Стохастическая динамика порождаемая линейными и нелинейными эволюционными уравнениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Неклюдов, Михаил Юрьевич

• Неклюдов, Михаил Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Неклюдов, Михаил Юрьевич

1 Дифференцирование мер вдоль векторных полей не принадлежащих пространству Камерона-Мартина и дифференцирование мер на группах Ли.

1.1 Дифференцирование мер вдоль векторных полей не принадлежащих пространству Камерона-Мартина

1.2 Дифференцируемость меры Винера на функциях со значениями в компактной группе Ли

2 Аналог лагранжевого описания для уравнения Навье-Стокса и интегрирование вдоль случайных контуров

2.1 Некоторые определения и предварительные сведения

2.2 Эквивалентность уравнения Навье-Стокса и стохастической системы уравнений в частных производных.

2.3 Эквивалентность параболических уравнений 2-ого порядка и стохастических уравнений в частных производных первого порядка.

2.4 Теорема о сохранении циркуляции поля скорости для уравнения Навье-Стокса.

2.5 Интегрирование вдоль случайных контуров и задача Коши для параболических уравнений.

2.6 Аналитическое продолжение уравнения Навье-Стокса и уравнение Эйлера.

3 Циркуляция и уравнения гидродинамики

3.1 Циркуляция решения уравнения Навье-Стокса и бесконечномерное уравнение типа Бюргерса

3.2 Гармонические функции для оператора Лапласа-Леви и уравнение Стокса.

4 Представление решения некоторых псевдодифференциальных уравнений Шрёдингера гамильтоно-выми интегралами Фейнмана.

4.1 Обозначения и терминология.

4.2 Определение интеграла Фейнмана.

4.3 Задача Коши для уравнения Шредингера в фазовом пространстве

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стохастическая динамика порождаемая линейными и нелинейными эволюционными уравнениями»

В диссертации рассматриваются задачи бесконечномерного анализа, связанные с исследованием линейных и нелинейных эволюционных уравнений. В ней получено представление решения задачи Коши для бесконечномерного уравнения Шредингера в фазовом пространстве с помощью интеграла Фейнмана по траекториям, описывается новый класс векторных полей, вдоль которых дифференцируема мера Винера на траекториях в евклидовом пространстве и развивается подход к исследованию системы уравнений Навье-Стокса, аналогичный лагранжеву подходу и исследованию гидродинамических уравнений Эйлера; при этом система уравнений Навье-Стокса заменяется некоторой (эквивалентной ей) системой стохастических дифференциальных уравнений. Следует отметить, что эта система стохастических дифференциальных уравнений эквивалентна детерминированной системе уравнений Навье-Стокса, так что этот подход принципиально отличается от подхода, основывающегося на введении в уравнение Навье-Стокса члена содержащего белый шум.

Перечисленные задачи относятся к одному из важнейших направлений бесконечномерного анализа, на протяжении более 20 лет находящемуся в центре внимания специалистов - анализу в пространстве функций на бесконечномерном пространстве с мерой. Этой области бесконечномерного анализа посвящена обширная и постоянно растущая литература; отметим в частности, монографии [29], [19], [33], [28], [15] 1 и многочисленные журнальные статьи как этих, так и многих других авторов, в том числе Трумена, Альбеверио, Аккарди, Воловича, Хренникова, Леандра, Висмута, Бжезняка и многих других. Таким образом, тему диссертации следует считать вполне актуальной.

Преобразованием меры Винера на траекториях в евклидовом пространстве, соответствующим рассмотренному классу векторных полей, является вращение траектории винеровского процесса зависящее от времени. Это преобразование интересно в связи с тем, что оно возникает при рассмотрении формулл интегрирования по частям для мер Винера на траекториях со

1В зарубежной литературе применительно к этой области бесконечномерного анализа используется название "Исчисление Маллявзна" и "White noise analysis". значениями в многообразиях. Стандартные теоремы о диффе-реицируемости меры Винера вдоль векторных полей со значениями в пространстве Камерона-Мартина (рассмотренные, например, в [22, ]) здесь неприменимы в силу того, что этим преобразованиям соответствуют векторные поля не принадлежащие пространству Камерона-Мартина ни в одной точке. В диссертации будет показана дифференцируемость меры Винера на С({0,1]К™ ) вдоль соответствующих векторных полей и найдена соответствующая логарифмическая производная. С помощью этого результата и результата статьи [21] доказана дифференцируемость меры Винера на траекториях в компактной связной группе Ли вдоль ограничения этих полей. Другой подход к этим задачам можно найти в статье [8].

В математической физике хорошо известна проблема поиска связи между уравнением Навье-Стокса(в дальнейшем мы будем пользоваться сокращением Н.-С.) и турбулентностью. При этом в силу того что турбулентность является стохастической системой естественным желанием было бы и описывать её стохастическим уравнением. В диссертации показана эквивалентность уравнения Н.-С. и некоторой системы стохастических дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных. Будет доказано, что,при некоторых предположениях, решение детерминистического уравнения Навье-Стокса предста-вимо в виде композиции двух случайных полей. В случае отсутствия вязкости наш результат соответствует классической Лагранжевой картине описания уравнения Эйлера, описанной, например, в книгах [5] и [9], т.е. поля становятся классической траекторией и скоростью на траектории (естественно в этом случае стохастическая часть исчезает). Аналогичное разложение оказывается верным и для других эволюционные уравнений. Далее будет рассмотрена циркуляция решения уравнения Навье-Стокса вдоль некоторого потока случайных контуров и будет доказано, что эта величина является мартингалом с обращенным временем. Этот результат для уравнения Навье-Стокса является аналогом классической теоремы Кельвина о сохранении циркуляции решений вдоль потока траекторий для уравнения Эйлера. Исходя из этого факта будет доказано отсутствие нетривиального решения уравнения Н.-С. которое при —> —оо стремится к нулю; тривиальным решением называется решение не зависящее от пространственной переменной. Помимо этого, будет показано, что для определённых систем линейных параболических уравнений справедлив аналогичный факт т.е. то, что циркуляция решения вдоль потока случайных контуров является мартингалом с обращенным временем. Этот факт позволяет с помощью явной формулы найти интеграл решения вдоль любого замкнутого контура, тем самым сводя задачу решения этой системы уравнений к более простой. Аналогичные подходы к уравнению Навье-Стокса рассматривались в статьях [20], [6],[3]. Отличие нашего подхода состоит в том, что мы не используем усреднение ни в каком виде.

В диссертации описывается уравнение которому удовлетворяет циркуляция решения уравнения Навье-Стокса как функция контура. Это уравнение оказывается бесконечномерным аналогом уравнения Бюргерса. При этом бесконечномерным аналогом лапласиана является лапласиан Леви. Линеаризованное уравнение Стокса оказывается эквивалентным бесконечномерному уравнению теплопроводности рассмотренному в статье [2]. Кроме того, описан один класс ''гармонических"(по отношению к Лапласиану Леви) функций. Этот результат интересен в связи с тем, что в статье ([1]) доказано, что гармонические функции генерируемые лапласианом Леви взаимнооднозначно соответствуют полям Янга-Миллса. Аналогичный подход к уравнению Навье-Стокса рассматривался в работе [18].

В работе рассматривается задача Коши для бесконечномерного уравнения Шрёдингера в фазовом пространстве. При этом гамильтонианом в уравнении Шрёдингера является (бесконечномерный) псевдодифференциальный оператор(ПДО). В диссертации показано, что задача Коши имеет решение и это решение представимо в виде интеграла Фейнмана по траекториям в фазовом пространстве(называемого также гамильтоновым ,или симплектическим интегралом Фейнмана). Интеграл Фейнмана определяется с помощью равенства Парсеваля(это определение^ также другие определения интеграла Фейнмана и связи между ними можно найти в [33]-[31]). Полученный результат является усилением одного из центральных результатов в [33] (там рассматриваются ПДО с ^р и -pq символами , а в диссертации с произвольным т-символом).

Методы исследования

В Диссертации используются методы бесконечномерного и стохастического анализа, а также ряд специальных конструкций.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Кроме того некоторые результаты могут найти применение при изучении течений вязкой несжимаемой жидкости.

Апробация диссертации

Основные результаты диссертации докладывались на конференции молодых учёных и семинарах механико-математического факультета МГУ.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в четырёх работах автора. Работ по теме диссертации, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из четырёх глав, разбитых на параграфы. Общий объём диссертации составляет 93 страницы. Список литературы включает 38 названий. Краткое содержание диссертации

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Неклюдов, Михаил Юрьевич, 2005 год

1. Accardi L., Gibilisco P., Volovich 1. Yang-Mills Gauge Fields as Harmonic Functions for the Levy Laplacian. Russian Journal of mathematical physics. —1994. —V.2,n.2, — p.235-251.

2. Accardi L., Smolyanov O. G. Semigroups and Harmonic Functions Generated by Levy Laplacians.Doklady Math., —2002. — V.384, —№ 3, — p.295-301.

3. Albeverio S., Belopolskaya Y. Probabilistic approach to hydro-dynamic equations.Proc. Inter. Conf. "Probabilistic Methods in Hydrodynamics", Ed. I. Davies et al., World Scient., Singapore, (2003).

4. Albeverio S., Hoegh-Krohn R. Mathematical theory of Feynman path integrals. Lecture notes in math. Berlin. Springer,1976.

5. Arnold V. I., Khesin B. A. Topological Methods in Hydrodynamics. Applied Mathematical Sciences,V. 125. — New York:Springer-Verlag, 1998.

6. Busnello B., Flandoli F., Romito M. A probabilistic representation for the vorticity of 3D viscous fluid and for general systems of parabolic equations, preprint, http://arxiv.org/abs/math/0306075

7. Da Prato G., Zabczyk J. Stochastic equations in infinite dimensions.Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 44. Cambridge University Press, Cambridge, 1992.

8. Driver B. K. A Cameron-Martin type quasi-invariance theorem for Brownian motion on a compact Riemannian manifold. J. Funct. Anal. — 1992. — V.110 , № 2. — p.272-376.

9. Ebin D., Marsden G. Groups of diffeomorphisms and the notion of an incompressible fluid. Ann. of Math. (2) — 1970. — V.92, — p.102-163.

10. Elworthy K. D. Stochastic differential equations on manifolds.London Mathematical Society Lecture Note Series, V.70. —Cambridge-New York: Cambridge University Press, 1982.

11. Foias C., Temam R. Gevrey class regularity for the solutions of the Navier-Stokes equations. J. Funct. Anal. — 1989. —V.87, №2. — p.359-369.

12. Grujic. Z., Kukavica I. Space analyticity for the Navier-Stokes and related equations with initial data in LP. J. Funct. Anal.,—1998.—V.152,n.2, — p.447—466.

13. Kunita H. Stochastic flows and stochastic differential equations. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, V.24. — Cambridge: Cambridge University Press, 1990.

14. Kunita H. Stochastic differential equations and stochastic flows of diffeomorphisms. .École d'été de probabilités de Saint-Flour, XII—1982, p. 143-303, Lecture Notes in Math.,V.1097, Springer, Berlin, 1984.

15. Malliavin P. Stochastic Analysis. Berlin/New York: SpringerVerlag, 1997.

16. Masuda K.On the analyticity and the unique continuation theorem for solutions of the Navier-Stokes equation. Proc. Japan Acad. — 1967. —V.43, — p.827-832.

17. Meyer P. A.Probability and Potentials. Blaisdell Publ. Co., 1965.

18. Migdal A. A. Loop equation and area law in turbulence. Int.J.Mod.Phys. —1994. —A9: — p.1197-1238.

19. Nualart D. The Malliavin calculus and related topics. Berlin/New York: Springer-Verlag, 1995.

20. Rapoport D. Random diffeomorphisms and integration of the classical Navier-Stokes equations. Reports on mathematical physics — 2002. — V.49, № 1. — p. 1-27.

21. Sidorova N. A., Smolyanov O. G., Weizsaecker H. v., Wittich 0. The Surface Limit of Brownian Motion in Tubular Neighbourhoods of an embedded Riemannian Manifold.submitted to press. 2003

22. Smolyanov 0. G., Weizsaecker H. v. Differentiable families of measures. Journal of Functional Analysis. — 1993. — V.118. — p.454-476.

23. Smolyanov O. G., Weizsaecker H. v. Change of measures and their logarithmic derivatives under smooth transformations. Comptes Rendues Acad.Sci. Paris. — 1995. — V.321. — p.103-108.

24. Smolyanov 0. G., Weizsaecker H. v. Formulae with logarithmic derivatives of measures related to the quantization of ifinitedimensional Hamiltonian systems. Russian Mat. Surveys. — 1996. — V.51, —№ 2. — p.357-358.

25. Smolyanov O. G., Weizsaecker H. v. Smooth probability measures and associated differential operators. Inf.Dim. Anal.Quant.Prob. — 1999. — V.2, —№ 1. — p.51-79.

26. Березин Ф. А. Метод вторичного квантования. M.: Наука, 1965.

27. Благовещенский Ю. Н., Фрейдлин М. И. Некоторые свойства диффузионных процессов зависящих от параметра. ДАН — 1961. —V.138, — р.508-511.

28. Богачёв В. И. Гауссовские меры. М.: Наука. Физматлит, 1997.

29. Го X. Гауссовские меры в банаховых пространствах. М.: Мир, 1979.

30. Икэда II., Ватанабэ С. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы.-М.:11аука, 1986.

31. Маслов В. П. Комплексные цепи Маркова и интеграл Фей-нмана для нелинейных систем. М.: Наука, 1976.

32. Смоляное О. Г. Гладкие меры на группах пе-тель.ДАН,1995,том 345,по.4,с.455-458

33. Смолянов О. Г'., Шавгулидзе Е. Т. Континуальные интегралы.

34. Смолянов О.Г.,Вайцзеккер Х.ф.,Виттих О.,Сидорова H.A. Поверхностные меры на траекториях в римановых многообразиях, порождаемые диффузиями.ДАН —2001. — т.377, — с.441-446.

35. Neklyudov. М. Y. Controllable stochastic dynamical system equivalent to the Navier-Stokes Equation. Russian Journal of Mathematical Physics. — 2005. —V.12, № 2. — p.232-240

36. Неклюдов. M. Ю. Производная меры Винера на траекториях в компактной группы Ли. Мат. заметки, май 2004 г. т. 75, вып. 5, с. 789-792.

37. Неклюдов. М. Ю. О некоторых свойствах оператора Лапласа-Леви. Тезисы международной конференции \'Дифференциальные уравнения и смежные вопросы', посвященной 103-летию со дня рождения И.Г. Петровского, 2004, 149.

38. Неклюдов. М. Ю. Производная меры Винера на траекториях в компактной группы Ли. Труды XXV конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, 2003 г, с.139-142.