Соотношения в линейных группах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Коробов, Алексей Александрович

• Коробов, Алексей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Коробов, Алексей Александрович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Характеризация растяжений, представимых в произведение независимых простых преобразований

§ 1. Определения и предварительные результаты

§ 2. Характеризация растяжений, обладающих симплектическим разложением

отношениями

§ 2. Об унитреугольных группах с линейно зависимой первой диагональю

Глава 3. Соотношения, зависящие от выбора категории групп

§ 1. Тождества алгебр Ли и нильпотентных групп без кручения

§ 2. Описание многообразий лиева типа

§ 3. Критерии существования периодических, разрешимых и нильпотентных дополнений нормальных подгрупп в алгебраических линейных группах

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Соотношения в линейных группах»

ВВЕДЕНИЕ

В современной теории групп весьма заметное место занимают группы преобразований, в том числе линейные группы, а также группы автоморфизмов различных алгебраических систем. Кроме того, многие интересные примеры групп возникают именно как группы преобразований (см. [16]).

Диссертация посвящена исследованию разного рода соотношений между определенными элементами групп автоморфизмов векторных пространств над телами. А именно, исследуются задачи, связанные с вычислением ширины таких групп относительно различных множеств порождающих, исследуется возможность переноса заданных соотношений с фактор-группы в саму группу, исследуются задачи описания всех тождественных соотношений таких групп.

В первой главе диссертации фиксируется множество автоморфизмов 5" векторного пространства над телом и рассматривается следующая проблема: для группы С с порождающим множеством 5 найти наименьшее т £'N11 {+°°} такое, что всякий элемент из С представим в виде произведения < т элементов из в . Следуя Ю. И. Мерз л якову [15] будем называть такое т шириной группы С относительно множества 5 и обозначать \vicl (С?, 51). В классическом случае, когда С — группа всех невырожденных преобразований над полем, — множество всех простых преобразований, 5) —размерность подлежащего векторного пространства.

В случае, когда С — группа всех автоморфизмов свободного модуля М над локальным (коммутативным) ассоциативным кольцом Я с единицей, Еллерс и Лауш оценили ширину группы (7 относительно множества 5 всех простых автоморфизмов через размерность модуля [31]. Если же К — кольцо целых чисел, то, как показал В.Г.Бардаков [3], <2(<1шМ) + 6.

Много работ посвящено вычислению ширины матричных групп относительно различных множеств порождающих. Перечислим некоторые из них. Картер и Келлер [27] доказали, что ширина группы БЕ«(II), п > 3 , где И, — кольцо целых чисел алгебраического числового поля, относительно множества элементарных трансвек-ций конечна. К.Х.Закирьянов [8] установил конечность ширины симплектической группы 8р2п(11), п > 3, относительно множества элементарных матриц. Аналогичные результаты для некоторых групп Шевалле над тем же кольцом Б1 получил О.Н.Тавгень [21]. С другой стороны, Ван дер К ал лен [38] доказал, что если Р — поле бесконечной степени трансцендентности над своим простым подполем, то группа

SLn(F[x]) при n > 2 имеет бесконечную ширину относительно множества элементарных трансвекций.

В случае, когда основное кольцо R — это некоммутативное тело, рассматривалась задача вычисления ширины классических групп относительно естественных порождающих множеств (см. [30], [34]). Эта задача возникла в связи с нуждами проективной геометрии. Отказ от коммутативности тела R связан с тем, что координатное кольцо проективного дезаргового пространства является телом, вообще говоря, некоммутативным. Ширина группы GL(V) относительно простых преобразований остается равной dim У для любого тела R (см. [6], гл. III, § 2, предложение 1). В ряде задач проективной геометрии, например, при характеризации автоморфизмов полной группы преобразований проективного пространства, важную роль играют абстрактные теоретико-групповые свойства преобразования, которые позволяют сделать заключение о его геометрических свойствах. В случае, когда тело R — поле, длинна отдельно взятого преобразования является примером характеристики, которая выражается на языке абстрактной теории групп. Это наглядно показывает теорема Дьедонне, которая утверждает следующее: каждое нетривиальное преобразование с вычетом т из SL(V), не являющееся большой дилатацией, представимо в виде произведения т трансвекций, а меньшего числа трансвекций не достаточно; большая дилатация из SL(V) представима в виде произведения т + 1 трансвекций, причем это число нельзя уменьшить (см. [18], теорема 2.1.8).

В группе всех автоморфизмов векторного пространства над произвольным телом под специальной линейной группой подразумевают подгруппу, состоящую из всех преобразований с определителем Дьедонне равным единице. Тем не менее, Фадке установил, что в случае некоммутативного тела теорема Дьедонне не верна: в специальной линейной группе появляются такие преобразования с вычетом 1, которые нельзя представить в виде произведения двух трансвекций [35]. Год спустя Фадке указал простое преобразование, которое представимо в виде произведения трех отражений, но не представимо в виде произведения двух отражений [36]. Назовем все такие растяжения исключительными. Все растяжения, разложимые в произведение трех трансвекций, а также все растяжения, разложимые в произведение трех отражений были охарактеризованы Дьяковичем [29]. Отметим, что каждое разложение исключительного растяжения обладает следующим свойством: вычетные прямые сомножителей образуют симплекс в подпространстве, порожденном ими. Поэтому вполне естественно, что в первой главе диссертации вводится в рассмотрение понятие симплектического разложения и дается полное описание простых преобразований, имеющих симплектическое разложение. Для того, чтобы сформулировать основной результат первой главы более точно, введем необходимые определения.

Напомним, что нетождественное преобразование s векторного пространства V

над телом К называется простым, если s(x) = х + uf(x) для некоторых и £ V , / £ V*. Назовем параметром простого преобразования s класс сопряженных элементов Con (1 + f(u)) в К* с элементом 1 + f(u) и обозначим через Par (5). Если Par (s) = 1 , то s называется трансвекцией, если Par (s) ф ±1, то s называется растяжением, а если Par (5) = — 1 , то s называется отражением. Образ оператора. s — е называется вычетным пространством преобразования s , а его размерность — вычетом преобразования 5 . В частности, вычетное пространство простого преобразования — это вычетная прямая. Разложение s = аг ... ап в произведение простых преобразований а\ ,.. . ап назовем симплектическим разложением для s длины п , если вычетные прямые viK,..., vnK преобразований аь ..., ап образуют симплекс в подпространстве v\К + ... + vnI\ .

Теперь мы можем дать точную формулировку результата.

Теорема 1.1. Для растяжения s £ GL(V) тогда и только тогда существует симплектическое разложение длины п < dim V + 1 в произведение простых преобразований с одним и тем же параметром А, когда

Par (5) = Con ([жь;г/1]... [xn-2,yn-2]^i ■■■К)

при некоторых xi,yi 6 К* , Л,- £ А .

Отметим, что симплектические разложения длины > dim У + 1 не существуют. Поскольку всякое исключительное разложение длины < 3 является симплектическим, то из этой теоремы следуют теоремы А и В Дьяковича [29]. Кроме того, теорема 1.1 позволяет естественным образом оценить wid (G, S), где S, например, множество всех отражений из GL(V'), в случае когда коммутаторная ширина группы К* меньше dim У. Причем, в случае, когда К —тело кватернионов, эту оценку нельзя улучшить [32].

Результат первой главы опубликован в [41], [42], [46], [49].

Во второй главе диссертации изучаются базы тождеств в линейных группах над полями. В силу теорем Титса. и Мальцева (см. [15], теоремы 55.1.1 и 45.1.1.) особый интерес в этом отношении представляют группы треугольных матриц. Как показал А.Н.Красильников [10], всякая триангулируемая линейная группа имеет конечную базу тождеств, однако его доказательство не дает метода для нахождения баз тождеств конкретных треугольных линейных групп. При изучении баз тождеств конкретных треугольных линейных групп полезную роль играет следующее наблюдение: тождества линейной группы не изменяются при ее замыкании в полиномиальной топологии. Так что описание баз тождеств треугольных алгебраических групп дает исчерпывающий ответ на вопрос о тождествах произвольной треугольной линейной группы.

В свою очередь, каждая алгебраическая линейная группа однозначно определяется ее аннулятором. В § 1 рассматриваются треугольные алгебраические труп-

пы, аннуляторы которых порождаются одночленами первой степени. Фактически, если п — степень матриц, то произвольная такая группа однозначно определяется бинарным отношением на множестве {1,... ,п} . В 1970 году Ю.И.Мерзляков по произвольной треугольной полициклической группе С матриц степени п определил эквивалентность на множестве {1,..., п) и показал, что группа С сопряжена с некоторой подгруппой треугольной группы, определенной этой эквивалентностью (см. [15], теорема 48.2.1.). Важно отметить, что не всякую треугольную группу, аннуля-тор которой порождается одночленами первой степени, можно определить с помощью эквивалентности. Основной результат § 1 состоит в том, что с каждой такой группой можно однозначно связать частичный порядок и описать базу тождеств в терминах этого частичного порядка.

Прежде чем сформулировать результат более точно дадим необходимые определения. Пусть к — кольцо с единицей, Т„(к) — группа всех обратимых верхних треугольных матриц степени п над к, И — бинарное отношение на множестве {1,... ,п} . Следуя Ю.И.Мерзлякову ([15], § 48) множество

Тп(Я,к) = {х € Тп(к)\х^ = 0 при [},]) Щ

будем называть треугольным множеством, определенным бинарным отношением К. Назовем бинарное отношение Я согласованным с естественным порядком, если из соотношения (г, _;') £ Я следует г < ] .

Теорема 2.1. Для любого бесконечного поля к среди всех треугольных множеств, определенных бинарными отношениями Н , согласованными с естественным порядком, группами являются только те, для которых И — частичный порядок, и если с — длина максимальной цепи частично упорядоченного множества ({1,..., тг}, К), то группа Тп(Н, к) имеет точно такие же тождества, как группа Тс(к), а ее унипотентная часть имеет точно такие же тождества, как группа

итс(к).

Необходимо указать, что теорема 2.1 дает, в действительности, описание баз тождеств групп, рассмотренных в § 1, так как известно описание баз тождеств группы всех треугольных, а также группы всех унитреугольных матриц над бесконечным полем. Описание баз тождеств таких групп впервые было получено Н.С.Романовским [20].

В § 2 второй главы исследуются тождества максимальных собственных алгебраических подгрупп в группе всех унитреугольных матриц над универсальной областью нулевой характеристики, то есть над алгебраически замкнутым полем бесконечной степени трансцендентности над . Для матриц степени семь и выше найдены достаточные условия на аннулятор максимальной собственной алгебраической подгруппы, обеспечивающие следующее свойство: в максимальной собственной алгебраической

подгруппе не появляется новых тождеств по сравнению со всей группой. Легко видеть, что максимальная собственная алгебраическая подгруппа выделяется в группе всех унитреугольных матриц единственной (с точностью до пропорциональности) линейной формой. Для матриц степени пять и шесть найдены необходимые и достаточные условия на носитель линейной формы максимальной собственной алгебраической подгруппы, обеспечивающие следующее свойство: максимальная собственная алгебраическая подгруппа имеет те же тождества, что и группа всех унитреугольных матриц. Кроме этого, найдены базы тождеств максимальных собственных алгебраических подгрупп с исключительными носителями. Наконец, для матриц степени четыре найдены тождества произвольной унитреуголыюй подгруппы.

Метод, которым получены все перечисленные результаты представляет собой слегка усовершенствованный метод статьи [20]. Дадим его краткое описание. Сначала устанавливается взаимосвязь между тождествами группы и ее алгебры Ли. Затем, находятся новые тождества максимальной степени ассоциативной обертывающей этой алгебры Ли. Затем, стандартным образом строится относительно свободная нильпотентная ассоциативная алгебра, которая кроме тождества нильпотентности и его следствий удовлетворяет только найденным тождествам и их следствиям. Показывается, что исследуемая группа вкладывается в группу -алгебры Ли, порожденной свободными образующими построенной ассоциативной алгебры. Этим вопрос сводится к изучению тождеств указанной -алгебры Ли. Наличие среди ассоциативных тождеств элемента Ли приводит к системе линейных уравнений, решение которой сведено к вопросу: совпадает ли подходящий правый идеал со всем групповым кольцом симметрической группы.

Приведем теперь точную формулировку основного результата § 2. Пусть к — поле, ¡{х) = Та^х а1х1 С к. Обозначим через <т(/) = {г € ГЧ|г < тг, ее,- ф 0} — носитель формы / и для матрицы д (Е СЬ„(к) положим /(д) = «¿№,¿+1 •

Пусть а С {!,..., п — 1}. Назовем подгруппу С в 11Тп(к) группой типа а, если найдется такая линейная форма / от п — 1 переменной с коэффициентами из к с условием сг(/) = а, что С = {д <Е иТп(к)|/(д) = 0}. Множество а назовем симметричным, если оно инвариантно относительно поворота отрезка [1,п-1] вокруг его центра. Мы будем использовать следующие стандартные в теории многообразий групп обозначения. Многообразие, порожденное группой С будем обозначать через уаг С, многообразие всех абелевых групп через А , многообразие всех нильпотент-ных групп ступени < с через 1ЧС, а многообразие всех метабелевых нильпотентных групп ступени < с через Мс. Пусть V — многообразие групп, определяемое тождеством

[^1, х2, х3, [ж4, ж5]][ж4, х5, х3, [х1, .т2]][х5, х 1, х3, [х4, х2\] х х[аг4, х2, х3, [х5, Х1]][ж5, х2,х3, [х4, а^]]"1 [.т4, хих3, [ж5, хз]]"1 = 1.

Если Wi и W2 многообразия групп, то через Wi Л W2 обозначаем многообразие, полученное их пересечением.

Теорема 2.2. Пусть к — поле нулевой характеристики, G < UT„(k), Vg = {(912,...,9ri-i,n) £ k"-1|<7 eG}. a) Пусть n >7, множество Vg выделяется в к™-1 линейной формой, среди коэффициентов которой три первых или три последних отличны от нуля. Тогда var G = varUTn(k) . б) Пусть п = 6, Vg выделяется в к5 линейной формой f и а = a(f) . Многообразие var G совпадает с varUTe(k) тогда и только тогда, когда либо |<т| > 2, либо о не симметрично и |сг| = 2 . Если G — группа симметричного двухэлементного типа, то var G = N5 AV. в) Пусть п = 5, Vg выделяется в к4 линейной формой f и а = <т(/) . Если \о\ >2, {1,2} ф и ф {3,4}, то var G = varUT5(k). Если о = {1,2} или а = {3,4} и G — группа типа а, то var G = М4 . г) Пусть п = 4. Если Vg выделяется в к3 нетривиальной линейной формой с неодноэлементным носителем, то var G = N3 . Для нетривиальной группы G, которая этим свойством не обладает, справедливо одно из двух: либо var G = N2 , либо var G = А .

Отметим, что приводить описание тождеств группы типа а в случае |<т) < 2 нет необходимости, так как это уже сделано в § 1.

В диссертации показано, что при п = 7 в группе матриц степени п и симметричного типа {1,6} появляются новые тождества, а при п = 8, группы симметричных типов {1,7} и {2,6} порождают различные многообразия. Так что ситуация, возникшая при п — 5,6 является исключительной. Кроме того, приведены примеры, показывающие, что утверждение теоремы перестает быть справедливым для групп типа о над бесконечным полем четной характеристики.

Заканчивается § 2 получением такого следствия из сформулированной теоремы. Если к — поле нулевой характеристики и группа унитреугольных матриц пятой степени над к такова, что каждая ее двупорожденная подгруппа трехступенно ниль-потентная, то и вся группа трехступенно нильпотентная. Последний результат перестает быть справедлив, если поле к заменить на тело нулевой характеристики (см. [33]). Результаты главы 2 опубликованы в [45], [44], [48].

В третьей главе показан еще один способ, позволяющий выяснить, при каких условиях на аннуляторы двух алгебраических унитреугольных подгрупп они порождают различные многообразия и однозначно охарактеризовать эти многообразия. Базируется этот способ на том факте, что унитреугольная группа над полем нулевой характеристики порождает многообразие, свободная группа которого аппроксимируется нильпотентными группами без кручения, то есть является многообразием лиева типа. Так что, знание строения решетки подмногообразий лиева типа в Nc оказывает существенное подспорье при нахождении базы тождеств конкретных унитреугольных групп. Например, в N3 эта решетка состоит из трех элементов, если исключить

тривиальное многообразие. Отсюда сразу следует, что нетривиальная унитреуголь-ная группа матриц степени четыре над полем нулевой характеристики порождает либо многообразие N3, либо N2 , либо А и для доказательства утверждения г) теоремы 2.2 остается только проверить какие базовые тождества перечисленных многообразий не выполнены на исследуемой группе. В общем случае вместо базовых тождеств достаточно брать слова из базы тождеств в категории групп без кручения. Напомним, что базой тождеств в категории групп без кручения называется такое множество слов И7* , для которого справедливо следующее свойство: всякая группа без кручения, для которой все слова из множества Ж являются тождествами, лежит в многообразии, порожденном группой С. Описанию подмногообразий лиева типа в N0 в терминах баз тождеств в категории групп без кручения, а так лее нахождению некоторых полезных свойств категории линейных алгебраических групп посвящена третья глава.

Первый параграф третьей главы носит подготовительный характер. Однако, его основной результат важен и сам по себе. Существует стандарный способ установления соответствия между многообразиями -алгебр Ли и многообразиями групп лиева типа: многообразию -алгебр Ли ставится в соответствие многообразие, порожденное группой свободной алгебры Ли этого многообразия -алгебр Ли (см. [4], теорема 8.4.3). Любое многообразие лиева типа может быть получено таким образом, но, в общем случае, это отображение не является взаимно однозначным (см. [25], § 5); и тот факт, что было ошибочное утверждение о его взаимнооднозначное™ (см. [2], теорема 5), лишний раз говорит о сложности этого соответствия. Все же, если ограничиться нильпотентными С^-алгебрами Ли, то, как, показал К.К.Андреев [1], получится взаимно однозначное соответствие между нильпотентными многообразиями -алгебр Ли и нильпотентными многообразиями групп лиева типа. Однако, остается открытым вопрос: как связаны полиномы, задающие тождества нильпотентной О, -алгебры Ли и слова, задающие тождества соответствующей нильпотентной группы без кручения.

Другой подход к установлению взаимно однозначного соответствия между нильпотентными -алгебрами Ли ступени < с и подмногообразиями лиева типа из ГЧС предложил Д.И.Эйделькинд (см. [25], § 3). Будем коротко называть многообразие представилшм, если его свободная группа счетного ранга точно представима матрицами над универсальной областью нулевой характеристики. Класс всех предста-вимых многообразий содержит все нильпотентные многообразия лиева типа и сам состоит из многообразий лиева типа. Представимому многообразию ставится в соответствие многообразие, порожденное алгеброй Ли связной алгебраической линейной группы, которой представимое многообразие может быть порождено. При этом указанная алгебра над универсальной областью рассматривается как С) -алгебра Ли. Ни

К.К.Андреев, ни Д.И.Эйделькинд ничего не говорят о решеточных свойствах своих соответствий, ничего не говорится об этом и при изложении их результатов (см. [14], раздел 8.4).

С другой стороны, некоторый свет на строение решетки подмногообразий лиева типа в ГЧС проливает классификационная теорема, которая говорит, что эта решетка изоморфна подпрямому произведению прямых произведений решеток подпространств векторных пространств над определенной размерности (см. [6], [4], теорема 8.6.4). Аналогичное утверждение справедливо для решетки соответствующих -алгебр Ли. Однако, из-за неоднозначности подпрямого произведения решеток сразу не следует изоморфизма этих решеток. В то же время, в доказательстве классификационной теоремы указан решеточный изоморфизм подрешетки вербальных подалгебр (в свободной алгебре многообразия всех нильпотентных -алгебр Ли ступени < с), заключенных между соседними членами нижнего центрального ряда указанной алгебры Ли, и подрешетки изолированных вербальных подгрупп (в свободной группе многообразия ГЧС), заключенных между соседними членами нижнего центрального ряда указанной группы. Основной результат § 1 (теорема 3.1) состоит в том, что это последнее отображение с локальных подрешеток может быть продолжено до изоморфизма полных (в смысле целых) решеток вербальных подалгебр и изолированных вербальных подгрупп. Ввиду того, что решетки эти антиизоморфны соответствующим решеткам многообразий, то возникает еще третье соответствие между элементами решетки многообразий нильпотентных алгебр Ли ступени < с и решетки подмногообразий лиева типа в 1ЧС, и это соответствие сохраняет решеточные операции.

Отметим прежде всего методическое значение результата § 1. Используя его, можно дать более простое доказательство упомянутой классификационной теоремы. Благодаря ему, дело сводится к -алгебрам Ли, где такое громоздкое свойство, каким является дистрибутивность подрешетки, порожденной любым множеством из трех элементов, содержащим предпоследний член нижнего центрального ряда, проверяется проще, да и решетка -алгебр Ли определяется более естественно.

Дадим теперь точную формулировку основного результата и его следствия. Пусть алгебра Ли — свободная алгебра Ли многообразия нильпотентных -алгебр Ли ступени < с со множеством свободных образующих X . Кроме лиевой операции (-,•) определим на Бс дополнительную бинарную операцию, полагая для х, у 6 5С

с

Х0У = 2/),

где

Фг (х,у)

1

г

5 т,+п,> 1 пх\тх\.. .п3\т3\ Е,п,+Е,'гп'=г

а отображение 7г (из множества ассоциативных мономов обертывающей для ,5'с в множество левонормированных коммутаторов из 5С) задается правилом тт{хгх2 ■ ■ ■ хг) = (ж1, х2, ■ ■ ■, хг). Тогда алгебра (¿"с, о) является группой, а группа /^порожденная множеством X, — свободная группа многообразия N0 со множеством свободных образующих X.

Теорема 3.1. Каноническое отображение, которое вербальной подалгебре Н в вс ставит в соответствие вербальную подгруппу НР[ЕС в Ес является изоморфизмом решетки вербальных подалгебр в алгебре Ли 5"с на решетку изолированных вербальных подгрупп в Ес .

Опираясь на результат § 1 получен следующий критерий выполнимости данного тождества на группе унитреугольных матриц над полем нулевой характеристики.

Теорема 3.2. Пусть О — универсальная область нулевой характеристики. Пусть V — естественный прообраз б свободной -алгебре Ли элемента алгебры Бс, полученного из образа элемента v свободной группы (при естественном гомоморфизме на Ес) заменой групповой операции на операции алгебры Ли с помощью формулы (*). Слово V является тождеством на замкнутой (в полиномиальной топологии) подгруппе С в иТс+1(П) тогда и только тогда, когда V — тождество в алгебре Ли Ь алгебраической группы (7, рассматриваемой в качестве С^-алгебры Ли. Если V — базовое тождество группы (7, то V — базовое тождество алгебры Ли Ь . Если 10 — базовое тождество алгебры Ли Ь, то найдется такое натуральное число т и такое базовое тождество V группы С в категории групп без кручения, что тю = V .

В начале § 2 дается элементарное доказательство бесконечности решетки подмногообразий лиева типа в 1ЧС при с > 6. Ранее этот результат получил Ковач, как следствие классификационной теоремы (см. [35]; [4], теорема 8.6.4). Кроме того, в § 2 получен следующий результат.

Теорема 3.3. Для любого с решетка подмногообразий лиева типа в N2 А А А^ А 1М"С конечна.

Полученное описание, в общем случае, не дает исчерпывающей информации о соответствующей решетке. Далее, получено полное описание решетки подмногообразий лиева типа в N5 в терминах баз тождеств в категории групп без кручения.

Теорема 3.4. Всякое подмногообразие лиева типа в N5 либо совпадает с М5, либо лежит между 14* и N^1 . Между N5 и N4 имеется 30 различных подмногообразий лиева типа, свободные группы которых имеют в качестве базы тождеств (в категории групп без кручения) собственную подсистему системы

слов

[ж2, Жх, Ж!, a;l5 Xi], [x2,xi,xi,[x2,xi]],

[х2,хихи [x3,Ж!]][Ж3, аг15 Ж1, [ж2, ^l]]-1,

[х2, Х\, хь [х3, ж2]][ж2, X], х2, [х3, Х1]]_1[ж2> хь х3, [х2, хг]],

[х4,х3,х2, [х2,х1]][х2,х1,х2, [х4,хз]][х4,х1,х2, [х3,х2]]х

х [х3,ж2,ж2, [x4,xi]][x4,x2,x2, [х3, xi]]_1[x3,xi,x2, [х4, х2]]-1.

Всякое подмногообразие лиева типа между N4 и N3 либо совпадает с М4 ; либо таково, что любая двупорожденная подгруппа его свободной группы трехступенно нилъпотентна. Между N& и при к < 3 промежуточных подмногообразий

лиева типа нет.

В конце § 2 приведен пример нового тождества группы треугольных матриц над полем нулевой характеристики, у которой диагональная подгруппа накрывается тором, размерность которого по крайней мере на 2 меньше размерности матриц. В частности, никакой нормализатор в Т„(П) максимальной собственной замкнутой подгруппы в UTn(ii) не порождает многообразия varTn(fi).

Результаты § 1, § 2 опубликованы в [45].

В § 3 рассматривается категория LAG линейных алгебраических групп, то есть категория, объектами которой служат алгебраические группы матриц над универсальной областью произвольной характеристики, а морфизмами — рациональные гомоморфизмы. Исследуются теоретико-групповые свойства, которые допускают перенос с фактор-группы в саму группу. Полезность таких свойств была замечена Ю.И.Мерзляковым, когда он единым образом изложил доказательство теорем С.П.Черникова, А.И.Мальцева и М.И.Каргаполова об условиях конечности в разрешимых группах (см. [9], § 24, § 25). В силу индуктивных соображений достаточно показать, что условие конечности наследуется при гомоморфизмах с абелевым ядром, а для этого достаточно найти, "почти дополнение"для ядра. Отправной точкой исследования стал результат В.П.Платонова: существует конечная подгруппа алгебраической линейной группы, отображающаяся на весь образ группы при гомоморфизме, ядром которого является связная компонента единицы этой алгебраической линейной группы (см. [39], § 10). Опираясь на этот результат, Басс применил пересаживание уже в категории LAG и уточнил классическую оценку для индекса абелевой нор-

мальной подгруппы конечной группы в случае, когда эта конечная группа является фактор-группой некоторой алгебраической линейной группы по ее связной компоненте единицы [26]. Учитывая все выше сказанное, полезно дать следующее определение. Будем говорить, что некоторое свойство X (теоретико-групповое) обеспечивает адекватную дополняемость нормальных подгрупп в категории LAG, если для всякого объекта G категории LAG и всякого рационального гомоморфизма <р с образом Gv , обладающим свойством X, найдется такая обладающая свойством X замкнутая подгруппа Н группы G, что G = Н ■ ker (р. Основной результат § 3 состоит в том, что свойства "быть периодической", "быть разрешимой", "быть нильпотентной и конечной"обеспечивают адекватную дополняемость нормальных подгрупп в категории LAG, а также свойство "быть нильпотентной"— в категории связных линейных алгебраических групп, причем адекватное дополнение может быть порождено множеством мощности, равной индексу дополняемой номальной подгруппы. В конце § 3 приведен пример, показывающий, что свойство "быть абелевой"такую адекватную дополняемость не обеспечивает. В категории связных линейных групп разработан аналог теории Фраттини для формации конечных групп [24]. Благодаря этому, эта категория является еще одним примером категории, в которой свойство "быть нильпотентной" обеспечивает адекватную дополняемость нормальных подгрупп.

Результаты § 3 опубликованы в [43], [47], [50].

Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на 7 параграфов. Объем работы 54 стр. Библиография 40 названий.

Все результаты диссертации являются новыми. Они опубликованы в работах [41-50] и докладывались на семинаре "Эварист Галуа", на семинаре по теории групп в Новосибирском университете, на семинаре "Алгебра и логика", на 10-м Всесоюзном симпозиуме по теории групп (Минск, 1986), на 11-м Всесоюзном симпозиуме по теории групп (Свердловск, 1989), на Международной конференции по алгебре, посвященной памяти А.И.Мальцева (Новосибирск, 1989), на 3-й Международной конференции по алгебре (Красноярск, 1993), на 3-м Сибирском конгрессе по индустриальной и прикладной математики (Новосибирск, 1998).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Коробов, Алексей Александрович, 1999 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Андреев К.К. Нильпотентные группы и лиевы алгебры, 1 // Алгебра и логика.

1968. Т. 7, № 4. С. 4-14.

2. Андреев К.К. Нильпотентные группы и лиевы алгебры, 2 // Алгебра и логика.

1969. Т. 8, № 6. С. 625-635.

3. Бардаков В.Г. О разложении автоморфизмов свободных модулей на простые множители // Известия РАН, Сер. мат. 1995. Т. 59, № 2. С. 109-128.

4. Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985.

5. Бахтурин Ю.А., Ольшанский А.Ю. Тождества // Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. М.: 1988. Т. 18: Современные проблемы математики. С. 115240.

6. Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. М.: Изд-во иностр. лит., 1955.

7. Дренски B.C. Представления симметрической группы и многообразия линейных алгебр // Мат. сб. 1981. Т. 115, № 1. С. 98-118.

8. Закирьянов К.Х. Конечность ширины симплектической группы над кольцом алгебраических чисел относительно элементарных матриц // Алгебра и логика. 1985. Т. 24, № 6. С. 667-673.

9. Ка.ргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. 3-е изд. М.: Наука, 1982.

10. Красильников А.Н. О конечности базиса тождеств групп с нильпотентным коммутантом // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1990. Т. 54, № 6. С. 1181-1195.

11. Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1974.

12. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.

13. Мальцев А.И. Об изоморфном представлении бесконечных групп матрицами // Мат. сб. 1940. Т. 8, № 3. С.405-422.

14. Мерзляков Ю.И. Линейные группы // Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР, М., 1971. Алгебра. Топология. Геометрия. 1970. С. 115-240.

15. Мерзляков Ю.И. Рациональные группы. 2-е изд. М.: Наука, 1987.

16. Мерзляков Ю.И. Эквиподгруппы унитреугольных групп // Доклады АН. 1994. Т. 339. № 6. С. 732-735.

17. Нейман X. Многообразия групп. М.: Мир, 1969.

18. О'Мира О. Лекции о линейных группах // Автоморфизмы классических групп. М.: Мир, 1976. С. 57-167.

19. Платонов В.П. Теория алгебраических линейных групп и периодические группы // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1966. Т. 30, № 3. С. 573-620.

20. Романовский Н.С. Базы тождеств некоторых матричных групп // Алгебра и логика. 1971. Т. 10, № 4. С. 401-406.

21. Тавгень О.Н. Ограниченная порождаемость групп Шевалле над кольцами ¿"-целых алгебраических чисел // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1990. Т. 54, N 1. С. 97-122.

22. Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы. М.: Наука, 1980.

23. Холл М. Теория групп. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

24. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978.

25. Эйделькинд Д.И. О точных представлениях относительно свободных групп // Алгебра и логика. 1971. Т. 10, № 4. С. 449-473.

26. Bass Н. Theorems of Jordan and Burnside for algebraic group //J. Algebra. V. 82. № 1. P. 245-254.

27. Carter D. Keller C. Bounded elementary generation of SLn(Q) // Amer. J. Math. 1983. V. 105. № 3. P. 673-687.

28. Classification des groupes de Lie algebriques. Seminaire C. Chevalley. T. 2. Paris, 1958.

29. Djokovic D.Z. Characterization of dilatations which are expressible as a product of three transvections or three reflections // Proc. Amer. Math. Soc. 1984. V. 92. № 3. P. 315-319.

30. Ellers E.W. Classical groups // Generators and relations in groups and geometries. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute (Lucca, 1990). NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C. Math. Phys. Sci. Dordrecht: Kluwer Acad. Pabl., 1991. V. 333. P. 1-45.

31. Ellers E.W.. Lausch H. Generators for classical groups of modules over local rings // J. Geometry. 1990. V. 39, № 1-2. P. 60-79.

32. Ellers E.W., Malzan J. Products of reflections in GL(n,H) // Linear and Multilinear Algebra. 1987. V. 20. P. 281-324.

33. Hartley В. and Menal P. Unipotent representations of torsion-free nilpotent groups over skew fields // Bull. London Math. Soc. 1983. V. 15. P. 378-383.

34. Knüppel P., Thomsen G. Involutions and commutators in orthogonal groups // J. Austral. Math. Soc. (Ser. A.). 1998. V. 65, № 1. P. 1-36.

35. Kovacs L.G. Varieties of nilpotent groups of small class // Topics in algebra. Lecture notes in mathematics, V. 697. Canberra, 1978. P. 205-229.

36. Phadke B.B. Products of reflections // Arch. Math. 1975. V. 26, № 6. P. 663-665.

37. Phadke B.B. Products of transvections // Canad. Math. 1974. V. 26, № 6. P. 1412-1417.

38. Van der Kallen W. SL3(C[x]) does not have bounded word length // Lecture Notes in Math. Berlin-New York: Springer—Verlag. 1982. V. 366, № 6. P. 357-361.

39. Wehrfritz B.A.F. Infinite linear groups. Berlin: Springer Verlag, 1979.

40. Wehrfritz B.A.F. On Lie — Kolchin — Mal'cev theorem // J. Austral Math. Soc. 1978. V. 26, № 3. P. 270-276.

Работы автора по теме диссертации

41. Korobov A.A. Characterization of dilatations which are expressible as a product of independent simple transformations // Proceeding of the Illrd International Conference on Algebra (Krasnoyarsk, 1993). Berlin — New York: Walter de Greyter, 1995. P. 143149.

42. Коробов A.A. О разложении простого преобразования, в произведение простых преобразований с заданными параметрами // Некоторые проблемы дифференциальных уравнений и дискретной математики. Новосибирск: изд-во НГУ, 1986. С. 28-33.

43. Коробов A.A. Критерий существования периодических и разрешимых дополнений нормальных подгрупп в алгебраических линейных группах // Математический анализ и дискретная математика. Новосибирск: изд-во НГУ, 1988. С. 27-31.

44. Коробов A.A. Базы тождеств некоторых треугольных линейных групп. Препринт № 17, ИМ СО РАН, 1992.

45. Коробов A.A. Решетки подмногообразий лиева типа и базы тождеств некоторых треугольных групп // Групповые и метрические свойства отображений, Новосибирск: изд-во НГУ, 1995. С. 37-48.

46. Коробов A.A. О строении простых линейных преобразований над телом // 10-й Всесоюзн. симп. по теории групп. Минск, 1986. С. 124.

47. Коробов A.A. Об адекватной дополняемости нормальных подгрупп в алгебраи-

ческих линейных группах // 11-й Всесоюз. симпозиум по теории групп. Свердловск, 1989. С. 61-62.

48. Коробов A.A. Базы тождеств некоторых треугольных матричных групп // Международная конференция по алгебре, посвященная памяти А.И.Мальцева (19091967). Тезисы докладов по теории групп. Новосибирск, 1989. С. 65.

49. Коробов A.A. Параметр простого преобразования, разложимого в произведение простых преобразований. Третья Международная конференция по алгебре: тезисы докладов, Красноярск: "ИНОПРОФ", 1993. С. 165-166.

50. Коробов A.A. О нильпотентных и периодических дополнениях в алгебраических линейных группах // Третий Сибирский конгресс по индустриальной и прикладной математике. Тезисы докладов, часть V. Новосибирск, 1998. С. 18.

/

/

/