Последовательные процедуры обнаружения момента разладки случайных процессов авторегрессионного типа с условной неоднородностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Сергеева, Екатерина Евгеньевна

• Сергеева, Екатерина Евгеньевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сергеева, Екатерина Евгеньевна

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

1 Оценка параметров и обнаружение момента разладки процесса А11(1)/А11СН(1)

1.1 Введение

1.2 Постановка задачи обнаружения момента разладки процесса А11(1)/А11СН(1)

1.3 Построение процедуры оценивания авторегрессионного параметра процесса АГ1(1)/АКСН(1)

1.4 Построение процедуры обнаружения момента разладки процесса АЯ(1)/АКСН(1)

1.5 Моделирование процедуры обнаружения момента разладки процесса А11(1)/А11СН(1)

1.6 Выводы

2 Оценка параметров и обнаружение момента разладки процесса АК(р)/АИСН(д)

2.1 Введение

2.2 Постановка задачи обнаружения разладки процесса АЩрУАЫСН^)

2.3 Построение последовательной процедуры оценивания авторегрессионных параметров процесса А11(р)/АКСН(д)

2.4 Асимптотические свойства оценки

2.5 Построение процедуры обнаружения момента разладки процесса AR(p)/ARCH(q)

2.6 Моделирование процедур оценивания и обнаружения момента разладки процесса AR(2)/ARCH(2)

2.7 Выводы

3 Оценка параметров и обнаружение момента разладки процесса GARCH(p,q)

3.1 Введение

3.2 Постановка задачи

3.3 Построение последовательной процедуры оценивания параметров процесса GARCH(p,q)

3.4 Асимптотические свойства оценки

3.5 Построение процедуры обнаружения момента разладки процесса GARCH(p,q)

3.6 Моделирование процедур оценивания и обнаружения разладки процесса GARCH (1,1)

3.7 Моделирование процедур оценивания и обнаружения разладки процесса GARCH(2,2)

3.8 Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Последовательные процедуры обнаружения момента разладки случайных процессов авторегрессионного типа с условной неоднородностью»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы.

Любая деятельность человека, какой бы профессиональный характер она ни носила, состоит в решении постоянно и последовательно возникающих перед ним проблем. Важная особенность прикладного системного анализа состоит в учете различия между проблемами осознанно формализованными (описанными математическими моделями) и слабоструктурированными, излагаемыми в терминах разговорного или описательного профессионального языка [32]. При этом созданы методы постепенного развития, продвижения описания рассматриваемой слабоструктурированной проблемы к доступному в заданных условиях формализованному варианту. Задача системного анализа состоит в представлении мира как мира систем, взаимодействующих между собой, содерщащих в себе меньшие системы, входящие как части в большие системы, каждая из которых непрерывно изменяется и стимулирует к изменению другие системы. Каждая отдельная система отличается от всех других. И системный анализ нацелен не на отыскание общих закономерностей систем, а на решение конкретной проблемы с ее уникальной спецификой.

В диссертационной работе рассматривается проблема обнаружения момента изменения значений параметров процессов авторегрессионного типа с условной неоднородностью, а именно процессов AR/ARCH и GARCH. Проблема обнаружения момента изменения статистических свойств наблюдаемого процесса является одной из классических задач математической статистики и известна в литературе как задача обнаружения разладки. Такие задачи возникают при использовании алгоритмов контроля за состоянием системы управления (например, для обнаружения разладки в датчиках), при обработке информации, получаемой при технической диагностике, при решении задач распознавания образов, при обработке данных измерений. Также обнаружение изменения свойств яв-

ляется способом улучшения адаптивной способности алгоритмов идентификации и управления нестационарных систем.

Развитие науки и техники ставит перед исследователями все новые научные, технологические и сугубо прикладные задачи, о существовании которых невозвожно было даже подумать во время опубликования первых работ по данной тематике. Многие из этих задач можно свести к задаче обнаружения разладки и воспользоваться уже существующим статистическим аппаратом. Однако, процесс развития науки стимулирует появление новых работ в данной области, исследующих всевозможные модификации существующих методов для новых приложений в зависимости от рассмотрения конкретных проблем. Так как в системном анализе под моделью понимается системное отображение оригинала, то можно заметить, что усложняются и сами рассматриваемые модели, которые, в частности, допускают зависимость наблюдений в различные моменты времени [32].

Впервые задача обнаружения изменения вероятностных характеристик случайной последовательности была поставлена Е.С. Пейджем [137] в 1954г. Она решалась в рамках классической теории различения гипотез, в качестве статистики использовался критерий кумулятивных сумм, представляющий собой многократно возобновляемый из нуля последовательный критерий отношения вероятностей А. Вальда.

Класс задач обнаружения моментов изменения является широким. Данные задачи различаются предположениями о модели наблюдаемого процесса, методами и подходами к решению конкретной задачи. Существует два основных метода решения задач обнаружения разладки: методы апостериорного обнаружения по выборке фиксированной длины и последовательные методы обнаружения [57]. При решении задач обработки информации исследуются последовательности наблюдений, полученные в результате эксперимента. В первом случае предполагается, что в последовательности наблюдений в некоторый момент времени произошло из-

менение характеристик и, используя полученные наблюдения, необходимо оценить момент изменения. Обычно в этом случае изучается точность

II II

оценивания относительного момента разладки в схеме серии, предполагая, что отношение момента разладки к длине реализации является величиной постоянной, а объем наблюдений стремится к бесконечности. Для различных моделей наблюдаемых процессов апостериорные методы обнаружения рассматривались, например, Дарховским Б.С., Бродским Б.Е. [5, 6, 7], Basseville и Nikiforov [56], Csorgo и Horvath [74]. Большинство авторов рассматривали такую постановку задачи для последовательности независимых и одномерных случайных величин. В частности Yao [162] оценивал количество моментов изменения среднего значения последовательности независимых нормально-распределенных случайных величин, используя критерий Шварца. Lombard [128] и Mia и Zhao [132] предложили процедуры обнаружения, основанные на ранговой статистике, для нахождения одной или нескольких разладок. Некоторые авторы рассматривали задачу нахождения нескольких моментов разладки для последовательностей с зависимыми величинами. Бродский и Дарховский [65] предложили алгоритм для оценки момента разладки в смешанной последовательности наблюдений.

В последовательных методах обнаружения на каждом шаге гипотеза о наступлении разладки либо принимается, и наблюдения прекращаются, либо отклоняется, и наблюдения продолжаются дальше [57]. Наиболее полно проблема обнаружения разладки исследована для схемы независимых наблюдений, когда в момент разладки изменяется плотность распределения наблюдений. При этом начальная и конечная плотности могут быть известными или неизвестными. Задача обнаружения изменения распределения в последовательности независимых случайных величин рассматривалась многими авторами, например, Дарховский Б.С., Бродский Б.Е. в [7] для решения данной задачи применяют методы скользящего среднего. Работы [35, 38, 129, 144] основаны на алгоритме кумулятивных

сумм, предложенном Пейджем и методе усредненного отношения правдоподобия Гиршика-Рубина-Ширяева [38, 86]. В работах Бассвиль [57], Клигене [21] рассмотрены процедуры обнаружения разладки для случайных процессов с зависимыми значениями.

Системный анализ рассматривает выбор решения проблемы, как стремление реализовать цель [32]. Для формализованных задач проблема выбора состоит в разработке строгой формальной методики нахождения наилучшего в данных условиях (оптимального) решения. В последовательных методах для принятия решения о наличии разладки необходимо накопить определенное количество наблюдений, описываемых новой моделью. Поэтому возможно возникновение запаздывания в обнаружении. С другой стороны, возможна ситуация, когда решение о наличии разладки принимается тогда, когда реально изменение не произошло, то есть имеет место ложная тревога. Показатели качества для процедуры обнаружения разладки случайного процесса были введены и исследованы в работах [38, 39] А.Н. Ширяева. Главная задача, которую необходимо решить в реальном масштабе времени - скорейшее обнаружение скачка. Таким образом, алгоритм обнаружения разладки должен обладать следующими показателями качества:

- малое число ложных тревог. Действительно, хороший алгоритм должен быть нечувствителен к шуму. Так, для эффективности алгоритма требуется большое среднее время между ложными тревогами;

- малое запаздывание в обнаружении. Среднее время запаздывания является важным вероятностным показателем в обнаружении скачка. Это очень важно для того, чтобы определение разладки происходило без задержки.

Одновременное выполнение данных условий невозможно. Чем чувствительнее процедура к возможным изменениям, тем больше вероятность возникновения ложных тревог и наоборот, чем менее чувствителен детектор к шуму, тем больше среднее время запаздывания в обнаруже-

нии [19]. Одной из возможностей оптимизации алгоритма обнаружения является выбор таких значений параметров, при которых среднее время между ложными тревогами не меньше заданной величины, а среднее время запаздывания при этом минимально (минимаксный критерий).

Процедура кумулятивных сумм основана на использовании критерия обобщенного правдоподобия. Алгоритм СиЭиМ заключается в применении последовательной процедуры отношения правдоподобия Валь-да классификации двух простых гипотез, в которой нижний порог задается равным нулю и при достижении логарифмом отношения правдоподобия этого порога процедура классификации возобновляется [57]. Данная процедура впервые была предложена Е.С.Пейджем и впоследствии усовершенствована Д.В.Хинкли [99]. Тестовая статистика типа СШиМ является наиболее часто используемой статистикой для нахождения моментов разладки, о чем свидетельствует большое количество работ [46, 77, 159, 160]. С. Ьогс1еп [129] доказал оптимальность этой процедуры в минимаксном смысле для схемы независимых наблюдений. Там же было показано, что отношение среднего времени запаздывания к логарифму среднего времени между ложными тревогами стремится к константе при стремлении среднего времени между ложными тревогами к бесконечности. Таким образом, алгоритм типа СиБИМ минимизирует запаздывание в обнаружении при заданном среднем времени между ложными тревогами. Однако этот результат не переносится на процессы с зависимыми значениями, - и вопрос об оптимальности процедуры остается открытым. Поэтому обычно в случае зависимых наблюдений выбор параметров процедуры СШиМ производится эвристически.

Выбор структуры модели является ключевым вопросом при исследовании систем в системном анализе. Знание структуры модели необходимо как для аналитического, так и для синтетического методов построения моделей. Таким образом, ключевым воросом в задаче обнаружении разладки является выбор структуры модели и контролируемых параметров.

Для последовательных методов следует различать четыре случая для нахождения параметра модели после изменения [57] :

• параметр после момента разладки является известным - случай редко встречающийся на практике. Этот подход часто используют в качестве отправной точки при определении качества метода обнаружения, ориентированного на более сложные ситуации;

• параметр после момента разладки принимает значения в известном конечном множестве. Это стандартная ситуация для обнаружения разладки, когда известен перечень разладок. В данном контексте представляют интерес многомодельные подходы;

• известна некоторая априорная информация о значениях параметра после момента разладки;

• о параметре после момента разладки нет никакой информации. Тогда можно использовать два подхода: "одномодельные методы", при которых осуществляется поиск значительного отклонения от опорной модели параметра без явного оценивания параметра после момента, или "дву-модельные методы", при которых в каждый момент времени параметры до и после момента разладки должны оцениваться для предполагаемого момента изменения.

Наиболее часто встречается ситуация, когда величина скачка неизвестна. Если начальное значение параметра модели неизвестно, его можно оценить с помощью подходящего адаптивного алгоритма. Таким образом неизвестными остаются только величина скачка (или значение параметра модели после момента изменения) и сам момент скачка.

Классической является постановка задачи определения момента изменения среднего значения в последовательности случайных величин или скачка значений какой - либо другой вероятностной характеристики случайного процесса Х^, происходящего в случайный момент времени 9, называемый моментом разладки. При байессовской постановке задачи, предложенной в [149], предполагается что момент разладки 9 имеет апри-

орное распределение, в то время как само значение в является неизвестным, так как не может наблюдаться непосредственно. При различных предположениях о наблюдаемых моделях данная постановка задачи рассматривалась в работах [68, 70, 91, 111, 146].

При решении задач обработки информации исследователь имеет дело с анализом временных рядов. Статистические тесты для определения структурных единичных изменений в функции тренда временных рядов изучались в работах [48, 51, 71, 141, 143]. В работах [50, 52, 123] решалась задача обнаружения нескольких моментов изменений.

Задачи обнаружения произвольного скачка среднего значения последовательности случайных величин рассматривались многими авторами [95, 96, 100, 107, 127, 161, 165]. Hinkley [100], Yao [161] and Hawkins [96] оценивали разладку в среднем в последовательности независимых случайных величин. Для зависимых наблюдений Bai [53] оценил изменение среднего в стационарном линейном процессе с короткой памятью. Horvath и Kokoszka [106] рассмотрели задачу обнаружения разладки в последовательности наблюдений с большой степенью зависимости. Kokoszka и Leipus [113] оценили момент разладки в ARCH модели. Рассматриваемые модели имеют ограниченную дисперсию. Однако многие ряды имеют распределение с медленно убывающим хвостом по сравнению с нормальным распределением. В таких случаях более подходящими являются модели с бесконечной вариацией. Han и Tian [95] использовали метод усечения для нахождения оценки момента разладки для зависимых наблюдений, имеющих маргинальное распределение с медленно убывающим хвостом. Однако, усеченная последовательность в данной работе включает зависимость от неизвестного индекса маргинального распределения. И, более того, отсечение всех наблюдений с одинаковыми значениями может привести к информационным потерям. Ling [127] предложил взвешенную оценку наименьшего отклонения для моделей AR с бесконечной дисперсией. Основная идея взвешенного метода оценки наименьшего отклонения

состоит в нормировке и уменьшения влияния чрезмерно больших наблюдений. Аналогичная идея уменьшения веса чрезмерно больших значений величин рассматривали Horvath и Liese [107] для оценки момента разладки процесса ARCH с медленно убывающим хвостом. В [165] предлагается взвешенный метод наименьших квадратов для обнаружения момента разладки в среднем процесса AR(p) с бесконечной дисперсией, полученные результаты не зависят от неизвестного хвостового индекса процесса в отличие от работы [95].

К настоящему времени разработан также ряд методов обнаружения моментов разладки случайных процессов с зависимыми значениями. Часто в качестве моделей наблюдаемых процессов используются процессы с условной неоднородностью, которые позволяют при небольшом числе параметров хорошо аппроксимировать корреляционную функцию. Большое количество работ [49, 74, 101, 103, 104, 109, 118] посвящено решению задачи обнаружения момента разладки в регрессионных моделях, имеющих линейную структуру. Для таких моделей структурные изменения предлагалось искать в условном математическом ожидании и дисперсии. В работе [142] решалась задача обнаружения момента изменения среднего гауссовского авторегрессионного процесса с известным порядком. Для построения решающей процедуры использовалась оценка максимального правдоподобия. Bai [54] обобщил результаты, полученные Picard для обнаружения изменения среднего значения процесса, имеющего линейную структуру. Он предложил использовать процедуру, основанную на взвешенной эмпирической функции распределения. Andrews и др. [47] рассматривали оптимальные процедуры для нормальной линейной модели с известной дисперсией. В работе [92] рассматривалась задача обнаружения момента разладки в модели логистической регрессии. Проблема обнаружения момента разладки в экспоненциальных и кусочно-постоянных моделях регрессии рисков рассматривась многими авторами [43, 85, 88, 157]. Goodman и др.[87] предложили тестовую статистику, ос-

нованную на статистике Вальда, для определения нескольких моментов разладки в кусочно - линейной модели регрессии рисков. В своей работе авторы предполагали, что изменение параметров происходит только в основной функции рисков, а регрессионные параметры являются постоянными. В работе [79] была рассмотрена экспоненциальная регрессионная модель и была предложена тестовая статистика, основанная на критерии отношения правдоподобия, для определения момента изменения значений, как параметров функции рисков, так и регрессионных параметров.

Большое количество методов нахождения момента изменения параметров процесса предложено для моделей, имеющих один момент разладки [69, 79, 147, 154, 165]. Задача нахождения моментов разладки в процессах, имеющих несколько моментов изменения параметров, также рассматривалась многими авторами [125, 136, 138, 150].

В классе линейных систем большое внимание уделяется статистическому анализу процессов авторегрессии, скользящего среднего и смешанным процессам авторегрессии - скользящего среднего. Особый интерес для исследований представляют "неклассические" задачи обнаружения изменения свойств многомерных зависимых последовательностей типа авторегрессии - скользящего среднего. Модели AR, ARCH и GARCH, которые являются процессами с сильно зависимыми значениями, позволяют адекватно описывать многие явления. Такие модели являются наиболее важными и часто используемыми при обработке информации в задачах последовательного анализа данных, имеющих эконометрическую направленность, а именно при управление финансовыми рисками, так как пренебрежение определением структурных изменений может приводить к финансовым потерям.

Задачи построения процедур обнаружения разладки процессов с условной неоднородностью рассматривались в работах [59, 98, 105, 164] и др. Так в работе [98] Е. Hillebrand предлагает алгоритм оценивания, основанный на функции логарифмического правдоподобия, с использо-

ванием ненаблюдаемого процесса условной вариации. Также ему удалось установить, что если модель GARCH оценивается, опираясь на данные, которые содержат точки переключения в параметрах условной вариации, то сумма оцененных параметров авторегрессионной части сходится к единице. Davies и др. [76] для обнаружения изменения используют обобщенное отношение правдоподобия, которое приводит к квадратичной форме. В результате их метод определяет изменение, но не дает информации о том, какая компонента из оцениваемых параметров вектора изменилась. Gombey и Serban в [90] используют эффективный вектор вклада в последовательной процедуре, когда необходимо определить изменение параметра, если начальное значение задано, а остальные компоненты являются мешающими параметрами. Работа Е.Gombey [89] посвящена апостериорному методу обнаружения разладки, когда полностью доступна последовательность наблюдений и не определены начальные параметры, однако необходимо оценивать все параметры модели. Для обнаружения разладки автор использует функцию log- правдоподобия и вектор эффективного вклада и предлагает три процедуры, каждая из которых использует свое критическое значение.

В настоящее время задача построения процедур обнаружения моментов разладки для процессов типа AR/ARCH и GARCH остается актуальной, о чем свидетельствует большое количество работ в этой области.

Так в работе Z.He и M.Maheu [97] предложена процедура обнаружения любого числа разладок процесса GARCH (1,1) с неизвестными параметрами. Предложенный в работе алгоритм основан на использовании алгоритма частотной фильтрации Монте-Карло и позволяет численно находить оценки параметров процесса и моменты их изменения. В работе Habibi [93] изучалась проблема обнаружения среднего значения процесса GARCH(1,1). Процесс предполагался стационарным, параметры процесса неизвестными. Для оценивания момента разладки применялся взвешенн-ный метод наименьших квадратов. Изучалось асимптотическое поведе-

ние оценки. B.Cheng и Y.Hong [67]предложили процедуру, позволяющую обнаруживать как резкие, так и плавные изменения процесса G ARCH. Предлагаемая процедура основана на оценивании момента разладки по методу квазимаксимального правдоподобия и не требует априорной информации о типе разладки, в частности не требуется знания о том резкое ли изменение произошло или нет, когда и сколько было разладок. Свойства полученной оценки изучались в асимптотике.

Во всех рассмотренных процедурах обнаружения не рассматривалась задача нахождения характеристик процедур обнаружения, например вероятностей ложной тревоги и ложного спокойствия.

Во многих практических приложениях задача обнаружения момента разладки случайных процессов оказывается тесно связана с задачей оценивания параметров этих процессов. Для оценки неизвестных параметров процессов авторегрессионного типа применяются различные модификации метода наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия, стохастической аппроксимации и робастные методы оценки. Свойства оценок, получаемых при использовании вышеперечисленных методов, изучаются в асимптотике, при неограниченном увеличении объема наблюдений [29]. Данный подход позволяет установить скорость сходимости оценок к истинным значениям параметров, а также найти предельное асимптотическое распределение оценок. Однако на практике, время наблюдения системы всегда конечно, что не позволяет вносить суждения о качестве таких оценок. Одну из возможностей нахождения оценок с гарантированным качеством дает подход с позиции последовательного анализа, который предполагает специальный выбор момента прекращения наблюдений с помощью некоторого функционала от наблюдаемого процесса. Таким образом, последовательный план оценивания определяется парой величин - моментом прекращения наблюдений и оценкой, вычисляемой в этот момент. Впервые такие оценки были предложены Новиковым [30] для оценивания параметра скалярного диффузионного процесса. С

позиции последовательного анализа достаточно хорошо изучена проблема оценивания параметров стохастических динамических систем как с дискретным [3, 17, 23], так и с непрерывным [24, 27, 30] временем в случае полностью наблюдаемых процессов. Для стационарных процессов авторегрессии диффузионного типа построены и исследованы последовательные планы оценивания неизвестных параметров, обладающие рядом свойств, присущих оценкам, полученным с помощью рассмотренных выше асимптотических методов, такими как сильная состоятельность, асимптотическая нормальность [3, 17, 23, 24]. Кроме того в ряде случаев оценки обладают дополнительным свойством несмещенности [3, 17, 30], принципиально недостижимым для других оценок. Однако основное преимущество последовательных оценок параметров динамических систем, отличающее их от любых других оценок, состоит в возможности производить оценивание с заданным качеством в том или ином смысле, по конечной реализации процесса [3, 30, 33].

Задача гарантированного оценивания параметров процесса авторегрессии по неполным наблюдениям изучалась в [14, 15, 16, 28, 34, 41] и др.

В последнее время широкое распространение получило использование нелинейных моделей, что связано с необходимостью найти объяснение ряда феноменов финансовой статистики и экономики вообще, которое нельзя объяснить в рамках линейных моделей. Одной из них является авторегрессионная модель условной неоднородности (ARCH), использование которой дает объяснение таких явлений в поведении финансовых индексов, как "тяжелые хвосты" , "кластеризация" и др. Успех такой модели породил большое количество обобщений, преследующих цель объяснить и другие эффекты, обнаруживаемые методами статистического анализа.

Таким образом, актуальной является задача построения процедур обнаружения моментов разладки процессов с условной неоднородностью, в частности процессов AR/ARCH и GARCH. При этом особенно важной

является проблема определения качества этих процедур в неасимптотической постановке задачи, а также возможность теоретического исследования основных характеристик. Представляет интерес разработка алгоритмов, обеспечивающих заданную вероятность принятия верного решения по конечному объему выборки.

Целями настоящей работы являются:

• построение последовательных процедур оценивания неизвестных параметров процессов AR/ARCH и GARCH с заданной среднеквадратиче-ской точностью;

• построение последовательных процедур обнаружения момента разладки процесов AR/ARCH и GARCH, обеспечивающих заданные вероятности ложной тревоги и ложного спокойствия;

• проведение численного моделирования, с целью в результате обработки информации и анализа проведенных экспериментов подтвердить работоспособность построенных процедур.

В рамках поставленных целей были поставлены и решены следующие задачи:

• формализация и решение задачи построения последовательной процедуры гарантированного оценивания неизвестных авторегрессионных параметров процесса AR(p)/ARCH(q) в предположении, что все параметры процессов являются неизвестными;

• построение последовательной процедуры обнаружения момента изменения параметров процесса AR(p)/ARCH(q) и определение характеристик процедуры - вероятностей ложной тревоги и ложного спокойствия;

• формализация и решение задачи построения последовательной процедуры гарантированного оценивания неизвестных параметров процесса GARCH(p,q);

• построение последовательной процедуры обнаружения момента изменения параметров процесса GARCH(p,q) и определение вероятностей ложной тревоги и ложного спокойствия для данной процедуры;

• исследование статистических свойств построенных оценок, таких как среднеквадратическая точность оценки и асимптотическое распределение отклонения оценки от истинного значения параметров;

• доказательство работоспособности разработанных процедур посредством обработки информации, полученной в результате вычислительных экспериментов.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались методы системного анализа, теории управления, теории вероятностей, теории случайных процессов, теории аналитических функций, теории матриц, методы обработки информации и имитационного моделирования.

Научная новизна. Научная новизна работы заключается в следующем:

• разработана последовательная процедура гарантированного оценивания неизвестных авторегрессионных параметров процесса А11(р)/А11СН(я), основанная на модифицированном взвешенном методе наименьших квадратов со специальным образом подобранными весами, в предположении, что все параметры процесса являются неизвестными. Предложенная процедура отличается от известных тем, что позволяет строить оценки неизвестных авторегрессионных параметров процесса А11(р)/А11СН^) с любой заданной среднеквадратической точностью;

• построена процедура обнаружения момента изменения авторегрессионных параметров процесса АК(р)/АЫСН^). Предложенная процедура отличается от известных тем, что решает задачу обнаружения в предположении, что все параметры процесса предполагаются неизвестными как до, так и после момента разладки. Получены формулы для расчета верхних границ характеристик процедуры - вероятностей ложной тревоги и ложного спокойствия. Построенная процедура позволяет обеспечивать заданные вероятности ложной тревоги и ложного спокойствия, что не удается обеспечить для известных процедур обнаружения;

• разработана последовательная процедура гарантированного оценивания неизвестных параметров процесса САЫСЩр^), основанная на модифицированном взвешенном методе наименьших квадратов со специальным образом подобранными весами. Предложенная процедура отличается от известных тем, что позволяет строить оценки неизвестных параметров процесса САЫСН(р^) с любой заданной среднеквадратической точностью;

• построена процедура обнаружения момента изменения параметров процесса СА11СН(р,д). Предложенная процедура отличается от известных тем, что позволяет обеспечивать заданную вероятность принятия верного решения, что не удается обеспечить для известных процедур обнаружения. Получены формулы для расчета верхних границ характеристик процедуры - вероятностей ложной тревоги и ложного спокойствия;

• разработан комплекс проблемно-ориентированных программ, реализующий методы обработки информации, для демонстрации работоспособности предложенных в работе процедур.

Теоретическая значимость диссертационного исследования состоит в том, что впервые разработаны процедуры обнаружения момента разладки процессов с условной неоднородностью, а именно АК/АЫСН и САЫСН, в предположении, что параметры рассматриваемых процессов являются неизвестными как до, так и после момента разладки. Построенные процедуры позволяют таким образом выбирать параметры процедуры, чтобы обеспечивать заданные вероятности ложной тревоги и ложного спокойствия, что не удается обеспечить для известных процедур обнаружения.

Практическая ценность. Полученные в работе результаты могут применяться при обработке информации в таких областях, как геофизика, медицинская и техническая диагностика, а также при управлении технологическими процессами и при анализе сигналов. Рассматриваемые в работе процессы А11(р)/АКСН(д) и САКСН(р^) являются наиболее ча-

сто используемыми для описания многих экономических явлений. Поэтому полученные в работе результаты можно назвать особо важными для задач, имеющих эконометрическую направленность, таких как обработка информации, получаемой на рынке инвестиций, управление финансовыми рисками и формирование портфеля инвестиций.

Достоверность полученных результатов. Все полученные в диссертации результаты имеют строгое математическое доказательство. Качество построенных процедур подтверждено проведенным имитационным моделированием.

Положения, выносимые на защиту.

1. Процедура последовательного гарантированного оценивания неизвестных авторегрессионных параметров процесса АЫ(р)/АГ1СН(д), гарантирующая заданную среднеквадратическую точность получаемых оценок.

2. Процедура обнаружения момента изменения параметров процесса АГ1(р)/А11СН^), позволяющая обеспечивать заданные значения вероятностей ложной тревоги и ложного спокойствия, задавая параметры процедуры соответствующим образом.

3. Процедура последовательного гарантированного оценивания неизвестных параметров процесса САЫСН(р^), гарантирующая заданную среднеквадратическую точность получаемых оценок.

4. Процедура обнаружения момента изменения параметров процесса САКСН(р^), позволяющая обеспечивать заданные значения вероятностей ложной тревоги и ложного спокойствия, задавая параметры процедуры соответствующим образом.

Апробация работы. Работа выполнялась в рамках нучно - исследовательской работы при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант РФФИ № 09-01-00172, в рамках ФЦП "Исследования и разработки по приоритетным направлениям научно-технологического комплекса России на 2007-2013 годы", ГК

№07.514.11.4069.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах кафедры высшей математики и математического моделирования ФПМК ТГУ, а также на следующих конференциях:

1. X Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, Сочи - Дагомыс, 2009 г.;

2. XII Международный симпозиум по непараметрическим методам в кибернетике и системному анализу, г. Красноярск, 2010г.;

3. "The 6th international conference on electrical and control technologies г. Каунас, Литва, 2011г.;

4. "The 11th international conference on pattern recognition and information processing г. Минск, Беларуссия, 2011г.;

5. XII Всероссийский Симпозиум по прикладной и промышленной математике, Казань, 2011г.

Публикации Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в 5 печатных работах, в том числе 2 в журналах, рекомендованных списком ВАК.

1. Сергеева Е.Е. Гарантированная оценка параметров и обнаружение момента разладки GARCH(1,1) - процесса / Е.Е. Сергеева, С.Э. Воробей-чиков //Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника, информатика. -2011. - № 3. - С. 31-42.

2. Буркатовская Ю.Б. Гарантированная оценка параметров и обнаружение момента разладки GARCH(p,q) - процесса / Ю.Б. Буркатовская, Е.Е. Сергеева, С.Э. Воробейников //Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника, информатика. -2012. - № 1. - С. 48-57.

3. Буркатовская Ю.Б. Обнаружение скачка параметров процесса ARCH(l)/ Ю.Б. Буркатовская, С.Э. Воробейчиков, Е.Е. Сергеева //Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2010 - Т. 17, Вып. 1. - С. 96-97.

4. Буркатовская Ю. Б. Гарантированная оценка авторегрессионных параметров процесса AR(p)/ARCH(q)/ Ю.Б. Буркатовская, С.Э. Воробейников, Е.Е. Сергеева Е.Е. // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2011 - Т. 18, Вып. 3 - С. 481-482.

5. Sergeeva К. An efficient algorithm for detecting a change point of autoregressive parameters of AR(p)/ARCH(q) process / K. Sergeeva, S. Vorobejchikov // Proceedings of the 11th International Conference of Pattern Recognition and Information Processing - Minsk, Belarus, May 18-20, 2011. -Belarus: Minsk. PRIP'2011. p.156-159.

Личный вклад. Основные научные результаты, выносимые на защиту и составляющие основное содержание диссертации, получены автором самостоятельно. Постановка задачи для каждого раздела была выполнена совместно с научным руководителем. В публикации [9] асимптотические результаты для построенной оценки неизвестных параметров процесса GARCH(p,q) были получены совместно с кандидатом физико - математических наук, доцентом кафедры вычислительной техники томского политехнического университета Ю.Б. Буркатовской. Численные расчеты выполнялись автором самостоятельно и программа имитационного моделирования разработана автором единолично.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Полный объем диссертации составляет 153 страницы, 35 рисунков, 18 таблиц, библиографический список включает 165 наименований.

Краткое содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность диссертационной работы, определяются цели и задачи исследования, формулируются основные положения, выносимые на защиту, показывается научная новизна, теоретическая и практическая значимость полученных результатов.

В главе 1 рассматривается задача оценивания неизвестного авторегрессионного параметра процесса AR(1)/ARCH(1) и задача обнаружения

момента его изменения. Рассмотрение данной задачи выделено в отдельную главу, так как исследуемый процесс записывается в скалярном виде, что позволяет получить желаемый результат при менее жестких требованиях, налагаемых на процесс. При исследовании асимптотических свойств получаемой оценки используется подход, отличающийся от подхода для процесса А11(р)/АКСН(д). Предложена последовательная процедура оценивания, основанная на модифицированном взвешенном методе наименьших квадратов со специальным образом подобранными весами, гарантирующая заданную среднеквадратическую точность вычисляемой оценки. Предложена процедура обнаружения момента изменения авторегрессионного параметра процесса АГ1(1)/А11СН(1), в предположении что все параметры процесса являются неизвестными как до, так и после момента разладки. Благодаря использованию оценок с гарантированным качеством для построения процедуры обнаружения найдены верхние границы для характеристик процедуры - вероятностей ложной тревоги и ложного спокойствия. Показано, что посредством выбора параметров процедуры можно обеспечить заданные значения данных характеристик. Приведены результаты численного моделирования, демонстрирующие работоспособность предложенных процедур.

В главе 2 ставится задача построения оценок неизвестных авторегрессионных параметров процесса АК(р)/А11СН(д) в предположении, что все параметры процесса являются неизвестными и задача обнаружения момента их изменения. Построена последовательная процедура оценивания неизвестных авторегрессионных параметров, основанная на модифицированном взвешенном методе наименьших квадратов со специальным образом подобранными весами, гарантирующая заданную среднеквадратическую точность вычисляемой оценки. Показано, что выбирая параметр Н процедуры соответствующим образом можно обеспечить сколь угодно малое отклонение построенной оценки от ее истинного значения. Предложена процедура обнаружения момента разладки процесса АК(р)/АГ1СН(д)

в предположении, что все параметры процесса являются неизвестными как до, так и после момента разладки. Благодаря использованию для построения процедуры обнаружения оценок с гарантированным качеством найдены верхние границы для характеристик процедуры - вероятностей ложной тревоги и ложного спокойствия. Показано, что посредством выбора параметров процедуры можно обеспечить заданные значения данных характеристик. Приведены результаты численного моделирования, демонстрирующие работоспособность предложенных процедур. Произведено сравнение результатов работы процедуры обнаружения разладки процесса AR(2)/ARCH(2) с неизвестными параметрами с известной процедурой обнаружения разладки данного процесса с известными параметрами.

В главе 3 рассматривается задача построения последовательной процедуры оценивания неизвестных параметров процесса GARCH(p,q) и обнаружения момента их изменения. Предложена последовательная процедура оценивания, основанная на модифицированном взвешенном методе наименьших квадратов со специальным образом подобранными весами, гарантирующая заданную среднеквадратическую точность построенной оценки. Предложена процедура обнаружения момента разладки процесса GARCH(p,q) . Благодаря использованию оценок с гарантированным качеством для построения процедуры обнаружения найдены верхние границы для характеристик процедуры - вероятностей ложной тревоги и ложного спокойствия. Приведены результаты численного моделирования, демонстрирующие работоспособность предложенных процедур. Произведено сравнение результатов работы процедуры обнаружения разладки процесса GARCH (1,1) с неизвестными параметрами с известной процедурой обнаружения разладки данного процесса с известными параметрами.

В заключении приведены основные результаты диссертационного исследования. В приложении представлен акт о внедрении результатов данной диссертационной работы в учебный процесс.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Сергеева, Екатерина Евгеньевна

3.8 Выводы

Сформулируем основные результаты данной главы.

1. Предложена последовательная процедура оценивания неизвестных параметров процесса СА11СН(р,я), основания на модифицированном взвешенном методе наименьших квадратов. Доказано, что построенные оценки обладают гарантированным качеством в среднеквадратическом смысле и могут быть построены за конечное время.

2. Построена последовательная процедура обнаружения момента разладки процесса САЛСН(р^), в предположении, что часть параметров процесса является неизвестной как до, так и после момента разладки. Предложенная процедура основана на использовании оценок неизвестных параметров процесса с гарантированным качеством.

3. Найдены формулы для расчета верхних границ характеристик построенной процедуры - вероятностей ложной тревоги и ложного спокойствия.

4. Приведены результаты численного моделирования для проверки работоспособности предложенных процедур. По результатам численных экспериментов можно сделать следующие выводы:

- точность оценки неизвестных параметров процесса зависит от выбора значения параметра Н процедуры оценивания. С ростом параметра уменьшается среднеквадратическая ошибка оценивания и построенный вектор оценок получается более точным, однако, при этом увеличивается средняя длина интервала оценивания;

- выбор величины 6 влияет на скорость определения момента разладки. С уменьшением параметра процедуры 6 увеличивается вероятность ложной тревоги и уменьшается интервал между ложными тревогами, при этом уменьшается вероятность ложного спокойствия и среднее время запаздывания в обнаружении;

- выбор параметра Н также влияет на значения характеристик процедуры обнаружения разладки. С его ростом увеличивается точность оценивания параметров, что приводит к тому, что даже при уменьшении 5 уменьшается вероятность запаздывания и сокращается время запаздывания;

- во всех случаях полученные практические вероятностные характеристики процедуры обнаружения не превышают теоретических, что позволяет сделать вывод о возможности их применения.

5. произведено сравнение построенной процедуры обнаружения разладки процесса GARCH (1,1) с неизвестными до и после момента разладки параметрами с процедурой обнаружения разладки данного процесса с известными параметрами.

Во всех случаях полученные практические вероятностные характеристики процедуры обнаружения не превышают теоретических, что позволяет сделать вывод о возможности их применения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе представлены результаты теории неасимптотического оценивания параметров процессов авторегрессионного типа с условной неоднородностью. Рассмотрены задачи построения процедур оценивания неизвестных параметров процессов AR(p)/ARCH(q) и GARCH(p,q) с заданной среднеквадратической точностью, а также проблема построения процедур обнаружения моментов разладки данных процессов, при условии, что значения параметров процессов являются неизвестными как до, так и после момента разладки. Для решения поставленных задач используется подход последовательного анализа, который позволяет контролировать процесс накопления информации о неизвестных параметрах, содержащейся в каждом отдельном наблюдении. Данный подход связан с построением специальных правил прекращения наблюдений в зависимости от требуемой точности оценивания. Процедуры обнаружения разладки строятся с использованием оценок неизвестных параметров процессов с гарантированной точностью. Это позволяет обеспечить заданные вероятности ложной тревоги и ложного спокойствия, что не удается обеспечить для известных процедур обнаружения. Проведено численное моделирование, которое демонстрирует эффективность предложенных в работе процедур.

Полученные результаты могут быть применены для решения таких статистических задач, как прогнозирование, управление технологическими процессами, фильтрация, а также при обработке информации в таких областях, как геофизика, медицинская и техническая диагностика. Рассмотренные в работе процессы AR(p)/ARCH(q) и GARCH(p,q) являются наиболее часто используемыми для описания многих экономических явлений. Поэтому полученные в работе результаты можно назвать особо важными для задач, имеющих эконометрическую направленность, таких как обработка информации, получаемой на рынке инвестиций, управление финансовыми рисками и формирование портфеля инвестиций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сергеева, Екатерина Евгеньевна, 2012 год

Литература

[1] Бассвиль М. Обнаружение изменения свойств сигналов и динамических систем / М.Бассвиль, А.Банвениста. - М. : Мир, 1989. - 265 с.

[2] Беллман Р. Введение в теорию матриц / Беллман Р. - М. : Наука, 1976. - 352с.

[3] Борисов В.З. О последовательном оценивании параметров дискретных процессов / В.З. Борисов, В.В. Конев // Автоматика и телемеханика. - 1977. - №10. - С. 58-64.

[4] Борисов В.З. Последовательное оценивание параметров случайных процессов / В.З. Борисов, В.В. Конев // Математическая статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Томск, ун-та. - 1979. - №5. - С. 4-12.

[5] Бродский Б.Е. Асимптотический анализ некоторых оценок в апостериорной задаче о разладке / Б.Е. Бродский, Б.С. Дарховский // Теория вероятн. и ее примен. - 1990. Т.35, вып.З. - С. 551-557.

[6] Бродский Б.Е. Асимптотически оптимальные методы в задаче скорейшего обнаружения разладки.1 // Автоматика и телемеханика. -1995. - №9. - С. 60-72.

[7] Бродский Б.Е. Асимптотически оптимальные методы в задаче скорейшего обнаружения разладки. II // Автоматика и телемеханика. - 1995. - №10,- С.50-61.

[8] Буркатовская Ю.Б. Гарантированное обнаружение момента разладки GARCH - процесса/ Ю.Б. Буркатовская, С.Э. Воробейчиков //Автомат, и телемех. - 2006. - №12.-С. 56-70.

[9] Буркатовская Ю. Б. Гарантированная оценка авторегрессионных параметров процесса AR(p)/ARCH(q)/ Ю.Б. Буркатовская, С.Э. Воробейчиков, Е.Е. Сергеева Е.Е. // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2011 - Т. 18, Вып. 3 - С. 481-482.

[10] Буркатовская Ю.Б. Гарантированная оценка параметров и обнаружение момента разладки GARCH(p,q) - процесса/ Ю.Б. Буркатовская, Е.Е. Сергеева, С.Э. Воробейчиков //Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника, информатика. - 2012. - № 1. - С. 48-57.

[11] Буркатовская Ю.Б. Обнаружение разладок и оценивание параметров авторегрессионных процессов по зашумленным наблюдениям: дис.-канд.ф.-м.наук / Ю.Б.Буркатовская.-Томск,2000.-138с.

[12] Буркатовская Ю.Б. Обнаружение скачка параметров процесса ARCH(l)/ Ю.Б. Буркатовская, С.Э. Воробейчиков, Е.Е. Сергеева Е.Е. //Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2010 - Т. 17, Вып. 1. - С. 96-97.

[13] Вальд А. Последовательный анализ / А. Вальд. - М.: Физматгиз, 1960. - 328 с.

[14] Васильев В.А. Об оценивании дисперсий шумов в линейных стохастических системах / В.А. Васильев, В.В. Конев // Статистический анализ экспериментальных данных. НЭТИ. межвузовский сборник научных трудов. - 1987. - С. 109-118.

[15] Васильев В.А. Последовательное оценивание параметров динамических систем при наличии мультипликативной и аддитивной помех в

наблюдениях / В.А. Васильев, В.В. Конев // Автоматика и телемеханика. - 1985. - Вып.6. - С. 33-43.

[16] Васильев В.А. Последовательное оценивание параметров динамических систем при неполном наблюдении / В.А. Васильев, В.В. Конев // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1982. - Вып.6. -С.145-154.

[17] Воробейников С.Э. О построении последовательных оценок параметров процессов рекуррентного типа /С.Э. Воробейников, В.В. Конев // Математическая статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Томск, ун-та. - 1980. - Вып. 6. - С. 72-81.

[18] Гринвуд П.Е. О равномерной слабой сходимости семимартингалов с применениями к оцениванию параметра в авторегрессионной модели первого порядка/ П.Е. Гринвуд, А.Н. Ширяев // Статистика и управление случайными процессами. - 1989. - С. 40-48.

[19] Кабанова Т.В. Последовательное обнаружение скачка среднего значения случайного процесса: дис.-канд.ф.-м.наук / Т.В. Кабанова.-Томск,2004.-128с.

[20] Кашковский Д.В. О последовательных оценках параметров авторегрессии со случайными коэффициентами / Д.В. Кашковский, В.В. Конев // Автометрия. - 2008. - Т. 44. - С. 70-81.

[21] Клигене Н.И. Сравнительный анализ оценок моментов изменения параметров авторегресии // Статистические проблемы управления. - 1980. - Вып.31. - С.9-25.

[22] Конев В.В. Гарантированное оценивание параметров авторегрессии на основе обобщенного метода наименьших квадратов / В.В. Конев, С.М. Пергаменщиков // Теория вероятн. и ее примен. - 1996. - Т. 41, вып.4. - С. 765-784.

[23] Конев B.B. Об оценивании числа наблюдений при последовательной идентификации параметров динамических систем / В.В. Конев, С.М. Пергаменщиков // Автоматика и телемеханика. - 1984. - № 12. - С. 56-62.

[24] Конев В.В. О последовательном оценивании параметров случайных процессов диффузионного типа / В.В. Конев, С.М. Пергаменщиков // Проблема передачи информации. - 1985. - Т. 21, вып. 1. - С. 48-62.

[25] Конев В.В. Последовательные оценки параметров стохастических динамических систем / В.В. Конев. - Томск.: Изд-во Томского университета, 1985. - 266.С.

[26] Конев В.В. Последовательные планы идентификации параметров динамических систем / В.В. Конев, С.М. Пергаменщиков // Автоматика и телемеханика. - 1981. Вып.7. - С.84-92.

[27] Липцер Р.Ш. Теория мартингалов / Р.Ш. Липцер, А.Н. Ширяев. -М.: Наука, 1986. - 512 с.

[28] Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя / Л.Льюнг М.:Наука, 1991. - 432 с.

[29] Маляренко A.A. Оценивание параметров нелинейных стохастических динамических систем с дискретным временем: дис.-канд.ф.-м.наук / A.A. Маляренко.-Томск,2010.-115с.

[30] Новиков A.A. Последовательное оценивание параметров диффузионных процессов // Теория вероятн. и ее примен. - 1971. - Т.16, вып.2. - С.394-396.

[31] Сергеева Е.Е. Гарантированная оценка параметров и обнаружение момента разладки GARCH(1,1) - процесса/ Е.Е. Сергеева, С.Э.

Воробейников //Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника, информатика. - 2011. - № 3.

- С. 31-42.

[32] Тарасенко Ф.П. Прикладной системный анализ.Наука и искусство решения проблем: учебник / Ф.П. Тарасенко. - Томск: Изд-во Том.гос.ун-та, 2004.-182 с.

[33] Тихов М.С. Об оптимальных планах последовательного оценивания при неквадратичных потерях // Теор. вероятностей и ее применения.

- 1978. - Т. 18, вып. 1. - С. 137-143.

[34] Хеннан Э. Многомерные временные ряды / Э. Хеннан. - М.: Наука, вып. 1, 1974. - 575 с.

[35] Ширяев А.Н. Вероятность / А.Н. Ширяев. - М.: Наука, 1989. - 581 с.

[36] Ширяев А.Н. Вероятность / А.Н. Ширяев. - М.: Издательство МЦ-HMO; в 2-х кн., кн. 2. 3-е изд., перераб. и доп., 2004. - 408 с.

[37] Ширяев А.Н. Задача скорейшего обнаружения нарушения стационарного режима // Докл. АН СССР. - 1961. - Т.138, №5. - С. 10391042.

[38] Ширяев А.Н. Некоторые точные формулы в задаче о "разладке"// Теория вероятн. и ее примен. - 1965. - Т.8, вып.4. - С.431-443.

[39] Ширяев А.Н. Об оптимальных методах в задаче скорейшего обнаружения // Теория вероятн. и ее примен. - 1963. - Т.8, вып.1. - С. 26-51.

[40] Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики/ А.Н. Ширяев. - М.: ФАЗИС, 2004. - 1056 с.

[41] Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления / П. Эйк-хофф. - М.: Наука, 1975. - 683 с.

[42] Янке Е. Специальные функции / Е.Янке, Ф.Энде, Ф.Леш. - М.: Наука, 1964. - 344с.

[43] Abdel-Atu Y. Estimation of the jump-point in a hazard function / Y. Abdel-Atu, D. Ferger // Econom. Qual.Control.- 2003. - Vol.18. -P.251-261.

[44] Aknouche A. Offline and online weighted least squares estimation of nonstationary power ARCH process / A. Aknouche, E.M. Ai-Eid, A.M. Hmeid // Statistics and Probability Letters. - 2011. - Vol.81, №10. -P. 1535-1540.

[45] Anderson T.W. Consistent estimates of of the parameters of a linear system / T.W. Anderson, G.V. Kleindoefer, P.R. Kleindoefer, M.B. Woodroof M.B. // Ann. Math. Statist. - 1969. - Vol.40. - P. 2064-2075.

[46] Andreou E. Monitoring disruption in financial markets/ E. Andreou, E. Ghysels// Journal of Econometrics. - 2006. - Vol.135. - P.77-124.

[47] Andrews W.K.D. Optimal changepoint tests for normal linear regression / W.K.D. Andrews, L. Lee, W. Ploberger // Journal of Econometrics. - 1996. - Vol.70. - P.9-38.

[48] Andrews W.K.D. Tests for parameter instability and structural change with unknown change point // Econometrica. - 1993. - Vol.61. - P.821-856.

[49] Aue A. Change-point monitoring in linear models with conditionally heteroskedastic errors / A. Aue, L. Horvath, M. Huskova, P. Kokoszka // Econometrics J. - 2006. - Vol.9. - P.373-403.

[50] Bai J. Computation and analysis of multiple structural change models / J. Bai, P. Perron // Journal of Applied Econometrics. - 2003. - Vol.18. - P. 1-22.

[51] Bai J. Estimation of a change point in multiple regression models // The Rewiew of Economics. - 1997. - V.79. - P. 551-563.

[52] Bai J. Estimating and testing linear models with multiple structural changes / J. Bai, P. Perron // Econometrica. - 1998. - Vol.66. - P. 47-78.

[53] Bai J. Least squares estimation of a shift in linear process // Journal of Time Series Analysis. - 1994. - Vol.15, № 5. - P. 453-472.

[54] Bai J. Testing for parameter constancy in linear regression: An empirical distribution functional approach // Econometrica. - 1996. - Vol.64. - P. 597-622.

[55] Baillie R.T., Chung H. Estimation of GARCH models from the autocorrelation of the squares of a prosesses / R.T. Baillie, H. Chung // J. Time Ser. Anal. - 2001. - Vol.22,№ 6. - P.631-650.

[56] Basseville M. Detection of Abrupt Changes: Theory and Applications/ M. Basseville, I.V. Nikiforov. - Prentice-Hall Inc., 1993. - 447 p.

[57] Basseville M. Detecting changes in signals and systems. A Survey // Automatica. - 1988. - Vol.24, № 3. - P.309-326.

[58] Berkes I. GARCH processes: Structure and estimation / I. Berkes, L. Horvath, P.S. Kokoszka // Bernoulli. - 2003. - Vol.9. - P.201-227.

[59] Berkes I. Limits results of the impirical process of squared residuals in GARCH models / I. Berkes, L. Horvath // Stochastic Processes and their Applications. - 2003. - Vol.105. - P.271-298.

[60] Berkes I. The efficiency of the estimators of the parameters in GARCH processes / I. Berkes, L. Horvath// Annals of Statistics. - 2004. - Vol.32.

- P. 633-655.

[61] Berkes I. The rate of the quasi-maximum likelihood estimator / I. Berkes, L. Horvath // Statistics and Probability Letters. - 2003. - Vol.61. -P. 133-143.

[62] Bollerslev T. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity //J. Econometrics. - 1986. - Vol.86. - P. 307-327.

[63] Borisov V.Z. Sequential estimation of parameters of discrete processe / V.Z. Borisov, V.V. Konev // Autom. Remote control. - Vol. 38. -P. 1475-1480.

[64] Boudt K. Robust M-estimation of multivariate GARCH models / K. Boudt, C. Croux // Computational Statistics and Data Analysis. - 2010.

- Vol. 54. P.2459-2469.

[65] Brodskiy B.E. Nonparametric methods in change-point problems/ B.E. Brodskiy, B.S. Darkhovskiy. - Boston: Kluwer Academic, 1992. - 224p.

[66] Burkatovskaja Y. Sequential procedure of parameter change detection in AR/ARCH Process / Y. Burkatovskaja, S. Vorobejchikov //Proceedings of the 11th International Conference of Pattern Recognition and Information Processing - Minsk, Belarus, May 18-20, 2011. - Belarus: Minsk. PRIP'2011. p.159-164.

[67] Chen B. Testing for smooth structural changes in GARCH models / B. Chen, Y. Hong // Cornell University, Department of Economics and statistical science. - 2009. working paper.

[68] Chen J. Parametric statistical change point analysis / J. Chen, A.K. Gupta. - New York: Birkhauser, 2000. - 273 p.

[69] Cheng T.-L. An efficient algorithm for estimating a change-point // Statistics and Probability Letters. - 2009. - Vol. 79. - P. 559-565.

[70] Cheon S. Multiple change-point detection of multivariate mean vectors with the Bayesian approach / S. Cheon, J. Kim // Computational Statistics and Data Analysis. - 2010. - Vol. 54. - P. 406-415.

[71] Chu C. A direct test for changing trend / C. Chu, H. White // Journal of Buisness and Economic Statistics. - 1992. - Vol. 10. - P. 289-299.

[72] Ciuperca G. Maximum likelihood estimator in a multi-phase random regression model / G. Ciuperca // Statistics. - 2008. - Vol. 42. - P. 363-381.

[73] Ciuperca G. The M-estimation in a multi-phase random nonlinear model / G. Ciuperca // Statistics and Probability Letters. - 2009. - Vol. 79. -P. 573-580.

[74] Csorgo M., Horvath L. Limit theorems in Change-Point Analysis / M. Csorgo, L. Horvath. - Chichester: Wiley, 1997. - p.

[75] Daren B.H. Cline Stability and the Lyapounov exponent of threshold AR/ARCH models / B.H. Cline Daren, H.Pu. Huay-min // The Ann. Of Applied Probability. - 2004. - Vol.14, № 14. - P. 1920-1949.

[76] Davies R.A. Testing for change in the parameter value and order of autoregressive model / R.A. Davies, D. Huang, Y.-C. Yao // Ann. Statist. - 1995. - Vol.23. - P.282-304.

[77] Den A. A non-local perspective on the power properties of the CUSUM and CUSUM of squeres tests of structural change / A. Den, P. Perron // Journal of Econometrics. - 2008. - Vol.142. - P.212-240.

[78] Dmitrenko A.A. On sequential classification of autoregression processes with unknown noise variance / A.A. Dmitrenko, V.V. Konev // Problem of Information Transfer. - 1995. - Vol.31,№ 4. - P.51-62.

[79] Dupuy J.F. Detecting change in a hazard regression model with right-censoring // J. of Statist.Plann, and Inference. - 2009. - Vol.139. -P. 1578-1586.

[80] Engle R.F. Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the varience of UK inflation // Econometrica. - 1982. - Vol.50. -P.987-1008.

[81] Engle R.F. Estimating time-varying risk premia in the term structure: the ARCH-M model / R.F. Engle, D.M. Lilien, R.P. Robins // Econometrica. - 1987. - Vol.55. - P.391-407.

[82] Epps T. Testing that a Gaussian process is stationary // Ann. Statist:— 1988. - Vol.16. - P. 1667-1683.

[83] Francq C. Maximum likelihood estimation of pure GARCH and ARMA-GARCH processes / C. Francq, J.M. Zacoian // Bernoulli. - 2004. -Vol.10.-P.605-637.

[84] Francq C. Quasi-maximum likelihood estimation in GARCH processes when some coefficients are equal to zero / C. Francq, J.M. Zacoian // Stochastic Processes and their Applications. - 2007. - Vol.117. - P. 12651285.

[85] Gijbels I. Estimation of a change point in a hazard function based on censored data / I. Gijbels, U. Giirler // Lifetime Data Ann. - 2003. -Vol.9. - P.395-411.

[86] Girshik M. A. Bayes approach to a quality control models / M.A. Girshik, H.A. Rubin// Ann. Math. Stat. - 1952. - Vol.23, № 1. - P.114-125.

[87] Harvard University Biostatistics Working Paper Series [Электронный ресурс]/ Working Paper 40; Goodman M.S. Survival analysis with change point hazard functions / M. S. Goodman, Y. Li, R.C. Tiwari // . - 2006. - URL:http:/www.bepress.com/harvardbiostat/paper40.( дата обращения 07.11.2011).

[88] Gombey E. A nonparametric test for change in randomly censored data / E. Gombey, S. Liu // Canad. J. Statist. - 2000. - Vol.28. - P.113-121.

[89] Gombey E. Change detection in autoregressive time series // Journal of Multivariate Analysis. - 2008. - Vol.99. - P.451-464.

[90] Gombay E., Serban D. Monitoring parameter change in AR(p) time series models / E. Gombay, D. Serban // Statistics Centre Technical Reports 05.04, The University of Alberta, Edmonton, Canada, 2005.

[91] Gooijer J.G. Detecting change - points in multidimentional stochastic processes // Computational Statistics and Data Analysis. - 2005. -Vol.51, № 3,-P. 1892-1903.

[92] Gurevich G. Change point problems in the model of logistic regression / G. Gurevich, A. Vexler //J. Statist. Plann.Inference. - 2005. - Vol.131. -P.313-331.

[93] Habibi R. A note on change point detection using weighted least square // Applied Mathematics. - 2011. - Vol.2. - P. 1309-1312.

[94] Hamadeh T. Asymptotic properties of LS and QML estimators for a class of nonlinear GARCH processe / T. Hamadeh, J.-M. Zakoian //J. Statist. Plann.Inference. - 2011. - Vol.141. - P. 488-507.

[95] Han S. Truncating estimation for the mean change-point in heavy-tailed dependent observation / S. Han, Z. Tian // Communication in Statistics:Theory and Methods. - 2006. - Vol.35. - P. 43-52.

[96] Hawkins D.L. A simple least square method for estimating a change in mean // Communication in Statistics:Simulation and Computation. -1986. - Vol.15. - P.655-679.

[97] He Z. Real time detection of structural breakes in GARCH models / Z. He, J.M. Maheu // University of Toronto, Department of Economics. -2009. working paper 11-09.

[98] Hillebrand E. Negleting parameter changes in GARCH models // Journal of Econometrics. - 2005. - Vol. 129. - P. 121-138.

[99] Hinkley D.V. Inference about change-point from cumulative sum-tests // Biometrica. - 1971. - Vol.58, № 3. - P. 509-523.

[100] Hinkley D.V. Inference about the change point in a sequence of random variables // Biometrica. - 1970. - Vol.57. - P. 1-17.

[101] Horvath L. Detection changes in linear regression // Statistics. - 1995. -Vol.26. - P. 189-208.

[102] Horvath L. Empirical process of squared residuals of an ARCH sequence / L. Horvath, P.S. Kokoszka, G. Teyssiere // The Ann. Statist. - 2001. - Vol.29. - P.445-469

[103] Horvath L. Estimators for the time of change in linear models / L. Horvath, M. Huskova, M. Serbinowska // Statistics. - 1997. - Vol.29. -P. 109-130.

[104] Horvath L. Monitoring changes in linear models / L. Horvath, M. Huskova, P. Kokoszka, J. Steinebach //J. Statist. Plann. Inference. -2004. - Vol.126. - P.225-251.

[105] Horvath L. On sequential detection of parameter changes in linear regression / L. Horvath, P. Kokoszka, J. Steinebach // Statistics and Probability Letters. - 2007. - Vol.77. - P. 885-895.

[106] Horvath L. The effect, of long-range dependence on change-point estimators / L. Horvath, P. Kokoszka // Journal of Statistical Planning and Inference. - 1997. - Vol.64. - P.57-81.

[107] Horvath L. Lp estimators in ARCH models / L. Horvath, F. Liese // Journal of Statistical Planning and Inference. - 2004. - Vol.119. - P.277-309.

[108] Hwang S.Y. Generalized least squares estimation for explosive AR(1) processes with conditionally heteroscedastic errors / S.Y. Hwang, S. Kim, S.D. Lee, I.V. Basawa // Statist. Probab. Lett. - 2007. - Vol.77, 1.13. - P. 1439-1448.

[109] Jaruskova, D. Asymptotic distribution of a statistic testing a change in simple linear regression with equidistant design // Statist. Probab. Lett.

- 2003. - Vol.64. - P.89-95.

[110] Jiang J. Robast modelling of ARCH models / J. Jiang, Q. Zhao, Y.V. Hui // J. Forecasting. - 2001. - Vol.20. - P.lll-133.

[111] Kavtaradze T. A Bayessian - martingale approach to the general disorder problem / T. Kavtaradze, N. Lazrieva, M. Mania, P. Muliere// Stochastic Processes and their Applications. - 2007. - Vol.117. - P. 10931120.

[112] Kliipppelberg C. Spectral estimates and stable processes / C. Kliipppelberg, T. Mikosh // Stohast. Proc. Appl. - 1993. - Vol.47, № 1.

- P.323-344.

[113] Kokoszka P. Change-point estimation in ARCH / P. Kokoszka, R. Leipus // Bernoulli. - 2000. - Vol.6, № 3. - P.513-539.

[114] Kokoszka P. Testing for parameter changes of ARCH models / P. Kokoszka, R. Leipus // Lithuan. Math. J. - 1999. - Vol.39. - P.231-247.

[115] Konev V.V. Guaranteed parameter estimation in a first-order autoregressive process with finite variance / V.V. Konev, A. Le Breton // Sequential Anal. - 1995. - Vol.14. - P. 179-192.

[116] Konev V.V. Sequential identification procedures for the parameters of dynamic systems / V.V. Konev, S.M. Pergamenshchikov // Atom. Remote Control. - 1981. - Vol.42. - P.917-924.

[117] Koul H.L. Asymptotics of maximum likelihood estimator in a two-phase linear regression model / H.L. Koul, L. Quan // Journ. of Statist. Plann. and Inference. - 2002. - Vol.108. - P.99-119.

[118] Koul H.L. Asymptotics of M-estimators in two-phase linear regression models / H.L. Koul, L. Quan, D. Surgailis // Stochastic Process.Appl. - 2003. - Vol.103. - P. 123-154.

[119] Kruiniger H. Maximum likelihood estimation and inference methods for covariance stationary panel AR(l)/unit root model// Journal of Econometrics. - 2008. - Vol.144, 1.2. - P.447-464.

[120] Lai T.L. Fixed accuracy estimation of autoregressive parameter/ T.L. Lai, D. Siegmund // The Annals of Statistics. - 1983. - Vol.11, № 2. -P. 478-485.

[121] Lange T. Estimation and Asymptotic Inference in the AR-ARCH Model / T. Lange, A. Rahbek, S.T. Jensen // Econometric Reviews. - 2011. -Vol. 30, 1.2. - P. 129-153.

[122] Lavielle M. Detection of multiple changes in a sequence of dependent variebles // Stochastic Process. Appl. - 1999. - Vol. 83. - P. 79-102.

[123] Lavielle M. Using penalized contrasts for the change-point problem // Signal Processing. - 2005. - Vol. 85. - P. 1501-1510.

[124] Lee C.B. Nonparametric multiple change-point estimators // Statist. Probab. Lett. - 1996. - Vol. 27. - P. 295-304.

[125] Lin C.-H. Multiple structural changes in the tail behavior: Evidence from stock index futures returns / C.-H. Lin, T.-C. Kao // Nonlinear Analysis: Real World Application. - 2008. - Vol. 9. - P. 1702-1713.

[126] Ling S. Asymptotic theory for a vector ARMA-GARCH model / S. Ling, M. McAleer// Econometric Theory. - 2003. - Vol. 19. - P. 280-310.

[127] Ling S.Q. Self-weighted least absolute deviation estimation for infinitive autoregressive models // Journal of the Roal Statistical Society. - 2005.

- Series B. 67. - P. 381-393.

[128] Lombard F. Rank tests for change point problems // Biometrica. - 1987.

- Vol.74. - P.615-624.

[129] Lorden G. Procedures for reacting to a change in distribution// Annals. Math. Statist. - 1971. - №.42. - P. 1897-1971.

[130] Meder N., Vorobejchikov S. On guaranteed estimation of parameters of random processes by the weighted least square method // Proc. 15th Triennial World Congress of the International Federation of Automatic Control. Barcelona. 2002. No. 1200.

[131] Mendes B.V.M. Robust estimation for ARCH models / B.V.M. Mendes, A.M. Duarte // Rev. Econometria. - 1999. - Vol.19. - P. 138-180.

[132] Mia B. Detection of change points using rank methods / B. Mia, L. Zhao // Comm. Statist .-Theory Methods. - 1988,- Vol.17. - P.3207-3217.

[133] Muler N. Robust estimates for ARCH Processes / N. Muler, V.J. Yohai //J. Time Series Anal. - 2002. - Vol.23. - P.341-375.

[134] Muler N. Robust estimates for GARCH models / N. Muler, V.J. Yohai // Journal of Statistical Planning and Inference. - 2008. - Vol.138, № 10. - P.2918-2940.

[135] Nelson D. Conditional heteroskedasticity in asset returns: a new approach // Econometrica,. - 1991. - Vol.59. - P.347-370.

[136] Ninomiya Y. Information criterion for Gaussian change-point model // Statist. Probab. Lett. - 2005. - № 72. - P.237-247.

[137] Page E.S. Continuous inspection schemes // Biometrica. - 1986. - V.42, № 1. - P. 100-115.

[138] Pan J. Application of modified information criterion to multiple change point problems / J. Pan, J. Chen// Journal of Multivariate Analysis. -2006. - Vol. 97. - P.2221-2241.

[139] Pan J. Estimation and power-transformed and threshold GARCH models / J. Pan, H. Wang, H. Tong // Journal of Econometrics. - 2008. - Vol. 142. - P.352-378.

[140] Peng I. Least absolute deviations estimation for ARCH and GARCH models / I. Peng, Q. Yao // Biometrica. - 2003. - Vol. 90, № 4. - P.967-997.

[141] Perron P. Structural breaks with deterministic and stochastic trends / P. Perron, X. Zhu // Journal of Econometrics. - 2005. - Vol. 129. -P.65-119.

[142] Picard D. Testing and estimating change-points in time series // Add. Appl. Probab.- 1985. - Vol.17. - P.841-867.

[143] Ploberger W. A trend resistant test for structural change based on the OLS residuals / W. Ploberger, W. Kramer // Journal of Econometrics.

- 1996.-Vol. 70.-P. 175-186.

[144] Pollak M. Optimal detection of a change in disrtibution // Ann. Statist.

- 1985. - Vol.1, № 1. - P. 206-227.

[145] Sergeeva K. An efficient algorithm for detecting a change point of autoregressive parameters of AR(p)/ARCH(q) process/ K. Sergeeva, S. Vorobejchikov //Proceedings of the 11th International Conference of Pattern Recognition and Information Processing - Minsk, Belarus, May 18-20, 2011. - Belarus: Minsk. PRIP'2011. p.156-159.

[146] Son Y.S. Bayessian single change point detection in a sequence of multivariate normal observations / Y.S. Son, S.W. Kim // Statistics.

- 2005. - Vol.39, № 5. - P.990-998.

[147] Shi X. Strong convergence rate of estimators of change point and its application / X. Shi, Y. Wu, B. Miao // Computattional Statistics and Data Analysis. - 2009. - Vol.53. - P.990-998.

[148] Shiryaev A.N. On a sequential estimation of an autoregressive parameter / A.N. Shiryaev, V.G. Spokoiny // Stochastics. - 1997. - Vol.60. - P. 219-240.

[149] Shiryaev A.N. Two problems of sequential analysis // Cybernetics. -1967. - Vol.3. - P.63-69.

[150] Siegmund D. Model selection in irregular problems: applications to mapping quantitative trait loci// Biometrica. - 2004. - Vol.91. - P. 785800.

[151] Storti G. Minimum distance estimation of GARCH(1,1) models // Computational Statistics and Data Analysis. - 2006. - Vol.51. - P. 18031821.

[152] Straumann D. Quasi-maximum likelihood estimation in conditionally heteroskedastic time series: a stochastic recurrence equations approach / D. Straumann, T. Mikosch // The Annals of Statistics. - 2006. -Vol.34. - P.2449-2495.

[153] Tugnait J.K. A detection- estimation scheme for state estimation in switching enviroments / J.K. Tugnait, A.H. Haddad // Automatica.

- 1979. - Vol.15. - P.477-481.

[154] Vexler A. Guaranteed testing for epidemic changes of a linear regression model // Journal of Statistical Planning and Inference. - 2006. - Vol.136.

- P.3101-3120.

[155] Vorobejchikov S.E. On the sequential identification of random parameters of recursive type // Math. Stat, and its Appl. - 1983. -Vol.IX. - P.42-47.

[156] Willsky A.S. A survey of design methods for failure detection in dynamic systems // Automatica. - 1976. - XI. - P.108-112.

[157] Wu C.Q. Estimating in cange-point hazard function models / C.Q. Wu, L.C. Zhao, Y.H. Wu // Statistics and Probability Letters. - 2003. -Vol.63. - P. 41-48.

[158] Xia Y. A fast algorithm for AR parameter estimation using a novel noise-constrained least-squares method / Y. Xia, M. Kamel, H. Leung // Neural Networks. - 2010. - Vol.23, 1.3. - P. 396-405.

[159] Xiao Z. A CUSUM test for cointegration using regression residuals / Z. Xiao, P.C.B. Phillips // Journal of Econometrics. - 2002. - Vol.108. -P. 43-61.

[160] Xiaoping S. Strong convergence rate of estimators of change point and its application / S. Xiaoping, W. Yuehua, M. Baiqi // Computation Statistics and Data Analysis. - 2009. - Vol.53. - P.990-998.

[161] Yao Y.C. Approximating the distribution of the ML estimate of the change-point in a sequence of independent r.v.'s// Annals of Statistics.

- 1987. - Vol.3. - P. 1321-1328.

[162] Yao Y.C. Estimating the number of change-point via Schwarz criterion // Statistics and Probability Letters. - 1988. - Vol.6. - P. 181-189.

[163] Yashin A. On a problem of sequential hypothesis testing // Theory Probab. Appl. - 1983. - Vol.28. - P. 157- 165.

[164] Zhongfang H. Real time detection of structural breaks in G ARCH models / H. Zhongfang, J.M. Maheu // Computational Statistics and Data analysis. - 2009. doi: 10.1016/j.csda,2009.09.038.

[165] Zhou J. Inference for mean change-point in infinite variance AR(p) / J. Zhou, S.Y. Liu // Statistics and Probability Letters. - 2009. - Vol. 79.

- P. 6-15.