Точные решения типа вихря Овсянникова дифференциальных уравнений газовой динамики при наличии гравитации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Паршин, Даниил Васильевич

• Паршин, Даниил Васильевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Паршин, Даниил Васильевич

Содержание

Введение

Глава 1. Обзор методов исследования дифференциальных уравнений газовой динамики

1.1. Некоторые сведения из теории группового анализа дифференциальных уравнений

1.2. Вихрь Овсянникова как частично инвариантное решение дифференциальных уравнений газовой динамики

1.3. Неявные дифференциальные уравнения

Глава 2. Стационарный вихрь Овсянникова в поле массивного притягивающего центра

2.1. Описание модели и вывод уравнений для инвариантной подсистемы

2.2. Свойства решения инвариантной подсистемы

2.3. Асимптотика решения подсистемы при |ж| —> оо

2.4. Интерпретация решения

Глава 3. Стационарный вихрь Овсянникова с самогравитацией

3.1. Вывод уравнений модели

3.2. Свойства решения инвариантной подсистемы

3.3. Приведение инвариантной подсистемы к уравнению третьего порядка

3.4. Результаты численных расчетов

3.5. Частные случаи движения самогравитирующего политропного газа 57 Глава 4. Точное решение дифференциальных уравнений газовой динамики в поле постоянной гравитационной силы

4.1. Вывод уравнений подмодели

4.2. Свойства решения дифференциального уравнения инвариантной подсистемы

4.3. Поведение интегральных кривых ключевого уравнения при

|ж| —> оо

4.4. Характеристики и звуковая линия

4.5. Течения со стационарной ударной волной

4.6. Анализ ударной адиабаты

4.7. Описание течения при ударном переходе

Заключение

Перечень условных обозначений

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Точные решения типа вихря Овсянникова дифференциальных уравнений газовой динамики при наличии гравитации»

Введение

Свойство симметрии присуще многим моделям механики сплошной среды и математической физики. Оно является их важной характеристикой. Эффективным подходом к аналитическому исследованию таких моделей с математической точки зрения является применение методов группового анализа дифференциальных уравнений [1]. Он является действенным инструментом построения и исследования точных решений уравнений газовой динамики [2]. В классических монографиях [3, 4, 5] рассмотрены отдельные точные решения уравнений газовой динамики, в том числе, обладающие определенными симметриями, однако получение подобных решений не было систематизировано. Академиком Л.В. Овсянниковым был предложен принципиально новый подход к исследованию решений системы уравнений газовой динамики. В программе ПОДМОДЕЛИ [6] сформулирована концепция наиболее общего теоретико-группового подхода к изучению дифференциальных уравнений с целью эффективного использования заложенных в них свойств симметрии.

Точные решения, обусловленные теоретико-групповыми свойствами уравнений газовой динамики, описывают конкретные физические процессы и являются основой для решения важных практических задач газовой динамики. Включение в дифференциальные уравнения газовой динамики силы гравитации позволяет расширить класс исследуемых явлений и описать новые классы точных решений. Наличие дополнительного слагаемого, отвечающего гравитационному потенциалу, в системе дифференциальных уравнений газовой динамики существенно усложняет исследование задачи.

Большинство известных аналитических результатов в этой области, как пра-

вило, относится к одномерным моделям [4]. Численным исследованиям по данной тематике посвящено много работ, например [7, 8]. В диссертационной работе получены и проанализированы новые многомерные точные решения системы дифференциальных уравнений газовой динамики с учетом действия сил гравитации.

Целью диссертационной работы является аналитическое исследование точных решений дифференциальных уравнений газовой динамики, описывающих движения политропного газа в поле силы гравитации, а также анализ таких свойств решений, как: ограниченность, поведение на границе области существования, асимптотики на бесконечности.

Основные положения выносимые на защиту. Автор защищает:

1. Построение и аналитическое исследование точного решения системы дифференциальных уравнений газовой динамики, описывающего движения газа типа стационарного вихря Овсянникова с центральной гравитационной силой.

2. Нахождение и исследование точного решения системы дифференциальных уравнений газовой динамики, описывающего движения самогравитирующего газа в рамках модели стационарного вихря Овсянникова.

3. Поиск и аналитическое исследование нового точного решения системы дифференциальных уравнений газовой динамики при наличии внешней гравитационной силы с постоянным ускорением.

В диссертационной работе решаются три задачи, соответствующие трем частично инвариантным подмоделям системы уравнений газовой динамики с различным представлением силы гравитации.

Для первой рассматриваемой модели гравитационный потенциал определяет центральную силу. Эта модель описывает, например, движение газа в поле мае-

сивного притягивающего центра массы М, создающего гравитационное поле 6?. Оказывается, что возможно распространить результаты исследования стационарного вихря Овсянникова без учета гравитации [22] на случай движения газа в центральном гравитационном поле.

Для второй исследуемой модели рассматривается течение самогравитирую-щего политропного газа. Газовая динамика с учетом эффектов самогравитации лежит в основе многих моделей астрофизики, описывающих истечение газа из звезд, спиральные структуры галактик, звездные скопления и прочее [9 — 14]. Задачи астрофизики, учитывающие эффекты вращения, стали активно рассматриваться во второй половине XX века, когда, в частности, было показано, что эти эффекты существенно влияют на результаты спектрального анализа [15]. Так для короткопериодических звезд уширение спектральных линий обусловлено, главным образом, эффектом вращения. Эти модели, включающие в рассмотрение разнообразные физические факторы, достаточно сложны. Классические работы, посвященные газовой динамике с учетом эффекта самогравитации рассматривают, в основном, одномерные или автомодельные движения газа[3] или касаются качественных свойств таких моделей [16, 17], корректности постановок начально-краевых задач [18]. В диссертационной работе исследованы точные решения УГД, обусловленные теоретико-групповыми свойствами этой модели, что дает подробную информацию о решении. Групповой анализ дифференциальных уравнений позволяет описать не одно, а целый класс решений УГД, что является его несомненным преимуществом.

Для третьей модели исследуются точные решения системы дифференциальных уравнений газовой динамики политропного газа, когда потенциал внешних

сил определяет гравитационное взаимодействие с постоянной силой гравитации. Подобные движения газа рассматривались в [19], но исследуемое решение является новым. Кроме того, доказано существование и построено решение УГД такого типа с ударной вол ной [2].

Краткие сведения из теории группового анализа дифференциальных уравнений приводятся ниже[1].

Основные результаты, полученные в работе докладывались и обсуждались на конференциях:

-Международная конференция "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике"2005, ИГиЛ СО РАН, г. Новосибирск;

-XXXVII и XXXVIII Региональная молодежная школа-конференция "Проблемы теоретической и прикладной механики 2006 и 2007 годы, ИММ УрО РАН, г. Екатеринбург;

-VI Всероссийская конференция "Аналитические методы в газовой динамике" САМГАД 2006, г. Санкт-Петербург;

-Международная конференция 1СМАЯ 2007, ИТПМ СО РАН, г. Новосибирск;

-Всероссийская конфенеция "Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва 2007, ИГиЛ СО РАН, г. Новосибирск;

-Международная конференция "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения 2007, НГУ, г. Новосибирск;

-Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение, 2009, ИГиЛ СО РАН, г. Новосибирск;

-Численные методы решения обратных задач, 2011, ИВМ и МГ СО РАН, г. Новосибирск;

-IX Всероссийская конференция молодых ученых "Теория, эксперимент и новые технологии"2012, ИТПМ, г. Новосибирск;

-Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования 2012, ИВМ и МГ СО РАН, г. Новосибирск;

-Всероссийская научная школа молодых ученых "Волны и вихри в сложных средах 2012, ИПМех РАН, г. Москва;

-Международная конференция по математической теории управления и механике, 2013 ВлГУ, г. Суздаль;

-а также на семинарах под руководством академиков Овсянникова JI.B. в ИГиЛ СО РАН, Тайманова И.А. в ИМ СО РАН, члена корреспондента РАН Плотникова П.И. в ИГиЛ СО РАН, профессоров Белоносова B.C. и Демиденко Г.В. в ИМ СО РАН.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю А.П. Чупахину за осуществление научного руководства, а так же коллегам: A.A. Черевко и C.B. Головину за полезные обсуждения полученных результатов.

Глава 1

Обзор методов исследования дифференциальных уравнений газовой

динамики

1.1. Некоторые сведения из теории группового анализа дифференциальных уравнений

Основы этой теории были заложены норвежским математиком Софусом Ли во второй полоовине XIX века. Теория и ее приложения были существенно развиты в работах академика Л.В. Овсянникова и его школы (Овсянников, 1978,1994; Ибрагимов, 1983,1989). Групповой анализ дает алгоритмы отыскания свойств инвариантности любых дифференциальных уравнений и позволяет в полном объеме использовать эти свойства для построения классов частных решений путем упрощения исходных уравнений за счет понижения размерности числа независимых переменных и редукции уравнений. Система уравнений газовой динамики для по-литропного газа с уравнением состояния р = 5р7 имеет вид:

и4 + и ■ V" + ~ V Р = УФ,

Р

р1 + и-Х/р + /кИу и = 0, (1.1)

рг + и • ур + ТРс^уи = О,

где и, р,р, 5- скорость газа, его плотность, давление и энтропия; показатель политропы 7 > 1, функция Ф- потенциал внешних сил. Этот потенциал может быть либо задан явно, либо к системе (1.1) добавляется уравнение для его определения. Групповым свойством системы (1.1) называется ее свойство оставаться неизменной (инвариантной) при некоторых преобразованиях группы Ли О всех участву-

ющих в (1.1) переменных.

Если при таком преобразовании система (1.1) не меняется, то говорят, что она допускает непрерывную группу Ли преобразований G. Задача описания группового свойства системы (1.1) состоит в отыскании всех локальных групп Ли преобразований G простраства R10. В случае политропного газа, р = Sp7 с произвольным показателем 7, максимальная допускаемая (1.1) группа Ли G13 имеет вид

Xi = дХг, Х3+г = tdx% + dUi, X5+i = е^^д^ + u3duk), Х10 = dt,

Хп = tôt + xJdx3,Xi2 = tôt - иди ~ vdv - wdw - 3рдр - Ърдр, X13 = рдр + pdp,

£г^-альтеринирующий тензор, i,j, к e {1,2,3}. В рамках программы ПОДМОДЕЛИ, выдвинутой Л.В. Овсянниковым (1992,1994), найдены и исследованы широкие классы инвариантных и частично инвариантных физически содержательных решений системы (1.1) при Ф = 0. Решения уравнений газовой динамики (1.1) при наличии гравитации систематически не исследовались, в диссертационной работе рассматриваются такие решения для гравитационного потенциала различного вида.

1.2. Вихрь Овсянникова как частично инвариантное решение дифференциальных уравнений газовой динамики Система (1.1) допускает группу вращений 6*0(3). Класс точных решений (1.1), частично инвариантных относительно 50(3) в пространстве R3(x) х М3(и) получил название особого вихря или вихря Овсяппикова[20]. Разложение вектора скорости в сферической системе координат для таких решений имеет вид: u = U(t,r)un -f uT, где г = ^„.-единичный вектор нормали к сфере, иТ-проекция вектора скорости на касательную плоскость к сфере, U- модуль ради-

альной компоненты вектора скорости. Положим Н = |иг|. На рисунке 1 представлено это разложение:

Рис. 1. Разложение вектора скорости и в сферической системе координат.

Функция си- определяет угол отклонения проекции вектора скорости ит от меридиана. Представление решения имеет вид U = U(t, г), Н — H(t, r),p = p(t, г), р = p(t,r), функция си = u>(t,r,<p,9) не является инвариантной величиной и зависит не только от г, t, но и от угловых переменных (</?, в).

Согласно общей теории частично инвариантных решений дифференциальных уравнений после подстановки этого представления в систему (1.1) при Ф = 0 и ряда преобразований, получаем две подсистемы. Инвариантная подсистема имеет вид:

где = <9г + идг. Переопределенная система для функции ш состоит из двух уравнений:

z

D0U + p~lpr = r~lH\ D0(rH) = 0, D0(S) = О,

(1.2)

к sin 6Dqíü + sin в cos Cüüüg + sin ши = — cos 9 sin иJ,

(1.3)

sin 9 sin (jjujq — eos шшр = cos 9 cos cu + h sin 9, где к = r/H,h = k(p~lDop + r~~l(r2U)r)- Условие совместности (1.3)

kD0h = h2 + 1

(1.4)

найдено в [20]. В [20] Овсянниковым система (1.3) была проинтегрирована при условии (1.4) в конечном виде. Тем самым, при изучении различных моделей вихря Овсянникова анализу подлежит инвариантная система (1.2),(1.4).

Исследованию различных моделей вихря Овсянникова посвящены работы [16, 17], а также [21 - 26].

Специфика рассматриваемых моделей такова, что исследование решений инвариантных подсистем, как правило, сводится к анализу решения неявного обыкгю-венного дифференциального уравнения (уравнения не разрешенного относительно производной) [27]. В работе используется геометрический подход, отличающийся от классического лагранжевого подхода[27]. Ниже приводятся некоторые основные сведения из теории неявных дифференциальных уравнений.

1.3.Неявные дифференциальные уравнения Уравнение вида

где р — (1у/(1х называется неявным дифференциальным уравнением [27 — 35]. Оно задает в пространстве 1-струй Ж3(я;, у,р) поверхность, на которой определено поле направлений.

F{x,y,p) = 0,

(1.5)

Вектор приложенный в некоторой точке пространства струй имеет координаты (1х(£), с1у(£), с1р(£). Плоскость ¿у = рс1х, построенная в точке (х,у,р) пространства струй называется контактной плоскостью. Вектор приложенный в точке (х,у,р) лежит в этой плоскости, если его проекция на плоскость (х, у) имеет направление с тангенсом угла наклона к оси х, равным р. Тем самым в каждой точке пространства 1-струй приложена контактная плоскость; все вместе они образуют контактное поле плоскостей (рисунок 2). При одинаковом р эти плоскости различаются только точкой приложения.

Рис. 2. Контактные плоскости.

Предположим, что поверхность, заданная уравнением (1.5), гладкая и не имеет самопересечений. Рассмотрим произвольную точку на этой поверхности и допустим, что в этой точке касательная плоскость к поверхности не совпадает с контактной плоскостью. Тогда эти плоскости пересекаются по прямой. Более того, это верно для касательных и контактных плоскостей во всех близких точках поверхности. Таким образом, в окрестности рассматриваемой точки возникает поле направле-

ний на поверхности (1.5), определенное бескоординатным образом. Интегральными кривыми уравнения (1.5) называются интегральные кривые полученного поля направлений на поверхности. Решить или исследовать уравнение (1.5) — значит найти или исследовать эти кривые.

Направление оси р в пространстве струй назовем "вертикальным" направлением. Пусть М — гладкая поверхность без самопересечений в К3 (ж, ?/,£>), заданная уравнением (1.5). Рассмотрим отображение проектирования вдоль вертикального направления

тг-.М-^М2, тг (х,у,р) = (х,у). (1.6)

Точка поверхности М называется регулярной, если она не является критической точкой отображения 7Г. В противном случае будем говорить об особой точке. Иными словами, точка регулярна, если касательная плоскость к поверхности в этой точке не вертикальна. По теореме о неявной функции, в окрестности регулярной точки поверхность М является графиком гладкой функции р = у(х,у). Следовательно, отображение (1.6) в окрестности регулярной точки поверхности М является диффеоморфизмом. Обратное отображение 7г-1 может быть многозначным, т.е. над одной точкой плоскости (х,у) могут располагаться несколько "листов" поверхности М.

Лемма 1.1. Проектирование (1.6) на плоскость (х,у) переводит интегральные кривые уравнения (1.5) на поверхности М в окрестности регулярной точки в интегральные кривые уравнения йу/йх = ь(х, у) в окрестности проекции этой точки.

Заметим, что в целом проекции интегральных кривых уравнения (1.5) на плоскость М2(.т,у) не являются, вообще говоря, интегральными кривыми никакого

поля направлений.

Особые точки — это те точки поверхности ^ = 0, в которых не выполнено условие теоремы о неявной функции дЕ/др ^ 0. Следовательно, множество всех особых точек уравнения (1.5) определяется двумя уравнениями

^ = 0, = 0, (1.7)

в пространстве струй М3(х,у,р). Эти особые точки (рисунок 3) образуют многообразие размерности меньшей, чем М в пространстве Ш.3(х,у,р). Это многообразие называется криминантой уравнения (1.5). Вообще говоря, криминанта (1.5) может быть и пустым множеством (например для уравнения р2 = 1).

Проекция криминанты на плоскость Ш2(х,у) называется дискриминантной

Рис. 3. Регулярные и особые точки на поверхности уравнения (1.5). Криминанта является гладкой кривой в М3(:г,;г/,р) в окрестности каждой своей

точки, в которой ранг производной отображения

Х:(х,у,р) ->

пространства на плоскость максимален и равен 2. Дискриминантная кривая является проекцией криминанты на плоскость М2(ж,у) параллельно р- направлению. Следовательно, вообще говоря, дискриминантная кривая может иметь особенности типа точек самопересечения и возврата даже при гладкой криминанте. В интересующих нас приложениях этот случай не встречается, поэтому не будем акцентировать на нем внимание. Далее дискриминантная кривая предполагается гладкой кривой без точек возврата и самопересечения.

Особая точка уравнения (1.5) называется регулярной, если

1) в этой точке выполнено условие гладкости криминанты: гапкх = 2,

2) криминанта не касается контактной плоскости.

Утверждение 1( Теорема Чибрарио). Пусть {хо,уо,Ро) — регулярная особая точка уравнения (1.5), причем в этой точке Ррр ф 0. Тогда существует диффеоморфизм окрестности точки (жо, 2/о) плоскости (х,у) на окрестность точки (0,0) плоскости (Х,У), приводящий уравнение (1.5) к виду Р2 = X, где Р^йУ/йХ.

Следствие. Семейство интегральных кривых уравнения (1.5) в окрестности регулярной особой точки диффеоморфно как семейство кривых на плоскости (х, у) семейству полукубических парабол (рисунок 4) у = ж3/2 + С.

-0.5

0.5

-1

0

Рис. 4. Интегральные кривые уравнения Р2 = X.

Таким образом, проекции интегральных кривых уравнения (1.5) на плоскость К2(гг, у) имеют на дискриминантной кривой в общем случае точки возврата. Каждая регулярная точка дискриминантной кривой, в которой выполнены условия теоремы Чибрарио, является либо точкой ветвления, либо точкой остановки интегральных кривых уравнения (1.5), т. е. из нее либо выходят, либо в нее входят две интегральные кривые. Кроме того, справедливо утверждение [28, 29]:

Лемма 1.2.Регулярная особая точкаТо = (^о, уо?Ро) уравнения (1.5)при четном и-есть точка остановки, если {диР/дри)С > 0, и точка ветвления, если (дТ/др^в < 0; где и таково, что (<дР/др) = 0, ... Х^'^/др^1) = 0, (■диР/дри) Ф 0, а С = -\-pFy. Если же и-нечетное, то Т^-точка единствен-

В регулярных особых точках вторая производная решения д,р/(1х становится неограниченной. Действительно, дифференцируя уравнение Р2 = Х по X, получим 2 Р &Р!ё,Х — 1. Поскольку в точке (X, У) = (0,0) имеем Р = 0, то при

ности.

(.X, У) (0,0), йР/(1Х 00.

Нерегулярные особые точки уравнения (1.5) возникают, в частности, в тех точках, где криминанта касается контактной плоскости. Это условие равносильно коллинеарности векторов в.у — рс1х и Рх (1х + Ру 4у + Ррс1р = 0, т.е.

Отсюда следует, что такие нерегулярные особые точки определяются соотношениями

Следует различать два случая. Если третье уравнение (1.9) является следствием первых двух, то дискриминантная кривая является огибающей однопараметри-ческого семейства интегральных кривых. Для уравнения Клеро, изучаемого в университетском курсе дифференциальных уравнений, реализуется именно эта возможность. На рисунке 5 для уравнения Клеро у — рх — р2 /2 приведены дискриминантная кривая — парабола у = х2/2 и однопараметрическое семейство интегральных кривых — касательные к параболе.

Если же уравнение (7 = 0 является независимым от первых двух уравнений (3.5), то эта система трех уравнений

(1.8)

^ = 0 , = 0 , <3 = 0.

(1.9)

Рис. 5. Интегральные кривые и дискриминантная кривая для уравнения Клеро.

определяет дискретное множество точек на криминанте в пространстве струй. Заменой координат:

х1 = х - = X - Х0 - Х'0(х - гг:0),р1 = р - ро,

нерегулярная особая точка с координатами (хо,уа,ро) переходит в начало координат 0(0,0,0). В окрестности О уравнение общего положения (1.5) приводится к дифференциальному уравнению первого приближения

аХ12+Рх12+-ух1р1 +р12 = 0, (1.10)

где

л ^ 1*1 2Я

---Л • г> Х'Х'

01 = -= -Б-! 7

1п1

]?р1р1 1^р1р1 Рр1р1 Введем Л = —4/3 + 7(0: + 7), 5 = (а + 27)2 — 16/3. В [32] доказано следующее утверждение:

Лемма 1.3. Для нерегулярной особой точки О уравнения (1.10) имеет место следующая классификация:

1) Если 6 > 0, Д < 0 или 5 > 0, а + 2~/ О-узел,

2) Если 5 > 0, Л > 0 => О седло,

3) При 8 < 0, с* + 27^0=> О-фокус,

4) При 6 < 0, а + 27 = 0 О-центр.

Подобные особые точки называют сложенными в виду того, что особенность возникает на плоскости Ш2(х,у) в результате преобразования складывания интегральных кривых уравнения (1-5) вдоль криминанты. В то же время на поверхности М уравнения (1.5) поведение интегральных кривых соответствует классической картине для особых точек типа седла, фокуса или узла. На рисунке б, заимствованном из [27] показаны такие точки:

Рис. 6. Сложенные особые точки для уравнения (1.5).

Глава 2

Стационарный вихрь Овсянникова в поле массивного притягивающего центра

2.1. Описание модели и вывод уравнений для инвариантной подсистемы

Стационарный вихрь Овсянникова является регулярным частично инвариантным решением системы уравнений газовой динамики (1.1) ранга 1 и дефекта 1 [22, 25]. Это решение порождается алгеброй Ли L4 = (Xt,X8,Xq,Xw). Представление решения имеет вид:

U = U{r), Н = Н(г),р = р(г),р = р(г), ш = ш(г, в, ф) (2.1)

Здесь U- радиальная компонента вектора скорости, Н- модуль касательной компоненты вектора скорости в сферических координатах, /9, р-плотность и давление, а функция w- определяет в касательной плоскости к сфере отклонение вектора скорости от меридиана. Рассматривается случай, когда газ политропный. Инвариантная система для решения (2.1) принимает вид:

UU' + р-lp = r~xH2 - r~2GM,

< U(rH)' = О, US' = 0, kUhr = h2 + 1, к = т/Н, (2.2)

h = к(и(1пр)' +r~2(r2U)'^ ,

где штрих означает производную по г.

Из третьего уравнения (2.2) следует, что для решений, в которых U ф О,

энтропия газа постоянна: S = So — const. Интегрируя второе уравнение (2.2) в виде

Н = ао/г, (2.3)

где ао = г0Н0 > 0, получим

к = г2/а0.

Подставляя полученное выражение для к в четвертое уравнение (2.2) получим представление для функции U через функцию h и ее производную hr:

и = (2.4)

Исходя из (2.4) последнее уравнение системы (2.2) можно проинтегрировать один раз и получить представление для р:

р = Ро\К\^1 + Ъ?: (2.5)

где ро > 0- постоянная. Давление находится из уравнения состония политропного газа р = 5ор7.

Задача изучения движений газа в случае стационарного особого вихря сводится к отысканию функций (2.1), определяемых системой (2.2) при заданных начальных условиях го, ао, ро, <Зо-

Используя полученные представления инвариантных функций, первое уравнение (2.2) можно проинтегрировать один раз и получить инвариантный интеграл Вер-

нулли:

2 V г2 J 7 — 1 г 2

где b0 — const, скорость звука с для политропного газа определяется формулой:

с2==(iSF^' (2-7)

где с2 = jSopQ-1. Константа bo может быть как больше, так и меньше нуля. Значение 6о < 0 отвечает случаю, когда гравитационная сила больше полной внутренней энергии газа. Оказывается, что решение (2.2) в этом случае существует на конечном по г интервале.

Интеграл Бернулли (2.6), переписанный в терминах функции ha ее производной согласно (2.4) и (2.7) определяет обыкновенное дифференциальное уравнение для функции h:

N7+1 + /г _ 2GMr _ ЪЛ Л + h,){l-mhl+

2 Су \ ад а20 J

(7 - 1)а2(1 + /г2)(т+з)/2

2сдг4

= 0, (2.8)

которое далее будем называть ключевым. После масштабного преобразования (предполагаем Ь0 ф 0) г = где г2 = аЦ\Ьо\ уравнение (2.8) примет вид:

Ы7+1 - /302^(1 + /¿2)(7-1)/24 + §(1 + К2)^2 = О, (2.9)

где = (1 ~ 1)ао^7-2^/(27/°о_15'о|^о|7_3)) а С} определяется формулой:

Я = (2.10)

где <т = ±1, а ^ = ('ЮМУ'Цп^М).

Таким образом задача изучения дифференциальных уравнений движения газа для стационарного особого вихря свелась к исследованию свойств решения обыкновенного дифференциального уравнения (2.9) при заданных начальных данных. 2.2. Свойства решения инвариантной подсистемы Оказывается возможным определить число режимов движения газа для СВО. Имеет место[36]

Лемма 2.1 .Пусть интегрирование инвариантной подсистемы для (1.1) сводится к неявному дифференциальному уравнению вида

а0(а'у+1 + а^а')2 + а2 = 0, (2.11)

где üq, ai,a2— функции а,х. Тогда для произвольного рационального показателя 7 = т/п,т > п > 0,где m,n 6 N, количество решений алгебраического (по а ) уравнения (2.11) совпадает с размерностью пучка интегральных кривых дифференциального уравнения (2.11). Это число определяется количеством перемен знаков в последовательности коэффициентов: {а0, ai,a,2} и не зависит в общем случае от т, п.

Доказательство. Рассмотрим все возможные случаи:

2ш + 1 2т 2т + 1 „

7 = 2m+l,7 = 2m,7=^^,7= (2.12)

1) Пусть 7 = 2т, тогда уравнение (4.12) переписывается в виде

ао((г')2т+1+а1(<т')2 + а2 = 0,

где а0 = 1, а, = -$3(1 + Л2)*2™"1)/2, а2 = §(1 + Л2)^)/2.

Согласно правилу Декарта (следствие из теоремы Бюдана-Фурье)[37], количество положительных корней многочлена ¡(х) — аохп + а^"-1 + ... + ап не превосходит числа перемен знаков в последовательности ао, ..., ап. Поэтому, в каждой из перечисленных областей, ключевое уравнение имеет не более двух положительных корней. Для того, чтобы сосчитать число отрицательных корней необходимо сделать замену а —» —а', однако этот случай всегда приводит к таким сигнатурам, что число отрицательных корней также никогда не превышает двух, тем самым ключевое уравнение имеет не более четырех вещественных корней в области существования решения, следовательно, для него существует не более четырех ИК, проходящих через одну точку, что и требовалось доказать.

2) Пусть 7 = 2т + 1. Ход рассуждений остается тем же: коэффициенты при степенях а имеют вид: а0 = = —+ /¿2)т,а2 = + к2)т+2. При

любых знаках а и сг, сигнатура уравнения будет (Н---Ь). А значит число всех

вещественных корней вновь не превысит четырех.

3) Если 7 = 2ш/(2п + 1), то заменой сг1/2п+1 —»• q уравнение (4.12) сводится к уравнению, полученному в первом пункте доказательства, для которого требуемое утверждение уже доказано.

4) Если 7 = (2т + 1)/2п, то, делая замену сг1/2" —> ^ в уравнении (2.9), приходим к уравнению, полученному в первом пункте доказательства. Стоит отметить, что хотя при такой замене извлекается корень четной степени, на числе корней

это никоим образом не отражается ввиду того, что в первом случае уже допускается знаконеопределенность функции ст.

5) В случае, когда 7 = (2га + 1)/(2п + 1) заменой <у112п+1 д, условие данного пнукта сводится к условию пункта 2, а для него требуемое утверждение уже доказано.

Таким образом, показано, что для всех возможных рациональных показателей 7 размер пучка интегральных кривых ключевого уравнения (2.9) не превышает четырех и тем самым лемма доказана.

Далее будем полагать, что показатель адиабаты 7 = 3. Это условие не умаляет общности рассмотрения ввиду леммы 2.1.

В этом случае уравнение (2.9) становится биквадратным относительно /гд и принимает вид:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Паршин, Даниил Васильевич, 2014 год

Список литературы

[1] Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

[2] Овсянников Л.В. Курс лекций по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981.

[3] Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1980.

[4] Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1981.

[5] Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.: Наука, 1971.

[6] Овсянников Л.В., Программа ПОДМОДЕЛИ Газовая динамика // ПММ. 1994. Т. 58. № 4. С. 30-55.

[7] Вшивков В.А., Лазарева Г.Г., Куликов И.М. Операторный подход для численного моделирования гравитационных задач газовой динамики // Вычислительные технологии. 2006. Т. 11. №3. С. 27-35.

[8] Вшивков В.А., Г.Г. Лазарева, Киреев С.Е., Куликов И.М. Параллельная реализация на суперЭВМ модели газовой компоненты самогравитирующего про-топланетного диска // Вычислительные технологии. 2007. Т. 12. № 3. С. 38-52.

[9] Тассуль Ж.Л. Теория вращающихся звезд. М.: Мир, 1982.

[10] Пиблс Ф.Дж.Э. Структура вселенной в больших масштабах. М.: Мир, 1983.

[11] Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Теория тяготения и эволюция звезд. М.: Наука, 1975.

[12] F. S. Mozer, S. D. Bale, J. W. Bonnell, С. С. Chaston, I. Roth, and J. Wygant Megavolt Parallel Potentials Arising from Double-Layer Streams in the Earth's Outer Radiation Belt // Phys. Rev. Lett. No. 111. V.235002. 2013. P. 1-5.

[13] Alice C. Quillen, Ivan Minchev, Sanjib Sharma, Yu-Jing Qin, Paola Di Matteo A vertical resonance heating model for X- or peanut-shaped galactic bulges // MNRAS. 437. (2): 1284-1307.

[14] Ducomet В., Feireisel E. On dynamics of gaseous stars // Arch. Rat. Mech. Anal. V. 174. 2004. P. 221-266.

[15] Каплан С.А. Физика звезд. M.: Наука, 1977.

[16] Golovin S.V. Singular vortex in magnetohydrodynamics //J. Phys. A: Math.Gen. 2005. V.38, Ж 20. P. 4501-4516.

[17] Golovin S.V. Invariant solutions of the singular vortex in magnetohydrodynamics //J. Phys. A: Math.Gen. 2005. V.38, No. 37. P. 8169-8184.

[18] Luo Т., Smoller J. Existence and non-linear stability of rotating stars solutions of the compressible Euler Poisson Equations // Arch. Rat. Mech. Anal. V. 191. 2009. P. 447-496.

[19] Чупахин А.П. Самосопряжение решений через ударную волну // ПМТФ. 2003. Т.44. № 3. С. 26-40.

[20] Овсянников Л.В. Особый вихрь // ПМТФ. 1995. Т.36. № 3. С. 45-52.

[21] Однородный особый вихрь // ПМТФ. 2004. Т.45. № 2. С. 75-83.

[22] Черевко A.A., Чупахин А.П. Стационарный вихрь Овсянникова // Новосибирск, 2005 (Препр./ Институт гидродинамики СО РАН; №1, 2005).

[23] Головин C.B. Плоский вихрь Овсянникова. Уравнения подмодели // ПМТФ. 2008. Т. 49. № 5. С. 27-40.

[24] Павленко A.C. Проективная подмодель вихря Овсянникова // ПМТФ. 2005. Т.46. № 4. С. 3-16.

[25] Паршин Д.В., Чупахин А.П. Стационарный вихрь Овсянникова в поле массивного притягивающего центра // Журн. СФУ. Сер. Матем. и Физ. Т. 3. Вып. 2. 2010. С. 228-243.

[26] Паршин Д.В., Черевко A.A., Чупахин А.П. Завихренные установившиеся течения самогравитирующего газа // ПМТФ. 2014. Т.55. 2. С. 159-167.

[27] Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000.

[28] Ремизов А.О. О правильных особых точках обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2002. Т.38. № 5. С. 622-630.

[29] Ремизов А.О. Многомерная конструкция Пуанкаре и особенности поднятых полей для неявных дифференциальных уравнений // Оптимальное управление. СМФН. 19. РУДН. М. 2006. С. 131-170.

[30] Дубровин В.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: методы и приложения. М.: Наука, 1986.

[31] Давыдов A.A. Нормальная форма дифференциального уравнения уравнения, не разрешенного относительно производной в окрестности его особой точки // Функц. анализ и его приложения. Т. 19. Вып. 2. 1985. С. 1-10.

[32] Пхакадзе A.B., Шестаков A.A. О классификации особых точек дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной // Математический сборник. Т.49(91). № 1. С. 1-7.

[33] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

[34] Д. Ван, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. М.: МЦНМО, 2005.

[35] Андреев А.Ф. Особые точки дифференциальных уравнений. Минск: Вышэй-шая школа, 1979.

[36] Паршин Д.В., Чупахин А.П. Об источнике газа в поле постоянной силы // ПМТФ. 2006. Т.47. №6. С. 3-16.

[37] Прасолов В.В. Многочлены. М.: МЦНМО, 2003.

[38] Баутин С.П., Дерябирн С.Л. Математическое моделирование истечения идеального газа в вакуум. Новосибирск: Наука, 2005.

[39] Чупахин А.П. Небарохронные подмодели типов (1,2) и (1,1) уравнений газовой динамики // Новосибирск, 1999 (Препр./ Институт гидродинамики СО РАН; № 1, 1999).

[40] Арафайлов С.И., Краснобаев К.В., Тагирова P.P. Одномерное сжатие ограниченных объемов самогравитирующего газа // Механика жидкости и газа № 3. 2012. С. 7-17.

[41] Барская И.С., Мухин С.И., Чечеткин В.М. Математическое моделирование равновесных конфигураций самогравитирующего газа // Москва, 2006 (Препр./ Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша; № 41, 2006).