Последовательное обнаружение скачка среднего значения случайного процесса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Кабанова, Татьяна Валерьевна

• Кабанова, Татьяна Валерьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кабанова, Татьяна Валерьевна

ВВЕДЕНИЕ

1 Последовательное обнаружение момента изменения среднещ го значения последовательности независимых случайных величин

1.1 Постановка задачи.

1.2 Процедура обнаружения разладки.

1.3 Расчет основных характеристик процедуры.

1.3.1 Среднее время между ложными тревогами.

1.3.2 Среднее время запаздывания.

1.3.3 Результаты моделирования.

1.4 Исследование свойств процедуры.

1.5 Сравнительный анализ процедуры обнаружения разладки для последовательности с неизвестным распределением со случаями известного распределения . . . •.

1.5.1 Случай неизвестного распределения.'

1.5.2 Случаи известного распределения.

1.5.3 Моделирование.

1.6 Среднее время запаздывания в стационарном режиме.

1.7 Асимптотические соотношения для среднего времени запаздывания в стационарном режиме.

1.8 Выводы.

2 Обнаружение момента изменения среднего значения процесса авторегрессии первого порядка г

2.1 Постановка задачи.

2.2 Оценка параметров авторегрессионной части.

2.3 Построение процедуры обнаружения.

2.4 Расчет основных характеристик процедуры.

2.4.1 Нахождение характеристик процедуры для случая неизвестного распределения шумов.

2.4.2 Моделирование и анализ полученных результатов

2.5 Выводы.

3 Обнаружение момента разладки процесса авторегрессии р—того порядка'

- 3.1 Постановка задачи.•.

3.2 Оценка параметров авторегрессионной части.

3.3 Построение процедуры обнаружения.

3.4 Результаты моделирования.

3.5 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Последовательное обнаружение скачка среднего значения случайного процесса»

Данная диссертационная работа посвящена проблеме обнаружения разладки. Под обнаружением разладки понимается класс задач обнаружения изменения вероятностных характеристик случайной последовательности.

Впервые задача обнаружения разладки была сформулирована в 30-е годы XX века в работе Шыохарта [85] и с этого момента начала интенсивно развиваться. Первоначально задача получила применение в промышленном производстве, медицинских исследованиях, геофизике, задачах технической диагностики, обработке сигналов.

• За прошедшие годы развитие науки и техники ставит все новые научные, технологические и сугубо прикладные задачи, о существовании многих их которых невозможно было даже подумать во время опубликования первых работ по данной тематике. Тем не менее оказывается, что многие из этих задач можно свести к задаче обнаружения разладки, воспользоваться уже существующим аппаратом. Кроме того, этот процесс стимулирует появление новых работ в данной области, исследующих всевозможные модификации существующих методов для новых приложений в зависимости от постановки конкретных задач. В качестве примера подобных новых приложений можно привести интернет-технологии. Развитие информационных технологий также сыграло важную роль в возникновении новых приложений. Необходимость автоматизации процессов накопления, обработки и анализа данных в науке, производстве и бизнесе предоставляет широкое поле для применения аппарата математической статистики, в том числе методов обнаружения разладки.

Таким образом, класс задач обнаружения разладки является очень широким. Эти задачи отличаются одна от другой предположениями о модели наблюдаемого процесса и подходами к ее решению. Существует два основных метода решения задачи разладки: методы апостериорного обнаружения по выборке фиксированной длины и последовательные методы обнаружения. В первом случае предполагается, что в имеющейся последовательности наблюдений в некоторый момент произошло изменение характеристик и на основе полученных наблюдений необходимо оценить момент изменений. При этом свойства получаемых оценок изучаются в асимптотической постановке при объеме наблюдений, стремящимся к бесконечности. Для различных моделей наблюдаемых процессов апостериорные методы обнаружения рассматривались Дарховским Б.С, Бродским Б.Е. [3, 5, 20] и др.

При послёдовательном обнаружении на каждом шаге при поступлении нового наблюдения гипотеза о наступлении разладки либо принимается и наблюдения прекращаются, либо отклоняется и наблюдения продолжаются дальше. Поскольку для принятия решения о наличии разладки необходимо получить определенное количество наблюдений, описываемых новой моделью, возможно возникновение запаздывания в обнаружении. Но возможна и другая ситуация, когда решение о наличии разладки принимается тогда, когда реально изменение еще не произошло, т.е. имеет место ложная тревога. Понятно, что на практике желательно свести к минимуму количество ложных тревог и время запаздывания. Ширяевым [54, 55] были введены показатели качества процедуры обнаружения: малое число ложных тревог или, что то же самое, большое среднее время между ложными тревогами и малое среднее время запаздывания. Требование одновременного выполнения этих условий является противоречивым, т.к. чем чувствительнее процедура к возможным изменениям, тем больше вероятность возникновения ложных тревог и наоборот, чем менее чувствителен детектор к шуму, тем больше среднее время запаздывания в обнаружениях. Процедура обнаружения считается оптимальной, если при фиксированном среднем времени между ложными тревогами запаздывание в обнаружении минимально.

Хорошо изученной является задача обнаружения изменения распределения в последовательности независимых случайных величин, для решения которой применяются методы скользящего среднего, например в работе Бродского Б.Е., Дарховского Б.С. [6], метод экспоненциального сглаживания в работах таких авторов как Новиков А., Эргашев Б., [43, 44], Фишман М. [51], а также [70, 77] и др. Работы [55, 58, 76, 81, 86, 78] основаны на алгоритме кумулятивных сумм, предложенном Пейджем [79] и методе усредненного отношения Правдоподобия Гиршика-Рубина-Ширяева [69, 58].

В работе Лордена [76] было установлено, что оптимальной в классе последовательных процедур обнаружения (в смысле минимума среднего времени запаздывания при заданном среднем времени между ложными тревогами) является процедура кумулятивных сумм, представляющая собой многократно возобновляемую процедуру Вальда [7] с нулевым нижним порогом. Там же было показано, что отношение среднего времени запаздывания к логарифму среднего времени между ложными тревогами стремиться к константе при стремлении среднего времени между ложными тревогами к бесконечности.

Многие работы, посвященные последовательному обнаружению разладки, рассматривают обнаружения изменения функции распределения в последовательности независимых случайных величин в предположении, что известны начальная и конечная модели процесса [59]. Большой интерес на практике представляют случаи, когда распределение наблюдаемого процесса до и после момента разладки не известно [21, 22, 46]. В работе [6] проводится сравнительный анализ различных непараметрических методов для обнаружения различных величин скачка среднего значения наблюдаемого процесса.

Даже в случае независимых наблюдений аналитическое исследование характеристик процедуры кумулятивных сумм является довольно трудной за> дачей. Подобные исследования описаны в работах Поллака, Зигмунда [83, 84], Якира [87, 88, 89], где получены асимптотические формулы для среднего времени между ложными тревогами и формулы для среднего времени запаздывания, содержащие неизвестные константы.

• В работах таких авторов как Бассвиль, Бенвенист [63, 64], Бородкин, Моттль [2], Никифоров [40, 41, 42], Клигене [28, 29], Липейка [31, 32, 33], Липейкене [35, 36], рассмотрены процедуры обнаружения момента разладки случайных процессов с зависимыми значениями. В большинстве этих работ в качестве моделей наблюдаемых процессов чаще всего используются процессы авторегрессионного типа. Известны результаты, связанные с нахождением либо среднего времени между ложными тревогами [2], либо среднего времени запаздывания в обнаружении [37]. Аналитическое исследование качественных характеристик и свойств подобных процедур является очень сложной и порой невыполнимой задачей.

Широкое применение задача обнаружения изменения свойств наблюдаемого процесса получила в экономике и финансовом анализе. В работах

66, 68, 71, 73, 74] предложено ее применение для анализа временных рядов, описываемых ARCH и GARCH моделями.

В последнее время интерес к этой проблеме не угасает, о чем свидетельствует большое количество работ в этой области [47, 48, 90, 72, 75, 67, 62, 66] и многие другие.

Таким, образом, актуальным является разработка последовательных методов обнаружения произвольного скачка среднего значения в последовательности независимых случайных величин с неизвестным законом распределения и процессов с зависимыми значениями, а также анализ предложенных методов.

Целью настоящей работы является построение последовательных процедур обнаружения разладки, позволяющих обнаруживать как увеличение, так и уменьшение среднего значения наблюдаемого процесса для последовательности независимых наблюдений с неизвестным законом распределения и процесса авторегрессии с неизвестными параметрами с возможностью аналитического исследования характеристик данной процедуры.

Методы исследования. При решении поставленной задачи использовался аппарат теории вероятностей, теории случайных процессов, теории аналитических функций, теории матриц и методы статистического моделирования.

Научная новизна. В данной работе построены последовательные процедуры обнаружения разладки, позволяющие обнаруживать как положительное, так и отрицательное изменение среднего значения наблюдаемого процесса для последовательности независимых наблюдений с неизвестным законом распределения и процесса авторегрессии с неизвестными параметрами. Получены формулы для расчета основных характеристик процедуры: среднего времени между ложными тревогами и среднего времени запаздывания.

Практическая ценность. Полученные результаты могут применяться в медицинских исследованиях, в экономике и финансовом анализе, геофизике, задачах климато-экологического мониторинга; технической диагностике, обработке сигналов.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Последовательная процедура обнаружения изменения среднего значения в последовательности независимых случайных величин с неизвестным законом распределения.

2. Последовательная процедура обнаружения изменения среднего значения устойчивого процесса авторегрессии первого порядка с нормальным и произвольным распределениями шумов.

3. Последовательная процедура обнаружения изменения среднего значения устойчивого процесса авторегрессии р—того порядка с нормальным распределением шумов.

Аппробация и публикации.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

Третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной матема-тике( ИНПРИМ - 98, Новосибирск, 1998);

Четвертой региональной научно - практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Научные основы АПК"(Томск, 2002);

Всероссийской научно - практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование" (Анжеро-Судженск, 2002);

Региональной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука. Техника. Инновации"(НТИ-2002, Новосибирск, 2002); ' Четвертом Всероссийском симпозиуме по Прикладной и промышленной математике (Обозрение прикладной и промышленной математики, Москва, 2003)

По теме диссертации опубликована две печатные работы, в том числе в академическом журнале:

Радиотехника и электроника, РАН'(2002, 47 (10), с. 1198-1203).

Структура диссертации.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

В первой главе диссертации предлагается последовательная процедура обнаружения момента изменения среднего значения последовательности независимых случайных величин, построенная на основе алгоритма кумулятивных сумм. Получены формулы для нахождения основных характеристик процедуры: среднего времени между ложными тревогами и среднего времени запаздывания. Получены асимптотические соотношения для этих характеристик при неограниченном возрастании порога процедуры. Проведен анализ оптимальных (в смысле минимума среднего времени запаздывания при заданном среднем времени между ложными тревогами) процедур обнаружения изменения среднего для последовательностей с известным распределением (гауссовское, двойное экспоненциальное и распределение Коши) до и после момента разладки и сравнение с ними посторенной процедуры, когда распределение считается не известным. Приведены результаты численного моделирования. Найдено среднее время запаздывания в стационарном режиме. Результаты данной главы опубликованы в работах [10, 11, 12, 25].

Во второй главе решается задача обнаружения произвольного скачка среднего для устойчивого процесса авторегрессии первого порядка. Рассматриваются два случая: случай нормального распределения шумов и случай, когда распределение шумов неизвестно. На первом этапе производится оценивание неизвестных (мешающих) параметров авторегрессионной части. Далее осуществляется преобразование наблюдаемого процесса с целью ослабления * » влияния этих параметров. Строится последовательная процедура обнаружения на основе алгоритма кумулятивных сумм. Получены формулы для среднего времени между ложными тревогами и среднего времени запаздывания в обнаружении разладки. Приведены результаты численного моделирования. Результаты этой главы опубликованы в работах [26].

В третьей главе результаты предыдущей главы распространяются на случай многомерного авторегрессионного процесса. Предлагается и исследуется аналогичная процедура обнаружения разладки, результаты иллюстрируются моделированием. Результаты главы опубликованы в работе [13].

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Кабанова, Татьяна Валерьевна

3.5 Выводы $

1. В третьей главе построена процедура обнаружения момента изменения среднего значения процесса авторегрессии р—го порядка с неизвестными параметрами. Предложенный подход позволяет контролировать статистические свойства процедуры, связанные как с ложными тревогами, так и с запаздыванием в обнаружении разладки.

2. Найдены характеристики процедуры: среднее время между ложными тревогами и среднее время запаздывания в обнаружении.

3. Проведенное численное моделирование подтверждает работоспособность предлагаемой процедуры и иллюстрирует влияние параметров процесса на значения характеристик процедуры.

Заключение

В данной диссертационной работе предложены последовательные процедуры обнаружения неизвестного скачка среднего наблюдаемого процесса. Исследованы свойства построенных процедур, полученные результаты проиллюстрированы численным моделированием. Основные результаты заключаются в следующем:

1. Построена последовательная процедура обнаружения как положительного так и отрицательного скачка среднего последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин с неизвестным законом распределения, основанная на поочередном использовании двух АКС.

2. Получены формулы для расчета основных характеристик построенной процедуры: среднего времени между ложными тревогами и среднего времени запаздывания. 3. Проведен анализ асимптотических свойств процедуры. Показано, что среднее время между ложными тревогами растет экспоненциально, а среднее время запаздывания линейно при неограниченном возрастании порога процедуры h.

4. Произведено сравнение построенной процедуры для случая, когда распределение наблюдаемой последовательности до и после момента разладки неизвестно, с аналогичными оптимальными процедурами обнаружения в случаях, когда распределение известно.

5. Найдено среднее время запаздывания в стационарном режиме.

6. Построена последовательная процедура обнаружения разладки, исследованы свойства и получены характеристики процедуры для случая, когда наблюдаемый процесс является устойчивым процессом авторегрессии перI вого порядка.

7. Построена и исследована процедура обнаружения момента изменения параметров процесса авторегрессии р—того порядка.

8. Полученные теоретические результаты проиллюстрированы и подтверждены результатами численного моделирования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кабанова, Татьяна Валерьевна, 2004 год

1. Асатрян Д., Сафарян И. Непараметрические методы обнаружения изменений свойств случайных последовательностей // Статистические проблемы управления. - 1984. - Вып. 65. - С. 9-20.

2. Бородкин Л.И., Моттль В.В. Алгоритм обнаружения момента изменения параметров уравнения случайного процесса // Автоматика и телемеханика. 1976. - № 6. - С. 23-32.

3. Бродский Б.Б. Асимптотически оптимальные методы в задаче скорейшего обнаружения разладки.1. // Автоматика и телемеханика. 1995.- №. С. 60-72

4. Бродский Б.Е. Асимптотически оптимальные методы в задаче скорейшего обнаружения разладки.Н. // Автоматика и телемеханика. 1995.- №10. С. 50-61.

5. Бродский Б.Е., Дарховский Б.С. Асимптотический анализ некоторых оценок в апостериорной задаче о разладке // Теория вероятностей и ее примен. 1990. - Т.35, Вып.З. - С. 551-557.

6. Бродский Б.Е., Дарховский Б.С. Сравнительный анализ некоторых непараметрических методов скорейшего обнаружения момента "разладки"случайной последовательности // Теория вероятностей и ее примен. 1990. - Т.35, Вып.4. - С. 655-668.

7. Вальд А. Последовательный анализ. М.: Физматгиз, 1960. - 328 с.

8. Воробейников С.Э. О последовательной идентификации параметров случайных процессов рекуррентного типа // Математическая статистика и ее приложения. Изд-во Томск, ун-та, 1983. Вып.9. - С. 42-47.

9. Воробейчиков С.Э.Об обнаружении изменения среднего в последовательности случайных величин // Автоматика и телемеханика. 1998. -№ 3. - С. 50-56.

10. Воробейчиков С.Э., Кабанова Т.В. Обнаружение момента разладки последовательности независимых случайных величин // Радиотехника и электроника, РАН. 2002. - Т.47, № 10. - С. 1198-1203.

11. Воробейников С.Э., Кабанова Т.В. Обнаружение момента изменения среднего процесса авторегрессии // Обозрение прикладной и промышленной математики, Москва. 2003. - том 10, Вып.1. - С. 122.

12. Воробейников С.Э., Кабанова Т.В. Обнаружение момента разладки процесса авторегрессии первого порядка // Вестник Томского государственного университета. 2003. - № 280. - С. 170-174.

13. Воробейников С.Э., Конев В.В. Последовательная процедура обнаружения разладки в многоканальной системе // Радиотехника и электроника. 1990. - Т.35, № 10. С. 2104-2111.

14. Вострикова Л.Ю. Обнаружение "разладки"винеровского процесса // Теория вероятн. и ее примен. 1981. - Т.26 , Вып. 2. - С. 362-368.

15. Вострикова Л.Ю. Обнаружение изменений среднего значения в случайном процессе // Теория вероятн. и ее примен. 1981. - Т.26 , Вып. 4. - С. 867-869.

16. Вострикова Л.Ю. Обнаружение "разладки"в многомерных случайных процессах // ДАН СССР. 1981. - Т. 259, № 2. - С. 270-274.

17. Гельфонд А.О., Исчисление конечных разностей./ изд 3-е, М.:Наука, 1967. 376 е., ил.

18. Дарховский B.C. Непараметрический метод для апостериорного обнаружения момента разладки последовательности независимых случайных величин // Теория вероятн. и ее примен. 1976. - Т.21, № 1. - С. 180-184.

19. Дарховский Б.С., Бродский Б.Е. Непараметрический метод скорейшего обнаружения изменения среднего случайной последовательности // Теория вероятн. и ее примен. 1987. - Т.32. № 4. - С. 703-711.

20. Драгалин В.П. Асимптотические решения задачи обнаружения разладки при неизвестном параметре // Статистические проблемы управления. 1988. - № 83. - С. 47-51.

21. Зигангиров К.Ш. Задача поиска в системе с конечным числом позиций // Радиотехника и электроника. 1963. - Т.8, Jf21. - С. 16-23.

22. Зигангиров К.Ш. Об оптимальности поиска в системе с конечным числом позиций // Радиотехника и электроника. 1964. - Т.9, № 10. - С. 1746-1751.

23. Кабанова Т.В. Обнаружение момента разладки процесса авторегрессии первого порядка // Региональная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука. Техника. Инновации"(НТИ-2002). Новосибирск, НГТУ: Изд-во НГТУ. 2002.- С. 50

24. Клигене С.-Н.И. Оценка момента изменения параметров распределения случайных последовательностей // Теория вероятн. и ее примен. 1973. - Т. 18, Вып. 3. - С. 677-678.

25. Клигене С.-Н.И. Точное распределение оценки максимального правдоподобия параметров авторегрессии // Статистические проблемы управления. 1978. - Вып. 31. - С. 9-30.

26. Клигене С.-Н.И. Сравнительный анализ оценок моментор изменения параметров авторегрессии // Статистические проблемы управления. -1980. Вып. 44. - С. 9-25.

27. Клигене Н., Телькснис JI. Методы обнаружения моментов изменения свойств случайных процессов (обзор) // Автоматика и телемеханика. -1983. № 10. - С. 5-56.

28. Липейка А. Классификация авторегрессионных последовательностей с скачкообразно меняющимися параметрами // Статистические проблемы управления. 1978. - Вып. 30. - С. 9-28.

29. Липейка А. Определение моментов изменения свойств авторегрессионных последовательностей с неизвестными параметрами // Статистические проблемы управления. 1982. - Вып. 54. 7 С. 9-28.

30. Липейка А. Оценка моментов изменения свойств многомерных авторегрессионных случайных последовательностей при не полностью известных параметрах // Статистические проблемы управления. 1990. -Вып. 89. - С. 150-155.

31. Липейка А., Липейкене И. Определение нескольких моментов изменения свойств многомерных авторегрессионных случайных последовательностей методом динамического программирования // Статистические проблемы управления. 1988. - JY2 83. - С. 193-197.

32. Липейкене И. Определение момента изменения свойств последовательности авторегрессии-скользящего среднего по суммарной ошибке прогноза // Статистические проблемы управления. 1981. - № 51. - С. 33-48.

33. Липейкене И., Телькснис Л. Тестовые задачи и результаты их решения участниками семинара по обнаружению изменений свойств случайных процессов // Статистические проблемы управления. 1984. - Вып. 68.г- С. 107-133.

34. Лумельский В.Я. Один алгоритм обнаружения момента времени изменения свойств случайного процесса // Автоматика и телемеханика. -1972. № 10. - С. 67-73.

35. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. М.: Наука, 1978. - С.

36. Новиков А.А. О моменте первого выхода процесса авторегрессии зауровень и одно применение в задаче "разладки"// Теория вероятн. и ее примен. 1990. - Т. 35, Вып. 2. - С. 282-292.

37. Никифоров И.В. Применение кумулятивных сумм для обнаружения изменения характеристик случайного процесса //Автоматика и телемеханика. 1979. - № 2. - С. 48-58.

38. Никифоров И.В. Модификация и исследование процедуры кумулятивных сумм // Автоматика и телемеханика. 1980. - № 9. - С. 61-71

39. Никифоров И.В. Последовательное обнаружение изменения свойств временных рядов. М.: Наука, 1983. - 199 С.

40. Новиков А.А. О моменте первого выхода процесса аЁторегрессии за уровень и одно применение в задаче "разладки"// Теория вероятн. и ее примен. 1990. - Т. 35, Вып. 2. - С. 282-292.

41. Новиков А., Эргашев Б. Аналитический подход к расчету алгоритма экспоненциального сглаживания для обнаружения разладки // Статистические проблемы управления. 1988. - № 83. - С. 110-113.

42. Обнаружение изменения свойств сигналов и динамических систем / Бассвиль М. и др., М.: Мир, 1989. 278 С.

43. Сосулин Ю.Г., Фишман М.М. Теория последовательных решений и ее применения. М.: Радио и связь, 1985. - 272 С.

44. Телькснис JT.A. Определение изменений свойств случайных процессов при неполных априорных данных // Статистические проблемы управления. Вильнюс:1977. - Вып. 12. - С. 10-26.

45. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1. М.: Мир, 1967. - 498 С.

46. Фишман М. Оптимизация алгоритма обнаружения разладки, основанного на статистике экспоненциального сглаживания // Статистические проблемы управления. 1988. - К2 83. - С. 146-151.

47. Хахубиа Ц.Г. Предельная теорема для оценки максимального правдоподобия момента разладки // Теория вероятн. и е примен. 1986. - Т. 31, Вып. 1. - С. 152-155.

48. Ширяев А.Н. Обнаружение спонтанно возникающих эффектов // ДАН СССР. -1961. Т. 138, № 4. - С. 794-801.

49. Ширяев А.Н. Задача скорейшего обнаружения нарушения стационарного режима // ДАН СССР. 1961. - Т.138. - № 5. - С. 1039-1042.

50. Ширяев А.Н. Об оптимальных методах в задаче скорейшего обнаружения // Теория вероятн. и ее примен. 1963. - Т.8, Вып. 1. - С. 26-51.

51. Ширяев А.Н. К обнаружению разладок производственного процесса. I // Теория вероятн. и ее примен. 1963. - Т.8, Вып. 3. - С. 264-281.

52. Ширяев А.Н. К обнаружению разладок производственного процесса.И // Теория вероятн. и ее примен. 1963. - Т.8, Вып. 4. - С. 431-443.

53. Ширяев А.Н. Некоторые точные формулы в задаче о разладке // Теория вероятн. и ее примен. 1965. - Т.10, Вып. 2. - С. 380-385.

54. Ширяев А.Н. Статистический Последовательный анализ. М.: Наука, 1976. - 272 С.

55. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980. - 576 С.

56. Ширяев А.Н. Минимаксная оптимальность метода кумулятивных сумм (CUSUM) в случае непрерывного времени // Успехи матем. наук. -1996.- Т.51, № 4. С. 173-174.

57. Bai J. Estimating multiple breaks one at a time // Economics Theory. -1997. V.14. - P. 315-352.

58. Basseville M. Detecting changes in signals and systems. A Survey // Automatica. 1988. - V. 24, № 3. - P. 309-326.

59. Basseville M., Benveniste A. Sequential detection of abrupt changes in spectral characteristics of digital signals // IEEE Trans, on Inform. Theory.- 1983. V. IT-29, № 5. - P. 709-724.

60. Basseville M., Nikiforov I. Detection of Abrupt Changes, Theory and Applications // Englewood Cliffs. NY.: Prentice-Hall. - 1993.

61. Berkes I., Horvath L. Limit results of the empirical process of squared residuals in GARCH models // Stochastic Processes and their Applications.- 2003. V.105. - P. 271-298.

62. Carlstein E., Muller H., Siegmund D., Eds. Change-point Problems // Hayward. CA: Inst. Math. Stat. - 1994.

63. Chu C.-S.J. Detecting parameter shift in GARCH models // Econometric Reviews. 1995. - V.14. - P. 241-266.

64. Girshik M.A., Rubin H. A Bayes approach to a quality control models // Ann. Math. Stat. 1952. - V.23, № 1. - P. 114-125

65. Hunter J.S. The exponentially weighted moving average // Journal of Quality Technology. 1986. - V.18. - P. 19-25.

66. Kokoszka P.S., Leipus R., Testing for parameter changes in ARCH models // Lithuanian Mathematical Journal. 1999. - V.39 - P. 231-247.

67. Kokoszka P.S., Leipus R., Detection and estimation of changes in regime, in: Doughan P., Oppenheim G., Taqqu M.S., Eds., Long-Range Dependence: Theory and Applications. Birkhauser, Boston. 2002. - P. 325-337:

68. Kokoszka P.S., Leipus R., Change-point estimation in ARCH models // Bernoulli, 6 2002. - P. 513-539.

69. Kokoszka P.S., Teyssiere G. Change-point detection in GARCH models: asimptotic and bootstrap test. Under revision for the Journal of Business and Economics Statistics. 2002.

70. Lavielle M. Detection in multiple changes in a sequence of dependent variables // Stochastic Processes and their Applications. 1999. - V.83. - P. 79-102.

71. Lorden G. Procedures for reacting to a change of distribution // Annals Math. Statistics. 1971. - V.42, № 6. - P. 1897-1908

72. Lucas J.M., Saccucci M.S. Exponentially weighted moving average control schemes: properties and enhancements // Technometrics. -1990. V.32.-P. 1-12.

73. Moustakides G.V. Optimal stopping times for detecting changes in distributions // Ann. Statist. 1986. - V.14, № 4. - P. 1379-1387

74. Page E.S. Continuous inspection schemes // Biometrika,. 1954. - V.42, № 1. - P. 100-115

75. Picard D. Testing and estimating change-point in time series j J Adv. in Appl. Probab. 1985.- V.17.- P. 841-867.

76. Pollak M. Optimal detection of a change in disrtibution // Ann. Statist. -1985. V. 13, № 1. - P. 206-227

77. Pollak M. Average run length of an optimal method of detecting a change in distribution // Ann. Statist. 1987. - V. 15, № 2. - P. 749-779

78. Pollak M., Siegmund D. Approximations to the expected sample size of certain sequential tests // Ann. Statist. -1975. V.3, № 2. - P. 1267-1282.

79. Pollak M., Siegmund D. Sequential detection of a change in a normal mean when the initial value is unknown // Ann. Statist. 1991. - V. 19, №1,-P. 394 - 416.

80. Shewhart W.A. The application of statistics as an aid in maintaining quality of a manufactured product // J. Am. Statist. Ass. 1925. - V.20, № 3. - P-. 546-548

81. Siegmund D. Sequential Analysis. Tests and Confidence Intervals. -Springer-Verlag, New York Inc., 1985.

82. Yakir B. Dynamic sampling policy for detecting a change in distribution, with a probability bound on false alarms // Ann. Math. Stat. 1996. - V.24, № 5. P. 2199-2214

83. Yakir B. A note on optimal detection of a change in distribution // Ann. Math. Stat. 1997. - V. 25, № 5. - P. 2117-2126

84. Yakir В. On the average run length to false alarm in surveillance problems which possess an invariance structure // Ann. Math. Stat. 1998. - V. 26, № 3. - P. 1198 - 1214.

85. Xiao Z., Phillips P.C.B. A CUSUM test for cointegration using regression residuals // Journal of Econometrics. 2002. - V.108. - P. 43-61.

86. Yao Y. Estimating the number of change-point via Schwarz criterion // Statistics and Probability Letters. 1988. - V.6. - P. 181-189.