Методы оптимальной обработки нестационарных случайных марковских сигналов со скачкообразными изменениями параметров и импульсными возмущениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, доктор физико-математических наук Силаев, Андрей Михайлович
Силаев, Андрей Михайлович
доктор физико-математических наук
1998
- Специальность ВАК РФ01.04.03
- Количество страниц 380
Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Силаев, Андрей Михайлович
СОДЕРЖАНИЕ Стр.
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ СКАЧКООБРАЗНЫХ ИЗМЕНЕНИЯХ ПАРАМЕТРОВ В СЛУЧАЙНЫЕ МОМЕНТЫ ВРЕМЕНИ
§1.1. Синтез алгоритмов оптимальной фильтрации сигналов со
скачкообразными изменениями параметров
§ 1.2. Примеры оптимальных и квазиоптимальных алгоритмов нелинейного оценивания сигналов с учетом скачкообразных изменений параметров
моменты времени
§ 1.4. Примеры реализации алгоритмов оптимального оценивания сигналов
со скачкообразными изменениями параметров
§1.5. Оптимальное оценивание нестационарных сигналов при потоке
скачкообразных изменений параметров
ГЛАВА II. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ИМПУЛЬСНЫХ
МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
§ 2.1. Оптимальная фильтрация случайных процессов при совместном
действии импульсных и шумовых возмущений
§ 2.2. Оптимальное оценивание неоднородного пуассоновского потока импульсных возмущений. Метод суммирования по кратному числу
импульсов
§ 2.3. Алгоритмы оптимальной фильтрации импульсных случайных
процессов в дискретном времени
§ 2.4. Квазиоптимальный алгоритм оценивания случайных сигналов, описываемых моделями линейных уравнений при потоке импульсных возмущений
ГЛАВА III. ОПТИМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ Стр. ХАРАКТЕРИСТИК ДИСКРЕТНОГО СЧИТАЮЩЕГО ПРОЦЕССА, ОПИСЫВАЮЩЕГО ЧИСЛО СКАЧКООБРАЗНЫХ ИЛИ ИМПУЛЬСНЫХ
ИЗМЕНЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ
§3.1. Оценивание числа случайных импульсных возмущений,
действовавших на динамическую систему за время наблюдения
§3.2. Алгоритмы оценивания пуассоновского считающего процесса, основанные на методе суммировании по кратному числу импульсов
случайными моментами появления в дискретном времени
§3.4. Оптимальное оценивание числа скачков случайного телеграфного
сигнала в дискретном времени
ГЛАВА IV. МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ МОМЕНТОВ ПОЯВЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ИЗМЕНЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ
§4.1. Синтез алгоритмов оценивания моментов изменения свойств
случайных процессов в непрерывном времени
§ 4.2. Оптимальное оценивание момента изменения характеристик
случайной марковской последовательности
§4.3. Апостериорные вероятности моментов появления скачков
параметров сигналов
§ 4.4. Оценивание момента появления импульсного возмущения сигнала
в даскретном времени
ГЛАВА V. ОПТИМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ, ИЗМЕНЯЮЩИХ СВОИ СВОЙСТВА В
СЛУЧАЙНЫЕ МОМЕНТЫ ВРЕМЕНИ
§5.1. Синтез алгоритма оценивания параметров нестационарных марковских последовательностей при случайных скачкообразных изменениях
Стр.
§5.3. Оптимальное оценивание параметров нестационарного потока
импульсных сигналов
ГЛАВА VI. МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ СО СЛУЧАЙНЫМИ СКАЧКООБРАЗНЫМИ И
ИМПУЛЬСНЫМИ ИЗМЕНЕНИЯМИ ПАРАМЕТРОВ
§6.1. Оптимальное обнаружение сигналов со случайными скачкообразными изменениями параметров в непрерывном времени
параметров сигналов в дискретном времени
ГЛАВА VII. СКОРЕЙШЕЕ ОБНАРУЖЕНИЕ ВНЕЗАПНЫХ
ИЗМЕНЕНИЙ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
§ 7.1. Алгоритмы наискорейшего обнаружения скачкообразных или импульсных изменений характеристик сигналов в непрерывном времени . 292 § 7.2. Синтез алгоритмов скорейшего обнаружения разладки случайных
марковских последовательностей
§7.3. Исследование статистических характеристик алгоритмов скорейшего обнаружения резких изменений параметров сигналов
в дискретном времени
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Приложение 1. Статистические характеристики марковских точечных
случайных процессов
Приложение 2. Условия марковости для случайного процесса,
описывающего число скачков в непрерывном времени
Приложение 3. Условия марковости для случайного процесса,
описывающего число скачков в дискретном времени
ЛИТЕРАТУРА
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Радиофизика», 01.04.03 шифр ВАК
Применение методов теории оптимальной нелинейной фильтрации марковских случайных процессов для решения задач обработки нестационарных сигналов1999 год, кандидат физико-математических наук Польдин, Олег Викторович
Методы обработки нестационарных сигналов, основанные на скрытых марковских моделях2008 год, кандидат технических наук Королёв, Алексей Викторович
Методы анализа и оценивания в скрытых марковских системах при обработке разнородной информации2008 год, доктор физико-математических наук Борисов, Андрей Владимирович
Непараметрическое оценивание сигналов с неизвестным распределением2003 год, доктор физико-математических наук Добровидов, Александр Викторович
Исследование методов нелинейной пространственно-временной обработки случайных полей1998 год, кандидат физико-математических наук Быков, Александр Викторович
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы оптимальной обработки нестационарных случайных марковских сигналов со скачкообразными изменениями параметров и импульсными возмущениями»
ВВЕДЕНИЕ
Для широкого круга радиофизических проблем представляет интерес разработка и исследование оптимальных методов обработки нестационарных случайных сигналов, принимаемых на фоне помех. Задачи оптимального обнаружения и оценивания сигналов возникают в радиосвязи, радиолокации, гидроакустике, сейсмологии и других областях науки. Основы теории оптимальной фильтрации случайных процессов были сформулированы в работах [1, 2]. В работе [3] была впервые поставлена задача статистического синтеза оптимальных приемных устройств и дано решение классической задачи обнаружения детерминированных сигналов на фоне помех. К настоящему времени имеется обширная литература, посвященная различным вопросам теории оптимального приема сигналов. При этом рассматриваются все более сложные виды случайных сигналов и помех, и синтезированные алгоритмы находят широкое применение в современных радиоэлектронных устройствах обработки сигналов [4-32].
При решении задач оптимального оценивания сигналов обычно предполагается, что статистические характеристики сигналов, помех и структура наблюдений известны и постоянны во времени (стационарны) или же изменяются во времени (нестационарны), однако закон этого изменения заранее известен. Провести оптимальное оценивание линейных нестационарных процессов позволил подход, предложенный в [4, 5]. При этом для математического описания случайных сигналов использовались переменные в пространстве состояний, удовлетворяющие некоторой априори известной системе линейных дифференциальных (в непрерывном времени) или разностных (в дискретном времени) уравнений, правые части которых содержат возмущения типа белого гауссовского шума. В работах [6-8] была разработана общая теория оптимальной нелинейной фильтрации марковских случайных процессов, которая, как частный случай, включает в себя линейную теорию фильтров Калмана-Бьюси [4, 5]. Математическое рассмотрение проблем оптимальной
нелинейной фильтрации дано в [9]. Вопросы применения марковской теории фильтрации к обработке радиосигналов исследованы в [10-17]. Аппарат марковской теории нелинейной фильтрации позволяет эффективно решать задачи синтеза оптимальных систем обработки сложных нестационарных сигналов при действии разнообразных помех.
Вместе с тем в большинстве практических задач различные измерительные радиофизические системы работают в условиях существенно нестационарной сигнально-помеховой обстановки со скачкообразными изменениями параметров или импульсными возмущениями, возникающими в заранее неизвестные моменты времени. Решению задач синтеза оптимальных алгоритмов оценивания и обнаружения марковских нестационарных сигналов при скачкообразных и импульсных возмущениях и посвящена настоящая диссертационная работа. Учет скачкообразных изменений параметров сигналов или импульсных возмущений необходим, например, в следящих системах сопровождения при маневрах цели, в системах связи при резком изменении уровня помех или случайных замираниях сигнала. При диагностике сложных технических систем часто необходимо оценивать переменные, характеризующие состояние системы, и своевременно обнаруживать скачки параметров, приводящие к нарушению нормального режима ее работы (отказу). Поэтому рассматриваемые в настоящей работе алгоритмы оптимальной фильтрации сигналов с учетом скачкообразных или импульсных возмущений представляются весьма актуальными.
Для решения задач оптимального оценивания и обнаружения сигналов в работе использованы общие методы теории фильтрации дискретно-непрерывных процессов. К настоящему времени ряд результатов по фильтрации дискретно-непрерывных и импульсных марковских процессов получен в работах [10-17, 33-35]. Задачи оценивания и идентификации состояния динамических систем со случайной скачкообразно изменяющейся структурой при пуассоновской статистике потока переключений рассматривались в работах
[12, 36-41]. Фильтрации импульсных марковских процессов, описываемых в непрерывном времени интегродифференциальным уравнением Колмогорова-Феллера, посвящены статьи [42-45]. При этом также предполагается, что моменты появления импульсов образуют пуассоновский поток событий.
В отличие от перечисленных работ в диссертации задачи оптимального оценивания сигналов со скачкообразными изменениями параметров или импульсными возмущениями решаются в предположении, что априорно задано число скачков или импульсов на интервале наблюдения и известна (например, на основе многократных предварительных испытаний) априорная плотность вероятности моментов появления возмущений. Развивается новый подход, основанный на методах теории условных марковских процессов, который позволяет получить алгоритмы оптимального оценивания и обнаружения сигналов как для конечного числа скачкообразных изменений параметров сигналов (импульсных возмущений), так и для случая бесконечного потока скачков (импульсов). Причем при пуассоновской статистике потока моментов появления возмущений в непрерывном времени результаты переходят в известные [8, 10, 38].
Как известно, задача оптимального оценивания случайных сигналов при скачкообразных изменениях их параметров взаимосвязана с задачей оптимального обнаружения скачков [13, 46, 47]. По проблеме обнаружения скачкообразных изменений свойств случайных процессов к настоящему времени опубликовано большое число работ (см. обзоры [48-52], библиографии [53,54], монографии [55-59] и специальные выпуски [60, 61]). Для решения данной проблемы используются различные методы. Например, в работах [52, 62, 63] рассматриваются процедуры обнаружения и оценивания моментов скачкообразных изменений свойств случайных процессов, осуществляемые после окончания наблюдений. При этом для оценивания моментов появления скачков могут применяться метод максимального правдоподобия (см. также [59, 64-70]) или байесовский подход (если задана априорная плотность
вероятности моментов появления скачков). Однако в случае многокомпонентных процессов или при большом числе скачков на интервале наблюдения реализация синтезированных в [62, 63] процедур требует слишком большого объема вычислений.
При исследовании различных динамических систем, подверженных влиянию шумовых и случайных импульсных возмущений, в ряде задач возникает проблема оптимального оценивания числа импульсных возмущений, воздействовавших на систему за время наблюдения. В качестве примеров можно привести задачи определения числа элементарных частиц, зарегистрированных измерительной системой в физических экспериментах, оценивание числа объектов при обработке отраженных сигналов в радио- и гидролокации, измерения параметров случайных импульсных потоков на фоне шумов и т.п. [23, 28]. Для решения этой проблемы могут быть использованы методы выделения случайных потоков сигналов из смеси с шумом с одновременным оцениванием параметров потоков [23, 28], а также разработанные к настоящему времени различные методы обнаружения моментов скачкообразных изменений свойств случайных процессов [52]. При использовании этих методов обычно также подразумевается, что обработка сигналов проводится после завершения очередного этапа наблюдений, а для ее осуществления применяются параллельные схемы с запоминанием всей наблюдаемой реализации.
Более удобными для реализации представляются последовательные статистические методы обнаружения моментов изменения свойств случайных процессов и оценивания их параметров. При этом анализ проводится рекуррентным образом по мере поступления информации в ходе наблюдения случайного процесса. Среди последовательных методов к настоящему времени наиболее развиты процедуры, не использующие (в явном виде) априорную информацию о моментах появления скачков или импульсов. К ним относятся, например, алгоритмы кумулятивных сумм [56, 71-74], различные алгоритмы с ограниченной памятью на наблюдения или с применением скользящих окон [75, 76], а также алгоритмы, использующие так называемые "обновляющие
процессы" [77] и их свойства изменять свои статистические характеристики при появлении очередного скачкообразного или импульсного возмущения [49, 51, 78-83].
В меньшей степени исследовались последовательные статистические методы обнаружения скачкообразных изменений параметров случайных процессов с известной априорной информацией о возможных моментах появления скачков. Следует отметить, что априорную плотность вероятности моментов появления скачков во многих случаях можно заранее оценить. Учет данной априорной информации, очевидно, в принципе дает возможность улучшить алгоритмы оптимальной обработки сигналов на фоне помех. Вопросы скорейшего обнаружения момента изменения свойств случайного процесса (задача о разладке) без проведения оценивания с использованием априорной плотности вероятности момента появления скачка были рассмотрены в работах [8, 55, 84-87]. Близкие задачи решались позднее в [88-90]. В работе [91] была рассмотрена задача оптимального обнаружения на фоне белых гаус-совских шумов детерминированного сигнала со случайным моментом включения на интервале наблюдения. Некоторые вопросы оптимального обнаружения детерминированного сигнала на фоне импульсных помех исследовались в [92, 93]. В перечисленных работах было показано, что для функций, имеющих смысл апостериорных вероятностей появления скачка к текущему моменту времени, с учетом наблюдений можно записать замкнутые уравнения (дифференциальные в случае непрерывного времени или разностные в дискретном времени), позволяющие вычислять данные функции рекуррентным образом по мере поступления новых наблюдений. При этом оказалось, что для вычисления апостериорной вероятности появления скачка параметров в случайном процессе не требуется дополнительно оценивать сам момент скачка или прибегать к сложным многоканальным схемам с запоминанием реализации наблюдений. Заметим, что при использовании некоторых методов последовательного статистического анализа [48-52, 86, 94] для обнаружения моментов разладок статистических характеристик случайных процессов
необходимо производить их оценивание, которое в этом случае однако носит вспомогательный характер. В работе [95] была найдена замкнутая система стохастических дифференциальных уравнений для среднеквадратичной байесовской оценки момента смещения среднего уровня белого гауссовского шума в непрерывном времени.
С другой стороны, в настоящее время имеется много работ (см., например, [8, 10, 28, 36-38, 96-108]), посвященных исследованию алгоритмов оптимальной фильтрации случайных процессов, имеющих на случайных интервалах времени различные структуры, с учетом многократных возможных переходов из одной структуры в другую. Причем для вывода основных уравнений фильтрации предполагается, что процесс скачкообразного изменения структур является марковским и задаются априорные интенсивности переходов из одного состояния в другое. Оказывается, что в этом случае можно найти последовательные процедуры для вычисления апостериорных вероятностей процессов в текущем времени и синтезировать алгоритмы оптимальной фильтрации случайных процессов по наблюдениям на фоне белых гауссовских шумов. Одновременно определяются также апостериорные вероятности различных структур оцениваемых процессов в текущем времени. Однако важно отметить, что при этом не учитывается вклад в данные апостериорные вероятности (явным образом) каждого отдельно взятого скачка. Тем самым теряется часть априорной информации о каждом скачке в отдельности, что приводит в общем случае к потере точности оптимального оценивания сигналов при случайных скачкообразных или импульсных возмущениях.
В настоящей работе показано, что для непрерывного апостериорного анализа текущих наблюдений, когда обработка проводится одновременно с получением новых данных, синтез алгоритмов фильтрации, обнаружения и оценивания параметров случайных сигналов при скачкообразных и импульсных изменениях их характеристик может быть осуществлен с использованием методов теории условных марковских процессов [8-10]. Статистический син-
тез алгоритмов обработки проводится в предположении, что моменты изменения характеристик сигналов образуют марковский точечный случайный процесс в непрерывном или дискретном времени. В этом случае удается получить более точные процедуры оценивания сигналов с учетом появления каждого отдельного скачка или импульса, сформировать отношения правдоподобия в реальном масштабе времени и применить разработанные методы к решению задач обнаружения внезапных изменений характеристик случайных процессов и сигналов.
Цель работы. В соответствии с рассмотренным выше состоянием проблемы оптимального оценивания нестационарных сигналов со случайными скачкообразными и импульсными возмущениями при проведении исследований, отраженных в диссертации, были поставлены следующие цели:
1. Разработать методы построения оптимальных нелинейных фильтров для нестационарных негауссовских случайных процессов и сигналов со скачкообразными изменениями параметров или импульсными возмущениями, происходящими в случайные моменты времени.
2. Разработать методы оптимального оценивания статистических характеристик дискретного считающего процесса, описывающего число скачкообразных или импульсных изменений параметров сигналов.
3. Выработать методы оптимального обнаружения и оценивания моментов скачкообразных или импульсных возмущений в наблюдаемых случайных процессах с текущим контролем качества формируемых оценок.
4. Получить алгоритмы оптимального оценивания параметров марковских процессов, изменяющих свои свойства в случайные моменты времени.
5. Разработать алгоритмы наискорейшего обнаружения резких изменений в сигналах и динамических системах, используя различные критерии для объявления "тревоги" или остановки процесса наблюдений.
6. Выполнить аналитические исследования и моделирование полученных алгоритмов обнаружения и оценивания, а также изучить их точность, эффективность и связь с известными методами.
Методы решения. При решении поставленных задач использовались методы марковской теории нелинейной фильтрации случайных процессов [8-10], а также общие методы теории вероятностей, статистической радиофизики, оптимальной и адаптивной обработки сигналов [109-137].
Научная новизна работы заключается в следующем:
1. Разработаны методы синтеза систем оптимального оценивания нестационарных случайных сигналов в непрерывном и дискретном времени при скачкообразных изменениях их параметров или структуры наблюдаемого процесса. Получены уравнения алгоритмов оптимального оценивания сигналов в предположении, что моменты появления скачков образуют марковский точечный процесс в дискретном и непрерывном времени.
2. Разработаны методы синтеза систем оптимального оценивания нестационарных сигналов с учетом импульсных возмущений в непрерывном и дискретном времени. Развит подход, основанный на задании априорных плотностей вероятности моментов появления импульсов и их амплитуд. Предполагается, что моменты появления импульсов образуют марковский точечный процесс в дискретном или непрерывном времени.
3. Получены алгоритмы оптимального оценивания числа случайных импульсных и скачкообразных изменений параметров сигналов в непрерывном и дискретном времени.
4. Определены необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять вероятностные распределения моментов появления скачков или импульсов в непрерывном и дискретном времени, чтобы случайный точечный считающий скачки и импульсы процесс был марковским.
5. Разработан метод оценивания статистических характеристик пуассоновско-го считающего процесса в непрерывном времени, основанный на суммировании по кратному числу импульсов. Получены аналогичные уравнения для оценивания характеристик потока импульсных возмущений сигналов в дискретном времени.
6. Решена задача оптимального оценивания моментов случайных скачкообразных и импульсных изменений параметров сигналов, наблюдаемых на фоне белых шумов в непрерывном времени или дискретном времени. Показано, что оптимальную в среднеквадратичном смысле оценку моментов скачков можно представить в виде суммы условных оценок (по числу учитываемых изменений), которые вычисляются в текущем времени с помощью системы взаимосвязанных дифференциальных уравнений совместно с апостериорными вероятностями скачков или импульсов и условными плотностями вероятности информационного сигнала.
7. Разработан метод оптимального оценивания параметров марковских последовательностей при случайных скачкообразных изменениях в дискретном времени. Получен алгоритм оценивания параметров случайных последовательностей, описываемых моделями регрессии с учетом скачкообразных изменений в случайный момент времени.
8. Синтезированы алгоритмы оптимального обнаружения (различения) сигналов, принимаемых на фоне шумов, с учетом скачкообразных изменений параметров в непрерывном и дискретном времени. Решена задача оптимального обнаружения прямоугольного импульсного сигнала со случайными амплитудой и моментом появления. Разработан алгоритм обнаружения случайной пачки импульсных сигналов, наблюдаемых на фоне белых гауссовских шумов в непрерывном времени.
9. Решена задача скорейшего обнаружения скачкообразного или импульсного изменения параметров сигналов в непрерывном и дискретном времени. Сформулированы правила определения оптимальных моментов остановки наблюдений при использовании различных функций потерь, в том числе не-
квадратичных, для объявления "тревоги" или минимизации времени запаздывания при обнаружении. Показано, что в момент остановки минимизируются средние потери. Найдены выражения для функций апостериорных потерь в непрерывном и дискретном времени. Показано, что для решения задачи скорейшего обнаружения разладки можно использовать алгоритмы оптимального в среднеквадратическом смысле оценивания момента появления скачка. 10. Исследованы примеры, представляющие практический интерес и демонстрирующие работу синтезированных схем оптимального оценивания и обнаружения сигналов: алгоритмы оценивания и обнаружения на фоне шума прямоугольного импульсного сигнала со случайными амплитудой и моментом появления; оптимального оценивания числа скачков телеграфного марковского сигнала, наблюдаемого на фоне шума; оптимального оценивания моментов внезапного изменения параметров сигналов - среднего значения, дисперсии и коэффициента корреляции в наблюдаемой последовательности случайных га-уссовских величин. Результаты компьютерного моделирования подтвердили высокую эффективность синтезированных алгоритмов и теоретические выводы о возможности их использования для задач обработки нестационарных сигналов с учетом скачкообразных и импульсных изменений параметров в случайные моменты времени.
Таким образом, в диссертации разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное достижение в развитии перспективного направления статистической радиофизики - оптимального оценивания и обнаружения сигналов при скачкообразных изменениях параметров и импульсных возмущениях в случайные моменты времени.
Практическая ценность. Полученные в диссертации теоретические результаты могут быть использованы при проектировании оптимальных и адаптивных систем обработки нестационарных сигналов в радиолокации, радиосвязи, радиоавтоматике, гидроакустике и других областях науки и техники. Приведенные в диссертации алгоритмы оптимального оценивания и обнаружения
сигналов могут применяться в системах управления объектами, функционирующими в изменяющихся условиях, а также при диагностировании состояния сложных технических систем для своевременного обнаружения нарушений нормального режима их работы. Полученные результаты могут быть применены для обработки данных радиофизических экспериментов как в научно - исследовательских учреждениях, например, в Акустическом Институте РАН, МНИИП (г. Москва), ЦНИИ им. акад. Крылова (г. Санкт-Петербург), ИПФ РАН (г. Нижний Новгород), так и в других организациях, связанных с практическим использованием систем оптимальной и адаптивной обработки сигналов.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, семи глав и заключения. Общий объем работы - 380 страниц, включая 300 страниц основного текста, три приложения на 19 страницах, 60 рисунков и список литературы из 181 наименования на 17 страницах.
Содержание работы.
Во введении освещается современное состояние проблемы, дается краткий обзор работ по методам оптимальной обработки сигналов со скачкообразными изменениями параметров и импульсными возмущениями, обосновывается актуальность темы диссертации, определяется цель работы и кратко излагается содержание работы.
В первой главе методами теории нелинейной фильтрации марковских процессов в непрерывном и дискретном времени рассматриваются теоретические вопросы синтеза и анализа систем оптимального оценивания сигналов при скачкообразных изменениях их параметров или структуры наблюдений в случайные моменты времени.
В § 1.1 дается общая постановка задачи и выводятся алгоритмы оптимального оценивания сигналов в предположении что моменты появления
скачкообразных изменений параметров образуют случайный марковский точечный процесс в непрерывном времени.
В § 1.2 рассматриваются алгоритмы нелинейного оценивания сигналов в непрерывном времени для двух конкретных задач - оптимального оценивания среднего значения белого гауссовского шума с учетом скачкообразного изменения в случайный момент времени и оптимального оценивания прямоугольного импульсного сигнала со случайным моментом появления на фоне белого гауссовского шума заданной интенсивности. Исследуются статистические характеристики и обсуждается структура полученных алгоритмов обработки сигналов.
В § 1.3 дается общая постановка задачи и рассматриваются методы оптимального оценивания нестационарных марковских последовательностей в предположении, что моменты появления скачкообразных изменений параметров сигналов или структуры наблюдений образуют случайный марковский точечный процесс в дискретном времени. Апостериорная плотность вероятности величины оцениваемого сигнала представляется в виде суммы условных плотностей вероятности по числу учитываемых скачков. Для вспомогательных условных плотностей вероятности получена система взаимосвязанных разностных уравнений в дискретном времени.
В § 1.4 приведены результаты моделирования работы алгоритмов оптимального оценивания сигналов со скачкообразными изменениями параметров в дискретном времени - при оптимальном оценивании среднего значения наблюдаемого гауссовского белого шума и при оценивании прямоугольного импульсного сигнала со случайной длительностью и моментом появления. Результаты моделирования подтверждают работоспособность и эффективность синтезированных алгоритмов.
На практике встречаются задачи, когда скачкообразные изменения параметров сигналов можно аппроксимировать бесконечным потоком скачков. Оказывается, что в подобных ситуациях иногда можно просуммировать бес-
конечную цепочку взаимосвязанных уравнений алгоритма оценивания сигнала по числу учитываемых скачков. В итоге получаются более простые алгоритмы решения задачи. В § 1.5 приводятся примеры такого упрощения задач при потоке скачкообразных изменений параметров в непрерывном и дискретном времени.
Вторая глава посвящена разработке методов оптимального и квазиоптимального оценивания сигналов с учетом импульсных возмущений - так называемых возмущений волнообразной формы [138]. Такие возмущения описывают воздействие на систему импульсов заданной формы со случайными амплитудами и моментами появления. В отличие от возмущений типа шума, которые имеют хаотический характер и которым не свойственна какая-либо регулярность, возмущения волнообразной формы (импульсные возмущения) обладают квазидетерминированной структурой - они могут быть представлены математически с помощью полностью известных функций времени (за исключением некоторых параметров - амплитуд, моментов появления и числа импульсов).
В §2.1 показывается, что задача оптимальной фильтрации сигналов с импульсными возмущениями с помощью замены переменных сводится к задаче оптимального оценивания сигналов со скачкообразно изменяющимися параметрами при одновременных переключениях наблюдаемого процесса. Дается общая постановка задачи и выводятся алгоритмы оптимальной фильтрации случайных процессов при совместном действии импульсных и шумовых возмущений. Находится система взаимосвязанных уравнений для условных апостериорных плотностей вероятности процесса и апостериорных вероятностей появления различного числа импульсов к текущему моменту времени. Данные уравнения позволяют синтезировать алгоритмы оптимального оценивания случайного процесса по наперед заданному критерию оптимальности.
В § 2.2 исследуется оптимальная фильтрация случайного марковского сигнала при неоднородном пуассоновском потоке импульсных возмущений с
независимыми и одинаково распределенными амплитудами. Отмечается, что в данном частном случае для апостериорной плотности вероятности сигнала в результате суммирования по всем возможным импульсным возмущениям удается получить всего одно замкнутое интегродифференциальное уравнение, которое хорошо известно в теории оптимальной фильтрации разрывных марковских процессов, как уравнение Колмогорова-Феллера-Стратоновича. Для приближенного решения данного уравнения разрабатывается метод суммирования по кратному числу импульсов. В случае сигналов, описываемых моделями линейных уравнений, находятся квазиоптимальные алгоритмы оценивания в гауссовском приближении по условным вспомогательным плотностям вероятности.
В § 2.3 дается постановка и решение задачи синтеза оптимального алгоритма оценивания случайных сигналов с импульсными и шумовыми возмущениями в дискретном времени. Показывается, что для апостериорной плотности вероятности сигнала можно получить систему взаимосвязанных рекуррентных уравнений, которые учитывают каждое импульсное воздействие в отдельности. В случае потока импульсов с взаимонезависимыми и одинаково распределенными амплитудами и при условии, что интервалы времени между импульсами распределены по геометрическому закону, для апостериорной плотности вероятности сигнала можно получить одно рекуррентное уравнение, аналогичное уравнению Колмогорова-Феллера-Стратоновича в непрерывном времени. Разрабатывается метод суммирования по кратному числу импульсов для решения данного уравнения.
В § 2.4 выводится квазиоптимальный алгоритм оценивания случайных сигналов, описываемых моделями линейных уравнений в дискретном времени при потоке импульсных возмущений. Даются результаты компьютерного моделирования для ряда простых примеров оценивания сигналов с учетом импульсных возмущений. Проводится сравнение с известными алгоритмами фильтрации по точности оценивания сигналов. Результаты моделирования подтверждают теоретические выводы о высокой точности оценивания и эф-
фективности алгоритмов, синтезированных методом суммирования по кратному числу импульсов.
Третья глава посвящена разработке методов оптимального оценивания статистических характеристик дискретного считающего процесса, описывающего число скачкообразных или импульсных изменений параметров сигналов на интервале наблюдения.
В § 3.1 рассматривается задача оценивание числа случайных импульсных возмущений в непрерывном времени, действовавших на динамическую систему за время наблюдения.
В § 3.2 разрабатывается метод оценивания статистических характеристик пуассоновского считающего процесса в непрерывном времени, основанный на суммировании по кратному числу импульсов. Находятся уравнения алгоритма оптимального оценивания числа скачков телеграфного двухуровне-го сигнала, наблюдаемого на фоне белого гауссовского шума. Обсуждается структура полученного алгоритма.
В § 3.3 рассматривается задача синтеза алгоритмов оценивания числа импульсных сигналов со случайными моментами появления в дискретном времени. Находятся уравнения приближенных алгоритмов оценивания в предположении, что в каждый момент времени учитывается лишь конечное число из всего потока импульсных возмущений, которые реально действуют на динамическую систему в данный момент времени.
В § 3.4 исследуется алгоритм оптимального оценивания числа скачков случайного телеграфного сигнала в дискретном времени. Проводится анализ статистических характеристик данного алгоритма с помощью численного моделирования. Результаты моделирования согласуются с теоретическими выводами о потенциальных возможностях алгоритма.
Методам оптимального оценивания моментов появления случайных изменений параметров сигналов посвящена четвертая глава диссертации.
В § 4.1 методами марковской теории нелинейной фильтрации решается задача оптимального оценивания моментов случайных скачкообразных и импульсных изменений параметров сигналов, наблюдаемых на фоне белых гауссовских шумов в непрерывном времени. Оптимальная в среднеквадратичном смысле оценка моментов скачков представляется в виде суммы условных оценок (по числу учитываемых изменений), которые вычисляются в текущем времени с помощью системы взаимосвязанных дифференциальных уравнений. Рассматривается пример оптимального оценивания момента изменения среднего значения случайного процесса.
В § 4.2 разрабатывается метод оптимального оценивания момента изменения характеристик случайной марковской последовательности. Выводятся уравнения алгоритма, позволяющие с помощью последовательной обработки наблюдаемых данных в текущем времени определять оптимальную в среднеквадратическом смысле оценку и апостериорную дисперсию момента изменения свойств случайной последовательности. Исследуются статистические характеристики полученного алгоритма в задачах оценивание момента изменения среднего значения, дисперсии и коэффициента корреляции наблюдаемой последовательности случайных величин.
В § 4.3 рассматривается класс задач, когда удается получить точные алгоритмы вычисления апостериорного распределения момента скачка в текущем времени. Проводится статистический анализ полученных алгоритмов с помощью компьютерного моделирования при различных соотношениях сигнал/шум.
В § 4.4 решается задача оптимального оценивания момента появления случайного импульсного возмущения в дискретном времени, наблюдаемого на фоне белошумовой последовательности. Выводятся уравнения, позволяющие в текущем времени вычислять оптимальную в среднеквадратическом смысле оценку и апостериорную дисперсию момента появления импульса. В гауссовском приближении по вспомогательным условным плотностям вероятности находится упрощенный алгоритм оптимального оценивания, который
и рекомендуется для практического применения. На численном примере проводится исследование потенциальных возможностей и статистических характеристик полученного алгоритма.
Пятая глава посвящена разработке методов оптимального оценивания параметров марковских процессов, изменяющих свои свойства в случайные моменты времени.
В § 5.1 дается общая постановка задачи и выводится алгоритм оптимального оценивания параметров нестационарных марковских последовательностей при случайных скачкообразных изменениях.
В § 5.2 разрабатывается алгоритм оценивания параметров случайных последовательностей, описываемых моделями регрессии с учетом скачкооб-
и и V />
разных изменении в случайный момент времени. С помощью моделирования исследуются статистические характеристики синтезированного алгоритма для задачи оценивания параметров авторегрессионного процесса с возможными изменениями значений на интервале времени наблюдений.
В § 5.3 выводятся уравнения алгоритма и с помощью компьютерного моделирования проводится исследование алгоритма оптимального оценивания параметров нестационарного потока импульсных сигналов, наблюдаемых в дискретном времени и описываемых линейными уравнениями с шумовыми и импульсными возмущениями.
В шестой главе в непрерывном и дискретном времени рассматриваются теоретические вопросы синтеза систем оптимального обнаружения сигналов при скачкообразных изменениях их параметров или импульсных возмущениях в случайные моменты времени.
В § 6.1 дается общая постановка задачи оптимального обнаружения сигналов со случайными скачкообразными изменениями параметров в непрерывном времени и выводятся уравнения алгоритма вычисления функционала отношения правдоподобия в данной задаче. В качестве примера рассматривается алгоритм оптимального обнаружения на фоне белого гауссовского шу-
ма прямоугольного скалярного импульсного сигнала случайной длительности и со случайной амплитудой.
В § 6.2 разрабатывается алгоритм обнаружения случайной пачки импульсных сигналов, наблюдаемых на фоне белых гауссовских шумов в непрерывном времени.
В § 6.3 выводятся алгоритмы оптимального обнаружения скачкообразных изменений параметров сигналов в дискретном времени. В общем виде получены уравнения рекуррентного алгоритма вычисления отношения правдоподобия для задачи обнаружения скачков. Рассматривается пример оптимального обнаружения прямоугольного импульсного сигнала со случайными амплитудой и моментом появления. С помощью компьютерного моделирования находятся статистические характеристики синтезированного алгоритма -зависимости вероятностей ошибок обнаружения от величины отношения сигнал/шум. Результаты моделирования подтверждают теоретические выводы о возможности использования синтезированных алгоритмов для обнаружения случайных импульсных сигналов, наблюдаемых на фоне белых гауссовских шумов.
В седьмой главе рассматриваются задачи наискорейшего обнаружения внезапных изменений характеристик случайных процессов в непрерывном и дискретном времени.
В § 7.1 разрабатываются методы скорейшего обнаружения изменения свойств случайных процессов в непрерывном времени. Рассматриваются различные варианты функций потерь, в том числе неквадратичные, для объявления "тревоги" или остановки процесса. Для каждого варианта находятся правила определения оптимальных моментов остановки наблюдений.
В § 7.2 проводится синтез алгоритмов скорейшего обнаружения разладки случайных марковских последовательностей. Находятся функции апостериорных потерь в дискретном времени и формулируются правила опреде-
ления моментов остановки наблюдений, при которых минимизируются средние потери.
В § 7.3 рассматриваются примеры скорейшего обнаружения скачкообразного изменения параметров сигналов - среднего значения, дисперсии и коэффициента корреляции наблюдаемой последовательности случайных гаус-совских величин. С помощью компьютерного моделирования исследуются статистические характеристики алгоритмов скорейшего обнаружения данных типов скачков в зависимости от параметров наблюдаемых сигналов.
В заключении перечисляются основные результаты работы и следующие из них выводы.
В Приложении 1 рассматриваются условия, которым должны удовлетворять плотности вероятности моментов появления скачков, чтобы случайный процесс, описывающий число появившихся к текущему моменту времени скачков, был марковским.
Приложение 2 и Приложение 3 содержат доказательства утверждений о необходимости и достаточности условий марковости случайного точечного процесса, описывающего число появившихся скачков соответственно в непрерывном и дискретном времени.
Положения, выносимые на защиту.
1. Разработанные методы оптимального оценивания сигналов при скачкообразных изменениях параметров и импульсных возмущениях в непрерывном и дискретном времени.
2. Синтезированные алгоритмы оптимального оценивания статистических характеристик случайного процесса, описывающего число скачков или импульсов, появившихся за время наблюдения.
3. Методы оптимального оценивания параметров случайных процессов, изменяющих свои свойства в случайные моменты времени, в том числе методы оптимального в среднеквадратическом смысле оценивания моментов появления скачков или импульсов.
4. Разработанные методы оптимального обнаружения сигналов со случайными скачкообразными и импульсными изменениями параметров в непрерывном и дискретном времени.
5. Алгоритмы скорейшего обнаружения скачкообразных или импульсных изменений характеристик сигналов в непрерывном и дискретном времени.
6. Результаты решения ряда модельных задач оценивания нестационарных сигналов с обнаружением скачкообразных или импульсных воздействий в случайные моменты времени.
Апробация результатов работы. Основные результаты работы докладывались на Всесоюзной научно-технической конференции "Статистические методы в теории передачи и преобразования информационных сигналов" (Киев, 1985, 1988), на IV Дальневосточной акустической конференции "Акустические методы и средства исследования океана" (Владивосток, 1986), на III Всесоюзной научно-технической конференции "Прием и анализ сверхнизкочастотных колебаний естественного происхождения" (Львов, 1990), на 5-м Ленинградском симпозиуме по теории адаптивных систем "Адаптивные и экспертные системы в управлении". (Ленинград, 1991), на II Всесоюзной научно-технической конференции "Методы представления и обработки случайных сигналов и полей" (Туапсе, 1991), на международных научных школах-семинарах "Динамические и стохастические волновые явления " (Н. Новгород, 1992, 1994), на XII научно-техническом семинаре "Статистический синтез и анализ информационных систем" (Черкассы, 1992), на Всероссийской научно-технической конференции "Направления развития систем средств связи" (Воронеж, 1996), на научных конференциях по радиофизике ННГУ, а также на семинарах кафедры бионики и статистической радиофизики Нижегородского государственного университета.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях [139-168], учебном пособии [169], а также в тезисах докладов конференций [ 170-181 ].
ГЛДВАI. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
I
ПРИ СКАЧКООБРАЗНЫХ ИЗМЕНЕНИЯХ ПАРАМЕТРОВ В СЛУЧАЙНЫЕ МОМЕНТЫ ВРЕМЕНИ
Методы марковской теории оптимальной нелинейной фильтрации широко используются при обработке сигналов, наблюдаемых на фоне шумов. При этом обычно предполагается, что статистические характеристики сигналов, помех и наблюдаемых процессов известны и постоянны во времени. Однако во многих задачах параметры сигналов или структура наблюдаемых процессов могут изменяться во времени случайным образом. На практике часто встречаются ситуации скачкообразного изменения параметров сигналов, помех или самой структуры наблюдений. Учет подобных "скачков", например, необходим в радиолокации при приеме сигналов с неизвестными временами появления, в системах связи при случайных замираниях или при резком увеличении уровня помех, в системах обнаружения и диагностики сбоев нормального режима работы сложных техниче9ких объектов и при решении многих других прикладных задач. В настоящей главе рассматриваются общие методы решения задач оптимального оценивания сигналов при случайных скачкообразных изменениях их параметров или структуры в случайные моменты времени. Выводятся уравнения алгоритмов оптимальной фильтрации сигналов и рассматриваются примеры их использования в некоторых задачах.
В диссертации принята тройная нумерация формул: первое число - номер главы, второе - номер параграфа, третье - номер формулы в пределах параграфа. При ссылках внутри параграфа используется только номер формулы. Для рисунков применяется двойная нумерация: первое число - номер главы, второе - номер рисунка в пределах главы.
§ 1.1. Синтез алгоритмов оптимальной фильтрации сигналов со скачкообразными изменениями параметров
1. Постановка задачи. Пусть информационный сигнал описывается марковским при фиксированных моментах скачков х векторным
процессом х(У) с условной априорной плотностью вероятности Р(х, для
которой задано уравнение
дР(х^\т) д г
Ь„Р(х,1 |г), тп<1<гп+1, (1.1.1)
ЬмР(х, (\т), тм < /
[п = \,М-Х ] - О, М; где ¿Д-) - операторы, описывающие эволюцию состояния случайного процесса в промежутках между скачками. В начальный момент времени / = 0 считаем известной априорную плотность вероятности Р^ (г) совокупности т случайных упорядоченных моментов скачков ц <т2< ... < т^ , а также условную плотность вероятности Р(х,0\т} вектора х(0) при фиксированном г . Будем полагать, что Р(х, 0|г) имеет вид
Г t<Tl
р(х,0\т)^ Ых), Тп<г< тп+1 , [п = \М-\), (1.1.2) [Рм{х), тм < I
где Р](х) - заданные условные плотности вероятности величины х при j = О, М.
Предположим, что при 1> О производятся наблюдения векторного случайного процесса у((). Уравнение наблюдений будем представлять в виде
Я*) = *[*(')» ?>'] +¿7(')> (1.1.3)
?[£(/),г,г] = < гп<г< тп+х ,(п = \,М-1, ? >о).
тм < *
Здесь - заданные векторные функции сигнала х(т) и времени I ; 77^)-
вектор белых гауссовских шумов наблюдений, статистически независимых с х{1) и г, с нулевым средним значением и матрицей интенсивностей Лг(/). Для
общности рассмотрения предполагается, что в моменты времени Г|, г2, . . ., г.у одновременно со скачками параметров сигнала в (1) могут также происходить скачкообразные изменения структуры наблюдаемого процесса в модели (3), т.е. скачком меняется сигнальная функция ?[£(*),?,/]. При этом М - число одновременно учитываемых скачков в сигнале и структуре наблюдений. Задача оптимальной фильтрации состоит в том, чтобы по принятой к моменту времени 7
реализации наблюдений у{0 = \у{}'), О < г' < ?} процесса у{0 оптимальным образом произвести оценивание сигнала .
В дальнейшем ограничимся рассмотрением только определенного класса функций априорной плотности вероятности вектора моментов появления
скачков х . Будем считать, что априорная плотность вероятности момента появления первого скачка Рт (т^) может быть произвольной, а на условные априорные плотности вероятности других моментов скачков наложим следующие ограничения "марковости":
/'(г'и|гл_1,гя_2,...,г1) = Р(ги|гд_1), (1.1.4)
Р(т„\т»-1 <г~тп > хп-1) = Р(*п\*п-\ < ^ *»)> (п = %М).
Предполагается, что плотность вероятности момента появления п -го скачка хп при фиксированных предыдущих моментах скачков зависит только от г„_] и не зависит от т1,г2,..., г/?_2- А плотность вероятности величины х„ при условии,
что к моменту времени I произошло п-1 скачков (тп__{ < 1 < ги), не зависит от момента появления (п -1) -го скачка тп_1.
2. Переход к дискретно-непрерывной совокупности случайных процессов. Для решения поставленной задачи введем случайный процесс в{имеющий
смысл числа скачков, появившихся к текущему моменту времени ?:
м
= (?>о), (1.1.5)
;=1
где принято обозначение
/ \ ГО, (<т,
К,-г,)-^ г> < (1.1.6)
для единичной ступенчатой функции. Дискретный процесс /9(/) может принимать целочисленные значения
0, / < Г! _
п, тп<1<тп+1, (п = \М-\). (1.1.7)
М, тм <I
При этом вероятности состояний процесса &(() выражаются через априорные вероятности моментов появления скачков
40
+00
Г
I +00
{\в^) = п\^рпрг(1) = Р(тп_1<1<тп)= | йтп \РТпгп+Хтп^п+\Уч+и (1.1.8)
—со (
р[в{() = лф Рмрг(() = Р{тм < г) = / />гд/ (тм)атм,
-00
где - плотность вероятности величины г,7; Рт„тп+Х (тп> тп+\) - совместная
плотность вероятности для тп и тп+1 . В силу того, что моменты появления скачков считаются упорядоченными г„+1 > хп, для априорных плотностей вероятности выполняется следующее равенство
+00
\ йхп I^тптп+1 (ги> тп+\Утп+\
+00 +00 +О0 +00
= I ¿Тп 1Рт„гя+1(тП>Тп+1)е?тп+1- 1 Лтп \Ртптп+х(*п^п+\¥Гп+\ -оо ; г г
+оо +оо +оо
г г /
Поэтому соотношения (8) можно записать в виде дифференциальных уравнений Форг1* = -Ртх(*), Фпрг/Ж = -РТп+^)+РТп(г), <фМрг/<Ь = РТмк), (1-1.9)
где РТп{1)=-РГп{тп\тп=1 ' априорная плотность вероятности появления и-го
скачка в момент времени тп —I. Вводя функции
/+00
уо(0эРг1(0/ (11-ю)
I +О0 /+00
/ -оо / / г
(п = 1,М-1; I > о)
из формул (8), (9) получим уравнения априорного изменения вероятностей состояний процесса #(/) в виде уравнений Колмогорова-Чепмена и начальные условия к ним
Фо /ДОМ = -^(О^ОргМ. Фпрг(*)/<й = -Уп(*)Рпрг(*)+Уп-1(*)Рп-1рг(*)>
Фмрг(1)/ш = ум-1(*)Рм-1А*)> (« = 1^-1; '>°); (1-1-Ц)
+00 +00
О о
о
РА/^(01/=О= = • (1.1.12)
Отметим, что выражения (9), (11) справедливы для произвольных априорных плотностей вероятности Рх (тп) моментов появления скачков, и при их выводе
не использовались условия марковости (4).
В Приложении 1 показано, что условия (4) для плотностей вероятности моментов появления скачков являются необходимыми и достаточными для того, чтобы процесс 6>(7) был марковским. При этом коэффициенты уи(/) в уравнениях (11), вычисляемые по формулам (10), принимают смысл условных плотностей вероятности перехода процесса в{1) с уровня #(/) = п на уровень 6>(7) = п +1 в
момент времени I, т.е.
При выполнении первого условия в (4) априорная плотность вероятности Рг-(?) вектора т представляется в виде произведения одномерной плотности
вероятности Рт (г^ момента появления первого скачка ц и условных плотностей вероятности моментов других скачков
м
= 1)> Ом > 1 >•••> Ч)-
п=2
Второе условие в (4) накладывает определенные ограничения на вид условных плотностей вероятности Р{уп\?п-\) моментов появления каждого и-го скачка при услрвии, что известен момент предыдущего скачка г77_1.
В Приложении 2 показано, что необходимым и достаточным условием выполнения второго уравнения в (4) является представление Р(?п\в экспоненциальном виде
(п = 2,М), (1.1.13)
- / У„-1^')сй'
- Хп-1
где коэффициенты V (?) расчитьшаются по формулам (10). В силу нормировки функций Р{тп\?п-\) должно выполняться равенство
+00 + 00 т" ( , \ » + 00 А ,
¡Р(тп\тп- - I Уп-1{ г № с1тп = 1 - ехр -1 г ш
—00 . тп-1
Отсюда следует, что
ехр
+оо
'л-1
о.
то есть для функций V -Д*) обязательно вьшолняются условия расходимости интегралов
+00 _
/ Уп-ичЖ =, (п = 2,М)-
1
Несложно установить, что априорная плотность вероятности Рт (г^) момента появления первого скачка Г] также представляется в экспоненциальном виде аналогично (13). Действительно, решение первого уравнения в (11) для
+00
Рорг{0 = \Ртх можно записать в форме
Рорг(*) = Ро ехр
Отсюда после дифференцирования по I получим
Рц (0 = -Рорг^)М1 = Ро^о(ОеХР
Л
Здесь функция определена с помощью соотношения (10) при / > 0. С
целью обобщения данного выражения доопределим и для других значений аргумента 1 в виде (10) во всех точках, где задана функция (/). Тогда выполняются равенства
РОрг(0 = ехР
/ I л ,
, РоРЛ°) = Ро = ехР
0
1 у0\г){Ь
и априорную плотность вероятности момента ц можно представить в экспоненциальном виде
оЫеХР
(1.1.14)
+00
При этом необходимо выполнение условия =+оо . Таким образом,
—оо
для первого момента плотность вероятности (гх) всегда можно представить в виде (14). Если же условные плотности вероятности Р(тп\тп_^ всех других моментов скачков также представляются в экспоненциальном виде (13), то процесс <9(7) будет марковским случайным процессом.
Применение вспомогательного процесса в(() позволяет исключить моменты скачков т1,т2,...,тм из уравнений (1) - (3). В результате для условной плотности вероятности сигнала (1), начальных условий (2), а также наблюдаемого процесса (3) можно записать уравнения
дР^х, гЩг) = = Щ) = и], (1.1.15)
р[х, I = О|0(О) = и] = Рп (х), (1.1.16)
= + = *>о), (1.1.17)
где функции .5|3с(/), $(7),?] в зависимости от значения дискретного процесса #(7)
при п = О, М могут иметь разный вид
= я,?] = 4 [*(/),/].
Из (15), (16) следует, что процесс при фиксированном значении 0(7) априорно является марковским. Следовательно, от описания скачкообразных возмущений сигналов с помощью совокупности случайных величин г можно перейти к описанию с помощью марковского дискретного процесса . При этом задача фильтрации процесса со скачкообразными изменениями параметров или
структуры наблюдений (1), (3) сводится к задаче фильтрации марковской дискретно-непрерывной совокупности {<9(7),где <9(/) - дискретная, х(г) - непрерывная компоненты, задаваемые уравнениями (11), (12), (15), (16) при наблюдениях (17).
3. Уравнения алгоритма оптимальной фильтрации сигнала. При решении задачи фильтрации марковской совокупности {#(/),
будем использовать общие результаты теории фильтрации дискретно-непрерывных марковских процессов [10, 33-35]. В итоге получим представление
для апостериорной плотности вероятности = р{х, | сигнала при
условии, что наблюдается реализация у^ процесса у{/) на интервале [ 0, , в
виде суммы по числу учитываемых скачков
м
7=0
(1.1.18)
а также дифференциальные уравнения для апостериорных вероятностей
?о
появления ] скачков к текущему моменту времени I и для
при усло-
апостериорных плотностей вероятности г) = Р х,1 = у, _у0
вии, что #(/) = / :
=-П)(0М0+[< Ы*>0 >о - < Щ О >Ь(0, а. 1.19)
= + у„_1(/)ри_1(/) + [< >„-< р(х,;) >]р„(г),
= *м-\к)рм-\(*)+[< Рм(х,*) >м - < >]/>А/(0» (и = \,М-1; г > о);
= + - < >о]Щ{х,(), (1.1.20)
am.=t) - о]+
Похожие диссертационные работы по специальности «Радиофизика», 01.04.03 шифр ВАК
Оценивание, распознавание и передача информации в стохастических системах в случае совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью2004 год, доктор физико-математических наук Рожкова, Светлана Владимировна
Синтез алгоритмов и устройств нелинейной фильтрации последовательностей многозначных импульсных сигналов2008 год, доктор технических наук Прозоров, Дмитрий Евгеньевич
Местоопределение источников сигналов современных радиосредств при влиянии тропосферы и подстилающей поверхности2000 год, доктор технических наук Котов, Александр Федорович
Разработка и исследование алгоритмов и устройств совместной фильтрации параметров многоуровневых импульсных коррелированных сигналов2007 год, кандидат технических наук Кишмерёшкин, Петр Николаевич
Статистический синтез, анализ и моделирование алгоритмов оценки параметров случайных импульсных сигналов2000 год, кандидат физико-математических наук Чернояров, Олег Вячеславович
Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Силаев, Андрей Михайлович
Основные результаты диссертационной работы и следующие из них практические выводы могут быть сформулированы следующим образом:
1. На основе теории условных марковских процессов разработаны методы сиитес/ и . за систем оптимального нелинейного оценивания случайных сигналов в непрерывном и дискретном времени с учетом скачкообразных изменениях их параметров или структуры наблюдаемого процесса. Предполагается, что моменты появления скачков образуют марковский точечный процесс в дискретном и непрерывном времени. Получена система взаимосвязанных уравнений для апостериорных вероятностей появления скачков и апостериорной плотности вероятности оцениваемого сигнала. Используемый подход позволяет в текущем времени находить оценки и апостериорные дисперсии сигналов.
2. Разработаны методы синтеза систем оптимального оценивания сигналов с при совместном действии импульсных и шумовых возмущений в непрерывном и дискретном времени. Предполагается, что моменты появления импульсов образуют марковский точечный процесс. Задача оптимального оценивания сигналов с импульсными возмущениями решена путем сведения к задаче оптимальной фильтрации случайных сигналов со скачкообразными изменениями параметров и структуры наблюдаемого процесса. Получена система взаимосвязанных уравнений для апостериорной плотности вероятности сигналов и для апостериорных вероятностей появления различного числа импульсов к текущему моменту времени.
3. Определены необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять вероятностные распределения моментов появления скачков или импульсов в непрерывном и дискретном времени, чтобы случайный точечный считающий скачки и импульсы процесс был марковским.
4. Получены алгоритмы оптимального оценивания числа случайных импульсных и скачкообразных изменений параметров сигналов в непрерывном и дискретном времени.
5. Определены условия, при которых уравнения алгоритмов оптимального оценивания сигналов с учетом скачкообразных изменений параметров или импульсных возмущениях в непрерывном и дискретном времени можно просуммировать и свести к известным уравнениям оптимальной фильтрации марковских процессов. Разработан метод суммировании по кратному числу импульсов для оценивания статистических характеристик пуассоновского считающего процесса в непрерывном времени и для аналогичного потока импульсных сигналов в дискретном времени.
6. Решена задача оптимального оценивания моментов случайных скачкообразных и импульсных изменений параметров сигналов, наблюдаемых на фоне белых шумов в непрерывном или дискретном времени. Получены алгоритмы вычисления оптимальных в среднеквадратичном смысле оценок и апостериорных дисперсий моментов появления скачков и импульсов в текущем времени.
7. Разработан метод оптимального оценивания параметров марковских последовательностей при случайных скачкообразных изменениях в дискретном времени. Получены в общем виде рекуррентные уравнения для апостериорных плотностей вероятности неизвестных параметров сигналов.
8. Для наиболее интересного случая наблюдаемых процессов, описываемых общей регрессионной моделью при гауссовских шумах, найден приближенный алгоритм вычисления оптимальных в среднеквадратическом смысле оценок и апостериорных дисперсий параметров до и после скачкообразного изменения. Величины апостериорных дисперсий характеризуют точность оценивания параметров сигналов для каждой конкретной реализации наблюдаемого процесса.
9. Синтезированы алгоритмы оптимального обнаружения сигналов на фоне шумов в предположении скачкообразных изменений параметров в непрерывном и дискретном времени. Разработан алгоритм обнаружения случайной пачки импульсных сигналов, наблюдаемых на фоне белых гауссовских шумов в непрерывном времени.
10. Выявлена взаимосвязь задач оптимального оценивания сигналов и обнаружения скачкообразных изменений их параметров или импульсных возмущений.
Для оценивания сигналов необходимо вырабатывать функции, имеющие смысл апостериорных вероятностей появления скачков или импульсов к текущему моменту времени. Уравнения же для этих функций, в свою очередь, зависят от оценок сигналов и позволяют получить процедуры формирования отношения правдоподобия в реальном масштабе времени и применить их к решению задач обнаружения нестационарных сигналов. Таким образом, задачи оптимального оценивания сигналов и обнаружения скачкообразных или импульсных возмущений взаимозависимы и решаются одновременно.
11. Методами марковской теории нелинейной фильтрации случайных процессов решена задача скорейшего обнаружения скачкообразного или импульсного изменения параметров сигналов в непрерывном и дискретном времени. Сформулированы правила определения оптимальных моментов остановки наблюдений при использовании различных функций потерь, в том числе неквадратичных, для объявления "тревоги" или минимизации времени запаздывания при обнаружении. Показано, что в момент остановки минимизируются средние потери. Найдены выражения для функций апостериорных потерь в непрерывном и дискретном времени. Показано, что для решения задачи скорейшего обнаружения разладки можно использовать алгоритмы оптимального в среднеквадратическом смысле оценивания момента появления скачка.
12. Исследованы примеры, представляющие практический интерес и демонстрирующие работу синтезированных схем оптимального оценивания и обнаружения сигналов: алгоритмы оценивания и обнаружения на фоне шума прямоугольного импульсного сигнала со случайными амплитудой и моментом появления; оптимального оценивания числа скачков телеграфного марковского сигнала, наблюдаемого на фоне шума; оптимального оценивания моментов внезапного изменения параметров сигналов - среднего значения, дисперсии и коэффициента корреляции в наблюдаемой последовательности случайных гауссовских величин. Результаты компьютерного моделирования подтвердили высокую эффективность синтезированных алгоритмов и теоретические выводы о возможности их использования для задач обработки нестационарных сигналов.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Силаев, Андрей Михайлович, 1998 год
ЛИТЕРАТУРА
1. Колмогоров А.Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных последовательностей. // Изв. АН СССР. Сер. математ. 1941. № 5. С. 3-14.
2. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series with engineering applications. N.Y.: Wiley, 1949. - 162 p.
3. Котельников В.А. Теория потенциальной помехоустойчивости. М.: Госэнергоиздат, 1956. - 152 с.
4. Kalman R.E. A new approach to linear filtering and prediction problem. // J. Basic Eng. ASME, ser. D. 1960. V. 82. N 1. Pp. 35-45.
5. Kalman R.E., Busy R.S. New results in linear filtering and prediction theory. //J. Basic Eng. ASME, ser. D. 1961. V. 83. N 1. Pp. 95-108.
6. Стратонович P.Jl. К теории оптимальной нелинейной фильтрации случайных функций. // Теория вероятностей и ее применения. 1959. Т. 4. Вып. 2. С. 239-242.
7. Стратонович Р.Л. Применение теории марковских процессов для оптимальной фильтрации сигналов. // Радиотехника и электроника. 1960. Т. 5. № 11. С. 1751-1763.
8. Стратонович Р.Л. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1966. - 319 с.
9. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов (нелинейная фильтрация и смежные вопросы). М.: Наука, 1974. - 696 с.
10. Тихонов В.И., Кульман Н.К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов. М.: Сов. радио, 1975. - 704 с.
11. Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи. М.: Сов. радио, 1973. - 232 с.
12. Параев Ю.И. Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации. М.: Сов. радио, 1976. - 184 с.
13. Сосулин Ю.Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов. М.: Сов. радио, 1978. - 320 с.
14. Ярлыков М.С. Применение марковской теории нелинейной фильтрации в радиотехнике. М.: Сов. радио, 1980. - 360 с.
15. Тихонов В.И. Оптимальный прием сигналов. М.: Радио и связь, 1983. -320 с.
16. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. М.: Радио и связь, 1991. - 608 с.
17. Ярлыков М.С., Миронов М.А. Марковская теория оценивания случайных процессов. М.: Радио и связь, 1993.
18. Вудворд Ф.М. Теория вероятностей и теория информации с применением в радиолокации. / Пер. с англ. Под ред. Г.С.Горелика. М.: Сов. радио, 1955. - 128 с.
19. Вальд А. Последовательный анализ. / Пер. с англ. Под ред. Б.А.Сево-стьянова. М.: Физматгиз, 1960. - 328 с.
20. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. В 2-х т. / Пер. с англ. Под ред. Б.Р.Левина. М.: Сов. радио, 1962. Т.2 - 832 с.
21. Вопросы статистической теории радиолокации. В 2-х т. / Под ред. Г.П.Тартаковского. М.: Сов. радио, 1963. Т. 1 - 424 с.;1964. Т.2 - 1080 с.
22. Большаков И.А., Гуткин Л.С., Левин Б.Р., Стратонович Р.Л. Математические основы современной радиоэлектроники. / Под ред. Л.С.Гуткина. М.: Сов. радио, 1968. - 208 с.
23. Большаков И.А. Выделение потока сигналов из шума. М.: Сов. радио, 1969. - 464 с.
24. Лезин Ю.С. Оптимальные фильтры и накопители импульсных сигналов. М.: Сов. радио, 1969. - 446 с.
25. Амиантов И.Н. Избранные вопросы статистической теории связи. М.: Сов. радио, 1971. - 416 с.
26. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. В 3-х кн. М.: Сов. радио, 1975. Кн. 2. - 392 е.; 1976. Кн. 3. - 288 с.
27. Куликов Е.И., Трифонов А.П. Оценка параметров сигналов на фоне помех. М.: Сов. радио, 1978. - 296 с.
28. Бакут П.А., Жулина Ю.В., Иванчук H.A. Обнаружение движущихся объектов. / Под ред. П.А.Бакута. М.: Сов. радио, 1980. - 288 с.
29. Ширман Я.Д., Манжос В.Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех. М.: Радио и связь, 1981. - 416 с.
30. Акимов П.С., Бакут П.А., Богданович В.А. и др. Теория обнаружения сигналов. М.: Радио и связь, 1984. - 440 с.
31. Сосулин Ю.Г., Фишман М.М. Теория последовательных решений и ее применения. М.: Радио и связь, 1985. - 272 с.
32. Трифонов А.П., Шинаков Ю.С. Совместное различение сигналов и оценка их параметров на фоне помех. М.: Радио и связь, 1989. - 264 с.
33. Тихонов В.И., Степанов A.C. Совместная фильтрация непрерывных и дискретных марковских процессов. // Радиотехника и электроника. 1973. Т. 18. №7. С. 1376-1383.
34. Ярлыков М.С., Смирнов В.А. Нелинейная фильтрация дискретно-непрерывных марковских процессов. // Радиотехника и электроника. 1975. Т. 20. № 2. С. 280-287.
35. Тихонов В.И., Харисов В.Н., Смирнов В.А. Оптимальная фильтрация дискретно-непрерывных процессов. // Радиотехника и электроника. 1978. Т. 23. №7. С. 1441-1452.
36. Бухалев В.А. Оптимальная фильтрация в системах со случайной скачкообразной структурой. // Автоматика и телемеханика. 1976. № 2. С. 44-54.
37. Артемьев В.М. Теория систем со случайными изменениями структуры. Минск: Вышэйш. школа, 1979. - 160 с.
38. Казаков И.Е., Артемьев В.М. Оптимизация динамических систем случайной структуры. М.: Наука, 1980. - 384 с.
39. Ганэ В.А., Куклев Е.А., Степанов В.Л. Системы управления при скачкообразных воздействиях. / Под ред. В.М.Артемьева. Минск: Наука и техника, 1985. - 216 с.
40. Гришин Ю.П., Казаринов Ю.М. Динамические системы, устойчивые к отказам. М.: Радио и связь, 1985. - 176 с.
41. Немура А., Клекис Э. Оценивание параметров и состояния систем. Системы со скачкообразно меняющимися свойствами. Вильнюс: Мокслас, 1988. - 183 с.
42. Шмелев А.Б. Об обнаружении сигнала на фоне импульсов затухающих колебаний и белого шума. // Тр. Радиотехн. ин-та АН СССР. 1977. № 27. С. 177-186.
43. Шмелев А.Б. Обнаружение сигнала на фоне импульсной марковской помехи и белого шума. // Радиотехника и электроника. 1975. Т. 20. № 12. С. 2467-2474.
44. Тихонов В.И., Ершов Л.А. Оптимальная нелинейная фильтрация импульсного процесса. // Радиотехника и электроника. 1979. Т. 24. № 3. С. 551-556.
45. Чесноков М.Н. Оптимальный прием дискретных сообщений в канале с переменными параметрами на фоне импульсных и флуктуационных помех. // Изв. вузов - Радиоэлектроника. 1983. Т. 26. № 7. С. 3-11.
46. Гришин Ю.П., Катиков В.М. Совместное обнаружение и оценивание случайных сигналов (обзор). // Зарубежная радиоэлектроника. 1977. № 6. С.3-25.
47. Левин Б.Р., Шишков Ю.С. Совместно оптимальные алгоритмы обнаружения сигналов и оценивания их параметров (обзор). // Радиотехника и электроника. 1977. Т. 22. № 11. С. 2239-2256.
48. Торговицкий И.Ш. Методы определения момента изменения вероятностных характеристик случайных величин. // Зарубежная радиоэлектроника. 1976. № 1. С. 3-52.
49. Willsky A.S. A survey of design methods for failure detection in dynamical systems. //Automatica, Journal of IFAC. 1976. V. 12. N. 6. Pp. 601-611.
50. Гришин Ю.П. Обнаружение нарушений в динамических системах. // Зарубежная радиоэлектроника. 1981. № 5. С. 42-53.
51. Кириченко А.А., Коломейцева Т.А., Логинов В.П., Тихомирова И.Г. Оценивание параметров движения маневрирующих объектов. // Зарубежная радиоэлектроника. 1983. №4. С. 3-30.
52. Клигене Н., Телькснис Л. Методы обнаружения моментов изменения свойств случайных процессов. // Автоматика и телемеханика. 1983. № 10. С. 5-56.
53. Kassam S.A. A bibliography on nonparametric detection. // IEEE Trans. 1980. IT-26. N. 5. Pp. 595-602.
54. Shaban S.A. Change point problem and two-phase regression: an annotated bibliography. // International statistical review. 1980. V. 48. Pp. 83-93.
55. Ширяев A.H. Статистический последовательный анализ. M.: Наука, 1976.-231 с.
56. Никифоров И.В. Последовательное обнаружение изменения свойств временных рядов. М.: Наука, 1983. - 200 с.
57. Жиглявский А.А., Красковский А.Е. Обнаружение разладки случайных процессов в задачах радиотехники. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1988. -224 с.
58. Обнаружение изменения свойств сигналов и динамических систем. / Под ред. М.Бассвиль, АБанвениста. М.: Мир, 1989. - 278 с.
59. Трифонов А.П., Нечаев Е.П., Парфенов В.И. Обнаружение стохастических сигналов с неизвестными параметрами. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1991.-246 с.
60. Обнаружение изменений свойств случайных процессов. // Статистические проблемы управления. Вильнюс. 1984. Вып. 65. С. 9-243.
61. Методы распознавания случайных процессов. // Статистические проблемы управления. Вильнюс. 1990. Вып. 89. С. 3-235.
62. Телькснис Л.А. О применении оптимального байесова алгоритма обучения при определении моментов времени изменения свойств случайных сигналов. // Автоматика и телемеханика. 1969. № 6. С. 52-58.
63. Клигене Н.И. Оценка момента изменения параметров распределения случайных последовательностей. // Теория вероятностей и ее применения. 1973. Т. 18. Вып. 3. С. 677-678.
64. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Оценка параметров разрывного сигнала в белом гауссовском шуме. // Проблемы передачи информации. 1975. Т. 11. №3. С. 31-43.
65. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука, 1979. - 528 с.
66. Голубев Г.К. О вычислении эффективности оценки максимального правдоподобия при наблюдении разрывного сигнала в белом шуме. // Проблемы передачи информации. 1979. № 3. С. 61-69.
67. Дарховский Б.С., Бродский Б.Е. Апостериорное обнаружение момента "разладки" случайной последовательности. // Теория вероятностей и ее применения. 1980. Т. 25. Вып. 3. С. 635-639.
68. Трифонов А.П. Прием сигнала с неизвестной длительностью на фоне белого шума. // Радиотехника и электроника. 1977. Т.22. №1. С.90-98.
69. Галун С.А., Трифонов А.П. Обнаружение и оценка момента изменения интенсивности пуассоновского потока. // Автоматика и телемеханика. 1982. №6. С. 95-106.
70. Трифонов А.П., Бутейко В.К. Прием сигнала с неизвестными амплитудой и длительностью на фоне белого шума. // Изв. вузов - Радиоэлектроника. 1984. Т. 27. № 8. С. 28-34.
71. Page E.S. Continuous inspection schemes. // Biometrika. 1954. V. 41. N. 2. Pp. 100-114.
72. Бородкин Л.И., Моттль B.B. Алгоритм обнаружения моментов изменения параметров уравнения случайного процесса. // Автоматика и телемеханика. 1976. № 6. С. 23-32.
73. Sastri Т., Flores В., Valdes J. Detection points of change in time series. // Computers and Operations Research. 1989. V. 16. N. 3. Pp. 271-293.
74. Nikiforov I.V. A generalized change detection problem. // IEEE Trans. 1995. IT-41. N. l.Pp. 171-187.
75. Jazwinski A.H. Limited memory optimal filtering. // IEEE Trans. 1968. AC-13. N. 5. Pp. 558-563.
76. Шильман С.В. Итеративное оценивание с регулируемым объемом информации. // Автоматика и телемеханика. 1983. № 5. С. 90-98.
77. Кайлат Т. Метод порождающего процесса в применении к теории обнаружения и оценки. // ТИИЭР. 1970. Т. 58. № 5. С. 82-99.
78. Newbold P.M., Yu Chi Ho. Detection of changes in the characteristics of a Gauss-Markov process. // IEEE Trans. 1968. AES-4. N. 5. Pp. 707-718.
79. Sanual R., Shen C.N. Bayes' decision for rapid detection and adaptive estimation scheme with space applications. // IEEE Trans. 1974. AC-19. N. 3. Pp. 228-231.
80. Willsky A.S., Jones H.L. A generalized likelihood ratio approach to the detection and estimation of jumps in linear systems. // IEEE Trans. 1974. AC-21.N. 1. Pp. 108-112.
81. Willsky A.S., Jones H.L. A generalized likelihood ratio approach to the detection and estimation of jumps in linear systems. // IEEE Trans. 1974. AC-21.N. 1. Pp. 108-112.
82. Chan Y.T., Hu A.G.C., Plant J.B. A Kalman filter based tracking scheme with input estimation. // IEEE Trans. 1979. AES-15. N. 2. Pp. 237-244.
83. Демин Н.С., Жадан Л.И. Синтез и анализ оптимального алгоритма фильтрации для дискретных сигналов с аномальными помехами. // Радиотехника и электроника. 1984. Т. 29. № 2. С. 250-255.
84. Ширяев А.Н. Обнаружение спонтанно возникающих эффектов. // ДАН СССР. 1961. Т. 138. № 4. С. 799-801.
85. Ширяев А.Н. Задача скорейшего обнаружения нарушения стационарного режима. // ДАН СССР. 1961. Т. 138. № 5. С. 1039-1042.
86. Стратонович Р.Л. Об оптимальном обнаружении разладки производственного процесса. // Вестник МГУ. Серия - математика, механика. 1962. №2. С. 63-71.
87. Ширяев А.Н. Об оптимальных методах в задачах скорейшего обнаружения. // Теория вероятности и ее применения. 1963. Т.8. Вып.1. С. 26-51.
88. Дарховский Б.С. Обнаружение разладки в двумерном случайном процессе. // Кибернетика. 1968. № 5. С. 84-91.
89. Куликовская Е.С., Федунов Б.Е. Определение случайного момента появления полезного сигнала. // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1975. №4. С. 148-153.
90. Тихомирова И.Г., Бакут П.А. Обнаружение случайно появляющегося сигнала случайной длительности. // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1977. №2. С. 137-141.
91. Сосулин Ю.Г., Фишман М.М. Оптимальное обнаружение сигналов со случайным моментом появления. // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1977. № 3. С. 149-155.
92. Марченко Б.Г., Проценко Л.Д. Определение характеристической функции и пуассоновского спектра скачков порождающего процесса по характеристической функции отклика линейной системы. // Изв. вузов -Радиоэлектроника. 1982. Т. 25. №9. С. 31-37.
93. Проценко Л.Д. Импульсные помехи и оптимальное обнаружение детерминированного сигнала на их фоне. // Изв. вузов - Радиоэлектроника. 1984. Т. 27. № 7. С. 66-69.
94. Davies М.Н.А. The application of nonlinear filtering to fault detection in linear systems. // IEEE Trans. 1975. AC-20. N. 2. Pp. 257-259.
95. Фишман M.M. Байесовская среднеквадратичная оценка момента ступенчатого смещения среднего уровня белого гауссовского шума. // Статистические проблемы управления. Вильнюс. 1984. Вып. 65. С. 221-223.
96. Липейкене И., Телькснис Л. Тестовые задачи и результаты их решения участниками семинара по обнаружению изменений свойств случайных процессов. // Статистические проблемы управления. Вильнюс. 1984. Вып. 65. С. 107-133.
97. Яшин А.И. Фильтрация скачкообразного марковского процесса с неизвестными вероятностными характеристиками при аддитивной помехе. // Автоматика и телемеханика. 1968. № 12. С. 25-30.
98. Яшин А.И. О фильтрации скачкообразных процессов. // Автоматика и телемеханика. 1970. № 5. С. 52-58.
99. Демин Н.С. Оптимальное распознавание скачкообразных компонент марковских сигналов. // Проблемы передачи информации. 1977. Т. 13. № 2. С. 45-54.
100. Ackerson G.A., Fu K.S. On state estimation in switching environment. // IEEE Trans. 1970. AC-15. N. 1. Pp. 10-17.
101. Fujishige S., Sawaragi Y. Optimal estimation for continuous system with jump process. // IEEE Trans. 1974. AC-19. N. 3. Pp. 225-228.
102. Sawaragi Y., Katayama Т., Fujishige S. State estimation for continuous-time system with jump interrupted observation. // IEEE Trans. 1974. AC-19. N. 4. Pp. 307-314.
103. Chan С.В., Athans М. State estimation for discrete systems with switching parameters. // IEEE Trans. 1974. AES-14. N. 3. Pp. 418-425.
104. Moose R.L. An adaptive state estimation solution to the maneuvering target problem. // IEEE Trans. 1975. AC-20. N. 3. Pp. 359-362.
105. Moose R.L., Vanlandingham H.F., McCabe D.H. Modeling and estimation for tracking maneuvering targets. // IEEE Trans. 1979. AES-15. N. 3. Pp. 448-456.
106. Ricker G.G., Williams J.R. Adaptive tracking filter for maneuvering targets.// IEEE Trans. 1978. AES-14. N. l.Pp. 185-193.
107. Tugnait J.K., Haddad A.H. Adaptive estimation in linear systems with unknown Markovian noise statistics. // IEEE Trans. 1980. IT-26. N. 1. Pp. 66-78.
108. Tugnait J.K., Detection and estimation for abruptly changing systems. // Automatica. Journal of IF AC. 1982. V. 18. N. 5. Pp. 607-617.
109. Медич Дж. Статистически оптимальные линейные оценки и управление. / Пер. с англ. Под ред. А.С.Шаталова. М.: Энергия, 1973. - 440 с.
110. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах. / Под ред. К.Т.Леондеса. Пер. с англ. М.: Мир, 1980. - 408 с.
111. Дэвис М.Х.А. Линейное оценивание и стохастическое управление. / Пер. с англ. Под ред. А.Н.Ширяева. М.: Наука, 1984. - 208 с.
112. Де Гроот М. Оптимальные статистические решения. / Пер. с англ. Под ред. Ю.В.Линника и А.М.Кагана. М.: Мир, 1974. - 496 с.
113. Роббинс Г., Сигмунд Д., Чао И. Теория оптимальных правил остановки. / Пер. с англ. Под ред. А.Н.Ширяева. М.: Наука, 1977. - 184 с.
114. Зельнер А. Байесовские методы в эконометрии. М.: Статистика, 1980.
115. Хей Дж. Введение в методы байесовского статистического вывода. М.: Финансы и статистика, 1987. - 335 с.
116. Фомин В.Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация. М.: Наука, 1984,- 288 с.
117. Солодов A.B., Солодов A.A. Статистическая динамика систем с точечными процессами. М.: Мир, 1988.
118. Самойленко В.И., Шишов Ю.А. Управление фазированными антенными решетками. / Под ред. Г.Г.Бубнова. М.: Радио и связь, 1983. -230 с.
119. Монзинго P.A., Миллер Т.У. Адаптивные антенные решетки. Введение в теорию. / Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1986. - 448 с.
120. Адаптивные фильтры. / Пер. с англ. Под ред. К.Ф.Н.Коуэна и П.М.Гранта. М.: Мир, 1988. - 392 с.
121. Уидроу Б., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов. / Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1989. - 440 с.
122. Пистолькорс A.A., Литвинов О.С. Введение в теорию адаптивных антенн. М.: Наука, 1991,- 200 с.
123. Волков Е.В. Численные методы. М: Наука, 1987. - 248 с.
124. ДынкинЕ.Б. Марковские процессы. М.: Физматгиз, 1963. - 859 с.
125. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. - М.: Наука, 1969. - 512 с.
126. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Сов. радио, 1977. - 488 с.
127. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982. -624 с.
128. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х т. / Пер. с англ. М.: Мир, 1984. - Т. 1. - 528 е.; Т. 2. - 738 с.
129. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Сов. радио, 1968. - 660 с.
130. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ негауссовых случайных процессов и их преобразований. М.: Сов. радио, 1978. - 376 с.
131. Кляцкин В.И. Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами. М.: Наука, 1975. - 239 с.
132. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику, ч.1. Случайные процессы. М.: Наука, 1976. - 494 с.
133. Рытов С.М., Кравцов В.И., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику, 4.2. Случайные поля. М.: Наука, 1978. - 464 с.
134. Справочник по прикладной статистике. В 2-х т. / Под ред. Э.Ллойда и др. М.: Финансы и статистика. Т. 1, 1989. Т. 2, 1990.
135. Snyder D.L. Random point processes. - New York: Wiley and Sons, 1975.
136. Айвазян C.A., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Исследование зависимостей. М.: Финансы и статистика, 1985.
137. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1973,- 832 с.
138. Джонсон С. Теория регуляторов, приспосабливающихся к возмущениям. - В кн.: Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах. / Под ред. К.Т.Леондеса. Пер. с англ. М.: Мир, 1980. С. 253-320.
139. Мальцев A.A., Силаев A.M. Оптимальное оценивание при скачкообразных изменениях параметров сигнала. // Изв. вузов - Радиофизика. 1983. Т. 26. № 1. С. 49-57.
140. Мальцев A.A., Силаев A.M. Оптимальное оценивание в динамических системах при совместном действии импульсных и шумовых возмущений. // Изв. вузов - Радиофизика. 1983. Т. 26. № 8. С. 981- 995.
141. Мальцев A.A., Силаев A.M. Оптимальное оценивание в динамических системах с возмущениями волнообразной формы. // Автоматика и телемеханика. 1984. № 6. С. 78-87.
142. Мальцев A.A., Силаев A.M. Обнаружение скачкообразных изменений параметров и оптимальное оценивание состояния дискретных динамических систем. // Автоматика и телемеханика. 1985. № 1. С. 48-58.
143. Мальцев A.A., Силаев A.M. Алгоритм оптимального оценивания состояния динамических систем с обнаружением скачкообразных изменений их параметров. // Изв. вузов - Радиофизика. 1985. Т. 28. № 2. С. 184-194.
144. Мальцев A.A., Силаев A.M. Алгоритм оптимального оценивания состояния динамических систем с обнаружением импульсных возмущений. // Изв. вузов - Радиофизика. 1985. Т. 28. № 7. С. 850-862.
145. Мальцев A.A., Силаев А.М. Синтез алгоритмов настройки адаптивных систем при нестационарной помеховой обстановке с импульсными и скачкообразными возмущениями. I. // Изв. вузов - Радиофизика. 1985. Т. 28. № И. С. 1413-1420.
146. Мальцев A.A., Силаев А.М. Синтез алгоритмов настройки адаптивных систем при нестационарной помеховой обстановке с импульсными и скачкообразными возмущениями. II. // Изв. вузов - Радиофизика. 1985. Т. 28. № 12. С. 1590-1596.
147. Мальцев A.A., Силаев A.M. Оптимальное оценивание состояния линейных дискретных динамических систем при импульсных возмущениях. // Изв. вузов - Радиофизика. 1986. Т. 29. № 5. С. 537-544.
148. Мальцев A.A., Силаев A.M. О применении теории оптимальной фильтрации к задаче синтеза адаптивных систем, минимизирующих среднеквадратичную ошибку. // Радиотехника и электроника. 1987. Т. 32. №2. С. 309-315.
149. Мальцев A.A., Силаев A.M. Оптимальное оценивание числа случайных возмущений, действовавших на динамическую систему. // Автоматика и телемеханика. 1987. № 5. С. 102-112.
150. Мальцев A.A., Силаев A.M. Оптимальное обнаружение случайной пачки импульсных сигналов. // Изв. вузов - Радиоэлектроника. 1987. Т.30. № 7. С. 45-49.
151. Мальцев A.A., Силаев A.M. Оптимальное обнаружение сигналов со случайными скачкообразными изменениями параметров. // Радиотехника и электроника. 1987. Т. 32. № 6. С. 1241 - 1250.
152. Мальцев A.A., Силаев A.M. Оптимальное оценивание момента скачкообразного изменения статистических характеристик случайного процесса. // Изв. вузов - Радиофизика. 1989. Т. 32. № 1. С. 62-72.
153. Мальцев A.A., Силаев A.M. Оптимальное оценивание моментов случайных скачкообразных изменений параметров сигналов. // Радиотехника и электроника. 1989. Т. 34. № 5. С. 1023-1033.
154. Мальцев A.A., Силаев A.M. Замечания к работе "Оптимальное обнаружение сигналов со случайными скачкообразными изменениями параметров". // Радиотехника и электроника. 1989. Т. 34. № 7. С. 1562-1563.
155. Мальцев A.A., Силаев A.M. Оптимальная оценка момента изменения среднего значения белошумовой гауссовской последовательности. // Статистические проблемы управления. Вильнюс. 1990. Вып. 89. С. 72-77.
156. Мальцев A.A., Силаев A.M. Оптимальное оценивание момента изменения характеристик случайной марковской последовательности. // Автоматика и телемеханика. 1992. № 1. С. 63-71.
157. Мальцев A.A., Силаев A.M. Оптимальное обнаружение скачкообразных изменений параметров сигналов в дискретном времени. // Изв. вузов - Радиофизика. 1992. Т. 35. № 11-12. С. 938-951.
158. Ванжа A.B., Мальцев A.A., Силаев А.М. Оптимальное оценивание момента появления импульсного возмущения сигнала в дискретном времени. // Изв. вузов - Радиофизика. 1993. Т. 36. № 6. С. 498-511.
159. Силаев A.M. Анализ работы адаптивных антенных решеток систем связи, максимизирующих выходное отношение сигнал-шум. // Изв. вузов - Радиофизика. 1994. Т. 37. № 3. С. 340-350.
160. Силаев A.M. Оптимальное оценивание параметров нестационарного потока импульсных сигналов в дискретном времени. // Изв. вузов -Радиофизика. 1995. Т. 38. № 7. С. 678 - 694.
161. Ванжа A.B., Силаев A.M. Оптимальное оценивание импульсных сигналов со случайными амплитудами и моментами появления. // Изв. вузов - Радиофизика. 1995. Т. 38. № 12. С. 1257-1266.
162. Силаев A.M. Алгоритм оптимального оценивания состояния динамической системы при пуассоновском потоке импульсных возмущений. // Радиотехника и электроника. 1996,Т. 41. № 3. С. 322-327.
163. Поль дин О.В., Силаев A.M. Алгоритм оптимальной фильтрации случайных марковских сигналов с оцениванием амплитуд импульсных возмущений. // Изв. вузов - Радиофизика. 1996. Т. 39. № 4.С. 496 -513.
164. Силаев A.M. Оптимальная фильтрация импульсных случайных сигналов методом суммирования по кратному числу импульсов. // В сб.: "Современные проблемы радиофизики". Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 1996. С. 51-55.
165. Мальцев A.A., Польдин О.В., Силаев А.М. Оптимальное оценивание и прогнозирование временных рядов с трендом среднего значения. // В сб.: "Современные проблемы радиофизики". Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 1996. С. 150 - 154.
166. Силаев A.M. Оптимальное оценивание параметров марковских последовательностей, изменяющих свои свойства в случайный момент времени. // Автоматика и телемеханика. 1997. № 10. С. 58-70.
167. Силаев A.M. Скорейшее обнаружение скачкообразного изменения параметров случайных процессов. // Изв. вузов - Радиофизика. 1997. Т. 40. № 10. С. 1260 - 1275.
168. Мальцев A.A., Польдин О.В., Силаев A.M. Оценивание параметров кусочно-полиномиального тренда среднего значения стохастического
временного ряда. // Изв. вузов - Радиофизика. 1997. Т. 40. № 11. С. 1405 - 1415.
169. Мальцев A.A., Силаев A.M. Оптимальное оценивание состояния динамических систем при скачкообразных и импульсных возмущениях. Учебное пособие. Горький: Изд-во ГГУ, 1986. - 76 с.
170. Малахов А.Н., Мальцев A.A., Силаев A.M. Оптимальные и адаптивные методы обработки при нестационарных изменениях параметров сигналов и помеховой обстановки. // В сб.: "Статистические методы в теории передачи и преобразования информационных сигналов". Киев: Изд-во КИИГА. 1985. С. 3 - 4.
171. Мальцев A.A., Силаев A.M., Шепелевич Л.Г. Оптимальное обнаружение импульсных акустических сигналов при волноводном распространении на большие расстояния. // В сб.: "Акустические методы и средства исследования океана". Владивосток. 1986. С. 57-59.
172. Мальцев A.A., Силаев A.M. Алгоритм оптимального оценивания момента разладки случайного процесса. // В сб.: "Статистические методы в теории передачи и преобразования информационных сигналов". Киев: Изд-во КИИГА. 1988. С. 140.
173. Мальцев A.A., Силаев A.M. Алгоритм оптимального оценивания моментов скачкообразных изменений параметров сигналов. // В сб.. "Прием и анализ сверхнизкочастотных колебаний естественного происхождения". Львов. 1990. С. 57.
174. Ванжа A.B., Мальцев A.A., Силаев А.М. Быстрый алгоритм идентификации параметров авторегрессионной последовательности при скачкообразном изменении ее характеристик. // В сб.: "Адаптивные и экспертные системы в управлении". Ленинград. 1991. 4.1. С.94-96.
175. Малахов А.Н., Мальцев A.A., Силаев A.M. Применение теории условных марковских процессов в задачах оптимальной обработки нестационарных сигналов. // В сб.: "Методы представления и обра-
ботки случайных сигналов и полей". Харьков: Изд-во ХИРЭ. 1991. С. 59.
176. Maltsev А.А., Silaev A.M., Vanzha A.V. The optimal estimation of the statistical characteristics of the random acoustic signals suffering their parameters change. // Proceedings of the International Scientific School-Seminar "Dynamic and stochastic wave phenomena". Nizhny Novgorod. University Press. 1992. P. 191-192.
177. Ванжа A.B., Мальцев А.А., Силаев A.M. Алгоритм оптимального оценивания в дискретном времени момента появления импульсного возмущения в случайном сигнале. // В сб.: "Статистический синтез и анализ информационных систем". Москва: Изд-во Моск. технич. унта связи и информатики. 1992. С. 25 - 26.
178. Maltsev А.А., Poldin O.V., Silaev A.M. Optimal estimation in dynamic systems suhjucted to noise, impulse and wavelike disturbances. // Abstracts of the Second Int. Scientific School-Seminar "Dynamic and stochastic wave phenomena". Nizhny Novgorod. University Press. 1994. P. 90-91.
179. Мальцев A.A., Польдин O.B., Силаев A.M. Фильтрация тренда стохастического процесса. // В сб.: "Направления развития систем средств связи". Воронеж. 1996. Т. 1. С. 234-239.
180. Силаев A.M. Алгоритмы оптимальной фильтрации марковских импульсных случайных процессов. // В сб.:"Юбилейная научная конференция по радиофизике". Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 1995. С. 56-57.
181. Мальцев А.А., Польдин О.В., Силаев A.M. Обнаружение и фильтрация смеси различных импульсных сигналов. // В сб.: "Научная конференция по радиофизике, посвященная 95-летию со дня рождения М.Т.Греховой". Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 1997. С. 72.
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.