Статистический анализ эффективности прогноза временных рядов методами обнаружения разладки и сбоя тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Микка, Константин Васильевич

• Микка, Константин Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Микка, Константин Васильевич

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА

ПЕРЕЧЕНЬ СОКРАЩЕНИЙ

СПИСОК МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЗОР ОСНОВНЫХ МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

И ОБНАРУЖЕНИЯ РАЗЛАДКИ И СБОЯ ВРЕМЕННОГО РЯДА

1.1. Основные прикладные области временного ряда

1.2. Описание методов, используемых для прогноза на несколько шагов вперед

1.3. Методы обнаружения разладки и сбоя

1.4. Виды практических задач, решаемых с помощью методов обнаружения разладки и сбоя

1.5. Нерешенные проблемы и постановка задачи исследований

2. СОСТОЯТЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПОРОГОВ ОБНАРУЖЕНИЯ РАЗЛАДКИ И СБОЯ В СРЕДНЕМ ГАУССОВСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

2.1. Постановки задач нахождения порогов обнаружения разладки и сбоя в среднем для АКС ПИ 53 2.1.1 .Постановка задачи нахождения порога обнаружения разладки

2.1.2.Постановка задачи обнаружения моментов сбоя

2.2. Моделирование ПНГСВ, допускающих разладку и сбой в среднем

2.2.1. Моделирование ПНГСВ, допускающей разладку

2.2.2.Моделирование ПНГСВ, допускающей сбой

2.3. Описание АКС ПИ для обнаружения разладки и сбоя в среднем

2.3.1. Описание АКС ПИ для обнаружения разладки

2.3.2. Описание АКС ПИ для обнаружения сбоя

2.4. Рекуррентный расчет порогов обнаружения разладки и сбоя в среднем ПНГСВ

2.5. Статистическое моделирование процедуры обнаружения разладки и сбоя ПНГСВ

2.5.1.Статистическое моделирование процедуры обнаружения разладки

2.5.2.Статистическое моделирование процедуры обнаружения сбоя

2.6. Выводы по обнаружению разладки и сбоя с использованием АКС ПИ

2.7. Верхние оценки порога обнаружения разладки в среднем ПНГСВ для АКС ПИ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Статистический анализ эффективности прогноза временных рядов методами обнаружения разладки и сбоя»

Актуальность темы. Известен ряд областей, связанных с обработкой временных рядов (в.р.), широко применяемых в настоящее время. К данным областям, в частности, относятся анализ в.р., прогнозирование, текущий анализ прогноза и автоматизация обработки данных. Для решения задач анализа данных при наличии случайных воздействий предназначен мощный аппарат прикладной статистики, составной частью которого являются статистические методы прогнозирования. При определении моментов неэффективности сделанных прогнозов предлагается использовать последовательные методы обнаружения изменений свойств в.р.: алгоритм кумулятивных сумм при полной информации о векторе параметров (АКС ПИ), алгоритм кумулятивных сумм при неполной информации о векторе параметров (АКС НИ), метод, основанный на модуле ошибки (МОНМО), метод, основанный на вероятностных пределах прогноза (MOB 1111).

Известны основополагающие работы ученых по анализу в.р. и последовательным методам обнаружения изменения их свойств. Среди них -Айвазян С.А., Бокс Дж., Бэстенс Д.-Э., Вальд А., Ван Ден Берг В.-М., Воробейчиков С.Э., Вуд Д., Гиршик М., Горбань А.Н., Дженкинс Г., Кемп К., Клейнен Дж., Колмогоров А.Н., Нейлор Т., Никифоров И.В., Николаев М.Л., Пейдж Е.С., Петере Э., Прохоров Ю.В., Рубин Г., Россиев Д.А., Ширяев А.Н., Элдер А.

Несмотря на большое количество работ по указанным направлениям, задача анализа эффективности прогноза в.р. с упреждением I (/> 2), далее просто путем анализа ошибок прогнозирования изучена недостаточно. Скорейшее обнаружение неэффективности (разладки) прогноза дает возможность сократить потери при изменении динамики развития в.р. Особый интерес представляет настройка методов обнаружения в случае АКС ПИ через моделирование оценок порогов обнаружения разладки. Такой подход обладает определенными достоинствами: учитывается фактор ложных тревог и влияние белого шума на значения последовательности, тем самым, делая полученную оценку порога более достоверной. Использование других методов для обнаружения изменений закономерности позволяет провести сравнительный анализ их работоспособности и на его основе вывести обобщенную аддитивную функцию подачи сигнала об изменении свойств. Для приложений большое значение имеет задача о временной неэффективности (сбое) прогноза. Эта задача может быть решена модифицированными методами обнаружения разладки. В связи с отмеченным выше актуальна задача анализа эффективности прогноза на несколько шагов вперед в.р. последовательными методами обнаружения разладки/сбоя. Решению данной задачи посвящена настоящая диссертация.

Цель и задачи исследований. Объектом исследований является прогноз в.р. на несколько шагов вперед. Прогноз осуществляется предиктором из класса моделей ARIMA. Выбор предиктора производится методами корреляционного анализа, оценивания параметров, множественного сравнения и ранжирования.

Предмет исследования - методы, способные обнаруживать момент разладки/интервал сбоя эффективности прогноза. Целью работы является разработка процедуры скорейшего обнаружения момента разладки или интервала сбоя прогноза в.р.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие научные задачи: 1) методами описательной статистики, критериями проверки "наличия-отсутствия" тренда, корреляционным анализом статистически исследовать в.р.;

2) идентифицировать и оценить параметры рассматриваемых для прогноза в.р. моделей из класса ARIMA;

3) методами сравнительного анализа и ранжирования выбрать наилучший из имеющегося набора предиктор (НП) и сделать прогноз с упреждением /;

4) статистически исследовать ряд ошибок, построить (если это необходимо) корреляционные и ковариационные матрицы ошибок прогноза на момент tnp с упреждениями т и т + У, где т = \,1, / = 0, 1,2,.,т-1;

5) смоделировать случайную последовательность с параметрами ряда ошибок, допускающую разладку/сбой в среднем, и определить оценки порогов нахождения разладки/интервала сбоя в случае применения для обнаружения изменения закономерностей АКС ПИ;

6) получить оценки параметров настройки для АКС НИ, МОНМО, МОВПП;

7) провести последовательный анализ эффективности прогноза с упреждением / и, по необходимости, осуществить коррекцию прогнозного значения, применяемой модели, и/или момента начала прогноза;

8) провести сравнительный анализ используемых в данной работе методов обнаружения разладки/сбоя.

Методы исследований. Для решения поставленных задач использованы методы теории вероятностей и математической статистики, имитационного моделирования, стохастической и финансовой математики, последовательного обнаружения изменения свойств в.р.

Научная новизна работы. В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты:

1) впервые рассмотрена задача сбоя эффективности прогноза, сделанного в момент времени tnp с упреждением /, при использовании модели из класса

ARIMA;

2) предложена новая процедура получения состоятельных оценок для оптимальных порогов обнаружения момента разладки/моментов сбоя в случае АКС ПИ;

3) разработана новая методика обнаружения момента разладки/моментов сбоя эффективности прогноза для независимой случайной последовательности в случае АКС ПИ - "скользящее окно" (СО);

4) предложена и модифицирована на случай сбоя новая модель обнаружения разладки для зависимой последовательности ошибок прогноза моделей ARIMA;

5) выведены верхние оценки порога обнаружения разладки в АКС ПИ для определения изменений закономерности на величину, превышающую искомую;

6) впервые сделан сравнительный анализ применяемых в работе методов обнаружения с позиции эффективности прогноза на несколько шагов вперед, на основе которого предложена обобщенная аддитивная функция подачи сигнала о разладке/сбое;

7) на языках VB .NET, С# разработан комплекс программ "Эффективное прогнозирование" (КПЭП), позволяющий исследовать в.р., прогнозировать динамику его развития и анализировать эффективность сделанного прогноза различными методами.

Достоверность полученных результатов определяется корректностью математического изложения и методов исследования. Кроме того, они подтверждаются математическим моделированием с использованием современных компьютерных технологий.

Практическая значимость. Практическая значимость работы определяется тем, что полученные результаты могут быть использованы в различных прикладных областях, где существует возможность получить достаточную статистику по некоторому показателю и на ее основе сделать прогноз его динамики развития. Наиболее ярким примером области приложения результатов может служить финансовый рынок, для которого свойственна сильная волатильность его финансовых инструментов. Поэтому в подобных случаях говорить о долгосрочной эффективности прогноза не приходиться. Следовательно, имеет смысл применять методы обнаруженйя неэффективности при прогнозе на несколько шагов вперед.

Реализация результатов работы. Диссертационные исследования были использованы для обработки реальных в.р.

На защиту выносятся следующие результаты, полученные лично:

1) состоятельные оценки порогов обнаружения разладки/сбоя в среднем независимой и зависимой последовательностей ошибок прогнозирования моделями типа ARIMA;

2) модели обнаружения разладки и сбоя в АКС ПИ, учитывающие особенности последовательности ошибок прогнозирования на несколько шагов вперед методами ARIMA;

3) верхние оценки порогов обнаружения разладки в АКС ПИ, используемые при определении изменения закономерности на величину, превышающую искомую;

4) алгоритм анализа эффективности прогноза с упреждением /, метод СО, упрощающий данный алгоритм;

5) комплекс прикладных программ для реализации алгоритма прогноза с упреждением l и последующего его анализа;

6) обобщенная аддитивная функция подачи сигнала о разладке/сбое.

Апробация работы. Результаты работы обсуждались на Всероссийской междисциплинарной конференции "Седьмые Вавиловские чтения" (Йошкар-Ола 2003г.); V-ом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия, Кисловодск, 2004г.); Международной школе-семинаре по геометрии памяти Н.В. Ефимова (Ростов-на-Дону, 2004); V-ом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия, Сочи, 2004г.); П-ой Международной конференции "Образование, наука и экономика в вузах. Интеграция в международное образовательное пространство" (Татранска Ломница, 2004г.); Международной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" (Казань, 2004г.); научных семинарах кафедры математического анализа и теории функций Марийского государственного университета (Йошкар-Ола, 2004г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, включая 5 статей и 3 тезиса.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Она изложена на 179 страницах, содержит 24 рисунка и 54 таблицы. Библиографический список включает 83 наименования.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Микка, Константин Васильевич

8. Основные результаты последовательного анализа эффективности прогноза по всем методам обнаружения разладки представлены в табл. 4.28.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе рассмотрен комплекс теоретических и практических вопросов, связанных с анализом, прогнозированием, обнаружением неэффективности и последующей коррекцией прогноза в.р. В работе получены следующие основные научные и практические результаты:

1. Поставлена и решена задача настройки методов обнаружения разладки/сбоя в среднем независимой и зависимой последовательностей ошибок прогнозирования моделями типа ARIMA. Результатами решения являются: рекуррентные соотношения для порогов обнаружения разладки/сбоя в рассматриваемых методах, процедура получения оптимального порога обнаружения разладки/сбоя в АКС ПИ. Используя процедуру получения оптимального порога обнаружения, выведены статистические зависимости смоделированных оценок порогов от параметров последовательности и разладки/сбоя.

2. Предложены модели обнаружения разладки и сбоя в АКС ПИ при прогнозировании предикторами типа ARIMA для зависимой последовательности ошибок. Показана их работоспособность при моделировании состоятельных оценок порогов обнаружения и анализе реальных данных.

3. Предложены верхние оценки порогов обнаружения разладки в АКС ПИ при изменении закономерности на величину, превышающую искомую. Показана возможность их применения на примере реальных данных.

4. Разработан алгоритм анализа эффективности прогноза с упреждением /. На реальных данных в.р. показана работоспособность предлагаемого алгоритма. Применение АПАЭ возможно в различных сферах жизнедеятельности человека, где необходим прогноз на несколько шагов вперед. Предложен метод СО, упрощающий АПАЭ при предположении независимости ошибок прогнозирования.

5. Разработан КПЭП для реализации АПАЭ с целью решения следующих задач: статистической проверки на стационарность в.р., оценивания параметров моделей прогнозирования, выбора НП из имеющегося набора моделей, статистического анализа ряда ошибок НП, оценивания параметров настройки методов обнаружение разладки/сбоя, обнаружения момента неэффективности/интервала временной неэффективности прогноза с последующей его коррекцией. Комплекс программ апробирован на анализе реальных данных.

6. Предложена обобщенная аддитивная функция подачи сигнала о разладке/сбое на основе сравнительного анализа рассматриваемых в работе методов обнаружения разладки/сбоя.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Микка, Константин Васильевич, 2004 год

1. Айвазян С. А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник для вузов М.: Юнити, 1998. - 1022 с.

2. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1963. - 500 с.

3. Батуро А. П. Кусочное прогнозирование и проблема обнаружения предвестников существенного изменения закономерности // Нейроинформатика и ее приложения: Материалы IX Всероссийского семинара / А. Н. Горбань. Красноярск: ИПЦ КГТУ - 2001. - С. 15-16.

4. Батуро А. П. Метод для обнаружения "разладок" предвестников критических явлений во временном ряде. // Нейроинформатика и ее приложения: Материалы VIII Всероссийского семинара. - Красноярск: ИПЦ КГТУ. - 2000. - С. 15.

5. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып.1. -М.: Мир, 1974.-406 с.

6. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып.2. М.: Мир, 1974. - 197 с.

7. Болыпев JI. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. -М.: Мир, 1983.-416 с.

8. Боровиков В. П., Ивченко Г. И. Прогнозирование в системе Statistica в среде Windows. Основы теории и интенсивная практика на компьютере: Учеб. пособие. — М.: Финансы и статистика, 1999. 384 с.

9. Бродский Б. Е., Дарховский Б. С. Априорные оценки в задачах, о "разладках" случайной последовательности // Докл. РАН 2000. - 370, №6.-С. 731-734.

10. Буркатовская Ю. Б. Обнаружение разладки процесса авторегрессии первого порядка, наблюдаемого с помехами // Математическое моделирование: Кибернетика. Информатика: Сб. научных статей / Томск, гос. ун-т. Томск: ТГУ. - 1999. - С. 18-26.

11. Бэстенс Д.-Э., Ван Ден Берг В.-М., Вуд Д. Нейронные сети и финансовые рынки: принятие решений в торговых операциях. М.: ТВП, 1997.-236 с.

12. Вальд А. Последовательный анализ. М.: Физматгиз, 1960. - 328 с.

13. Воробейчиков С. Э. Последовательное обнаружение моментов разладки случайных процессов: Автореф. дис. докт. физ.-мат. наук / Томск, гос. ун-т. Томск, 2000. 30 с.

14. Воробейчиков С. Э., Кабанова Т. В. Обнаружение момента изменения среднего значения процесса авторегрессии // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: Теория вероятностей и ее применения. - 2003. - 10, № 1. - С. 122-123.

15. Голенко Д. И. Моделирование и статистический анализ псевдослучайных чисел на ЭВМ. М.: Наука, 1965. - 227 с.

16. Горбань А. Н., Россиев Д. А. Нейронные сети на персональном компьютере. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1996.-276 с.

17. Домрачев Д. В. Задача о "сбое" временного ряда // Тезисы всероссийской НК "Седьмые Вавиловские чтения", Йошкар-Ола: МарГТУ. - 2003. - С. 233-234.

18. Дуброва Т. А. Статистические методы прогнозирования: Учебно-практическое пособие. М.: МЭСИ, 1999. - 96 с.

19. Ерохов Д.Н. Концепция повышения эффективности оценивания экономических показателей: Автореф. дис. канд. экон. наук / Международная академия информатизации. М., 2000. 23 с.

20. Жданов Д. А., Софронов Г. Ю, Моделирование значений порога в последовательной задаче о разладке // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: Теория вероятностей и ее применения.-2003.- 10, № 1.-С. 151-152.

21. Клейнен Дж. Статистические методы в имитационном моделировании. Вып.2. М.: Статистика, 1975. - 335 с.

22. Клигене Н. Телькснис JI. Методы обнаружения моментов изменения свойств случайных процессов // Автоматика и телемеханика. 1983. -№ 10.-С. 5-56.

23. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. - 542 с.

24. Кох И. А. Аналитические модели рынка ценных бумаг: Учебное пособие. Казань: КФЭИ, 2001. - 92 с.

25. Лумельский В. Я. Один алгоритм обнаружения момента времени изменения свойств случайного процесса // Автоматика и телемеханика.- 1972.-№Ю.-С. 67-73.

26. Микка К. В. Моделирование временного ряда и обнаружение момента "разладки"// Тезисы всероссийской НК "Седьмые Вавиловские чтения".- Йошкар-Ола: МарГТУ. 2003. - С. 254-256.

27. Микка К. В. О верхних оценках порога обнаружения разладки в среднем случайных последовательностей // Обозрение прикладной ипромышленной математики. М.: Теория вероятностей и ее применения. - 2004. - 11, №4. - С. 871-872.

28. Микка К. В. Об одной модели сбоя в среднем зависимой последовательности ошибок прогнозирования моделями ARIMA // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: Теория вероятностей и ее применения. - 2004. — 11, №4. - С. 872-873.

29. Микка К. В. Статистическое моделирование процедуры обнаружения разладки в среднем гауссовской последовательности независимых случайных величин // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Приложение. 2004. - №3(16). - С. 17-21.

30. Мостеллер Ф., Тьюки Дж. Анализ данных и регрессия. Вып.1. М.: Финансы и статистика, 1982. - 319 с.

31. Найман Э. Л. Малая энциклопедия трейдера. 4-е издание. М.: Альпина, 2004. - 400 с.

32. Нейлор Т. Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем. М.: Мир, 1975. - 504 с.

33. Никифоров И. В. Последовательное обнаружение изменения свойств временных рядов. -М.: Наука, 1983. 197 с.

34. Никифоров И. В. Применение кумулятивных сумм для обнаружения изменения характеристик случайного процесса // Автоматика и телемеханика. 1979. - № 2. - С. 48-58.

35. Никифоров И. В. Применение последовательного анализа к процессам авторегрессии // Автоматика и телемеханика. 1975. - № 8. - С. 174— 177.

36. Николаев М. Л. Задача о "сбое" технологического процесса IKM, XII. Internationaler KongreB tiber Anwendungen der Mathematik in den Ingenieurwissenschaften.Berichte Weimar. - 1990. - № 3. - P. 46-47.

37. Николаев М.Л. Задача о сбое в стохастической последовательности // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: Теория вероятностей и ее применения. - 2002. - 9, № 1. - С. 128.

38. Николаев М.Л., Микка К.В. Об одном способе оценки порога обнаружения разладки по среднему гауссовской последовательности // Обозрение прикладной и промышленной математики М.: Теория вероятностей и ее применения. - 2004. - 11, №2. - С. 382-383.

39. Оптимальные моменты остановки для решения нелинейных стохастических дифференциальных уравнений и их применение к одной задаче финансовой математики / Мишура Ю. С., Ольцик Я. О. // Укр. мат. ж. 1999. - 51, № 6. - С. 804-809.

40. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. М.: Мир, 1982. - 428 с.

41. Петере Э. Хаос и порядок на рынках капитала. М.: Мир, 2000. - 333 с.

42. Савельев В. Электронный учебник по статистике компании StatSoft Russia / В. Савельев. Режим доступа http://downloads.ru/win/5381.hts 17.02.2001.

43. Харин Ю. С., Степанова М. Д. Практикум на ЭВМ по математической статистике. Мн.: Университетское, 1987. - 304 с.

44. Ширяев А. Н. Вероятность М.: Наука, 1980. - 576 с.

45. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Т.1. Факты. Модели М.: Фазис, 1998. - 512 с.

46. Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ. М.: Наука, 1969.-231 с.

47. Элдер А. Как играть и выигрывать на бирже. М.: Крон-пресс, 1996. -336 с.

48. Bollerslev Т. Generalized autoregressive conditional heteroscedasticity // Journal of Econometrics. 1986. - V. 31. - P. 307-327.

49. Chen J., Gupta A. K. On change point detection and estimation // Commun. Statist. Simul. and Comput. 2001. - 30, № 3. - P. 665-697.

50. Dacorogna M. M., Muller U. A., Embrechts P., Samorodnitsky G. Moment Condition for the HARCH(Ar) Models. Preprint. Zurich: Olsen & Associates, May 30, 1995.

51. Dudding B. P., Jennet W. J. Quality control charts, British Standard 600R, 1942.

52. Dunnett C. W. A Multiple Comparison Procedure for Comparing Several Treatments with a Control // Journal of the American Statistical Association. 1955.-50.-P. 1096-1121.

53. Engle R. F. Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation // Econometrica. 1982. - V. 50, №4.-P. 987-1008.

54. Forecasting exchange rates using general regression neural networks / Leung Mark Т., Chen An-Sing, Daouk Hazem // Comput. and Oper. Res. 2000. -27, № 11-12.-P. 1093-1110.

55. Gourieroux Ch. Modeles ARCH et applications financieres. Paris: Econometrica, 1992.

56. Granger С. W. J., Terasvirta T. Modelling Nonlinear Economic Relationships. Oxford: Oxford'Univ. Press, 1993.

57. Grillenzont C. Time-varying parameters prediction // Ann. inst. Statist. Math.- 2000. 52, № 1. - P. 108-122.

58. Grosh В. K. Sequential tests of statistical hypothesis. Reading (Mass.): Addison-Wesley, 1970.

59. Hansson P. A. Chaos: implications for forecasting // Futures. 1991. - № 1. -P. 50-58.

60. Jackson J. E., Bradley R. A. Sequential x1 and т2 -tests // Ann. Math. Statist.- 1961. 32, № 4. - P. 1063-1077.

61. Jones R. H., Crowell D. H., Kapuniai L. E. A method for detecting change in a time series applied to newborn EEG // Electroencephalography and Clinical Neurophysiology. 1969. - V. 27. - P. 436 - 440.

62. Jones R. H., Crowell D. H., Kapuniai L. E. Change detection model for serialy correlated multivariate data // Biometrics. 1970. - V. 26, № 2. - P. 269-280.

63. Jones R. H., Crowell D. H., Kapuniai L. E., Nakagawa I. K. An adaptive method for testing for change in digitized cardiotachometer data // IEEE, Trans, on Bio-Medical Engineering. 1971. - V. BME-18, № 5. - P. 360365.

64. Lorden G. Procedures for reacting to a change in distribution // Ann. Math. Statist. 1971. - 42, N 6. - P. 1897-1908.71 Microsoft Excel Help.

65. Page E.S. Comparison of process inspection schemes // Industr. Quality Contr. 1964. - 21, N 5. - P. 245-249.

66. Peitgen H.-O., Jiirgens H., Saupe D. Chaos and Fractals. New York: Springer-Verlag, 1992.

67. Pesaran M. H., Potter S. M. (Eds). Nonlinear Dynamics, Chaos and Econometrics. New York: Wiley, 1993.

68. Pollock A. C., Macaulay A., Onkal-Atay D., Wilkie-Thomson M. E. Evaluating predictive performance of judgmental extrapolation from simulated currency series // Eur. J. Oper. Res. 1999. - 114, № 2. - P. 281— 293.

69. Rabemananjara R., Zakoian J. M. Threshold ARCH Models and Asymmetries in Volatility // Journal of Applied Econometrics. 1993. - V 8, № l.-P. 31^9.

70. Shewhart W. A. The Economic control of the Quality of Manufactured Product, Macmillan, New York, 1931.

71. Takens F. Distinguishing deterministic and random systems // Nonlinear dynamics and turbulence. Ed. G. I. Barenblatt, G. Joose, D. D. Joseph, N. Y. Pitman. 1983.-P. 314-333.

72. The modeling and analysis of financial time series / C. James // Amer. Math. Mon. 1998. - 105, № 5. - P. 401-411.

73. Tong H. Nonlinear Times Series. Oxford: Oxford Univ. Press, 1990.

74. Tsuyoshi S. Optimal stopping problem with finite-period reservation. // Eur. J. Oper. Res. 1999. - 118, № 3. - P. 605-619.

75. Winer В,J. Statistical principles in experimental design. New York, 1962