Полуинварианты и пространства модулей представлений колчанов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Федотов, Станислав Николаевич

• Федотов, Станислав Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Федотов, Станислав Николаевич

Содержание

Введение

История вопроса

Основные результаты диссертации

Определения и обозначения

Благодарности

Глава 1. Полуинварианты 2-представлений колчанов

1.1. Теорема Домокоса-Зубкова

1.2. Блочные матрицы и ассоциированные маршруты

1.3. Выражение для определителя 2-блочной матрицы

1.4. Маршруты в колчанах как полуинварианты 2-представлений

Глава 2. Оснащённые представления конечномерных алгебр

2.1. Предварительные сведения

2.2. Многообразие оснащённых представлений

2.3. Конструкция пространства модулей

Глава 3. Пространства модулей для колчанов с последовательными

циклами

3.1. Обобщение конструкции Райнеке

3.2. Пространство модулей для колчана Ап-\

3.3. Явная реализация слоёв

3.4. Колчаны с последовательными циклами

Глава 4. Скелеты стабильных пар и классификация наборов операторов

4.1. Скелеты стабильных пар

4.2. Вложение пространства модулей

4.3. Примеры

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Полуинварианты и пространства модулей представлений колчанов»

Введение

История вопроса

Данная диссертация посвящена изучению представлений, полуинвариантов и пространств модулей представлений колчанов методами геометрической теории инвариантов.

Введём необходимые обозначения и напомним основные определения. Колчан ф — это ориентированный граф, определяемый двумя конечными множествами фо (множество "вершин") и (¿1 (множество "стрелок") и двумя отображениями /г., £ : —> которые каждой стрелке сопоставляют её начало и конец. Представление ]¥ колчана (3 — это набор (возможно, бесконечномерных) векторных пространств И^, г 6 о, над некоторым фиксированным полем к, а также линейных отображений \¥а : —> а £ Вектором размерностей а 6 представления IV называется вектор с компонентами аг = сИт^ И^. Морфизм ф : V/ —> и представлений — это набор линейных отображений фг : И^ —> Щ, ъ € Яо, удовлетворяющих условиям фнаУ^а = Uaфta ДЛЯ ВСвХ а 6 МорфиЗМ является изоморфизмом тогда и только тогда, когда все отображения суть изоморфизмы.

При фиксированных пространствах И/; конечных размерностей с^ классы изоморфизма представлений колчана ф с вектором размерностей о; находятся во взаимно однозначном соответствии с орбитами группы

Ы(а) := П СЬ(Щ

гбфо

в пространстве представлений

:= 0 Нот(И^а,

Это действие определяется как (д ■ Ш)а = днаУ^аЯы > гДе 9 = Ыгед0 € СЬ(а). Отметим, что однопараметрическая подгруппа Д = ... ^Е)} действует на Яер((5, а) тривиально.

Колчаны предоставляют удобную интерпретацию многих классических задач линейной алгебры. Рассмотрим, к примеру, колчан с двумя вершинами, д петлями в первой вершине и к стрелками, ведущими из первой вершины во вторую. Нетрудно видеть, что задача классификации представлений этого колчана с вектором размерностей (га, 1) равносильна задаче о классификации наборов из q линейных операторов и к линейных функций на т-мерном векторном пространстве.

Возникает естественный вопрос: для всех ли колчанов возможна полная классификация представлений? Нетрудно понять, что далеко не для всех. В самом деле, для колчана £2,0 она была бы равносильна классификации пар линейных операторов. Эта проблема является "дикой". Более того, доказано, что теория представлений колчана £2,0 является неразрешимой; строгую формулировку и доказательство этого результата можно найти в работах [4] и [11]. Оказывается, что все колчаны, кроме конечного списка, также являются "дикими": в категорию их представлений можно построить вложение категории представлений колчана 1/2,о- Оставшиеся колчаны делятся на два класса. К первому относятся колчаны, у которых с точностью до изоморфизма есть лишь конечное число неразложимых представлений. Они называются колчанами конечного типа и исчерпываются диаграммами Дынкина типов А, И и Е с произвольной ориентацией рёбер. Колчаны, не являющиеся ни конечными, ни дикими, называются ручными. Подлежащий граф такого колчана — это расширенная диаграмма Дынкина одного из типов А, Б и Е. Колчаны конечного типа были впервые

описаны П. Габриэлем в работе [20]. Список ручных колчанов был независимо получен П. Донованом и М.Р. Фряйшлихом [18] и JI.A. Назаровой [6].

Поскольку проблема классификации представлений колчана Q с вектором размерностей а сводится к изучению действия редуктивной группы GL(o;) на аффинном пространстве Rep(Q, а), кажется естественным воспользоваться методами теории инвариантов. Для этого необходимо научиться находить инварианты для действия GL(a) : Rep(Q. а). Важные результаты были получены К. Прочези [30] и Ю.П. Размысловым [8], которые описали соответственно порождающие алгебры инвариантов для действия группы GLn на наборах операторов в n-мерном векторном пространстве и соотношения между ними. Для произвольного колчана имеется следующая теорема, которую также принято называть теоремой Прочези-Размыслова. Впервые она была доказана для алгебраически замкнутого поля JI. Jle Брюном и К. Прочези [26, Theorem 3.1]. Её обобщения для произвольных бесконечных полей были получены С. Донки-ным [17] и А.Н. Зубковым [3].

Теорема. Для произвольного колчана Q и вектора размерностей а алгебра k[Rep(Q, порождена следами ориентированных циклов длины не болъ-

ше av)2. При этом все соотношения между образующими являются следствиями теоремы Гамильтона-Кэли.

Точки категорного фактора M(Q, а) :— Rep(Q, a)// GL(a) находятся во взаимно однозначном соответствии с замкнутыми СЦа)-орбитами. Нетрудно показать [5, теорема II.2.3], что это в точности орбиты полупростых представлений колчана Q с вектором размерностей а. Более того, единственной замкнутой орбитой в замыкании орбиты представления колчана является орбита прямой суммы композиционных факторов его фильтрации Жордана-Гёльдера.

Из теоремы Прочези-Размыслова следует, что для колчанов без ориентированных циклов непостоянных инвариантов нет, то есть категорный фактор есть

точка. С другой стороны, можно непосредственно убедиться, что у такого колчана имеется лишь одно а-мерное полупростое представление, в котором все отображения вдоль стрелок нулевые. С увеличением числа ориентированных циклов число порождающих алгебры инвариантов и соотношений между ними растёт очень быстро, так что уже для колчанов Z^/c, чрезвычайной сложно использовать категорный фактор как средство классификации.

Это заставляет искать другие, более эффективные способы классификации орбит. Одним из них является переход к открытому подмножеству, на котором алгебра инвариантов будет богаче. Другим — рассмотрение расширенного пространства представлений, когда удаётся добиться большей точности за счёт добавления новой информации. Ярким представителем первого подхода является конструкция Кинга; второй же вырос в теорию оснащённых представлений.

Конструкция Кинга является частным случаем конструкции Мамфорда из геометрической теории инвариантов. Её идея состоит в том, чтобы рассмотреть тривиальное линейное расслоение над Rep(Q,a), подкрученное на характер х группы GL(a), а затем ограничиться рассмотрением открытого подмножества в Rep(Q. а), состоящего из х-полустабильных представлений.

Отметим, что характеры группы GL(a) исчерпываются следующими:

хе(д) = П det(^

veQo

для различных в 6 ZQo. Вектор 9 = (&i)ieQ0 задаёт отображение

Rep(Q) -» Z, dim Mi-

г

Это отображение также называют характером, хотя в данном случае речь идёт не о характере группы, а о характере абелевой категории представлений колчана Q. Для удобства читателя напомним определение 0-(полу)-стабильности.

Определение. Представление M е Rep(Q, а) назовём в-полустабильным (соответственно, в-стабильным), если 9{N) ^ 0 (соответственно, 9(N) > 0) для всякого собственного ненулевого подпредставления N С M.

А.Д. Кинг показал [24, Proposition 3.1], что ^-полустабильность (соответственно, ^-стабильность) точки 2 G Rep(Q,a), отвечающей представлению W колчана Q, равносильна #-полустабильности (соответственно, ^-стабильности) представления W.

Далее, А.Д. Кинг доказал [24, Proposition 5.2], что для множества #-полуста-бильных представлений фактормногообразие Ms0s{Q,a) является грубым многообразием модулей. Кроме того, для неделимого вектора размерностей а он установил [24, Proposition 5.3], что фактор M#(Q, а) := Rep$(Q, a)// GL(a) является тонким многообразием модулей ^-стабильных представлений.

Этот подход был обобщён и переформулирован А.Н. Рудаковым в работе [32]. Рассмотрим два характера в. к : Z? ->• Z, причём потребуем, чтобы к(а) ^ 0 для каждого вектора а с неотрицательными компонентами. Определим наклон M : Rep(Q)\{0} Q, положив /л(Х) = M(dimX) = ^jfg.

Определение. Представление X назовём ¡х-полустабильным (соответственно, \х-стабильным), если n(Y) ^ {¿(X) (соответственно, [¿(Y) < [¿(X)) для каждого собственного ненулевого подпредставления Y представления X.

Обозначим через Reps^(Q,a) (соответственно, Reps(Q,a)) множество \i-полустабильных (соответственно, ¿¿-стабильных) представлений колчана Q с вектором размерностей а. Оказывается, что для каждого вектора размерностей а найдётся характер для которого Rep*s(Q,a) = Rep|s(Q,a) и Rep® (Q, а) = Rep|(Q,o;). Нетрудно убедиться, что в качестве £ можно взять характер, значение которого на векторе размерностей ¡3 равно ц(а)к(0) — 9{0).

Для того, чтобы использовать конструкцию Кинга, необходимо уметь вычислять полуинварианты представлений колчанов весов, кратных данному. Эта

задача является частным случаем более общей проблемы, связанной с нахождением алгебры полуинвариантов.

На пространстве Rep(Q, а) действует группа SL(a) = ILeQo 8Ь(\¥г). Алгебра регулярных функций на Rep(Q, а), инвариантных относительно этого действия, как линейное пространство порождена полуинвариантами, то есть собственными векторами для действия GL{a). Поэтому её обычно называют алгеброй полуинвариантов.

На данный момент для алгебры полуинвариантов нет аналога теоремы Прочези-Размыслова. Имеются лишь описания порождающих алгебры k[Rep(Q, как векторного пространства; см. работы X. Дерксена и

Дж. Веймана [15], М. Домокоса и А.Н. Зубкова [16], а также М. Ван дер Берга и А. Схофилда [33]. В диссертации мы будем пользоваться результатами работы [16].

Теперь обратимся к теории оснащённых представлений.

Оснащённые представления впервые появились в работе [29] в качестве одного из шагов в построении многообразий Накаджимы. Идея состоит в следующем. Пусть Q — некоторый колчан, а — вектор размерностей. Зафиксируем дополнительный вектор размерностей С и рассмотрим расширенное пространство представлений Rep(Q,o;,C) Rep(Q,a) © ®ге<20 Нот^к"', к**1). Элементы Rep(Q. а, С) называются оснащёнными представлениями колчана Q. Если дополнительно зафиксировать набор k-векторных пространств Уг размерностей dim К = Сг, то элементы Rep(Q, сх, С) можно понимать как пары (М, /), где М — представление колчана Q с вектором размерностей а, а / = (/г : Мг —> Vl)ieQa — набор линейных отображений (который также можно рассматривать как отображение (Уо~ГРаДУиРОванных векторных пространств).

На пространстве Rep(Q, а, () следующим образом действует группа GL(a):

9 ■ (М, (/г)г€<Зо) = {9-М, {Jгдг 1))гед0.

Особое место занимают стабильные оснащённые представления. Напомним, что пара (М, /) называется стабильной, если не существует ненулевого собственного подпредставления N С М, для которого Иг С кег/г для всех г £ фо. Подмножество в Б1ер((5, а, (), состоящее из стабильных представлений, обозначают через Ыер5((3, а, О-

Оснащённые представления допускают ещё одну интерпретацию, которая позволяет связать только что введённое понятие стабильности с 6-стабильностью в смысле Кинга.

Рассмотрим колчан С^ с множеством вершин (^д = (5ои{оо|, стрелками которого являются стрелки колчана С} и ещё по (г стрелок из каждой вершины г Е ¿¿о в оо. Обозначим новые стрелки через /г(?, где г указывает на начало стрелки, а д 6 {1,..., £*}■ Кроме того, мы расширим вектор размерностей а до а^ € положив а* = осг, г = 1,..., п, и а^ = 1. Можно показать, что пространства Кер(<5,0!, () и могут быть СЬ(а)-эквивариантно отождествлены.

Обозначим через Керв((5<', а^) подмножество в Ыер^1', ог^), отвечающее при этом отождествлении подмножеству Керв((5, а, С) С Кер((У, а, С).

Рассмотрим наклон ¡л, значение которого на векторе размерностей ¡3 6 равно

№ = ^

М. Райнеке показал [31, Proposition 3.3], что Reps(Q^, = Rep* (Q^, а^). Отсюда следует, что существует геометрический фактор A4S(Q. а,() := Reps(Q, а, Ç)// GL(a). Более того, если колчан Q не содержит ориентированных циклов, то он является проективным многообразием. Для колчанов без ориентированных циклов М. Райнеке удалось в работе [31] реализовать пространство модулей оснащённых представлений как грассманиан подпредставлений в некотором инъективном представлении.

В работе [19] представлен другой подход к изучению пространств модулей оснащённых представлений колчанов. Напомним, что, будучи фактором Мам-форда, они допускают расслоение

тг5 : MS{Q, се, С) M(Q, а, С) := Reps(Q, а, ()// GL(a).

Если Q — колчан без ориентированных циклов, то Л4(Q, а, () — {pt}. В противном случае геометрию многообразия MS(Q, a, Q можно изучать, рассматривая отдельные слои отображения 7rs. Й. Энгель и М. Райнеке получили следующий результат.

Теорема. [19, Theorem 4.1] В случае алгебраически замкнутого поля к для каждого у € M.{Q,a,Q найдётся колчан Q и пара векторов размерностей а, С € о> для которых 7Г"1 (у) = 7т71(0); где через обозначена естественная проекция MS(Q, а, () —> M(Q, а, С).

Аналоги конструкции Райнеке можно рассматривать и в более общей ситуации. Пусть А — некоторая конечномерная алгебра, г — её радикал Джекобсо-на, а п — натуральное число. Пространство представлений Яер(Л, п) допускает стратификацию

Лер(Д n) = [J Rep(>4, n, Т),

Т — полупростой Л-модуль

dim Т^п

где

Rep (A, n, Т) := {М в Rep(v4, п) \ M/vM ^ Т} . Так как проективная накрывающая Р(М) модуля М совпадает с Р(М/гМ), имеем

Rep{А,п,Т) = {М е Rep(An) | Р{М) ^ Р(Т)} . Таким образом, вместо Л-модулей размерности п с заданным фактором по радикалу Т можно рассматривать подмодули в Р(Т), содержащиеся в хР. размерности dim Р(Т) — п, то есть ядра соответствующих проективных накрытий. Однако никакого взаимно однозначного соответствия здесь как правило нет,

так как проективное накрытие модуля (имеется в виду гомоморфизм) определено не однозначно, а с точностью до автоморфизма проективной накрывающей. Тем не менее, если нас интересуют не сами модули, а их классы изомор-

___

физма, то соответствие имеет место. Обозначим через Grn (Р(Т)) грассмани-ан (dim Р(Т) — п)-мерных подмодулей в Р(Т), содержащихся в г Р. К. Бон-гартц и Б. Хьюзген-Циммерман доказали [13, Proposition С], что сопоставление Autа(Р(Т)) ■ С GLn •M задаёт биекцию

А^^(Р(Т))-инвариантные I I GL^-инвариантные подмножества в Grn (Р(Т)) j | подмножества в Rep(/1, п, Т)

переводящую открытые и замкнутые по Зарисскому подмножества в открытые и замкнутые соответственно, сохраняющую замыкания, связность, неприводимость и типы особенностей.

Пусть для простоты А — приведённая расщепимая алгебра, то есть А = kQ/(p) для некоторого колчана Q и набора соотношений р. Пусть, далее, а —

некоторый вектор размерностей. По аналогии с тем, что было проделано выше,

-—А

определяются многообразия Rep(A, а,Т) и GrQ (Р(Т)). Можно показать, что имеет место более тонкая биекция

Аи^(Р(Т))-инвариантные I I GL^-инвариантные I

подмножества в GrQ (Р(Т)) | | подмножества в Яер(Д а, Т) (

обладающая теми же самыми свойствами.

Пусть Q — колчан без ориентированных циклов, а а и ( — два вектора размерностей. Рассмотрим алгебру путей kQ^ расширенного колчана Q*> и простой kQ^-модуль Sqq. Тогда эквивалентность категорий Rep(kQ9 и Rep(Q9 отождествляет Rep(kQc , <Soci) с множеством Reps(Q^, а1*). С другой стороны, мож-

—kQc п

но убедиться (см. раздел 5.1), что Grai (I00) = Gr^(J), где J — инъективное представление из [31, Proposition 3.9]. Так как Autgç(/00) = к, мы приходим к выводу, что точки грассманиана Gr^(J) соответствуют классам изоморфизма

представлений с цоколем то есть в конечном итоге классам изоморфизма стабильных оснащённых представлений (3 с векторами размерностей а и (. Таким образом, мы приходим к уже упомянутому результату М. Райнеке.

Рассматриваемые многообразия можно подвергнуть и дальнейшему разбиению. Подробную информацию об иерархии разбиений пространства представлений и отвечающих им грассманианов можно найти в работе [23]. Страты самого нижнего уровня параметризуются скелетами. Скелеты модулей над конечномерными алгебрами впервые рассматривались в работе К. Бонгартца и Б. Хьюсген-Циммерманн [21], хотя своё название они получили в дальнейших работах Б. Хьюсген-Циммерманн (см. [22], [23]). Кроме того, М. Райнеке, хотя и не употреблял термина "скелет", рассматривал аналогичные объекты для представлений колчанов в работе [19].

Понятие скелета можно определить следующим образом. Пусть М — некоторый Л-модуль, а д : Р -» М — его проективное накрытие. Рассмотрим разложение Р = фг€д0 тгьгРг, где Рг — попарно неизоморфные неразложимые проективные А-модули. Так как каждый из Рг есть прямое слагаемое алгебры путей к<3, в нём есть базис, состоящий из образов путей в колчане ф. Выберем некоторый набор Е представителей классов вычетов элементов этого базиса в алгебре к(3-Нетрудно показать, что базис и набор Е могут быть выбраны таким образом, чтобы для каждого пути т и стрелки а Е выполнялась импликация

ат 6 Е т 6 Е.

Очевидно, что Е - Цє0 Ег, где Ег — базис Рг как прямого слагаемого алгебры А. Нам удобно будет ввести в разложение для Р дополнительные верхние индексы, переписав его в виде Р = 0гедо

г Рг . Обозначим, кроме того, через ЕР формальное дизъюнктное объединение |_|г€<2о ЦГ=1 ^г^' ОчевиДн°! чт0

Ер задаёт некоторый базис модуля Р. Можно доказать, что в Ер найдётся подмножество 6, для которого д : span{©} —> М является изоморфизмом. Такое подмножество называется скелетом модуля М. Отметим, что у одного модуля может быть несколько скелетов. Вектором размерностей скелета 6 можно назвать вектор размерностей любого модуля с этим скелетом.

Из определения ясно, что все модули с данным скелетом имеют не только один и тот же вектор размерностей, но и одно и то же проективное накрытие (или, что то же самое, один и тот же фактор по радикалу). Иными словами, каждому скелету отвечает некоторый полупростой Л-модуль Т. Обозначим через Ska(T) множество всех скелетов с вектором размерностей а, которым отвечает Т. Тогда

Rep(Aa,T)= (J Яер(Л.б),

SeSka(T)

где Rep(v4, 6) = {М £ Rep (А) \ & является скелетом М}. Нетрудно убедиться, что каждое из подмножеств Rep(A, 6) открыто в Rep(A, а, Т).

Б. Хьюсген-Циммерманн в работах [22] и [23] показала, что все Rep (А, 6) являются аффинными многообразиями; более того, она указала явный способ задания их уравнениями в аффинном пространстве. В свою очередь, М. Рай-неке с помощью этих множеств построил [19, Section 7] клеточное разбиение пространства модулей MS(Q, а, С).

Основные результаты диссертации

Глава 1 диссертации посвящена изучению полуинвариантов 2-представлений колчанов, то есть представлений с вектором размерностей (2,2.... ,2). Основным результатом является описание порождающих алгебры полуинвариантов в духе теоремы Прочези-Размыслова.

Матрицей, присоединенной к данной квадратной матрице А, будем называть матрицу А, составленную из алгебраических дополнений к элементам Ат. Удобно считать, что матрица, присоединенная к матрице линейного отображения ^ : и V, определяет линейное отображение из V в V. Рассмотрим произвольный колчан С?. Пусть фо — {!>■■• >п} и Яг = {аь • • •; ав}- Колчану ф сопоставим колчан в котором Яо = Яо и (¿1 = {аь ..., а3} и {¿1,..., Ь8], причем кЬг = Ьщ, ¿6г = Представлением колчана (2, ассоциированным с представлением (р) колчана <2, назовем представление с теми же пространствами и отображениями и рь. = фа.. Маршрутом в колчане Я назовем ориентированный цикл в колчане ф. К примеру, любой цикл в — это маршрут. Назовем маршрут простым, если в отвечающем ему ориентированном цикле ни одно ребро не повторяется дважды. След маршрута — это след композиции линейных отображений, идущих по стрелкам соответствующего цикла в колчане С] в ассоциированном представлении.

Основным результатом первой главы является следующая теорема.

Теорема 1.5. [Б1, теорема 2] Для произвольного колчана <3 и вектора размерностей а = (2, 2,..., 2) алгебра полуинвариантов к[11ер(ф, а)]51^ порождена следами простых маршрутов.

В разделах 1.1 и 1.2 выводится формула, выражающая определитель 2-блочной матрицы через следы ассоциированных с ней маршрутов. Раздел 1.3 посвящен доказательству теоремы 1.5.

Препринт нашей работы, появившийся в 2009 г., стимулировал дальнейшие исследования в этой области. Так, в 2010 г. А. А. Лопатиным [25] было получено аналогичное описание минимальной системы порождающих алгебры полуинвариантов колчана для векторов размерностей, состоящих из единиц и двоек, над произвольным бесконечным полем.

Полученные сведения о порождающих алгебры полуинвариантов могут быть использованы для обобщения конструкции Кинга в духе работы [9].

Глава 2 диссертации посвящена построению явной реализации пространства модулей оснащённых представлений конечномерных алгебр.

Поясним, что имеется в виду под оснащёнными представлениями алгебр. Как было отмечено выше, множество а-мерных представлений конечномерной (приведённой расщепимой) алгебры А реализуется как замкнутое по Зарисскому подмногообразие Rep (А, а) в Rep(Q,a), где Q — Q{A) — колчан алгебры А. Пусть ( — дополнительный вектор размерностей. Как обычно зафиксируем набор векторных пространств v — (vi)i6q0 размерностей Мы можем определить многообразие Rep(A а, () оснащённых представлений алгебры А как подмножество

Rep(A а) ф 0 Homk(kQi, kCi) С

г€<2о

С Rep(Q, а)®0 Homk(kQ<, kCi) = Rep(Q, a, C).

ieQo

Элементы этого множества мы будем понимать как пары (М, /), где М — семерное представление алгебры а, а / = (/* : mi —> vj) — набор линейных отображений.

Условие стабильности определяется точно так же, как и для колчанов. А именно, пару (М, /) назовём стабильной, если никакой собственный ненулевой Л-подмодуль N С N не лежит в кег/. Нетрудно показать, что множество Rep5(А, а, С) стабильных оснащённых представлений алгебры А допускает геометрический фактор

причём факторпространство является проективным многообразием.

Теорема 2.5. [D3, теорема 4.3] Для конечномерной алгебры А и пары векторов размерностей а и £ найдётся инъективный А-моду ль J, для которого имеет место изоморфизм алгебраических многообразий

где Gri{J) — грассманиан а-мерных А-подмодулей модуля J.

Вместе с результатом Й. Энгеля и М. Райнеке [19, Theorem 4.1], это даёт следующее

Следствие 2.13. [D3, следствие 4.11] Пусть к — С. Тогда для каждой точки у Є Rep(Q,a)//GL(a) найдётся конечномерная алгебра А, инъективный А-модуль J и вектор размерностей 0 Є для которых тг~\у) * Grj{J).

Глава 3 посвящена изучению слоёв морфизма факторизации

тг, : MS(Q, а, С) ->M(Q, а)

для колчанов с ориентированными циклами специального вида.

В этой ситуации также удаётся построить представление J, аналогичное предложенному Райнеке для оснащённых представлений колчанов без ориентированных циклов. Более того, существует естественная биекция между точками пространства модулей A/is(Q, а, () и точками грассманиана подпредставлений Gr^( J). Однако модуль J на этот раз бесконечномерен, так что указанный выше грассманиан не обладает никакой очевидной структурой алгебраического многообразия и биекция в него никак не характеризует пространство модулей. Можно ограничиться рассмотрением слоёв проекции -ks : M.S(Q, а, С) —> M-{Q, а).

Назовём колчан Q колчаном с последовательными циклами, если любые два ориентированных цикла в Q, имеющие общую вершину, являются степенями одного и того же цикла. Основным результатом главы 3 является следующая теорема.

Теорема 3.16. [D3, теорема 7.1] Пусть Q — колчан с последовательными циклами. Пусть также а. и £ — два вектора размерностей, а у — точка в Speck[Rep(Q, a, C)]GL^- Тогда найдётся колчан Q*, вектор размерностей а Є и конечномерное представление W* колчана Qдля которого

Tr-\y)//GL(a) = Gvk5Q\w+).

Этот подход, в отличие от подхода Й. Энгеля и М. Райнеке в статье [19], работает лишь для ограниченного класса колчанов, но для любого бесконечного поля к. Отметим, что результаты Й. Энгеля и М. Райнеке не могут быть обобщены на случай алгебраически незамкнутного поля (контрпример для к = К. приведён в разделе 3.3).

В главе 4 рассматривается наиболее общая ситуация. Поскольку не представляется возможным предъявить полный список полупростых представлений произвольного колчана, а используемая в главе 3 техника существенным образом использует данные о таком представлении, описать слои проекции 7г5 удаётся только для колчанов с последовательными циклами. Тем не менее, возможно построить явное вложение фактора.

Наша конструкция основывается на следующем соображении. Каков бы ни был колчан С}, по следствию 3.3 каждому стабильному оснащённому представлению (М, /) € 11ер(д, а, С) отвечает вложение Ф(м,/) М ^ 3 ъ некоторое представление 3 колчана С}, зависящее только от вектора размерностей С- Если в колчане ф есть ориентированные циклы, представление </ может быть бесконечномерным, и, соответственно, морфизм Ф(м,/) запишется матрицами с бесконечным числом строк. При этом исходная пара (М, /) может быть восстановлена по композиции морфизма Ф(м,/) и проекции 7 на некоторое его конечномерное (Зо-градуированное подпространство 3. Структуры представления оно уже не несёт, но это позволяет нам реализовать пространство модулей Л^ф, а, £) как локально замкнутое подмногообразие в произведении классических грассмани-анов. С помощью дальнейшей редукции можно получить и более экономное вложение ЛЛ3(С},а.Х) в проективное пространство.

Основным инструментом здесь становятся 3-скелеты оснащённых представлений. Это понятие является частично упрощённой версией понятия скелета

модуля. Назовём абстрактным J-скелетом набор путей © в колчане Qс концом в вершине оо, удовлетворящий следующему условию: если та & <5 для некоторого пути т ф воо и стрелки а £ Qi, то т £ 6. Для г £ Qo обозначим &i := {т £ 6 | ¿(т) = г}. Кроме того, положим dim© := (|©i|,..., |©п|) (где п = IQol)- Пусть теперь (М, /) £ Rep(Q, а, С) — оснащённое представление, а 6 — абстрактный J-скелет. Если в путь т £ © подставить матрицы отображений /г, г е Qo, и Ма, а £ Qi, то мы получим строку шт. Мы будем говорить, что © является J-скелетом пары (М, /), если dim© = а и для каждого г € Qo ранг набора векторов {тТ | т £ ©¿} С kai равен оц.

Результаты главы 4 объединены в следующей теореме.

Теорема 4.8. [D2, теорема 4.5] Во введённых выше обозначениях

(1) имеем

Reps(Q,a,C)= U

© — J-скелет

dim6=a

где Х{&) — открытые по Зарисскому подмножества в Reps(Q, а, причём Х(<3) = GL(a) х AN для некоторого натурального N, а ограничение на Х(<5) морфизма факторизации есть проекция на второй сомножитель. В частности,

Ms(Q,a, 0= U *(©)//GL(a)

© — J-скелет dimS=a

является покрытием открытыми подмножествами, изоморфными аффинному пространству;

(2) пространство модулей A4S(Q, а, () изоморфно локально замкнутому подмногообразию в Gra( J) := Y[i€Q0 Grai(«/j);

(3) каждая из проекций

тге : Х{в) ^ GL(a) х AN AN ^ Х(&)// GL(a)

допускает сечение й© : с (Е, с). Таким образом, каждая пара (М, /) 6 Ыерв((2, а, С) обладает конечным набором нормальных форм

Этот результат верен над любым полем к. Кроме того, наша конструкция предоставляет алгоритм, определяющий, изоморфны ли два заданных оснащённых представления. Отметим, что указанные выше нормальные формы, равно как и вложение фактора строятся алгоритмически и способ их получения может быть легко реализован в виде компьютерной программы.

Пусть теперь О, — это колчан Ья с одной вершиной и д петлями. Тогда оснащённые представления с векторами размерностей а — (т) и ( = (&;) — это наборы из д операторов и к линейных функций на т-мерном векторном пространстве. При этом набор (а\,..., а9, /1,..., Д) является стабильным тогда и только тогда, когда никакое общее инвариантное пространство операторов аг не содержится в пересечении ядер функций /г. Из пункта (3) теоремы 4.8 следует возможность полной классификации стабильных наборов операторов и линейных функций. Более того, ответ может быть получен как в виде конечного набора нормальных форм, так и путём предъявления классифицирующего многообразия. В разделе 4.3 приводятся примеры работы классификационных алгоритмов.

Определения и обозначения

Путь в колчане С} — это один из символов ег, г 6 С}о, или формальное произведение стрелок а\ ■ ... ■ ак, в котором ¿(аг) = /г(аг+1) для всех г = 1,..., к — 1. Для пути т = а\ ■ ... ■ ак обозначим ¿(т) = 1{ак) и /г(т) = /1(01). Положим также к(ег) = £(ег) = г Кроме того, запись "г : г ]" означает, что ¿(г) = г, а /г(т) = ]. Последовательные пути можно перемножать по следующему естественному правилу: если /г(т) = t(a), то произведение а ■ т определяется как

конкатенация этих путей. Символы e¿ следует рассматривать как пути нулевой длины; иными словами, е? = e¿ для всех i Е Qo и г = ге^т) = ецт^т для каждого пути т. Алгеброй путей колчана Q называется ассоциативная алгебра кQ, порождённая всевозможными путями в этом колчане.

Каждый колчан обладает следующими тремя семействами представлений.

• Неприводимые представления 5¿, i G Qo, для которых

_ I К при i = j, {Jt)j — <

I 0, иначе,

а вдоль всех стрелок идут нулевые отображений.

• Проективные представления P¿, i G Qo, для которых (Pi)j определяется как линейная оболочка путей, ведущих из г-й вершины в j-ю (для колчанов с ориентированными циклами эти представления могут быть бесконечномерными), а отображение (P¿)a> а £ Qi, на базисе (P¿)ta определяется как т от.

• Инъективные представления г G Qo- Компонента (/¿)_j определяется как пространство, двойственное к линейной оболочке путей, ведущих из j-й вершины в г-ю (для колчанов с ориентированными циклами эти представления не обязаны быть даже счётномерными), а отображения вдоль стрелок определяются следующим образом: ((1{)а/)(т) = /(ат) для каждого элемента / G (/¿)ío и пути г : ha j.

Пусть линейная редуктивная группа G действует на аффинном многообразии X. Говоря о категорном факторе для данного действия, мы имеем в виду следующую его реализацию. Рассмотрим алгебру k[X]G, элементами которой являются G-инвариантные полиномиальные функции на многообразии X. По теореме Гильберта об инвариантах [1, теорема 3.5] эта алгебра конечно порождена. Следовательно, естественное вложение kpí]G ^ к[Х] индуцирует двойственный морфизм 7Г : X —> X//G := Speckpí]G, называемый морфизмом

факторизации. В явном виде его можно построить следующим образом. Пусть /ъ • • • 5 /лг — порождающие алгебры инвариантов. Тогда искомым морфизмом является отображение

тг : XА",

причём Х//С в этом случае отождествляется с образом 7г, который всегда замкнут [1, теорема 4.6]. Если слои 7г — это в точности орбиты, фактор называется геометрическим и обозначается Х/С.

Для представления N колчана ф обозначим через Ог^Л/') грассмани-ан а-мерных подпредставлений представления V, то есть подмножество в ПЙ0!1 состоящее ИЗ ТаКИХ наборов {иг С Л^)г€д0, для которых А^а(^о) С

и^л для всех а £

Благодарности

Я благодарю своего научного руководителя доктора физико-математических наук, доцента Ивана Владимировича Аржанцева за постановку задачи и постоянное внимание к работе. Я также хочу поблагодарить профессора Эрнеста Борисовича Винберга, доцента Дмитрия Андреевича Тимашёва, Матиаса До-мокоса и Маркуса Райнеке за полезные обсуждения. Благодарю заведующего кафедрой высшей алгебры, доктора физико-математических наук, профессора Виктора Николаевича Латышева и всех сотрудников кафедры за творческую атмосферу, которая способствует научной работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Федотов, Станислав Николаевич, 2013 год

Литература

[1] Э. Б. Винберг, В. Л. Попов, Теория инвариантов, Итоги науки и техн. Сер. соврем, пробл. мат. Фундам. направл. — Т. 55. — ВИНИТИ, 1989, 137-309

[2] Ю. А. Дрозд, В. В. Кириченко, Конечномерные алгебры, Издательство при Киевском государственном университете издательского объединения «Вища Школа», Киев, 1960, 192 стр

[3] А. Н. Зубков, Теорема Размыслова-Прочези для представлений колчанов, Фундам. прикл. матем., 7:2, 2001, 387-421

[4] А. И. Кокорин, В. И. Мартьянов, Универсальные расширенные теории, МНТ сб. Алгебра, Иркутск, 1973, 107-113

[5] X. Крафт, Геометрические методы в теории инвариантов, М. "Мир", 1987

[6] JI. А. Назарова, Представления колчанов бесконечного типа, Изв. АН СССР. Сер. мат., 37, 1973, 752-791

[7] В. Л. Попов, Две орбиты: когда одна лежит в замыкании другой?, Многомерная алгебраическая геометрия, Сборник статей. Посвящается памяти члена-корреспондента РАН В. А. Исковских, Тр. МИАН, 264, 2009, 152-164

[8] Ю. П. Размыслов, Тождества со следом полных матричных алгебр над полем характеристики нуль, Изв. АН СССР. Сер. матем., 38:4, 1974, 723-756

[9] I.V. Arzhantsev, J. Hausen Geometrie Invariant Theory via Cox rings, J. Pure Appl. Algebra, 213, 2009, no.l, 154-172

[10] M. Auslander, I. Reiten, S. O. Smal0, Representation Theory of Artin Algebras, Cambridge Studies in Advanced Math., 36, Cambridge University Press, 1995.

11] W. Baur, Decidability and undecidability of theories of abelian groups with predicates for subgroups, Compositio Math. 31, 1975, 23-30

12] K. Bongartz, A geometric version of the Morita equivalence, J. Algebra, 139, 1991, 159-171

13] K. Bongartz, B. Huisgen-Zimmermann, Varieties of uniserial representations IV. Kinship to geometric quotients, Trans. Amer. Math. Soc. 353, 2001, 20912113

14] P. Caldero, M. Reineke, On the quiver Grassmannian in the acyclic case, J. Pure Appl. Algebra, 212, 2008, no. 1, pp 2369-2380

15] H. Derksen, J. Weyman Semi-invariants of quivers and saturation for Littlewood-Richardson coefficients, J. Amer. Math. Soc., 13, 2000, no. 3, 467-479

16] M. Domokos, A.N. Zubkov, Semi-invariants of quivers as determinants, Transformation Groups, 6, 2001, no. 1, 9-24

17] S. Donkin, Polynomial invariants of representations of quivers, Comment. Math. Helv., 69, 1994, no.l, 137-141

18] P. Donovan, M. R. Freislich, The representation theory of finite graphs and associated algebras, Carleton Lecture Notes, 5, Ottawa, 1973

19] J. Engel, M. Reineke, Smooth models of quiver modui, Math. Z., 262, 2009, 817-848

20] P. Gabriel, Unzerlegbare Darstellungen I, Manuscr. Math., 6, 1972, 71-103

21] B. Huisgen-Zimmermann, The phantom menace in representation theory, in Algebra and its Applications (Athens, Ohio 1999) (D. Van Huynh, S. K. Jain, and S. R. Lopez-Permouth, eds.), Contemporary Mathematics 259, Amer. Math. Soc., Providence, 2000, 247-278

[22] B. Huisgen-Zimmermann, Classifying representations by way of Grassmannians, Trans. Amer. Math. Soc., 359, 2007, 2687-2719

[23] B. Huisgen-Zimmermann, A hierarchy of parametrizing varieties for representations, Contemporary Mathematics, 480, 2009, 207-239

[24] A. D. King, Moduli of representations of finite-dimensional algebras, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 45(180), 1994, 515-530

[25] A. A. Lopatin, Minimal generating set for semi-invariants of quivers of dimension two, Linear Algebra Appl, 434:8, 2011, 1920-1944

[26] L. Le Bruyn, C. Procesi, Semisimple representations of quivers, Trans. Amer. Math. Soc., 317, 1990, no. 2, 585-598

[27] D. Luna, Slices étales, Sur les groupes algebriques, Bull. Soc. Math. France, Mémoire 33, 1973, 81IJ105

[28] D. Mumford, J. Fogarty, F. Kirwan, Geometric Invariant Theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2). Springer, Berlin, 1994

[29] H. Nakajima, Varieties associated with quivers, in: Representation Theory of Algebras and Related Topics, Mexico City, 1994, in: CMS Conf. Proc., vol. 19, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1996, 139-157

[30] C. Procesi, The invariant theory ofnxn matrices, Adv. Math., 19, 1976, 306-381

[31] M. Reineke, Framed quiver moduli, cohomology, and quantum groups, J. Algebra, 320, 2008, no. 1, 94-115

[32] A. Rudakov, Stability for an abelian category, J. Algebra, 197, 1997, no. 1, 231245

[33] A. Schofield, M. Van den Bergh, Semi-invariants of quivers for arbitrary dimension vectors, Indag. Math. (N.S.) 12, 2001, 125-138

Публикации автора по теме диссертации [Б1] С. Н. Федотов, Полуинварианты 2-представлений колшнов, Матем. заметки, 92:1, 2012, 106-115

[Б2] С. Н. Федотов, Пространства модулей оснащённых представлений и наборы операторов, Фундам. прикл. матем., 17:5, 2012, 187-209

рЗ] С. Н. Федотов, Оснащенные представления и грассманианы подпред-ставлений, депонировано в ВИНИТИ РАН, №416-В2012 от 14.11.2012, 34 стр.