Построение и исследование подмоделей асимметричной и трансверсально-изотропной моделей упругих сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Бельмецев Николай Федорович

• Бельмецев Николай Федорович
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Бельмецев Николай Федорович

Введение

Глава 1. Групповой анализ уравнений двумерной модели асимметричной упругости

1.1 Описание модели

1.2 Групповое расслоение уравнений асимметричной упругости

1.3 Групповые свойства эквивалентной системы

1.4 Инвариантные и частично инвариантные подмодели

1.5 Численное решение нелинейной подмодели

1.6 Выводы по главе

Глава 2. Групповой анализ уравнений динамической модели трансверсально-изотропной упругой среды

2.1 Описание модели

2.2 Групповое расслоение уравнений модели

2.3 Групповые свойства эквивалентной системы

2.4 Инвариантные подмодели и решения

2.5 Численное решение нелинейной подмодели

2.6 Выводы по главе

Глава 3. Групповой анализ уравнений статической модели трансверсально-изотропной упругой среды

3.1 Описание статической модели

3.2 Групповое расслоение

3.3 Групповое свойство разрешающей системы

3.4 Инвариантные подмодели разрешающей системы

3.5 Численное решение нелинейной подмодели

3.6 Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Построение и исследование подмоделей асимметричной и трансверсально-изотропной моделей упругих сред»

Введение

Описание проблемы и актуальность исследования. Норвежский математик Мариус Софус Ли [91-96], во второй половине XIX века, создал новый математический аппарат: теорию непрерывных групп преобразований, позволяющую исследовать непрерывные симметрии моделей окружающей действительности, описываемых дифференциальными многообразиями. Долгое время теория групп Ли не имела широкого применения в области математической физики и механики сплошных сред. Начиная с середины прошлого столетия, исследования, выполненные Овсянниковым Л. В., его учениками и последователями, Пухначевым В. В., Ибрагимовым Н. Х., Тешуковым В. М., Павловским Ю. Н., Чиркуновым Ю. А., Хабировым С. В., Капцовым О. В., Меньщиковым В. М., Головиным С. В., Бытевым В. О., Мелешко С. В., Григорьевым Ю. Н., Аксеновым А. В., Чупахиным А. П., Анниным Б. Д., Талышевым А. А., Андреевым В. К., Фущичем В. И., Олвером П., Андерсоном Р. Л. и др. -показали, что методы теории групп Ли являются эффективным инструментом моделирования в этих областях, позволяющим не только строить точные решения дифференциальных уравнений, но и создавать новые модели, обладающие заданными симметриями. В настоящее время данное математическое направление получило название группового (симметрийного) анализа дифференциальных уравнений.

Публикация программы «Подмодели» [35] поставила перед исследователями грандиозную задачу по описанию всех подмоделей и точных решений дифференциальных уравнений механики сплошных сред с использованием аппарата группового анализа и теории непрерывных групп Ли. Написание данного диссертационного исследования является одним из шагов по реализации заявленной программы.

В связи с исследованием, выполненным в настоящей диссертации, следует отметить следующие работы: Овсянников Л. В. [30-35], Эйзенхарт Л. П. [74], Чеботарев Н. Г. [57], Пухначев В. В. [40-44, 75, 100], Чиркунов Ю. А. [36-39, 62-72, 81], Бытев В. О. [1, 4, 76], Капцов О. В. [20-22, 75, 90], Григорьев Ю. Н. [17, 86, 87], Мелешко С. В. [17, 86, 87, 100], Ибрагимов Н. Х. [19, 86, 89], Олвер П. [101], Талышев А. А. [51, 52, 53], Мошкин Н. П. [100], Меграбов А. Г. [26, 27, 98, 99], Чесноков А. А. [58-61].

В качестве объекта диссертационного исследования среди линейных моделей теории упругости [24, 28, 29, 45, 50, 54, 56] были выбраны модели, обладающие только одной вращательной симметрией. Предметом изучения в настоящей работе являются подмодели двумерной модели асимметричной упругости и трехмерной модели трансверсально-изотропной упругой среды.

Бытевым В. О. в результате группового анализа динамических уравнений клаccичеcкoгo (непoляpнoгo) кoнтинуумa была получена [1, 4, 76] линейная модель упругой среды, названная им «асимметричной упругостью». В данной модели упругости связь симметричного тензора напряжений и симметричного тензора деформаций осуществляется с помощью асимметричного преобразующего тензора [12, 13, 77, 78]. Для неё известны постановки линейных краевых задач и точные решения, обобщающие классические полиномиальные решения, решения Лява А. [97], Мусхелишвили Н. И. [25]. В диссертации Слезко И. В. [48, 49] было проведено исследование применимости данной модели при расчетах растяжения упругих пластин с отверстиями в сравнении с классической линейной моделью однородной изотропной упругой среды и результатами натурных экспериментов.

Вторая из рассматриваемых в диссертации моделей является хорошо известной трехмерной моделью трансверсально-изотропной упругой среды [2, 5], позволяющей описывать поведение слоистых материалов, обладающих анизотропией упругих свойств вдоль выделенного направления, перпендикулярного к жестко связанным чередующимся слоям в структуре таких материалов. К данным упругим материалам, с некоторыми допущениями, можно отнести слоистые горные породы (базальт, песчаник, мрамор, известняк, сланец и другие), некоторые слоистые композиционные материалы, слоистые вечномерзлые грунты в арктических и субарктических регионах РФ, ледники, исследование которых является в настоящее время актуальной задачей.

Цели и задачи исследования. Групповые расслоения уравнений моделей, выбранных в качестве предмета исследования, не проводились, но известны результаты группового расслоения для классических уравнений Ламе [36-39, 62-65, 68, 70, 71, 81]. В связи с этим, под руководством Чиркунова Ю. А., были поставлены следующие цели диссертационного исследования:

1) выполнить методами группового анализа дифференциальных уравнений математическое моделирование систем уравнений в перемещениях для динамической двумерной асимметричной модели теории упругости, для трёхмерной динамической и статической моделей трансверсально-изотропной упругой среды;

2) провести численный анализ результатов математического моделирования. Для достижения этих целей были поставлены и решены следующие задачи:

1) для всех рассматриваемых моделей найти основные локальные группы Ли точечных преобразований, допускаемые соответствующими уравнениями в перемещениях;

2) выполнить групповые расслоения уравнений рассматриваемых моделей;

3) для полученных в результате группового расслоения разрешающих систем уравнений провести исследование их групповых свойств и классификацию инвариантных подмоделей, построить точные решения;

4) провести численный анализ результатов математического моделирования. Методология и методы исследования. Для построения и исследования подмоделей и

точных решений дифференциальных уравнений рассматриваемых моделей упругости были использованы приведенные в работах [21, 31, 33, 57, 64, 71, 74, 81, 89, 100, 101] следующие методы группового анализа дифференциальных уравнений: поиск допускаемой дифференциальными уравнениями группы Ли преобразований, групповое расслоение, групповая классификация инвариантных и частично инвариантных подмоделей, построение инвариантных решений. Групповое расслоение позволило от описывающих рассматриваемые модели систем уравнений в частных производных второго порядка перейти к системам уравнений в частных производных первого порядка.

Для динамических моделей в результате группового расслоения удалось доказать, что разрешающие системы дифференциальных уравнений первого порядка, после замены части дополнительных функций на вектор перемещений, равносильны исходным уравнениям в перемещениях второго порядка и содержат наименьшее число дополнительных функций среди всех подобных систем (гиперболических по Фридрихсу [14, 68]). В связи с этим фактом, дальнейшее исследование групповых свойств и построение инвариантных подмоделей проводилось для этих новых систем уравнений. Для них были проведены групповая классификация инвариантных подмоделей, поострены инвариантные подмодели нулевого, первого и второго рангов, получены решения.

Некоторые из построенных инвариантных подмоделей, в силу наличия вращательной симметрии, оказались нелинейными. Поэтому в каждой из трех глав диссертации проведен численный анализ поведения таких инвариантных подмоделей ранга один и построены численные решения задач Коши для них. В качестве метода построения численных решений задач Коши [7, 8, 18, 46] был выбран метод Дормана-Принса [82-84, 88], являющийся модификацией метода Рунге-Кутты, реализованный в библиотеке SciPy (www.scipy.org) с открытым исходным кодом. Вычисления проводились на языке программирования Python, удобном для проведения научных исследований ввиду большого количества стандартных библиотек численных методов, библиотек визуализации с открытым исходным кодом, ориентированном на скорость разработки, читаемость кода.

Научная новизна работы описывается следующими результатами: 1) проведено групповое расслоение уравнений линейных моделей двумерной асимметричной упругости и трехмерной трансверсально-изотропной упругой среды;

2) на основе группового расслоения получены и доказаны теоремы 1.1-1.3 и 2.1-2.4, раскрывающие свойства изучаемых в диссертации моделей упругих сред, получены системы дифференциальных уравнений первого порядка, равносильные уравнениям рассматриваемых моделей;

3) с помощью методов группового анализа равносильных систем уравнений проведено построение и исследование инвариантных подмоделей, точных и численных решений, описывающих данные упругие среды;

4) приведены выражения для компонент векторов перемещений и тензоров напряжений асимметричной и трансверсально-изотропной упругих сред;

5) получены формулы производства новых решений из уже известных;

6) проведен численный анализ решений некоторых нелинейных инвариантных подмоделей. Теоретическая и практическая значимость. Полученный набор подмоделей и

нетривиальных точных решений для уравнений асимметричной и трансверсально-изотропной упругих сред является шагом по выполнению программы «Подмодели» [35], а также даёт возможность вести моделирование и проверку численных экспериментов, связанных с различными прикладными задачами для слоистых горных пород, композиционных материалов, вечномерзлых грунтов, ледников. Результаты численного анализа и построенные изображения позволяют лучше понимать поведение нелинейных инвариантных подмоделей. Основные положения, выносимые на защиту:

1) выполнены групповые расслоения уравнений двумерной модели асимметричной упругости в перемещениях, уравнений трёхмерной модели трансверсально-изотропной упругой среды в перемещениях (в динамике и статике);

2) из результатов групповых расслоений получены равносильные исходным уравнениям моделей системы дифференциальных уравнений первого порядка; проведены исследования их свойств и упрощения;

3) проведён групповой анализ полученных систем уравнений первого порядка: классификация инвариантных подмоделей, построены подмодели, точные решения, описывающие их;

4) проведены численные исследования задач для нелинейных подмоделей.

Личный вклад автора. Содержание научно-квалификационной работы и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные результаты исследования. Автором самостоятельно проведено групповое расслоение, классификация инвариантных подмоделей, построение точных и численных решений, доказан ряд утверждений о свойствах исследуемых моделей.

Апробация работы. Результаты проведенного исследования были представлены в виде докладов на семинарах: «Избранные вопросы математического анализа» в Институте математики имени С. Л. Соболева СО РАН под руководством д.ф.-м.н. Г. В. Демиденко (27 января 2020 г.); «Прикладная гидродинамика» в Институте гидродинамики имени М. А. Лаврентьева СО РАН под руководством чл.-корр. РАН В. В. Пухначева и д.ф.-м.н. Е. В. Ерманюка (12 февраля 2020 г.); «Теоретические и вычислительные проблемы задач математической физики» в Институте математики имени С. Л. Соболева СО РАН под руководством д.ф.-м.н. А. М. Блохина (21 февраля 2020 г.), и не менее чем на 23 международных и всероссийских научных конференциях: «Полярная механика» (Новосибирск, 2-9 июня 2012 г., 9-11 октября 2018 г.); «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (Абрау-Дюрсо, 10-16 сентября 2012 г., 15-20 сентября 2014 г., 3-8 сентября 2018 г.); «Современные проблемы механики сплошных сред и физики взрыва» (Новосибирск, 4-8 сентября 2017 г.); «Математика в современном мире» (Новосибирск, 14-19 августа 2017 г.); «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Барнаул, 7-11 августа 2017 г.); «Вычислительная и прикладная математика. 2017» в рамках «Марчуковских научных чтений» (Новосибирск, 25-30 июня 2017 г.); «Модели и методы аэродинамики» (Евпатория, 411 сентября 2017 г.); «Соболевские чтения» (Новосибирск, 18-22 декабря 2016 г.); «Современные проблемы аэрогидродинамики» (Сочи, 5-15 сентября 2016 г.); «Наука. Промышленность. Оборона» (Новосибирск, 18-20 апреля 2012 г., 24-26 апреля 2013 г., 23-25 апреля 2014 г.); «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 18-22 апреля 2014 г.); «Современный групповой анализ» (MOGRAN 16; Уфа, 28 октября - 2 ноября 2013 г.); «Дни геометрии в Новосибирске - 2013» (Новосибирск, 28-31 августа 2013 г.); Международной конференции «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений» (Новосибирск, 18-24 августа 2013 г.); «Нелинейный анализ и спектральные задачи» (Уфа, 18-22 июня 2013 г.); «Обратные и некорректные задачи математической физики» (Новосибирск, 5-12 августа 2012 г.); «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций» (Новосибирск, 10-14 октября 2011 г.); XI Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 26-29 октября 2010 г.).

Публикации. Основные результаты диссертационного исследования опубликованы в 6 работах в рецензируемых научных изданиях [3, 6, 9-11, 80], тезисах конференций. В том числе 3 статьи [3, 11, 80] изданы в иностранных рецензируемых научных изданиях, индексированы базами Web of Science и Scopus:

1) B.D. Annin, N.F. Belmetsev, Yu.A. Chirkunov A group analysis of the equations of the dynamic transversely isotropic elastic model. Journal of Applied mathematics and mechanics. 2014. V. 78. No. 5. Pp. 529-537. D01:10.1016/j.jappmathmech.2015.03.013. (Входит в ядро РИНЦ. Индексирована в Web of Science и Scopus. Квартиль Q3.)

2) N.F. Belmetsev, Yu.A. Chirkunov Exact solutions to the equations of a dynamic asymmetric pseudoelasticity model. Journal of Applied and Industrial Mathematics. 2013, V. 7. No. 1. Pp. 41-53. DOI: 10.1134/S1990478913010055. (Входит в ядро РИНЦ. Индексирована в Scopus. Квартиль Q2.)

3) Yu.A. Chirkunov, N.F. Belmetsev Exact solutions of three-dimensional equations of static transversely isotropic elastic model. Acta Mechanica. 2017. V. 228. No. 1. Pp. 333-349. DOI: 10.1007/s00707-016-1712-4. (Входит в ядро РИНЦ. Индексирована в Web of Science и Scopus. Квартиль Q1.)

Во всех работах, выполненных в соавторстве с научным руководителем, последнему принадлежат постановки задач и общее руководство. В работах, в которых одним из соавторов является Б. Д. Аннин, последнему принадлежит обсуждение полученных результатов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и трех приложений. Полный объем диссертации составляет 245 страниц, включая 84 рисунка (26 рисунков в главах диссертации и 58 рисунков в приложениях), 23 таблицы. Список литературы содержит 101 наименование.

Глава 1. Групповой анализ уравнений двумерной модели асимметричной упругости

Данная глава посвящена групповому анализу системы уравнений модели «асимметричной упругости» [13, 77, 78] на плоскости. Для данной модели выполнено групповое расслоение системы уравнений в перемещениях относительно бесконечной подгруппы, содержащейся в нормальном делителе допускаемой уравнениями основной группы Ли точечных преобразований. Разрешающая система дифференциальных уравнений (1.5) этого расслоения имеет первый порядок и в результате замены части дополнительных функций на вектор перемещений становится эквивалентной исходным уравнениям второго порядка в перемещениях для модели асимметричной упругости. Данная система (1.6) содержит наименьшее число дополнительных функций среди всех подобных систем первого порядка, равносильных уравнениям асимметричной упругости, является единственной такой системой с точностью до преобразований эквивалентности. С помощью двухшагового алгоритма [34] построена оптимальная система подалгебр алгебры Ли инфинитезимальных операторов с базисом (1.6). Выполнена классификация инвариантных и частично инвариантных решений системы (1.6) асимметричной упругости. Исследованы некоторые её свойства. Приведены примеры инвариантных решений, результаты численного анализа.

1.1 Описание модели

Задачи, которые удаётся решать в рамках классической линейной теории упругости на плоскости, довольно обширны, но использование гибких элементов из полимерных материалов и материалов с малым модулем Юнга вынуждает обращаться к нелинейной теории упругости. Использование нелинейных моделей при изучении полимерных материалов сопряжено с техническими трудностями при построении точных и численных решений, а классические линейные модели не обладают достаточно широким диапазоном применимости. Одним из способов преодоления подобных трудностей является построение линейных моделей, учитывающих свойства материалов. Бытев Владислав Олегович, используя методы группового анализа для механического континуума [1, 4, 76], создал линейную «асимметричную упругую модель» [13, 77, 78], которая обобщает классическую линейную модель плоских деформаций упругого тела с двумя параметрами Ламе. В построенной им модели симметричный тензор напряжений и симметричный тензор деформаций связаны несимметричным преобразующим тензором (допускается вращение лишь в одной плоскости). В работах [12, 48, 49] показано, что использование двумерной асимметричной модели упругости позволяет получать физически

реальные результаты при работе с гибкими материалами, материалами с малым модулем Юнга, а также при нагрузках, близких к критическим.

Тензор напряжений П асимметричной упругой модели имеет вид [13, 77, 78]

П = Х Е Шу и + 2М 80,

где X, | - модули упругости (параметры Ламе); перемещений; |0 е Я - «асимметричный» модуль сдвига; и = (и1 (I, х, у), и2 (I, х, у)) е Я2 - вектор перемещений; ? - время; х, у -

пространственные координаты; матрицы имеют вид

Е =

(1 0^ V0 1,

М =

Г I

28° =

1 2 1 2 Л

Ч - иу Ыу + и^

V Ыу + Ых2 ЫУ - ЫХ ,

V 1

В подробной записи компоненты П'1 (' = 1 , 2; 1 = 1 , 2) симметричного тензора

напряжений П связаны с компонентами 8 1 симметричного тензора деформаций следующим образом

П11 = (Х0 + р)81у + 2|812 + (X - р)822,

П12 =-р08П + 2р812 +^822, П22 = (X - р)811 - 2|Д0812 + (X + р)822

где Хп = X +1, 8и = 1 ° 2

Г и Г и1 л

V дх1 дх' у

(' = 1,2; 1 = 1,2), х1 = х , х2 = у . При |0 = 0 получаются

классические выражения для связи тензоров напряжений и деформаций однородной изотропной упругой среды.

Матрица связи симметричных тензоров напряжений и деформаций

А =

является асимметричной, что отражено в названии модели - «асимметричная упругость», и характеризует принципиальное отличие данной модели от классической.

Исходную систему уравнений нестационарной асимметричной упругости в двумерном случае для вектора перемещений и можно записать в виде

и = (Х + |)УШу и + М А и, (1.1)

где полагаем: Х + 2|>0, |> 0, |0|<Х+|, что обеспечивает строгую гиперболичность

системы уравнений (1.1). Плотность, без ограничения общности, принята равной единице.

Следует заметить, что асимметричная упругая модель при | = 0 совпадает с классической двумерной моделью однородной изотропной упругой среды.

1.2 Групповое расслоение уравнений асимметричной упругости

Уравнения (1.1), ввиду линейности, допускают бесконечную группу Ли преобразований с нормальным делителем, порождаемым операторами

ио (Лх,у)-ди, (1.2)

где и (г, х, У) - произвольное решение уравнений (1.1). Факторгруппа по этому нормальному

делителю конечномерна, а её алгебра Ли разрешима и имеет базис операторов [9-11]

д , д,., д , хд - уд + п1д 2 - и2д 1, гд, + хд + уд , и1д 1 + и2д 2

г ^ х 1 У 1 у ^ х и2 и1 1 I х ^ у > и1 и2

Известно [33], что допускаемая системой дифференциальных уравнений группа Ли, действуя на множестве решений системы, приводит к выделению классов эквивалентности решений. Получаемая в результате структура может быть описана двумя системами дифференциальных уравнений: автоморфной и разрешающей. Автоморфная система характеризует классы эквивалентных решений, а разрешающая система порождает множество всех таких классов. Групповым расслоением системы относительно данной группы Ли называют представление этой системы в виде равносильного объединения разрешающей и автоморфной систем.

Среди инфинитезимальных операторов (1.2) содержатся операторы

Ук (х,у)-ди (1.3)

где к (х, у) - произвольная гармоническая функция.

Базис дифференциальных инвариантов первого порядка бесконечной группы с оператором (1.3), как показано в [64, 71], можно выбрать следующим образом

= г, 32 = х, 3з = у, 34 = и1 + и2у , 3ъ = и2х - и1, J6 = и, что позволяет выполнить групповое расслоение уравнений (1.1) относительно группы Ли с оператором (1.3).

Автоморфная система имеет вид

и = и, и1х + и2у =9 , и2х - и1у = ш , (1.4)

где и = (и\ и2) , 9 , ш - дополнительные функции от переменных г, х, у, определяемые из разрешающей системы

иг = ((А, + ц)Е + М)У9-Мw , 9г = их +иу, Шг = их -^ , (1.5)

и принято обозначение w = (ш, -ш) .

Система дифференциальных уравнений второго порядка (1.1) равносильна системе дифференциальных уравнений, состоящей из систем первого порядка (1.4) и (1.5), с вектором перемещений и и четырьмя дополнительными функциями и, 9, ш в качестве искомых функций.

Если в системе (1.5) заменить вектор и на вектор перемещений и, то получится система уравнений

и, = ((Х + р)Е + М)У9-М w, 9 = и\ + и2, ш= и2 - и1, (1.6)

где и = (и1, и2) - вектор перемещений; X, р - модули упругости (параметры Ламе); р0 -

«асимметричный» модуль сдвига; w = (ш

(шу, -шх )т; Е

Г10^ Г р ^

V01 у V ро р

М =

Ч0 1

Аналогично тому, как это было сделано в работах [64, 71], устанавливается справедливость следующих утверждений.

Теорема 1.1. Система (1.6) равносильна уравнениям асимметричной модели упругости в перемещениях (1.1), то есть для любого решения (и, 9, ш) системы (1.6) функция и является решением системы (1.1), и обратно, для любого решения и системы (1.1) найдутся функции 9 , ш такие, что набор (и, 9, ш) является решением системы (1.6).

Доказательство. Если (и, 9, ш) - произвольное решение системы (1.6), то его подстановка в систему (1.6) и дифференцирование по г первого уравнения дает уравнения (1.1) для и .

Теперь, если и - решение уравнения (1.1). тогда из третьего уравнения (1.6), после подстановки в него и , получается

г

ш = {(и; (т,х,у)-иу (т,х,у))ат + шо (х,у), (1.7)

о

где ш0(х, у) - произвольная функция. Оставшиеся уравнения, с учетом (1.1), дают совместную систему для функции 9

У9 = ((Х + р) Е + М )-1 ( и + М w ),

(1.8)

9 г = < + и 'у ■

Из (1.1) имеем, что функция

^(г,х,у) = (/>,/2) =((Х + р)Е + М)- (иг + Мw) удовлетворяет выражению ^ =У ёгу и, в предположении, что 9& =9^, . Тогда, условие

совместности системы (1.8) записывается как

g (t, x, y fl - f = 0 Используя (1.6) и (1.1), получаем для g = g (t, x, y)

gt = fl - fl = rot (v div u) = 0 Следовательно, g (t, x, y) = g (0, x, y) и условие совместности (1.8) принимает вид

((X + 2|) | + |д0) Ашо = (А, + 2|) (и2 - ^ )[=о + До (< + uj )[=q (1.9)

Итак, если получено решение ш0(x, y) уравнения Пуассона (1.9), то, для некоторого

гладкого вектора перемещений u, функция ш определяется из (1.7), (1.9), а функция 9 определяется как решение совместной системы в полных дифференциалах (1.8). Теорема доказана.

Для того, чтобы выяснить какие системы первого порядка, равносильные уравнениям (1.1), содержат наименьшее количество дополнительных функций, рассматривается задача отыскания равносильных уравнениям (1.1) систем первого порядка, имеющих вид

Ut = A 9x + A Фу , 4>t = B Ux + B2 Uy, (110)

где u = (и1, u2)т - вектор перемещений; ф = ф(t,x,y)е Rк (k > l) - вектор дополнительных функций; A, B (i = l, 2) - постоянные матрицы размерностей 2 х k и k х 2 соответственно.

Система (1.10) называется равносильной системе (1.1), если для любого решения (u, ф) системы (1.10) функция u является решением системы (1.1), и обратно: для любого решения u уравнений (1.1) найдутся дополнительные функции ф такие, что набор (u, ф) является

решением уравнений (1.10).

Система (1.10), обладающая указанными свойствами, определена с точностью до линейной невырожденной замены дополнительных функций

ф = £ ф, (1.11) где S - любая невырожденная постоянная матрица k -го порядка. Формула (1.11) задает преобразование эквивалентности искомой задачи.

Система (1.6), среди систем данного класса, занимает место, определяемое теоремой.

Теорема 1.2. Среди систем первого порядка (1.10), равносильных уравнениям (1.1), система (1.6) имеет наименьшее число дополнительных функций. Любая система первого порядка (1.10), равносильная уравнениям (1.1), имеющая то же, что и система (1.6), число дополнительных функций, совпадает с ней с точностью до линейного невырожденного преобразования дополнительных функций (1.11).

Доказательство. Уравнения (1.10) заданы с точностью до преобразования (1.11), в силу которого матрицы эквивалентных систем связаны соотношениями

Д =4 Я'1, В=$В 0 = 1,2).

Условия совместности систем (1.1) и (1.10) имеют вид

АВ =(х + р)Е + М (г = 1,2),

А В2 + А2 В1 = (Х + Р)(Е12 + Е21) > .

где Е (г,] = 1,2) - матрицы в которых (г,]) -элемент равен единице, а остальные равны нулю.

Причем, необходимо, ёе! (А В ) = (X + 2р) р + р2 > о .

Очевидно, что при к = 1 система (1.12) не имеет ни одного решения. При к = 2 и выборе В = Е, в силу преобразования эквивалентности (1.11), решением системы (1.12) являются матрицы

A =

1 + 2р р(Л ( цп -р^ (10^ ( 0 1 ^

р0 р

A =

B =

01

в =

-1 0

(1.13)

Л +2р р0 У V о 1 у v 1 о у

Система уравнений (1.10), (1.13) при u = (u1, u2) , ф = (0, ш)Т совпадает с системой

(1.6). Теорема доказана.

Система (1.6) включает в себя две системы: при ю = const она совпадает с уравнениями безвихревой акустики [14, 15] в двумерной анизотропной среде специального вида

U =((^ + р)E + M)V0, 0= U + u2y, u2 -uly = 0, (1.14)

а при 0 = const - с уравнениями Максвелла [55] в двумерной анизотропной среде специального вида

ut =-M w, rot = u2 - u1, u\ + u2 = 0, (115)

где, как указано выше, M =

f и „^

р р0 / ЧТ

W = I

(®y, -®X ) .

V ро р у

Значение систем (1.14), (1.15) для системы (1.6) состоит в следующем.

Теорема 1.3. Любое решение системы (1.6), для которого 9^+9 = о, суть сумма

решений уравнений безвихревой акустики (1.14) и уравнений Максвелла в двумерной анизотропной среде специального вида (1.15).

Доказательство. Если (V, 9, о) и (о, ш) - произвольные решения систем (1.14) и

(1.15) соответственно, то подстановка в уравнения системы (1.6) функций (V +9, ш) обращает эти выражения в тождества.

Пусть теперь (и, 9, ш) - произвольное решение системы (1.6), для которого

е +е = о. (1.16)

XX уу V ^

По нему строятся решения (V, е, 0) и (W, 0, ю) уравнений (1.14) и (1.15) соответственно. Из последнего уравнения системы (1.14) следует, что

V = УФ( г, х, у ), (1.17)

где, в силу первых двух уравнений системы (1.14), потенциал Ф является решением переопределенной системы

у(Ф г+ 2Ц)е) = Цо (е у, -е х )т,

условием совместности которой является соотношение (1.16), выполненное в силу выбора решения системы (1.6). Интегрирование этой системы дает

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бельмецев Николай Федорович, 2020 год

Список литературы

1. Андреев В.К., Бублик В.В., Бытев В.О. Симметрии неклассических моделей гидродинамики.

- Новосибирск: Наука, 2003. - 350 с.

2. Аннин Б.Д. Трансверсально-изотропная упругая модель геоматериалов // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2009. - Т. 12, № 3(39). - С. 5-14.

3. Аннин Б.Д., Бельмецев Н.Ф., Чиркунов Ю.А. Групповой анализ уравнений динамической трансверсально-изотропной упругой модели // Прикладная математика и механика. - 2014.

- Т. 78. - Вып. 5. - С. 735-746.

4. Аннин Б.Д., Бытев В.О., Сенашев С.И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. - Новосибирск: Наука, 1985. - 144 с.

5. Аннин Б.Д., Остросаблин Н.И. Анизотропия упругих свойств материалов // Прикладная механика и техническая физика. - 2009. - Т. 49, № 6. - С. 131-151.

6. Аннин Б.Д., Чиркунов Ю.А., Бельмецев Н.Ф. Групповое расслоение уравнений трансверсально-изотропной упругости // Вестник СибГАУ. Серия математика, механика, информатика. - 2012. - № 3 (43). - С. 4-6.

7. Березин И.С., Жидков. Н.П. Методы вычислений. Т. 1. - М.: ГИФМЛ, 1959. - 464 с.

8. Березин И.С., Жидков. Н.П. Методы вычислений. Т. 2. - М.: ГИФМЛ, 1962. - 620 с.

9. Бельмецев Н.Ф. Групповое расслоение уравнений двумерной асимметричной упругости. // Динамика сплошной среды: сб. науч. трудов Института гидродинамики СО РАН. - 2012. -Вып.127. - С. 19-21.

10. Бельмецев Н.Ф., Чиркунов Ю.А. Групповые свойства уравнений двумерной асимметричной упругости // Доклады АН ВШ РФ. - 2012. - № 2 (19). - С. 16-26.

11. Бельмецев Н.Ф., Чиркунов Ю.А. Точные решения уравнений динамической асимметричной модели теории упругости // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2012. - Т. 15, № 4 (52). - С. 38-50.

12. Бытев В.О., Слезко И.В. Решение задач асимметричной упругости // Вестник СамГУ -Естественнонаучная серия - Самара: 2008. - Т. 65, № 6. - С. 238-243.

13. Бытев В.О., Шкутин Л.И. Асимметричная упругость // Сб. статей XV зимней школы по механике сплошных сред. - Екатеринбург: Уральское отделение РАН, 2007. - Ч. 1. - С. 166169.

14. Годунов С.К. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1979. - 392 с.

15. Годунов С.К., Роменский Е.И. Элементы механики сплошной среды и законы сохранения. -Новосибирск: Научная книга, 1998. - 280 с.

16. Гольдин С.В. Сейсмические волны в анизотропных средах. - Новосибирск. Изд-во СО РАН, 2008. - 372 с.

17. Григорьев Ю.Н., Мелешко С.В. Групповой анализ интегродифференциальных кинетических уравнений. Результаты и перспектива // Вычислительные технологии. - Новосибирск, 2002.

- Т. 7, № 2. - С. 35-49.

18. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

- М.: Физматлит, 2001. - 576 с.

19. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. - М.: Наука, 1983. -280 с.

20. Капцов О.В. Расширение симметрий эволюционных уравнений // Докл. АН СССР. - 1982. -Т. 262, № 5. - С. 1056-1059.

21. Капцов О.В. Методы интегрирования уравнений с частными производными. - М.: Физматлит, 2009. - 184 с.

22. Капцов О.В., Капцов Д.О. Редукции уравнений с частными производными к системам обыкновенных дифференциальных уравнений // Вычислительные технологии. -Новосибирск, 2017. - Т. 22, № 4. - С. 61-68.

23. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. - М.: Мир, 1971. -392 с.

24. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Теория упругости. - М.: Наука, 1987. -248 с.

25. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. -Ленинград: Изд-во Академии наук, 1933. - 381 с.

26. Меграбов А.Г. О некоторых результатах группового подхода в кинематической задаче сейсмики (геометрической оптики) // ДАН. - 2003. - Т. 390, № 4. - С. 457-461.

27. Меграбов А.Г. Дифференциальные инварианты и спектральный метод в прямых и обратных задачах с переменными коэффициентами: дис. ... д-ра. ф.-м. наук: 01.01.02 / Меграбов Александр Грайрович. - Новосибирск, 2004. - 276 с.

28. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975. - 872 а

29. Новожилов В.В. Теория упругости. - Л.: Судпромгиз, 1958. - 371 с.

30. Овсянников Л.В. Группы и инвариантно-групповые решения дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. - 1958. - Т. 118, № 3. - С. 439-442.

31. Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. - Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. - 240 а

32. Овсянников Л.В. Групповые свойства уравнений механики // В кн.: Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. - М.: Наука, 1972. - С. 381-393.

33. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. - М.: Наука. 1978. -399 с.

34. Овсянников Л.В. Об оптимальных системах подалгебр // Доклады АН. - 1993. - Т. 333, № 6.

- С. 702-704.

35. Овсянников Л.В. Программа подмодели. Газовая динамика // ПММ. - 1994. - Т. 58, № 4. -С.30-55.

36. Прудников В.Ю., Чиркунов Ю.А. Конформная инвариантность в эластостатике // Динамика сплошной среды. - Новосибирск, 1987. - Вып. 82. - С. 110-120.

37. Прудников В.Ю., Чиркунов Ю.А. Групповое расслоение уравнений Ламе // ПММ. - 1988. -Т. 52, Вып. 3. - С. 471-477.

38. Прудников В.Ю., Чиркунов Ю.А. Групповые свойства уравнений классической теории упругости // Докл. АН СССР. - 1988. - Т. 302, № 6. - С. 1353-1356.

39. Прудников В.Ю., Чиркунов Ю.А. Групповые свойства уравнений теории упругости // В кн.: Математические методы в механике. - Новосибирск: Институт гидродинамики СО АН СССР, 1989. - С. 38.

40. Пухначев В.В. Групповые свойства уравнений Навье-Стокса в плоском случае // ПМТФ. -

1960. - Т. 1, № 1. - С. 83-90.

41. Пухначев В.В. Преобразования эквивалентности и скрытая симметрия эволюционных уравнений // ДАН СССР. - 1987. - Т. 294, № 3. - С. 535-538.

42. Пухначев В.В. Точные решения уравнений несжимаемой вязкоупругой среды Максвелла // ПМТФ. - 2009. - Т. 50, № 2(294). - С. 16-23.

43. Пухначев В.В. Математическая модель несжимаемой вязкоупругой среды Максвелла // ПМТФ. - 2010. - Т. 51, № 4 (302). - С. 116-126.

44. Пухначев В.В. Точечный вихрь в вязкой несжимаемой жидкости // ПМТФ. - 2014. - Т. 55, № 2 (234). - С. 180-187.

45. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1988. - 711 с.

46. Самарский А.А. Введение в численные методы. Учебное пособие для вузов. - 3-е изд., стер.

- Спб.: Изд-во Лань, 2005. - 288 с.

47. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. - Новосибирск: Наука, 1984. - 272 с.

48. Слезко И.В. Моделирование некоторых процессов асимметричной упругости: дис. ... канд. ф.-м. наук: 05.13.18 / Слезко Ирина Викторовна. - Тюмень, 2009. - 138 с.

49. Слезко И.В., Бытев В.О., Бельмецев Н.Ф. Деформация асимметрично-упругих пластин // Вестник ТюмГУ. - 2010. - № 6. - С. 115-121.

50. Снеддон И.Н., Бери Д.С. Классическая теория упругости. - М.: ГИФМЛ, 1961. - 219 с.

51. Талышев А.А. Расширения групп и частично инвариантные решения // Уфимский математический журнал. - 2009. - Т. 1, № 3. - С. 119-124.

52. Талышев А.А. Об автоморфных системах конечномерных групп Ли // Уфимский математический журнал. - 2012. - Т. 4, №4. - С. 130-138.

53. Талышев А.А. О дифференциально-инвариантных решениях // Сиб. журн. чист. и прикл. матем. - 2016. - Т. 16, Вып. 3. - С. 75-84.

54. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости - 2-е изд. - М.: Наука, 1979. - 576с.

55. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1966. -724 с.

56. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. - М.: Наука, 1975. - 592 с.

57. Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли. - М.;Л.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1940. - 396 с.

58. Чесноков А.А. Симметрии и точные решения уравнений мелкой воды на пространственном сдвиговом потоке // ПМТФ. - 2008. - Т. 49, № 5 (291). - С. 41-54.

59. Чесноков А.А. Симметрии уравнений теории мелкой воды на вращающейся плоскости // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2008. - Т. 11, № 3 (35). - С. 135-148.

60. Чесноков А.А. Обобщенные характеристики, симметрии и точные решения интегродифференциальных уравнений теории длинных волн: дис. ... д-ра. ф.-м. наук: 01.02.05 / Чесноков Александр Александрович. - Новосибирск, 2010. - 308 с.

61. Чесноков А.А., Ляпидевский В.Ю. Структура катящихся волн в длинных трубках с податливыми стенками // Труды МИАН. - 2018. - Т. 300, - С. 205-215.

62. Чиркунов Ю.А. Групповое свойство уравнений Ламе // Динамика сплошной среды. -Новосибирск, 1973. - Вып. 14. - С. 138-140.

63. Чиркунов Ю.А. Групповой анализ уравнений Ламе // Динамика сплошной среды. -Новосибирск, 1975. - Вып. 23. - С. 219-225.

64. Чиркунов Ю.А. Групповой анализ линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений. - Новосибирск: НГУЭУ, 2007. - 362 с.

65. Чиркунов Ю.А. Групповое расслоение уравнений Ламе классической динамической теории упругости // Известия АН. Механика твердого тела. - 2009. - № 3. - С. 47-54.

66. Чиркунов Ю.А. Условия линейной автономности основной алгебры Ли системы линейных дифференциальных уравнений // Доклады АН. - 2009. - Т. 426, № 5. - С. 605-607.

67. Чиркунов Ю.А. Системы линейных дифференциальных уравнений, симметричные относительно преобразований, нелинейных по функции // Сибирский математический журнал. - 2009. - Т. 50, № 3. - С. 680-686.

68. Чиркунов Ю.А. Системы Фридрихса для систем волновых уравнений и волны сдвига в трехмерной упругой среде// Прикладная механика и техническая физика.- 2010. - Т. 51, № 6. - С 121-132.

69. Чиркунов Ю.А. Системы линейных дифференциальных уравнений c не x - автономной основной алгеброй Ли. // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2011. - Т. 14, № 2 (46). - С. 112-123.

70. Чиркунов Ю.А. Конформная инвариантность в теории упругости // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Механика деформируемого твердого тела. - 2011. - № 4 (4). - С. 1853-1854.

71. Чиркунов Ю.А., Хабиров С.В. Элементы симметрийного анализа дифференциальных уравнений механики сплошной среды. - Новосибирск. НГТУ, 2012. - 659 с.

72. Чиркунов Ю.А. Нелинейные продольные колебания вязкоупругого стержня в модели Кельвина. // Прикладная математика и механика. - 2015. - Т. 79, Вып. 5. - С. 717-727.

73. Шильников Л.П., др. Методы качественной теории в нелинейной динамике. - М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - Ч. 1. - 428 с.

74. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. - М.: ИЛ, 1947. - 359 с.

75. Andreev V.K., Kaptsov O.V., Puchnachev V.V., Rodionov A.A. Applications of group-theoretical methods in hydrodynamics. Springer, Netherlands, 2010. 396 p.

76. Bytev V.O. Building of mathematical models of continuum media on the basis of invariance principle. Acta Appl. Math. Kluwer Acad. Publ., Netherlands, 1989. V. 16. Pp. 117-142.

77. Bytev V.O. The simple nonpolar continuum media. Part III. The asymmetric elasticity (N=2) [Электронный ресурс] // arXiv.org. 2010. Дата обновления: 14.01.2010. URL: https://arxiv.org/abs/1001.2373 (дата обращения: 05.12.2019)

78. Bytev V.O., Shkutin L.I. Asymmetrical pseudoelasticity [Электронный ресурс] // arXiv.org. 2010. Дата обновления: 22.06.2010. URL: https://arxiv.org/abs/1006.4207 (дата обращения: 05.12.2019)

79. Carrier G.F. Propagation of waves in orthotropic media. // Quarter of Appl. Math. 1946. V. 2, No. 2. Pp. 160-165.

80. Chirkunov Yu.A., Belmetsev N.F. Exact solutions of three-dimensional equations of static transversely isotropic elastic model. Acta Mechanica. 2017. V. 228. Issue 1. Pp. 333-349.

81. Chirkunov Yu.A. Conformal invariance and new exact solutions of the elastostatics equations. Journal of Mathematical Physics. 2017. V. 58, Issue 3. 16 pp.

82. Dormand J.R., Prince P.J. New Runge-Kutta algorithms for numerical simulation in dynamical astronomy. Celestial Mechanics. Kluwer Academic Publishers, 1978. V. 18, Issue 3. Pp. 223-232.

83. Dormand J.R., Prince P.J. A family of embedded Runge-Kutta formulae. Journal of Computational and Applied Mathematics. 1980. V. 6, Issue 1. Pp. 19-26.

84. Dormand J.R., El-Mikkawy M.E.A., Prince P.J. Families of Runge-Kutta-Nystrom formulae. IMA Journal of Numerical Analysis. Oxford University Press, 1987. V. 7, Issue 2, Pp. 235-250.

85. Gassmann F. Introduction to seismic travel time methods in anisotropic media. Pure Appl. Geophysics. 1964. V. 58. Pp. 1-224.

86. Grigoriev Y.N., Ibragimov N.H., Kovalev V.F., Meleshko S.V. Symmetries of integro-differential equations. Lecture Notes in Physics. Springer, Dordrecht, 2010. V. 806. 305 p.

87. Grigoriev Y.N., Meleshko S.V., Suriyawichitseranee A. On group classification of the spatially homogeneous and isotropic Boltzmann equation with sources II. International Journal of NonLinear Mechanics. 2014. V. 61. Pp. 15-18.

88. Hairer E., Norsett S.P., Wanner G. Solving ordinary differential equations I. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993. 528 p.

89. Ibragimov N. H. (ed.) CRC Handbook of Lie group analysis of differential equations. V. 1-3. CRC Press, Boca Raton, 1994.

90. Kaptsov O.V. Symmetries of differential ideals and differential equations. Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. Krasnoyarsk, 2019. V. 12, No. 2. Pp. 185-190.

91. Lie S. Uber die integration durch bestimmte integrale von einer klasse linearer partiellen differentialgleichungen Arch. Für Math., 1881, 6, Helt 3, Pp. 328-368.

92. Lie S. Classification und integration von gewöhnlichen differentialgleischungen zwichen x, y, die eine gruppe von transformationen gestaten. Archiv for Math. Og Naturv., Christiania, 1883, 9, Pp. 371-393.

93. Lie S. Über differentialinvariaten. Math. Ann., 1884, 24, Pp. 52-89.

94. Lie S. Allgemeine Untersuchungen über differentialgleichungen die eine continuirliche, endliche gruppe gestatten. Math. Ann. 1885, 25, Heft; Pp. 71-151.

95. Lie S. Untersuchungen über undenliche kontinuirliche gruppen. Ber. Sachs., 1895, 21, Pp. 43-150.

96. Lie S. Engel F Theorie der transformationsgruppen, Bd. 1, 2, 3. Leipzig, Teubner, 1888, 1890, 1893.

97. Love A.E.H. A Treatise on the mathematical theory of elasticity. Fourth edition. Cambridge: Cambridge University Press, 2013. 662 p.

98. Megrabov A.G. The group bundle, the Lax representation, and the kinematic seismic problem. Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, 1997. V. 5, No. 6. Pp. 549-564.

99. Megrabov A.G. On a Differential Identity obtained with the use of the Group Approach and its Integral Corollaries. Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. Brill Academic Publishers, 2004. V. 12, No. 5. Pp. 535-547.

100. Meleshko S.V., Moshkin N.P., Pukhnachev V.V. On exact analytical solutions of equations of Maxwell incompressible viscoelastic medium. International Journal of Non-Linear Mechanics. 2018. V. 105. Pp. 152-157.

101. Olver P. Applications of Lie groups to differential equations. Springer-Verlag, New York, 1986. 513 p.

Приложение А

Рисунок А.1 - Линии уровня компонент вектора перемещений (для и1 - слева, для и2 справа) подмодели асимметричной упругости, инвариантной относительно подгруппы

0) при значениях а = 1, Р = -0.5, с = 1, с2 = 0

Рисунок А.2 - Линии уровня компонент вектора перемещений (для и1 - слева, для и 2 справа) подмодели асимметричной упругости, инвариантной относительно подгруппы

0) при значениях а = 1, Р = — 1, С = 1, С = 0

Рисунок А.3 - Линии уровня компонент вектора перемещений (для и1 - слева, для и2 справа) подмодели асимметричной упругости, инвариантной относительно подгруппы т2! (а ф 0) при значениях а = 1, Р = —2, с = 1, С = 0

Рисунок А.4 - Линии уровня компонент вектора перемещений (для иЫ - слева, для и2 справа) подмодели асимметричной упругости, инвариантной относительно подгруппы т2) (а = 0) при значениях а = 0, Р = — 1, С = 1, С = 0

Рисунок А.5 - Линии уровня компонент вектора перемещений подмодели асимметричной упругости, инвариантной относительно подгруппы т22, при значениях

а = 0.799, Р = 1, с = 1, С = 0.382, 2 = 0.462 | = 0.125, | = 0.196

Рисунок А.6 - Линии уровня компонент вектора перемещений подмодели асимметричной упругости, инвариантной относительно подгруппы т22, при значениях

а = 0.447, Р = 1, С =—0.382, с2 = 1, Х = 0.462 |1 = 0.125, = 0.196

Рисунок А.7 - Линии уровня компонент вектора перемещений (для ы1 - слева, для и2 -справа) подмодели асимметричной упругости, инвариантной относительно подгруппы т24 при

значениях а = —2, с = 1, с = 0

Рисунок А.8 - Линии уровня компонент вектора перемещений (для ы1 - слева, для и2 -справа) подмодели асимметричной упругости, инвариантной относительно подгруппы т24 при

значениях а = —3, с = 1, с = 0

Рисунок А.9 - Линии уровня компонент вектора перемещений подмодели асимметричной упругости, инвариантной относительно подгруппы т2 5, при значениях а = 0,

у = 0.879, с = 0.5, с = 0.5, Х = 0.462, |1 = 0.125, = 0.196

Рисунок А.10 - Линии уровня компонент вектора перемещений подмодели асимметричной упругости, инвариантной относительно подгруппы т2 6, при значениях а = 1.

С = 1, С2 =1

Рисунок А.11 - Линии уровня компонент вектора перемещений подмодели асимметричной упругости, инвариантной относительно подгруппы т2 8, при значениях а = 0,

С = 0, с =—1, С = 1, С = 0, х = 0.462, |1 = 0.125, = 0.196

Рисунок А.12 - Линии уровня компонент вектора перемещений подмодели асимметричной упругости, инвариантной относительно подгруппы т2 9, при значениях а = 0,

С = 0, С = 0, С = 0, С = 1, Х = 0.462, |1 = 0.125, = 0.196

Рисунок А.13 - Линии уровня компонент вектора перемещений подмодели асимметричной упругости, инвариантной относительно подгруппы т216, при фиксированной

функции /г (р) = в'0 5р2 и значениях а = 0, Р = 0.447, с = 4, 2 = 0.462, | = 0.125, |= 0.196

Рисунок А.14 - Линии уровня компонент вектора перемещений подмодели асимметричной упругости, инвариантной относительно подгруппы т217, при фиксированной

функции А (Р) = 0 5 — е~0'5рР и значениях а = 0.447, С = 0, Х = 0.462, |1 = 0.125, = 0.196

Приложение Б

г = о.оо I = о.зо

н—. , —

Рисунок Б.1 - Изменение деформированной вектором перемещений поверхности для подмодели трансверсально-изотропной упругости, инвариантной относительно подгруппы т417

при значениях параметров а = 0, Р = 0.5, у = 0.495, 8 = 2, с = —0.395, с2 = 0, с3 = 0.791, р = 1,

2 = 0.462, | = 0.125, 0' = 0.196.

Рисунок Б.2 - Изменение деформированной вектором перемещений поверхности для подмодели трансверсально-изотропной упругости, инвариантной относительно подгруппы т417

при значениях параметров а = 0, Р = 0.5, у = 0.495, 5 = 3, С = —0.395, С2 = 0, С3 = 0.791, р = 1,

Х = 0.462, ц = 0.125, 0' = 0.196.

Рисунок Б.3 - Изменение деформированной вектором перемещений поверхности для подмодели трансверсально-изотропной упругости, инвариантной относительно подгруппы т417

при значениях параметров а = 0, Р = 0.5, у = 0.495, 8 = 4, с = —0.395, с2 = 0, с3 = 0.791, р = 1,

2 = 0.462, | = 0.125, О = 0.196.

Рисунок Б.4 - Изменение деформированной вектором перемещений поверхности для подмодели трансверсально-изотропной упругости, инвариантной относительно подгруппы т417

при значениях параметров а = 0, Р = 0.5, у = 0.418, 5 = 2, С = 0, С2 = 0.418, С3 = 0, р = 1,

Х = 0.462, ц = 0.125, О' = 0.196.

Рисунок Б. 5 - Изменение деформированной вектором перемещений поверхности для подмодели трансверсально-изотропной упругости, инвариантной относительно подгруппы т417

при значениях параметров а = 0, Р = 0.5, у = 0.418, 8 = 3, с = 0, с = 0.418, с3 = 0, р = 1,

2 = 0.462, | = 0.125, О' = 0.196.

Рисунок Б. 6 - Изменение деформированной вектором перемещений поверхности для подмодели трансверсально-изотропной упругости, инвариантной относительно подгруппы т424

при значениях параметров а = 0.333, Р = 0.667, у = 1.053, С =—0.677, С2 = 0.226, С3 = 0451,

р = 1, ^ = 0.462, /л = 0.125, О' = 0.196.

Рисунок Б. 7 - Изменение деформированной вектором перемещений поверхности для подмодели трансверсально-изотропной упругости, инвариантной относительно подгруппы т426

при значениях параметров а = 0.844, с = 0.844, с = —0.844, с = 0, р = 1, 2 = 0.462,

| = 0.125, О' = 0.196.

Рисунок Б.8 - Изменение деформированной вектором перемещений поверхности для подмодели трансверсально-изотропной упругости, инвариантной относительно подгруппы т411

при значениях параметров а = 1.185, Р = 0.185, у = 1, С = 0, С = 1571, С =—0.844, р = 1,

Х = 0.462, | = 0.125, О' = 0.196.

Рисунок Б.9 - Изменение деформированной вектором перемещений поверхности для подмодели трансверсально-изотропной упругости, инвариантной относительно подгруппы т418

при значениях параметров а = 1, Р = 2, у = 0.844, С = 0, С = 1571, С3 = —0.844, р = 1,

Х = 0.462, | = 0.125, О' = 0.196.

Рисунок Б. 10 - Изменение деформированной вектором перемещений поверхности для подмодели трансверсально-изотропной упругости, инвариантной относительно подгруппы т420

при значениях параметров а = 0.844, Р = 1, с = 0, с2 = 0, с3 = 0.844, р = 1, 2 = 0.462,

| = 0.125, О' = 0.196.

Рисунок Б. 11 - Изменение деформированной вектором перемещений поверхности для подмодели трансверсально-изотропной упругости, инвариантной относительно подгруппы т316

при значениях параметров а = 0, Р = 0, 8 = —1 с. = 0, (у = 1,2,3,4), с5 = с = —0.125, р = 1,

2 = 0.462, | = 0.125, О' = 0.196.

Рисунок Б. 12 - Изменение деформированной вектором перемещений поверхности для подмодели трансверсально-изотропной упругости, инвариантной относительно подгруппы т318

при значениях параметров а = 0, ß = 0, ô = —1 с. = 0, ( j = 1,2,3,4), с5 = с6 = —0.125, p = 1,

X = 0.462, ц = 0.125, G' = 0.196.

Рисунок Б. 13 - Изменение деформированной вектором перемещений поверхности для подмодели трансверсально-изотропной упругости, инвариантной относительно подгруппы т3 21 при значениях параметров а = 3, с. = —0.1, (у = 1,2,..., 6), р = 1, 2 = 0.462, | = 0.125, О' = 0.196

Рисунок Б. 14 - Изменение деформированной вектором перемещений поверхности для подмодели трансверсально-изотропной упругости, инвариантной относительно подгруппы т3 27 при значениях параметров a = ß = ö = 0, у = 0.885, с = —0.2, ( j = 1,2,...,6), p = 1, X = 0.462,

ц = 0.125, G = 0.855 .

4 -4

Рисунок Б. 15 - Изменение деформированной вектором перемещений поверхности для подмодели трансверсально-изотропной упругости, инвариантной относительно подгруппы т3 28 при значениях параметров a = ß = 0 , у = 1.034 , с. = 0, ( j = 1,2,3,4,6), с5 = —0.033, p = 1,

X = 0.462, ц = 0.125, G = 1.425.

Рисунок Б. 16 - Изменение деформированной вектором перемещений поверхности для подмодели трансверсально-изотропной упругости, инвариантной относительно подгруппы т3 30

при значениях параметров а = 1.034, ß = 0, с = С = —0.033, с3 = с4 = 0, с5 = с6 = —0.067, p = 1,

X = 0.462, ц = 0.125, G' = 1.425.

Рисунок Б. 17 - Изменение деформированной вектором перемещений поверхности для подмодели трансверсально-изотропной упругости, инвариантной относительно подгруппы т331

при значениях параметров а = 1.034, с = с = —0033, с3 = с4 = 0, с5 = с = —0.067, р = 1,

2 = 0.462, | = 0.125, О' = 1.425.

Рисунок Б. 18 - Изменение деформированной вектором перемещений поверхности для подмодели трансверсально-изотропной упругости, инвариантной относительно подгруппы т3 33 при значениях параметров а = 0, Р = 0.5, с. =—0.1, (у = 1,2,...,6), р = 1, 2 = 0.462,

| = 0.125, О' = 0.196.

Рисунок Б. 19 - Изменение деформированной вектором перемещений поверхности для подмодели трансверсально-изотропной упругости, инвариантной относительно подгруппы т3 34

при значениях параметров a = ß = 0, у = 1, с = с2 = —0.844, с3 = С = —0.354, с3 = С = —0.442,

p = 1, X = 0.462, ц = 0.125, G' = 0.196.

Рисунок Б. 20 - Изменение деформированной вектором перемещений поверхности для подмодели трансверсально-изотропной упругости, инвариантной относительно подгруппы т3 36

при значениях параметров а = 0.5, с = с = —0221, с2 = с4 = с6 = 0, с5 = —0.422, р = 1,

2 = 0.462, |д = 0.125, О' = 0.196.

Рисунок Б. 21 - Изменение деформированной вектором перемещений поверхности для подмодели трансверсально-изотропной упругости, инвариантной относительно подгруппы т3 37 при значениях параметров с. =—0.2, ( j = 1,2,...,6), p = 1, X = 0.462, ц = 0.125, G' = 0.196.

Рисунок Б. 22 - Изменение деформированной вектором перемещений поверхности для подмодели трансверсально-изотропной упругости, инвариантной относительно подгруппы т3 39

при значениях (р) =—0.701 р+4)2, а = 0.419, Р = 0.524, у = ^= 1.017, с = с = 0, р= 1,

2 = 0.462, | = 0.125, О' = 0.196.

Рисунок Б. 23 - Изменение деформированной вектором перемещений поверхности для подмодели трансверсально-изотропной упругости, инвариантной относительно подгруппы т3 39

при значениях /5 (р) = —0.333е^0 5(р+5)2, а = Р = 2, у = у3 = 1.187, с = с = с = 0, р = 1, 2 = 0.462,

| = 0.125, О' = 0.196.

Рисунок Б. 24 - Изменение деформированной вектором перемещений поверхности для подмодели трансверсально-изотропной упругости, инвариантной относительно подгруппы т3 39

при значениях / ( p) = —0.181 e~05(p+6)2, а = 2, ß = 1, у = у5 = 1.084, с = с = с = 0, p = 1,

X = 0.462, ц = 0.125, G' = 0.196.

Рисунок Б.25 - Изменение деформированной вектором перемещений поверхности для подмодели трансверсально-изотропной упругости, инвариантной относительно подгруппы т3 40

при значениях /3 (р ) = — е05( р+5)2, а = а= 0.844, с = с = 0, р = 1, 2 = 0.462, | = 0.125,

О' = 0.196.

Рисунок Б. 26 - Изменение деформированной вектором перемещений поверхности для подмодели трансверсально-изотропной упругости, инвариантной относительно подгруппы т3 40

при значениях / ( p ) = — 0.577e"1'5 p2, а = а3 = 0.442, с = 0, p= 1, X = 0.462, ц = 0.125,

G ' = 0.196.

Рисунок Б. 27 - Изменение деформированной вектором перемещений поверхности для подмодели трансверсально-изотропной упругости, инвариантной относительно подгруппы т312

при значениях параметров с = сз = с = 1, с = с = с = 0, р = 1, 2 = 0.462, | = 0.125, О' = 0.196

Приложение В

Рисунок В.1 - Деформация поверхности для стационарной подмодели трансверсально-изотропной упругости прибавлением вектора перемещений, полученного из решения инвариантной относительно подгруппы т33 системы (3.5), при значениях параметров с. = 1 ( j = 1,2,3,4), p= 1, Х = 0.462, | = 0.125, G = 0.196.

До деформации После деформации

Рисунок В. 2 - Деформация поверхности для стационарной подмодели трансверсально-изотропной упругости прибавлением вектора перемещений, полученного из решения инвариантной относительно подгруппы т39 системы (3.5), при значениях параметров ß = 0.333 ( j = 1,2,3,4), у3 = 0.333, p = 1, Х = 0.462, | = 0.125, G = 0.196.

Рисунок В.3 - Деформация поверхности для стационарной подмодели трансверсально-изотропной упругости прибавлением вектора перемещений, полученного из решения инвариантной относительно подгруппы т31 системы (3.5), при значениях параметров

с = 0.667 , с = 0.5, р = 1, 2 = 0.462, | = 0.125, О' = 0.196.

До деформации После деформации

Рисунок В. 4 - Деформация поверхности для стационарной подмодели трансверсально-изотропной упругости прибавлением вектора перемещений, полученного из решения инвариантной относительно подгруппы т32 системы (3.5), при значениях параметров

с = 0.333, р = 1, 2 = 0.462, | = 0.125, О' = 0.196.

4 « 4 «

Рисунок В. 5 - Деформация поверхности для стационарной подмодели трансверсально-изотропной упругости прибавлением вектора перемещений, полученного из решения инвариантной относительно подгруппы т21 системы (3.5), при значениях параметров

с = 0.2, с = 0.2, p = 1, Х = 0.462, | = 0.125, G = 0.196.

До деформации После деформации

Рисунок В. 6 - Деформация поверхности для стационарной подмодели трансверсально-изотропной упругости прибавлением вектора перемещений, полученного из решения инвариантной относительно подгруппы т22 системы (3.5), при значениях параметров

с = 0.05, с = 0.05, с = 0.05, p = 1, Х = 0.462, | = 0.125, G = 0.196.

Рисунок В. 7 - Деформация поверхности для стационарной подмодели трансверсально-изотропной упругости прибавлением вектора перемещений, полученного из решения инвариантной относительно подгруппы т23 системы (3.5), при значениях параметров

с = 0.5, с = 0.5, р = 1, 2 = 0.462, | = 0.125, О' = 0.196.

Рисунок В. 8 - Деформация поверхности для стационарной подмодели трансверсально-изотропной упругости прибавлением вектора перемещений, полученного из решения инвариантной относительно подгруппы т26 (а = р = 0) системы (3.5), при значениях

параметров с = 1, с2 = 0, с3 = с4 = 1, р = 1, 2 = 0.462, | = 0.125, О' = 0.196.

Рисунок В. 9 - Деформация поверхности для стационарной подмодели трансверсально-изотропной упругости прибавлением вектора перемещений, полученного из решения инвариантной относительно подгруппы т26 (а = 1,ß = 0) системы (3.5), при значениях

параметров с = с = с = 0.333 , p = 1, X = 0.462, | = 0.125, G' = 0.196 в решении.

До деформации После деформации

ГШ

Рисунок В.10 - Деформация поверхности для стационарной подмодели трансверсально-изотропной упругости прибавлением вектора перемещений, полученного из решения инвариантной относительно подгруппы т27 (а = 0) системы (3.5), при значениях параметров

с. = 0.1 ( j = 1,2,3,4), p = 1, X = 0.462, | = 0.125, G = 0.196.

Рисунок В.11 - Деформация поверхности для стационарной подмодели трансверсально-изотропной упругости прибавлением вектора перемещений, полученного из решения инвариантной относительно подгруппы т28 (а = р = у = 0) системы (3.5), при значениях

параметров с = 0.2 (у = 1,2,3,4), р = 1, 2 = 0.462, | = 0.125, О' = 0.196.

До деформации После деформации

Рисунок В.12 - Деформация поверхности для стационарной подмодели трансверсально-изотропной упругости прибавлением вектора перемещений, полученного из решения инвариантной относительно подгруппы т29 (а = р = 0) системы (3.5), при значениях

параметров с = 0.1 (у = 1,2,3,4), р = 1, 2 = 0.462, | = 0.125, О' = 0.196.

Рисунок В. 13 - Деформация поверхности для стационарной подмодели трансверсально-изотропной упругости прибавлением вектора перемещений, полученного из решения инвариантной относительно подгруппы т210 (а = 0,р = 1) системы (3.5), при значениях

параметров с- = 0.1 (у = 1,2,3,4), р = 1, 2 = 0.462, | = 0.125, О' = 0.196.

Рисунок В.14 - Деформация поверхности для стационарной подмодели трансверсально-изотропной упругости прибавлением вектора перемещений, полученного из решения инвариантной относительно подгруппы т211 системы (3.5), при значениях параметров

= 0.2 (у = 1,2,3,4), р = 1, 2 = 0.462, | = 0.125, О' = 0.196.

с

Рисунок В.15 - Деформация поверхности для стационарной подмодели трансверсально-изотропной упругости прибавлением вектора перемещений, полученного из решения инвариантной относительно подгруппы т218 системы (3.5), при значениях параметров

с = с = 0.333, p = 1, X = 0.462, | = 0.125, G' = 0.196.

Рисунок В. 16 - Деформация поверхности для стационарной подмодели трансверсально-изотропной упругости прибавлением вектора перемещений, полученного из решения инвариантной относительно подгруппы т220 системы (3.5), при значениях параметров

= 0.1 ( j = 1,2,3,4 ), ß=ß2 = 0.333, p = 1, X = 0.462, | = 0.125, G ' = 0.196.

с

Рисунок В.17 - Деформация поверхности для стационарной подмодели трансверсально-изотропной упругости прибавлением вектора перемещений, полученного из решения инвариантной относительно подгруппы т221 системы (3.5), при значениях параметров

с. = 0.1 (у = 1,2,3,4), р! =р4 = 0.5, р = 1, 2 = 0.462, | = 0.125, О' = 0.196.