Ядра интегральных представлений, связанные с торическими многообразиями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Кытманов, Алексей Александрович

• Кытманов, Алексей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кытманов, Алексей Александрович

Введение

1. Предварительные сведения

1.1. Интегральное представление Бохнера-Мартинелли.

1.2. Метрика и форма объема Фубини-Штуди на проективном пространстве

1.3. Конструкция торического многообразия

1.4. Моментное отображение.

1.5. Конус Кэлера.

2. Ядра, ассоциированные с торическими многообразиями

2.1. Постановка задачи.

2.2. Ядра интегральных представлений

2.3. Аналог формы объема Фубини-Штуди.

2.4. Интегральное представление.

2.5. Ядра, ассоциированные с двумерными выпуклыми веерами

2.6. Пример с невыпуклым веером.

3. Ядра интегральных представлений как усреднения ядер Ко-ши

3.1. Формула Бохнера-Мартинелли как усреднение формулы Коши

3.2. Общие усреднения ядер Коши

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ядра интегральных представлений, связанные с торическими многообразиями»

Метод интегральных представлений для голоморфных функций играет важную роль как в самом комплексном анализе (см. [1, 8, 9, 11]), так и в ряде других областей, например, в алгебраической геометрии [5, 10], и математической физике [9, 17]. Если речь вести об интегральных формулах вида в которых ядра z) являются замкнутыми дифференциальными формами, а множествами интегрирования Г служат циклы, то можно заметить тесную связь концепции интегральных представлений с теорией вычетов [1, 10]. Здесь дело в том, что формула (1) эквивалентна тому, что вычет относительно цикла Г для ядра ш = ы(£,0) (т.е. интеграл и по Г) равен единице.

Исторически первыми интегральными представлениями были:

- формула Коши для полицилиндра, доказанная А.Пуанкаре [33] в 1887г.

- формула Бохнера-Мартинелли для шара [30] (1938), [18] (1943).

Соответствующие ядра указанных формул в n-мерном пространстве следующие:

1) г

1 dCi

2пг)п Ci (n

ШВМ ~ jcF '

В каком-то смысле эти две формулы явились эталонными, из которых впоследствии на основе гомологических и когомологических процедур был построен ряд других интегральных представлений (формулы Вейля, Коши-Фантапье и т.д.).

В 1999г. А.К.Цих [34] заметил, что эталонные ядра и = шд- и и = и>вм обладают свойством: cj регулярна в области, наивысшая нетривиальная группа когомологий которой имеет одну образующую, представленную формой си.

Так, ядро Коши сок регулярно в комплексном торе (С \ {0})", который гомотопически эквивалентен вещественному тору Тп, и ядро Бохнера-Мартинелли регулярно в проколотом пространстве С" \ {0}, гомотопически эквивалентном сфере S2n~l. Таким образом, гомотопические типы областей регулярности указанных форм представляются связными ориентируемыми компактными многообразиями, поэтому для комплексного тора наивысшая нетривиальная группа когомологий есть #"((С\ {0})"), а для проколотого пространства — группа Н2п~1 (С® \ {0}), причем эти группы одномерны. Еще одна общая специфика ядер и>к и швм состоит в том, что их сингулярностями являются наборы из координатных подпространств: наборы гиперплоскостей

Ci = 0},. , {(„ = 0} для ядра Коши и набора из одного нульмерного подпространства {С = 0} = {Ci = 0,. , = 0} — для ядра Бохнера-Мартинелли. В связи с этим в [34] было введено следующее

Определение [34], [35]. Набор (координатных) плоскостей {Е„} С С* (не обязательно равных размерностей) называется атомарным, если наивысшая нетривиальная группа когомологий их дополнения является одномерной, т.е. у 0, к > ко для некоторого к0. Образующая и группы Нко(С? \ \JEU) называется ядром для набора {Еи}.

Примером не атомарного набора плоскостей служит тройка координатных прямых {С2 = Сз = 0}, {Ci = Сз = 0}, {Ci = С2 = 0} в пространстве С3.

Для атомарности набора плоскостей необходимы ограничения комбинаторного характера на их взаимное расположение. Оказывается, если набор кодировать определенным образом в помощью веера (многогранного конического полиэдра вЕп), то он будет атомарным. Таким образом, атомарные наборы тесно связаны с теорией торических многообразий (о теории таких многообразий см. книги Оды [31], Фултона [23], а также [6], [19]—[22], [27], [28]). Частным случаем торических многообразий является комплексное проективное пространство СРП. Известно, что ядро Бохнера-Мартинелли в Cn+1 тесно связано с формой объема для метрики Фубини-Штуди проективного пространства СР„ (см. [5] или [8]). А именно, при диагональном действии одномерного тора С \ {0} на Cn+1 \ {0}

С-+АС форма ивм преобразуется к виду u;(0 = yAwo([C]) с инвариантной формой w0([C]) — формой объема Фубини-Штуди. Общее n-мерное торическое многообразие X, ассоциированное с веером £ С R", подобно проективному пространству, получается как фактор

Х= [С1 \Z(£)]/C;, где Z(Y.) — объединение атомарного набора плоскостей, aQ — комплексный тор (С\ {0})г.

Целью диссертации является:

- построение форм объема w0([C]) на торических многообразиях X (аналогов форм Фубини-Штуди) и эталонных форм w(C) на С* \ гДе Z(E) представляет собой объединение некоторых координатных подпространств в

С;

- построение интегральных представлений в d-круговых полиэдрах с эталонными ядрами.

В основе исследования диссертационной работы лежит теория торических многообразий. Свойство атомарности набора Z(E) координатных плоскостей в С* обеспечивается возможностью введения действия группы G ~ (комплексного тора) на С* \ Z(E), для которой совокупность орбит

С? \ Z{E)]/G =: X представляет собой компактное торическое многообразие, а С* \ Z{E) гомо-топически эквивалентно расслоению над X со слоем — вещественный тор тг = {\ес;:|АЖ| = 1,. ,|АГ| = 1}.

Атомарный набор плоскостей Z(E) и группа G определяются по вееру Е из Rrt, при этом G строится только по одномерным образующим vu. ,vdezn сшп веера £ (при этом размерность G равна г = d—n), а в конструкции Z(E) участвуют конусы других размерностей. Проиллюстрируем вначале конструкцию ядра и для Z(E) и формы объема ujq для X на примере проективного пространства X = CF„, для которого веер определяется в Rn с помощью d = п + 1 образующих vi = (1,0,. ,0),. ,i;n = (0,. ,0,1),ип+1 = (-1,. ,-1), при этом любой набор из г векторов определяет г-мерный конус (г = 0,1,. , гг) в Е. Между образующими г>,- есть единственное (с точностью до линейной зависимости) соотношение:

1 • vi + . + 1 • vn + 1 • vn+i = 0.

Вектор (1, . ,1,1) из коэффициентов этого соотношения порождает действие одномерного тора С* на С*:

A-C = (A1-Ci,.:. ,Аг-Сп+1), Лес, {ЕС1.

Как следует из общей конструкции (см. §1.3) для рассматриваемого веера набор Z(E) состоит из одной координатной плоскости размерности нуль, т.е. из начала координат 0 € С"+1. Мы знаем, что ядром для набора Z(H) = {0} может служить форма Бохнера-Мартинелли (которую мы запишем без традиционного нормировочного коэффициента) EjQAdC .

CJ" |e|2(n+u ' (2) где = A . A d£n+ь a E(Q — дифференциальная форма Эйлера

71+1

E(Q = ^(-l)*-1^^] (здесь [к] — знак пропуска d(k в dQ. fc=i

В свою очередь, форма объема метрики Фубини-Штуди на X = GPn равна Е(С)ае(0 wb(lCJ) - |С|2(я+1, • 8

В случае общего веера Е в!" искомое ядро для набора Z(E) в С' имеет бистепень (d,n) и, подобно (2), представляется в виде где h(С) — (п,0)-форма, обобщающая форму Эйлера £"(0, а д((,() — полином, имеющий подходящую полистепень однородности и обращающийся в нуль в точности на Z(E). Форма h(Q, как и группа G, определяется только по образующим Vi,. ,Vd веера S, а полином д, как и Z(Е) — по всему вееру S. А именно, обозначим через V матрицу из вектор-строк vi,. а через А = ••^ — левый аннулятор матрицы V (т.е. А • V — 0), представляющий решетку соотношений между векторами V{. Заметим, что согласно Предложению 1.1 матрицу А можно выбрать с неотрицательными элементами a,j. Каждому упорядоченному набору J = (ji,. ,jn), где 1 ^ ji < • • • < jn ^ d поставим в соответствие минор Aj матрицы Л, полученный вычеркиванием столбцов с номерами ji,. ,jn. Тогда аналог формы Эйлера — это форма

MC) = £Vi)|J|~%C№0, (4) j где суммирование ведется по всем упорядоченным мультииндексам J, а через C[J] и d(j обозначены произведения

Ш. и Д^о

Отметим, что по внешнему виду введенная здесь форма h(Q отличается от ранее рассмотренного аналога формы Эйлера (см. [20]), в котором вместо числовых коэффициентов (-1)'"7'-1А/ ставились Vj — миноры матрицы V, составленные из строк с номерами j,jn. Выражение (4) оказалось для нас более предпочтительным, хотя Лемма 3.1 утверждает, что оно отличается от определения из [20] лишь числовым множителем.

Для определения полинома д (знаменателя ядра и) предположим, что веер Е симплициальный, примитивный и выпуклый. Пусть crm, т = 1,. , М — набор всех конусов веера Е размерности п. Для всякого конуса ат с образующими vmi,. ,vmn определим d целых чисел п

Р1т := ~ det(^i' • • • «Ияч-и^тн.!,. ,Vmn), / = 1,---, rf, с помощью которых составим полином

М / d \

9((,(>1 ПЙР'^" • ' (5)

771=1 \/ = 1 /

Выпуклость веера Е обеспечивает полиномиальность д, т.е. что все мономы имеют положительные степени.

Наконец, укажем, что действие группы

G : (С* \ Z(E)) х <С£ -КС' \ Z(Е) определяется с помощью матрицы А = (atJ) формулой

С, А) (А"11 . АГ1 ■ Сь . • , Aild ■ -. • XTd • СО- (6)

Теперь мы можем сформулировать основные результаты второй главы. Напомним, что мы предполагаем Е симплициальным, примитивным и выпуклым.

Теорема 2.1. Дифференциальная (с1,п)-форма h(QAd( и; = —-—=—

С,С) с формой Эйлера (4) в числителе и знаменателем (5) является ядром для набора Z{Е). При действии (6) ядро и преобразуется к виду dX\ d\r и —У —— A . A —— A coo + cox A^ Ar с положительной формой (аналогом формы Фубини-Штуди)

ЩлЦО

Ыо - "ЖеГ' нулевой степени однородности по действию группы G, и формой и)\, которая не содержит сопряженных дифференциалов d\i и в каждом из своих слагаемых имеет не более, чем (г — 1) дифференциалов d\j.

Для описания двойственного (по Де Раму) ядру и цикла Г определяющую роль сыграет моментное отображение и конус Кэлера для многообразия X.

Моментное отображение fi : С* Rr для пространства О* со стандартной симплектической структурой и действием группы G (по формуле (6)) определяется матрицей А = (а^) следующим образом:

Жь--- ,Cd) = (Pi,-- - ,Рг), где aulCil2 + . + aw|Cd|2 =pi : (7) k ari ICi I2 + • • • + ardlCd!2 = Pr-При фиксированном p — (pi,. ,pr) E Rr соотношения (7) определяют множество Г = Т(р) = /л~1(р).

Цикл Г(р) обладает нужными для нас свойствами, когда р принадлежит конусу Кэлера многообразия X.

Для описания конуса Кэлера напомним [21], что набор векторов Vky,. ,Vkm веера Е называется примитивным, если он не определяет конуса в £, но любой его собственный поднабор определяет конус в Е.

Для каждого примитивного набора векторов v^,. , представляем их сумму в виде ь\ + . • + vkm = ci, vn + . + ctnvln, ch,. , cin G Q+, где Vilt. ,Vin образуют конус, в который попадает эта сумма.

Конус Кэлера К представляет собой образ при моментном отображении (7) множества в С*, определенного системой неравенств lOi I2 + . + lOu I2 - Си IC.X Г - . - Cin 10, I2 > 0, (8) причем неравенств столько, сколько примитивных наборов. Неравенства (8) будем называть условиями кэлеровости.

Заметим, что для р £ К цикл Г = Г(р), определяющийся системой (7), лежит вС^ч и расслаивается над X со слоями, изоморфными действительным торам Т7-, а именно , Г(р)/Ск = Х, где

Gr :={(А?» .А^,. = j = 1.г}, см. [20] или [21]). Отсюда, как следствие, получаем, что Г не гомологичен нулю в С* \ Z{Е). Этот факт также подтверждает следующее утверждение, вытекающее из Теоремы 2.1.

Следствие 2.1. J и = f и)0 = С, где С есть некоторая константа, г х отличная от нуля, выражающая объем торического многообразия X относительно формы UJq.

В §2.4 вначале доказывается интегральное представление в нуле. Предложение 2.3. (Воспроизводящее свойство ядра ы) Пусть функция f(Q голоморфна в окрестности нуля U, р = (pi,. ,рг) принадлежит конусу Кэлера и настолько мало, что цикл Г(р) С U. Тогда справедливо интегральное представление до) = £ J дсма (9)

Г(р) 12 где С = fu>o — константа нормировки. ж

Далее рассматривается область D = Dp в пространстве С* переменных г, определенная системой неравенств ы2 + ---+ы2<к:.±(р), (ю) где каждое неравенство соответствует примитивному набору vkl,. . , Vkm веера Е, а Щ\]\"'*кт{р) — образ выражения из левой части (8) при моментном отображении (7). И для функций, голоморфных в (i-круговом полиэдре IV = \VP, определенном системой неравенств an|Ci|2 + . + aid|Cd|2 <pi < : (П) k cirilCil2 + . + arrf|Cd|2 < pr, доказывается

Теорема 2.2. Пусть функция f(Q голоморфна в области IV, определяющейся неравенствами (11), и непрерывна в замыкании W. Тогда в пересечении DnW, где область D, определяется неравенствами (10), справедливо интегральное представление = £ / ЯС-*МС), г где цикл Г = Г(р) определяется равенствами (7).

Далее в §§2.5 и 2.6 рассмотрены два примера построения эталонных форм и форм объема на комплексно-двумерных торических многообразиях заданных с помощью выпуклого и невыпуклого вееров.

Первое торическое многообразие задано двумерным веером с образующими V!=(1,0), г2=(0,1), г-3=(-1,0), г4=(-1,-1), г5=(0,-1). В этом случае множество Z(Е) = {Ci = Сз = 0} и {<1 = С4 = 0} и {С2 = С4 = 0} и {Сг = Сз = 0} и {<3 = Сб = о}.

А1Л2,Л1Лз,Л2, АЬ АЗ) : А,- G С*} С (С*)5. Моментное отображение [i : С5 —У R3 здесь следующее pi = ICil2 + IC2I2 + IC4I2 р2 = |Ci|2 + |Сз|2 (12) Рз = IC2I2 + |Сб|2

При фиксированном р = (рь/^Рз) G К2 соотношения (12) определяют множество Г(р) = рг1(р).

Конус Кэлера для данного торического многообразия задается следующими неравенствами

IPi > Р2

Р\ > рз (13)

Р2 + рз > pi

При соотношениях (13) цикл Г не пересекает Z(E).

Эталонная форма в С5 \ Z(H) (аналог формы Бохнера-Мартинелли) имеет бистепень (5,2) и представляется в виде (3) с числителем

МО =

-СзС^Сх A d(2 + СгСзСб^С! A d(4 + (^СзСЛ A d(5 - Ci (4(^(2 А -ОСзСб^Сг A dC4 ~ ОСгСз^Сз А с?С4 ~ СгСгС^Сз A c?Cs - С1С2С3d(4 A d(5. и знаменателем д(М) =

1С1|2|С2|4|Сз|2 + |Ci|4|C2|2|C5|2 + ICi|4iC4|2lC5|4 + |С2|4Кз|4|С4|2 + |Сз|4|С4|6|С5|4. Константу нормировки С, участвующую в интегральном представлении (9) и выражающую объем торического многообразия X в виде 4-кратного интеграла fxu>0, можно выписать с помощью однократных интегралов: 2

С = (2 т) лз

-167г2 h

2г2 — г3)(г3 4- 2г2 + 4) arctg 2

2 г2 г3 + 2г2 + 4 dr—

-2тг2

00 yV - 2r2)(r3 + 2г2 + 4)

1п у/г3 - 2г2 + л/г3 + 2г2 + 4 л/г3 - 2г2 - л/г3 + 2г2 + 4 dr

В формулировке теоремы 2.2 для данного примера области D и W определяются следующими неравенствами:

Ы2 + Ы2 <р2

Ы2 + Ы2 <Рз D- h|2 + |24|2<pi-p3

Ы2 + Ы2 <pl-p2

Ы2 + l^si2 < Р2 + Рз - Pi ICil2 + IC2I2 + IC4I2 < Pi W- ICil2 + |Сз|2 < Рг JC2|2 + IC5|2<p3.

В случае, когда торическое многообразие задается невыпуклым веером, возникает сложность с тем, что мноягество особенностей формы и может не совпадать с множеством Z(E). В §2.6 рассмотрен конкретный невыпуклый веер и показано, что несмотря на вышеуказанную проблему, форма ш является ограниченной вблизи своих особых точек, не лежащих в Z(E), и интегральное представление существует, как и в случае выпуклого веера.

Рассматривается торическое многообразие, заданное двумерным веером с образующими Vi=(l, 0), v2=(-2,1), t;3=(-l,0), t'4=(-2, -1).

В этом случае множество

Z(Z) = {Ci = Сз = 0} U {Сг = С4 = 0}.

AtA2,A1,A2,A1):AiGC;}c(C;)4.

При фиксированном р = (яь/эг) £ К2 соотношения (14) определяют множество Г(р) = ji~l{p).

Конус Кэлера для данного торического многообразия будет задаваться следующими неравенствами: Р2 > О

15) р1 > 4р2.

При соотношениях (15) цикл Г не пересекает Z(E).

Эталонная форма в С4 \ Z(E) (аналог формы Бохнера-Мартинелли) имеет бистепень (4, 2) и представляется в виде

0 = g((X)h(QAd(

9( С, С)

Здесь аналог формы Эйлера ко = -СзС^а a d с2+с2ол a dc4 - ciC^Ca д d(3

-4CiC3^2 a d(4 - CiC2a dC4, знаменатель g(t,0 = ICi|4IC2|4 + |Ci[4IC4|4 + Ю116 Кз i4 IC4 + IО I41 Сз I4 I i6 а добавочный весовой коэффициент g — это моном l^l4^!4-Множество

Z„ := {Ci = Сз = 0} и {С2 = С4 - 0} и {Ci = С2 = 0} и {Ci = С4 = 0} особенностей формы и (нули знаменателя д((,С)) не совпадает с множеством Z(E) из-за невыпуклости веера Е. Цикл Г может пересекать плоскости = 0} и {(i = С4 = 0}. Однако доказано, что форма и является ограниченной вблизи плоскостей {(i = (2 = 0} и = £4=0} и, следовательно, интегрируема по циклу Г.

Константу нормировки С в данном случае можно вычислить до конца:

47г5 г

С= -pln(7 + 4>/3). л/3

В формулировке теоремы 2.2 для данного примера области D и IV определяются следующими неравенствами: D

ICi|2 + IC3|2<P2 IC2I2 + IC4I2 <Pl- 4/32

W :

4ICi|2 + IC2I2 + IC4I2 < р\ |Cl|2 + |Сз|2 < Р2

Третья глава посвящена получению интегральных представлений (9) путем усреднения ядер Коши по некоторым положительным мерам da.

В §3.1 указанное усреднение иллюстрируется на примере ядра Бохнера-Мартинелли.

В §3.2 приводится построение положительной меры da в общем случае и доказывается теорема о реализации интегрального представления (9) в виде усреднения ядер Коши по мере da.

Введем необходимые обозначения. Прежде всего заметим, что знаменатель <?(С,С) зависит только от переменных = = |£,|2, г = 1,. ,d. Таким образом д{С, С) :=д{е) = м т—1 где j/'m+I 77 с."Гт+1 l<l<d

IK'

Также пусть /i(g:) — форма (4). Рассмотрим п-форму

Y!{-l)U{-lAje[J]dej

I I V 1 da(e) =

Л(е) J tffff) М g-l/^m+l m=l

Через Ар обозначим пересечение с положительным октантом = {е = (si,. ,£d) '• £j ^ 0} ПЛОСКОСТИ апи- • • • + = Pi : (i6) k ar\E\ + . + ard£d = Pr

Согласно предложению 3.1 форма da(e) представляет собой положительную меру на Ар.

Через Td(e) обозначим вещественный тор \zi\2 = £i,. , \zd\2 = £d-Теорема 3.1. Пусть р = (pi,. ,рг) достаточно мало и принадлежит конусу Кэлера. Тогда справедливы равенства = Kihy / = щЬ?/I mdiЛ • • •Л

Г(Р) Д„ Т^(е) где К = /л do(e). Таким образом, интегральное представление (9) реализуется в виде усреднения формул Kouiu по положительной мере da на Ар.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [36]-[45]. По материалам диссертации делались доклады:

- на международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 2001); dQ

- на международной школе-конференции по геометрии и анализу (Новосибирск, 2002);

- на XL и XLI международных научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2002, 2003);

- на международной конференции "Многомерный комплексный анализ" (Красноярск, 2002), а также на городском научном семинаре по многомерному комплексному анализу при Красноярском госуниверситете (Красноярск, 2001-2003).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Августу Карловичу Диху за постановку задачи и внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кытманов, Алексей Александрович, 2003 год

1. Айзенберг J1.A., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука, 1979. Збб с.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974. 431 с.

3. Ботт Р., Ту Л.В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. М.: Наука, 1989.

4. Гамелин Т. Равномерные алгебры. М.: Мир, 1973. 334 с.

5. Гриффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. М.: Мир, 1982. 860 с.

6. Данилов В.И. Геометрия торических многообразий jf УМН 1978. Т. 33. С. 85-134.

7. Дольбо Д. Общая теория многомерных вычетов // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики (фундаментальные направления). Т. 7. М.: ВИНИТИ, 1985. С. 227-251.

8. Кытманов A.M. Интеграл Бохнера-Мартинелли и его применения. Новосибирск: Наука, 1992. 240 с.

9. Хенкин Г.М. Метод интегральных представлений в комплексном анализе. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. (Итоги науки и техники). М.: ВИНИТИ, 1985. Т. 7. С. 23-124.

10. Цих А.К. Многомерные вычеты и их применения. Новосибирск: Наука, Сиб-ое отд-ие. 1988. 240 с.

11. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. 4.2. Функции нескольких переменных. М.: Наука, 1985. 400 с.

12. Шабат Б.В. Распределение значений голоморфных отображений. М.: Наука, 1982. 288 с.

13. Atiyah M.F. Convexity and commuting Hamiltonians// Bull. Lond. Math. Soc. 1982. V. 14. P. 1-15.

14. Atiyah M.F. Angular momentum, convex polyhedra and algebraic geometry// Proc. of the Edinburgh Math. Soc. 1983. V. 26. P. 121-138.

15. AUDIN M. The Topology of Torus Actions on Symplectic Manifolds. Progress in Math. 93. Birkhauser: Boston Basel - Berlin. 1991. 181pp.

16. Batyrev V. Quantum cohomology rings of toric manifoldsj/ Journees de Geometrie Algebrique d'Orsay (Juillet 1992), Asterisque 218, Societe Mathematique de France, Paris. 1993. P. 9-34.

17. Batyrev V., Materov E. Toric residues and mirror symmetry// Moscow math, journal. 2002. V. 2. ЛзЗ. P. 435-475.

18. Bochner S. Analytic and meromorphic continuation by means of Green's formula// Ann. Math. 1943. V. 44. P. 652-673.

19. Cox D. The homogeneous coordinate ring of a toric varietyJ/ J. Algebraic Geom. 1995. V. 4. P. 17-50.

20. Cox D. Toric residues}/ Ark. Mat. 1996. V. 34. P. 73-96.

21. Cox D. Recent Developments in Toric geometry// Algebraic Geometry -Santa Cruz 1995. V. 2. J. Kollar, R. Lazarsfeld and D. Morrison, editors. AMS. Providence. RI. 1997. P. 389-436.

22. D em azure M. Sous-groupes algebriques de rang maximum du groupe de Cremona// Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1970. V. 3. P. 507-588.

23. Fulton W. Introduction to Toric Varieties. Princeton U. Press. Princeton, NJ. 1993.

24. Gelfand I.M., Kapranov M.M., Zelevinsky A.V. Discriminants, resultants and multidimensional determinants. Mathematics: Theory &; Applications. Birkhauser Boston Inc., Boston, MA. 1994.

25. Guillemin V. Moment Maps and Combinatorial Invariants of Hamiltonian Tn-spaces. Progress in Math. V. 122. Birkhauser: Boston Basel Berlin. 1994.

26. Guillemin V., Sternberg S. Convexity properties of the moment mapping// Invent. Math. 1982. V. 67. P. 491-513.

27. Khovanskii A. Newton polyhedra and toroidal varieties// Funct. Anal. Appl. 1977. V. 11. P. 289-296.

28. Kemph G., Knudsen F., Mumford D., Saint-Donat B. Toroidal Embeddings I. Lecture Notes in Math. V. 339. Springer-Verlag. Berlin Heidelberg New York. 1973.

29. Leray J. Le calcul differentiel et integral sur une variete analytique complexe// Bull. Soc. Math. France 1959. V. 87. P. 81-180.

30. MARTINELLI E. Alcuni teoremi integrali per le funzioni analitiche di piu variabili complesse// Mem. R. Accad. Ital. 1938. V. 9. P. 269-283.

31. Oda T. Convex Bodies and Algebraic Geometry. Springer-Verlag. Berlin Heidelberg New York. 1988.

32. Passare M., Tsikh A., Yger A. Residue currents of the Bochner-Martinelli type// Publicacions Matematiques. 2000. V. 44. P. 85-117.

33. Poixcare Sur les residues des integrales doubles/ j Acta Math. 1887. V. 9. P. 312-380.

34. Tsikh A. Toric residues// Proceedings of the conference "Nordan"/ Grand Hotel Saltsjobaden, Sweden. April 22-25, 1999

35. Tsikh A. Some kernels in residue theory// Workshop "Singularities in Geometry and Analysis" / St. Marienthal, Uni. Cottbus, Germany. September 24-28, 2002. P. 19.

36. Кытманов А.А. Форма объема для некоторых торических многообразий/ / Тр. межд. конф. "Математические модели и методы их исследования". Красноярск: ИВМ СО РАН. 2001. Т. 2. С. 52-55.

37. Кытманов А.А. Об аналоге ядра Бохнера-Мартинелли для одного тори-ческого многообразия// Сб. научн. тр. "Вопросы математического анализа". Красноярск: КрасГТУ, 2002. Вып. 5. С. 48-53.

38. Кытманов А.А. Об одном интегральном представлении в С5// Сб. научи. тр. " Многомерный комплексный анализ". Красноярск: КрасГУ. 2002. С. 79-89.

39. Кытманов А.А. Об одном классе интегральных представлений в областях пространства С*// Материалы XL международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Математика. Новосибирск: НГУ. 2002. С. 74-75.

40. Кытманов А.А. Об интегральном представлении, связанном с тори-ческим многообразием, которое определяется невыпуклым веером// Тез. , межд. конф. "Многомерный комплексный анализ". Красноярск: КрасГУ. 2002. С. 22-23.

41. Кытманов А.А. Об одном классе интегральных представлений в полиэдрах пространства С// Тез. межд. конф.-школы по геометрии и анализу. Новосибирск: Институт математики СО РАН. 2002. С. 54.

42. Кытманов А.А. Об одном интегральном представлении, ассоциированном с торическим многообразием, заданным с помощью невыпуклого веера// Сб. научн. тр. "Вопросы математического анализа". Красноярск: КрасГТУ. 2003. Вып. 6. С. 124-133.

43. Кытманов А.А. Об аналоге формы Фубини-Штуди для двумерных торических многообразий// Сиб. матем. журн. 2003. Т. 44, № 2. С. 358-371.

44. Кытманов А.А. О ядрах интегральных представлений как усреднениях ядра Коши// Вестник КрасГУ. Сер. физ.-мат. науки. Красноярск, 2003, Вып. 2. С. 3-9.

45. Кытманов А.А. О построении формы объема для торических многообразий/ /Материалы XLI международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Математика. Новосибирск: НГУ. 2003. С. 46-47.