Метод ренормализационной группы в квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Одинцов, Сергей Дмитриевич

• Одинцов, Сергей Дмитриевич
• кандидат физико-математических наук
• 1985

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Одинцов, Сергей Дмитриевич

Введение

Глава I. Однопетлевая перенормировка теории взаимодействующих полей в искривленном пространстве-времени

§ I. Однопетлевая перенормировка калибровочных теорий в искривленном пространстве-времени на основе метода фонового поля

§ 2. Применение локального импульсного представления пропагаторов для вычисления однопетлевых контрчленов в калибровочных теориях во внешнем гравитационном поле

§ 3. Локальное импульсное представление пропагаторов. и однопетлевые контрчлены в эйнштейновской квантовой гравитации.

Глава П. Уравнения ренормализационной группы и асимптотическая свобода во внешнем гравитационном поле.

§ I. Уравнения ренормализационной группы в искривленном пространстве-времени.

§ 2. Асимптотическая конформная инвариантность в искривленном пространстве-времени

§ 3. Поведение вакуумных эффективных зарядов в сильном гравитационном поле

§ 4. Уравнения ренормализационной группы и асимптотики эффективного действия в R? -гравитации со скалярным полем.

Глава Ш. Эффективный потенциал в искривленном пространствевремени

§ I. Решение уравнений ренормализационной группы для эффективного потенциала

§ 2. Эффективный потенциал в калибровочных теориях в искривленном пространстве-времени и фазовые переходы, индуцированные кривизной.

§ 3. Асимптотические свойства эффективного потенциала в искривленном пространстве-времени

§ 4. Фазовый переход и индуцирование эйнштейновской гравитации в квантованной R. -гравитации со скалярным полем.

Глава 1У. Рождение частиц в космологических моделях.

§ I. Рождение свободных частиц во фридмановских космологических моделях специального вида с электромагнитным полем.

§ 2. Рождение скалярных частиц в анизотропной космологической модели специального вида с электрическим полем.

§ 3. 0 представлении функций Грина во фридмановских космологических моделях специального вида с помощью контурных интегралов

§ 4. Ровдение безмассовых частиц в теории скалярного самодействующего поля во фридмановской Вселенной.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод ренормализационной группы в квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени»

В последнее время были достигнуты большие успехи на пути построения объединенной теории фундаментальных взаимодействий. Электромагнитные и слабые взаимодействия были объединены в единую теорию Вейнбергом ж Саламом (см., например, обзоры [l,2\). Появились схемы большого объединения (см.,.например, обзоры jl,2]), в которых теория электрослабых взаимодействий и теория сильных взаимодействий, описываемая квантовой.хромодинамикой, объединены в единую теорию электромагнитных, слабых и сильных взаимодействий. Однако, гравитация остается пока за рамками этого объединения. Более того, до сих пор не. создана полностью удовлетворительная квантовая теория гравитации. В отсутствие реалистической квантовой теории гравитации возникает естественный вопрос: каким образом можно учесть влияние гравитационного взаимодействия в области квантовых эффектов? Одним из первых , шагов в этом направлении является квантовая теория поля в искривлен-, ном пространстве-времени, то есть теория, в которой рассматриваются квантованные поля материи на фоне классического гравитационного поля.

С формальной точки зрения квантовую теорию поля в искривленном пространстве-времени можно разбить на: теорию свободных полей и теорию взаимодействующих полей. Квантовой теории свободных полей в искривленном пространстве-времени посвящено уже несколько сотен работ. Основные результаты, полученные в квантовой теории свободных полей в искривленном пространстве-времени, отражены в обзорных работах Де Витта 13J, Паркера [4,5] , Гриба, Мамаева и Мостепаненко [ б], Биррела и Девиса £ т], внесших существенный вклад в развитие всего предмета. Много полезного материала содержится также в сборниках с татей [8,э] . Большое внимание в этих работах уделено исследованию рождения частиц и поляризации вакуума внешним гравитационным полем [з-7~[, регуляризации тензора энергии-импульса ,5-7], физике черных дыр. и эффекту Хокинга [з,4,6,7]. При этом в качестве одной из центральных проблем в теории с вободных полей в искривленном пространстве-времени предстает проблема перенормировки, которая заключается в следующем. При исследовании квантовой теории свободных полей в искривленном пространстве-времени было выяснено, что в теории возникают расходимости вакуумной энергии, которые зависят от инвариантов кривизны внешнего гравитационного поля, а не являются просто постоянными, как в плоском пространстве.Для устранения этих расходимостей к действию свободных квантовых полей необходимо добавить затравочную вакуумную энергию (действие внешнего гравитационного поля). Тогда только теория, в целом, становится перенормируемой [3,5-7].

Однако, наиболее существенной проблема перенормировки становится для квантовой теории взаимодействующих полей в искривленном пространстве-времени, поскольку, как известно [lO,Il], уже в плоском пространстве в теории взаимодействующих полей необходимо совершать перенормировку полей и параметров теории для устранения возникающих расходимостей.

Впервые вопросы перенормировки взаимодействующих полей во внешнем гравитационном поле были рассмотрены Утиямой jjEg] на примере спинорной электродинамики. Им.было доказано,что спинор-ная электродинамика перенормируема в слабом гравитационном поле. Предложенный Утиямой подход требует рассмотрения бесконечного числа диаграмм, и пригоден только для формального доказательства перенормируемости.Перенормировка теории поля рассматривалась в пространстве постоянной кривизны 13-1б] и в пространстве с конформно-плоской метрикой [17-18 .

В это же время было выяснено, что для изучения проблемы перенормировки теории поля в искривленном пространстве-времени удобно использовать нормальные римановы координаты [l9], позволяющие ввести шалог импульсного представления для диаграмм в кривом пространстве [so] . На этом пути были рассмотрены следующие вопросы: вычисление однопетлевых и двухпетлевых контрчленов в "А Ч3^ -теории [2O-24J , вычисление однопетлевых контрчленов в квантовой электродинамике [25] и в неабелевой калибровочной теории [26Д44].

На наш взгляд, наиболее удобным для вычисления контрчленов теории взаимодействующих полей в искривленном пространстве-времени является метод фонового поля [27-2э] и техника Швинге-ра-Де Витта выделения расходимостей эффективного действия [зО-34J. Особенно полезен метод фонового поля в калибровочных теориях во внешнем гравитационном поле, поскольку здесь при выборе фоновой калибровки контрчлены появляются сразу в калибро-вочно-инвариантном виде. Метод фонового поля был использован для вычисления однопетлевых контрчленов в теории неабелевых. калибровочных полей [з5,Зб] и двухпетлевых контрчленов в теории скалярного самодействующего поля [37,38] и в неабелевой . . калибровочной теории [зэ] . На основе метода фонового поля од-нопетлевые контрчлены в теории, содержащей скаляры, спиноры и калибровочные поля в искривленном пространстве-времени были впервые вычислены в нашей работе [l4vj (см. также наши работы [l49,I53] ) и позже с помощью локального импульсного представления пропагаторов в работах [40,4l] .

Общий анализ структуры перенормировки теории взаимодействующих полей в искривленном пространстве-времени проделан в работах [42-52J. Исследования, выполненные в этих работах, позволяют сделать следующие выводы: если теория мультипликативно-пере-нормжруема в пространстве Минковского, то эту теорию можно сделать мультипликативно-перенормируемой в искривленном пространстве-времени. Для этого необходимо: I. Записать перенормирова* нное действие теорш в пространстве Минковского, а затем перейти к его ковариантному обобщению. При этом константы перенор- ' мировки теории в плоском пространстве не изменятся в результате перехода к искривленному пространству, 2. Если в теории содержатся скалярные поля У , то прямые вычисления показывают,что возникает расходящаяся структура & ^ , где Я - кривизна. Поэтому для обеспечения перенормируемости теорий со скалярными полями в лагранжиан надо добавить член ^ И , где ^ - параметр неминимальной связи скалярных и гравитационного полей. Следовательно, кроме констант перенормировки теории в плоском пространстве, не меняющихся при переходе к искривленному пространству, необходима новая константа перенормировки, отвечающая параметру ^ и не имеющая плоского аналога. 3. Для устранения вакуумных расходимоетей к действию теории необходимо добавить вакуумную энергию (действие внешнего гравитационного поля). Это влечет за собой необходимость введения новых констант перенормировки в секторе вакуумной энергии. После всего этого теория, в целом, становится мультипликативно-перенормируемой в искривленном пространстве-времени.

Как известно, в плоском цространстве-времени условие мультипликативной перенормируемости теории приводит к уравнениям ре-нормализ ационной группы [ю, 53-55] . Эти уравнения позволяют изучать асимптотики вершинных функций Грина при больших импульсах высоких энергиях). Во внешнем гравитационном поле глобальное импульсное представление пропагаторов отсутствует. Однако, в работе [бб] обращено внимание на то, что преобразование растяжки импульсов р i<р (К - cxmsi) f используемое в плоском пространстве, можно заменить масштабным преобразованием метрики гравитационного поля (J^y-^6 ^Q/uv (izCOnsi), При таком преобразовании метрики скалярная кривизна преобразуется в виде . Поэтому в пределе i о<> , который отвечает уменьшению характерных масштабов, скалярная кривизна растет, т.е. предел "£ —оо есть предел большой скалярной кривизны. Мы будем называть предел i —г* сх> пределом сильного гравитационного поля. Соответственно, предел t , в котором скалярная кривизна уменьшается, будет называться пределом слабого гравитационного поля.

Уравнения ренормализационной группы, позволяющие изучать асимптотики вершинных функций Грина и вакуумной энергии в пределе сильных и слабых гравитационных полей исследовались в работах [40,41,51,56,57] и в наших работах [146,149,15з]. Заметим, что уравнение ренормализационной группы для вакуумной энергии, рассмотренное впервые в работах [б7,14б], не имеет аналога в плоском пространстве. Отличительной особенностью уравнений ренормализационной группы в искривленном пространстве-времени является то, что при их решении возникают ноше эффективные заряды. Эти эффективные заряды отвечают параметрам лагранжиана внешнего гравитационного поля и если присутствуют скалярные поля, параметру неминимального взаимодействия гравитационного и скалярных полей. Исследование поведения новых эффективных зарядов в сильном гравитационном поле проводилось для ряда моделей, в работах (40,41,51,56,57] и одновременно в наших работах jjE46,'

147,149,153]. Общий анализ различных аспектов уравнений ренор-мализационной группы в искривленном пространстве-времени проделан в работе [5l]. В целом, можно заключить, что вопрос о перенормировке и уравнениях ренормализ ационной группы в асимптотически плоских и топологически эвклидовых искривленных пространствах доведен до того же уровня, что и соответствующий вопрос в плоском пространстве.

Мультипликативная перенормируемость теории поля в искривленном пространстве-времени позволяет устранять расходимости в каждом порядке теории возмущений и таким образом приводит к возможности использования теории возмущений для вычисления радиационных поправок к амплитудам квантовых процессов и средним значениям различных величин. Одна из наиболее простых задач среди задач такого рода - это вычисление радиационных поправок к среднему числу и плотности энергии частиц, рожденных гравитационным полем. Однако, в чисто техническом аспекте даже эта задача становится затруднительной. Дело в том, что в тех немногих типах гравитационных полей, в которых свободные волновые уравнения т.очно решаются, пропагатор представляется, как правило, с помощью специальных функций. Теория возмущений вовлекает произведение про-пагаторов с интегрированием по четырехмерному объему. Явная оценка подобных выражений вызывает большие вычислительные трудности. Именно этим объясняется тот факт, что сделано лишь несколько работ [59-67,152], в которых изучается процесс рождения частиц гравитационным полем с учетом взаимодействия. При этом в работах [59-67,152/ рассмотрен!лишь наиболее простые ситуации.

Другое интересное направление в квантовой теории взаимодействующих полей в искривленном пространстве-времени, интенсивно развивавшееся в последние годы, связано с эффективным потенциа

-ТОлом. Хорошо известно [б,68-7о] , что уже классический потенциал в искривленном пространстве-времени может приводить к спонтанному нарушению симметрии из-за члена ^/с^2, в лагранжиане .Вычислению эффективного потенциала в различных моделях посвящены работы [71-8о]. В частности, однопетлевой эффективный потенциал вычислен в пространстве постоянной кривизны для ^ -теории [71,72,75-78] и скалярной электродинамики [73,74,77,78],и в пространстве со слабым гравитационным полем для ^ -теории [79,8о] и скалярной электродинамики [во]. Заметим,что спонтанное нарушение симметрии изучалось также в работах [81,82] на основе методов, не связанных с эффективных потенциалом. Рядом авторов было отмечено [73,74,8о| ,что кривизна может индуцировать фазовые переходы в эффективном потенциале. В то же время, на основе фазовых переходов первого рода по температуре в теориях большого объединения был создан новый космологический сценарий - раздувающаяся Вселенная [83-8б]. В первых работах [~83-85J для описания фазового перехода во Вселенной использовался эффективный потенциал,вычисленный при.ненулевой температуре в плоском пространстве.Позже появились работы [87],в которых сделаны попытки учесть совместное влияние кривизны и температуры на фазовый переход .Исследовательская активность в области, связанной с раздувающейся Вселенной,очень высока,обзор достижений на конец 1984 года сделан Линде [8б].Отметим также,что с помощью эффективного потенциала можно рассматривать индуцирование эйнштейновской гравитации квантовыми эффектами полей материи [вв).

Таким образом, исследование различных аспектов квантовой теории взаимодействующих полей в искривленном пространстве-времени является интересным и актуальным,как с точки зрения физического содержания и приложений,так и с точки зрения дальнейшего

- II развития формализма, и привлекаю многих авторов.

Настоящая диссертация посвящена исследованию уравнений ренор-мализационной группы в искривленном пространстве-времени. Большое внимание уделено также ренормгрушовому подходу к вычислению эффективного потенциала и исследованию процесса рождения частиц во фридмановской Вселенной.

В первой главе обсуждается однопетлевая перенормировка теории взаимодействующих полей в искривленном пространстве-времени. В первом параграфе рассмотрена калибровочная теория,-содержащая произвольное число скалярных и спинорных мультиплетов и калибровочные поля, в искривленном пространстве-времени. В плоском пространстве однопетлевые константы перенормировки • в -такой теории были получены Вороновым и Тютиным [891. Поскольку при переходе к искривленному пространству константы перенормировки теории в плоском пространстве не меняются [5lJ, а однопетлевые вакуумные контрчлены определяются уже в теории свободных полей {3,5-7j, то в однопетлевом приближении неизвестна только константа перенормировки, отвечающая параметру ^ Мы нашли эту константу перенормировки в однопетлевом приближении [l54], используя алгоритм Фрадкина-Вилко.выского вычисления однопетлевых расходимостей эффективного действия £32-34]. Заметим, что рассмотренная теория включает большое количество различных моделей. Мы иллюстрируем переход от однопетлевых констант перенормировки рассмотренной теории к однопетлевым константам перенормировки моделей теории поля на примере SLI (2) модели, содержащей скалярные, спинорные и калибровочные поля. Во втором параграфе для этой же SU (2) модели проводится независимое вычисление однопетлевой константы перенормировки, отвечающей параметру % , на основе локального импульсного пред

- 12 ставления пропагаторов. Показано, что полученные независимо константы перенормировки совпадают. При этом, во втором параграфе выбрана калибровка, зависящая от параметра oi и отличная от выбора калибровки в первом параграфе. Следовательно, результаты второго параграфа служат и для прямой проверки в одно-петлевом приближении независимости найденной константы перенормировки от калибровочного параметра d. , что и ожидалось из общих соображений. Б последнем параграфе для иллюстрации возможностей метода на основе локального импульсного представления гравитационного пропагатора [l48], воспроизведены однопетле-вые контрчлены квантовой гравитации [$ю].

Во второй главе рассмотрен метод ренормализационной группы в искривленном пространстве-времени. В первом параграфе сформулированы уравнения ренормализационной группы для вершинных функций Грина [56,40,51,146] и для вакуумной энергии [40,51,57,146]. Получены решения этих уравнений, связывающие соответственно вершинные функции Грина и вакуумные энергии двух теорий, метрики которых связаны масштабным преобразованием (^уиу—. Как известно, при решении ренормгрупповых уравнений возникают эффективные заряды и массы, удовлетворяющие уравнениям для эффективных зарядов и масс. Во внешнем гравитационном поле эффективные заряды разбиваются на две группы: заряды, имевшиеся в плоском цространстве и не меняющиеся при переходе к искривленному пространству, и новые эффективные заряды. При этом, новые эффективные заряды возникают в секторе вакуумной энергии (в лагранжиане внешнего гравитационного поля), и,если в теории есть скалярные поля, возникают эффективные заряды Ш , отвечающие параметрам неминимальной связи скалярных и гравитационных полей. Асимптотики вершинных функций Грина и вакуумной энергии в пределе ~Ь —** о* , в основном, определяются асимптотиками эффективных зарядов и масс. Поскольку асимптотики эффективных масс и эффективных зарядов в плоском пространстве хорошо известны £[0,54], необходимо дополнительно исследовать только поведение новых эффективных зарядов в пределе ~Ь .

В уравнение для данного эффективного заряда входит Jb -функция , которая определяется стандартным образом fio] . с помощью соответствующей константы перенормировки. Поэтому для записи уравнений эффективных зарядов § (~Ь) необходимо использовать расчеты, выполненные в первой главе, а для записи уравнений ва-уумиых эффективных зарядов - результаты, приведенные в работах [з,5-7|. Во втором и третьем параграфах рассмотрено поведение эффективных зарядов в пределе t —для -теории £56,

14б], скалярной электродинамики [80,I5l] и трех моделей теории поля, содержащих скаляры, спиноры и неабелевы калибровочные поля и основанные на калибровочной группе S И (2) .в плоском пространстве эти SU(2) модели изучены в работе [89], где показано, что они обладают асимптотической свободой на особых решениях уравнении ренормализационной группы [54,89,91-95^. Особый интерес с точки зрения ренормгруппы представляют именно асимптотически свободные модели, т.к. в них отсутствует проблема "ноль-заряда" [l0,54] . В изученных нами асимптотически свободных моделях обнаружено следующее п оведение эффективных зарядов в пределе больших t , Вакуумные эффективные заряды линейно по i расходятся, либо стремятся к своим начальным значениям. Поведение эффективных зарядов %>(£) подразделяется следующим образом: а) Существуют модели, обладающие асимптотической конформной инвариантностью h Г147 ,153,154]. ,2 б) Существуют модели, в которых — t° [40, 41,153,154] . в) Существуют мэдели, в которых заряды ("О стремятся к своим начальным значениям [154]. Если теория содержит много скалярных мультиплетов, то в принципе возможно и другое поведение зарядов ^ (i) , например, возможны различные комбинации перечисленных выше случаев. Асимптотическая конформная инвариантность и ее нарушение могут иметь важные космологические следствия для ранней Вселенной. Так, если теория асимптотически конформно инвариантна, то в ранней Вселенной все частицы описываются свободными конформно-инвариантными уравнениями. В последнем параграфе исследовано асимптотическое поведение эффективного действия в квантованной FL -гравитации со скалярным полем. Эта теория мультипликативно-перенормируема и асимптотически свободна [эб]. Получено несколько вариантов уравнений ренор-мализационной группы для эффективного действия, позволяющих изучать асимптотики эффективного действия в цределе большой скалярной кривизны, в пределе больших скалярных полей и в совместном пределе. Используя асимптотики эффективных зарядов,приведенные в работе [96], показано, что в сильном скалярном поле асимптотика эффективного действия определяется скалярным самодействием, а в сальном гравитационном поле - квадратом тензора Вейля и квадратом скалярной кривизны.

В третьей главе метод ренормализационной группы применяется для приближенного вычисления эффективного потенциала и изучения его асимптотик. В первом параграфе записано уравнение ренормализационной группы для эффективного потенциала в искривленном пространстве-времени, а^затем ищется его решение, так же как это было сделано в плоском пространстве |97,98j . Основное внимание уделяется ситуации, когда в эффективном потенциале достаточно ограничиться членами линейными по кривизне. Именно такая ху большого объединения. Ограничиваясь, кроме того, однопетле-вым приближением, мы получили общую формулу для эффективного и потенциала произвольной безмассовой теории, содержащей скалярные, спинорные и калибровочные поля. В эту формулу входят только ренормгрупповые функции, найденные в предыдущей главе, либо известные из вычислений в плоском пространстве. Достоинством подхода является то,, что параметр калибровки ск в эффективном потенциале произволен. В конце параграфа на примере скалярного поля с взаимодействием Яч' показано, что на основе ре-нормгрупповых уравнений для эффективного потенциала можно получить эффективный потенциал с большей точностью по кривизне. Во втором параграфе эффективный потенциал вычислен для скалярной электродинамики, двух 3 U (2 ) моделей теории поля и двух 5U (5") моделей большого объединения. Рассмотрен вопрос о фазовых переходах, индуцированных кривизной. Показано, что в асимптотически свободных моделях однопетлевого приближения недостаточно для исследования возможности фазового перехода. В то же время для ряда моделей, например, для S И (Ь~) модели большого объединения Джорджи-Глэшоу [99], фазовый переход первого рода по кривизне имеет место при значениях кривизны,характерных для эпохи большого объединения. Здесь же отмечено, что размерная трансмутация в.искривленном пространстве-времени может происходить только при определенных соотношениях между параметрами теории. В третьем параграфе изучены асимптотики эффективного потенциала и связанный с ними вопрос об устойчивости ситуация по оценкам статьи

Вселенной в эпоквантовой теории поля в искривленном пространстве-времени. Устойчивость квантовой теории поля в плоском цространстве исследовалась на основе ренормгрупповых уравнений для эффективного потенциала впервые в работе [юо]. Для эффективного потенциала во внешнем гравитационном поле, так же как и в последнем параграфе второй главы, получено несколько вариантов уравнений ре-нормализационной группы. Изучены асимптотики эффективного потенциала для произвольной асимптотически свободной теории в пределе большой кривизны, в пределе больших: скалярных полей и в совместном пределе. Показано, что в некоторых случаях асимптотика эффективного потенциала определяется неминимальным взаимодействием гравитационного и скалярных полей. Кроме того, обсуждаются условия, устойчивости квантовой теории поля в искривленном. пространстве-времени. Эти условия приводят, в частности, к тому, что неустойчивая на классическом уровне теория может становиться устойчивой на квантовом уровне. В четвертом параграфе на основе общей формулы первого параграфа найдено однопетлевое эффективное действие в R- -гравитации со скалярным полем. При вычислении использованы однопетлевые jb -функции, найденные Фрадкиным и Цейтлиным [эб}. Показано, что теория допускает фазовый переход первого рода по кривизне с последующим индуцированием эйнштейновской гравитации.

Последняя глава посвящена изучению ряда вопросов, связанных с рождением частиц в космологических моделях. Центральное место в этой главе занимает четвертый параграф, в котором на примере

AV^ -теории показано, как использовать метод ренормализа-ционной группы для вычисления плотности энергии рожденных частиц в теории взаимодействующих полей.

В начале главы рассмотрена задача о влиянии электромагнитного

- 17 поля на рождение свободных частиц в космологических моделях. В частности, найдено среднее число скалярных и спинорных частиц рожденных за бесконечное время в квазиэвклидовой Вселенной специального вида с постоянным электрическим полем и среднее число скалярных частиц, рожденных в квазиэвклидовой Вселенной специального вида с постоянным электромагнитным полем. При этом сильное электрическое поле может значительно усиливать процесс рождения частиц из вакуума [ю]. Показано, что в результате обратного влияния рожденных частиц электрическое поле с течением времени убывает, точно так же как изотропизуется первоначально анизотропное расширение ранней Вселенной [102,10з|. Во втором параграфе вычислено среднее число скалярных частиц, рожденных . в анизотропной космологической модели специального вида с электрическим полем. В третьем параграфе получено представление . Швингера-Де. Витта в виде интеграла по собственному времени для скалярной двухточечной функции Грина по начальному вакууму в двух квазиэвклидовых космологических моделях специального вида. Это представление сходно с соответствующим представлением для причинного пропагатора. [3,3l] . Хорошо известно [l04-I07], что причинный пропагатор можно использовать для исследования процесса рождения частиц, в частности, на его основе можно вычислять среднее число рожденных частиц. С другой стороны, двухточечная функция Грина по начальному вакууму отличается от причинного пропагатора членом, зависящим от амплитуд рождения и уничтожения частиц [ю8,10э] . Представление двухточечной функции Грина по начальному вакууму в виде интеграла по собственному времени дает возможность явно получить этот член. В четвертом параграфе на основе общей структуры конформных аномалий тензора энергии-импульса ^ ^ -теории в низшем порядке теории возмущений вычислена плотность энергии безмассовых скалярных частиц, рожденных в процессе космологического расширения во фридмановской Вселенной. Рассмотрена конформно-инвариантная \ Ф -теория. Хорошо известно [3-7], что свободные конформно-инвариантные частицы не рождаются в конформно-плоских пространствах, поэтому рождение частиц обусловлено только взаимодействием. Приведены оценки [l52], показывающие, что плотность энергии рожденных безмассовых частиц может значительно превосходить плотность энергии рожденных массивных частиц. В целом результаты последней главы в отличие от результатов предыдущих глав представляют собой лишь первые шаги в данном направлении.

Отметим, что каждый параграф в диссертации имеет независимую нумерацию формул. При ссылке на формулу из того же параграфа указывается номер этой формулы. При ссылке на формулу из другого параграфа той же главы слева от номера формулы ставится номер параграфа. При ссылке на формулу из другой главы слева от номера формулы ставится номер главы и номер параграфа,

В диссертации используется релятивистская система единиц fi - С - I и стандартные обозначения [l0,II0], за исключением тех случаев, где это оговорено особо.

ГЖВА I. ОДНОПЕТЛЕВАЯ ПЕРЕНОРМИРОВКА ТЕОРИИ

ВЗММОДК'аСТШОЩХ ПОЛЕЙ В ЖЖРИВЛЕШШ ПР0СТРАНСТВЕ-ВРЕ1ЖНИ

§ I. Однолетлевая перенормировка калибровочных теорий в искривленном пространстве-времени на основе метода фонового поля

В настоящем параграфе вычислены однопетлевые константы перенормировки в теории, содержащей произвольное число скалярных и спинорных мультиплетов и калибровочные поля в искривленном пространстве-времени. Иногда мы будем называть эту теорию теорией общего вида. Общая структура перенормировки теории во внешнем гравитационном поле показывает, что в однопетлевсм приближении неизвестна только константа перенормировки, отвечающая параметру неминимального взаимодействия скалярного и гравитационного полей ^ . Ее вычисление проводится здесь на основе метода фонового поля. Предварительно проиллюстрируем общие особенности перенормировки теории поля в искривленном пространстве-времени на примере Л У*1 -теории [20,47,52,14б/.

Запишем затравочное действие теории:

- §0 R) Ч? - Ч?} + р-х^|д0 + х0 R 4 о01 /?2+ 0о2 & + 0оз CfiVdp + 0оц O&J (I)

Здесь индексом ноль помечены затравочные величины, И, - размерность пространства-времени, Сг - топологический инвариант Гаусса-Боннэ, - тензор Вейля, А О > ^О ,

Qq[ - затравочные параметры вакуумной энергии. Вакуумная энергия (действие внешних полей) S мЬ , как это уже отмечалось во введении, необходима для обеспечения мультипликативной перенормируемости теории. При анализе расходимостей теории мы всегда будем использовать размерную регуляризацию [ill] и схему минимальных вычитаний [вэ]. Применение теоремы о том, что расходимости фейнмановских диаграмм зависят от размерных параметров только в силу своей размерности (в рамках схемы минимальных вычитаний) [ээ] и учет индекса расходимости приводит к следующей структуре перенормированного действия:

Sn ^Iztif^^-^l^-W ^

1 г^ДУ2 -1 if" + Л + М* + £ + o3cJW/s + а<,аЯ + + (КК-ЬоЮ* + C2)

Для сохранения правильной размерности действия в И -мерном пространстве введен параметр J^ размерности массы; J?/ , t ^ » » fx » -рai ~ константы перенормировки, зависящие только от Я , причем значения Н^ , ,

Ztf те же, что в плоском пространстве. Сравнение выражений (I) и (2) показывает, что затравочное действие совпадает с перенормированным при выполнении следующих соотношений:

A0=/^w (А + Мо /л) эе0 = j* п-ц (зе + ^ - 2.1о )

§ О " % "+ ^В

В силу того, что используется размерная регуляризация и схема минимальных вычитаний, равенства (3) можно переписать в виде рядов по степеням (ft-Ч) ^ : к=| Ас+ ^|£-кГк(Л1) , «0= + (4)

К — 1 Г k(illeM + + %ЧЗК (*))] , а*; --умЧ оо а.- + Z £ U:* О»)) , *r=i с7

Однопетлевые вакуумные контрчлены возникают уже в теории свободных полей и найдены многими авторами [з,5-7]. Однопетлевые константы перенормировки теории в плоском пространстве также уже вычислены. Поэтому необходимо найти только константу перенормировки , отвечающую параметру % . При этом все массы можно положить равными нулю. Итак, перейдем к вычислению константы перенормировки в теории общего вида. Запишем лагранжиан теории:

L^i-Qi R + oi £ Gr + o3 Сум voy* + Qi< О R.

1 ^ % + f r+i F^Mty

- i ) f - V If; - (4>Xi ^ jpfr; W) -~ ГЙ& Т-9-Ф* Ф (5) и кг ~ i rj т к Tg

И i ^ АГ/+ с«^ 9,+gf V

Здесь Ауц . , С** калибровочные и гостовские ноля, , ^ , - соответственно, мушьтиплеты спинорных, эрмитовых скалярных и комплексных скалярных полей, ^(Л ) - матрицы Дирака в^искривленном пространстве, V^u - ковариантная производная, hK (Jfe-Константы янг-миллсовской g и юкавской й связи включены, соответственно,.в определение матриц 0- , , "ь и й- , J?/ Однопетлевые константы перенормировки этой теории.в плоском пространстве найдены в работе [89]. Заметим, что соотношения (2-4) нетрудно обобщить для теории с лагранжианом (5). Основное отличие будет заключаться в том, что константы перенормировки для теории (5) будут зависеть от Я , Q и h . При вычислении одно-петлевых расходимостей будем использовать метод фонового поля [27-29] и алгоритм Фрадкина-Вилковыского выделения расходимостей эффективного действия [32-34]. Поскольку нас интересуют (ij только константы перенормировки, отвечающие параметрам

- 23 то среди фоновых полей ненулевыми достаточно считать только скалярные поля. Напомним основные черты метода фонового поля

27-34].

Запишем производящий функционал произвольной теории в искривленном пространстве-времени: г (j) -- J\o<pe/xp{c (s(<p) +?J)} Зо^Ь^^Т^Ф (6) где ^ обозначает набор, всех полей, Ь - дифференциальный оператор, не зависящий от полей 9 , лОР - мера интегрирования. Если среди набора полей 9 есть калибровочные поля, то в действие £'(ф) входят член, фиксирующий калибровку, .и соответствующее действие духов Фаддеева-Попова [П2]. Вычислим функционал ? IЭ) методом стационарной фазы. Для этого совершим сдвиг У , где V - заданное (фоновое) поле, а 9 - малое возмущение (квантовое поле). Подберем поле

К Я

V из условия ^—р +U = О , Тогда выражение (6) перепишется в виде: I, i U

В однопетлевом приближении достаточно ограничиться первым членом, в экспоненте подинтегрального выражения (см., напр., [27-3l]). Вычисляя для него гауссов интеграл по полям Ф .получим:

21ш(3) -- top: [S (Ч>) + 43 4 2Р Ом ^sLVJ (8)

Вводя эффективное действие VI/ по правилу z?(J) ~ 6L ^^ t получим в однопетлевом приближении

Wont-bp = ^P^^

9)

Особенно удобно использовать метод фонового поля для калибровочных теорий, поскольку при выборе фоновой калибровки, т.е. калибровки, инвариантной при калибровочных преобразованиях фоновых полей, эффективное действие появляется в калибровочно-ин-вариантном виде. Для вычисления выражения (9) мы будем использовать технику Швингера-Де Витта выделения расходимостей эффективного действия в форме, предложенной Фрадкиным и Вилковыским [32-34]. Поскольку детали этой техники хорошо известны, выпишем здесь только основные результаты:

S „Л = " ^ow- Ссор ^ Jol fx fj blt & (г, X) (I0)

NX где g CXjXj - хорошо известный коэффициент в разложении Швингера-Де Витта для функции Грина по собственному времени, 1д+ означает, что след берется с учетом статистики поля, а волна показывает, что соответствующая величина определена в . . пространстве полей ^ . Если оператор ^ ^^ имеет следующую форму: (+П)? (п) тогда л/

32-34]: ъ* й йДу» Г - ±о я*. i + ± WW.

Г г' Ь ' +

J Sy P^fVuVv-pyy,)?

В соответствии с общими результатами (8-12) произведем в лагранжиане (5) сдвиг только по скалярным полям ^ ^ 4 ^ , 9d- -7 Pj^ v cPj , где ^ , Y^' - фоновые поля. Запишем квадратичную по квантовым полям часть действия: s;fj ^ ^^4 i n ^ ^ 9j} /11к+e^/i; eg ^ л

- <Г ^Aj V^fj 4 К t?J г я q>. + + i « yip.'^tp /. -wi) . ли \ (*lJlct + я+ 2.vk, + ^ + ajkl V; + ^ + U>- Ifj Ф^ф^) + Л (? - Я $c * ^ + + f(fyy

- J Й) I + i fftt) lfi+K jv(%) 4

При записи выражения (13) в континуальном интеграле (7) сделаны

D ; /0 следующие замены переменных: т- —^ t ч^' ; Г£ —* 3

V/—^-i if^W^y.^ I гДе - новое спинорпое поле. Такие замены переменных необходимы для того, чтобы записать квадратичную часть действия по квантовым полям в виде (II). Якобианы первых трех преобразований просто постоянные, а якобиан последнего преобразования зависит от внешнего гравитационного поля и дает вклад только в вакуумную энергию. Поэтому учет этих якобианов преобразований не существенен для наших целей. Заметим, что квадратичная часть действия по гост.овским полям не выписывается, т.к. гостовские поля не взаимодействуют со скалярами, а, следовательно, их учет,дает вклад также в вакуумную энергию. Сравнение выражений (II) и (13) дает явный вид и П . После этого вычисление выражения (12) сводится к простому, хотя и довольно громоздкому, перемножению матриц в соответствии с выражениями (II), (12). Окончательный результат, в котором оставлены только квадратичные по скалярным полям члены, имеет вид: Ь&к&ъ+Зр^к] l J

L Sy/l £ Uijice 4 +

Ш X ^Li)

-if] + jSphti]] + km*) (i sP (**xte + )] k с + + HVq + J Г I (ffta , м , ч

У" У Ajkei + Jqie+afyJ

-iHc^je) ^tyf**^ J] здесь Sp берется по спинорным индексам. Выражение (14) в соответствии с соотношениями (2-4) приводит к следующим константам перенормировки параметров гЪ-Ь

И) г) и полей

S,<Q -f ifyU^+^J " MFJThT)

5 ш -5оч ke

15) a) 4

4 Vх'. . 4 2U) ^ * nityij ^ Л y^jiyy

-m i

2)

31

U) I 5~ n-в

- i Ы1

16) ? ?

Заметим, что структура соотношения (12) показывает в однопетле-вом приближении, что все константы перенормировки, отвечающие теории в плоском пространстве, не меняются при переходе к искривленному пространству.

Теория общего вида с лагранжианом ( 5 ) содержит большое число различных моделей теории поля. В качестве одной из них рассмотрим модель, основанную на калибровочной группе £U(2) с лагранжианом

Л Т Vl^

- i ft £QC4c - b (<f''] CI7)

Эта модель получается из теории общего вида при ?Г-0 , % , О г 1,2,5; з = I , ia=i9SMe (is)

Подставляя (18) в (15,16), получим следующие константы: J л (19)

Следовательно, шражения (16) и соответствующие результаты однопетлевых расчетов [89] и [з,5-7^], позволяют сразу записать все однопетлевые константы перенормировки теории общего вида (5) в искривленном пространстве-времени.

§ 2, Применение локального импульсного представления пропагаторов для вычисления однопетлевых контрчленов в калибровочных теориях во внешнем гравитационном поле

Локальное импульсное представление пропагаторов для взаимодействующих теорий во внешнем гравитационном поле было впервые предложено в работе [20] и использовалось для прямого вычисления однопетлевых и двухпетлевых контрчленов в некоторых теориях многими авторами [20-26, 40,144]. Цель настоящего рассмотрения состоит в том, чтобы получить независимым от первого параграфа способом однопетлевую перенормировку параметра f Мы будем вновь работать в методе фонового поля, однако, для выделения расходимостей эффективного действия будем использовать локальное импульсное представление пропагаторов, а не алгоритм (I.I0-I.I2). Для простоты рассмотрена теория с лагранжианом Т ТПЛ иг О /-> ТЭП/'ЛПТЧГИХ/Г ТСО ТТТЛ'^-ППТЭ/ТГТТТ/Л-П/-! -trn TT/Vr-)TTCr т> -dtittq» У. — выражением (1*19).

Предварительно опишем на примере скалярного поля, как строится локальное импульсное представление пропагаторов. Для этого запишем уравнение для свободного скалярного цропагатора:

ПЛулЧ -1<о\0>} j, S'Cx^Jr i) - соответственно й [з,6,7]. Введем римавакуум начального и конечного состоянии

-ЗОновы нормальные координаты [l9] с началом в точке .

Тогда в малой окрестности точки X' можно получить следующее разложение метрического тензора Jl9]: где геонетрические коэффициенты R^p » ^ c//3; ^ вычислены в начале римановой системы координат точки А' . Основываясь на разложении (2), можно получить сходное разложение по степеням tj^ для произвольного тензора [19]. Тогда вблизи точки X с.точностью до членов, линейных по тензору Римана, уравнение (I) примет вид [so]: . ] Sex,*'; - -ъц) ( ^ (3J

Здесь ^ = , &(*,x'J-(- ^wy^ й^хЧ^дм)'* причем в нормальных координатах с началом в точке х') (-1 Функция GrCx^x'J зависит от ^ и X1 . Введем импульсное пространство, связанное с точкой х' и совершим Фурье-преобразование: fffx^j^e^EOO (4)

Представим в виде бесконечного ряда . G-i(lf) . , где Сч (Ю - это член L -го порядка по производным метрики. Подставляя Фурье-разложение (4) в уравнение (3), и решая уравнение (3) итерациями, получим

Hi tк*)*- (5)

Тогда окончательное выражение для скалярного пропагатора можно записать в следующих двух формах [20], получающихся одна из другой при помощи интегрирования по частям:

6) я ПДТ^дуЗ ^ 1 J J

Соотношение (6) есть локальное импульсное представление скалярного пропагатора с точностью до членов .

Запишем теперь уравнения для векторного пропагатора, при указанном выше выборе калибровочного условия и для безмассового спинорного пропагатора: r^o-tfVa-j-) &ЯУ (х,х = 51, ft V, x'j

7) \ (* > Х% ^ ТЛ Vxj Ay(x')IQ>Ui ^(xlfyS (xjx'jrstx.x'j (8)

Вновь, как и для скалярного пропагатора, разлагая уравнения (7) (8) в нормальных римановых координатах, взяв их Фурье-образ и решая итерациями после длинной алгебры,найдем [20,40] :

Jw t ft +

9) ft

KP^lCo- ao)

Б выражениях (9,10) предполагается выполнение фейнмановских граничных условий, т.е. везде в знаменателях подразумевается к*-* к:2-+10 fiol. Соотношения (6,9,10) показывают, что несмотря на отсутствие глобального импульсного преобразования в искривленном пространстве-времени в .тех случаях, когда точки .

X и X* в пропагаторе \ X1J достаточно близки, можно построить локальное импульсное представление пропагаторов. Поскольку расходимости произвольной фейнмановской диаграммы ^(Х{■>• ■ = л Хи ) возникают, когда, по крайней мере, часть из точек jXh совпадает, то представления (6,9,10) оказываются достаточными для вычисления полюсных частей фейнмановских диаграмм. При этом, в фейнмановских диаграммах можно пользоваться хорошо известной техникой интегрирования по импульсам [iO, II].

Перейдем теперь к вычислению однопетлевой константы перенормировки параметра § в методе фонового поля на основе локального импульсного представления пропагаторов. Среди фоновых поле% так же как и в.предыдущем параграфе, ненулевыми.считаем только скалярные поля. Экспоненту в подинтегральном выражении равенства (1.7) разложим в ряд по ненулевым фоновым полям. ПредСТаС вим в выражении (1.7) в виде:

S4>* 4 ^^vvf +^Jf (II) о n Ш о № где , ^ , S c^ включают соответственно члены нулевой, первой и второй степени по фоновым скалярным полям. Тогда, оставляя в разложении экспоненты подинтегрального выражения равенства (1.7), только квадратичные по фоновым скалярным полям, члены, получим для эффективного действия W :

Wone-toep = <$(и!л> 4jr<fSjtf/> (12)

Приведем явный вид членов, входящих в равенство (12) для теории с лагранжианом (I.17): < = g

13) 5(х \ х) - г 9» (х,х1) [<?Ь) nx'j ?у д/&(х, х 'j - х1) - W*';Эу Ч°(х)д/

Вычислим теперь полюсные части соотношений (12, 13), Для этого используем локальное импульсное представление пропагаторов (6, 9,10). Импульсные интегралы будем вычислять с помощью стандартных правил размерной регуляризации [ill J . Получим (скалярное поле достаточно считать безмассовым) [20,40]:

Я»~Ч) ^ £№f(n-4)

- 34

G^ (X ,x'j Эу*Э/ frfx.x 'j -- [ | U-D vy

VSCxS)

В соотношениях (14) оставлены только полюсные части. Подставляя соотношения (14) в выражения (12,13), найдем однопетлевое контрчленное действие:

S = - Woh-ЬГ i (I5)

0u)

Добавляя к Ь cent? квадратичную по скалярным полям часть лагранжиана (I.I7) и используя соотношения (I.2-I.4), имеем: is) = * * йшййоГ- ¥<И)+

Из равенств (16) получаем: o = ^fo)= civ)

Равенство (17) показывает, что однопетлевая перенормировка параметра < калибровочно-инвариантна в соответствии с общими соображениями и совпадает с выражением (I.I9), найденным независимо. Константа перенормировки "ify калибровочно-зависи-ма и при = 1 совпадает с соответствующим выражением (1.19).

Отметим, что представленные результаты прямых однопетлевых вычислений (1.16,17) подтверждают общий результат работы [5l], основанный на конформных тождествах Уорда, о том, что однопет-левая константа перенормировки параметра ^ пропорциональна

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Одинцов, Сергей Дмитриевич, 1985 год

1. Окунь Л.Б. Лептоны и кварки. - М.: Наука,ГРШЛ,1981. - 304 с.

2. Окунь 1.Б. Физика элементарных частиц. М.: Наука, ГРФМД, 1984. - 221 с.

3. Parker L. Aspects of quantum field theory in curved spacetime: effective action and energy-momentum tensor.- In: Eecent Developments in Gravitation. N.Y., 1979? P« 1-52.

4. Гриб A.A., Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М. Квантовые эффекты в интенсивных внешних полях. М.: Атомиздат, 1980. - 295 с.

5. Биррелл Н., Девис П. Квантованные поля в искривленном пространстве-времени. М.: Мир, 1984. - 356 с.

6. Черные дыры. Пер. с англ. М.: Мир, 1978. 321 с.

7. Utiyama R. Renormalization of quantum electrodynamics in a classical gravitational field.- Phys. Kev., 1962, v. 125, N 5, p. 1727-1740.

8. Drummond I.T. Dimensional regularization of massless theories in spherical space-time. Nucl. Fhys., 1975» v. В 94»N I, p. 115-144.

9. Drummond I.T. Conformally invariant amplitudes and field theory in a spacetime of constant curvature. Fhys. Rev.,1979, v. 19 D, N4, p. II23-H33.

10. Drummond I.Т., Shore G. Dimensional regularization of mass-less quantum electrodynamics in spherical spacetime. Ann. Fhys., 1979, v. 117, N I, p. 89-120.

11. Drummond I.Т., Shore G. Conformal anomalies for interacting scalar fields in curved spacetime. Fhys. Rev., 1979,v. 12 D, N 4, p. 1134-114-3.

12. Grass R. Renormalization of ЛУ3- theory in a six-dimensional conformally flat space-time. Fhys. Rev., 1981, v. 24D, N 6, p. 1688-1690.

13. Ichinose I. 'Quantum field theory in a time-dependent gravitational field. Fhys. Rev., 1982, v. 25 D, N 2, p.365-381.

14. Петров А.З. Пространства Эйнштейна. M.: ГИФШ1,1961.-463 с.

15. Bunch T.S., Parker L. Feynman propagator in curved space-time: A momentum-space representation. Fhys. Rev., 1979, v. 20 D, N 10, p. 2499-2510.

16. Birrell N.D. Momentum space renormalization of in curved space-time. J. Fhys. A, 1980, v. 13, N 2, p.569-584,

17. Bunch T.S., Fanangaden P., Farker L. 0-n renormalization offield theory in curved space-time: I. J. Fhys. A,1980, v. 13, N 3, p. 901-918.

18. Bunch T.S., Panangaden F. On renormalization of Hf** field theory in curved space—time: II. J. Fhys. A, 1980,v. 15, N 3, p. 919-932.

19. Bunch T.S. Local momentum space and two-loop renormalizabi-lity of field theory in curved space-time. — GRG, 1981, v. 13, N 7, p. 711-723.

20. De Witt B.S. Quantum theory of gravity. II. The manifestly covariant theory. Phys. Rev., 1967, v. 162, U 3,p. 1195-1238.

21. Kallosh R. Renormalization in non-abelian gange theories.- Nucl. Phys., 1974, v. 78 B, N 2, p. 293-317.

22. Арефьева ИЛ., Славнов А.А., Фаддеев Л.Д. Производящий функционал для s -матрицы в калибровочно-инвариантных теориях. ТМФ, 1974, т.21, В 3, 3II-32I.

23. Schwinger J. On gauge invariance and vacuum polarization.- Phys. Rev., 1951, v. 82, N 5, p. 664-689.

24. Barvinsky A.О., Vxlcovisky G.A. The generalized Schwinger--De Witt technique and the unique effective action in quantum gravity. Fhys. Lett., 1983, v. 131 B,N 5,6,p.313-318

25. Toms D.I. Background-field method and the renormalization of non-Abelian gauge theories in curved space-time.- Fhys. Rev., 1983, v. 27 D, N 8, p. 3B03-I8I3.

26. Omote M., Ichinose S. One-loop renormalization in curved spacetimes using the background-field method.- Fhys. Rev.,1983, v. 27 D, N 10, p. 2341-23^7.

27. Toms D.I. Renormalization of interacting scalar field theories in curved space-time. Fhys. Rev., 1982, v. 26 D,N 10, p. 2713-2729.

28. Jack I., Osborn H. Background field calculations in curved spacetime. (I). General formalism and application to scalar fields. Nucl. Fhys., 1984, v. В 234, N 2, p. 331-364.

29. Jack I. Background field calculations in curved spacetime (II). Application to a pure gauge theory. Nucl. Fhys.,1984, v. В 234, N 2, p. 363-378.

30. Parker L., Toms D.J. Renormalization-group analysis of grand unified theories in curved spacetime. Fhys. Rev., 1984, v. 29 D, N 8, p. 1584-1608.

31. Farker L., Toms D.J. Effective couplings of grand unified theories in curved space-time. Fhys. Rev. Lett., 1984, v. 52, N 15, p. I269-I27I.

32. Freedman D.Z., Muzinich I.J., Weinberg E. On the energy-momentum tensor in gauge field theories. Ann. Fhys., 1974, v. 87, N I, p. 95-124.

33. Freedman D.Z., Weinberg E. The energy-momentum tensor inscalar and gauge field theory. Ann. Phys., 1974» v. 87, N 2, p. 354--374-.

34. Freedman D.Z., Pi So-Yang. External gravitational interaction in quantum field theory. Ann. Phys., 1975» v. 91,N 2, p. 442-449.

35. Birrell N.D., Taylor I.G. Analysis of interacting quantum field theory in curved spacetime. J. Math. Phys., 1980, v. 21, N 7, P. 174-0-1760.

36. Bunch T.S. BPHZ renormalization of field theory in curved spacetime. Ann. Phys., 1981, v. 131, N I, p. II8-I48.

37. Brown L.S., Collins J.C. Dimensional renormalization of scalar field theory in curved space-time.- Ann. Phys., 1980,v. 130, N I, p. 215-248.

38. Hathrell S.J. Trace anomalies and ^^ theory in space.- Ann. Phys., 1982, v. 139, N I, p.136-197.

39. Hathrell S.J. Trace anomalies and QED in curved space. —- Ann. Phys., 1982, v. 142, N I, p. 36-63.

40. Freeman M.D. Renormalization of non-abelian gauge theories in curved space-time.- Ann. Phys., 1984, v. 153, N 2,p. 339-366.

41. Бухбиндер ИД. Об уравнениях ренормализационной группы в искривленном пространстве-времени. ТШ?, 1984, т.61,Я; 3, с. 393-399.

42. Владимиров А.А., Ширков Д.В. Ренормализационная группа и- 142 ультрафиолетовые асимптотики. УФН, 1979, т.129, вып.З, с.407-441.

43. Ширков Д.В. Ренормгруппа и функциональная автомодельность в различных областях физики. ТШ, 1984, т.60, $ 2, с.218-233 о

44. Nelson B.L., Panangaden P. Scaling behavior of interacting quantum fields in curved spacetime.- Phys. Rev., 1982,v. 25 D, N p# I0I9-I027.

45. Toms D.I. The effective action and renormalization group equation in curved space-time.- Phys. Lett., 1983, v. 126 B, N 1-2, p. 37-4-0.

46. Birrell N.D., Ford L.H. Self-interacting quantized fields and particle creation in Robertson-Walker Universes.- Ann. Phys., 1979, v. 122, N I, p. 1-25.

47. Birrell N.D., Davies P.C.W., Ford L.H. Effects of field interactions upon particle creation in Robertson-Walker universes. J. Phys. A., 1980, v. 13, N 3, p. 961-968.

48. Birrell N.D., Davies P.C.W. Conformal-symmetry breaking and cosmological particle creation in M1* theory. Phys. Rev., 1980, v. 22 D, N 2, p. 322-329.

49. Долгов А.Д. Рождение безмассовых частиц конформно плоским гравитационным полем. Письма в ЖЭТФ, 1980, т.32,вып.II, с. 673-677.

50. Долгов А.Д. Конформная аномалия и рождение безмассовых частиц конформно-плоской метрикой. ЖЭТФ, 1981, т.81, вып.2,с.417-428.

51. Спокойный БД. О рождении калибровочных бозонов в конформно-плоских пространствах. Письма ЖЭТФ, 1981, т.34, вып.10,с.553-555.- 143

52. Spokoiny B.L. Interacting quantum fields in a nonsingular cosmological model.- Fhys. Lett., 1982, v. 87 A* N 5,p. 211-214.

53. Ford L.H. Particle decays and OPT non-invariance in cosmology.- Nucl. Fhys., 1982, v. В 204, N I, p. 35-41.

54. Kuroda I. On the creation of particles through their interaction in an expanding Universe. Progr. Theor. Fhys., 1983, v. 69, N 3, p. 842-856.

55. Myhrvold N.P. Runaway particle production in de Sitter space. Fhys. Rev., 1983, v. 28 D, N 10, p. 2439-2444.

56. Janson M.M. Spontaneous symmetry breaking in the interior of a neutron star. Lett. Nuovo Cim., 1976, v. 15, N 7, p. 231-234.

57. Гриб А.А., Мостепаненко B.M. Спонтанное нарушение калибровочной симметрии в однородной изотропной Вселенной открытого типа. Письма в ЖЭТФ, 1977, т.25, вып.6, с.302-305.

58. Гриб А.А., Мостепаненко В.М., Фролов В.М. Спонтанное нарушение калибровочной симметрии в нестационарной метрике. ТМФ, 1977, т.33, Я> I, с.42-53.

59. Лапчинский В.Г., З^гбаков В.А. Спонтанное нарушение симметрии в открытой Вселенной Фридмана. ТМФ, 1980, т.42, В 1,с.37-44.

60. Веряскин А.В., Лапчинский В.Г., Рубаков В.А. О спонтанном . нарушении симметрии в замкнутой космологической модели Фридмана. ТМФ, 1980, т.45, J& 3, с.407-421.

61. Shore G.M. Radiatively induced spontaneous symmetry breaking and phase transitions in curved space-time.- Ann. Fhys., 1980, v. 128, N 2, p. 376-424.

62. Allen B. Phase transitions in de Sitter space.- Nucl. Fhys. 1983, v. В 226, N I, p. 228-252.- 144

63. Denardo G., Spallucci E. Symmetry restoration in conformal-ly flat metrics. Lett. Nuovo Cim., 1981, v. 64 A, N I,p. 15-26.

64. Denardo G.} Spallucci E. Vacuum instability in the Einstein open metric.- Nuovo Cim., 1982, v. 68 A, N 3, p. 177-189.

65. Цейтлин А.А. Эффективное действие в пространстве де Ситтера и конформная супергравитация. ЯФ, 1984, т.39, вып.6, с.1606-1615.

66. Fradkin E.S., Tseytlin А.А. One-loop effective potential in gauged 0(4) supergravity and the problem of the A term.- Nucl. Fhys., I984-, v. В 234, N 2, p. 472-508.

67. Denardo G., Spallucci E. Curvature and symmetry breaking: an induced-action approach. Nuovo Cim., 1982, v. 71 A, N 3, p. 397-408.

68. Ishikawa K. Gravitational effect on effective potential. -- Fhys. Rev., 1983, v. 28 D, N 10, p. 2445-2454.

69. Vilenkin A., Ford L.H. Gravitational effects upon cosmologi-cal phase transitions. Fhys. Rev., 1982, v. 26 D, N 6,p. I23I-I24I.

70. Ford L.H., Toms D.I. Dynamical symmetry breaking due to radiative corrections in cosmology.- Fhys. Rev., 1982, v.25 D, N 6, p. I5I0-I5I8.

71. Guth A.H. Inflationary universe: A possible solution to the horizon and flatness problems.- Fhys. Rev., 198Г, v. 23 D, N 2, p. 34-7-356.

72. Linde A.D. A new inflationary universe scenario: a possible solution of the horizon, flatness, homogenety, isotropy and primordial monopole problems.- Fhys. Lett., 1982, v. 108 B, N 6, p. 389-393.

73. Hawking S.tf., Moss I.G. Supercooled phase transitions in the very early universe.- Fhys. Lett., 1982, v. IIO B, N I,p. 35-38.

74. Линде А.Д. Раздувающаяся Вселенная. УФН, 1984, т. 144, выл.2, с.177-214.

75. Mottola Е., Lapedes A. Inflationary universe with gravity. Phys. Rev., 1983, v. 27 D, N 10, p. 2285-2293.88 . Adler S.L. Einstein gravity as a symmetry-breaking effect in quantum field theory.- Rev. Mod. Phys., 1982, v. 5 N 3, p. 729-766.

76. Fradkin E.S., Kalashnikov O.K. Asymptotically free SU (5) model of unified interactions.- Phys. Lett., 1976, v. 64 B, N 2, p. 177-180.

77. Chang N., Das A., Perez-Mercader I. Asymptotically free, one-coupling-constant, one-mass-scale SU (5) model.- Phys. Rev., 1980, v. 22D., N 6, p. 1429-1436.

78. Chang N., Das A., Perez-Mercader J. Asymptotically free SU (5) model j?ith three generations. Phys. Rev., 1980, v. 22D, N 7, P. 1829-1832.

79. Желонкин А.В., Коган Я.И., Тер-Мартиросян К.А. Асимптотичес- 146 ки свободные модели "большого объединения" su (5). ЯФ, 1981, т.34, вып.6, с.1630-1639.

80. Pradkin E.S., Tseytlin А.А. Renormalizable asymptotically free quantum theory of gravity.- Nucl. Phys., 1982, v. B20I, N 2, p. 469-491.

81. Coleman S., Weinberg E. Radiative corrections as the origin of spontaneous symmetry breaking. Phys. Rev., 1973» v. 7D, N 6, p. 1888-1909.

82. Анселвм A.A., Дьяконов Д.И. Динамическое спонтанное нарушение калибровочной инвариантности в асимптотически свободных теориях. ЖЭТФ, 1975, т.68, вып.5, с.1614-1634.

83. Georgi Н., Glashow S.L. Unity of all elementary particle forces.- Phys. Rev. Lett., 1974, v. 12, N 8, p. 438-441.

84. Воронов БД., Тютин И.В. Устойчивость теории и асимптотики эффективных скалярных констант связи. ЯФ, 1976, т.23, вып.6, с.1316-1323.

85. Schafer G., Dehnen Н. Pair creation in cosmology when electromagnetic fields are present. J. Phys. A., 1980, v. 13, N 2, p. 517-528.

86. Зельдович Я.Б. Рождение частиц в космологии. Письма в ЖЭТФ, 1970, т.12, вып.9, с.433-447.

87. Lukash V.N., Novikov I.D., Starobinsky А.А., Zeldovich Уа.В. Quantum effects and evolution of cosmological model.- Nuo-vo Cim., 1976, v. В 35» N 2, p. 293-307.

88. Chitre D.M., Hartle L.B. Path-integral quantization and cosmological particle production: An example.- Phys. Rev., 1977, v. D 16 , N 2, p. 251-260.

89. Карманов О.Ю., Менский М.Б. Пропагаторы и рождение пар в однородной изотропной Вселенной. ТМФ, 1979, т.41, № 2,с. 245-255.

90. Rumpf Н. Covariant description creation in curved spaces.- Nuovo Cim., 1976, v. 35 B, N 2, p. 321-332.

91. Hartle J.B., Hawking S.W. Path-integral derivation of Ыаск-hole radiance. Phys. Rev., 1976, v. 13 D, IT 8, p. 2188-2203.

92. Buchbinder I.L., Pradkin E.S., Gitman D.M. Quantum electrodynamics in curved space-time. Fortschr. phys., 1981, v. 29, H 5, P. 187-218.

93. Бухбиндер И.Л. Производящий функционал среднего поля в квантовой электродинамике с внешним гравитационным полем.-ЯФ, 1981, т.34, вып.4, C.II36-II4I.

94. Ландау Л.Д., Лифпшц Е.М. Теория поля. 6-е изд.,испр.и доп. - М.: Наука, ГВФМЛ, 1973. - 504 с.

95. Leibbrandt G. Introduction to the technique of dimensional regularization.- Rev. Mod. Phys.,1975* v.47, N 4,p.849-876

96. Славнов А.А*, Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. М.: Наука, ГРШЛ,1978. - 238 с.

97. Kallosh R.E., Tarasov O.V., Tyutin I.V. One-loop finite-ness of quantum gravity off mass shell. Nucl. Phys., 1978, v. 137 B, N I, p. 145-163.

98. Wu C.C., van Nienwenhuizen p. On integral relations for invariants constructed from three Riemann tensors and theapplication in quantum gravity.- J.Math.Phys.,1977,v.18.

99. Chase M.K. Absence of leading divergences in two-loop quantum gravity.- Nucl. Phys., 1982, v.B 207, If 2,p. 434-444.

100. Barvinsky A.O., Vilcovisky- 148 tuwi Cjtai%.- pfcjjs, Rftpts.,im^

101. Parker L. Particle creation by the expansion of the universe.» Fund. Cosm. Fhys., 1982, v. 7» p. 201-239.

102. Nelson B.L., Panangaden F. Universality and quantum gravity.- Fhys. Rev., 1984, v. 29 D, N 12, p. 2759-2762.

103. Nelson B.L., Panangaden P. Scaling behaviour of semiclas-sical gravity.- GRG, 1984, v. 16, N 7, p. 625-643.

104. Stelle K.S. Renormalization of higher derivative quantum gravity.- Fhys. Rev., 1977, v. 16 D, N 4, p. 953-969.

105. Kirzhnits D.A., Linde A.D. Symmetry behavior in gaugetheories.- Ann. Fhys., 1976, v. 101, N I, p. 195-238.

106. Linde A.D. Phase transitions in gauge theories and cosmmlogy.- Rep. Frogr. Fhys., 1979, v. 42, p. 389-437.

107. Jackiw R. Functional evaluation of the effective potential.- Fhys. Rev., 1974, v. 9 D, N 6, p. I686-I70I.

108. Vilcovisky G.A. The unique effective action in quantum field theory.- Nucl. Fhys., 1984, v. В 234, N I, p.125-137.

109. Fradkin E.S., Tseytlin A.A. On the new definition of off-shell effective action.- Nucl. Fhys.,1984, v. В 234,p. 509-523.

110. Smolin L. Gravitational radiative corrections as the origin of spontaneous symmetry breaking. Fhys. Lett., 1980, v. 93 B, N 1-2, p. 95-Ю0.

111. Ichinose S. Spontaneous symmetry breakdown in massless scalar electrodynamics and a Brans-Dicke-type. gravitational theory.- Nucl.Fhys., 1984, v. В 231,N 2, p.335-364e

112. Audretch J., Schafer G. Thermal particle production in a radiation dominated Robertson-Walker universe.- J. Fhys. A, 1978, v. U, N 8, p. 1583-1602.- 149

113. Бухбиццер И.Л., Гитман Д.М. Метод расчета вероятностей квантовых процессов во внешних гравитационных полях. Изв. ВУЗов СССР, Физика, 1979, Ш 3, с.90-95.

114. Бухбиндер И.Л., Гитман Д.М. Об определении вакуума в искривленном пространстве-времени. Изв. ВУЗов СССР. Физика, 1979, В 7, с.16-21.

115. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов,сумм,рядов и произведений. 4-е изд.,перераб. при участии Ю.В.Геро-нимуса и М.Ю.Цейтлина. - М.: Физматгиз, 1962. - 1100 с.

116. Гриб А.А., Левитский Б.А., Мостепаненко В.М. Рождение частиц из вакуума нестационарным гравитационным полем в каноническом формализме . ТМФ, 1974, т.19, $ I, с.59-75.

117. Никишов А.И. Проблемы интенсивного внешнего поля в квантовой электродинамике. В сб.: Квантовая электродинамика явлений в интенсивном поле. - Труды Физ.ин-та АН СССР.М.: Наука, 1979, т.111, с.152-271.

118. Лукаш В.Н., Старобинский А.А. Изотропизация космологического расширения за счет эффекта рождения частиц. ЖЭТФ, 1974, т.66, вып.5, с.1515-1527.

119. Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М., Старобинский А.А.Рождение частиц из вакуума вблизи однородной изотропной сингулярности. ЮТФ, 1976, т.70, вып.З, с.1577-1591.

120. SchSfer G. Effective lagrangian and pair.production in cosmology. J. Phys. A., 1979, v. 12, N 12, p. 2437-2443.

121. Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. М.: Наука,1979.-319 с.

122. Nariai Н. On the creation of scalar particles in some anizotropic Universe. progr. Theor. phys., 1978, v. 59, N 5, P. 1532-1542.

123. Бухбиндер ИД. Рождение скалярных частиц в космологических моделях. Изв. ВУЗов СССР, Физика, 1980, В 7,с.3-6.

124. Buchbinder I.L., Fradkin E.S., Gitman D.M. Generating functional in quantum field theory with unstable vacuum.-- Moscow^ 1981, p. 24 (Preprint/P.N.Levedev Fhys. Inst. N 138.)

125. Fradkin E.S., Gitman ЗЗ.И. Problems of quantum electrodynamics with external field creating pairs.- Budapest, 1979.- Ю5 p. (Preprint/Central Research Inst, for Fhys.: KFKI 1979.-83).

126. Бухбиндер И. Л., 0динцов С .Д. Рождение частиц и эффективный лагранжиан в квазиэвклидовой модели Вселенной с электромагнитным полем. Изв. ВУЗов СССР. Физика, 1982, № 5,с.12-16.

127. Бухбиндер И.Л., Одинцов С.Д. О представлении функций Грина в искривленном пространстве-времени с помощью контурных интегралов. Изв.ВУЗов СССР.Физика, 1982,№ 7,с.124-125.

128. Бухбиндер Й.Л., Одинцов С.Д. Однопетлевая перенормировка теории поля Янга-Миллса в искривленном пространстве-времени. Изв. ВУЗов СССР. Физика, 1983, & 4, с.46-48.

129. Бухбиндер И.Л., Одинцов С.Д. Рождение частиц в анизотропной космологической модели с электрическим полем. Изв. ВУЗов СССР. Физика, 1983, IS 5, с.93.

130. Бухбиндер И.Л., Одинцов С.Д. Уравнение ренормализационной группы для вакуумной энергии скалярного поля в искривленном пространстве-времени. Изв. ЕУЗов СССР. Физика, 1983, J6 8, с.50-55.

131. Бухбиндер И.Л., Одинцов С.Д. Асимптотическая свобода и- 151 асимптотическая конформная инвариантность в искривленном пространстве-времени. Изв.ВУЗов СССР. Физика, 1983, № 12, с.108-109.

132. Бухбиндер И.Л., Одинцов С.Д., Шапиро И.Л. Локально-импульсное представление гравитонного пропагатора во внешнем гравитационном поле и однопетлевые контрчлены в квантовой гравитации. Изв. ВУЗов СССР. Физика, 1984, № 4, с.50-53.

133. Бухбиццер И.Л., Одинцов С.Д. Уравнение ренормализационной группы и поведение эффективных зарядов во внешнем гравитационном поле. В сб.: Тезисы докладов 6 Советской гравитационной конференции. М.: МГДИ, 1984, с.207.

134. Одинцов С.Д. Эффективный потенциал в асимптотически-свободных теориях:с внешним гравитационным полем. В сб.: Тезисы докладов 6 Советской гравитационной конференции. М.: ШЖ, 1984, с.209-210.

135. Бухбиндер И.Л., Одинцов С.Д. Эффективный потенциал в искривленном пространстве-времени. Изв. ВУЗов СССР. Физика, 1984, № 7, с.17-22.

136. Бухбиндер И.Л., Одинцов С.Д. Конформные аномалии и рождение безмассовых частиц во фридмановской Вселенной. Изв. ВУЗов СССР. Физика, 1984, № 8, с.54-58.

137. Бухбиндер И.Л., Одинцов С.Д. Асимптотические свойства не-абелевых калибровочных теорий во внешнем гравитационном поле. ЯФ, 1984, т.40, вып.5, с.1338-1343.

138. Бухбиндер И.Л., Одинцов С.Д. Асимптотически свободные модели в искривленном пространстве-времени и поведение эффективных зарядов в сильном гравитационном поле. Изв. ВУЗов СССР. Физика, 1985, Jg I, с.86-91.