Подгруппы симплектических групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Шкуратский, Анатолий Иванович

• Шкуратский, Анатолий Иванович
• 1985

Оглавление диссертации Шкуратский, Анатолий Иванович

Введение

Глава I. О подгруппах симплектической группы над алгебраически замкнутым полем

§ I. Определения, обозначения и предварительные замечания.

§ 2. Доказательство теоремы.;.

Г л а в а П. О подгруппах симплектической группы над полем частных евклидова кольца

§ I. Предварительные сведения

§ 2. Основные леммы.

§ 3. Окончание доказательства

Глава. Ш. О проблеме порождения свободных групп двумя унитреугольными матрицами

§ I. Исторические замечания. f

§ 2. Решение вопроса о ромбе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Подгруппы симплектических групп»

Значительное место в теории линейных групп занимают работы, посвященные изучению решетки их подгрупп. Плодотворный подход к этой малообозримой проблеме, предложенный Ю.И.Мерз-ляковым, состоит в описании наиболее важных фрагментов указанной решетки - в частности, семейства всех подгрупп, заключенных между данной группой матриц над кольцом и подгруппой . всех ее матриц с коэффициентами в данном подкольце (см. [бЦ, с.81 и [5] , вопрос 7.40). С другой стороны, в свете альтернативы Титса (см. С81 , с. 427) особое значение приобрело сейчас изучение свободных подгрупп. Этим вопросам в классе симплектических групп и посвящена настоящая диссертация.

Пусть ft - коммутативное кольцо с единицей, /Ч^Ш-кольцо всех матриц степени /г над ft , GL^iR)- общая линейная группа, специальная линейная группа,

Sym п (И) - аддитивная группа симметрических матриц степени /г над А

Симплектической группой степени Я/г над ft называется группа

S/>.fft) = {« \ **GLin(fL), *f*'--{}, где штрих обозначает транспонирование,

- единичная матрица степени /г . Отметим, что Sp(Я}= 5LZ(H).

В первой главе диссертации полностью описываются надгруп-пы группы S р над вещественно замкнутым полем, получающиеся при увеличении этого поля до его алгебраического замы:- * кания. Напомним, что поле называется формально вещественным, если -1 не представляется в нем в виде суммы квадратов. Поле называется вещественно замкнутым, если оно формально вещественно, но никакое его собственное алгебраическое расширение уже не является формально вещественным.

ТЕОРЕМА I. Пусть А - вещественно замкнутое поле, ^ - его алгеб раическое за мы кание, п - н а т у ральное число. Между симплек -тическими группами ^р^^) и Spm (&) содержится единственная промежуточная подгруппа гр (dfi) Spm (к) , где dn = oticu^ ('hi^d: ^ ^"FT, n n

Прямоугольную матрицу над полем А условимся называть А -матрицей, если после домножения на некоторый элемент оС^О из поля Л она становится матрицей с элементами из . Говоря более точно, мы рассматриваем в первой главе элементы z 6 Spin(&) \ Spm(£) различных типов и показываем, что элемент Z вместе с порождает группу гр(^) Spm(6)или в зависимости от того, является z А -матрицей или нет.

Результаты этой главы докладывались на 9-м Всесоюзном симпозиуме по теории групп (Москва, 1984) и опубликованы в C2IU .

Во второй главе диссертации полностью описываются над-группы симплектической группы Sp ^ над евклидовым целостным кольцом, получающиеся при увеличении этого кольца до его поля частных.

ТЕОРЕМА 2. Пусть С - евклидово целостное кольцо с единицей, -А -его поле частных, /г - натураль -ное число. Подгруппы, заключен ные между симплектическими группами Spm^^ и , исчерпываются подгруппами L&f) » где пробегает всевозможные наборы простых элементов коль -ц а с , а &с£ - кольцо тех частных кольца & , знаменатели которых делятся только на простые элементы из VC .

В частности, здесь содержится описание максимальных промежуточных подгрупп, особенно прозрачное при У",

Пусть х — (oc-j) - произвольная матрица из Мп (&) '» - модуль, порожденный элементами Хц в поле А , буЧ дет, очевидно, дробным идеалом, который мы обозначаем через lex) . Так как V - кольцо главных идеалов, то Iсх) -главный дробный идеал, т.е. Тех.) = t <*е А # Пусть об= -у » где f > Т - взаимно-простые элементы кольца (У , 9£(х) - множество всех простых делителей элемента ^ . Основную трудность представляет доказательство равенства где ос - матрица, обратно-транспонированная к ос ; эти вложения позволяют существенно упростить вычисления в симплекти-ческой группе, заменив их вычислениями в группах GL^cJi) и Sym^Ci) .

Результаты второй главы докладывались на 15-й Всесоюзной конференции (Красноярск, 1979) и опубликованы в С20, 22 J .

Третья глава диссертации посвящена изучению свободных подгрупп группы S L, (С) . Именно, пусть

Точка "Z комплексной плоскости называется свободной, если группа Gz свободна. Как показали Линдон и Ульман £43]» определяемые правилами V внешность "глаза", образованного окружностью |z| = ± и касательными к ней, проведенными из точек + 2, целиком состоит из свободных точек, тогда как "зрачок" |н|< — заполнен всюду плотно несвободными точками.

В связи с этими результатами Ю.И.Мерзляков поставил в "Коуровской тетради" С5П следупций вопрос 4.41: верно ли, что все точки вне ромба с вершинами ± z 5 ± L свободны? Обзор дальнейших многочисленных работ в этом направлении можно найти в Г7Ц .

В третьей главе диссертации дается отрицательный ответ на вопрос Ю.И.Мерзлякова о ромбе. Рассмотрим отрезок гиперболы

Г = {z )4f3ftez-lf-iz(lmzf=.1, HeZ* и функции j> ; у: [О, 1/Q\ — \1J%, -/] определенные формулами з f(oc) - yjx ■+ \fx^7 + Ух ~ qcx) = (4/6 ) [ Л + -f (1 +

Точку z , для которой группа G имеет кручение (в частности, несвободна), будем называть точкой кручения. ч ч

ТЕОРЕМА 3. Отрезок гиперболы Г всюду плотно заполнен точками кручения

Ц Lf L где Ь Q , о < £ < 4" .Прямолинейный отрезок А с концами % ^ I пересекает Г в точке Z0 = Z (i0) . .

Таким образом, за пределами рассматриваемого ромба имеются несвободные точки 2 Ci) » где i - любое рациональное число из цромежутка О < t< ~Ь0 • Одновременно и независимо воцрос Ю.И.Мерзлякова решил Ю.А.Игнатов СЗЗ . Заметим, что его метод использует вычисления на ЭВМ и не позволяет

НЕ указать явно ни одной Свободной точки вне ромба, давая только точку на границе ромба, малая окрестность которой всюду плотно заполнена несвободными точками.

Результаты третьей главы докладывались на 6-м Всесоюзном симпозиуме по теории групп (Черкассы, 1978) и опубликованы в

СГ18, 193 .

Все результаты диссертации докладывались также на семинаре "Алгебра и логика".

В заключение я приношу глубокую благодарность профессору Юрию Ивановичу Мерзлякову за научное руководство.

Список литературы диссертационного исследования Шкуратский, Анатолий Иванович, 1985 год

1. Б.Л. вал дер Варден, Алгебра, 2-е изд., М., Наука,1979.

2. О.Зарисский, П.Самюэль, Коммутативная алгебра, том I, М., ИЛ, 1963.

3. Ю.А.Игнатов, Свободные и несвободные подгруппы PSL^(C) » порожденные двумя параболическими элементами,Матем. сб., 106, № 3 (1978), 372-379.

4. М.И.Каргаполов, Ю.И.Мерзляков, Основы теории групп, 3-е изд., М., Наука, 1982.

5. Коуровская тетрадь, 8-е изд., Новосибирск, 1982.

6. Ю.И.Мерзляков, Линейные группы, в кн. "Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1970", М., ВИНИТИ, 1971, 75110.

7. Ю.И.Мерзляков, Линейные группы, в кн. "Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия", том. 16, М., ВИНИТИ,1978, 35-89.

8. Ю.И.Мерзляков, Рациональные группы, М., Наука., 1980.9. 0.0*Мира, Лекции о симшгектических группах, М., Мир,1979.

9. Н.С.Романовский, Подгруппы, лежащие между специальными линейными группами над кольцом и его подкольцом, Матем. заметки, 6, № 3 (1969), 335-345.

10. J.L.Brenner, R.A.Macleod, D.D.Olesky, Non-free groups generated by two 2*2 matrices, Canad. J. Math. , 27, N 2 (1975), 237-245.

11. P.M.Cohn, On the structure of the GL , of a ring, Pubis Math. IHES, N 30(1966), 5-53.

12. R.С.Lyndon, J.L.Ullman, Groups generated by two parabolic linear fractional transformations, Canad. J. Math., 21, N 6 (1969)i 1388-1403.

13. W.Magnus, Two-generator subgroups of PSL(2>C) , Nachr. Akad. Wiss. Gottingen. II Math.-phys. Kl., 1975, N 7, 14 pp.

14. M.Newmann, A conjecture on a matrix group with two generators, J.Res. Hat. Bur. Stand., В 78, N 2 (1974), 69-70.

15. P.Samuel, About Euclidean rings, J.Algebra, 19» N 2 (1971), 282-301.

16. J.Tits, Free subgroups in linear groups, J.Algebra, 20, N 2 (1972), 250-270.Работы автора по теме диссертации:

17. А.И.Шкуратский, 0 проблеме порождения свободных групп двумя унитреугольными матрицами, Матем. заметки, 24, » 3 (1978), 411-414.

18. А.И.Шкуратский, 0 точках кручения на комплексной плоскости, 6-й Всесоюзный симпозиум по теории групп, Киев, Науко-ва думка, 1978 , 69.

19. А.И.Шкуратский, 0 подгруппах симплектических групп, 15-я Всесоюзная алгебраическая конференция, Красноярск, 1979, 182.

20. А.И.Шкуратский, 0 подгруппах симплектической группы над алгебраически замкнутым полем, Алгебра и логика, 22, Я 4 (1983), 466-473.

21. А.И.Шкуратский, 0 подгруппах симплектической группы над полем частных евклидова кольца, Алгебра и логика, 23, № 5 (1984), 578-596.