Поляризация вакуума и рождение нейтрино в искривленном пространстве-времени тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Притоманов, Сергей Алексеевич

• Притоманов, Сергей Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Притоманов, Сергей Алексеевич

Введение

Глава I. Рождение нейтрино в метрике Казнера

1.1. Безмассовое спинорное поле в однородном анизотропном'пространстве

1.2. Квантование и корпускулярная интерпретация поля в аксиально симметричной метрике

I типа по Бланки.

1.3. Тензор энергии-импульса спинорного поля в метрике Казнера

1.4. Анализ расходимостей. Плотность энергии и давление рождающейся материи.

Глава 2. Рождение безмассовых фермионов в метрике

I типа по Бианки общего вида.

2.1. Уравнение Вейля в метрике I типа по Бианки.

2.2. Плотность числа рождающихся частиц в анизотропном гравитационном поле.

2.3. Тензор энергии-импульса спинорного поля.

Глава 3. Квантовые эффекты безмассового спинорного поля в космологической модели "перемешанного мира".

3.1. Космологическая модель "перемешанного мира".

3.2. Уравнения Вейля в метрике IX типа по Бианки

3.3. Квантовый распад вакуума и рождение безмассовых фермионов в замкнутом анизотропном пространстве.

ЭЛ. ТЭИ безмассового спинорного поля в модели "перемешанного мира"

3.5. Устранение инфракрасных расходимостей и конформная аномалия

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Поляризация вакуума и рождение нейтрино в искривленном пространстве-времени»

Теория квантовых эффектов в интенсивных гравитационных полях становится в последнее время все более актуальной. Благодаря упорному труду многих исследователей в течение двух последних десятилетии, эта теория в настоящее время является доста -точно развитой и позволяет решать целый ряд интересных задач квантовой теории поля, имеющих непосредственное приложение в физике элементарных частиц и космологии. Все многообразие существующих проблем нашло достаточно полное отражение в ряде крупных работ / 1-3 /, а также в тезисах 9-й и 10-й Международных / 4,5 / и 5-й, б-й Всесоюзных конференций по теории относительности и гравитации / 6,7 /.

В настоящее время общепринятой считается точка зрения, согласно которой теория квантовых эффектов во внешнем классическом гравитационном поле является приближением к теории, объединяющей все известные виды взаимодействия вплоть до так называемой планковской эпохи / 8 /, характеризуемой кривизной порядка

I066 см"2, временем10"^ с и плотностью материи ppL^I0 г/см . При указанных значениях кривизны, времени и плотности необходим, по-видимому, учет квантовых свойств пространства и времени и, следовательно, нужна единая теория сильных, электромагнитных, слабых и гравитационных взаимодействий. Однако в большинстве задач космологии и астрофизики метод фонового поля является вполне приемлемым для описания физической реальности.

Поскольку важнейшими из квантовых эффектов в искривленном пространстве-времени (ПВ) являются рождение частиц и поляризация вакуума, то основным объектом исследования теории является классический тензор энергии-импульса (ТЭИ), определяемый как среднее от соответствующего операторного выражения по некоторому состоянию. В качестве последнего, как правило, берется определенным образом выбранное вакуумное состояние - основное со -стояние гамильтониана квантованного поля, поскольку именно на его примере лучше всего видно отличие от теории в плоском ПВ.

В отличие от ПВ Минковского, в котором вакуум может быть определен единственным образом во всем ПВ, в искривленном ПВ эта однозначность в выборе отсутствует / 12 /. В космологических задачах трудность определения вакуумного состояния связана, как известно / 2 /, с нестатичностью метрики космологических моделей, которая приводит к перемешиванию частотных частей решений соответствующих уравнений поля, что в корпускулярной интерпретации описывается как рождение частиц / 9,10 /. В работе / II / был предложен метод диагонализации гамильтониана квантованного поля во внешнем гравитационном поле преобразованиями Боголюбова в любой момент времени. Этот метод позволяет определить физический вакуум системы как состояние, уничтожаемое соответствующими операторами частиц и античастиц, в терминах которых в данный момент времени гамильтониан диагонален.

Применение метода диагонализации гамильтониана к различным квантовым полям во внешних электрическом и гравитационном полях позволило получить целый ряд очень важных результатов, которые в полной мере приведены в / 2 /. В настоящей работе этот метод используется для расчета квантовых эффектов безмассового спинор-ного поля в анизотропных космологических моделях.

Другая трудность связана с устранением ультрафиолетовых (УФ) расходимостей в вакуумных средних ТЭИ, поскольку последние являются билинейными функциями по операторам соответствующего квантованного поля. Исследование характера расходимостей показало, что при больших импульсах вакуумные средние ТЭЙ<о1Т^1о>~ где Ли- параметр УФ обрезания. В настоящее время существует несколько различных методов регул5физации, эффективное применение которых зависит от конкретной задачи. Ниже мы будем использовать метод ln-волновой регуляризации, предложенный в / 13 /. Этот метод является модификацией метода Паули-Вил-ларса / 14 / и применим к гравитационным полям любой интенсивности. При этом, однако, необходимо знать полную систему решений уравнения квантуемого поля в данной метрике, поиск которой в искривленном ПВ представляет собой далеко не тривиальную задачу.

Строгое теоретико-полевое обоснование метод la -волновой регуляризации получил в работах / 16,17 /, в которых на примере массивного спинорного поля показано, что вычитание первых двух слагаемых в этом методе эквивалентно перенормировке космологической и гравитационной постоянных в затравочном лагранжиане.

Наиболее полно и тщательно разработанной в настоящее время является теория квантованных полей в космологических моделях Фридмана.

Рождение конформно-инвариантных частиц с vm = О (скалярное с конформной связью, нейтрино, фотоны) в метрике Фридмана вообще не происходит. Это связано, как известно / 9 /. с тем, что метрика Фридмана является конформно плоской, т.е. ^, где Cj w - метрика ПВ Минковского. Уравнение для безмассовых полей при таком преобразовании метрики сохраняет свой вид, если произвести замену ^ = ^ф , S- спин частицы. ТЭИ при этом преобразуется какТ^ Д^ТТ» но гамильтониан поля U= f|T0 не изменяется, поскольку d'^fj'' Инвариантность гамильтониана (Н= Н ) означает инвариантность вакуума, определяемого как основное состояние Н при конформных преобразованиях, что и означает отсутствие рождения безмассовых частиц в конформно-плоских ПВ.

Этой особенностью фридмановских моделей объясняется и низкий темп рождения массивных частиц, поскольку при приближении к сингулярности 1 и происходит асимптотическое отключение процесса рождения вещества. Существенное влияние на фоновую метрику может оказывать только поляризация вакуума, которая ведет себя как f/fc* при -Ь о / 19 /.

Следующим шагом в развитии квантовой теории поля в искривленном ПВ является отказ от изотропии космологического расширения на ранних стадиях эволюции Вселенной и изучение анизотропных однородных фоновых метрик. Интерес к анизотропным моделям обусловлен в первую очередь целым рядом работ Е.М.Лившица и сотрудников (обзор и подробные ссылки см. / 20 / ), в которых показано, что общее решение уравнений Эйнштейна при приближении к сингулярности оказывается анизотропным и соответствует моделям I или IX типа по классификации Бианки. Эти типы метрик асимптотически соответствуют плоской и закрытой моделям Фридмана. Поэтому наибольший интерес представляет построение квантовой теории поля именно в анизотропных однородных пространствах I и IX типа.

Необходимо подчеркнуть, что современная наблюдаемая высокая степень изотропии реликтового излучения 4 10 ) не исключает возможности анизотропного расширения Вселенной вплоть

3 б до момента рекомбинации водорода (Z>10 , -Ь < 10 лет) / 8 /. Учет возможного влияния анизотропии на химический состав наблюдаемой Вселенной несколько улучшает эту оценку. Современная точка зрения сводится к тому, что наблюдения не противоречат существованию сильно анизотропного расширения Вселенной вплоть до i- I сек. В настоящее время большое внимание как в теоретическом, так и в экспериментальном плане уделяется поиску наблюдаемых последствий возможного анизотропного расширения (в первую очередь радиоастрономическими методами).

Известные классические механизмы недостаточно эффективны, чтобы обеспечить изотропизацию в достаточно сжатые сроки / 8, 22 /. Поэтому в работе / 21 / впервые была высказана гипотеза о том, что ранняя изотропизация космологического расширения есть результат обратного влияния квантовых эффектов рождения частиц на фоновую анизотропную метрику. Эта гипотеза вызвала усиленный интерес к построению квантовой теории поля в анизотропных метриках. В работах / 13,24-30,60,61 / рассматривались различные вопросы, связанные с квантованием массивного скалярного поля в анизотропных метриках I и IX типов. Основной вывод этих работ состоит в том, что темп рождения скалярных частиц-v ^ДН^СУ™^) при 4:-»0, т.е. существенно выше, чем в изотропных моделях. Расчет обратного влияния рождающихся частиц на метрику I типа / 23,24,33-36 / показал быструю изотропизацию космологического расширения, тем самым подтвердив гипотезу Я.Б.Зельдовича / 21 /.

Квантовая теория массивных спинорного и векторного полей в анизотропных метриках столкнулась со значительными трудностями. Впервые массивное спинорное поле в метрике I типа было рассмотрено в / 37 /, в которой получено общековариантное уравнение Дирака. Однако сложность этого уравнения не позволяет пока достигнуть дальнейшего прогресса в построении массивной квантовой теории спинорного поля.

В то же время, поскольку анизотропные метрики не являются конформно-плоскими, то в них можно с самого начала изучать ненулевые квантовые эффекты безмассовых частиц. Уравнения поля для безмассовых частиц упрощаются и позволяют найти точное решение. Квантовая теория фотонов в метрике I типа построена в / 38 /, теория спинорного поля в метриках I и DC типов - в работах / I08-II3 /. Расчеты, выполненные в этих работах, подтвердили высокий темп рождения безмассовых частиц вблизи анизотропной сингулярности.

Необходимо отметить, что в отличие от изотропных метрик, в анизотропных пространствах в принципе нельзя однозначно разделить эффекты рождения частиц и поляризацию вакуума квантованного поля / 13,24 /, поскольку ТЭЙ содержит все типы расходимос-тей:Лы+ Ли + Анизотропное расширение приводит также к новым, отсутствующим в изотропных моделях, квантовым эффектам, связанным с перестройкой вакуумного состояния скалярного и спинорного полей / 39,40,113 /, а также к эффектам линешой поляризации фотонов / 38 /.

Из сказанного выше следует, что исследование квантовых эффектов безмассовых полей, в том числе и спинорного, в анизотропных метриках представляет собой важную и интересную теоретико-полевую задачу, решение которой будет способствовать и созданию теории массивных квантовых полей в анизотропном пространстве-времени.

Интерес к теории нейтрино во Вселенной в то же время непрерывно "подогревается" современными достижениями теоретической астрофизики, физики элементарных частиц и наблюдательной астрономии. По мнению многих авторов, роль нейтрино может быть определяющей для всей эволюции Вселенной / 8,41,42 /. Сообщение об экспериментах, указывающих на наличие у нейтрино ненулевой массы покоя / 43,44 /, лежащей в пределах 14 эв<т0<46 эв, с наиболее вероятным значением 30+2 эв, вызвало необходимость пересмотра целого ряда проблем космологии / 45-47 /. В первую очередь это касается вопроса о средней плотности вещества во Вселенной. Расчеты показывают / 45 /, что если vyv*I0 эв, то именно нейтрино (при плотности числа частиц каждого сорта кь

-Зч

150 см ; определяют среднюю плотность вещества во Вселенной и ее возраст. Причем, если т„>20 эв, то плотность вещества превышает критическую, и ПВ должно описываться космологической моделью закрытого типа. Достаточно полный обзор современного состояния вопроса об учете массы нейтрино в космологии можно найти в работах / 42,48-51 /, мы же вынуждены остановиться лишь на проблемах, непосредственно касающихся данной диссертационной работы.

Первоначально, до открытия несохранения четности в слабом взаимодействии, считалось, что хотя нейтрино и имеет массу покоя, строго равную нулю,тем не менее существуют оба спиральных состояния нейтрино: левое и правое . Соответственно и у антинейтрино. Однако лабораторные исследования по распаду К-ме-зонов привели к выводу об отсутствии правых нейтрино (\)eR ) и левых антинейтрино (v'eu )» поскольку они никак не проявили себя в эксперименте. Теория двухкомпонентного безмассового спинорно-го поля, как известно, хорошо описывает такую ситуацию. Если же тФ 0, то состояния нейтрино с положительной и антинейтрино с отрицательной спиральноетью должны существовать, поскольку в этом случае теория нейтрино аналогична теории электрона. Чтобы не было противоречия, необходимо предположить, что во всех изучаемых в лабораториях процессах OeR и \)eL не участвуют / 42 /. Это, по-видимому, означает, что константа слабого взаимодействия с правыми токами значительно меньше константы взаимодействия с левыми - Оценка на величину gwa/gwi, ^ исходя из космологических соображений, была получена в / 50 /.

Для построения квантовой теории спинорного поля в искривленном ПВ необходимо учитывать все возможные состояния спина частицы, т.е. и состояния, описывающие правые нейтрино и левые антинейтрино. Во-первых, этого требует формальный математический аппарат построения полной ортонормированной системы решений уравнения Дирака с те о. Во-вторых, отбрасывание состояний v>eR и vU , как показано во второй главе, приводит к появлению в вакуумных средних ТЭЙ расходимостей типа Ли+ Ли, которые не могут быть интерпретированы в терминах перенормировок физических постоянных в исходном лагранжиане. В то же время учет всех возможных спиральных состояний приводит к взаимному уничтожению указанных расходимостей в конечном выражении для ТЭИ. В определенной мере это можно считать подтверждением необходимости существования правых нейтрино и, следовательно, отличной от нуля массы покоя нейтрино.

Необходимо сразу же подчеркнуть, что наличие малой (да и вообще) массы у нейтрино не может оказать влияние на динамику развития Вселенной в самом начале расширения. Согласно современным представлениям горячая плазма Вселенной становится прозрач

ТА ной для левых нейтрино при температуре Т= 3 Мэв (Т= 10 К). Возраст Вселенной при этом составляет i = 0,01 сек / 50 /.Вследствие более слабого взаимодействия с веществом, правые нейтрино "отключаются" еще раньше, при значительно более высокой температуре и в более ранние моменты времени. Рождение частиц в космологии идет наиболее эффективно на частотах co-vt'V 2 /, поэтому процесс рождения имеет существенное значение лишь при достаточно малых ~Ь . При этом рожденные частицы являются ультрарелятивистскими. Ясно, что при таких условиях массой нейтрино ^30 эв можно пренебречь в достаточно большом промежутке времени от начала расширения. Поэтому во всех вычислениях в последующих трех главах мы полагаем и будем говорить о построении теории безмассового спинорного поля в анизотропном ПВ, при этом не вступая в конфликт с замечанием / 50 /, что "масса нейтрино крайне желательна в космологии".

В связи с вопросом о массе нейтрино в квантовой теории поля необходимо обратить внимание также на следующее. В работах / 52-54 / была построена теория, в которой первоначальное фер-мионное поле характеризуется нулевой массой, а конечная масса фермионной частицы возникает вследствие спонтанного нарушения симметрии в предположении о у5-неинвариантности физического вакуума / 55 /. Для искривленного ПВ такой механизм появления массы фермионов был разработан в / 59 /. Сильно анизотропное гравитационное поле, как показано в главе 3, приводит к перестройке вакуума безмассового спинорного поля таким образом, что у него появляется отличное от нуля значение спиральности. В безмассовой теории это соответствует лептонному или барионному заряду вакуума. Следовательно, нарушение }(5 -инвариантности физического вакуумного состояния, как этого требует теория /52-54/» достигается за счет влияния сильного анизотропного гравитационного поля. Рождаясь изначально безмассовыми, фермионы могли бы приобретать массу в результате фазового перехода, вызванного спонтанным нарушением симметрии.

В работах / 40,56,57 / впервые обсуждался механизм преимущественного рождения нейтрино по сравнению с антинейтрино, т.е. процесс рождения с несохранением лептонного заряда в анизотропном ПВ. В ультрарелятивистском пределе описанный механизм может быть применен для объяснения не только лептонной / 50 /, но и барионной асимметрии Вселенной. Нелишне напомнить, что в теориях Великого объединения исходные массы барионов полагаются равными нулю. Космологическая модель "перемешанного мира" в таком случае может дать естественный механизм нарушения закона сохранения барионного числа и послужить ещэ одним примером необходимости учета гравитационных эффектов в физике элементарных частиц.

В последнее время интерес астрофизиков к массивному нейтрино обусловлен возможностью объяснения крупномасштабной структуры Вселенной теорией "нейтринных блинов" / 62 /. Согласно этой теории галактики и скопления галактик концентрируются на поверхностях и линиях, образуя ячеисто-сетчатую структуру. Причем вначале образуются "нейтринные блины", которые собирают и притягивают к себе обычное вещество / 46,47 /. Для объяснения наблвда-емой структуры Вселенной в масштабах 100-200 мегапарсек нейтрино должны обладать массой порядка нескольких десятков электрон-вольт. Подробное изложение вопроса и ссылки можно найти в / 48, 49 /.

Одним из главных вопросов такой теории является вопрос о причинах возникновения начального спектра адиабатических возмущений плотности вещества Вселенной на стадии изотропного фрид-мановского расширения. В принципе начальные возмущения плотности нейтрино могут быть объяснены квантовыми эффектами рождения нейтрино в анизотропной метрике. Распределение импульсов рожденных частиц в этом случае по направлениям 1файне анизотропно и может быть полностью подавлено вдоль определенных направлений или плоскостей в пространстве / 108,110 /. Если анизотропная стадия расширения Вселенной длится вплоть до момента "разъеди нения" нейтрино и вещества Ц в 0,01 с), что не противоречит наблюдениям, то указанная анизотропия нейтринных потоков сохранится и на более поздних стадиях и может дать толчок к развитию гравитационной неустойчивости и образованию "нейтринных блинов". Этот механизм, однако, требует значительно более детального и тщательного осмысления и изучения.

В связи с вышеизложенным хочется высказать мнение, что теория квантовых эффектов фермионного поля во внешнем анизотропном гравитационном поле может иметь непосредственное приложение к задачам теоретической астрофизики, физике элементарных частиц, космологии и наблюдательной астрономии. Поэтому представляет значительный интерес дальнейшее развитие теории безмассового спинорного поля с учетом эффекта спонного нарушения симметрии в анизотропных метриках, создание теории массивного спинорного поля, расчет спектра рождающихся частиц и решение целого ряда других проблем с целью их дальнейшего использования для описания роздения и эволюции Вселенной.

Целью диссертационной работы является:

1. Изучение рождения безмассовых спинорных частиц и поляризации вакуума в анизотропной космологической модели I типа по Бианки.

2. Изучение квантовых эффектов безмассового спинорного поля в космологической модели "перемешанного мира".

Содержание работы

В главе I изучается взаимодействие квантованного безмассового спинорного поля с классическим гравитационным полем, описываемым метрикой I типа по Бианки. Рассматривается осесиммет-ричный случай со степенной зависимостью метрических коэффициентов от времени. Выбор показателей степени соответствует космологической модели Казнера.

В разделе I.I производится построение решений уравнений Дирака с 0. Для этого используется математический аппарат построения общековариантного уравнения Дирака, описанный в /64/-Этот аппарат неоднократно использовался для описания фермионно-го поля как в статических ПВ / 65-67 /, так и в космологических моделях (для фридмановских моделей см., например, / 68,69 / ). Показано, что использование конформных свойств безмассового спи-норного поля в аксиально симметричной метрике позволяет свести решение уравнения Дирака к решению уравнения второго порядка для функции, зависящей только от времени. Доказана полнота и ортогональность полученной системы решений. При этом в соответствии со сказанным выше рассматриваются оба возможных состояния спиральности нейтрино и антинейтрино. Отметим, что уравнение второго порядка для временной части решения получается аналогичным задаче о рождении фермионов в пространственно однородном переменном электрическом поле / 70,71 /, если произвести замену векторного потенциала электрического поля определенной комбинацией метрических коэффициентов.

В разделе 1.2 построены операторы вторично квантованного безмассового спинорного поля, установлены коммутационные соотношения между операторами рождения и уничтожения. Вакуумное состояние определено в момент задания начальных условий, которые фиксируют положительно и отрицательно частотные решения. Метрический гамильтониан спинорного поля строится стандартным образом / 2 /. Корпускулщшая интерпретация дана на основе метода диа-гонализации мгновенного гамильтониана преобразованиями Боголюбова / 72 /. Решения уравнения Дирака выражены через коэффициенты боголюбовского преобразования, найдена система уравнений первого порядка для и ^р(^) и эквивалентная ей система для функций Sp(£), t^pC1?), введенных согласно / 13 /.

Используя методику работы / 73 /, получена система интегральных уравнений Вольтерра, которая впоследствии используется для анализа асимптотического поведения указанных функций.

Проводится интерпретация эффекта рождения с точки зрения спиновых свойств частиц. Для этого вычислен оператор спирально-сти безмассового спинорного поля, введенный согласно / 55 /, и показано, что матричные элементы этого оператора в вакуумных и одночастичных состояниях не изменяются во времени, т.е. спираль-ность поля не изменяется в процессе рождения. Приведено общее выражение для плотности числа частиц. Анализ последнего показывает, что в спектре рожденных частиц наблюдается анизотропия по направлению импульса, т.е. рождающиеся пары безмассовых фермио-нов не могут иметь импульсы, направленные вдоль оси симметрии модели или лежащие в плоскости, перпендикулярной этой оси.

В разделе 1.3 проводится расчет вакуумных средних метрического ТЭИ спинорного поля в метрике Казнера. Стандартное выражение для классического ТЭИ спинорного поля в искривленном ПВ приведено в / 2 /. Вычислены вакуумные средние ТЭИ по начальному и физическому вакуумам. Нормальное упорядочение оператора ТЭИ определяется согласно / 15 /. Вакуумные средние нормально упорядоченного ТЭИ выражены через введенные в разделе 1.2 функции SpC^), (ЛрС^), ^ Показано, что аксиальная симметрия метрики обусловливает отсутствие недиагональных членов в ТЭИ. Доказана консервативность и бесследовость вакуумных средних нормально упорядоченного ТЭИ.

В разделе 1Л исследовано асимптотическое поведение функций Sp(>2), Ыр(^) иЯХрС^) в метрике Казнера. Показано, что в этом случае уравнение для временной части биспиноров не содержит сингулярных при 0 коэффициентов и начальные условия для уравнений Дирака могут быть наложены в сингулярности = 0). Показано, что асимптотическое поведение функций , »

ТТрМпри больших импульсах приводит к УФ расходимостям в ТЭИ вида Лц + ьиЛи, характерным для квантовой теории поля в искривленном ПВ. На нижнем пределе интегрирования расходимости в вакуумных средних нормально упорядоченного ТЭИ отсутствуют.

Устранение ультрафиолетовых расходимостей в ТЭИ осуществляется методом h-волновой регуляризации / 13 /. Расчет плотности энергии, давления рожденных частиц и поляризации вакуума показывает, что темп рождения безмассовых фермионов вблизи сингулярности для общего случая степенной зависимости метрики от времени, что существенно выше темпа рождения массивных частиц в изотропных метриках / 2 /. В то же время для метрики Казнера (вакуумное решение уравнений Эйнштейна) темп рождения падает и соответствует темпу рождения во фридмановских моделях, т.е.

Аналогичный результат для рождения фотонов получен в 38 /.

Показано, что процедура устранения УФ расходимостей вносит в ТЭИ отсутствующую до перенормировки инфракрасную (Ж) расходимость. Устранение последней осуществляется введением обрезания А: , которое связывается с существованием горизонта видимости во Вселенной / I /. След ТЭИ после регуляризации остается равннм нулю.

Во 2 главе рассмотрено квантование безмассового спинорного поля и рождение частиц в метрике I типа по Бианки общего вида. Поскольку все метрические коэффициенты считаются различными функциями времени, то использование конформной инвариантности уравнений Дирака cms Ои методики, развитой в главе I, не дает желаемых результатов. Поэтому решение поставленной задачи ищется путем анализа уравнений Вейля для спиноров.

В разделе 2.1 излагается формализм получения уравнений Вейля путем использования дополнительных условий на биспиноры, известной из квантовой электродинамики / 14 /. Однородность пространства позволяет разделить переменные и получить систему дифференциальных уравнений первого порядка для временных частей спиноров. Построена полная ортонормированная система решений и получен ряд соотношений, связывающий положительно и отрицательно частотные решения.

В разделе 2.2 выполнено квантование безмассового спинорного поля в метрике первого типа по схеме, описанной в разделе 1.2. Построен гамильтониан поля и проведена его диагонализация преобразованиями Боголюбова. В отличие от аксиально симметричного случая метрики I типа, коэффициенты этого преобразования оказываются зависящими от спинового индекса. Корпускулярная интерпретация теории дана на основе анализа оператора мгновенного гамильтониана и оператора спиральности спинорного поля.

Получено разложение оператора поля по операторам рождения и уничтожения физических частиц, использование которого позволяет получить выражение для плотности числа частиц. Анализ последнего показывает, что рождение пар происходит с сохранением спиральности, учет спиновых состояний приводит к удвоению результата для n(-t) .

В разделе 2.3 проводится расчет вакуумных средних метрического ТЭИ спинорного поля в метрике I типа по Бианки. Показано, что в отличие от аксиально симметричного случая этой метрики, вакуумные средние нормально упорядоченного ТЭИ имеют недиагональные пространственные компоненты. Поскольку последние зависят только от временной координата, то они не приводят ни к каким новым макроскопическим эффектам по сравнению с ранее изученными. Учет влияния этих членов возможен только через гравитацию, путем подстановки вакуумных средних в правую часть уравнений Эйнштейна / 2 /. Компоненты нормально упорядоченного ТЭИ представлены через функции 6p^(4r) , , введенные во втором разделе. В отличие от первой главы, ТЭИ выражается через все три функции.

Исследовано асимптотическое поведение функций , UP>c , 1Грг и показано, что на нижнем пределе интегрирования расходимости в вакуумных средних нормально упорядоченного ТЭИ отсутствуют. УФ асимптотики функций имеют принципиальное отличие от результатов, полученных в первой главе. Показано, что асимптотическое разложение этих функций в ряд по обратным степеням со содержит слагаемые, которые в вакуумных средних ТЭИ для определенного спинового состояния приводят к дополнительным расходимос-тям, пропорциональным Ац + Лц , которые, как известно / I /, в принципе не могут быть устранены перенормировкой констант в затравочном лагранжиане. Расчет показал, что эти расходимости входят в ТЭИ для разных спинов с разными знаками, поэтому учет обоих спиновых состояний приводит к взаимному сокращению указанных членов и результирующий ТЭИ на верхнем пределе интегрирования расходится как Лц+^иАд. Устранение оставшихся расходимостей проведено методом Зельдовича-Старобинского / 13 /. Обсуждаются отличия от результатов раздела 1.4.

Сделана оценка на плотность энергии и давление рожденных частиц и поляризации вакуума для степенной зависимости метрики от времени. Указано на появление ИК расходимости. Доказана консервативность и бесследовость полученного регуляризоваиного тензора энергии-импульса (РТЭИ).

В главе 3 изучаются квантовые эффекты безмассового спинор-ного поля в метрике IX типа по Бианки. Впервые эта метрика начала изучаться в работах / 20,75 / и независимо в / 31,32 /, в которых в основном интересовались асимптотическими свойствами компонент пространственной метрики и траекторией световых лучей при сжатии Вселенной к точке. В / 21 / был рассмотрен вопрос об изотропизации модели в ходе космологического расширения. Наиболее полно и последовательно метрика IX типа была изучена в работах / 77,78 /. С точки зрения исследования квантовых эффектов интерес к метрике этого типа связан с работами / 40,56,57,76 /, в которых показано существование так называемой "спектральной асимметрии", т.е. систематического сдвига уровней энергии квантованного поля (спинорного и электромагнитного) под действием внешнего гравитационного поля. В статическом поле черной дыры этот эффект обсуждался в / 80,104 /. В анизотропной метрике IX типа сдвиг уровней энергии для безмассового спинорного поля может быть достаточно большим, что приводит к рождению четного / 40,56 / или нечетного / 57 / числа нейтрино, а не пар нейтрино-антинейтрино. Нашей задачей является построение последовательной вторично квантованной теории безмассового спинорного поля в метрике IX типа по Бианки.

В разделе 3.1 дано краткое описание космологической модели "перемешанного мира" и ее особенностей. Приведены вакуумные уравнения Эйнштейна, описана эволюция модели и показано, что отрицательная пространственная кривизна трехмерной гиперповерхнозЛ сти R играет роль некоторой "положительной потенциальной энергии", которая делает пространство похожим на упругое твердое тело / 77 /. Выписаны необходимые в дальнейшем формулы и соотношения, относящиеся к аксиально симметричному случаю метрики Л типа.

В разделе 3.2 развивается формализм построения общековари-антиого уравнения Дирака с m = 0. Неголономность базиса генераторов метрики приводит к появлению в уравнении дополнительных по сравнению с метрикой I типа слагаемых. Получены уравнения Вейля и показана их тождественность / 76 /. Получена система уравнений для временных частей биспиноров. В статической области решения полученных уравнений совпадают с / 56 /. Определены положительно и отрицательно частотные решения, исследованы их свойства и построена полная ортонормированная система уравнений Дирака с m «= 0 в метрике IX типа. Приведена сводка формул суммирования биспиноров.

В разделе 3.3 проведено квантование безмассового спинорного поля. В отличие от работ / 40,56 /, начальное разложение оператора поля по операторам рождения и уничтожения частиц производится стандартным для квантовой теории поля образом / 14,81 /. Каноническими преобразованиями оператор гамильтона приведен к диагональному виду, причем значения квазичастот вычислены непосредственно. Произведено разложение оператора поля по операторам рождения и уничтожения физических частиц. Показано, что норк мально упорядоченный оператор : HO^): тем не менее не является положительно определенным, как того требует квантовая теория поля. л

Для достижения положительной определенности для низших мод выполнены так называемые "сильные" преобразования Боголюбова / 82,83 /, которые соответствуют выбору в канонических преобразованиях равными нулю. С корпускулярной точки зрения это означает замену всех частиц на античастицы и наоборот. Показано, что после проведения такого преобразования гамильтониан становится положительно определенным, а разложение оператора поля приобретает вид, предложенный в / 56 /.

Построен оператор спиральности спинорного поля и показано, что вакуумное значение этого оператора в начальном состоянии отлично от нуля. Этот результат интерпретируется по аналогии с теорией сверхкритического электрического поля. Как известно (обзор см./ 84 /), в неоднородном электрическом поле ядра с порядковым номером ~z > 170 происходит перестройка вакуумного состояния фермионного поля таким образом, что у него появляется отрицательный электрический заряд. Величина заряда зависит от величины внешнего электрического поля, т.е. от 2 / 2 /. Если предположить, что электрическое поле может уменьшаться со временем, то это приводит к распаду заряженного вакуума на нейтральный и электроны. Методом диагонализации гамильтониана эти результаты получены в работах / 85,86,105 /. Детальные расчеты проведены в / 106 /. Вакуумное состояние в такой теории имеет, как минимум, заряд 2е и потому С - неинвариантно / 87 /.

Аналогичная ситуация, с нашей точки зрения, возникает и в анизотропной метрике IX типа. Под действием сильно анизотропного гравитационного поля вакуумное состояние безмассового спинорного поля перестраивается таким образом, что у него появляется отличный от нуля положительный фермионный заряд (отрицательная спиральность). Под фермионным зарядом в рассматриваемом нами ультрарелятивистском пределе можно понимать как барионный, так и лептонный заряд. Рождение безмассовых фермионов, таким образом, интерпретируется как распад в процессе эволюции заряженного вакуума на нейтральный и пару частиц с отрицательной спираль-ностью. Показано, что одновременно идут два процесса: рождение пар частиц за счет распада начального заряженного вакуума и рождение пар, вызванное анизотропным космологическим расширением и аналогичное рассмотренному в предыдущих главах. За счет распада вакуума рождается конечное число частиц, плотность же числа пар во втором процессе бесконечна.

В разделе 3.4 построен ТЭИ спинорного поля в метрике IX типа. В соответствии с полученным в разделе 3.3 разложением оператора поля и предложенной интерпретацией физических процессов ТЭИ представлен в виде двух слагаемых ff^1 t4-) /W I ^v

-I С-г.) V первое из которых описывает поляризацию заряженного вакуума, плотность энергии и давление рожденных в результате его распада частиц, а второе - плотность энергии, давление пар, рожденных в результате космологического расширения. Показано, что второе слагаемое в ТЭИ может быть представлено в виде, полностью аналогичном выражениям первой главы. Вакуумные средние ТЭИ содержат расходимости только ц, первая из которых устраняется нормальным упорядочением / 15 /, а остальные - процедурой -волновой регуляризации / 13 / по аналогии с аксиально симметричной метрикой I типа. Поскольку метрика IX типа описывает пространство закрытого типа, то в выражениях для ТЭИ появляются характерные топологические добавки / 15,88,89 /.

Вакуумные средние "T^Iv конечны, что соответствует конечности числа рожденных в результате распада начального вакуума частиц. Выражения для вакуумных средних НГ^1* вычислены в предположении о большой начальной анизотропии модели.

Так же, как и в предыдущих двух главах, РТЭИ получается консервативным и бесследовым.

В разделе 3.5 кратко рассмотрен вопрос о конформной аномалии в ТЭИ безмассовых полей в искривленном пространстве-времени и проблема устранения инфракрасных расходимостей, вносимых в ТЭИ процедурой регуляризации. В настоящее время считается общепризнанным, что все известные процедуры регуляризации ТЭИ массивных полей в искривленном ПВ в безмассовом пределе приводят к конформной аномалии. Обзор литературы по этому вопросу можно найти в / 2,3 /. Однако в работе / 90 / по размерной регуляризации впервые, насколько нам известно, была высказана мысль о том, что в изначально безмассовой квантовой теории поля в искривленном ПВ конформная аномалия не возникает, что и было продемонстрировано на примере скалярного поля. На принципиальную возможность регуляризации без конформной аномалии было указано в работах / 91-93 /. В работе / 94 /, основываясь на изучении математических свойств функции Адамара, предложена процедура "нормального упорядочения".» которая по определению приводит к бесследовости перенормированных вакуумных средних ТЭИ.

В настоящей работе показано, что в изначально безмассовой теории спинорного поля в анизотропном ПВ конформная аномалия не возникает, т.е. вакуумные средние ТЭИ остаются бесследовыми как до, так и после процедуры регуляризации. Последняя, однако, вносит в РТЭИ отсутствующую в начальных выражениях нормально упорядоченного ТЭИ инфракрасную расходимость. В настоящее время не существует однозначного, достаточно физически обоснованного способа введения параметра Ж обрезания А^ . Мы, следуя / I Довязываем возможность введения такого обрезания с существованием горизонта видимости во Вселенной.

В приложении найден явный вид асимптотического разложения функций £Р , Up, 1Гр в ряд по обратным степеням U). В приложении А рассмотрен аксиально симметричный случай метрики I типа. Показано, что в этом случае асимптотический вид решений функций , Ц,ТГр соответствует формулам (13.109) книги 2. Вычислены интегралы, входящие в вакуумные средние тензора энергии-импульса спинорного поля, и их конкретные значения для метрики Казнера. В приложении В рассмотрен общий случай метрики I типа. В отличие от предыдущего случая асимптотическое разложение функций £>р , , 1Гр содержит все члены ряда по обратным степеням <jO. Показано, что появляющиеся вследствие этого дополнительные кубическая и линейная расходимости в тензоре энергии-импульса спинорного поля исчезают при учете обоих спиновых состояний поля.

Список использованной литературы включает 113 наименований.

Основные положения, выносящиеся на защиту.

1. Методика анализа общековариантного уравнения Дирака с УП= 0 в однородных анизотропных метриках I и IX типов по Бианки.

2. Методика и результаты квантования, корпускулярная интерпретация, расчет плотности рождающихся частиц и ТЭИ безмассового спинорного поля в метрике I типа по Бианки. Вывод об анизотропии в распределении импульсов рождающихся нейтрино по направлениям.

3. Результаты расчета ТЭИ спинорных частиц в общем и аксиально симметричном случае метрики I типа. Вывод об отсутствии рождения безмассовых фермионов, распространяющихся вдоль оси симметрии и в плоскости, перпендикулярной этой оси в аксиально симметричном случае метрики. Вывод о необходимости учета обоих спиновых состояний безмассового спинорного поля для построения перенормируемой теории; вывод о соответствии темпа рождения спи-норных частиц темпу рождения скалярных частиц и фотонов, основанный на точном расчете плотности энергии и давления спинор-ной материи вблизи космологической сингулярности.

4. Методика и результаты построения квантовой теории безмассового спинорного поля в космологической модели "перемешанного мира". Вывод о перестройке вакуумного состояния под действием внешнего анизотропного гравитационного поля, в результате которой у вакуума появляется отличное от нуля значение спираль-ности; вывод о распаде "заряженного" вакуума в процессе эволюции космологической модели на пары фермионов с отрицательной спиральностью; вывод о возможности использования последнего процесса для объяснения наблюдаемой "барионной асимметрии" Вселенной.

5. Методика и результаты расчета ТЭИ безмассового спинорного поля в метрике IX типа с учетом особенности квантовых эффектов в этой модели. Вывод о возможности представления ТЭИ в виде суммы вкладов от эффекта квантового распада "заряженного" вакуума и рождения частиц, поляризации вакуума в процессе анизотропного космологического расширения. Результаты расчета этих вкладов.

Результаты работы докладывались на П Всесоюзном рабочем совещании по проблемам теории гравитации (октябрь 1982 г., г.Киев), на сессии отделения ядерной физики АН СССР (январь 1984 г.), на 6-ой Всесоюзной конференции "Современные теоретические И экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации" (июль 1984 г.), на гравитационном семинаре Всесоюзного научно-исследовательского центра по изучению свойств поверхности и вакуума (г.Москва), на семинарах кафедр теоретической физики Ленинградского института точной механики и оптики, Ленинградского политехнического института, Днепропетровского государственного университета, на ленинградском гравитационном семинаре ОШЭИ).

Основное содержание диссертации опубликовано в работах: / 108, 109, ПО, III, 112, ИЗ /.

В работе использована система единиц, в которой С = I. Знак тензора кривизны соответствует книге / 2 /.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Притоманов, Сергей Алексеевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изучение квантовых эффектов безмассового спинорного поля в анизотропных однородных пространствах I и IX типов по Бианки является важной составной частью большой работы, проводимой в настоящее время по развитию квантовой теории поля в искривленном ПВ.

Как видно из сказанного выше, отказ от изотропии космологического расширения Вселенной на ранних стадиях эволюции приводит к резкому увеличению темпа рождения вещества, что позволяет вновь вернуться к отвергнутой было гипотезе о возможности объяснения появления вещества во Вселенной квантовыми эффектами рождения частиц. Кроме того, анизотропия ПВ приводит к новым интересным квантовым эффектам, необходимость дальнейшего подробного изучения которых очевидна.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору А.А.ГРИБУ за руководство работой.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Притоманов, Сергей Алексеевич, 1984 год

1. De Witt B.S. Quantum field theory in curved space-time.-Phys. Reports, 1975, v. 19C, N 6, p.295-357.

2. Гриб А.А., Мамаев С.Г., Мостапенко В.М. Квантовые эффекты в интенсивных внешних полях. М.: Атомиздат, 1980.

3. Birrel H.D., Davies P.C.W. Quantum fields in curved space.-Cambridge: Cambridge University press, 1982.

4. Abstracts of contributed papers of 9th International conference of General Relativity and Gravitation, v. 1-3, Iena, GDR, 1980.

5. Contributed papers of 10th International conference of General Relativity and Gravitation, v. 1 2, Padova, Italy, 1983.

6. Тезисы докладов Всесоюзной конференции "Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительностии гравитации". 5-ая Советская гравитационная конференция, июнь 1981, М.: МГУ, 1981.

7. Тезисы докладов Всесоюзной конференции "Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительностии гравитации". 6-ая Советская гравитационная конференция, июль 1984, М.: МГПИ, 1984.

8. Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Строение и эволюция Вселенной. М.: Наука, 1975.

9. Parker L. Quantized fields and particle creation in expanding Universe.- Phys.Rev., 1969, v.183, H 5, p.1057-1068; Phys. Rev.P., 1971, v. 3, N. 2, p.346-356.

10. Parker L. Particle creation in isotropic cosmologies.- Phys. Rev. Lett., 1972, v. 28, К 11, p.705-708.

11. Гриб А.А., Мамаев С.Г. К теории поля в пространстве Фридмана. -Ядерная физика, 1969, т. 10, вып.б, с.1276-1281.

12. Fulling S.A* Alternativ vacuum states in static space-times with horizons.- J»Phys»As Math, and Gener., 1977» v« 10, И 6, p.917-951.

13. Зельдович Я.Б., Старобинский А.А. Рождение частиц и поляризация вакуума в анизотропном гравитационном поле. Журнал эксперим.и теорет.физики, 1971, т.61, вып.6(12), с.2161-2175.

14. Боголюбов Н.Н., Ширков М.Д. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1976.

15. Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М., Старобинский А.А. Рождение частиц из вакуума вблизи однородной изотропной сингулярности. -Журнал эксперим.и теорет.физики,1976,т.70,вып.5,с.1577-1591.

16. Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М. Перенормировка гравитационной постоянной и рождение фермионов нестационарным гравитационным полем. Ядерная физика,1978,т.28,вып.б(12),с.1640-1653.

17. Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М. О перенормировках при расчете вакуумных квантовых эффектов в гравитационном поле. Ядерная физика, 1983, т.37, вып.5, с.1323-1329.

18. Нестерук А.В. Квантовые эффекты скалярных конформно-неинвариантных частиц в пространстве-времени Фридмана. Ядерная физика, 1983, т.38, вып.1(7), с.271-276.

19. Зельдович Я.Б., Теория вакуума, быть может, решает загадку космологии. Успехи физ.наук, 1981,т.133,вып.3,с.479-503.

20. Белинский Б.А., Лифшиц Е.М., Халатников И.М. Колебательный режим приближения к особой точке в релятивистской космологии. Успехи физ.наук, 1970, т.102, вып.З, с.463-500.

21. Зельдович Я.Б. Рождение частиц в космологии. Письма в журнал эксперим.и теорет.физики, 1970, т.12, вып.9, с.443-447.

22. Гуревич Л.Э., Чернин А.Д. Введение в космогонию. М.: Наука, 1978.

23. Дорошкевич А.Г., Лукаш В.Н., Новиков И.Д. Изотропизация'однородных космологических моделей. Журнал эксперим.и теорет. физики, 1973, т.64, вып.5, с.1457-1474.

24. Зельдович Я.Б., Лукаш В.Н., Старобинский А.А. Рождение частиц в гравитационных полях и их влияние на космологическое расширение. Институт приклад.матем.АН СССР. Препринт № 23, М., 1974. - 40 с.

25. Fulling S.A., Parker L., Ни B.L. Conformal energy-momentum tensor In curved spacetime: Adiabatic regularization.- Phys. Rev.D., 1974, v. 10, H 12, p.3905-3924.

26. Berger B.K. Quantum cosmology: Exact solution for Gowdy Яг model.- Phys. Rev* D., 1975, v. 11, К 10, p. 2770 -2780.

27. Berger B.K. Scalar particle creation in an anisotropic universe. Phys. Rev. D., 1975, v. 12, 3J 2, p. 368 -375.

28. Ни B.L. Scalar waves in tlie mixmaster universe. 1. The Helmholtz equation in a fixed background. Phys. Rev. D., 1973, v. 8, H 4, p. 1048-1060.

29. MLsner C.W. The isotropy of the universe. The astroph. journal, 1968, v. 151, P* 431 - 457.

30. Misner C.W. ItLxmaster universe. Phys. Rev. Lett., 1969, v* 22, Я 20, p. 1071 - 1074.-^*Hu B.L., Parker L. Anisotropy damping through quantum effects in the early universe* Phys. Rev. D., 1978, v. 17, N 4,p. 933-945»

31. Fischetti M.V., Hartle J.B., Hu B.L. Quantum effects in the early universe* I* Influence of trace anomalies on homogeneous, isotropic, classical geometries. Phys. Rev. D., 1979, v. 20, H 8, p. 1757 - 1771#

32. Hartle J.B., Hu B.L. Quantum effects in the early universe.1.. Effective action for scalar field in homogeneous cosmologies with small anisotropy. Phys. Rev. B., 1979, v. 20,1. U 8, p. 1772 1782.

33. Hartle J.B., Hu B.L. Quantum effects in the early universe.

34. I. Dissipation of anisotropy Ъу scalar particle production.- Phys. Rev. D., 1980, v. 21, H 10, p. 2756 2769.

35. Фролов B.M. Спинорное поле в нестационарной анизотропной метрике. В кн.: Тезисы докладов 5-ой Советской гравитационной конференции. - М.: МГУ, 1981, с.197.

36. Гриб А.А., Нестерук А.В. Рождение частиц и тензор энергии-импульса фотонов в анизотропном пространстве-времени. -Ядерная физика, 1983, т.38, вып.5(П), е.1357-1366.

37. Гриб А.А., Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М. Сверхтекучесть вакуума вблизи анизотропной сингулярности: новый фазовый переход. Письма в журнал эксперим.и теорет.физики, 1980,т.32, вып.2, с.143-146.

38. Gibbons G.W. Spectral asymmetry and quantum field theory in curved spacetime. Ann. Phys., 1980, v. 125, p. 98 - 116.

39. Уилер Дж. Гравитация, нейтрино и Вселенная. М.: Иностр. лит., 1962.

40. Зельдович Я.Б., Хлопов М.Ю. Масса нейтрино в физике элементарных частиц и космологии ранней Вселенной. Успехи физ. наук, 1981, т.135, вып.1, с.45-78.

41. Козик B.C., Любимов В.А., Новиков Е.Г., Нозик В.З., Третьяков Е.Ф. Об оценке массы \)е по спектру J> -распада трития в валине. Ядерная физика, 1980, т.32, вып.1, с.301-303.

42. Любимов В.А., Новиков Е.Г., Нозик В.З., Третьяков Е.Ф., Козик B.C., Мясоедов Н.Ф. Оценка массы покоя нейтрино из измерений ^-спектра трития. Журнал эксперим.и теорет.физики, 1981, т.81, вып.4(10), с.II58-II8I.

43. Зельдович Я.Б., Сюняев Р.А. Астрономические следствия массы покоя нейтрино.I. Вселенная. Письма в Астрон.журнал, 1980, т.6, № 8, с.451-456.

44. Дорошкевич А.Г., Зельдович Я.Б., Сюняев Р.А., Хлопов М.Ю. Астрономические следствия массы покоя нейтрино. II. Спектр возмущений плотности и флуктуации ми1фоволнового фона. -Письма в Астрон.журнал, 1980, т.6, № 8, с.457-464.

45. Дорошкевич А.Г., Зельдович Я.Б., Сюняев Р.А., Хлопов М.Ю. Астрономические следствия массы покоя нейтрино. III. Нелинейная стадия развития возмущений и скрытая масса. Письмав Астрон.журнал, 1980, т.6, № 8, с.465-469.

46. Шандарин С.Ф., Дорошкевич А.Г., Зельдович Я.Б. Крупномасштабная структура Вселенной. Успехи физ.наук, 1983, т.139, вып.1, с.83-134.

47. Зельдович Я.Б. Структура Вселенной. Итоги науки и техники "Астрономия", 1983, М.: ВИНИТИ, т.22, с.4-32.

48. Долгов А.Д., Зельдович Я.Б. Космология и элементарные частицы. Успехи физ.наук, 1980, т.130, вып.4, с.559-614.

49. Frampton Р.Н., Vogel P. Massive neutrinos, Phys. Reports, 1982, v. 82, U 6, p. 339 - 388.

50. Efamby Y., Jona Lasinio G. Dynamic model of elementary particles based on an analogy with superconductivity. - Phys. Rev., 1961, v. 122, H 1, p. 345 - 358.

51. Бакс В.Г., Ларкин А.И. 0 применении методов теории сверхпроводимости к вопросу о массах элементарных частиц. Журнал эксперим.и теорет.физики, 196I, т.40, вып.1, с.282-285.

52. Eguchi Т., Sugawara Н. Extended model of elementary particles based on an analogy with superconductivity. Phys. Rev. D.,1974, v. 10, N 12, p. 4257 4262.

53. Гриб А.А. Проблема неинвариантности вакуума в квантовой теории поля. М.: Атомиздат, 1978.

54. Gibbons G.W. Cosmological fermion number nonconservation.

55. Phys. Lett. В., 1979, v. 84, Ж 4, p. 431 434.

56. Gibbons G.W., Richer J. Gravitational creation of odd numbers of fermions. Phys. Lett. В., 1980, v. 89, П 3, 4,p. 338 340.

57. Пономарев B.H., Пронин П.И. Рождение безмассовых скалярных частиц полем кручения. Кзв.вузов. Физика, 1978, № 9,с.105-109.

58. Гриб А.А. Феномен Хиггса без хиггсовских мезонов. Изв. вузов. Физика, 1981, № 9, с.129-130.

59. Верешков Г.М., Гришкан Ю.С., Иванов С.Б., Нестеренко В.А., Полтавцев А.Н. Рождение частиц и поляризация вакуума в анизотропной Вселенной. Докл.АН СССР, 1976, т.231, вып.З,с.578-581.

60. Верешков Г.М., Гришкан Ю.С., Иванов С.В., Нестеренко В.А.,

61. Полтавцев А.Н. Квантовые гравитационные эффекты в анизотропной Вселенной. Журнал эксперим.и теорет.физики, 1977, т.73, вып.б(12), с.1985-2007.

62. Зельдович Я.Б., Каждая Я.М. Гравитационное сжатие сферического облака. Астрофизика, 1970, т.6, вып.1, с.109-122.

63. Лукаш В.Н. Рождение звуковых волн в изотропной Вселенной. -Институт космич.исслед.АН СССР. Препринт № 559, М., 1980, 24 с.

64. Brill D.R., Wheeler J*A. Interaction of neutrinos and gravitational fields» Revies of Modem Physics, 1957, v. 29, И 3, p. 465 - 479.

65. Unruh W.G. Second quantization in the Kerr metric. Phys. Rev. D», 1974, v. 10, K 10, p. 3194 - 3205.

66. Boulware D.G. Spin 1/2 quantum field theory in Schwarzschild space. - Phys. Rev. D., 1975, v. 12, N 2, p. 350 -367.

67. Iyer B.R., Dhurandhar S.V., Yishveshwara C.V. Neutrinos in gravitational collapse: The Dirac formalism. Phys. Rev. D., 1982, v. 25, H 8, p. 2053 - 2064.

68. Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М., Фролов В.М. Рождение фермионов нестационарным гравитационным полем. Ядерная физика, 1976, т.23, вып.5, с.III8-II27.

69. Левитский Б.А., Мостепаненко В.М., Фролов В.М. О свойствах базисных функций 0 (3.1) инвариантных разложений. - Изв. вузов. Физика, 1977, № 2, с.29-35.

70. Нарожный Н.Б., Никишов А.И. Простейшие процессы в электрическом поле, порождающем пары. Ядерная физика, 1970, т.II, вып.5, с.1072-1077.

71. Гриб А.А., Мостепаненко В.М., Фролов В.М. Рождение частициз вакуума однородным электрическим полем в каноническом формализме. Теорет.и матем.физика, 1972, т.13, № 3, с.377-- 389.

72. Боголюбов Н.Н., Толмачев В.В., Ширков Д.В. Новый метод в теории сверхпроводимости. М.: Изд-во АН СССР, 1958.

73. Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М. Рождение дираковских частиц в нестационарных изотропных моделях Вселенной. Институт теорет.физ.АН УССР. Препринт № 74Р, Киев, 1977. - 16 с.

74. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982.

75. Белинский В.А., Халатников И.М. К вопросу о характере особенностей в общих уравнениях гравитации. Журнал эксперим. и теорет.физики, 1969, т.56, вып.5, с.1700-1712.

76. Hit chin N. Harmonic spinor. Advan. Ma them., 1974» v. 14, p. 1-55.

77. Мизнер 4., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. М.: Мир, 1977.

78. Богоявленский О.И., Новиков С.П. Особенности космологической модели Бианки с точки зрения качественной теории дифференциальных уравнений. Журнал эксперим.и теорет.физики, 1973, т.64, вып.5, с.1475-1494.

79. Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике. М.: Наука, 1980.

80. Parker L. One-electron atom in curved spase time. - Phys.

81. Rev* Lett., 1980, v. 44, N 23, p. 1559 1562.

82. Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля.-М.: Изд-во иностр.лит., 1963.

83. Labonte G. On the nature of "strong " Bogoliubov transformations for ferraions. Commun. Math. Phys., 1974, v. 36,1. U 1, p. 59 72.

84. Wald R.M. Existence of the S-matrix in quantum field theory in curved space time. - Ann. Phys. ( USA 1979, v. 118, H 2, p. 490 - 510.

85. Зельдович Я.Б., Попов B.C. Электронная структура сверхтяжелых атомов. Успехи физ.наук, 1971, т.105, вып.3,с.403-440.

86. Fulcher L., Klein A. Stability of the vacuum and quantization of the electron-positron field for strong external fields ( construction for superheavy nuclei ). Phys. Rev. D., 1973, v. 8, IT 8, p. 2455 - 2457.

87. Fulcher L. Remarks concerning a model field theory suggested by quantum electrodynamics in a strong electric field. -Annals Physics ( USA ), 1974, v. 84, К 1 2, p. 335 -347.

88. Reinhardt J., Greiner W. Quantum electrodynamics of strong fields. Reports Progr. Phys., 1977, v. 40, U 3,p. 219 295.

89. Ford L. Quantum vacuum energy in general relativity. -Phys. Rev. D., 1975, v. 11, Ж 12, p. 3370 3377.

90. Ford I». Quantum vacuum energy in closed universe. Phys. Rev. P., 1976, v. 14, U. 12, p. 3304 - 3313.

91. Brown M.R., Dutton C.R. Energy-momentum tensor and definition of particle states for Robertson-Walker space-time.

92. Phys. Rev. D., 1978, v. 18, If 12, p. 4422 4434.

93. Fradkin E.S., Vilkovisky G.A. Conformal off-mass-shellextension and elimination of conformal anomalies in quantum gravity. Phys. Lett. B.f 1978, v. 73, H 2, p. 209 - 213.

94. Fradkin E.S., Vilkovisky G.A. Conformal invariance and asypmtotic freedom in quantum gravity. Phys. Lett. В., 1978, v. 77, N 3, p. 262 - 266.

95. Englert P., Gunzig E., Truffin C., Windey P. Conformal invariant general relativity with dynamic symmetry breakdown. -Phys. Lett. В., 1975, v. 57, N1, p. 73 77.

96. Brown M.R., Ottewill А.С. The energy-momentum operator.in curved space-time. Proc. Royal Soc. London A., 1983, v. 389, N 1797, p. 379 - 403.

97. Березин Ф. Метод вторичного квантования.-М.: Наука, 1965.

98. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.

99. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля, т.2. М.:Наука, 1973.

100. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.:Наука, 1974.

101. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1983.

102. O. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости, т.7. М.: Наука, 1965.

103. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика, т.З. М.: Наука, 1974.

104. Ландау Л.Д., Лифпиц Е.М. Квантовая электродинамика, т.4. -М.: Наука, 1980.

105. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965.

106. Воскресенский Д.Н., Сенаторов А.В. Перестройка вакуума з сильном электрическом и гравитационном полях. Ядерная физика, 1982, т.36, вып.2(8), с.356-368.

107. Scharf G., Seipp Н.Р. Charged vacuum, spontaneous positron production and all that. Phys. Lett. В., 1982, v. 108,1. H 3, p. 196 198.

108. Brown L.S., Cahn R.H., McLerran L.D. Vacuum polarization ina strong Coulomb field. Phys. Rev. D., 1975, v. 12, H 2, p. 581 - 619.

109. Basko М.Ы., Polnarev A.G. Polarization and anisotropy of the relief radiation in an anisotropic -universe. Mon. Hot. Royal astron. Soc., 1980, v. 191, IT 3, P* 207 - 217*

110. Притоманов С.А. Безмассовое спинорное поле в анизотропной метрике I типа по Бианки. В сб.: Исследования по классической и квантовой теории гравитации. - Днепропетровск:ДГУ, 1983, с.134-141.

111. Гриб А.А., Притоманов С.А. Тензор энергии-импульса безмассового спинорного поля в анизотропной метрике I типа по Бианки. В сб;Исследования по классической и квантовой теории гравитации. - Днепропетровск: ДГУ, 1983, с.128-133.

112. Pritomanov S.A. Creation of neutrino in Bianchi I cosmologi-cal model. In Ъ.: Contrib. Papers of 10th Intemat. conf* on GRG, Padova, Italy, 1983, v. 2, p. 1148 - 1150.

113. Притоманов С.А. Рождение безмассовых фермионов в космологической модели I типа по Бианки. Изв.вузов. Физика, 1984, № I, с.35-40.

114. Притоманов С.А. Рождение безмассовых фермионов в метрике Казнера. В кн.: Тезисы докладов 6-ой Советской гравитационной конференции. - М.: МГПИ, 1984, с.248-249.

115. ИЗ. Притоманов С.А. Квантовые эффекты в космологической модели IX типа по Бианки. В кн.: Тезисы докладов 6-ой Советской гравитационной конференции. - М.: МГПИ, 1984, с.250-251.