120. Gyöngy I., Krylov N. V.: On stochastic equations with respect to semimartingales II. Ito formula in Banach spaces. — Stochastics, 1981, 8, p.1-12.

121. Kallianpur G.: The role of reproducing kernel Hilbert spaces in the study of Gaussian processes// Advances in probability and related topics, Vol. 2. Marcel Dekker, New York, 1970. pages 49-83.

122. Nelson E.: Feynman integrals and the Schro"dinger equation// J. Math. Phys. 5 (1964), pp. 332-343.

123. Piech M.A.: A fundamental solution of the parabolic equation on Hilbert space // J. Funct. Anal. 1969. V. 3, N 1, p. 85-114.

124. Shamarov N.N.: Explicit Formulas for Fourier Transforms of Distributions of some Markov Processes.// Russian Journal of Mathematical Physics, vol. 8, No. 4, 2001, pp. 493-494.

125. Shamarov N.N., Urinovskii A.N.: Inner Products Compatible with an Algebra Structure// Russian Journal of Mathematical Physics, 2002, vol. 9, No 3, 351-370.

126. Shamarov N.N.: Matrix-Valued Cylindrical Measures of Markov Type and their Fourier Transforms// Russian Journal of Mathematical Physics, 2003, vol. 10, No 3, 1-16.

127. Shamarov N.N.: Poisson-Maslov types formulas for Schroedinger equations with matrix valued potentials// Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, vol.10, No 4, Dec.2007, 641-650.

128. Sidorova N., Wittich 0.: Construction of surface measures for Brownian motion// Trends in stochastic analysis: a Festschrift for the 60th birthday of Heinrich von Weizsaecker, 123-158, Cambridge University Press, 2009

129. Simon B.: Functional Integration and Quantum Physics // NY: Acad. Press, 1979.

130. Smolyanov O.G., Tokarev A.G., Truman A.: Hamiltonian Feynman path integrals via the Chernoff formula// Journal of Mathematical Physics, 2002 October, v. 43, № 10, p.5161-5171.

131. Smolyanov O.G., Truman A.: Feynman path integrals over trajectories in Riemannian Manifolds// Proceedings of the International Conference "Mathematical modelling and wave phenomena", 3-8 November 2002, Vaxio, Sweden, 275-284.

132. Smolyanov O.G., Weizsaecker H. von.: Change of measures and their logarithmic derivatives under smooth transformations // C. R. Acad. Sci. Paris, 1995, t. 321, Serie I, p. 103-108.

133. Smolyanov O.G., Weizsaecker H. von.: Smooth Probability Measures and Associated Differential Operators// Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 1999, V. 2, p. 51-78.

134. Weizsaecker H.v., Smolyanov O.G.: Calculus of smooth measures// Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 1999, 2(1), 151-174.