Расслоения на трехмерных многообразиях Фано, инстантоны и бирациональные преобразования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Кузнецов, Александр Геннадьевич

• Кузнецов, Александр Геннадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузнецов, Александр Геннадьевич

Оглавление

Введение

Глава I. Многообразия модулей представлений колчанов

1.1. Представления колчана и стабильность

1.2. Гомологические свойства категории Иер

1.3. Семейства представлений и многообразия модулей

1.4. Параболические пары

1.5. Функтор стирания вершины

1.6. Деформации многообразия модулей

1.7. Внутренняя стенка

1.8. Многообразия модулей двухвершинного колчана

1.9. Прямые на многообразии

Глава II. Связки квадрик и инстантоны заряда 3

Н.1. Связки квадрик

П.2. Инстантоны заряда 3

П.З. Плоскости и прямые подскока инстантона 8а

Глава III. Многообразия У22

111.1. Описание многообразий У22

111.2. Исключительный набор

III.3. Прямые на многообразии Ша

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расслоения на трехмерных многообразиях Фано, инстантоны и бирациональные преобразования»

Введение

Настоящая работа делится на две части. В первой части изучаются многообразия модулей представлений колчанов. Затем полученные результаты применяются к исследованию трехмерных многообразий Vyi-

Грубо говоря, колчан Q — это некоторый конечный ориентированный граф (то есть граф с заданием направления на ребрах). Вершины графа называются вершинами колчана, а ребра графа — стрелками колчана. Колчан называется упорядоченным, если он не содержит ориентированных циклов. Пусть к — алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики. Всякому упорядоченному колчану можно сопоставить конечномерную алгебру kQ — алгебру путей колчана Q. Базис алгебры kQ образуют последовательности стрелок колчана Q, в которых начало следующей стрелки совпадает с концом предыдущей. Представление колчана Q — это то же самое что правый модуль над алгеброй kQ. Обозначим через RepQ категорию представлений колчана Q. Категория Rep Q — абелева.

Для построения многообразий модулей представлений колчанов необходимо ввести понятие (полу)стабильности представления. Это было сделано А. Кингом в 1993 году в работе [13]. Рассмотрим Q-значную линейную функцию х £ jKo(Q)* Q на группе Гротендика A'o(Q) категории Rep Q.

определение. Представление F колчана Q называется х-стабилъ-ным (соответственно х~полУстабилъным), если выполнены следующие условия:

(1) (X,dimF) = 0;

(2) для любого собственного подпредставления 0 ф F' С F имеем

(x, F') > 0 (соответственно {x,F') > 0).

Здесь dimF Е -Ko(Q) обозначает класс представления F в группе Гро-тендика, а (•,•} обозначает спаривание ifo(Q)* ® -^o(Q) -> Q- Кинг показал (см. Теоремы 1, 2), что для любых а Е ifo(Q) и X £ ^o(Q)* Q, таких что а) = 0 существует грубое многообразие модулей «Mq(o:, х) %-полустабильных представлений F колчана Q с dim F = а.

Первая глава настоящей работы посвящена изучению связей между различными многообразиями модулей упорядоченного колчана без соотношений. В разделах 1.1-1.4 вводятся основные определения теории представлений колчанов. Кроме того, описываются простейшие свойства категории представлений колчанов и доказываются хорошо известные (или очевидные) утверждения о многообразиях модулей представлений колчанов. В разделе 1.5 изучается связь между многообразиями модулей представлений колчана Q и многообразиями модулей представлений его подколчана Q^. Мы вводим функтор стирания вершины Фх '■ Rep Q —> Rep и сопряженные к нему функторы продолжения в вершину : RepQx —> RepQ. В некоторых случаях эти функ-

торы индуцируют изоморфизмы многообразий модулей. В Теоремах 3, 4 и 5 описаны такие ситуации.

В разделах 1.6—1.7 мы изучаем вопрос о поведении многообразия модулей М.ц(а,х) ПРИ изменении линейной функции Мы показываем, что пространство Та всех линейных функций х-, таких, что (х, а) = 0, содержит конечное число гиперплоскостей, разбивающих пространство Та в объединение конечного числа камер, разделяемых стенками. При изменении % внутри камеры многообразие М.ц(а,х) не изменяется. Стенка между камерами называется внутренней, если по обе стороны от нее многобразие х) не пусто. Стенка называется внешней, если мно-

гобразие Л4ц(а,х) не пусто только с одной стороны от нее. Мы доказываем, что при при переходе х через внутренню стенку происходит бирациональная перестройка многообразия %), а при выходе х на

внешнюю стенку многообразие M.q((x,x) стягивается. В Теоремах 6 и 7 явно описываются стягивание и бирациональная перестройка в некоторых дополнительных предположениях.

В разделе 1.8 полученные результаты применяются для описания многообразия Л4Qd((2, k),(—к, 2)) модулей (2, к)-мерных (—к, 2)-полустабиль-ных представлений двухвершинного упорядоченного колчана Qd (колчан

Qd состоит из двух вершин и d стрелок из первой вершины во вторую). Многообразия M.Qd((2, (—&,2)) можно рассматривать как обобщения грассмановых многообразий, так как A4Qd((l, к), (—к, 1)) = Gr(d — к, d) (см. Предложение 1.8.2). Для описания многообразия M.Qd({2, к), (—к, 2)) мы рассматриваем семейство многообразий M.t = 2,где

Qd — трехвершинный колчан, полученный добавлением к колчану Q^ дополнительной вершины и стрелки из нее в первую вершину колчана Qd; a xt — (t — —i/2,2) (i 6 Q) — семейство рациональнозначных линейных функций на группе A'o(Qd)- Из Теоремы 3 следует, что

Mo = MQd((l, к), (-к, 1)) ^ Gr(d -k,d), Мы = MQd((2, А;), (-*, 2)).

Таким образом, мы получаем последовательность многообразий Л4t = 0,1,..., 2к — 1,2к, связывающую многообразие Gr(<i — k,d) с многообразием Л4с^((2, к), (—к, 2)). Теперь применяя результаты разделов 1.6—1.7, мы получаем диаграмму

Mi л<, ... М«

Pi,О

Plk-l,2k

в которой отображение является РМ-2-расслоением, отображение Р2к-\,2к является Р^расслоением, a gi, 52, • • • 5 Я[к/2] — последовательность антифлипов.

В разделе 1.9 мы применяем результаты раздела 1.8 для описания схемы прямых на многообразии Л4ца((2, к), (—к, 2)). Мы доказываем, что схема прямых на многообразии M-qd((2, к), (—к, 2)) изоморфна относительному грассманиану 0 = GrGr(d_[А/2]-1 хGr(d-[fe/2],d)(25 ^ U*)/0) двумерных подпространств в слоях расслоения (Q ЕЗ U*)/0 на произведении грас-сманианов Gr{d— [к/2] — 1 ,d) х Gr(d — [fc/2],cf) (см. Предложение 1.9.4). Затем мы описываем подсхему пар различных пересекающихся прямых в 0 х 0 — А© (см. Предложение 1.9.7).

Вторая глава диссертации посвящена связкам квадрик и математическим инстантонным расслоениям заряда 3 на проективном пространстве Р3. Напомним, что связкой квадрик в проективном пространстве Pd_1 называется трехмерное подпространство в векторном пространстве H0(Pd-1,O(2)) = S2(kd). Связка

квадрик называется регулярной, если

она не содержит квадрик коранга 2. Давно известно (см. например [2, 20, 25, 26]), что по всякой регулярной связке квадрик можно построить плоскую кривую СЛР2с невырожденной тета-характеристикой 9, причем связка квадрик восстанавливается по паре (С, 9). Кроме того, связка

квадрик индуцирует вложение С -А Р^-1* и изоморфизм 5сг_1(к3) —> 52(кс?).

В разделе II. 1 мы несколько развиваем теорию связок квадрик. Мы показываем, что связка индуцирует отображение С А Сг(с? — 2, еГ) (см. Предложение II. 1.4), изоморфизм 5сг~2(к3) —> Л2(к</) и точную последовательность

0 5^3(к3) Л2(к°г) (8) к3 Епс1(кй) 0.

Затем мы доказываем некоторое техническое утверждение о связках квадрик в проективном пространстве Р3 (Предложение II.1.10).

В разделе II.2 мы устанавливаем связь между связками квадрик в проективном пространстве Р3* и математическими инстантонными расслоениями заряда 3 на проективном пространстве Р3. Математическим ин-стантонным расслоением на проективном пространстве Р3 (или просто инстантоном) называется стабильное 2-мерное векторное расслоение Е с с\(Е) — 0 и Н*(Р3, Е ® 0(—2)) = 0. Целое положительное число с2(£') называется зарядом инстантона Е. Мы рассматриваем некоторую исключительную пару (£, Оз(2)) векторных расслоений на Р3 и сопоставляем всякой связке квадрик А гомоморфизм 8 к3 ® (2з(2). Далее мы доказываем, что если связка квадрик А является регулярной и невырожденной, то гомоморфизм ца сюръективен (Предложение II.2.3) и его ядро 8а является инстантоном заряда 3 (Теорема 11). Построенные таким образом инстантоны обладают свойством гомологической ортогональности по отношению к исключительному расслоению (2з(1) = Трз:

Н*(Р3,£а (8) £з(1)) = 0.

Затем мы показываем (Предложение П.2.9), что всякий инстантон Е заряда 3, гомологически ортогональный расслоению (2з(1), имеет резольвенту

23(2) 0,

причем ¡1е = /ла для некоторой регулярной невырожденной связки квадрик А. Таким образом, устанавливается изоморфизм пространства ре-

гулярных невырожденных связок квадрик в проективном пространстве Р3* и инстантонов заряда 3 на Р3, гомологически ортогональных расслоению (2з(1) (Теорема 12). Поскольку инстантоны, гомологически ортогональные расслоению <2з(1), образуют открытое по Зарисскому подмножество в многообразии модулей всех инстантонов, то тем самым получено описание общего инстантона заряда 3.

В разделе II.3 мы показываем, что кривая (3(С) С Р3* является схемой плоскостей подскока инстантона 8а (Предложение II.3.2), а кривая 7(С) С Стг(2,4) является схемой прямых 2-подскока инстантона 8а (Предложение II.3.4). Далее мы показываем, что прообраз подсхемы инцидентности X С Сг(2,4) х Р3* относительно морфизма 7 х (3 : С х С —> Сг(2,4) х Р3* является схемой нулей единственного нетривиального сечения линейного расслоения (в И в) ^ Осхс(^) на произведении С х С (Предложение II.3.6). Это дает еще один способ восстановить связку квадрик А по инстантону £д.

Третья глава диссертации посвящена трехмерным многообразиям V22. Напомним, что в классификации [11] трехмерных многообразий Фано многообразиями У22 называются трехмерные многообразия Фано с числом Пикара 1 индекса 1 (это означает, что канонический класс является отрицательной образующей группы Пикара) с числами Бетти

(*) Ь0 = Ь2 = ЬА = 66 = 1, Ьг = 63 = 65 = 0.

Многообразия У22 образуют шестимерное семейство.

Рассмотрим многообразие Ш = Л^д4((2,3), (—3,2)), и пусть (/С^Л^) — универсальное семейство представлений колчана <34 на многообразии Ш. Согласно результатам раздела 1.8 мы имеем следующую диаграмму

Ррз(£) Р9я(УС1)

Р3 ш

Здесь 8 — это исключительное расслоение из раздела II.2, a qi — некоторый антифлип. Такое описание многообразия Ш представляет самостоятельный интерес. Например, с его помощью легко вычислить кольцо Чжоу многообразия Ш (см. [9]).

В работе [21] Ш. Мукаи анонсировал теорему, согласно которой всякое многообразие У44 является схемой нулей некоторого глобального сечения расслоения к3 <8) К\ на многообразии Ш. Можно показать (см. Лемму III.1.1), что

Н°(ЯЛ, к3 0 /Сз) = к3 ® 52 (к4)

о

то есть глобальные сечения расслоения к' суть связки квадрик в проективном пространстве. Пусть А — регулярная невырожденная связка квадрик в проективном пространстве Р3*. Обозначим через ШХд С Ш

о

схему нулей соответствующего глобального сечения расслоения к ® К\ на многообразии Мы доказываем, что возникает следующая диаграмма

Р3 Ша

где q — флоп в линейчатой поверхности, являющейся Р^расслоением над кривой С (Теорема 13). Отсюда легко выводится часть теоремы Мукая (см. Теорему 14). В разделах III.2 и III.3 мы рассматриваем применения полученного описания многообразий У^.

В разделе III.2 мы показываем, что набор расслоений (О, /С*, А2^) является полным и сильным исключительным набором на многообразии Ша (Теорема 15). Впервые исключительный набор на многообразиях У22 был построен в работе [14] (на общем многообразии У22 и без доказательства полноты). На других трехмерных многообразиях Фано с числами Бетти (*), то есть на проективном пространстве, трехмерной квадрике и многообразии Т/5, исключительные наборы были построены А. Бейлин-соном, М. Капрановым и Д. Орловым в работах [4], [12] и [24].

Наконец, в разделе Ш.З мы показываем, что схема прямых на многообразии ША изоморфна кривой С (Предложение III.3.1), а подсхема пар различных пересекающихся прямых в С х С равна дивизору Тд (Предложение III.3.2). Тем самым дается способ восстановить свяку квадрик А по многообразию Ша (см. Замечание III.3.4).

Основные результаты работы были опубликованы в [14, 15, 16, 17, 18, 19], а также докладывались на семинаре кафедры Высшей Алгебры механико-математического факультета МГУ, на семинаре по Алгебре,

Геометрии и Физике в математическом институте Макса Планка (Мах-Planck-Institut für Mathematik, Bonn) и на семинаре в институте высших научных исследований (Institut des Hautes Etudes Scientifiques (IHES), Paris). Автор выражает благодарность A. Бондалу за постановку задачи и внимание к работе, а также Д. Орлову и А. Тюрину за многочисленные обсуждения и полезные советы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузнецов, Александр Геннадьевич, 1998 год

Список литературы

[1] W. Barth. Some properties of stable rank-2 vector bundles on Pn, Math. Ann. 226 (1977), pp. 125-150.

[2] W. Barth. Moduli of vector bundles on the projective plane, Invent, math., 42 (1977), pp. 63-91.

[3] W. Barth, G. Elencwajg. Concernant la cohomologie des fibrés algébriques stables sur Pn(C), In Variétés analytiques compactes, Nice 1977, Lecture Notes in Math. 683, pp. 1-24. Springer 1978.

[4] A. Бейлинсон. Когерентные пучки на Рп и проблемы линейной алгебры, Функц. анализ и его прилож. 12 (1978), стр. 68-69.

[5] А. Бондал. Представления ассоциативных алгебр и когерентные пучки, Изв. Акад. Наук СССР, Сер. Мат., 53 (1989), стр. 25-44.

[6] A. Bondal, D. Orlov. Semiorthogonal decompositions for algebraic varieties, preprint MPI/9515.

[7] I. Dolgachev, V. Kanev. Polar covariants of plane cubics and quartics, Advances in Math., 98 (1993), pp. 216-301.

[8] G. Ellingsrud, S. A. Str0mme. Stable rank-2 vector bundles on P3 with c\ = 0 and C2 — 3, Math. Ann. 255 (1981), pp. 123-135.

[9] G. Ellingsrud, R. Piene, S. A. Str0mme. On the variety of nets of quadrics defining twisted cubics, in Space curves, Lect. Notes Math. 1266 (1987), pp. 84-96.

[10] R. Hartshorne. Stable vector bundles of rank 2 on P3, Math. Ann. 238 (1978), pp. 229-280.

[11] В. Псковских. Лекции no трехмерным алгебраическим многообразиям. Многообразия Фано. МГУ, 1988.

[12] М. Капранов. Прозводная категория когерентных пучков на многообразиях Гроссмана. Изв. АН СССР, Сер. Матем., 48 (1984), стр. 192-202.

[13] A. King. Moduli of representations of finite dimensional algebras, Q. J. Math., Oxf. II. Ser. 45, No. 180 (1994), pp. 515-530.

[14] А. Кузнецов. Исключительный набор векторных расслоений на многообразиях V22, Вестник МГУ, Сер. 1, Мат. Мех. (1996) 3, стр. 41-44.

[15] А. Кузнецов. Многообразия модулей представлений колчанов, рукопись депонирована в ВИНИТИ, 3140-В98.

[16] А. Кузнецов. Связки квадрик и инстантоны заряда 3, рукопись депонирована в ВИНИТИ, 3141-В98.

[17] A. Kuznetsov. GL^-equivariant desingularization of the universal curve over the Ellingsrud-Piene-Str0mme compactification of the space of twisted rational cubic curves in P3, preprint MPIM/97-24.

[18] A. Kuznetsov. The length-2 monad for instantons over P3 of charge 3, preprint MPIM/97-24.

[19] A. Kuznetsov. Fano threefolds V22, preprint MPIM/97-24.

[20] M. Maruyama. Vector bundles on P2 and torsion sheaves on the dual plane, In Vector bundles on algebraic varieties, Bombay 1984, Tata Inst. Fund. Res. Stud. Math., 11, Tata Inst. Fund. Res., pp. 275-340. Bombay, 1987

[21] S. Mukai Biregular classification of Fano 3-folds and Fano manifolds of coindex 3, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 86 (1989), no. 9, pp. 3000-3002.

[22] С. Okonek, M. Schneider, H. Spindler. Vector bundles on complex projective spaces, Progress in Mathematics, 3. Birkhauser, 1980.

[23] Д. Орлов. Проективные расслоения, моноидалъные преобразования и производная категория когерентных пучков, Изв. АН СССР, Сер. Матем., 56 (1992), стр. 852-862;

[24] Д. Орлов. Исключительный набор векторных расслоений на многообразии Vs. Вестник МГУ, Сер. 1, Мат. Мех. (1991) 5, стр. 69-71.

[25] A. Tyurin. On intersection of quadrics, Uspekhi Mat. Nauk, 30 (1975), 6, pp. 51-99; English transl. in Russian Math. Surveys, 30:6 (1975), pp. 51-105.

[26] Wall C.T.C. Nets of quadrics and theta-characteristics of singular curves, Philos. Trans. R. Soc. London, Ser. A, 289 (1978), pp. 229-269.