Плоские акустические волны конечной амплитуды в вязкой теплопроводящей среде. тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Гольдберг, З. А.

• Гольдберг, З. А.
• 1958

Оглавление диссертации Гольдберг, З. А.

Некоторые обозначения. Введение

Глава I. Исходные уравнения. Опенка чле уравнений

§ I* Исходные уравнения в переменных Эйлера

§ 2. Исходные уравнения в переменных Лагранжа

§ 3. Формула перехода от переменных Лагранжа к переменным Эйлера I

Глава 2. Различные решения задачи о бегущих волнах и границы их пр именимости

§ I. 1 ' ; Решение методом последовательных 'приближений. I i

§ 2. Решение Фокса-Уоллеса ! i | j

• со Решение методом Крылова-Бо 1голюбо]Ьа

§ 4* Решение Фэя. 1 I 1 j

§ 5. Решение Хопфа-Коула^ендоу сса |

§ 6. Сравнение различных решени й !

Глава 3. Стоячие волны j

§ I. Постановка задачи (

§2, Начальная задача J

§ 3. Граничные задачи ' а/ Взаимодействие прямой и отраженной от твердой стенки волн. б/ Установившееся акустическое поле между двумя твердыми стенками, одна из которых неподвижна, а другая колеблется

§ 4. Некоторые особенности поведения стоячих волн конечной амплитуды

Глава 4. Особенности поведения акустических волн конечной амплитуды

§ I* Два режима. Критерий, указывающий на близость движения к тому или другому режиму

§ 2. Оценка расстояния, пройдя которое первоначально синусоидальная волна принимает пилообразную CQ форму. ь°

§ 3. Ширина волны

§ 4. Среднее по времени акустическое давление.

Глава 5. Поглощение

§ I. Две постановки вопроса о поглощении

§ 2. Поглощение, обусловленное диссипацией энергии 76 волны

§ 3. Поглощение основной гармоники

§ 4. Сравнение с опытом.

§ 5. Влияние мощности излучателя на интенсивность акустических волн и дальность их распространения

Глава 6. О плоских волнах конечной амплитуды в изотропном твердом теле

§ I. Исходные уравнения

§ 2. О взаимодействии продольных и поперечных волн конечной амплитуды.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Плоские акустические волны конечной амплитуды в вязкой теплопроводящей среде.»

Под волнами конечной амплитуды понимают волновые процессы, для описания которых недостаточно приближения линейной акустики Поэтому, в отличие от волн бесконечно-малой амплитуды, волны кс нечной амплитуды описываются нелинейными уравнениями механики сплошной среды.

Формулы для бегущей акустической волны конечной амплитуды были сначала получены Пуассоном [i] , но общее решение нелинейных уравнений для бегущих волн в идеальной среде было впервые даноРиманом [2] .

Для волны синусоидальной в некоторой точке Х- 0 , распрост раняющейся в газе с уравнением состояния т , . формула Пуассона-Римана примет вид

I/

Из /0.2/ видно, что скорость распространения точек профиля во; ны с* неодинакова для различных точек профиля, причём точкам с боль шим значением скорости частиц соответствует большее ct . Поэтому по мере распространения профиль волны будет искажатьс /см.фиг.1/. В конце концов на протяжении каждого периода воле

4а. a)t*0

6) tt>0 A tV

- фиг. I

Искажение формы волны по пере ее распространения. образуется разрыв /фиг.Id/.

В дальнейшем функция ^(у) становится неоднозначной - одному значению X соответствует три различных значения V /фиг.1$/. Физически такое положение, конечно, невозможно. Поэтому в точка: разрыва решение /0.2/, вообще говоря, теряет смысл /подробнее см. [з] /.

Расстояние, на котором в первоначально синусоидальной волне накапливается разрыв / L/, находится из требования

Ш^оа,

П ' которое приводит к следующей формуле:

L= * йкЧЫ)' /0'3/

Начало детальному изучению поведения периодических волн конечной амплитуды в вязкой среде было положено работой Фэя, вышедшей еще в 1931 году /см. § 4 главы П/. Однако, до недавнего времеяи число таких работ было очень и очень незначительно. Только в последнее десятилетие интерес к этой области акустики сильно возрос. Это объясняется тем, что ультразвуковые поля бол: шой интенсивности стали находить все большее и большее применение для решения самых разнообразных технических задач в научных исследованиях, в медицине /подр. см., напр., [4] /.

В вязкой теплопроводящей среде процесс искажения профиля волны конечной амплитуды сопровождается поглощением энергии волны, причём по мере того как увеличивается крутизна профиля вол

У. ны, возрастает и влияние диссипативных процессов, уменьшающих крутизну волны. Когда оба эффекта окажутся в рановесии, то кривая достигнет максимальной крутизны. При дальнейшем движении во ны ее амплитуда постепенно уменьшается, но форма волны меняется незначительно. Говорят, что образовалась относительно устойчива форма волны ^5,б] . Таким образом, в вязкой теплопроводящей сре де ширина волны* всегда конечна /подр. см. [з] /.

Описанная качественная картина процесса распространения вол конечной амплитуды в диссипативной среде приводилась уже в первых работах на эту тему [5, ?] . Тем не менее, в количественной теории этого процесса многое оставалось неясным. Например; неясно было от каких параметров зависит степень искажения форма волны, насколько существенны нелинейные эффекты при тех или ины значениях параметров задачи, на каком расстоянии от излучателя первоначально синусоидальная волна принимает стабильную форму, как меняется в процессе распространения ширина волны и др. Мног неясностей было и в вопросе о поглощении волн конечной амплитуды. Мало было известно о стоячих волнах конечной амплитуды и об особенностях распространения плоских волн конечной амплитуды в твердых телах.

Указанные выше вопросы и разбираются в настоящей работе. Кроме того, дается анализ известных нам решений задачи о бегущих волнах, полученных разными методами и для различных начальных и граничных условий. Условимся под ширинойпериодической волны понимать расстояние t /см. фиг.16/

-ф.

Диссертация состоит из 6 глав,

В первой главе исходные уравнения в переменных Эйлера и в переменных Лагранжа приводятся к виду,уд©бному для их интегри< рования. Выясняется, от каких безразмерных параметров зависит величина различных членов исходных уравнений. В частности указ» вается, когда необходимо учитывать влияние теплопроводности.

Во второй главе анализируются различные решения / в том чи ле и наши, полученные методом последовательных приближений и ме тодом Крылова-Боголюбова/ задачи о бегущих волнах конечной ампл туды в вязкой теплопроводящей среде /см.оглавление/. Выясняются границы применимости каждого решения. Устанавливается связь меж ду решениями, полученными разными методами.

Третья глава посвящена изучению методом последовательных приближений плоского акустического поля в вязкой теплопроводяще среде между двумя плоскими твердыми стенками. Рассматривались три различные постановки задачи.

1. В начальный момент времени задано синусоидальное по пространству распределение скорости частиц. Стенки неподвижны. Изучается акустическое поле в последующие моменты времени.

2. Начиная с некоторого момента времени, до которого среда покоилась, одной из стенок сообщается синусоидальная во временв скорость. Изучается акустическое поле, образованное взаимодейсэ вием бегущей вперед и отраженной от неподвижной стенки волн.

3. Одна из стенок неподвижна, а другая колеблется. Изучает ся установившееся акустическое поле.

Первая задача для невязкого нетеплопроводящего газа рассмат ривалась Зйхенвальдом [7] , Андреевым [8] и др. Мы обобщили полученное ими решение на случай любой среды с вязкостью и теплопроводностью, что привело к экспоненциальному затуханию со време нем амплитуды скорости частиц.

Вторая и третья задачи, насколько нам известно, теоретически никем не рассматривались.

В четвертой главе разбираются особенности поведения волн конечной амплитуды в вязкой теплопроводящей среде. Для удобства анализа выделяются два предельных режима:

1. Режим синусоиды, при котором стабильная форма волны близк; к синусоидальной.

2. Режим пилы, характеризующийся пилообразной стабильной фор мой волны.

Первому режиму соответствуют числа Рейнольдса

IK1, а второму

R^l.

Оказывается, что при отклонении чисел Рейнольдса от единицы в сторону уменьшения или увеличения стабильная форма волны сравнительно быстро стремится принять форму синусоиды или пилы соохвет ственно. Поэтому величина чисел Рейнольдса может служить хорошим критерием, указывающим на близость движения к тому или другому предельному режиму.

Далее получены формулы для расстояния от излучателя до места, где волна принимает пилообразную форму, и для ширины волны. Выясняется как распределено среднее пш времени акустическое давление в бегущих и стоячих волнах.

Пятая глава посвящена вопросу поглощения волн конечной ампл туды. Указывается, что необходимо различать две постановки вопроса о поглощении.

1. Вопрос о диссипируемой энергии волны, проявляющейся в нагревании среды.

2. Вопрос о затухании колебаний с основной частотой.

Получены формулы для коэффициента поглвщения в обоих вариан тах. Оказалось, что в обоих случаях при числах Рейнольдса меньше единицы коэффициент поглощения пропорционален R .При числах Рейнольдса больших единицы коэффициент поглощения до устано ления стабильной формы волны пропорционален для стабильной же пилообразной формы волны пропорционален R .

Указанные закономерности поглощения волн конечной амплитуды сравниваются с результатами известных нам экспериментальных работ.

Полученные результаты позволили оценить влияние мощности излучателя на интенсивность плоских акустических волн и дальность их распространения.

Шестая глава посвящена изучению особенностей распространения плоских волн конечной амплитуды в изотропном твердом теле.

С точностью до второго приближения включительно получеш уравнения, описывающие распространение плоских продольных и поперечных волн. Исследуются особенности взаимодействия продольных и поперечных волн. Указано, что во втором приближен] поперечная волна порождает продольную.

Наконец, в приложении выясняются причины ошибочных результатов, полученных в статьях Фэя[9; 1ф

По материалам диссертации написаны следующие работы:

1. Акустические уравнения второго приближения и распространение плоских волн конечной амплитуды. Акуст.журн. 1956, 2,3, 325-328.

2. Некоторые величины второго порядка в акустике. Акуст. жур. 1957, 3, 2, 149-153.

3. О распространении плоских волн конечной амплитуды. Акуст. журнал, 1957, 3, 4, 322-328.

4. О распространении плоских звуковых волн конечной амп. туда в вязкой теплопроводящей среде. Акуст.лурн. /в печати/,

Кроме того, на 4-й Всесоюзной Акустической конференции был сделан доклад на тему "О стоячих плоских акустических волнах конечной амплитуды" /4-я Всесоюзная Акустическая конференция. Рефераты докладов. Издательство АН СССР, 1958, 27-28/.

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Гольдберг, З. А.

В заключение рассмотрим плоские волны конечной амплитуды в изотропном твердом теле. Для этого получим по схеме, данной в книге [3 ; часть 2, § 26 J , уравнения движения с учётом квадратичных по деформации членов. Затем специализируем эти уравнения для плоской задачи. Это позволит сделать некоторые выводы о характере взаимодействия плоских продольных и поперечных волн конечной амплитуды. В частности указано, что чистая по перечная волна порождает продольную волну.

§ I» Исходные уравнения

Для получения уравнений движения рассмотрим бесконечно-малое изменение внутренней энергии единицы объёма ct£ , которое для адиабатических процессов равно работе сил внутренних напряжений, взятой со знаком минус:

JX .

71-1/

С другой стороны, вариация £6 может быть написана в виде* где \£ - вектор деформации или вектор смещения;

В дальнейшем везде но всем дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирование по значениям 1,2,3; причем

Коэффициенты при множителе - Stt, во втором слагаемое формулы /У1-2/ являются компонентами силы, отнесенной к единице объёма тела. Поэтому уравнения движения можно записать в виде: % xdtv~dxK' m-v

Чтобы получить уравнения движения с точностью до квадратичен ных членов по —включительно необходимо написать общее

X К выражение для упругой энергии изотропного тела £ с учётом членов третьего приближения. Общий вид скалярного выражения, содержащего члены второй и третьей степеней по И^ , есть т-ъ/ где J^ - модуль сдвига, К - модуль сжатия, ft & и С - некоторые скалярные коэффициенты*

Используя точное выражение для тензора деформации:

U ЖА и соотношения /УТ-3/-/У1-5/, получим следующие уравнения движения:

U эх, ^эх* ЭХ,

4 3 у VaX-JM» ЭХ». Эх^Х* ЭХе) к/ Отметии, что если дифференцирование проводить по координатам тела после дефориирования / х;: /, то виесю ?„ необходимо писать $> , тан как в переменных Лагранга ф +2С.)

ЭХ.'ЭХк э х£

В частном случае плоских волн, когда уравнения /У1-6/ примут следующий вид:

Q\i .J^+sC^ ^ + ЭОсД лэх^Р'Зх1 + т-7/ J ЭХ* 6 I -ЗХ1 ' ЭХ W Ox I > /71-8/

Г) я. ^

V/^+n^x* эх эх2- 'ЭХ/7

У1-9/

-Эх где

§ 2. О взаимодействии продольных и поперечных волн конечной амплитуды

В линейном приближении система уравнений /У1-7/-/У1-9/ представляет три независимых уравнения для LLА , IX- у llt . Это, как известно, приводит к тому, что продольные и поперечные упругие волны не взаимодействуют между собой. Квадратичен,ные же по члены зависят от всех компонент вектора смещения. Это означает, что если имеются продольные и поперечные водны, то во втором приближении они взаимодействуют между собой.

Решим сейчас такой вопрос: возможны ли только продольные волны? Чтобы ответить на этот вопрос, проверим удовлетворяйся ли уравнения /У1-7/-/П-9/, когда

Mx/tа 1^=1^=0.

Положив , получим одно уравнение для продольной волны: lW Т'^Х17 ЭХ" /У1-10/

Значит с точностью до второго приближения включительно одна продольная волна возможна.

Если в уравнение /УТ-lO/ добавить обычный член с вязкостью /см. [з; часть 2; § 29] / V г\ зХ 3 то оно по виду полностью совпадет с уравнением /1-19/. Поэтому все результаты, полученные для продольных волн в жидких средах в переменных Лагранжа могут быть обобщены на случай твердых тел простой заменой в окончательных формулах на <L и сд на .В частности, формула /1У-10/ для расстояния, на котором синусоидальная в точке Х=0 волна превращается в волну пилообразной формы, примет для твердого тела следующий вид:

П-И/ где - амплитуда колебаний излучающей поверхности,

C^^f - скорость распространения продольной волны, -^ . Отношение LT к соответствующему расстоянию для жидкой среды k при одинаковых и бо будет равно:

U U

VLt ki ^cj ' т-12/ а при одинаковых избыточных давлениях р' и частотах оЗ

L L

WL §

СЛ \С0/ m-w

Для проведения численных оценок необходимо знать значение коэффициентов , которые, повидимому, не измерены*

Если считать ^ 1 > то LT для различных твердых тел окажется на один-два порядка больше, чем в воде. Исключение составит резина, для которой LT получится на порядок меньше , чем в воде.

Ревим теперь вопрос: возможны ли только поперечные волны конечной амплитуды? Для этого подставим в уравнения /Л-/У1-7-9/ значения

11=0, а а У и

В результате получим, наряду с обычными линейными уравнения-| ми для и Ht , соотношение

-Эх1" 'ЭХ эх ' которое при наличии только поперечных волн тождественно не удовлетворяется. Это означает, что поперечные веяны во втором приближении порождают продольные волны. Чтобы выяснить структуру образующихся продольных волн, рассмотрим плоское звуковое поле, создаваемое поперечными синусоидальными колебаниями некоторой плоскости. Граничные условий в точке Х=0 зададим следующим образом:

Х=0- q V^l-^cot). /У1-14/

Естественно предположить, что

Тогда с точностью до второго приближения включительно получим для и уравнения: f • /п-16/

Решая последовательно уравнения /П-15-16/ с учётом граничных условий /71-14/, получим следующие результаты:

L ^ -t '

У!-17/ si*Lcox(ir~c~) /71-18/ где C^h^J ^ - скорость звука поперечных волн,

Характерным является то, что амплитуда продольных волн меняется с расстоянием как в стоячей волне, т.е. имеются узлы и пучности значений амплитуды»

Проведение численных оценок и в этом случае затруднено тем обстоятельством, что нам неизвестны значения коэффициентов ft, Ъ и с •

В заключение я хочу выразить самую искреннюю благодарность научному руководителю академику Н.Н.Андрееву за постоя! ное и внимательное руководство работой.

Приношу глубокую благодарность I.А.Исаковичу, Г.Д.Малю-жинцу, ЮЛ.Газаряну, К.А.Наугольных, АЛ. Поляковой за обсуждение отдельных результатов работы и ценные советы.

О работе Фэя "Эффективный метод рассмотрения плоских бегущих волн конечной амплитуды"

В работе Фэя [9] предлагается заменить общепринятую Формулу для скорости точек профиля звуковой волны конечной амплитуды в газе с. выражением с -Ч

I/

V. /2/

Как известно /см. например, ; § 94] /, /I/ вытекает из точного Римановского решения для идеального газа, уравнение состояния которого имеет вид

В работе [9] /2/ получено из уравнений, выражающих в линейной акустике законы сохранения массы и энергии. Ошибочность /2/ обусловлена использованием этих уравнений в области нелинейной акустики, где они неприменимы. Покажем это на примере уравнения, выражающего в линейной акустике закон сохранения массы*

Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси X в невозмущенной среде. Выделим вдоль направления распространения волны цилиндрический объём единичного сечения. Начнем е рассмотрения случая бесконечно-малых амплитуд, когда с - соилЪ , причем описывать волну будем относительно системы координат, движущейся со скоростью С в направлении распространения волны. Рассмотрим фиксированный относительно движущейся системы координат объём цилиндра между плоскостями fl и В , расположенными по обе стороны от переднего фронта волны. Поскольку с-ехмяк-в объёме АБ с течением времени распределение плотности не меняется. Поэтому масса s>oc втекающая в объём АБ через поверхность В за единицу времени, должна быть равна массе вытекающей за единицу времени через поверхность А;

C = 8(t-v). Л/

Уравнение /4/ полностью совпадает с соответствующим уравнением работы [9] .

Уравнение /4/ выведено в случае, когда c-covu>t . Если с неодинаково для различных точек профиля волны, то соотношение /4/, вообще говоря, не имеет силы, так как внутри объёма АВ распределение плотности с течением времени меняется.

Однако может быть при переменном с соотношение /4/ можно использовать как приближенное. Чтобы выяснить это, оценим на т примере синусоидальной волны изменение массы в объёме АВ, отнесенное к единице времени, за счёт искажения профиля волны плотности. Пусть относительно неподвижной системы координат плотность меняется по закону

Предположим, что С слабо зависит от V >т.е. ос(у)-слол/; /6/

OL\J 1 причем ^ 1 .Тогда относительно системы координат движуо щейся в направлении распространения волны со скоростью Со плотность СЛ. со(х+со-ь)

Св + ал/(х;Ъ) J

Изменение массы в объёме АБ за счёт искажения профиля волны, отнесенное к единице времени, будет порядка:

Ъ8 jaM со\ ч(

--/В/

Отношение дт, к наименьшему слагаемому в уравнении /4/ будет порядка awl а.д' clm Со ' /9/

Значит уравнение /4/ можно приближенно использовать в виде до/ где 5>вр-90 «Из ДО/ иохно получить лишь известное соотношение р v линейной акустики: .Фэй же для получения /2/ вынуж

1 с-о ден использовать /4/ с точностью до членов того же порядка и что и отбрасываемые. Поэтому он и не получил правильного значения для коэффициента ct #

Кроме того, §эй в случае, когда С переменно, в результат те дифференцирования /4/ по X с учётом соотношения получает неправильное уравнение непрерывности: fvac

Ь ^Х " с ЭХ • /П/

Р У

Лишний член в уравнении /II/ не появится, если учесть, что, как указывалось выше, соотношение /4/ выражает закон сохранения массы только в случае, когда С-Сом^Ь.

Аналогичные замечания могут быть сделаны и по отношению работы Фэя [ю]. .

Список литературы диссертационного исследования Гольдберг, З. А., 1958 год

1. Роим OVL. ALi\MOL.rz. вид- ^co (AXL %OVL.1. U \ poC.J, И9.

2. RL^wicowl- etle. ТотЪ^о^ли^ JJ^i uii\A^jW -evtolk cW Я6.otb. ^TolJL., 19 , Goit. I .

3. Гз1 Я.Д. Ландау и E.M. Лифшиц. Механика сплошных сред. L j ГИТТЛ, Москва, 1954

4. Л.Д.Розенберг. Применение ультразвука. Издательство АН СССР, Москва, 19571. Г51 ЦЯ). Fau u^d ^адг^ а^a^Ztao^. J. Jlcou^. с! F.E.PoX vvTfl. WaJ^a-сг. J|&o2,|p)tu>vu1.J cuwuj>£iAajuU, S&^M-d

5. A.A. Эйхенвальд. Акустические волны большой амплитуды. Усп. физ. наук, 1934, 14, 5, 552-585.

6. Sib аЛемМл- JffLA/loto&AA^ VjdZ&L. OV<~°liъ ojcuu&LXwl.1.> ^LObVcdU. CM^y'^e^tOL. E^t-Tja^Lo cUJUcUJL ^e\VAJLvuxAJLo ^ Fl^uco ctLo1. XUXcхмхэ. 6, 4-2,9.в. Н.Н.Андреев. 0 стоячих звуковых волнах большой амилитудн / в печати/.

7. З.А. Гольдберг. Некоторые величины второго порядка в L акустике. Акуст. журн., 1957, 3, 2, 149-153.

8. Ь. Lckajdb, Vo^tLc^ oUAJL ^txe-OA^Z cxxxn^cLzoumJL \>So^a>. РЦ*. R<2a/.; 49V8, уъ 4.

9. Yb ОС (JLLOL^- stuVULCUb pcxJbOL^O^OCattest. JMoAL.,ie. S. MslvuLoiM*. ^TOAAA^VU2.cuu

10. Uto^tLOVb of fbotyuagLViL. \ATclV*4flOb VVLodfiJbccU

11. К B^cix^t. &o&>AJL ^Mju^ uLz^b&M^

12. Jlvuu flL'. Wf, Чо , %0Т-7%Чг.

13. Н.Н. Боголюбов и Ю.А. Митропольский. Асимптотические L J методы в теории нелинейных колебаний. ГИТТ1, Москва, 1955,21| О.А. Олейник. Разрывные решения нелинейных дифференциаяь-L J ных уравнений. Усп. матен. наук, 1957, 12, 3/75/, 3-73

14. ЕЛ. Уиттекер и Г.Н. Ватеон. Курс современного анализа. l J Часть 2 ГТТЙ, Л.-М., 193423. ^ ^О^Л^ clvlcL £.АА\'vjl^AXXMM, . Зм/еЛ'Ьъ^а^со^oQ- ^tcL-bLoVbaju^. иЛуЬъаЯо\м1 \лfaV&Z

15. J.Jlcai^t. SoC-. fjvuz>i.r WG, y&jA) 3S.

16. Г24. Й.Н. Бронштейн и K#A. Семендяев. Справочник по математике. J ГИТТЛ, М.-Л., 1948

17. В.А. Буров и В.А. Красильников. Непосредственное наблюдение искажения формы интенсивных ультразвуковых волн в жидкости. ДАН СССР, 1958, 118, 5, 920-923.26. JU-f ^ xcaam^gL

18. Г27. ^cbui^V. On. -tU Vvtowi^tu^ avucL угтил^ JJLol^, {$05, to, ъЬЧ-Ъ!Ч.

19. W. йЯел. oJUobxhL MjzsSUM^M,1. JjUb %. JUvu oUb ^306, Я,

20. Ovu tlu2- юр ос cj, сйЬ'^УО ОjfoJ( J(l\ALbz O^v^^tu-cU, lAb- MjftuJ'cAj!,.

21. З.А. Гольдберг. О распространении плоских волн конечной амплитуды. Акуст. журн., 1957, 3, 4, 322-328.

22. Н.Е. Андреев. О некоторых величинах второго порядка в L акустике. Акуст. журн., 1955, I, I, 3-II;

23. U/fee/ъ cLit, E-vuLnj^bA^tLiAJL^XuL "AMI,г of PU^ucA USSK, 4340, г, Ъо5-2,1Ъ.1.2J K.A. Наугольных. О поглощении волн конечной амплитуды1./обзор/. Акуст. журн., 1958, 4 , 2.133. 9.М. Tood&L, d.Q, LLVLOU.olu . CLVUL Ve^o

24. ОАЛ^МАл. Uu -fcjjU."^. ^OU^t. Soc. J\\*»L,5ЪО-$ЪЪ. n

25. V. ^aibo^LvwWaM.^ ^R Т. ЪхллШ. ^tUvaxa^uo^ ofжу XUjAA.C'cb). J. ^Cotut. Soc. чЛ\ллс^.7 {Э^ЗЛ^тЪ-ШЬ. зб. R.X bej^Lru OM^d M. O^oJbaS'^WcxAu . o^

26. Лсолхл-t. Soc, Лмеа., 19, V,зб. j. rllcivuxl. cvkw, ^^evu^a^lavl of ou иг1. J. Лсои^-fc. Soc. {Oil,37J C. V&aHsL. ^ Z2j?*LCct<<L(tsXuoc\(^ \jSC*JJ<L?> KM. J. v/lcouJbt. ^ос.^о^ед.