Аналитический метод эффективизации формул конечнозонного интегрирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Садовничук, Сергей Германович

• Садовничук, Сергей Германович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Садовничук, Сергей Германович

Содержание

Введение

Глава 1. Специальная теорема сложения для тэта-функций

§1.1. Тэта-функции Римана. Основные свойства

§1.2. Характеризация гиперэллиптических матриц Римана. Критерий Мамфорда

§1.3. Специальная теорема сложения

§1.4. Следствия из специальной теоремы сложения. Каноническое представление матричной р-функции Вейерштрасса

§1.5. Характеристический симплекс

Глава 2. Симплекс-метод построения конечнозонных решений уравнений КдФ и sine-Gordon

§2.1. Дополнение к следствию 2 из специальной теоремы сложения

§2.2. Построение конечнозонных решений уравнения sine-Gordon

2

§2.3. Построение конечнозонных решений уравнения КдФ

§2.4. Отбор вещественных решений

§2.5. Построение двухзонных решений уравнения КП

Глава 3. Эффективизация формул конечнозонного интегрирования методом неопределенных коэффициентов

§3.1. Билинейные уравнения Хироты

§3.2. Эффективизация конечнозонных решений уравнений КдФ и sine-Gordon

§3.3. Эффективизация двухзонных решений уравнения Шредин-гера

§3.4. Эффективизация двухзонных решений цепочки Тода

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитический метод эффективизации формул конечнозонного интегрирования»

Введение

За последние 30 лет одним из наиболее мощных инструментов в исследовании нелинейных явлений стал так называемый метод обратной задачи, применимый к ряду фундаментальных уравнений математической физики.

1. В 1967 году был открыт замечательный механизм, связывающий некоторые важные нелинейные уравнения со спектральной теорией некоторых вспомогательных линейных дифференциальных операторов и позволяющий в определенном смысле проинтегрировать эти уравнения. Первый шаг был сделан в пионерской работе Гарднера, Грина, Крускала, Миуры [1], где была решена задача Коши для уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ)

щ + §иих + иххх = 0 (0.1)

с быстроубывающей при ]х\ —у оо начальной функцией и(х, 0) = = г^о(^) сведением к обратной задаче рассеяния для оператора Штурма-Лиувилля Ь = <Р/(1х2 + щ(х). Этот механизм был усовершенствован и осмыслен с различных точек зрения в работах Лакса [2], Захарова и Фаддеева [3], Гарднера [4]. Затем были найдены другие важные нелинейные уравнения, к которым применим аналогичный механизм. Первым таким уравнением было нелинейное уравнение Шредингера (НШ±)

гщ + ихх = ±2 и\и\2, (0.2)

для которого В.Е. Захаровым и А.Б. Шабатом в 1970 г. был построен механизм сведения к задаче рассеяния для вспомогательного линейного оператора, уже не являющегося оператором Штурма-Лиувилля ([5], [6]). Следующим было уравнение sine-Gordon [7], [8]

иху = sin и, (0.3)

затем цепочка Тода [9] — [11]

= е-(Уп-Уп-г) _ е-{уп+х-упп е z (0 4)

уравнение Кадомцева-Петвиашвили [12]

—(ut 4- 6иих + иххх) = иуу (0.5)

и ряд другим уравнений. В [12], [34] изложена общая схема интегрирования нелинейных уравнений методом обратной задачи (МОЗР). Этот метод позволяет, в частности, строить так называемые многосолитонные решения, описывающие взаимодействие конечного числа солитонов — уединенных волн вида и = u(x — ct).

2. В 1971 году Р. Хирота в работе [13] открыл метод прямого построения многосолитонных решений, не опирающийся на МОЗР. В основе его подхода лежат специальные представления нелинейных уравнений с помощью "билинейных" дифференциальных операторов (аппарат таких операторов построен в [13]) и последующее применение методов теории возмущений. Приведем определение билинейного оператора, используемое далее (оно эквивалентно данному в [13]).

Пусть L — полином от операторов Dx = d/dx, Dt = d/dt, (/, g) — пара гладких функций от х, t. Положим

Lf х g = L[f(x + х', t + t')g{x -x',t- *')](*',*<)=((),o), (0.6)

где L = L(DX',Dt'). Формула (0.6) определяет оператор Хироты, действующий на упорядоченных парах (/, д).

Ряд приложений МОЗР и прямого метода Хироты вместе с историей ранних этапов развития метода обратной задачи представлены в книгах [14] — [18].

3. Начиная с пионерской работы С.П. Новикова [19] (1974 г.), в рамках метода обратной задачи бурно развивались и продолжают развиваться методы построения решений нелинейных уравнений, широко использующие аппарат классической алгебраической геометрии римановых поверхностей и получившие название " теория алгебро-геометрического (конечнозонного) интегрирования". Методы теории позволяют естественно ввести периодический и квазипериодический аналоги многосолитонных решений и получить для них точные формулы в терминах тэта-функций Рима-на. Важной составной частью теории, помимо конструкций, относящихся непосредственно к построению решений, является спектральная теория конечнозонных линейных операторов — далекое развитие спектральной теории оператора Штурма-Лиувилля с бы-строубывающим потенциалом Щ(х). На первом этапе она была построена в работах С.П. Новикова, Б.А. Дубровина, В.Б. Матвеева, А.Р. Итса, В.А. Марченко, П. Лакса [19] — [25] для оператора Штурма-Лиувилля с периодическим потенциалом со следующим свойством: в его спектре имеется лишь конечное число лакун (множество таких потенциалов, как показано в [23], плотно в пространстве периодических потенциалов с одним и тем же периодом). Такие операторы были названы конечнозонными, отсюда название теории. В этой ситуации риманова поверхность возникает как поверхность, на которой становятся однозначными блоховские функции — общие собственные функции оператора Штурма-Лиувилля и оператора монодромии; она имеет конечный род. В общей ситуации матричный оператор Ь = £>х — и(х, А) с рациональной по Л матрицей и по определению называется конечно-зонным, если он обладает собственной функцией ф(х, Л) {Ьф = 0), являющейся по Л однозначной функцией на римановой поверхности Г конечного рода с аналитическими свойствами, обощающими свойство блоховских функций. Спектральная теория таких операторов построена в [26] — [32]. Центральным элементом конструкции является восстановление оператора Ь по его "спектру" — поверхности Г и особенностям ф — на основе введенного в [30], [31]

аппарата функций Бейкера-Ахиезера.

4. Начиная с работы Лакса [2], прояснившей алгебраический механизм МОЗР, все схемы метода обратной задачи опираются на то или иное коммутационное представление уравнений. Наиболее общим коммутационным представлением (1+1)-уравнений, включающим все известные случаи, за исключением нескольких изолированных примеров, является предложенное в [34] представление в виде уравнения нулевой кривизны *

иь-Ух + [и,У}= 0 (0.7)

с рациональным по А (п х п)-матрицами и(х, А), V(х, А), представляющего собой условие коммутации операторов

1а = Вх = [Ьь Ь2} = 0.

Решение (17, V) уравнения (0.7) и, соответственно, решение нелинейного уравнения, представленного в виде (0.7), называется алгебро-геометрическим или конечнозонным (д-зонным), если (приводится одно из равносильных определений; см. [31], [33]) операторы Ь\, ¿2 обладают общей собственной вектор-функцией ф, явля-

о \ и ч и кг

ющеися по А однозначной аналитической функцией на п-листнои римановой поверхности Г конечного рода имеющей особенности типа экспонент в прообразах Ра € Г полюсов матриц II, V и мероморфной вне точек Ра с дивизором И полюсов, не зависящим от x,t. Аппарат функций Бейкера-Ахиезера позволяет строить функцию ф по указанным аналитическим свойствам. Задавая произвольную п-листную риманову поверхность Г рода д, вычисляя по матрицам [/, V точки Ра и асимптотику ф при Р Ра и задавая на Г \ Ра положительный дивизор В общего положения степени д, получают требуемый набор данных, по которым строится вектор-функция ф(х^, 7) (7 6 Г) в терминах тэта-функции поверхности Г. Искомое решение (С/, V) уравнения (0.7) вычисляется по формулам II = V = Ф^Ф-1, где матрица Ф составлена из столбцов ф(х, t, 7г), вычисленных в лежащих над А точках 7г € г*.

Формулы для конечнозонных решений уравнений (0.1) - (0.4) были получены в 1975-76 гг. в работах [22], [33] - [37]. В работах [31], [38] схема конечнозонного интегрирования была распространена на (2+1)-уравнения и построены, в частности, конечнозон-ные решения уравнения КП (0.5). В последующем были получены формулы для конечнозонных решений других важных урав-

и и 1 и

нении математической физики: системы уравнении главного ки-рального поля [39], [40], задачи N волн [32], уравнений Ландау-Лившица [41], Буллафа-Додда-Жибера-Шабата [42], Г.Дима [43], Каупа-Буссинеска [44], Эйнштейна [45] и других. Дальнейшие этапы развития теории и приложений представлены в книгах [14] -[17], [46], [47] и обзорах [26], [32], [33], [39], [48] - [59].

Один из глубоких результатов теории конечнозонного интегрирований — решение С.П. Новиковым, Б.А. Дубровиным и Т. Ши-отой ([49], [60], [58]) проблемы Римана-Шоттки характеризации матриц О, (С1Т = 1т О, > 0), являющихся матрицами ¿-периодов алгебраических кривых. Мамфордом [46] получен другой результат такого типа — характеризация матриц ¿-периодов гиперэллиптических кривых

" = П ~ Ч)

3=1

(епопарно различны; такие матрицы Римана далее называются гиперэллиптическими) в терминах тэта-констант. Теорема Мам-фор да приводится в §1.2.

5. Одна из возникающих в теории конечнозонного интегрирования проблем, сдерживающая получение сильных приложений в физике, механике, гидродинамике, из потребностей которых теория возникла, состоит в том, что полученные таким путем формулы для решений неудобны для вычислений на ЭВМ, так как входящие в них параметры чрезвычайно сложно связаны с исходными данными. В 1980 г. С.П. Новиков поставил задачу эффекти-визации формул конечнозонного интегрирования. В последующие годы появилась серия работ, посвященных этой проблеме [61] -

[66], [52]. В этих работах эффективизация проводилась в рамках методов алгебраической геометрии, главным образом на основе симметрийной специализации римановых поверхностей, порождающих решение — подбором исходной алгебраической кривой с нетривиальными группами автоморфизмов. На таком же пути преодолевалась другая трудность: выделение вещественных решений [32], [39], [51], [41], [44], [61], [65], [67]). В диссертационной работе предложен подход к проблеме эффективизации, не использующий аппарат алгебраической геометрии. В основе подхода лежит тождество для тэта-функций с матрицей Римана Г2, удовлетворяющей условиям гиперэллиптичности, названная в работе специальной теоремой сложения, и следствия из него, в том числе свойства матричной р-функцией Вейерштрасса. В рамках этого подхода эффективно построены конечнозонные решения — в том числе вещественные — нелинейных уравнений типа КдФ. Здесь и далее термин "конечнозонные решения" употребляется в более широком смысле, чем было указано в п.4 — так называются решения, пред-ставимые в тэта-функциях римановых поверхностей, Получаемые в итоге формулы для решений удобны для вычислений на ЭВМ.

В частном случае уравнений КдФ и sine-Gordon для вычисления векторов v и гу, входящих в формулы вида и = f(vx + wt) для решений, строится симплекс в пространстве С5, ребрами которого служат, с точностью до скалярных множителей, вычисленные при z = 0 градиенты некоторых нечетных тэта-функций. Искомые векторы i>, w — надлежаще выбранные нормали к (д — 1)-мерным граням этого симплекса (в случае уравнения sine-Gordon) либо линейные комбинации нормалей (в случае КдФ). Существенную роль в этих построениях играет представление p-Вейерштрасса в виде суммы постоянной матрицы и матриц ранга единица, проектирующих Cs на ребра симплекса. В рамках этого подхода построен также подкласс двухзонных решений уравнения КП (0.5). В этом случае процедура вычисления параметров несколько сложнее.

Предлагаемый в работе общий подход к вычислению параметров тэта-функциональных формул для решений (в общей ситу-

ации нормали к граням симплекса "не работают") связан с использованием специальных представлений нелинейных уравнений в билинейной форме Хироты. Сочетание специальной "гиперэллиптической" теоремы сложения и связанной с ней геометрической конструкцией ("симплекс-метода") с аппаратом билинейных операторов позволяет свести вычисление неизвесных параметров к "методу неопределенных коэффициентов": уравнивание в полученных равенствах коэффициентов при линейно независимых функциях приводит, с учетом соотношений между указанными в п.7 градиентами — ребрами симплекса — к системам уравнений для параметров, решаемых численно.

Строящиеся решения становятся вещественными при специальных соотношениях между исходной матрицей Римана О, и характеристиками участвующих в конструкции тэта-функций.

Предлагаемый метод наиболее эффективен при д = 2, так как в этом случае не требуется налагать специальные ограничение на исходную матрицу Римана кроме условий вещественности. В случае д > 3 для эффективного построения решений нужно предварительно решить систему уравнений Мамфорда (см. [68], [69]).

6. Данная работа состоит из введения, трех глав, списка литературы. Первая глава работы посвящена разработке математического аппарата, лежащего в основе выполняемой в работе конструкции. Некоторые из полученных здесь результатов — теоремы 1 -3 — представляют, на наш взгляд, самостоятельный интерес для теории тэта-функций.

Пусть д е N, В = {1,2,3,... , 2д + 2}, U = {1, 3,... , 2д + 1}. Зафиксируем произвольное подмножество Т С В с числом элементов = д + 1. Запись Р <Т означает, что Р С Т и = = д + 1 mod 2. Пусть, далее, 9P(z) = d{h(PAU)](z, fi) — тэта-функция с матрицей Римана Q порядка д и характеристикой

h(PAU)= £ hi mod 1,

iZPAU

где Д —- знак симметрической разности, hi определены в §1.2.

В традиционных обозначениях И(РАЩ = [§; |], а, /3 € имеем

вР(г) = £ ехр{тгШ(п + + + 2тгг(п + £)•(* + |)}. пег« / /

Далее во всех теоремах матрица Римана тэта-функции предполагается гиперэллиптической. При этом в доказательствах существенную роль играет критерий Мамфорда гиперэллиптичности матрицы Г2 (§1.2).

Будем использовать, кроме приведенных выше, следующие обозначения

Л(ТДС0

а Ь' 2' 2

1=1

- ЖГ\1 = — градиент (столбец).

Теорема 1. (Специальная теорема сложения). Для любых г,и Е С9 верно равенство

вТ{г + и)вт{г - и)в2т(0) = £ а{Р,Т)в2Р{г)в2Р(и).

р<т

Рассмотрим матрицу вторых производных (матрицу Гесса)

рг(г) = (1пвг(*))".

Будем называть матрицу матричной р-функцией Вейер-

штрасса.

Теорема 2. (Каноническое представление матричной р-функции Вейерштрасса). Имеет место равенство

#Р=9~ 1

Градиент Ур, где Р = Т \ {г, У}, будем также обозначать У ¿у. Для каждого числа к е Т рассмотрим множество градиентов Уу,

где i фиксировано, j G T\{k,г}. Обозначим Р^ линейную оболочку этих векторов в С9.

Теорема 3. 1. Имеется Сд+1 соотношений линейной зависимости вида

^pq^pq "I- + ЛrpVj-p — О,

где p,q,r G Т, коэффициенты А ф 0.

2. Если i,j еТ\ {k}, mo Vy G Г*.

В частном случае, если V»j G R5, эти соотношения означают, что векторы AijVij, где (г, j) пробегает все пары из Т, образуют ребра g-мерного симплекса в R5, (# — 1)-мерные грани которого параллельны гиперплоскостям IV В случае Vy G С5 будем далее по аналогии говорить о симплексе в С3 с ребрами Vy и (<7 — 1)-мерными гранями Гк Е Т. Понимаемый в указанном смысле симплекс назван в работе характеристическим.

7. В главе 2 на основе результатов главы 1 эффективно строятся конечнозонные решения уравнений КдФ и sine-Gordon (теоремы 6, 7). Формулируемые ниже теоремы 4, 5 позволяют отбирать из построенных решений вещественные. На основе соображений, близких к использованным при построении решений КдФ, эффективно построен класс двухзонных решений, в том числе вещественных, уравнения КП (0.5).

Будем называть функцию Bp(z) квазивещественной, если для любого z Е С9 выполняется равенство

9p(z) = (9p(z), С = const.

Обозначим Л = Re Cl, diagA = {An, A22,. •. , A^}.

Теорема 4. (Признак квазивещественности тэта-функции). Функция Bp(z) квазивещественна тогда и только тогда, когда выполняются соотношения

2Л G Mat(g,Z)

<

Аа -h diagA G Ъ9.

Будем говорить, что вектор v € С9 — нормаль к грани Г^ характеристического симплекса и писать v _L Г&, если для любого вектора V € Г& выполняется равенство г;-V = 0.

Теорема 5. (Признак существования вещественных нормалей). Пусть 2Л е Mat(g, Z), Aa-f diagA в Z9, АаР + diagA 6 Е Ъ9, где п G Т фиксировано, Р пробегает все множества вида Р = Т \ {г,п}, г G Т \ {п}. Тогда к каждой грани Г к симплекса существуют вещественные нормали v^. Эти нормали даются формулами

vk = х VPi,

где Pi = Т\ {i,n}, Pj=T\ {j,n}, i,j еТ\ {n}, "x" - знак векторного произведенил.

Теорема 6. 1) Пусть R = T\ {т, п}; нормали vm, vn к граням Гт, Гп выбраны так, что

(Ут-Ул)(Уп>Ул) J 1/4 , <г(Р,Т) = -1 4(0) 1 —г/4 , а(Р,Т) = 1

Тогда

и(т и) - I iln^(VmX + УпУ+ а(Р'Г) = in 84)

и{Х'У) - \i\mpR(vmx + vny + zQ) + l, аг(Р,Г) = 1, [ J

zq 6 С9, есть решение уравнения иху = sin п.

2) Еслиуп,ут е R9, ад = a, Re zq = \(/Зц-Ь) mod то решение (0.8) при сг = — 1 вещественно.

Теорема 7. 1) Пусть Vk -L Г^ произвольно зафиксированная нормаль,

/ у X-, "It "I -L- l> ■«••' * \ С") "J ) л о

i=i Уд-«» cto*

Тогда функция

д2

u(x, t) = 2^2 ln + V0t + ¿0), z0 € cfl (0.9)

есть решение уравнения ut + 6uux + uxxx = 0.

2) Если Vk Е К9, к = 1,... ,g + 1; zq e то решение (0.9) вещественно.

Отметим, что доказанное в §2.1 предложение позволяет в §2.3 строить решения КдФ при д > 2.

8. Поясним кратко симплекс-метод на примере КдФ для случая д = 2. Примем, для простоты, Т = U ={1,3,5}, следовательно

eT(z) = e[<d-0}(z) = 0(z)-

Пусть 9ij(z) — тэта-функция с той же матрицей Римана и с характеристикой h[(T\{i,j})AU] = r]i+r]j mod 1, где rji пробегает значения

'1/2 0' "1/2 0 ' 0

m = 0 0 ,m = 1/2 0, = .1/2

m

О 1/2 1/2 1/2

0 0 '0 0

,Vb = _ 1/2 1/2 ,776 = 0 0

Специальная теорема сложения в этом случае принимает вид

£ .

(ьЛеи

e(z + u)e(z-u)0\O) = e2(z)e2(u)+ £

д д Dv ~ Ы Dix ~ djl

Зафиксируем £>, ц е С2 и обозначим

(A// = Vf-v).

Применяя к формуле сложения оператор DvDp по и и подставляя и = 0, получим

£>„£>„ 1п0(г) = const + 6-2(0)D(Vyi/)(Vi,-M)^W> (0.10)

где

Применяя к формуле сложения оператор Df, по и и подставляя и = 0, получим

Di\n6(z) + 6[£>21п0(г)]2 = const + 4Г2(0)(0-П)

где а, = 0).

Для градиентов Vy, i,j G U верно равенство

A13V13 + A35V35 + A51V51 = О, Aij = const ф О,

означающее, что векторы А у Vy — ребра симплекса в С2 (на рис.

—*

1 — для вещественного случая — ij — A^-Vy)

1

3 5

Рис. 1. Характеристический симплекс.

Пусть г?з, г»5 — нормали к ребрам симплекса: Vij-Vk = 0, пусть m,n G U, т Ф п. Положим ^ = vm, ц = vm. Равенство (0.10) примет вид

DmDn\n9(z) = const + 0~2(О)amn(pmn(z), атп = (Vmn-vm)(Vmn-vn).

Выражая отсюда (р13, (f35, (f51 и подставляя в (0.11), получим равенство

Di In 9(z) + 6[D2ln0(z)f + 4L[\n9(z)} + const = 0, (0.12)

где L = - £ a^CijDiDj. hj

Пусть (г, j, к) — круговая перестановка чисел (1,3,5). Положим в последнем равенстве v = v*. Тогда

L - DuDq, D0 = -Д-, = -—Vi - —Vj.

OV 0 dik CLjk

Обозначим f(z) = 2Dlln9(z). Применяя к (0.12) оператор Du, с учетом разложения оператора L найдем

Отсюда легко получить: функция

J?!

есть решение уравнения КдФ.

u(x,t) = 2-^-x\n9(vx+ vQt +Zq), zq e С2

9. В главе 3 развивается метод неопределенных коэффициентов эффективизации тэта-функциональных формул для решений солитонных уравнений (см. п. 5). В §3.1 выписаны необходимые билинейные формулы Хироты. В §3.2 - 3.4 метод проиллюстрирован на уравнениях sine-Gordon, КдФ (при этом получаются те же формулы для параметров, что и симплекс-методом в главе 2), НШ+ и цепочки Тода. В этом пункте метод кратко пояснен на примере уравнения Шредингера. Примечательно, что система уравнений на параметры для НШ+ и цепочки Тода оказались практически совпадающими. В частности, обе системы содержат трансцендентное уравнение (0.13).

Будем, в условиях пункта 8, предполагать Re Q — 0. Тогда функции 0(z), Oij(z) и их производные вещественны. Построим функции (р±± : R2—>-R по формулам

(р±±{А) = Ai30i3(A) ± АзбЫД) ± А51МД),

где

АгУ = П *«(0).

keT\{i,j},i$T

Каждая из них обращается в нуль в точках Д е Z2. Верна следующая лемма (§3.3)

Лемма. Каждое из трех уравнений

</?+_( Д) = 0, (р_+(А) = 0, <р__(Д) = 0 (0.13)

нетривиально разрешимо в R2.

Будем искать решение u(x,t) уравнения НШ+ в виде

и(х, t) = z = vx + Tt + z0,

B(z)

где zq £ С2 произвольно, остальные параметры (Д, г/, т £ С2 и X, /1, А 6 С) подлежат вычислению. Подставляя u(x,t) в уравнение (0.2), запишем НШ+ в форме Хироты

iD,g х / , Djg х / D\j х / , 2gg

~gf ~я1 (0Л4)

где д = Ае^+^Щг + А), / = в {г) (учтено, что / = /). Из определения (0.6) билинейного оператора следует

'В*/х / = + иЩг -

« (А + В2х)д х/ = {В, + )[0(* + А + и)в(г - и)]\и=0- (0.15)

к

где и — ь>х' + тЬ'. Выполним следующие операции.

1°. Преобразуем произведение в квадратных скобках в (0.15) по формуле сложения.

2°. После этого вычислим правые части (0.15) и подставим полученное выражение в (0.14).

3°. Сравним в полученном (после выполнения простых преобразований) равенстве коэффициенты при линейно независимых функциях.

В итоге получим систему соотношений

Уу.£ = ±%(А) (иеи) М-11 + л2,

где

(0.16а) (0.166) (0.16с)

т А и'\лу- ИГ

постоянные В^, Сц, М вычисляются по паре (А, ь>) — см. формулы (3.14).

Пусть А — нетривиальное решение какого-либо из трех уравнений (0.13). Тогда ввиду линейной зависимости £ Ау Vг•í• = 0 векторов система (0.16а) нетривиально разрешима относительно V. Система (0.16Ь) линейна и однородна относительно \А\2, т; для ее разрешимости необходимо и достаточно, чтобы выполнялось

равенство

( Л13 Л + Ви \

det Л5А + ЯЗ5 С'г5 = 0, (0.17)

\ АщХ + Вы С¡¡I С'1Х / где Сф С'ц — компоненты вектора Су.

Вычисляя последовательно А из леммы; и из (0.16а), постоянные Лу, Вц, Сц, М; затем А из (0.17), \А\2 и г из (0.16Ь), ¡л из (0.16с), наконец, А = |Л|А, и = \А\й получим искомые значения параметров формулы для решений уравнения Шредингера.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [70] -[75]

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Садовничук, Сергей Германович, 1998 год

Литература

[1] Gardner G.S. Green J.M. Kruskal M.D. Miura R.M. Method for solving the Korteveg-de Vries equation. // Phys. Rev. Lett. 1967. v. 19, p. 1095-1097

[2] Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves. // Commun. Pure and Appl. Math. 1968. v. 21. p. 467-490

[3] Захаров В. E. Фаддеев Л.Д. Уравнения Кортевега-де Фриза — вполне интегрируемая гамильтонова система. // Функц. анализ и его прил. 1971. Т. 5. №4. С. 18-27

[4] Gardner G.S. Korteveg-de Vries equation and generalisations. // J. Math. Phys. 1971. - V.12. №. - P.1548-1551.

[5] Захаров B.E., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах // ЖЭТФ. - 1971. - Т.61. - С.118-134.

[6] Захаров В.Е., Шабат А.Б. О взаимодействии солитонов в устойчивой среде // ЖЭТФ. - 1973. - Т.61.№5. - С. 1627-1639.

[7] Ablowitz M.J., Каир D.J., Newell A.G., Segur Н. Method for solving the sine-Gordon equation. // Phys. Rev. Lett. - 1973. -V.30.-P.1264. .---

[8] Захаров B.E., Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Полное описание решений sine-Gordon уравнения. // ДАН СССР. - 1974. -Т.219.ДО6. - С. 1334-1337.

[9] Flaschka Н. On the Toda lattice.I // Phys. Rev. - B9. 1974. -P. 1924-1925.

[10] Flaschka H. On the Toda lattice.II // Progr. Theor. Phys. - 1974. V.51. - P. 1924-1925.

6i

[11] Манаков C.B. О полной интегрируемости и стохатизации в дискретных динамических системах // ЖЭТФ. - 1974. -Т.67.№2. - С.543-555.

[12] Захаров В.Е., Шабат A.B. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физика методом обратной задачи рассеяния. // Функц. анализ и его прил. 1974. Т. 8. №3. С. 43-53.

[13] Hirota R. Exact solution of the Korteveg-de Vries equation for multiple collisions of solitons. // Phys. Rev. Lett. - 1971; - V.27. - P.1192-1194.

[14] Захаров B.E., Манаков C.B., Новиков С.П., Китаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. - М.: Наука, 1980.

[15] Солитоны / под ред. Р. Булаф, Ф. Кодри. - М.: Мир, 1983.

[16] Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. -М.: Мир, 1987.

[17] Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. - М.: Мир, 1988.

[18] Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. - М.: Мир, 1989.

[19] Новиков С.П. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза. // Функц. анализ и его прил. 1974. Т. 8. №3. С. 54-66.

[20] Дубровин Б.А., Новиков С.П. Периодический и условно периодический аналоги многосолитонных решений уравнения Кортевега-де Фриза. // ЖЭТФ. 1974. Т. 67. №12. С. 21312144.

[21] Дубровин Б.А. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза в классе конечнозонных потенциалов. // Функц. анализ и его прил. 1975. Т. 9. №3. С. 41-51.

[22] Итс А.Р., Матвеев В.Б. Операторы Шредингера с конечнозон-ным спектром и n-солйтонные решения уравнения Кортевега-де Фриза. // ТМФ. 1975. Т. 23. №1. С. 51-68.

[23] Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. - Киев: Наукова думка, 1977.

[24] Lax P.D. Periodic solutions of Korteveg-de Vries equation // Lect. in Appl. Math. - 1974. - V.15. - P.85-96.

[25] Lax P.D. Periodic solutions of Korteveg-de Vries équation // Coram. Pure and Appl. Math. - 1975. - V.28. - P.141-188.

[26] Дубровин Б.A., Матвеев В.Б., Новиков С.П. Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия. // УМН. 1976. Т. 31. №1. С. 55-136.

[27] Дубровин Б.А. Вполне интегрируемые гамильтоновы системы, связанные с матричными операторами, и абелевы многообразия. // Функц. анализ и его прил. 1977. Т. 11. №4. С. 28-41.

[28] Дубровин Б.А. Аналитические свойства спектральных данных для несамосопряженных линейных операторов, связанных с вещественными периодическими решениями уравнения sine-Gordon. // ДАН СССР. 1982. Т. 265. №4. С. 789-793.

[29] Дубровин Б.А., Новиков С.П. Алгебро-геометрические скобки Пуассона для вещественных решений уравнения sine-Gordon и нелинейного уравнения Шредингера. // ДАН СССР. 1982. Т. 267. №6. С. 1295-1300.

[30] Кричевер И.М. Алгебраические кривые и коммутирующие матричные дифференциальные операторы. // Функц. анализ и его прил. 1976. Т. 10. №2. С. 75-76.

[31] Кричевер И.М. Интегрирование нелинейных уравнений методами алгебраической геометрии. // Функц. анализ и его прил. 1977. Т. 11. т. С. 15-31.

[32] Дубровин Б.А. Матричные конечнозонные операторы. // Современные проблемы математики. Т. 23. Итоги науки и техники, ВИНИТИ АН СССР. М., 1983. С. 33-78.

[33] Кричевер И.М. Нелинейные уравнения и алгебраические кривые. // Современные проблемы математики. Т. 23. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. М., 1983. С. 81-136.

[34] Захаров В.Е., Шабат А.Б. Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. II // Функц. анализ и его прил. 1983. Т. 17. №4. С. 1-6.

[35] Итс А.Р. Обращение гиперэллиптических интегралов и интегрирование нелинейных дифференциальных уравнений. // Вестник ЛГУ. 1976. №7. С. 39-46.

[36] Козел В.А., Котляров В.П. Почти периодические решения уравнения utt - ихх + smii = 0. // ДАН УССР. 1976. Сер. А. №10. С. 878-881.

[37] Кричевер И.М. Алгебраические кривые и нелинейные разностные уравнения. // УМН. 1976. Т. 31. №4. С. 215-216.

[38] Кричевер И.М. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений. // УМН. 1977. Т. 32. №6. С. 180-208.

[39] Чередник И.В. Алгебраические аспекты двумерных кираль-ных полей. // Алгебра.Топология. Геометрия. Т. 18. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. М., 1980. С. 73-150.

[40] Новиков Д.П., Романовский Р.К. Об одном методе построения алгебро-геометрических решений уравнения нулевой кривизны. // ТМФ. 1997. Т. 110. №1. С. 61-72.

[41] Бобенко А.И. Вещественные алгебро-геометрические решения уравнения Ландау-Лившица в тэта-функциях Римана. // Функц. анализ и его прил. 1985. Т. 19. №1. С. 6-19.

[42] Черданцев И.Ю., Шарипов P.A. Конечнозонные решения уравнения Булло-Додда-Жабера-Шабата. // ТМФ. 1990. Т. 82. т. С. 155-160.

[43] Dmitrieva L.A. Finite-gab solutions of the Harry Dym equation. // Phys. Lett. A. 1993. v. 182, p. 65-70.

[44] Смирнов А.О. Вещественные конечнозонные решения уравнения Каупа-Буссинеска. // ТМФ. 1985. Т. 66. №. С. 30-46.

[45] Короткин Д.А. Конечнозонные решения стационарного аксиально-симметрического уравнения Эйнштейна в вакууме. // ТМФ. 1988. Т. 77. №1. С. 25-41.

[46] Мамфорд Д. Лекции о тэта-функциях. - М.: Мир, 1988.

[47] Fay J. Theta functions on Riemann surfaces. - Springer Lecture Notes in Math. 1973. vol. 352.

[48] Кричевер И.М., Новиков С.П. Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нелинейные уравнения. // УМН.

1980. Т. 35. т. С. 47-48.

[49] Дубровин Б.А. Тэта-функции и нелинейные уравнения. // УМН. 1981. Т. 36. №2. С. 11-80.

[50] Новиков С.П. Двумерные операторы Шредингера в периодических полях. // Современные проблемы математики. Т. 23. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. М., 1983. С. 3-32.

[51] Дубровин Б.А., Кричевер И.М.,Новиков С.П. Интегрируемые системы. I // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 4. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. М., 1985. С. 179-284.

[52] Белоколос Е.Д., Бобенко А.И., Матвеев В.Б., Энольский В.З. Алгебраические принципы суперпозиции конечнозонных решений интегрируемых нелинейных уравнений. // УМН. 1986. Т. 41. №. С. 3-42.

[53] Михайлов A.B., Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем. // УМН. 1987. Т. 42. №4. С. 3-53.

[54] Кричевер И.М. Спектральная теория двумерных периодических операторов и ее приложения. // УМН. 1989. Т. 44. №2. С. 121-184.

[55] Бобенко А.И. Поверхности постоянной средней кривизны и интегрируемые уравнения. // УМН. 1991. Т. 46. №4. С. 3-42.

[56] Кричевер И.М. Алгебро-геометрические двумерные операторы с самосогласованными потенциалами. // Функц. анализ и его прил. 1994. Т. 28. №1. С. 26-40.

[57] Кричевер И.М., Забродин A.A. Спиновое обобщение модели Рейсснерса-Шнайдера, неабелева двумеризованная цепочка Тода и представления алгебры Склярина. // УМН. 1995. Т. 50. №6. С. 3-56.

[58] Тайманов И.А. Секущие абелевых многообразий, тэта-функции и солитонные уравнения. // УМН. 1997. Т. 52. №1. С. 149-214.

[59] Доброхотов С.Ю., Маслов В.П. Конечнозонные почти периодические решения ВКП-приближениях. // Современные про-

блемы математики. Т. 15. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. М., 1980. С. 3-94.

[60] Shiota Т. Characterization of Jacobian variaties in terms of soliton equations.// Invent. Math. - 1986. - V.83. - P.333-382.

[61] Дубровин Б.А., Натанзон C.M. Вещественные двухзоные решения уравнения sine-Gordon. // Функц. анализ и его прил. 1982. Т. 16. №1. С. 27-43.

[62] Бабич М.В.,Бобенко А.И., Матвеев В.Б. Решение нелинейных уравнений, интегрируемых методом обратной задачи в тэта-функциях, и симметрии алгебраических кривых. // Изв. АН СССР. Сер.матем. 1985. Т. 49. №3. С. 511-529.

[63] Тайманов И.А. Эффективизация тэта-функциональных формул для двумерных потенциальных операторов Шредингера, конечнозонных на одном уровне энергии. // ДАН СССР. 1985. Т. 285. №5. С. 1087-1090.

[64] Тайманов И.А. Многообразия разветвленных накрытий и нелинейные уравнения. // Матем. сборник. 1990. Т. 181. №7. С. 934-950.

[65] Натанзон С.М. Примианы вещественных кривых и их приложения к эффективизации операторов Шредингера. // Функц. анализ и его прил. 1989. Т. 23. №1. С. 41-55.

[66] Смирнов А.О. Двухзонные эллиптические решения интегрируемых нелинейных уравнений. // Матем. заметки. 1995. Т. 58. №1. С. 86-97.

[67] Натанзон С.М. Дифференциальные уравнения и тэта-функции Прима. Критерий вещественности двумерных конечнозонных потенциальных операторов Шредингера. // Функц. анализ и его прил. 1992. Т. 26. Ж. С. 17-26.

[68] Романовская М.Р. Уравнение Мамфорда для матриц Рима-на третьего порядка. // ОмГУ. Омск. 1995. Деп. в ВИНИТИ 28.06.95. №1098-В95.

[69] Бабич М.В. Эффективизация формул конечнозонного интегрирования sine-Gordon для одной кривой рода 3. // Функц. анализ и его прил. 1985. Т. 19. №3. С. 53-55.

[70] Романовский Р.К., Садовничук С.Г. Прямой метод построения двухзонных решений нелинейных уравнений. // ОмГТУ. Омск. 1995. Деп. в ВИНИТИ 06.12.95. №3234-В95.

[71] Садовничук С.Г. Прямой метод построения трехзонных решений нелинейных уравнений. // Сиб. матем. журнал. 1997. Т. 38. №5. С. 1140-1145.

[72] Романовский Р.К., Садовничук С.Г. Специальная теорема сложения для тэта-функций и солитонные уравнения. // Алгебра, геометрия, анализ и математическая физика. 10-я Сибирская школа 14-22 августа 1996г., Новосибирск. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1997. С. 171.

[73] Романовский Р.К., Садовничук С.Г. Специальная теорема сложения для тэта-функций и нелинейные уравнения. // Сиб. матем. журнал (в печати).

[74] Романовский Р.К., Садовничук С.Г. Эффективное построение двухзонных решений нелинейного уравнения Шрединге-ра. // Сиб. матем. журнал (в печати).

[75] Садовничук С.Г. Конечнозонный аналог метода Хироты в теории солитонов. Препринт. - Омск:Изд-во ОмГПУ, 1998.