О вычислении кратных интегралов от рациональных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Бураченко, Мария Викторовна

• Бураченко, Мария Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бураченко, Мария Викторовна

Введение

Глава 1. Понижение кратности интеграла алгебраически точной дифференциальной формы с квазиэллиптическим знаменателем

1.1. Основные определения и формулировка результата Циха-Ермолаевой

1.2. Алгоритм

1.2.1. Построение многогранника Ньютона и двойственного ему веера

1.2.2. Простое разбиение веера нормалей

1.2.3. Проверка квазиэллиптичности полинома и условия неравенства его нулю в Rn

1.2.4. Проверка абсолютной сходимости интеграла

1.2.5. Нахождение рациональной первообразной

1.2.6. Основной алгоритм

1.3. Реализация алгоритма и примеры вычислений

Глава 2. Когомологическое приведение рациональных дифференциальных форм

2.1. Теорема Лейнартаса-Южакова

2.2. Некоторые возможности упрощения числителя коэффициента рациональной дифференциальной формы

2.3. Расширенные алгоритмы Бухбергера

118 (f

2.3.1. Основные определения

2.3.2. Алгоритмы Бухбергера

2.3.3. Расширенные алгоритмы Бухбергера

2.3.4. Реализация алгоритмов и примеры вычислений

2.4. Метод когомологического приведения

2.5. Реализация и примеры вычислений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О вычислении кратных интегралов от рациональных функций»

Необходимость в вычислении интегралов от рациональных функций многих переменных возникает в различных областях математики и теоретической физики, в частности, в квантовой теории поля. В конце 50-х годов было обнаружено, что к ним приводятся фейнмановские интегралы [16, 19]. В 80-х годах было замечено, что некоторые интегралы такого типа, а именно интегралы со значениями из поля рациональных чисел, выражают топологические заряды инстантонных полей [15]. В 90-х годах интегралы от рациональных функций, зависящие от параметров, были рассмотрены как обобщения интегрального представления Эйлера для бета-функции [2, 35] в многомерной теории гипергеометрических функций.

Несмотря на то, что асимптотика и характер ветвления интегралов от рациональных функций с параметрами были хорошо изучены в работах [3, 13, 16], для многомерного случая до недавнего времени были вычислены лишь единичные примеры интегралов такого вида [6, 14].

Один из способов вычисления интегралов от рациональных функций в одномерном случае заключается в нахождении первообразной для подынтегральной функции и последующем применении формулы Ньютона-Лейбница. Для вычисления первообразной подынтегральное выражение раскладывается на простейшие дроби, для которых первообразные легко вычисляются и представляют собой рациональную либо трансцендентную функцию.

В многомерном случае, в соответствии с леммой Пуанкаре, для подынтегрального выражения интеграла, рассматриваемого как дифференциальная форма и, всегда существует (п — 1)-форма ср, удовлетворяющая свойству dtp = ш, и называемая первообразной, которая, как и в одномерном случае, раскладывается в сумму рациональной формы (fi и "обобщенного арктангенса-логарифма" ср2■ Таким образом, всякая рациональная n-форма и представляется в виде суммы dipi + d(fi2 — +^2, где форма иi имеет рациональную первообразную (такие дифференциальные формы называются алгебраически точными).

Для алгебраически точных форм понижение кратности интегрирования по Rn, п > 1 производится в классе рациональных форм и достигается несколькими заменами переменных. Причем, каждая такая замена переменных есть переход к другим координатам некоторой компактификации X пространства R", построенной по знаменателю подынтегрального выражения. Дальнейшее вычисление интеграла основано на интерпретации множества Rn в виде цепи интегрирования в этой компактификации и последующем применении формулы Сток-са. Для решения данной задачи оказалось удобно использовать то-рическую компактификацию пространства Мп, так как в этом случае функции перехода от одних локальных координат к другим являются мономами Лорана. Торическое многообразие ассоциируется с веером в пространстве сопряженном с Rn, который представляет собой набор конусов, удовлетворяющих определенным требованиям. Понятие веера и гладкого торического многообразия, ассоциированного с ним, ввел в 1970 г. М. Демазюр. Позже такие многообразия изучались в работах [17, 18] и [24]-[26]. В 1973 г. в работе [37] было впервые рассмотрено торическое многообразие с особенностями, которое в последствии изучалось в монографиях Т. Оды [39] и У. Фултона [34], а также в работе В.И. Данилова [8]. В данных работах торическое многообразие рассматривалось как обобщение афинного пространства и определялось с помощью склейки некоторых афинных многообразий Ua (координатных окрестностей), каждое из которых является множеством смежных классов точек пространства С" = по некоторому отношению эквивалентности. Однако, в 1991 году М. Оден [27] предложила интерпретировать торическое многообразие в виде факторпростран-ства некоторого открытого (по Зарисскому) подмножества афинного пространства по действию некоторой алгебраической группы. Данный подход к построению торических многообразий был успешно применен в работах В.В. Батырева и Д. Кокса [28]-[30] и [32]. В контексте данного подхода торическое многообразие выступает как обобщение проективного пространства.

Применяя торические компактификации пространства Rn, А.К. Цих [21] получил формулу понижения кратности интеграла для алгебраически точной подынтегральной формы с эллиптическим знаменателем. Его метод был обобщен в совместной работе Т.О. Ермолаевой и А.К. Циха [10] на случай квазиэллиптического знаменателя.

Понижение кратности интегрирования для форм, которые не являются алгебраически точными, осуществляется только в классе алгебраических форм, и для его реализации используются многомерные вычеты [1, 7, 13, 20]. Например, в работах [20, 23] рассматривались случаи, когда знаменатель Q раскладывается в произведение линейных множителей над полем С, а в работе О.Н. Жданова [11] этот результат был обобщен на случай п переменных. Важную роль при решении данной задачи играет приведение интеграла к более простому виду. Одним из способов такого упрощения является понижение порядка полюсов подынтегральной формы, которое достигается заменой исходной формы на когомологичную ей форму более простого вида. Теорема Лейнартаса-Южакова [1] позволяет уменьшить количество полярных дивизоров знаменателя формы до размерности пространства, а их порядок понизить до единицы.

Однако, данные методы дают лишь теоретическую возможность для вычисления интегралов от рациональных функций, и существенной проблемой является недостаточная конструктивность самих методов. Таким образом, возникает потребность уточнить и дополнить имеющиеся методы, с тем, чтобы преобразовать их к виду, допускающему алгоритмизацию и компьютерную реализацию.

Цель исследования состоит в разработке алгоритмов вычисления кратных интегралов от рациональных функций и реализации этих алгоритмов в системе компьютерной алгебры Maple 9. Задачи исследования были следующие: разработать и реализовать алгоритм понижения кратности интеграла по пространству Мп от алгебраически точной рациональной дифференциальной формы с квазиэллиптическим знаменателем; реализовать алгоритм цилиндрического алгебраического разбиения; разработать и реализовать алгоритм простого разбиения конического полиэдра; разработать и реализовать алгоритм когомологического приведения рациональной дифференциальной формы; доказать необходимые предложения, касающиеся упрощения рациональных дифференциальных форм; реализовать расширенные алгоритмы Бухбергера построения нормальной формы и базиса Гребнера.

При разработке метода понижения кратности интеграла от рациональной функции использовались формулы А.К. Циха и Т.О. Ермолаевой [10]. Проверка квазиэллиптичности знаменателя, осуществляемая в ходе этого метода, потребовала привлечения алгоритма цилиндрического алгебраического разбиения, предложенного в 1973 году Г. Коллинзом [31], сделавшим эффективным вычислительно чрезвычайно трудоемкий алгоритм Тарского 1948 года. При описании торической компактификации пространства Rn существенную роль играет построение многогранника Ньютона, соответствующего знаменателю подынтегрального выражения, и двойственного ему веера. Эти построения осуществляются при помощи алгоритма Моцкииа-Бургера [22] и его реализации, выполненной П. Буровским [4]. Алгоритм когомологического приведения разработан на основе теоремы Лейнартаса-Южакова [1] и, существенным образом, использует теорию базисов Гребнера, разработанную Б. Бухбергером [5].

Перейдем к непосредственному описанию содержания диссертации.

В главе 1 представляется метод понижения кратности интеграла

1 = f 7Tf\dx = [ о!'1.^ • • • *°п> С0-1)

J Q{X) J Q{xxn)

IR." R.n от рациональной алгебраически точной дифференциальной формы с квазиэллиптическим знаменателем, приводится алгоритм, и описывается его реализация в системе компьютерной алгебры Maple 9.

Первый раздел главы 1 (нумеруется 1.1) является вводным. В нем, следуя работам А.К. Циха и Т.О. Ермолаевой [9, 10, 12], приводятся некоторые определения и условные обозначения, необходимые для описания формулы понижения кратности интеграла. Помимо классических определений многогранника Ньютона, конуса, конического полиэдра и алгебраически точной дифференциальной формы, вводятся новые, а именно, определение квазиэллиптического полинома, обобщающее понятие эллиптического полинома, а также определение рациональной первообразной, не имеющей полюса на бесконечности, для рациональной дифференциальной формы. Далее в разделе описывается способ сопоставления знаменателю подынтегрального выражения из интеграла (0.1), точнее, его многограннику Ньютона Д, торической компактификации пространства Мп и формулируется теорема из [10], обеспечивающая возможность понижения кратности интеграла вида 8

0.1), в случае, когда подынтегральное выражение является алгебраически точной дифференциальной формой, знаменатель которой ква-зиэллиптичен и не обращается в нуль на Мп, а интеграл сходится абсолютно.

Более подробно, будем рассматривать интегралы вида (0.1), где Р (х) и Q (х) - полиномы с комплексными коэффициентами. Пусть полином Q = Q(x) = 52 с<*яа = X) Саъ.,апха1 • • , где под ai,.,a„)eN™

N понимается множество целых неотрицательных чисел. Сопоставим ему многогранник Ньютона А = А (Q). Напомним, что многогранником Ньютона полинома Q (х) называется выпуклая оболочка показателей мономов, входящих в этот полином с ненулевыми коэффициентами. Срезкой Qv полинома Q в направлении ковектора v £ Шп* (здесь Шп* означает сопряженное пространство к Rn) будем называть полином Qv = саХа, где Av = IweA : (w,v) = min (u,v) > - грань A абД" I J в направлении v.

Определение 0.1. Полином Q называется квазиэллиптическим, если для любого ненулевого ковектора v € Жп* срезка Qv не обращается в нуль в торе (R\ {0})п.

Далее будем считать, что знаменатель подынтегрального выражения Q в интеграле (0.1) является квазиэллиптическим полиномом и не обращается в нуль на ]Rn.

Обозначим символом Ед веер, двойственный многограннику А, а Ед - простое подразбиение веера Ед. Пусть v1,., vd - образующие Ед (d - число гиперграней многогранника А), а vd+1,. ,vd+r - векторы, добавленные в результате простого подразбиения.

Каждому вектору vk, 1 < k < d ставится в соответствие матрица Си = Ck^kn-ik = (vkl,.,vkn~\vk), столбцами которой служат векторы vkl, .,vkn~l, порождающие вместе с vk n-мерный симплициаль-ный конус в Ед. С каждой матрицей С к свяжем биномиальную замену переменных х = уСк, которая в терминах координат запишется так: vfcl vk xi — Ul • ■ • Уп-1 Уп 5 ^ = ' • • ' П'

На подынтегральное выражение в (0.1) будем смотреть как на дифференциальную форму, и записывать ее в виде

LJ=^1,'",Xn\dx1A.Adxn. • (0.2)

Ц/ (^1, ., хп)

Дифференциальная форма (0.2) называется алгебраически точной, если найдется рациональная (п — 1)-форма ср, дифференциал dip которой равен uj. Форму </?, удовлетворяющую такому условию, назовем рациональной первообразной для формы и).

Будем говорить, что форма ip не имеет полюса на бесконечности, если для каждого 1 < k < d форма (р (уСк) не имеет полюса на гиперплоскости уп = 0.

Введем обозначения: |i>fc| = + . +

2/ь.)Ы)6К?1-1:2/1 1 -.-PL I 1

В указанных обозначениях справедлива следующая теорема из [10].

Теорема 0.1. Пусть Q - квазиэллиптический полином, не обращающийся в нуль на Шп, и интеграл (0.1) абсолютно сходится. Если рациональная первообразная <р подынтегральной формы (0.2) не имеет полюса на бесконечности, то для интеграла (0.1) верна формула

I = (-1)" £ 3* ( [ - [ )[v (!/с*)] L=o, (0.3) k— 1 \J G+ JG—J где коэффициенты Sk принимают значения 0 или ±2 по формуле Sk = l + (-l)H).detCfc.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Бураченко, Мария Викторовна

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Разработан алгоритм понижения кратности интеграла по Мп от алгебраически точной рациональной дифференциальной формы с квазиэллиптическим знаменателем и получена его реализация в системе компьютерной алгебры Maple для случаев интегрирования по Е2 и К3.

2. Реализован алгоритм цилиндрического алгебраического разбиения в системе компьютерной алгебры Maple.

3. Разработан алгоритм простого разбиения конического полиэдра и получена его реализация в системе компьютерной алгебры Maple.

4. Разработан алгоритм когомологического приведения рациональной дифференциальной формы и получена его реализация в системе компьютерной алгебры Maple.

5. Доказаны необходимые предложения, касающиеся упрощения рациональных дифференциальных форм.

6. Реализованы расширенные алгоритмы Бухбергера построения нормальной формы и базиса Гребнера в системе компьютерной алгебры Maple.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бураченко, Мария Викторовна, 2005 год

1. Айзенберг Л. А., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука, 1979.

2. Алякринский А.А., Цих А.К. Интегрирование некоторых рациональных функций по Еп // Комплексный анализ и дифференциальные уравнения. Краснояр. ун-т. Красноярск, 1996. С. 3-15.

3. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Монодромия и асимптотика интегралов. М.: Наука, 1984.

4. Буровский П. А. Алгоритм Моцкина-Бургера и вычисление выпуклых оболочек точек п -мерного пространства // Вестник КГУ / Серия физ.-мат. науки. 2005. №1. С. 85-92.

5. Бухбергер Б. Базисы Гребнера. Алгоритмический метод в теории полиномиальных интегралов / В кн. Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. Ред. Б. Бухбергер, Дж. Коллинз, P. JIooc. М.: Мир, 1986. С. 331-372.

6. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: ГИФМЛ, 1963.

7. Гриффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. В 2-х т. М.: Мир, 1982.

8. Данилов В.И. Геометрия торических многообразий // УМН. 1978. Т. 33. С. 85-134.

9. Ермолаева Т.О. Некоторые примеры вычисления кратных интегралов рациональных функций с помощью торических компактификаций // Комплексный анализ и дифференциальные уравнения. Краснояр. ун-т. Красноярск, 1996. С. 68-78.

10. Кочеткова Т.О. Вычисление интегралов некоторых рациональных функций с помощью торических компактификаций. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. На правах рукописи. Красноярск. 1998.

11. JlEPE Ж. Дифференциальное и интегральное исчисление на комплексном аналитическом многообразии. М.: ИЛ, 1961.

12. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981.

13. Сергеев А.Г. Теория твисторов и классические калибровочные поля // Монополи: Топологические и вариационные методы. Сб. статей 1983-1989 г.г. М.: Мир, 1989. С. 492-555.

14. Фам Ф. Введение в топологические исследования особенностей Ландау. М.: Мир, 1967.

15. Хуа Р., Теплиц В. Гомологии и фенмановские интегралы. М.: Мир, 1969.

16. Цих А. К. Многомерные вычеты и их применения. Новосибирск: Наука, 1988.

17. Цих А. К. Интегралы рациональных функций по пространству Еп // ДАН СССР. 1989. Т. 307. ^6. С. 1325-1329.

18. Черников С. Н. Линейные неравенства / С.Н. Черников. М.: Наука, 1968.

19. Южаков А.П. Один класс двойных интегралов, вычисляемых с помощью кратных вычетов // Изв. вузов. Математика. 1986. №9. С. 78-81.119

20. Южаков А.П., Южаков О.И. Двойственные базы гомологии, в торическом многообразии // Комплексный анализ и математическая физика. Краснояр. ун-т. Красноярск, 1998. С. 257-264.

21. Audin М. The Topology of Torus Action on Symplectic Manifolds. Basel Boston Berlin: Birkhauser-Verlag, 1991.

22. Batyrev V. Quantum cohomology rings of toric manifolds // Journees de geometrie algebrique d'Orsay. Asterisque. 1993. V. 218. P. 9-34.

23. Batyrev V. Dual polyhedra and mirror symmetry for Calabi-Yau hypersurfaces in toric varieties // J. Algebraic Geom. 1994. V. 3. P. 493-535.

24. Batyrev V., Cox D. On the Hodge structure of projective hypersurfaces in toric varieties // Duke Math. J. 1994. V. 74. P. 293-338.

25. Collins G.E. Quantifier elimination for real closed fields by cylindrical algebraic decomposition. In Second GI Conf. Automata Theory and Firmal Languages, Kaiserslauten, volume 33 of Lecture Notes Сотр. Sci., pages 134-183. Springer, 1975.

26. Cox D. The homogeneous coordinate ring of a toric variety // J. Algebraic Geom. 1995. V. 4. P. 17-50.

27. Demazure M. Sous-droupes algebriques de rang maximum du groupe de Cremona I j Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1970. V. 3. № 4. P. 507-588.

28. Fulton W. Introduction to Toric Varieties. Princeton: Princeton Univ. Press, 1993.

29. Gelefand I.M., Kapranov M.M., Zelevinsky A.V. Generalized Euler Integrals and A-Hypergeometric Functions // Advances in Math. 1990. V.84. P. 255-271.

30. Jistrand M. Cylindrical Algebraic Decomposition an Introduction. Technical report, Lincoping University, Sweden, 1995.

31. Kempf G., Knudsen F., Mumford D., Saint-Donat B. Toroidal embeddings, I. Lect. Notes Math. № 339. Springer-Verlag, 1973.

32. Mishra B. Algorithmic Algebra. Texts and Monographs in Computer Science. Springer-Verlag, 1991.

33. Oda T. Convex Bodies and Algebraic Geometry. Berlin: Springer-Verlag, 1988.

34. Работы автора по теме диссертации

35. Бураченко М. Компьютерная реализация алгоритма когомологического приведения рациональной дифференциальной формы // Вестник КГУ / Серия ф из .-мат. науки. 2005. №1. С. 81-87.

36. Бураченко М.В. Реализация алгоритма понижения кратности интеграла от рациональной функции с квазиэллиптическим знаменателем // Комплексный анализ и его приложения: Тезисы докладов международной школы-конференции. КубГУ, 2005. С. 19-21.