Операторы Шредингера на разветвленных многообразиях и их аппроксимации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Мохамед Хаммад Нуман Эльшейх

• Мохамед Хаммад Нуман Эльшейх
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Мохамед Хаммад Нуман Эльшейх

Оглавление

Введение

1 Операторы Шредингера на геометрических графах и на разветвленных многообразиях

1.1 Постановка задачи и обозначения

1.2 Операторы Шредингера на графах с одной вершиной

1.3 Операторы Шредингера на графах с несколькими вершинами

1.3.1 Постановка задачи и обозначения

1.4 Операторы Шредингера на графах с бесконечным множеством ребер

1.5 Оператор Шредингера на разветвленных многообразиях переменной размерности

1.5.1 Постановка задачи и обозначения

1.5.2 Пространства граничных значений на границах гладких компонент разветвленного многообразия

2 Теорема Чернова и аппроксимации полугрупп

2.1 Теорема Чернова и эквивалентность операторнозначных функций

2.2 Пример приложения теоремы Чернова к диффузионным процессам

2.3 Аппроксимирующие оператор-функции

2.4 Граф Г и расширенный граф Г

2.5 Вероятностный подход к определению аппроксимирующей функции Чернова для уравнения диффузии на графе

3 Формулы Фейнмана для уравнения Шредингера

3.1 Постановка задачи и обозначения

3.2 Случай закона Кирхгоффа для квантовой динамики

3.3 Свойства оператор-функции F

3.4 Оценка сверху роста нормы

4 Формулы Фейнмана для уравнения диффузии

4.1 Постановка задачи и обозначения

4.2 Случай закона Кирхгоффа для диффузии

4.3 Свойства оператор-функции F

4.4 Оценка роста нормы оператор-функции F

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Операторы Шредингера на разветвленных многообразиях и их аппроксимации»

Введение

Проводимое в диссертации исследование направлено на изучение операторов Лапласа и операторов Шредингера на графах с конечным или счетным числом рёбер и на разветвленных многообразиях переменной размерности. Получено описание самосопряженных расширений симметрического оператора Шредингера, изначально заданного на гладких финитных функциях, носители которых не содержит точки вереши-ние графа или разветвленного многообразия.

В диссертации получены формулы Фейнмана для групп Шредингера, порождаемых задаче Коши для уравнения Шредингера, и полугрупп Шредингера, порождаемых задачей Коши для уравнения диффузии. Эти задачи Коши описывают либо квантовую диамику, либо либо диффузию, на подмножество евклидова пространства, представляющим собою граф или разветвленное многообразие.

Формулами Фейнмана называют (см. [29, 4, 13]) представлением полугруппы Шредингера ехр(£Ь), £ > О, или группы Шредингера ехр(—ИТи), Ь 6 Л, с помощью пределов конечнократных интегралов по декартовым степеням конфигурационного пространства (при стремлении к бесконечности кратности) классической гамильтоновой системы, при квантовании которой получается оператор Гамильтона Ь.

Дифференциальные операторы на графах и других разветвленных многообразиях имеют применения к описанию ряда процессов в квантовой механике и биологии. Основы теории дифференциальных уравнений на графах изложены в монографии [14], в которой приведен ряд примеров физических задач, приводящих к исследованию дифференциальных операторов на графах. В работах [22, 15, 21] изучены спектральные свойства таких операторов и исследованы динамические свойства эволюции, определяемых уравнением Шредингера на графе. В работах [1, 17, 18, 25] исследуется множество самосопряженных расширений оператора Шредингера, заданного изначально на пространстве финитных гладких функций, не содержащих точек ветвления графа ([17, 18, 25]) или точек смены типа оператора (см. [1]). В статье [18] найдены аппроксимации формулами Фейнмана унитарных полугрупп, задаваемых некоторыми из самосопряженных расширений.

В диссертации рассматриваются операторы Шредингера на графах с конечным или счетным числом рёбер. Работа является продолжением исследований [18], в которых изучался граф с конечным множеством рёбер.

Предложена процедура аппроксимации полугрупп, генерируемых операторами Шредингера на графе, операторнозначными функциями в смысле эквивалентности по Чернову. Такое отношение эквивалентности, введенное в работе [31] Смолянова, Вайцзеккера и Виттиха на пространстве сильно непрерывных операторнозначных функций, позволяет приблизить в сильной операторной топологии полугруппу последовательностью итераций, задаваемых одной из эквивалентных полугруппе оператор-функций. Аппроксимация полугрупп итерациями оператор-

нозначных функций является бесконечномерным аналогом метода ломанных Эйлера.

Известны некоторые универсальные методы задания операторнознач-ных функций, итерации которых аппроксимируют полугруппы. Так, например (см. [7, 16]), резольвента генератора сильно непрерывной полугруппы задает аппроксимации Иосиды, а произведения экспоненциальных функций от двух различных генераторов полугрупп при определенных условиях задают аппроксимацию полугруппы формулами Троттера.

В диссертации предложен ряд других аппроксимаций полугрупп Шредингера в пространстве квадратично интегрируемых функций на графе с помощью формул Фейнмана, для нахождения аппроксимирующих операторнозначных функций в которых в диссертации разработаны новые методы, обобщающие методы работы [17, 18] Сакбаева и Смоля-нова.

Актуальность рассматриваемой задачи состоит в том, что в последнее время значительно усилился интерес к описанию динамики частиц на графах, дендритах и иных разветвленных многообразиях со стороны математической физики и квантовой механики (см. [14, 15, 21, 22, 25]). С математической точки зрения операция дифференцирования функции, однозначно определенная для функций, заданных на области или на гладком многообразии, нуждается в уточнении для функций, заданных на многообразиях, содержащих точки ветвления. Цель настоящего исследования - определить действие оператора Шредингера на функциях, заданных на многобразии с конечным множеством точек ветвления. Для этой цели мы зададим оператор Шредингера Ьо на пространстве финитных и бесконечно дифференцируемых функций, носители которых не

содержат точек ветвления. Оператором Шредингера Ь на графе будем называть самосопряженное расширение оператора Ьо- При условии отсутствия электромагнитных потенциалов оператор Шредингера с постоянными коэффициентами будем называть оператором Лапласа. В настоящей работе дано описание множества всех операторов Шредингера на графе в терминах условий на множество предельных в точке ветвления значений функций из области определения оператора Ь и ее производной. В работе получены результаты по описанию множества операторов Лапласа и Шредингера для графов с одной вершиной (они представляют собой объединения п полупрямых с общим вершиной), графов с нескольким вершинами и графов с одной вершиной и со счетным множеством лучей, для разветвленных многообразиях переменной размерности. Далее для графа с одной вершиной и конечным множеством ребер предложена формула Фейнмана для аппроксимации полугруппы, разрешающей задачу Коши для уравнения диффузии с различными операторами Лапласа. Для некоторого класса операторов Шредингера доказана представимость полугрупп, описывающих квантовую динамику или диффузию, посредством формул Фейнмана.

В первой главе диссертации изучается множество самосопряженных расширений оператора Ьо, действующего в гильбертовом пространстве Н = Ь2(Г) и заданного на линейном пространстве и е Со°(Г) финитных бесконечно дифференцируемых функций на графе Г, носитель которых не содержит точек ветвления и граничных точек графа, посредством дифференциального выражения

Ь и = —Аи + ъВ(х)

т

1

Здесь функции т, В, С - вещественнозначные, ограничение и непрерывные всюду за исключением вершин графа Г, функции ти В непрерывно дифференцируемы на ребрах графа, функция т равномерно ограничена и равномерно отделена от нуля на графе Г; функция и в формуле (0.1.1) удовлетворяет условию и е Со°(Г).

В терминах линейных уравнений, связывающих предельные значения функций и их производных вдоль ребер графа в его граничных точка-х и точках ветвления, дано описание множества всех самосопряженных расширений оператора Ьо, заданного дифференциальным выражением (0.1.1) на линейном подпространстве С^Г). Описание множества самосопряженных расширений дано для графа с одной вершиной и конечным либо счетным множеством ребер, для графа с несколькими вершинами и ребрами, и для разветвленного многообразия переменной размерности. Эти результаты обобщают результаты работ [17, 18].

Граф Г с одной вершиной мы определяем как объединение п экземпляров полупрямых = [0,+оо), з = 0, ...,п, с общим началом называемым вершиной графа. Предполагается, что на Г задана боре-левская мера, определяемая требованием, чтобы её сужение на каждую полупрямую Г^- совпадало со стандартной мерой Лебега, тогда 1/2(Г) = Ш^Г^-). Пусть С£о(Г) - векторное пространство бесконечно дифференцируемых комплекснозначных функций на Г с компактными носителями, не содержащими точки С}, и Ьо = фЬд - линейный оператор, определяемый на Со°(Г), соотношением Ьо и — ©{Ь^-}, Чиз = щА.1из + + + Сз(х)щ. Здесь {щ,з = 1,п}

- сужения функции и на полупрямые Г^. Предполагается, что при всех 3 числа тПу > 0 и функции В^{х) £ С1 (Ге Пред-

плагается также, что вдоль каждого ребра Tj функция Bj имеет в точке Q конечное предельное значение bj = Bj(0).

Оператор Lq с областью определения D(Lq) = Со^(Г) С ^(Г), плотно определен и симметричен. Областью определения D(Lq) сопряженного оператора Lq является линейное подпространство .D(Lq) = ®"=i^22(ri) ^22(г) С Н. Сужения всякой функции и £ W¡{Y) на полупрямые Tj, j = 1, ...,п обладают граничными значениями в вершине, которые обозначим через Uj{0), где символ и(0) означает i¿(0) =

т

(tti(O) «а(О) ... un(0))j € С". Это также верно для первых производных этих сужений, для них используем аналогичные обозначения.

Теорема Фон Неймана (см. [16, 7]) предоставляет описание множества самосопряженных расширений симметрического оператора. Нами получено явное описание множества самосопряженных расширений оператора Lo в терминах условий на линейные подпространства в пространстве граничных значений G = D(Lq)/D(Lo) = {(w(0), u'(0))} = С2".

Теорема 0.1.1. Если М и S диагональные матрицы и их матричные элементы заданы по формуле (¿<%)nxn, (&¿<%)nxn i,j = 1 ,-,п соответственно, и С = (c¿¿), где с^- £ Loo (Г), то оператор L с областью определения D(L) = {и € Wf (Г) : и'(0) = А«(0)}, самосопряжен тогда и только тогда, когда матрицы А, М и 5 удовлетворяет равенству А = М~1А*М -г 2i М~1Е.

Теорема 0.1.1 дает описание широкого класса самосопряженных расширений оператора Lo, но не дает описания всей совокупности самосопряженных расширений. Это делает следующая теорема.

Теорема 0.1.2. Оператор L самосопряжен тогда и только тогда, когда его область определения D{L) состоит из функций пространства W22(T), граничные значения которых удовлетворяют равенству Aiit'(O) + Ao'u(O) = 0, где ранг матрицы (Ai|Ao) равен п и матрица AqA\ удовлетворяет равенству AqM~1A\ = AiM~x{Al + 2г ЕМ-1 Л*).

Далее в главе 1 результаты теорем 0.1.1 и 0.1.2 обобщаются на случай графа со счетным множеством ребер и одной вершиной, графа с конечным множеством вершин и разветвленного многообразия, представляющего собой объединение конечного числа областей конечномерных евклидовых пространств различной размерности и обладающих кусоч-ногладкой границей.

Вторая глава диссертации посвящена аппроксимации сильно непрерывных полугрупп итерациями операторнозначных функций. В работах О.Г. Смолянова и его соавторов (см. [4, 29, 13]) показано, что эффективным методом построения таких аппроксимаций является утверждение теоремы Чернова (см. [24]).

Теорема (Чернова). Пусть X - банахово пространство, В(Х) - банахово пространство линейных ограниченных операторов в X и пусть функция F : [0,+оо) —>• В(Х) удовлетворяет условию F(0) = I, непрерывна в сильной операторной топологии, удовлетворяет оценке ||F(£)IU(X) < eai,t > 0, при некотором а > 0. Тогда если оператор F'(0) замыкаем и его замыкание является генератором сильно непрерывной полугруппы операторов U(i),t > 0, то для любого и G X и любого

Т > 0 выполняется равенство

lim sup ||U(i)u- (f(-)) u\\x = 0.

V xn>)

Представление полугруппы U(t), t > 0, в виде предела итераций (F(^))n при п оо и является формулой Фейнмана. Тогда говорят, что оператор-функция F(t) эквивалентна по Чернову полугруппе U(t) (см. [4, 13]). Дальнейшей целью диссертации является определение итерационных фейнмановских аппроксимаций для полугрупп, порождаемых операторами Лапласа и Шредингера на графе при описании квантовой динамики или диффузии.

Пример приложения теоремы Чернова к диффузионным процессам Предложение 0.2.1. Пусть Н = L2(R) и для каждого е е R и каждого у G R определено семейство не полугруппа преобразований UC;?;(i), t > 0 пространства Н, действующих по формуле

Ue,v(£)u(a;) = и{х + vt + et112), t > 0.

Пусть на множестве R задана вероятностная мера ¡i с плотностью pß такая, что - счетная функция и

J б%(e)de = D > О, J \e\3pß(€)de < оо.

r r

Тогда при любом v б R семейство преобразований U€ii; удовлетворяет условиям теоремы Чернова и преобразование U^(-), являющеся результатом усреднения по мере /л семейства преобразований U£)U(-), е € R эквивалентно по Чернову полугруппе, разрешающей задачу Коши для уравнения теплопроводности

u't = Du"x + vu'x, t > 0, x E R; «|г=+о = ^o-

11

Во второй главе диссертации приведены примеры применения операции усреднения операторнозначных функций к построению фейнма-новских аппроксимаций заданных полугрупп. На основании вероятностного подхода найдено семейство аппроксимирующих полугруппы Шре-дингера оператор-функций, параметризованное вероятностями перехода с каждого из ребер графа на другие ребра.

Далее изложенная схема построения аппроксимирующей функции Чернова будет применена к изучению диффузии (эволюции конценрации как функции из пространства /а (Г) или Ьр{Г)) и квантовой динамики (эволюции волновой функции из пространства Ьг(Г)) на графе Г.

Граф Г и расширенный граф Г Пусть если х £ Г^, то х = (£, з) £ Я+ х {1,..., п} пара называющая какому лучу принадлежит х и координаты на луче, и пусть и = =

Обозначим через Г^ прямую являющуюся продолжением полупрямой

171

до прямой, а через Г- объединение Ц^ Цг

Используем следующий схему (см. [17, 18]), основанную на применении теоремы Чернову и формулы Фейнмана.

1) Определим преобразование Ех при каждом £ > О сопоставляющее

__/V Л А

функцию функцию у = : Г С, где у{х) = у(£,з) =

по следующему правилу

и,-(О.

П

V

Тогда справедливо равенство

1 71

Ч?(£)х(0,+оо) + —[ X] и*(-£)Х(-оо,0),

где ХсГ характеристическая функция интервала а.

2) Продолжим коэффиценты дифференциального выражения на рас-ширеный граф Г

т= 1, х Е Г,

а функции В^{х),С^{х) на каждой прямой Г^- с носителями на промежутке [—1,+оо) определим как гладкие продолжения с полупрямой!^-на прямую Т^.

Для изучения явления диффузии на графе Г в отсутствии потенциалов {Ъ = 0 и с — 0) определим операторнозначную функцию € С([0, +оо), В(Ь 1(Г)), задаваемую равенством

+оо

= J з = 1 ,...,п.

-оо

Оператор-функция задает диффузию с постоянным коэффициентом

на каждой из прямых Гj графа Г, причем преобразования функций на

каждой из ветвей Tj расширенного графа Г происходит независимо от

значений функции на других ветвях Г^, к ф

Опреатор Г3 определим как оператор сужения функции с расширенА _

ного графа Г на граф Г.

Далее (см. главу 4) будет показано, что оператор-функция Е(£) = t> 0, аппроксимирует в смысле Чернова полугруппу е4Л, £ > 0, порождаемую оператороом Лапласа на графе Г.

В главе 3 для аппроксимации унитарной группы, порождаемой оператором Лапласа в пространстве ¿^(Г), будет исследована аппроксимирующая функция Чернова, где = £ > 0, а оператор-функция G2 6 С([0, +оо), .В(1,2(Г)) задана равенством

{Ь)у(х,з) = J 3 = 1,-,п.

—оо

Кроме того, в главах 3 и 4 установлено определен вклад в аппроксимации по Чернову полугрупп еь<, £ > 0, и групп е_г*ь, £ £ Л, от потенциалов бис.

Прежде мы проанализируем вероятностные аспекты такой аппроксимации. Высказывается гипотеза, что каждому набору вероятностей перехода с ребра на ребро графа соответствует полугруппа, порождаемая некоторым самосопряженным расширением оператора Ьо, и наоборот, каждое самосопряженное расширение оператора Ьо задает полугруппу, эквивалентную по Чернову оператор-функции, соответствующей некоторому набору вероятностей перехода с ребра на ребро. В главах 3 и 4 исследован случай равновероятных переходов с ребра на ребро и доказано, что соответствующая такому закону оператор-функция эквивалентна по Чернову полугруппе, в область определения генератора которой входят те и только те функции, которые удовлетворяют в точке ветвления графа условию непрерывности и условию равенства нулю суммарного потока (что эквивалентно условию самосопряженности). Эти условия будем называть условиями Кирхгоффа.

Вероятностный подход к определению аппроксимирующей функции Чернова для уравнения диффузии на графе

Предлагаемая аппроксимирующая функция Чернова имеет следующую вероятностную интерпретацию в терминах случайного блуждания по графу.

Случайному блужданию, описывающему диффузию на прямой, соответствует марковский процесс с переходной функций, обладающей плотностью б, = ^ ^ . ехр^^ относительно меры Лебега. Тогда в случае графа Г вероятность оказаться в окрестности с1у точки у £ Г^ в момент времени I для частицы, находившейся в момент времени я < £ в точке х Е Г-/, определяется по правилу

= , ' (0-2.1)

где рр у, к 6 1, п, з ф к; > 0, - вероятность перехода с ветви Г^- графа на его ветвь IV При каждом у € 1 , п выполняется условие

кфз

Нами будет рассмотрен сначала случай, когда

* 1

Pi =

7 1 '

J П — 1

при всех j, & 6 1, n, j /г.

Замечание. Определенная выше функция р не удовлетворяет уравнению Колмогорова-Чепмена

JP{t, s, j), (2/, i, (г, /), (ж, j) = pK s, (г, 0, (гл *0)-

r

Поэтому функция р не является плотностью переходной функции стационарного марковского случайного процесса на графе Г, хотя функция

р принимает неотрицательные значения и для любого (ж, j) Е Г, любых t,s Е R : s < t выполняется равенство

Jp(t,s, (x,j), (y,k))d{y,k) = I. г

Функция (2.5.17) имеет смысл плотности в точке (у, к) Е Г условной вероятности перехода из точки (х, j) Е Г в момен времени s в измеримое множество Г к моменту времени t > s.

Определим оператор-функцию P(s,£), (s,t) Е R+ х R+: 0 < s < t < +00 таким образом, что для любых (s, t) оператор P(s,£) действует впространстве Li(T) по правилу

(P(5,i)H)(rr,j) = Jp(t,s,{x,j),(y,k))u(y,k)d{y,k)\/ueL1(r). (0.2.3) г

Лемма 0.2.2. Пусть р Е [1, +оо]. Оператор-функция Р задает двух-параметрическое семейство сжимающих преобразований пространства Ьр{Г), сохраняющих конус неотрицалельных функций.

Теорема 0.2.3. Оператор-функция Р(0, t), t > 0, заданная функцией р по формуле (0.2.1) при условии р[? = k,j Е 1,...,п; к ф j, совпадает с оператор-функции Чернова F(t) — F3F2(i)Fi, t > 0. В третьей главе диссертации изучается уравнение Шредингера

i^-u(x, t) = Lu(x, t), t > 0, (0.3.1)

{JjLt

где

L и = -А и + iB(x+ + C(x)u. (0.3.2)

m ox ox

В последнем выражении функции m, В, С - вещественнозначные, огра-ниченые и непрерывные всюду за исключением вершин графа функции

на Г, функции m и В непрерывно дифференцируемы на ребрах графа, функция m равномерно ограничена и равномерно отделена от нуля на графе Г; функция и в формуле (0.3.2) удовлетворяет условию и G Со°(Г). Задача Коши для уравнения (0.3.1) рассматривается с начальным условием

u\t=o = Щ, Щ G Ь2{Г), (0.3.3)

где символом Ь2(Г) обозначается гильбертово пространство измеримых квадратично интегрируемых комплекснозначных функций на графе Г.

Оператор Ls задается дифференциальным выражением (0.3.3) как самосопряженное расширение оператора Lo с областью определения Со^(Г) на пространство функций, удовлетворяющих в точке ветвления графа условию Кирхгоффа:

п

«х(0) = ... = ип(оу, J>;(0) + Щ(0)и(0)) = 0. (0.3.4)

i=i

В третьей главе диссертации найдена операторнозначная функция, эквивалентная по Чернову унитарной группе, задаваемой в пространстве ¿г(Г) задачей Коши для уравнения Шредингера (0.3.1)-(0.3.4).

В качестве функций Чернова, аппроксимирующих унитарную полугруппу e~îiLs, рассмотрим оператор-функцию

F(i) = Ms,-bF3FC6(£)G2(0FiMs,b; t > 0; t G Д, где Ms,±b = e^fo*^, FCb(t) = Cb{x) = C{x) + B2{x) и

p 00 -i(x-Ô2 - - _

G2(%o(£, fc) = J e « уд (£, k)d£, при всех к el,п.

—сю

Теорема 0.3.1. Пусть функция b удовлетворяет условиям Ъ G С£(Г), а функция с - условию с G СЦГ). Тогда справедливо представление

группы е iiLs, t > О, формулой Фейнмана

lim sup ||e-iiLsu-fF(-)N)nu|L=0 VT>0,ueX, n-^°°i6[0,T] v n '

где X = Ь2(Т).

В четвертой главе диссертации изучается уравнение Фоккера-Планка

t) = Iм(х, t), t > О, (0.4.1)

LL0

где

hu = 1ди + + д[В!?)и) + С(х)и. (0.4.2)

т ох ох

В последнем выражении функции т, В, С - вещественнозначные, огра-ниченые и непрерывные всюду за исключением вершин графа функции на Г, функции т и В непрерывно дифференцируемы на ребрах графа, функция т равномерно ограничена и равномерно отделена от нуля на графе Г; функция и в формуле (0.4.2) удовлетворяет условию и е Со°(Г). Задача Коши для уравнения (0.4.1) рассматривается с начальным условием

u\t=o = Щ, w0 G LP{T), (0.4.3)

где р G [0, +оо) и символом LP(T) обозначается банахово пространство измеримых интегрируемых в степени р функций на графе Г.

Оператор Lr задается дифференциальным выражением (0.4.2) как расширение оператора Lo с областью определения Со^(Г) на пространство функций, удовлетворяющих в точке ветвления графа условию Кирхгоффа:

п

«i(0) = ... = un(0); + &Д0М0)) = 0. (0.4.4)

3=1

В диссертации установлено существование сильно непрерывной полугруппы, порождаемой оператором Ьт в банаховом пространстве ЬР(Т) в предположении, что потенциал Ъ непрерывно дифференцируемой абсолютно интегрируемой функцией с ограниченной производной, а потенциал с ограничен. Установлено, что предложенная в главе 2 опера-торнозначная функция, соответствующая одинаковым коэффициентам перехода между ребрами графа, эквивалентна по Чернову полугруппе, задаваемой в пространстве ЬР(Т) задачей Коши (0.4.1)-(0.4.4).

В качестве функций Чернова, аппроксимирующих сжимающую полугруппу е*Ат, рассмотрим оператор-функцию

щг) = г > 0; I е Я,

где Мя,±ь = = дь(х) = С(х) - В2(х) и

Теорема 0.4.1. Пусть функция 6 удовлетворяет условиям Ъ € СЦТ) Р)^(Г), а функция с - условию с Е С6(Г). Тогда представление полугруппы е1Ат, £ > 0, формулой Фейнмана

-(х-о'1 ~ - _

к) = ^ / е « к)(1при всех к Е 1,п.

Нш

71—>00

J

имеет место в пространствах X = ЬР(Г), р Е [1, +оо).

Глава 1

Операторы Шредингера на геометрических графах и на разветвленных многообразиях

1.1 Постановка задачи и обозначения

Изучаются операторы Шредингера на графе Г, задающие процессы диффузии или квантовой динамики на графе Г как на разветвленном многообразии. Следуя принимаемой в [7] терминологии графом Г будем называть конечную или счетную совокупность гладких одномерных многообразий Г г называемых рёбрами графа, каждое из которых диффео-морфно лучу [0,+оо) или отрезку [0,1]. Граничные точки рёбер будем называть вершинами графа. Каждая вершина графа является гранич-

ной точкой некоторого непустого множества рёбер графа.

Предполагается, что на Г задана Борелевская мера, определяемая требованием, чтобы её сужение на каждое рёбро Г^- совпадало со стандартной мерой Лебега, тогда Ь2(Г) = @Ь2{Г?).

Пусть С^о(Г)- векторное пространство бесконечно дифференцируемых комплекснозначных функций на Г с компактными носителями, не содержащими вершин графа, и Ь0 = фЬц - линейный оператор, определяемый на линейном пространстве -О(Ьо) = Со°(Г) с помощью равенства

1 л • т.д(В(х)и) ч

Ь0 и = —А и + гВ(х)— + г ^ + С(х)и, (1.1.1) т ох ох

где функции га, В, С - вещественнозначные, ограниченые и непрерывные всюду за исключением вершин графа Г, функция т принимает на каждом рёбре Г^- постоянное значение га^-, причем mj > то > О

Исследуем свойства задачи Коши для уравнения Шредингера

= (1.1.2)

с начальным условием

и(х,+0) = и0(х), х е Г. (1.1.3)

Здесь Ь - симметрический оператор в гильбертовом пространстве Н = Ь2(Т), являющийся расширением оператора Ъо, заданного на линейном многообразии 1)(Ьо) с помощью равенства (1.1.1).

Целью первые главы является описание множества всех самосопряженных расширений оператора Ьо, которые могут выступать генераторами унитарных групп задачи Коши (1.1.2), (1.1.3) для уравнения Шредингера.

1.2 Операторы Шредингера на графах с одной вершиной

Граф Г с одной вершиной мы определяем как совокупность п экземпляров полупрямых Tj = [0,+оо), з — 0, ...,п, с общим началом (2, называемым вершиной графа.

Предполагается, что на Г задана Борелевская мера, определяемая требованием, чтобы её сужение на каждую полупрямую Г^- совпадало со стандартной мерой Лебега, тогда 1/2(Г) = фХ/г^).

Пусть С^о(Г) -векторное пространство бесконечно дифференцируемых комплекснозначных функций на Г с компактными носителями, не содержащими точки врешинии ф, и Ь0 = фЬд - линейный оператор, определяемый на Со°(Г), соотношением Ъои =

Цщ = —А ¿щ + гВЛх)-^- + г к 3У + СЛх)щ. ^ гтт^- •' ох ох

Здесь {и^з = 1, ...,п} - сужения функции и на полупрямые Г7-. Предполагается, что при всех з числа т^ > 0 и функции В^х) 6 C1(Tj, В) П C(Гj,R), С${х) (Е Предплагается также, что вдоль каждого

ребра Г^- функция В^ имеет в точке (3 конечное предельное значение 6,- = В0).

Замечание 1.2.1. Пусть ^р^ - диффеоморфизм полупрямой Г^- на себя, определяемый равенством £ = х е Г^-, а обратное преобразование определяется равенством х(£) = <Е ГПусть преобразование (р : Г —у Г определено равенствами = ц>у Преобразование у координатного пространства Г индуцирует унитарное

преобразование S гильбертова пространства Ь2{Г):

u(t,x) v(t,Ç) = (Sum =(jL<p-4t))*u(t,x(Ç)Ue г, (1.2.4)

(см. [17]) которое, в свою очередь, порождает преобразование оператора Lq в оператор Lo = SLqS-1.

Лемма 1.2.1. Существует такой набор гладких диффеоморфизмов

у € 1 , п, что оператор Ьо определен на пространстве Со°(Г) дифференциальными выражениями

т? дщ .д(Ващ) .

Цщ = — Ащ + г В,--1 + г у ' 3) + СЛх)щ, и Щ дх дх

где т = 1, а функции В^ С^ на полупрямых Г^ обладают той же гладкостью, что и функции В], С]. Так как согласно (1.2.4)

то дифференцируя дважды по переменной х это выражение, получим

ГСРУ.....rdC\2+

Подставив все это в исходное уравнение, получим, что для обращения в единицу коэффициента при старших производных и необходимо и достаточно, чтобы

то есть

<%(х) ( I \=т

и

-1

dx \т(х) 23

Поэтому будем предполпгать изначально, что функция

т = 1,

а функции Bjl С) непрерывно дифференцируемы на полупрямых Гу

Оператор Ь0 с областью определения 1)(Ьо) = С£о(Г) С Ь2(Г) плотно определен и симметричен. Областью определения -О(Ьо) сопряженного оператора Ьд является линейное подпространство -О(Ьд) = ^22(г) с н- Сужения всякой функции и е на

полупрямые Гj, у = 1 ,...,п обладают граничными значениями в вершине, которые обозначим через г^-(0), где символ и(0) означает и(0) =

т

(111(0) и2 (0) ... «„(0))' е С. Это также верно для первых производных этих сужений, для них используем аналогичные обозначения.

Теорема Фон Неймана (см. [1, 25]) предоставляет описание множества самосопряженных расширений симметрического оператора. Нами получено явное описание множества самосопряженных расширений оператора Ьо в терминах условий на линейные подпространства в пространстве граничных значений

а = о(Ц)/ЩЦ) = {(«(0)У(0))} = с2п.

Теорема 1.2.1. Пусть т = 1, В(х) = 0 и С(х) = 0. Оператор Ь с областью определения £>(Ь) = {и € И/22(Г) : п'(0) = Аи(0)} самосопряжен тогда и только тогда, когда матрица А удовлетворяет равенству А = А*.

Доказательство. Если и Е -О(Ь) и V е -О(Ьд), то справедливо равенство

(Ьщу)н - (и,Цу)н = («(0),г/(0))сп - (и'(0),г»(0))с„.

24

Следовательно

(Ьи,*)я - = (и(О)У(О) - А*у(0))

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мохамед Хаммад Нуман Эльшейх, 2014 год

Литература

[1] Г.Г. Амосов, В.Ж. Сакбаев, О самосопряженных расширениях оператора Шредингера с вырождением на на двух полупрямых и определяемых ими марковских коциклах // Матем. заметки. 2004. Т. 76, вып. 3. С. 335-343.

[2] В. И. Богачев, О. Г. Смоляное, Действительный и йунециональный анализ, М. 2009.

[3] Я. А. Бутпко, О.Г. Смоляное, Формулы Фейнмана в стохастической и квантовой динамике // Современные проблемы математики и механики. 2011, Т. VI, Вып. 1, С. 61- 75.

[4] Я. А. Бутко, Формулы Фейнмана-Каца-Ито для бесконечномерного уравнения Шредингера со сколярным и векторным потенциалами // Нелинейная динамика. 2006, Т. 2, № 1, С. 75- 87.

[5] Я.А. Бутко, О.Г. Смоляное, Р.Л. Шиллинг, Формулы Фейнмана для феллеровских полугрупп // ДАН. 2010, Т. 434, № 1, С. 1- 5.

[6] Н.Данфорд, Дж. Т. Шварц, Линейные операторы «общая теория» -издатель, иностранной литературы Москва 1962.

[7] Т.Като, Теория возмущений линейных операторов -М.:МИР, 1972.

[8] MX. Нуман Эльшейх, Операторы Шрёдингера на разветвленных многообразиях // Научные Ведомости БелГУ, сер. Математика. Физика, 2014, № 5 (176), вып. 34, С. 88- 93.

[9] MX. Нуман Эльшейх, В. Ж. Сакбаев, Операторы Лапласа для уравнения Шредингера на графах // Труды МФТИ. 2014, Т. 6, № 2, С. 61- 67.

[10] М.Х. Нуман Эльшейх, Д.О. Огун, Ю.Н. Орлов, Р.В. Плешаков, В. Ж. Сакбаев, Усреднение случайных полугрупп и неоднозначность квантования Гамильтоновых систем // Препринт. 2014, ISSN 2071-2898, № 19, С. 3- 28.

[11] Ю.Н. Орлов, Основы квантования вырожденных динамических систем, -М: МФТИ, 2004.

[12] Ю.Н. Орлов, В.Ж. Сакбаев, О.Г. Смоляное, Скорость сходимости Фейнмановский аппроксимаций полугрупп, порождаемых гамильтонианом осциллятора // ТМФ. 2012, Т. 172:1, С. 122- 137.

[13] Ю.Н. Орлов, В.Ж. Сакбаев, О.Г. Смоляное, Формулы Фейнмана как метод усреднения случайных гамильтонианов. Труды МИАН. 2014. Т. 285. С. 232-243.

[14] Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, B.JI. Прядиее, A.B. Боровских, К.П. Лазарев, С.А. Шабров, Дифференциальные уравнения на геометрических графах. - М.: Физматлит. 2004.

[15] О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный, О некоторых качественных свойствах уравнений на одномерном клеточном комплексе // Матем. заметки. 1996. Т. 59, вып. 6. С. 777-780.

[16] М.Рид, Б.Саймон, Методы современной математической физики «Функциональный анализ», Т. 1, -издательство «Мир» Москва 1977.

[17] В.Ж.Сакбаее, О.Р. Смоляное, Динамика квантовой частицы с разрывной зависимостью массы от положения // ДАН, 2010, Т. 433:3, С. 314-317.

[18] В.Ж.Сакбаее, О.Р.Смоляное, Диффузия и квантовая динамика на графах // Доклады РАН, Т. 451, № 2, 2013, С. 141-145.

[19] О. Г. Смоляное, Д. С. Толстыга, Формулы Фейннмана для стохастической и квантовой динамики частиц в многомерных областях// ДАН, 2013, Т. 452, № 3, С. 256-260.

[20] О.Г. Смоляное, H.H. Шамарое, Формулы Фейнмана и интегралы по траекториям для эволюцонных уравнений с оператором Владимирова // Тр. МИАН. 2009, Т. 265, С. 229- 240.

[21] A.A. Толченникое, В.JI. Чернышев, А.И.Шафарееич, Асимптотические свойстваи классические динамические системы в квантовых задачах на сингулярных пространствах // Нелинейная динамика. 2010. Т. 6, вып. 3. С. 623-638.

[22] В. Л. Чернышев, А.И.Шафаревич, Квазиклассический спектр оператора Шредингера на геометрическом графе // Матем. заметки, 2007, Т. 82, вып. 4. С. 606-620.

[23] Г.Н. Яковлев, О следах функций из пространства на кусочно-гладких поверхностях // Матем. сб., 1967, 74(116):4, 526-543.

[24] P.R. Chernoff, Note on product formulas for operator semigroups // J. Funct. Anal, 1968, 84, P. 238- 242.

[25] M.Gadella, S.Kuru, J.Negro, Self-adjoint Hamiltonians with a mass jump: General matching conditions // Phys. Letters, 2007, V. 362, № 4, P. 265 - 268.

[26] K.J. Engel, R. Nagel, One-parameter semigroups for linear evolution equation. Springer, 2000.

[27] M.H. Numan Elsheikh, Schrodinger Operators on Graphs and Branched Manifolds // J AMP, 2014, V. 2, № 2, P. 1 - 9.

[28] V.Zh. Sakbaev, Stochastic properties of degenerated quantum systems // IDAQP, 2010, V. 13, № 1, P. 65-85.

[29] O.G. Smolyanov, A.G. Tokarev, A. Trumen, Hamiltonian Feynman path integrals via the Chernoff formula // J. of Math. Phys., 2002, 43, № 10, P. 5161-5171.

[30] O.G. Smolyanov, A. Truman, Feynman formulas for solutions of the Schrodinger equation on compact Riemannian manifolds // Mathematical notes, 2000, V. 68, № 5, P. 668- 671.

[31] O.G. Smolyanov, H. Weizsäcker, O. Wittih, Chernoff's theorem and discrete time approximations of Brownian motion on manifolds. Potential Anal. 2007. 26. P. 1-29.