Построение расчетных моделей и алгоритмов определения рациональных параметров тонкостенных конструкций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.07.03, кандидат технических наук Касумов, Евгений Владимирович

• Касумов, Евгений Владимирович
• кандидат технических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат технических наук Касумов, Евгений Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ АВИАЦИОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

1.10 выборе расчетного метода.

1.2 Кинематические гипотезы, используемые при построении расчетных моделей конструкций при конечных перемещениях.

1.3 Вариационное уравнение равновесия конструкции.

1.4 Алгоритм формирования матрицы жесткости конструкции.

1.5 Вычисление напряжений в конструкции с использованием интегрирующих матриц.

Глава 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕТРИКИ ПОВЕРХНОСТИ.

Глава 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОГО И АЭРОУПРУГОГО

ПОВЕДЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ВОЗДУШНОМ ПОТОКЕ.

3.1 Аэродинамическое воздействие на несущие поверхности.

3.2 Численные методы прямого интегрирования.

3.3 Матричное уравнение колебаний конструкции в потоке газа.

Глава 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И АЛГОРИТМЫ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ.

4.1 О динамике развития расчетных методов с точки зрения создания оптимальной конструкции.

4.2 Кинематические гипотезы теории расчета мягких оболочек.

4.3 Определение формы нагруженной эластичной поверхности прямым интегрированием уравнений движения.

4.4 Определение рациональной формы поверхности.

4.5 Определение рационального распределения толщины по поверхности.

4.6 Рациональный угол укладки дополнительного слоя анизотропного материала.

Глава 5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО

СОСТОЯНИЯ С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ ТЕМПЕРАТУР. РАЦИОНАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЛЩИНЫ МАТЕРИАЛА С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ ТЕМПЕРАТУР.

5.1 Уравнения температурных напряжений и деформаций.

5.2 Основные соотношения деформаций и напряжений с учетом влияния температуры.

5.3 Формулировка температурных задач в рамках применяемого расчетного комплекса.

5.4 Определение рационального распределения толщины по поверхности с учетом влияния температур.

5.5 О влиянии температурных напряжений на флаттер.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Построение расчетных моделей и алгоритмов определения рациональных параметров тонкостенных конструкций»

Авиастроение является отраслью народного хозяйства, наиболее восприимчивой к внедрению новых технологий, новых материалов и областью использования новых математических методов расчета конструкций. Постоянная потребность весового совершенствования конструкций летательных аппаратов вызывает необходимость в создании более совершенных и точных методов расчета статической прочности, колебаний, устойчивости, аэроупругости авиационных конструкций. Для обеспечения гарантии успеха программы создания современной авиационной техники в условиях ограниченных материальных ресурсов и сроков разработки, нужна более высокая степень точности прогнозирования характеристик проектируемого объекта на самых ранних стадиях проектирования.

Динамика развития расчетных методов задач статики и динамики, как одной из основ методов проектирования, сложна и разнообразна. С самого начала развития расчетных методов разработчик стремился к тому, чтобы в результате расчета система обладала достаточной надежностью и достаточной жесткостью при минимальной затрате материала или при минимальной стоимости. Полнота представления в расчетном методе физического процесса, протекающего в конструкции, определяет возможность оптимизации ее жесткостных параметров.

Развитие методов расчета статически определимых и статически неопределимых систем, определенное во многом развитием теоретических основ механики твердого тела, привело к появлению расчетных методов определения рациональных параметров конструкций, которые имеют различную математическую трактовку. Хотя первые работы в области проектирования оптимальных конструкций были сделаны в конце прошлого столетия, интенсификация работ по созданию методов оптимизации связана прежде всего с развитием медов конструирования летательных аппаратов и сложных агрегатов, весовые, жесткостные и динамические характеристики которых требуют особого внимания.

В настоящее время сложились следующие направления в развитии оптимизации конструкции:

-проектирование равнопрочных конструкций;

-проектирование конструкций минимальной энергии деформации при постоянном объеме материала;

-методы поиска оптимальной геометрии конструкции при заданном объеме материала;

-проектирование конструкции минимального веса.

Развитие методов проектирования равнопрочных статически неопределимых систем посвящены работы Рабиновича И.М., Виноградова А.И., Рад-цига Ю.П. Необходимо отметить , что равнопрочная конструкция не всегда является конструкцией минимального веса.

Развитию методов проектирования конструкции минимальной энергии деформации связано с именем Васютинского (Польша), в нашей стране этот метод разрабатывался Комаровым A.A. В этом методе конструкция считается оптимальной, если энергия деформации ее при фиксированном объеме материала минимальна. Методы проектирования конструкций минимального веса с использованием теории пластического течения разрабатываются активно в США (прагеровская школа).

Настоящая работа является одной из попыток создания методик мобильного построения математических моделей тонкостенных конструкций и определения некоторых их рациональных параметров с учетом анизотропии материала в статических и динамических процессах. Описывается алгоритм построения упругих моделей несущих поверхностей. Рассматриваются результаты расчета рациональных форм куполов при действии поперечной нагрузки и некоторых рациональных параметров элементов тонкостенных конструкций. Определение рациональных параметров основывается на критериях, имеющих ясное физическое толкование, например, критерий минимума работы внешних сил. Различные расчетные модели тонкостенных конструкций используются для проектировочных расчетов или оптимизации конструкций. Как правило, оптимизация конструкций проводится на основе одной конкретной упругой модели. Однако, специфика задач проектирования может потребовать мобильного построения и нескольких расчетных моделей тонкостенных конструкций.

Цель и задачи исследований.

Цели и задачи диссертационной работы включают в себя:

-создание расчетных моделей тонкостенных конструкций в рамках единого программного комплекса на основе использования известных или новых кинематических гипотез на базе общих соотношений теории упругости;

-определение «оптимальной» формы эластичных поверхностей с заданной начальной (раскройной) геометрией под действием статической нагрузки с помощью решения уравнения движения прямым интегрированием по времени;

-определение функции рационального распределения толщины материала (при заданной конкретной нагрузке) консольной несущей поверхности для снижения общего уровня напряжения в конструкции из композиционных материалов;

-определение напряженно-деформированного состояния консольной несущей поверхности из композиционного материала с учетом влияния температур;

-определение функции рационального распределения толщины материала в консольной несущей поверхности при заданной конкретной нагрузке и поля температур для снижения общего уровня напряжения в конструкции из композиционных материалов;

-исследование влияния «рационального» распределения толщины с учетом воздействия поля температур в соответствии с критерием минимума потенциальной энергии на критическую скорость флаттера.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы математического моделирования механики упругого тела, аэродинамики и динамики конструкций летательных аппаратов.

Научная новизна. Создан алгоритм построения математических моделей тонкостенных конструкций из композиционных материалов, позволяющий в рамках единого расчетного комплекса определить некоторые их рациональные параметры с учетом действия сложной системы сил и поля температур в статических и динамических процессах.

Практическая значимость работы. Практическая ценность заключается в разработке и реализации на ПЭВМ, в рамках единого расчетного комплекса, эффективных методов статического и динамического расчета с определением некоторых «рациональных» параметров конструкции с учетом действия сложной системы сил и поля температур. Возможность определения «рациональных» параметров элементов тонкостенных конструкций позволяет на ранних стадиях проектирования получить более полное представление о физических процессах происходящих под влиянием сложной системы сил и поля температур, определяет более целенаправленный поиск необходимых жесткостных характеристик при подготовке изделия к стендовым испытаниям.

Результаты работы:

-для проектирования эластичных поверхностей построен алгоритм определения «оптимальной» формы с заданной начальной (раскройной) геометрией под действием статической нагрузки;

-построен алгоритм определения функции рационального распределения толщины материала в конструкции под действием сложной системы сил и поля температур для снижения общего уровня напряжений;

-построен алгоритм определения влияния «рационального» распределения толщины материала на критическую скорость флаттера консольной несущей поверхности.

Достоверность результатов обеспечивается строгим математическим обоснованием математических подходов; результаты расчетов проанализированы с точки зрения их физической достоверности, сравнены в некоторых случаях с решением на основе других методов и с данными экспериментальных исследований.

Апробация работы. Содержание и результаты диссертации опубликованы в 3-х работах и докладывались на международной научно-практической конференции «Автомобиль и техносфера», на научно-практической конференции «Технологические проблемы производства летательных аппаратов и двигателей», на XVII международной конференции по теории оболочек и пластин в КГУ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и заключения. Работа изложена на 110 листах машинописного текста, содержит 25 рисунков, список литературы из 90 наименований.

Заключение диссертации по теме «Прочность и тепловые режимы летательных аппаратов», Касумов, Евгений Владимирович

Основные результаты и выводы.

1. В рамках единого расчетного комплекса создан алгоритм определения «оптимальной» формы эластичных поверхностей с заданной начальной (раскройной) геометрией под действием статической нагрузки с помощью решения уравнения движения во времени прямым интегрированием по времени.

2. Создан алгоритм определения функции рационального распределения толщины материала (при заданной конкретной нагрузке) консольной несущей поверхности для снижения общего уровня напряжения в конструкции из композиционных материалов.

3. Проведено исследование влияния «рационального» распределения толщины в соответствии с критерием минимума потенциальной энергии на критическую скорость флаттера крыла беспилотного летательного аппарата.

4. Создан алгоритм определения напряженно-деформированного состояния конструкции из композиционного материала с учетом влияния температур.

5. Создан алгоритм определения функции рационального распределения толщины материала в проектируемой конструкции при заданной конкретной нагрузке и поля температур для снижения общего уровня напряжений. Алгоритм позволяет рассматривать конструкции из композиционных материалов.

6. Проведены исследования влияния «рационального» распределения толщины с учетом воздействия поля температур в соответствии с критерием минимума потенциальной энергии на критическую скорость флаттера крыла скоростного летательного аппарата.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Касумов, Евгений Владимирович, 1999 год

1. Ададуров P.A. Определение касательных напряжений в тонкостенных конструкциях вблизи заделки. Тр. ЦАГИ, вып. 164, 1947.-13с.

2. Ададуров P.A. Напряжения и деформации в цилиндрической оболочке с жесткими поперечными сечениями. Докл. АН СССР, т. 62, №2, с. 183-186.

3. Ададуров P.A. Напряженное состояние в 4 поясной призматической прямоугольной коробке, загруженной на торцах. - Докл. АН СССР, 1951, т.79, №3, с.407-410.

4. Азархин A.M., Абовский Н.П. К расчету гибких плит и пологих оболочек методом последовательных нагружений. Пространственны конструкции в Красноярском крае: Сб. статей. 1986. С.315 318

5. Алексеев С.А. Основы теории мягких осесимметричных оболочек. В кн.: Расчет пространственных конструкций, вып. 10, М.:Строиз дат, 1965, с.5-37.

6. Алумяэ H.A. Теория упругих оболочек и пластинок. Механика в СССР за 50 лет. №3. Механика деформируемого твердого тела-М.: Наука, 1972. С. 227-266.

7. Амбарцумян С.А. Некоторые вопросы развития теории анизотропны слоистых оболочек.- Изв. АН Арм. ССР. Сер. физ.-мат. наук. 1964. -т. 17, №3. С.29-53.

8. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. -М.:Наука-448 с.

9. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц. Пер. с анг., М.:Стройиздат,

10. Белоцерковский С.М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М.: Наука, 1965. - 244 с.

11. Белоцерковский С.М., Скрипач Б.К., Табачников В.Г. Крыло в нестационарном потоке газа. М.: Наука, 1971. - 768 с.

12. Беляев В.Н. К расчету пространственной коробчатой системы при действии скручивающих сил. ТВФ, 1932, №4, с.350-356.

13. Биргер И.А., Пановко Я.Г. Справочник "Прочность, устойчивость, колебания", т.З. М.: Машиностроение. 1968. 300 с.

14. Бишоп Р. Колебания. М.: Наука, 1986. - 190 с.

15. Болотин В.В. Прочность, устойчивость и колебания многослойных пластин. Расчеты на прочность. -М.Машиностроение, 1965.-ВЫП.11.-С.31-63.

16. Брянцев Б.Д., Карклэ П.Г. Некоторые результаты определения критической скорости флаттера экстраполяционными методами. В кн.: Труды ЦАГИ, М.: ЦАГИ, 1976, вып. 1772, с. 16-23.

17. Бублик Б.Н. Численное решение динамических задач теории пластин и оболочек. Киев: Наукова думка, 1976. - 224 с.

18. Буньков В.Г. Расчет на флаттер крыла малого удлинения на быстродействующей вычислительной машине. В кн.: Труды ЦА-ГИ, М.: ЦАГИ, 1964. - 82 с.

19. Буньков В.Г. Полная проблема собственных значений матриц в расчетах на флаттер. В кн.: Ученые записки ЦАГИ, М.: ЦАГИ, 1975, т.6, №2, с.82-92.

20. Вахитов М.Б. Интегрирующие матрицы аппарат численного решения дифференциальных уравнений строительной механики. Изв. вузов, Авиационая техника, 1966, №3, с. 50-61.

21. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. -M.-JT.:Гостехиздат, 1949. 784с.

22. Вольмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956.-419с.

23. Вольмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа: задачи аэроупругости. М.: Наука, 1976. - 416 с.

24. Гайнутдинов В.Г., Лебедев И.М., Павлов В.А. Влияние лобовой нагрузки на критическую скорость флаттера.-Изв. вузов. Авиационная техника. 1990. № 1. С. 10-13.

25. Гейтвуд Б.Е. Температурные напряжения применительно к самолетам, снарядам и ядерным реакторам. М., Иностранная литература, 1959, С.326.

26. Галимов Н.К. К устойчивости трехслойных цилиндрических оболочек. Исслед. по теории пластин и оболочек. -Казань: Казан. Гос. ун-т, 1965. -Вып. 3. - с. 157-172.

27. Галимов Н.К. 0 применении полиномов Лежандра к построению уточненных теорий трехслойных пластин и оболочек. -Исслед. по теории оболочек. -Казань:Казан. Гос. ун-т, 1973. Вып.10. -С. 371385.

28. Галимов Н.К. Осесимметричный изгиб и устойчивость трехслойных круглых пластин с легким заполнителем.- Прикладная механика.1965. -Т.1, №1. С. 77-85.

29. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы: Пер.с англ. М.: Мир, 1984. 428с.

30. Галкин М.С. Методы расчета собственных колебаний в случае близких собственных частот. В кн.: Труды ЦАГИ, М.: БНИ ЦАГИ, 1959, вып.730. - 80 с.

31. Гандмахер ф.Р. Лекции по аналитической механике. -М.: Наука,1966. 300 с.

32. Гандмахер ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. - 552 с.

33. Глауэрт Г. Основы теории крыльев и винта. М. - Л.: ГНТИ, 1931. -164 с.

34. Гольденштейн A.M., Муштари Х.М. К теории трехслойных пластин переменной толщины. Изв.вузов. Авиационная техника.-1968.-№2. -С. 21-27.

35. Григолюк Э.И. Уравнения трехслойных оболочек с легким заполнителем. Изв. АН СССР. ОТН. -1957. -№ 1. -С. 77-84.

36. Григолюк Э.И., Коган ф.А. Уравнения изгиба, устойчивости и колебаний трехслойных оболочек несимметричного строения с жестким сжимаемым заполнителем. Вестник Московск. ин-та. Математика, механика. -1971. -№2.

37. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ. Киев: Вища школа, 1983. - 286 с. 137.

38. Гроссман Е.П. Флаттер хвостового оперения. В кн.: Труды ЦАГИ, М.: ЦАГИ, 1940, вып.501. - 114 с.

39. Гроссман Е.П. Изгибно-элеронный флаттер. В кн.: Труды ЦАГИ, М.: БНТ НКАП ЦАГИ, 1941. - 20 с.

40. Гроссман Е.П., Пановко Я.Г. Упругие колебания частей самолета. -Л.: JIBBA, 1947.-260 с.

41. Гузь А.Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. -Киев:Наукова думка, 1971. -275 с.

42. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях.-Киев: Наукова думка, 1973. -270 с.

43. Гуляев В.И., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А. Устойчивость нелинейных механических систем. Львов: Вища школа, 1982. 254 с.

44. Гуляев В.И., Баженов В.А., Попов С.Л. Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем. М.:Высшая школа. 1989. 383 с.

45. Гурьев Н.И., Пучкова Д.А. Метод расчета крыльев переменной высоты с произвольным расположением лонжеронов. Тр. ЦАГИ, вып. 1102, 1968.-85с.

46. Дудченко A.A., Лурье С.А., Образцов И.Ф. Анизотропные многослойные пластины и оболочки. Механика деформируемого твердого тела (Итоги науки и техники). -М.: ВИНИТИ, 1983.- №15. -с. 3-68.

47. Еругин Н.П. Неявные функции. Ленинград,ЛГУ, 1956. -127 с.

48. Зайцев С.Н., Миодушевский П.В. Расчет геометрически-нелинейных деформаций консольных балок. Тр. ЦАГИ, М., 1984, вып.2229, с. 129- 136.

49. Зенкевич 0. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975, -541с.

50. Келдыш М.В. Вибрации в воздушном потоке крыла с подкосами.- В кн.: Труды ЦАГИ, М.: БНИ ЦАГИ, 1938, вып. 357. 40 с.

51. Ким Л.М., Минаев А.ф. Расчет поперечных упругих колебаний стержней при действии продольных сил методом конечного элемента. В кн.: Труды ЦАГИ, М.:ЦАГИ, 1976, вып. 1777, с. 15- 22.

52. Кобелев В.Н., Коварский Л.М., Тимофеев С.И.Расчет трехслойных конструкций. Справочник.-М. .-Машиностроение, 1984. -303с.

53. Колесников К.С.,Минаев А.ф. Колебания летательных аппаратов. -В кн.: Вибрация в технике, М.: Машиностроение, 1980,7.3, с. 477510.

54. Комаров A.A., Основы проектирования силовых конструкций, Куйбышевский авиационный институт, 1965

55. Комаров В.А. 0 рациональных силовых конструкциях крыльев малого удлинения. В кн.: Труды КуАИ. Куйбышев: КуАИ,1968, вып. 32, с.6-26.

56. Комаров В.А. Расчет крыла малого удлинения как пластины переменной жесткости. В кн.: Труды КуАИ. Куйбышев: КуАИ, 1968, вып. 32, с.27-38.

57. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и оболочек и методы их решения. М.:Наука, 1964. - 192 с.

58. Красилыцикова Е.А. Крыло конечного размаха в сжимаемом по токе. М.: Наука, 1978. - 224 с.

59. Куршин Л.М. Об учете изгибной жесткости трехслойной криволинейной панели, работающей на продольное сжатие. Вопросы расчета элементов авиационных конструкций.-М.Юборонгиз, -№1. -с.62-86.

60. Линь Куо-Джуинь, Лу Понг-Джу, Тарн Джианн-Кво. Анализ флаттера консольных композиционных пластин в дозвуковом потоке. Аэрокосмическая техника. 1990. №4. С.40-50.

61. Мамай В.И. Модельный подход к определению нагрузки выпучивания пологих трехслойных сферических куполов. Нелинейные задачи теории стержней, пластин и оболочек. :Тр. МИСИ.-М., 1972. -М 100. -с. 61-70.

62. Меркурьев В.И., Горлов К.В. Изгиб консольных пластин с жесткими поперечными сечениями. Труды ЦАГИ, М., 1969, вып. 1162, -59с.

63. Минаев А.Ф., Кадыров Х.С. 0 численном определении комплексных чисел и форм действительной матрицы. Изв. АН УзССР, 1959, №3, с. 24 - 35.

64. Минаев А.Ф., Тозырева В.А. 0 вычислении корней уравнений аэроупругости с максимальной вещественной частью. В кн.: Ученые записки ЦАГИ, т.4, 1974, №6, с.70 - 74.

65. Морозов В.И. Математические модели динамики аэроупругого летательного аппарата. Исследование авиационной техники с помощью ЭВМ.- в кн.: Труды ВВИА им. Н.Е.Жуковского, 1981, вып. 1310, с.39-51.

66. Муштари Х.М. Теория пологих трехслойных оболочек с заполнителем и слоями переменной толщины. Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. -1962. -№4. -С. 162-168.

67. Новицкий В.В. Поведение упругого крыла в потоке газа.- В кн.: Исследования по аэроавтоупругости. ВВИА, Труды ВВИА, М.: 1973, вып. 1303, с.37-66.

68. Новожилов В.В. Краткий очерк развития теории оболочек в СССР. -В кн.: Исследования по терии пластин и оболочек. Казань Издательство КГУ, 1970, вып. 6-7, с.3-22.

69. Отто Ф., Тростель Р. Пневматические строительные конструкции. Изд-во литературы по строит. М., 1967. 286 с.

70. Паймушин В.Н. Соотношения теории тонких оболочек типа Тимошенко в криволинеиных координатах поверхности отсчета. -Прикладная математика и механика. -1978. -Т.42. -№4.- С. 753- 758.

71. Паймушин В.Н., Бобров С.Н. 0 формах потери устойчивости трехслойных пластин и оболочек с внешними слоями из однородных и армированных материалов.- Механика композитных материалов. -1985. -X 1. -С. 79-86.

72. Паймушин В.Р., Галимов Н.К. Об устойчивости трехслойных пластин с легким заполнителем при изгибе. -Тр. семинара по теории оболочек. -Казань: Казан, физ.-техн. ин-т АН СССР, 1974. -Вып. 5. -С. 35-42.

73. Пикуль В.В. Теория и расчет слоистых конструкций. М.:Наука, 1985.-182 с

74. Проектирование оптимальных конструкций летательных аппаратов. Сб. статей по материалам иностранной печати за 1957-1967 г.г. -М. Машиностроение 1970 г.

75. Прусаков А.П. К теории расчета ортотропных трехслойных пластин с жестким заполнителем. -Расчеты элементов авиационных конструкций. -М.Машиностроение, 1965. -Вып.З. -С. 189-196.

76. Рабинович И.М. , К теории статически неопределимых ферм, М. ,Трансжелдориздат, 1933

77. Расчет трехслойных панелей. А.Я.Александров, Л.Э.Брюккер, Л.М.Куршин и др. -М.: Оборонгиз, 1960. -272 с.

78. Сегерлинд Л.Д. Применение метода конечных элементов :Пер. С англ. М., 1979.

79. Столбунова Э.А. Исследование системы активного подавления флаттера.- В кн.: Труды ЦАГИ, М.:ЦАГИ, 1979, вып. 1989 -16с.

80. Уманский A.A. Кручение и изгиб тонкостенных авиаконструкций. -М.-Л.: Оборонгиз, 1939. 111с.

81. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве: Пер. с англ. М.:Мир, 1982. - 304с.

82. Фролов В.М. Собственные колебания и деформацииной и стреловидной консольной пластины. Труды ЦАГИ, М, 1952, 32с.

83. Фролов В.М. Собственные колебания и деформации треугольной прямоугольной пластины малого удлинения. Труды ЦАГИ, М., 1955,-28с.

84. Фролов В.М. Собственные колебания и деформация прямоугольной и стреловидной пластины. -В кн.:ЦАГИ, М.:ЦАГИ, 1952.-16 С.

85. Фын Я.Ц. Введение в теорию аэроупругости. М. физматгиз, 1959. -523 с.

86. Гайнутдинов В.Г.О расчете авиационных конструкций вариационно-матричным методом.-Изв. вузов. Авиационная техника. 1988. №1. с.20-23.

87. Habip L.M. Asur vey of modern development in the analysis of sandwich structures. Appl. mech.rev.,1965, v.18, №2, p.93-98.