Геометрия и комбинаторика комплексов подслов и двойственных им многогранников тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Горский, Михаил Александрович

• Горский, Михаил Александрович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Горский, Михаил Александрович

Оглавление

1. Введение

1.1. Благодарности

2. Предварительные сведения

2.1. Подразбиения ребер и 2—срезки

2.2. Группы Коксетера

2.3. 0-моноид Гекке

2.4. Колчаны

2.5. Комплексы под слов

3. Комплексы подслов и движения в 0-моноиде Гекке

3.1. Движения кос и подразбиения рёбер

3.2. Геометрия ниль-движений

4. Гнездящиеся пары кручения, кластерные комплексы стабильности и ассоциаэдры стабильности

4.1. ' Пары кручения

4.2. Функции стабильности

4.3. Гнездящиеся семейства пар кручения и кластерные комплексы стабильности

4.4. Ассоциаэдры стабильности

5. Тождества на квантовый дилогарифм

5.1. Квантовые аффинные пространства и тождества Райнеке

5.2. Колчан Кронекера

5.3. Инвариант Дональдсона-Томаса для колчанов с потенциалом

5.4. Примеры

5.5. Зелёные мутации и максимальные зелёные последовательности

6. Многогранники покрытий, нестоэдры и обобщённые ассоциаэдры

6.1. Покрытия и производящие множества

6.2. Кольцо выпуклых многогранников и покрытия

6.3. Ассоциаэдры стабильности типа Ап и нестоэдры

6.4. Обобщённые ассоциаэдры серии В и многогранники покрытий

7. Обобщённые ассоциаэдры, триангуляции многоугольников и

срезки куба

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрия и комбинаторика комплексов подслов и двойственных им многогранников»

1. Введение

Важнейшими объектами изучения в классических и современных разделах геометрии и перечислительной комбинаторики являются симплициальные комплексы и выпуклые многогранники. Наиболее интересные из них допускают одну или несколько интерпретаций в других областях математики: например, в алгебраической комбинаторике, в теории представлений или в алгебраической геометрии. Ярчайшим примером такого рода является серия ассоциаэдров, или многогранников Сташефа (в каждой размерности есть один такой многогранник). Число вершин п—мерного ассоциаэдра является (n + 1)—м числом Каталана. Эти числа нумеруют более сотни математических объектов различной природы, от триангуляций выпуклого (п + 3)—угольника до неразложимых представлений колчана типа Лп, см. [Stan]. Кроме того, многогранник Сташефа двойственен кластерному комплексу кластерной алгебры типа Лп, а отвечающее ему торическое многообразие тесно связано с компактификацией Делиня-Мамфорда Мо;П+з пространства модулей стабильных кривых на сфере с (п + 3) отмеченными точками.

В последние годы были введены различные обобщения многогранников Сташефа, такие как нестоэдры, граф-ассоциэдры и обобщённые ассоциаэдры. В работе [CLS] С. Чебальос, Ж.-Ф. Лаббе и К. Штумп показали, что двойственные обобщённым ассоциаэдрам комплексы являются частным случаем более широкого класса комплексов подслое. Последние были введены в 2004 году А.Кнутсоном и Э.Миллером. Данная диссертация посвящена исследованию различных комбинаторных и геометрических свойств комплексов под слов, а также интерпретаций этих свойств в терминах торической геометрии и теории представлений.

Изначально комплексы подслов были введены в контексте многочленов Шуберта и матричных многообразий Шуберта. Вскоре было замечено, что они представляют интерес с точки зрения комбинаторики групп Коксетера. Ком-

плекс подслов задаётся парой (Q, 7г), где Q - слово в алфавите простых отражений, 7г - элемент группы Коксетера W. Симплексы комплекса отвечают под словам слова Q, чьи дополнения в Q содержат приведённые выражения 7г. Аксиома обмена для групп Коксетера соответствует в этом контексте переходу между двумя граничащими максимальными симплексами. В [КМ1] было показано, что комплексы подслов вершинно разложимы и, следовательно, расшелушиваемы (англ. "shellable"). Этот результат приводит к новому доказательству (и новой интерпретации) свойства Коэна-Маколея матричных многообразий Шуберта и обычных многообразий Шуберта, см. [КМ1]. Используя расшелушиваемость, в [КМ2] Кнутсон и Миллер доказали, что произвольный комплекс подслов гомео-морфен либо сфере, либо шару. Они также показали, что комплекс сферичен тогда и только тогда, когда произведение Демазюра <5(Q) слова Q равно р. Это произведение может быть определено как единственное приведённое выражение Q в 0-моноиде Гекке, соответствующем группе W. Кнутсон и Миллер также описали кольца Стэнли-Райснера комплексов подслов.

Для сферического комплекса подслов естественно встает вопрос, является ли он полярно двойственным некоторому простому многограннику. Ответ на этот вопрос в общем случае на данный момент неизвестен, но в некоторых случаях многогранная реализация была построена. Самая общая конструкция принадлежит В. Пило и К. Штумпу [PS], которые назвали эти многогранники кирпичными. Они были названы так благодаря красивому описанию комбинаторики подслов в типе Лп в терминах наборов псевдо-прямых. Для специального класса слов комплексы подслов оказываются изоморфными кластерным комплексам, введённым C.B. Фоминым и A.B. Зелевинским [FZ3]. Более того, некоторые важные объекты теории кластерных алгебр, такие, как с—векторы, могут быть описаны с помощью естественных геометрических реализаций этих комплексов подслов и их вееров [CLS]. Один из классов комплексов подслов называется мульти-кластерными комплексами. Многие свойства категории представлений соответствующего колчана имеют естественную интерпретацию в терминах

комбинаторики этих комплексов, см. [СЬЭ].

Естественным является следующий вопрос: если даны два слова С^ и выражающие один и тот же элемент группы У/ или связанного с ней 0-моноида Гекке, что можно сказать об отношении между соответствующими комплексами подслов Ах и Д2? В диссертации даётся частичный ответ на этот вопрос. Для С^ и связанных ровно одним движением кос, мы явно описываем, какие симплексы должны быть удалены из Ах и какие должны быть добавлены, чтобы получить А2. К сожалению, в общем случае многие симплексы могут быть посчитаны несколько раз. Поэтому этот результат, будучи конструктивным, не может быть непосредственно применён для вычисления перечисляющих полиномов и не отражает картину достаточно точно. Тем не менее, при некоторых условиях мы доказываем, что эта операция является не чем иным, как композицией подразбиений рёбер и обратных подразбиений рёбер, которая может быть просто описана. В частности, этот результат верен для любой пары слов, связанных движением кос, в случае просто вложенной группы Коксетера. Мы также даём двойственный результат в терминах многогранников; подразбиения ребер заменяются на срезки (или усечения) граней коразмерности 2, или просто на 2—усечения.

2—усечения привлекли внимание учёных в последние годы благодаря тому, что это единственные усечения граней, сохраняющие флаговость многогранников. Простой многогранник называется флаговым, если любое множество попарно непересекающихся граней имеет непустое пересечение. Простейшим примером п—мерного флагового многогранника является п—мерный куб. В связи с этим в работах В.М. Вухштабера и В.Д. Володина был введён класс 2—усечённых кубов, т.е. многогранников, которые могут быть получены из куба фиксированной размерности последовательностью 2—усечений. Этот класс оказался очень интересным. В частности, он содержит все флаговые нестоэдры, граф-ассоциаэдры и граф-кубиэдры; детали могут быть найдены в [ВУ]. Более того, для 2—усечённых кубов Володиным [В1] было доказано утверждение гипо-

тезы С. Гала. С каждым симплициальным комплексом, гомеоморфным сфере, связывается так называемый 7—полином, чьи коэффициенты являются некоторыми линейными комбинациями чисел Д симплексов размерности к. Гипотеза Гала утверждает, что все коэффициенты 7—полинома произвольного флагового сферического симплициального комплекса неотрицательны. 7—полином флагового простого многогранника совпадает с 7—полиномом его нерв-комплекса, поэтому гипотеза имеет смысл и для флаговых многогранников. Тот же результат, но в двойственных терминах подразбиений рёбер, был получен Н. Айсбетт [Ai]. Наши главные результаты дают новую интерпретацию 2—усечений и подразбиений ребер в очень естественных комбинаторных терминах; действительно, мы видим, что в некоторых случаях эти операции соответствуют в точности движениям кос в системах Коксетера.

Кирпичные многогранники Пило-Штумпа являются многогранниками Дельзанта. Каждый такой многогранник является образом при отображении моментов некоторого гамильтонова торического многообразия. 2—усечения многогранников индуцируют раздутия торических многообразий. Таким образом, движения кос отвечают раздутиям некоторых торических многообразий. В недавней работе Л. Эскобар [Es] изучаются торические многообразия, соответствующие кирпичным многогранникам, и потому названные кирпичными многообразиями. Эскобар доказывает, что некоторые кирпичные многообразия являются разрешениями особых многообразий Ричардсона, т.е. пересечений страт в двух противоположных стратификациях многообразия флагов. В работе Б. Леклерка [Lee] на подалгебре алгебры однородных координат на произвольном (открытом) многообразии Ричардсона строится структура кластерной алгебры. Мы предполагаем, что эти две конструкции непосредственно связаны; а именно, линк некоторого симплекса в соответствующем комплексе под слов является подкомплексом кластерного комплекса этой алгебры.

Мы описываем также преобразования комплексов подслов, индуцированные ниль-движениями слова Q в 0-моноиде Гекке группы W и двойственными

операциями. Первое преобразование является обычным взятием максимального симплекса в комплексе, в то время как второе является композицией надстройки и, в некоторых случаях, последующего обратного подразбиения рёбер. Мы проверяем также, что оба этих преобразования сохраняют многогранность, и описываем соответствующие трансформации двойственных многогранников. Для каждого слова можно определить его произведение Демазюра ко-

торое отвечает произведению в 0-моноиде. Наши результаты и свойство слов в группах Коксетера дают алгоритм получения комплекса п) из комплекса Д(£((3),7г) описанными выше преобразованиями. Первый комплекс является сферическим тогда и только тогда, когда последний является (-1)-сферой. Мы надеемся, что наши конструкции помогут продвинуться в исследовании общей проблемы многогранности комплексов подслов.

Мы применяем результат о движениях кос к комплексам подслов вида Д(с\\г0;ги0), где с - приведённое выражение элемента Коксетера, \у0 - произвольное приведённое выражение самого длинного элемента ги0. Эти комплексы допускают реализацию кирпичными многогранниками Пило-Штумпа, которые мы будем обозначать В(с и>0). Мы показываем, что все комплексы такого вида и, соответственно, двойственные им многогранники, являются флаговыми. Чебальос-Лаббе-Штумп [СЬБ] доказали, что комплексы Д(с\\г0(с); ги0), где \\г0(с) - так называемое с—сортирующее слово для ги0, являются кластерными комплексами соответствующего типа. Следовательно, многогранники В (с \у0(с); ъи0) реализуют обобщённые ассоциаэдры типа \¥. Мы показываем, что для любого другого элемента Коксетера с и его приведённого выражения с комплекс Д(с\\г0(с'); гиа) является кластерным для некоторой подгруппы группы И^ а В(с\\г0(с); ги0) реализует соответствующий обобщённый ассоциаэдр. В частности, пусть с-1 обозначает слово с, написанное задом наперёд, тогда В(с"^(с-1); ю0) является (комбинаторным) кубом.

Мы описываем множество граней В (с \у0; гиа) для любых с, вводя понятие (с, XVо) —стабильных положительных корней в системе Ф, соответствующей

группе У/. Мы показываем, что гиперграни В(сш0;«;0) находятся во взаимнооднозначном соответствии с простыми отрицательными и (с, \г0) —стабильными положительными корнями в системе Ф. Поэтому мы называем комплексы Д(с\Уо;ги0) и многогранники В(с\у0;го0) (с—кластерными комплексами стабильности и (с,\у0)—ассоциаэдрами стабильности, соответственно. Обозначим множество стабильных корней за Stab(c, ш0). Главным результатом диссертации является следующая теорема.

Теорема 1.1. Пусть Шо^^ таковы, что Stab(c,Wo) С Stab(c,w'0). Тогда комплекс Д^'0;ш0) получается из комплекса Д(с\у0;и;о) последовательностью подразбиений рёбер. Аналогично, многогранник В(с \у0; ги0) получается из многогранника В(с\у0;ги0) последовательностью 2—усечений.

Отсюда мы получаем

Следствие 1.1. Любой ассоциаэдр стабильности является 2—усеченным кубом и, потому, флаговым. В частности, любой обобщённый ассоциаэдр является 2—усеченным кубом.

Мы доказываем также, что каждый ассоциаэдр стабильности в типе Ап с линейным элементом Коксетера является нестоэдром. Мы формулируем гипотезу, согласно которой каждый кластерный комплекс стабильности является кластерным комплексом некоторой алгебры феномена Лорана, в смысле Т. Лама-П. Пилявского [ЬР]. Последние являются естественным обобщением кластерных алгебр.

Пусть группа IV просто вложена. Выбор элемента Коксетера с эквивалентен выбору ориентации диаграммы Коксетера группы Ж, т.е. задаёт колчан С}. Приведённые выражения для и)0 тесно связаны с дискретными условиями стабильности на категории гер(3 конечномерных представлений <2 и максимальными зелёными последовательностями мутаций ф. Более точно, каждое

приведённое выражение задаёт семейство гнездящихся подкатегорий кручения в герф- Аналогично, каждое дискретное условие стабильности задаёт такое семейство. Ю Кью выдвинул гипотезу о том, что в каждом классе лу0 относительно смены порядка коммутирующих букв существует слово, соответствующее дискретному условию стабильности. Обобщая конструкцию кластерных комплексов стабильности, по каждому семейству гнездящихся подкатегорий кручения в артиновой абелевой категории глобальной размерности 1 мы строим флаговый симплициальный комплекс, равный А(с\?0,и)0) для условия стабильности, соответствующего \г0, на категории представлений С^). Мы доказываем для таких комплексов аналог Теоремы 1.1. По каждому такому семейству в категории представлений ациклического колчана <3 можно построить произведение квантовых дилогарифмов. Глубокий результат Райнеке заключается в том, что это произведение, для колчана ф конечного типа (т.е. ориентации диаграммы Дынкина), не зависит от выбора семейства. Такое произведение называется инвариантом Доналъдсона-Томаса колчана С}. Ю Кью доказал, что все полученные тождества на произведения квантовых дилогарифмов порождаются коммутированием и пентагональным тождеством. Теорему 1.1 и её аналог для произвольных ациклических колчанов можно рассматривать как обобщение результата Кью для условий стабильности с конечным множеством стабильных объектов. Другое обобщение и другая интерпретация были недавно даны М. Энгенхорстом [Еп].

Основные результаты диссертации были опубликованы в статьях [Г1][Г2][ГЗ][Г4].

1.1. Благодарности

Автор хотел бы выразить глубокую признательность своему научному руководителю Виктору Матвеевичу Бухштаберу за постановку задачи, внимание к работе и терпение. Автор благодарен Вадиму Дмитриевичу Володину, Бернарду Келлеру, Ю Кью, Жану-Филиппу Лаббе, Венсану Пило, Сальваторе Стелла,

Хью Томасу, Сергею Владимировичу Фомину и Милену Якимову за полезные дискуссии и ценные советы, без которых не было бы различных частей этой работы.

2. Предварительные сведения

2.1. Подразбиения ребер и 2—срезки

Для симплекса а в симплициальном комплексе X, линк и звезда а - это следующие подкомплексы в X :

LkxO) = {ре Х|ст U ре Х,аПр = 0};

Stx(a) = {peX\(TUpeX}.

Определим подразбиение ребра симплициального комплекса, следуя [Gal]. Эта операция называется также 1—звёздным подразбиением. Определение: Пусть X - симплициальный комплекс. Пусть г/ = {s,t} его ребро. Определим Subí?(X) как симплициальный комплекс, полученный из X бисекцией всех симплексов, содержащих г]. Иначе говоря, пусть г - любая буква вне множества вершин X. Тогда ¿>и{г} является множеством вершин Sub^(X), и .

Sub^píT) = {а\г] <£ a е X} U {a U {г} , a U {г, s} , a U {г, £} |сг е Lkx{rj)} =

= Иг? £ a G X} U {or U {г} \а <Е S StХШ ■

Мы будем говорить, что Sub?7(X) является подразбиением X вдоль г].

Мы будем использовать следующее естественное обобщение этого преобразования.

Определение: Пусть X симплициальный комплекс. Пусть r¡ = {s, его ребро. Определим Sub*(X) как симплициальный комплекс, полученный из X разбиением всех симплексов, содержащих г), на к частей. Иначе говоря, пусть г\,... ,гь - любые к букв вне множества вершин X. Тогда S U {ri,..., r^} является множеством вершин Sub^(X), и

Subjpf) - {а\г) С сг <= X} U {a U {rj , a U {r¿_i, r¿} ,

0-и{гл,*}|г е {1,...,&},сг е Ькх(77)},

где мы кладём го = е. Мы будем говорить, что ЗпЪГ}(Х) является подразбиением X вдоль ту.

Операция А;—подразбиения ребра является, в точности, композицией к последовательных подразбиений рёбер X, где г—ое подразбиение производится вдоль ребра {гг_ 1,£} , с добавлением вершины г^.

Выпуклый многогранник размерности п наывается простым, если любая его вершина принадлежит ровно п гиперграням. Многогранник Р прост тогда и только тогда, когда полярно двойственный ему многогранник Р* является симплициальным, т.е. каждая грань Р* является симплексом. Граница сим-плицального п—мерного многогранника является симплициальным комплексом размерности (п — 1). Для простого многогранника Р мы обозначим через Кр граничный комплекс дР* двойственного многогранника. Он совпадаяет с нервом покрытия дР гипергранями. Иначе говоря, вершины Кр - это гиперграни Р, и набор вершин образует симплекс, как только пересечение соответствующих гиперграней непусто. Мы будем называть Кр нерв-комплексом Р, или говорить, что Кр полярно двойственен Р. Для простых многогранников существует операция, двойственная подразбиению ребра: это срезка грани коразмерности 2, или просто 2—срезка.

Определение: Пусть С - грань коразмерности 2 простого (комбинаторного) многогранника Р. Пусть Кр — дР* - нерв-комплекс Р, и пусть ,/ £ Р* - грань, двойственная С. Мы будем говорить, что многогранник Р такой, что Кр = SuЪJ(Kp), является срезкой Р по грани С. Такой многогранник Р существует и единственен, с точностью до комбинаторного изоморфизма.

Пусть многогранник Р п—мерен. Геометрически, многогранник Р может быть получен из реализации Р её пересечением с новым подпространством Н, таким, что пересечение (п — 1)—мерной плоскости К = дН с дР совпадает с линком грани С в дР. Это означает, что гипергранями Р являются, в точности,

гиперграни Р, и есть одна новая гипергрань К, изоморфная прямому произведению / X G и такая, что Lkр(К) = Lkp(G). Здесь / обозначает отрезок [0,1]. Более подробный разбор 2—срезок и их свойств может быть найден в [BP, BV].

Мы видим, что для нерв-комплекса простого многогранника Р /г—подразбиение ребра двойственно композиции к последовательных 2—срезок Р, причём:

• первая срезка производится по некоторой грани G, новая гипергрань G\ изоморфна / X G;

• (г + 1)—ая срезка производится по грани {1} х G гиперграни Gi, новая гипергрань Gi+1 снова изоморфна I х G.

Простой многогранник Р называется флаговым, если любой набор Pjj,..., Fik попарно пересекающихся граней имеет в нём непустое пересечение. На двойственном языке, симплициальный комплекс X называется флаговым, если любая клика Т во множестве вершин X (т.е., набор вершин, любые две из которых соединены ребром) образует грань X. Легко видеть, что простой многогранник Р является флаговым тогда и только тогда, когда то же верно и для его нерв-комплекса К р. Верен следующий факт, связывающий подразбиения рёбер и 2—срезки со свойством флаговости.

Предложение 2.1 ([Gai, Proposition 2.4.6]) (i) Если симплициальный комплекс является флаговым, то же верно и для любого его подразбиения ребра;

(п) Если простой многогранник является флаговым, то же верно и для любой его 2—срезки.

Определим /— вектор (п — 1)—мерного симплициального комплекса X как f(X) = (/о, /ь ..., /n-i), где fi - количество г—мерных симплексов в X. Положим также /_i = 1. h—вектор h(X) = (/¿о, hi,..., hn) определяется тождеством

h,0sn + M""1 + • - - + hn = (a - If + fo(s - If"1 + ... + fn-1.

Определим H—многочлен X как производящую функцию от двух переменных:

п

H{X)(a,t) = Y,hkctktn~k.

к=1

(Симплициальной) обобщенной гомологической сферой размерности п называется такой симплициальный комплекс, что л инк любого его симплекса а имеет гомологии сферы размерности (п — dimcr). Мы будем опускать индекс, если он будет ясен. Известные соотношения Дена-Соммервиля гласят, что если X является обобщённой гомологической сферой, то H(X)(a,t) симметричен. Следовательно, он может быть записан как многочлен от ai и (а +1) ; обозначим коэффициенты этого многочлена 7о, 7ъ • • ч 7[§] :

H(X)(a,t) = f^lk(at)k(a + t)W-k\ k=1

Определим 7—полином как производящую функцию от одной переменной г :

jfc==i

Положим Я(0) = 7(0) = 0. Гал явно описал, как изменяются коэффициенты Н— и 7—многочленов при подразбиениях рёбер; его результат можно записать следующим образом.

Теорема 2.1 ([Gai, Proposition 2.4.3],[Bl]) (i) H{Su\{X)){a,t) = H(X)(a,t)+ atH(Lkx(rj))(a,t)-

(ii) Если X является обобщённой гомологической сферой,то мы имеем

7(Sub??(X))(r) = 7 (Х)(т) + r7(Lkx W)(r). Этот факт побудил С. Гал а сформулировать следующую гипотезу.

Гипотеза 2.1. Если X является обобщённой гомологической сферой, то все коэффициенты *у(Х) неотрицательны.

Это является обобщением важной гипотезы Черни-Дэвиса [СБ], эквивалентной неотрицательности старшего коэффициента у(Х). Мы видим, что если утверждение Гипотезы 2.1 выполняется для X и для Ькх(^), то оно выполняется и для БиЬ^Х).

2.2. Группы Коксетера

Мы будем рассматривать конечную группу Коксетера \У, действующую на п—мерном евклидовом пространстве V, т.е. конечную группу, порождённую отражениями. Множество отражений в У/ обозначается Я. Коксетеровским набором гиперплоскостей группы IV называется набор всех отражающих гиперплоскостей. Его дополнение в V является объединением открытых полиэдральных конусов. Их дополнения называется камерами. Коксетеровский веер - это полиэдральный веер, образованный камерами вместе со всеми их гранями. Этот веер полон (его конусы покрывают V) и симплициален (все конусы симплициальны). Мы фиксируем произвольную камеру С, которую мы назовём фундаментальной камерой. Простыми отражениями группы IV называются п отражений, ортогональных гиперплоскостям, определяющим гиперграни С. Множество 5 = {йх, ..., йп} С Я простых отражений порождает И7, поэтому выбор 5 эквивалентен выбору С. Пара (Ж; 5) образует систему Коксетера. Для простых отражений Sj € 5, обозначим черех т^ порядок произведения (¿¿б^-) в IV. Группа Коксетера просто вложена, если для любых г, мы имеем Шц е {2,3} . Группа Коксетера задаёт также систему корней Ф - векторов, нормальных к отражающим гиперплоскостям. Простыми корнями называются вектора, нормальные гиперплоскостям фундаментальной камеры и смотрящие внутрь её.

Длина 1(ъи) элемента € У/ - это длина кратчайшего выражения ю в виде произведения образующих из б". Выражение уо = и^г^ .. .и)р с и)\,... ,гпр € Б называется приведённым, если р = 1('ш). Обозначим та самый длинный элемент IV; известно, что он существует и единственен (это верно только для конечных

групп Коксетера).

Мы обозначим через S* множество слов в алфавите S, и пусть е обозначает пустое слово. Мы можем рассматривать S* как свободный моноид на множестве образующих S с конкатенацией в качестве операции. Чтобы избежать путаницы, мы обозначаем печатной буквой s букву алфавита 5, соответствующую отражению s G S. Аналогично, мы используем печатную букву w, чтобы обозначить слово в S*, и курсивную букву w, чтобы обозносить соответствующий элемент группы W. Например, мы пишем w := wi... wp, имея в виду, что слово w G S* образовано буквами wi,..., wp, в то время, как мы пишем w W\... wp, когда хотим сказать, что групповой элемент w G W является произведением простых отражений w\,..., wp.

Есть два типа операций в S*, отражающих структуру группы W. Ниль-дви-жение Коксетера удаляет две одинаковых последовательных буквы Si Si из слова w G S*, для какого-нибудь г. Если w содержит подслово S{ Sj S{ Sj S{... длины Шц, то определено движение кос, преобразующее w в w' заменой si sj si sj sг-... на подслово sj sг- sj Sj sj ... той же длины m^. Заметим, что ни ниль-движение, ни движение кос не меняет групповой элемент w е W, выраженный w . Напомним Свойство Слов, выполненное для любое системы Коксетера (W; S).

Теорема 2.2 ([ВВ, Theorem 3.3.1]) (1) Любое выражение w для w G W может быть преобразовано в приведённое выражение для w последовательностью ниль-движений Коксетера и движений кос.

(2) Любые два приведенных выражения для w могут быть связаны друг с другом последовательностью движений кос.

Элемент Коксетера с - это произведение всех простых отражений в каком-либо порядке. Выберем произвольное приведённое выражение с для с и обозначим w(c) с —сортирующее слово для иг, то есть лексикографически первое (как последовательность позиций) приведённое подслово в с°° = с с с...

для т. В частности, ш0(с) обозначает с—сортирующее слово самого длинного элемент и?0 6 IV.

2.3. 0-моноид Гекке

Каждой конечной группой Коксетера \¥ с системой образующих 5 соответствует свой 0-моноид Гекке. Он порождён множеством X = XI,... ,хп, где Х{ отвечает Si. Отличие с исходной группой состоит в том, что каждая образующая Гекке является идемпотентом, т.е. удовлетворяет соотношению х\ = ж*, в то время как образующие Коксетера являются инволюциями. Иначе говоря, вместо отражений мы рассматриваем проекторы. Кроме того, каждому соотношению кос Коксетера (з^)77^' = е соответствует соотношение кос Гекке вида

гр , гр . гр . - гр . гр . гр .

ъ 2 * • • • ~~~ • ■ • ^

с Шу чередующимися членами в каждой из частей.

Из Свойства Слов (Теорема 2.2) следует, что любое слово в алфавите образующих Гекке может быть приведено последовательностью ниль-движений Гекке х? —> Х{ и движений КОС Х^З/^Х^ ... ) ■ * • • Элемент моноида, выра-

жаемый полученным приведённым словом, не зависит от последовательности движений; он в точности равен произведению букв исходного слово в моноиде. Приведенное слово в образующих Гекке соответствует приведённому слову в образующих Коксетера заменой Х{ на . Для каждого слово С} в алфавите ¿>, определим его произведение Демазюра (или О-произведение Гекке) ¿>(С^) следующим образом: мы заменяем все буквы на гг», приводим результат к произведению букв (в моноиде), заменяем все Х{ обратно на и рассматриваем результат как элемент V/. Приведённые выше аргументы показывают, что это определение корректно. Известно (и нетрудно проверить), что содержит приведённое выражение для некоторого элемента группы р е IV тогда и только тогда, когда какое-нибудь приведённое выражение содержит приведённое выражение р.

2.4. Колчаны

Колчаном называют также ориентированный граф (2, иначе говоря, четвёрку Здесь $ о - множество вершин графа, х - множество стрелок (ориентированных рёбер), я : <^1 —> и £ : Яг > Фо отображают стрелку в её начало и в сё конец, соответственно.

3

1 } 2

Петлёй называется стрелка, чей конец совпадает с началом; 2-циклом - пара стрелок а ф ¡3 таких, что в (а) = ¿(/3) и «(/?) = 1(а). Колчан конечен, если конечны и фо) и <5х.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Горский, Михаил Александрович, 2014 год

Список литературы

Б. В. М. Бухштабер. Кольцо простых многогранников и дифференциальные уравнения, Геометрия, топология и математическая физика. I, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Сергея Петровича Новикова, Тр. МИАН, 263, МАИК, М., 2008, 18-43.

БК. В. М. Бухштабер, Е. В. Корицкая. Квазилинейное уравнение Бюргер-са-Хопфа и многогранники Сташефа, Функц. анализ и его прил., 41: 3 (2007), 34-47.

БВ. В. Бухштабер, В. Володин, Точные верхние и нижние границы для несто-эдров, Изв. РАН. Сер. матем., 75:6 (2011), 17-46.

БП. В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов. Торические действия в топологии и комбинаторике, МЦНМО, М., 2004.

В1. В.Д. Володин, Кубические реализации флаговых нестоэдров и доказательство гипотезы Гала для них, Успехи Мат. Наук 65:1(391) (2010), 183-184.

'В2. В.Д. Володин, Геометрическая реализация 7—векторов 2—усечённых кубов, Успехи Мат. Наук 67:3(405) (2012), 181-182.

Г1. М.А. Горский, Комплексы подслое и ниль-движения Гекке, Моделирование и Анализ Информационных Систем 20:6 (2013), 121-128.

Г2. М. А. Горский, Доказательство гипотезы Гала для обобщенных ассоциа-эдров серии D, УМН, 65:6(396) (2010), 185-186

ГЗ. М.А. Горский, Комплексы подслое и подразбиения рёбер, Труды МИАН, 286 (2014).

Г4. М.А. Горский, Комплексы подслое и 2-усечённые кубы, УМН, 69:3(416) (2014).

Д. В. И. Данилов. Геометрия торических многообразий, УМН, 33:2(200) (1978), 85-134.

Ai. N. Aisbett, gamma-vectors of edge subdivisions of the boundary of the cross polytope, preprint, arXiv: 1209.1789.

As. I. Assem, Tilting theory — an introduction, Topics in algebra, Part 1 (Warszawa, Poland, 1988), ed. by S. Balcerzyk et al., Banach Center Publ. 26 (1990), 127-180.

Bl. T. Bridgeland. Stability conditions on triangulated categories, Ann. of Math. (2) 166 (2007), no. 2, 317-345.

B2. T. Bridgeland. Spaces of stability conditions, Algebraic Geometry-Seattle 2005. Part 1, 1—21, Proc. Sympos. Pure Math., 80, Part 1, Amer. Math. Soc., Providence, RI. (2009)

BB. A. Bjôrner, F. Brenti, Combinatorics of Coxeter groups, Graduate Texts in Mathematics 231, Springer, 2005.

BDP. Thomas Briistle, Grégoire Dupont, Matthieu Pérotin, On Maximal green sequences, Int. Math. Res. Not., 2014:16 (2014), 4547-4586.

BKT. P. Baumann, J. Kamnitzer, P. Tingley. Affine Mircovic-Vilonen polytopes, to appear in Publ. IHES.

BIRS. A. B. Buan, O. Iyama, I. Reiten, and J. Scott, Cluster structures for 2-Calabi-Yau categories and unipotent groups, Compos. Math. 145 (2009), no. 4, 1035-1079.

BIMa. R. Blind and P. Mani. On puzzles and polytope isomorphism, Aequationes Math., 34 (1987), 287-297.

BuMi. A.S. Buch and L.C. Mihalcea, Curve neighborhoods of Schubert varieties, preprint, arXiv: 1303.6013, 2013.

BP. V.M. Buchstaber, T.E. Panov, Toric topology, book project, arXiv:1210.2368.

BT. R. Bott and C. Taubes. On the self-linking of knots. Topology and physics, J. Math. Phys. 35 (1994), no. 10, 5247-5287.

BV. V.M. Buchstaber, V.D. Volodin, Combinatorial 2-truncated cubes and applications, chapter in Associahedra, Tamari Lattices, and Related Structures, Tamari Memorial Festschrift, Progress in Mathematics, Vol. 299, pp 161-186, 2012.

BZ. A. Berenstein and A. Zelevinsky. Quantum cluster algebras. Adv. Math. 195

(2005), 405—455.

BY. T. Briistle, D. Yang, Ordered exchange graphs, chapter in Advances in Representation Theory of Algebras, EMS Series of Congress Reports, pp 135-193, 2014.

CC. P. Caldero and F. Chapoton. Cluster algebras as Hall algebras of quiver representations. Comment. Math. Helv. 81 (2006), no. 3, 595—616.

CD. R. Charney and M.W. Davis, The Euler characteristic of a nonpositively curved, piecewise Euclidean manifold, Pacific J. Math. 171 (1995), pp. 117—137.

CDP. C. de Concini and C. Procesi. Wonderful models for subspace arrangements, Selecta Math. (N.S.) 1 (1995), 459-494.

CLS. C. Ceballos, J.-P. Labbé, and Christian Stump. Subword complexes, cluster complexes, and generalized multi-associahedra, J. of Alg. Comb., 39, (2014), no. 1, 17-51.

CP. C. Ceballos, V. Pilaud, Denominator vectors and compatibility degrees in cluster algebras of finite type, preprint, arXiv:1302.1052.

CdS. A. Cannas da Silva. Lectures on Symplectic Geometry, Lecture Notes in Mathematics , 1764; Springer Verlag, 2001.

CFZ. F. Chapoton, S. Fomin, and A. Zelevinsky. Polytopal realizations of generalized associahedra, Canad. Math. Bull. 45 (2002), no. 4, 537—566, Dedicated to Robert V. Moody.

CZ. C. Ceballos and G. M. Ziegler. Three non-equivalent realizations of associahedron, preprint (2010). math.MG/1006.3487.

D. T. Delzant. Hamiltoniens périodiques et images convexes de l'applcation moment, Bull. Soc. math. France, 116 (1988) 315-339.

Dl. M. Dyer, Hecke algebras and shellings of Bruhat intervals. Compositio Math. 89 (1993), no. 1, 91-115.

En. M. Engenhorst, Tilting and Refined Donaldson-Thomas Invariants, preprint, arXiv:1303.6014.

Es. L. Escobar, Brick manifolds and toric varieties of brick polytopes, preprint,

arXiv: 1404.4671.

FZ. S. Fomin and A. Zelevinsky, Y -systems and generalized associahedra, Annals of Math. 158 (2003), 977-1018. F. A. G. Fenn. The face-polynomial of nestohedra, Differential equations and topology: Abstr. Intern. Conf. dedicated to the centennial anniversary of L.S. Pontryagin, Moscow, June 17-22, 2008. M.: Макс Пресс, 2008. С. 435. FK. L. D. Faddeev and R. M. Kashaev. Quantum dilogarithm, Modern Phys. Lett.

A 9 (1994), no. 5, 427-434. FR. S. Fomin and N. Reading. Root systems and generalized associahedra, IAS/Park

City Math. Ser., 14, Amer. Math. Soc., Providence, RI. FS. E. M. Feichtner and B. Sturmfels. Matroid polytopes, nested sets and Bergman

fans, Port. Math. (N.S.) 62 (2005), 437—468. FST. S. Fomin, M. Shapiro, and D. Thurston, Cluster algebras and triangulated

surfaces, Part I: Cluster complexes. Acta Math. 201 (2008), 83-146. FZ1. S. Fomin and A. Zelevinsky. Cluster algebras I: Foundations, J. Amer. Math.

Soc. 15 (2002), 497-529. math.RT/0104151. FZ2. S. Fomin and A. Zelevinsky. Cluster algebras II: Finite type classification,

Invent. Math. 154 (2003), 63-121. FZ3. S. Fomin and A. Zelevinsky. Y -systems and generalized associahedra, Annals

of Math. 158 (2003), 977-1018. FV. L. Faddeev and A. Yu. Volkov. Abelian current algebra and the Virasoro algebra

on the lattice, Phys. Lett. В 315 (1993), no. 3-4, 311-318. Gab. P. Gabriel. Unzerlegbare Darstellungen I, Manuscripta Math. 6 (1972), 71-103.

Gal. R. Gal, Real root conjecture fails for five- an higher-dimensional spheres,

Discrete Comput. Geom., 34:2 (2005), 269—284. GMN. D. Gaiotto, G. W. Moore, and A. Neitzke. Four-dimensional wall-crossing via three-dimensional field theory, Comm. Math. Phys. 299 (2010), no. 1, 163—224.

GLS. C. Geiss, B. Leclerc, and J. Schroer. Kac-Moody groups and cluster algebras, Adv. in Math., 228:1, 2011, 329-433.

IT. C. Ingalls and H. Thomas. Noncrossing partitions and representations of quivers, Compos. Math. 145 (2009), no. 6, 1533—1562.

Lec. B. Leclerc, Cluster structures on strata of flag varieties, preprint, arXiv: 1402.4435.

Lee. C. W. Lee. The associahedron and triangulations of the n-gon, European J. Combin. 10 (1989), no. 6, 551-560.

LP. T. Lam, P. Pylyavskyy, Lauren phenomenon algebras, preprint, arXiv:1206.2611.

Kal. G. Kalai. A simple way to tell a simple polytope from its graph. J. Comb. Th. (Ser. A) 49 (1988), 381-383

Kell. B. Keller. Cluster algebras, quiver representations and triangulated categories, chapter in Triangulated categories, Cambridge University Press, 2010, 76-160.

Kel2. B. Keller. On cluster theory and quantum dilogarithm identities, chapter in Representations of algebras and related topics, Proceedings of ICRA XIV, EMS 2011, 85-116.

Kel4. B. Keller. The periodicity conjecture for pairs of Dynkin diagrams, Ann. Math. 177:1 (2013), 111-170.

King. A. D. King. Moduli of representations of finite-dimensional algebras, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 45 (1994), no. 180, 515-530.

KM1. A. Knutson, E. Miller. Subword complexes in Coxeter groups. Adv. Math., 184(1):161-176, 2004.

KM2. A. Knutson, E. Miller. Groebner geometry of Schubert polynomials. Ann. of Math. (2), 161(3):1245—1318, 2005.

KS1. M. Kontsevich, Y. Soibelman. Cohomological Hall algebra, exponential Hodge structures and motivic Donaldson-Thomas invariants, preprint, arXiv: 1006.2706.

KS2. M. Kontsevich, Y. Soibelman. Stability structures, Donaldson-Thomas

invariants and cluster transformations, preprint, arXiv:0811.2435. N. M.H.A. Newman, A theorem in combinatorial topology, J. London Math. Soc. 6, 186-192, 1931.

P. A. Postnikov. Permutohedra, associahedra, and beyond, preprint, math.CO /0507163.

PRW. A. Postnikov, V. Reiner and L. Williams. Faces of generalized permutohedra,

Documenta Math., 13 (2008), 207-273. PS. V. Pilaud and C. Stump. Brick polytopes of spherical subword complexes: A

new approach to generalized associahedra, preprint, arXiv:1111.3349, 2011. Ql. Yu Qiu, C-sortable words as green mutation sequences, preprint, arXiv:1205.0034.

Q2. Yu Qiu, Stability conditions and quantum dilogarithm identities for Dynkin

quivers, preprint, arXiv:1111.1010v2. Rl. N. Reading, From the Tamari Lattice to Cambrian Lattices and Beyond, chapter in Associahedra, Tamari Lattices, and Related Structures, Tamari Memorial Festschrift, Progress in Mathematics, Vol. 299, pp 293-322, 2012. Rei. M. Reineke. Poisson automorphisms and quiver moduli, J. Inst. Math. Jussieu

9 (2010), no. 3, 653-667. RS. N. Reading, D. Speyer. Sortable elements in infinite Coxeter groups, Trans.

Amer. Math. Soc. 363 (2011), no. 2, 699-761. Rud. A. Rudakov. Stability for an abelian category, J. Algebra, 197 (1997), 231-245. Sch. M. P. Schiitzenberger. Une interprétation de certaines solutions de l'équation fonctionnelle: F(x + y) = F(x)F(y), C. R. Acad. Sci. Paris 236 (1953), 352—353. Stan. R. Stanley. Enumerative combinatorics. Vol. 2. Cambridge University Press, (1999).

Stasl. J. D. Stashefï. From operads to "physically" inspired theories, Contemp.

Math. 202 (1997), 53-81. Stas2. J. D. Stashefï. Homotopy associativity of H-spaces. I, II, Trans. Amer. Math. Soc. 108 (1963), 275-292, 293-312.

T. H. Thomas, The Tamari Lattice as it Arises in Quiver Representations, chapter in Associahedra, Tamari Lattices, and Related Structures, Tamari Memorial Festschrift, Progress in Mathematics, Vol. 299, pp 281-291, 2012.