Тождества со следом и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Самойлов, Леонид Михайлович

• Самойлов, Леонид Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Самойлов, Леонид Михайлович

1. Введение.

2. Определения и основные обозначения

3. Полилинейные тождества со следом алгебр МП)*.

4. Аннуляторы тождеств 7-классических многообразий

5. Описание минимальных 7-классических многообразий.

6. Свёртка 7-классических многообразий.

7. Свёртка первичных многообразий

8. Конечная базируемость некоторых Т-пространств.

9. Трёхчленные тождества ассоциативных алгебр

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Тождества со следом и их приложения»

Пусть F(X) - свободная ассоциативная алгебра над полем F, порождённая счетным множеством X, и А - произвольная ассоциативная алгебра над F. Алгебра А удовлетворяет полиномиальному тождеству f(x 1,.,жто) = О, где f(x 1,.,жт) е F(x) и аг,- в X, если для произвольных ai,.,am 6 i в алгебре А выполнено равенство /(ai,., am) = 0. Алгебра, удовлетворяющая нетривиальному (то есть ненулевому) полиномиальному тождеству, называется Р1-алгеброй.

Простейшими примерами FJ-алгебр являются коммутативные, конечномерные, нильпотентные, алгебраические ограниченной степени алгебраичности и т.п. алгебры. Категория (ассоциативных) алгебр, удовлетворяющих некоторой системе тождеств, называется многообра-г зием, а свободные объекты в этой категории - относительно свободными алгебрами. Ясно, что многообразия замкнуты относительно гомоморфных образов, подалгебр и произвольных прямых произведений. Можно доказать и обратное (теорема Биркгофа), то есть что непустой класс алгебр, замкнутый относительно трёх вышеперечисленных операций, является многообразием. По теореме Регева-Латышева ([21]) класс PI-алгебр замкнут относительно тензорных произведений.

Тождества являются важным объектом исследования как для теории колец (см, например, [29]), так и для теории инвариантов (см. [22] или

И)

Чтобы работать с тождествами, надо иметь язык, на котором можно адекватно описывать их существенные свойства. Имеются два традиционных способа задания многообразий алгебр, взаимно дополняющих друг друга:

1) используя носитель, то есть предъявляя алгебру и рассматривая минимальное многообразие, содержащее её;

2) предъявляя некоторый набор тождеств.

Эти два способа задания многообразий далеки друг от друга и переход от одного способа к другому даже для "простейших" случаев является весьма сложной задачей. Так, например, базис тождеств неизвестен над полем характеристики нуль для алгебры матриц третьего порядка, а над полем положительной характеристики он неизвестен даже для матриц второго порядка (и неизвестно, конечен ли этот базис).

Тождества некоторой алгебры А образуют двусторонний идеал Т[А) в свободной алгебре F(X). Такие идеалы называются Т-идеалами, или вербальными идеалами. Т-идеалы совпадают с классом вполне характеристических идеалов свободной ассоциативной алгебры, то есть идеалов, замкнутых относительно всех эндоморфизмов. Между многообразиями алгебр и Т-идеалами имеется взаимно-однозначное соответствие. Если Г - Т-идеал, то алгебра F(X)/T порождает многообразие, идеал тождеств которого равен в точности Г.

В случае, когда основное поле F имеет нулевую характеристику, структурная теория многообразий была построена А.Р. Кемером (см. [12]), откуда им было получено положительное решение проблемы Шпех-та. Эта проблема заключается в доказательстве того факта, что каждый Т-идеал порождается (как Т-идеал) некоторой конечной системой своих элементов. Над полями положительной характеристики проблема Шпехта в общем случае была решена отрицательно (А.Я. Белов, A.B. Гришин, В.В. Щиголев, см. [1], [4], [30]). Тем не менее, А.Р. Кемером была доказана локальная шпехтовость (см. [13]): каждый Т-идеал свободной ассоциативной алгебры конечного ранга порождается конечным числом элементов как Т-идеал.

Важнейшую роль в структурной теории многообразий ассоциативных алгебр играют так называемые первичные многообразия (и соответствующие им вербалъно-первичные, или просто первичные, Т-идеа-лы), введённые А.Р. Кемером. Напомним, что Т-идеал Г называется вербально-первичным, если для произвольных Т-идеалов Гх и Г2 из включения Гх • Г2 С Г вытекает, что Гх С Г или Г2 С Г. Многообразие называеся первичным, если соответствующий ему идеал тождеств вербально-первичен. Более слабым по отношению к вербальной первичности является понятие вербальной полупервичности. А именно, Т-идеал Г называется вербально-полупервичным, если для произвольного Т-идеала Гх из включения Гх • Гх С Г вытекает, что Гх С Г.

Над полями нулевой характеристики все вербально-первичные Т-идеалы были описаны А.Р. Кемером (см. [12]).

Теорема (А.Р. Кемер). Собственный Т-идеал Г является вербально-первичным тогда и только тогда, когда Г = Т[А], где алгебра А -одна из алгебр следующих двух бесконечных серий:

1) Мп (G) - полная матричная алгебра порядка п над алгеброй Грас-смана G бесконечного ранга. п к

1 G0 I Gi N п

2) Мп>к ~ алгебра матриц вида

G1\Go ) к где Go(Gl) - подпространства алгебры Грассмана G, порождённое всеми словами чётной (нечётной) длины, причём п > к, п.к > О, п + к

Чтобы проиллюстрировать важную роль первичных многообразий, отметим, что из их описания (а на самом деле из описания только нематричных первичных многообразий) легко может быть получено доказательство лиевой нильпотентности энгелевых ассоциативных алгебр над полями нулевой характеристики (подробности см. в [11]).

Структурная теория ассоциативных Т-идеалов в случае нулевой характеристики выглядит следующим образом (подробности см. в [12]).

Теорема (А.Р. Кемер). Пусть Г - произволъый Т-идеал. Тогда:

1) сущестпвугп наибольший нильпотентный по модулю Г Т-идеал;

2) этот Т-идеал является вербально-полупервичным;

3) каждый вербально-полупервичным Т-идеал является пересечением конечного числа вербально-первичных Т-идеалов.

Теорема (А.Р. Кемер). Для каждой конечно-порождённой Р1-алгебры А над бесконечным полем (нулевой или положительной характеристики) найдётся конечномерная алгебра, имеющая те же самые тождества, что и алгебра А.

Теорема (А.Р. Кемер). Каждый собственный Т-идеал является идеалом тождеств грассмановой оболочки некоторой конечномерной супералгебры. Вербально-первичные Т-идеалы являются идеалами тождеств грассмановых оболочек конечномерных простых супералгебр.

При положительной характеристике основного поля указанные выше алгебры Мп{С) и МП;к так же порождают первичные многообразия, но список первичных многообразий этим не исчерпывается (см. [24]). Описание вербально-первичных Т-идеалов над полями положительной характеристики является важнейшей проблемой Р1-теории.

Для её решения понятие тождества расширяется, и вместо обычных тождеств рассматриваются тождества со следом, алгебры со следом, многообразия алгебр со следом и т.д. Формальное определение этих понятий будет дано в § 1. Интуитивно понятно, что такое тождество со следом: например, для матричной алгебры первого порядка выражение х — Тг(х) обращается в нуль при подстановке вместо х любой матрицы 1x1; то же самое справедливо, если в выражение ж2 — хТг(х) + |(Тг(ж)2 — Тг(х2)) подставить произвольную матрицу порядка 2 (теорема Гамильтона-Кэли). При линеаризации последнего полинома получается полином Гамильтона-Кэли второго порядка ху + ух — хТг(у) — уТг(х) — Tr(xy) + Тг(х)Тг(у), который так же является тождеством со следом для алгебры матриц второго порядка. При этом для матричных алгебр имеет место равенство Tr(ab) = Тг(Ъа) (о и Ь -произвольный матрицы), которое входит в общее определение алгебр со следом.

Алгебры матриц Мп и рассмотренные выше матричные супералгебры Mnjt являются алгебрами со следом (определение следа для мы напомним в начале § 3). Совокупность всех тождеств со следом некоторой алгебры образует Т-идеал в свободной алгебре со следом счётного ранга. Аналогично обычным многообразиям определяются вербально-первичные многообразия алгебр со следом, Т-первичные Т-идеалы и понятие следствий для тождеств со следом.

Важность рассмотрения Т-первичных Т-идеалов объясняется тем, что, очевидно, обычные полиномы из этих идеалов образуют вербально-первичные идеалы алгебры F{X). Наоборот, вербально-первичный идеал алгебры F{X) на полилинейном уровне может быть получен таким способом при выполнении достаточно общих условий регулярности,, введённых А.Р. Кемером в [18]. Над полем характеристики р каждый нетривиальный Т-идеал Г содержит все полилинейные тождества алгебры матриц некоторого порядка к (см. [16]). Наименьшее число к с таким свойством называется матричным типом идеала Г.

Идеал Г, порождаемый полилинейными полиномами, называется регулярным, если М]. удовлетворяет полилинейному тождеству со следом вида /Тг(у) = д, где / и д полиномы без следа, причём / ^ Г. В противном случае Т-идеал является нерегулярным. Эти определения применяются к первичным Т-идеалам, порождаемым полилинейными полиномами. Оказывается (см. [18]), что если такой идеал регулярен, то он совпадает с множеством обычных тождеств некоторого Т-первичного Т-идеала свободной ассоциативной алгебры со следом.

Тем самым любое исследование первичных многообразий алгебр со следом доставляет информацию об обычных первичных многообразиях. Именно таким способом Ю.П. Размыслов впервые построил над полями характеристики р > 3 первичные многообразия, не имеющие аналогов в нулевой характеристике (см. [27]).

В 1974 г. идеал тождеств со следом полной матричной алгебры порядка п над полем .Р характеристики 0 был описан Ю.П. Размысловым (см. [25] или [24] и формулировку теоремы 1). В 1976 г. К. Про-чези описал алгебру инвариантов относительно действия сопряжением группы ОЬ(п,Р). Позже выяснилось, что результаты Ю.П. Размы-слова о тождествах со следом влекут за собой результаты К. Прочези об описании алгебры инвариантов кольца матриц вхи, и соответствующая теорема в характеристике 0 (теорема 1, см. ниже) называется теперь теоремой Размыслова-Прочези. Имеются аналоги этой теоремы об описании инвариантов для полей положительной характеристики, из которых отметим теорему А.Н. Зубкова (см. [8]).

Опираясь на описание тождеств со следом алгебры М„, Ю.П. Размыслов позднее доказал (см. [25] или [27]), что все тождества со следом алгебры МП1к над полем нулевой характеристики следуют из тождества Тг( 1) = п—к и тождеств степени п/г+п-Ь^, и охарактеризовал эти тождества в терминах групповых алгебр, а точнее, в терминах диаграмм Юнга.

В 1995 г. А.Р. Кемер в работе [16] комбинаторными методами описал базис полилинейных тождеств со следом алгебры Мп над произвольным полем, а так же алгебры Мо,ь В случае характеристики р эти базисы оказались устроенными так же, как и в случае характеристики нуль.

Теорема 1. Над произвольным полем все тождества алгебры Мп$ следуют из тождества ТУ(1) = п и тождества Гамильтона-Кэли

Хп = К\ Е (-1)^); се5гг,+1 все тождества алгебры Мо^ следуют из тождества Тг( 1) = —к и симметрического тождества Гамильтона-Кэли

Рк = К1( Е <*)•

На протяжении всей работы постоянно используются отображения Ат, которые фактически отождествляют пространства Рт полилинейных полиномов со следом степени т от переменных хг,., хт с групповыми алгебрами симметрических групп 1 (группа 5то+1 действует на множестве {0,1,., т}) по модулю какого-либо тождества нулевой степени вида Тг( 1) = 7, 7 Е Р.

По модулю этого тождества каждый полилинейный полином со следом является линейной комбинацией мономов со следом, каждый из которых имеет вид щТг(щ). Тг(и8), где все щ при г > О непусты. Для мономов такого вида отображение Лто определяется следующим образом:

1 • • • . . . X. . . ■ • •) — ^ ^ где а имеет следующее разложение на непересекающиеся циклы: а = (0, ¿1,., гг)Уь . ., Ь) • • • •

Поскольку Тг(иу) = Тг(уи) для любых мономов и и г/, то отображение определено корректно, и его можно продолжить по линейности до изоморфизма Ато : Рт —> -Р5Ш+1. При этом символ "О" играет роль метки, отделяющей неследовую часть мономов.

В § 3 рассматриваются системы идеалов Iалгебр Р5то+1. Эти идеалы определяются так: представим множество {0,1,. , га} в виде объединения попарно непересекающихся множеств Л1,.,Л„ и О1,., (некоторые из этих множеств могут быть пустыми). Для такого разбиения рассмотрим в алгебре элемент Л+. . О^Г, где 0± = 1, Л+ = Е сг, О" = £ (-1)<то"- Идеал порождаа£Зут(А) <т <=Зут(П) ется всеми подобными элементами.

Оказывается, что система идеалов I™^1 полностью описывает полилинейные тождества со следом алгебр А именно, имеет место следующаяя теорема.

Теорема 2. Пусть F - произвольное поле и / Е Рт. Тогда полином / является тождеством алгебры МП;к тогда и только тогда, когда

Inf-Mf) = 0.

Если основное поле F имеет нулевую характеристику, то ввиду теоремы 2 совершенно очевидно, что для описания базиса тождеств со следом алгебры Мп^ остаётся преодолеть только некоторые технические трудности, связанные с применением диаграмм Юнга. Тем самым в качестве следствия теоремы 2 получается доказательство теоремы Ю .П.Размыслова.

Теорема 3. Допустим, что char F = 0. Тогда все тождества со следом алгебры Мп^ следуют из тождества Tr( 1) = п — к и тождеств ^"¿+n+fe(cr/£>*+ife+ir) = 0, где D*+1к+1 - любая диаграмма Юнга, полученная из таблицы Dn+ff^G

Предложенное доказательство теоремы 3 много короче, чем оригинальное доказательство Ю.П. Размыслова. Ниже будет показано, что в случае положительной характеристики алгебры Мп^ при достаточно больших пик (по сравнению с р) имеют полилинейные тождества меньшей степени, чем пк+п+к (теорема 9), которые тем самым не следуют из тождеств, фигурирующих в теореме 3. Таким образом, прямое перенесение этой теоремы на положительную характеристику невозможно, в отличие от случая п • к = 0 или р = 2 в соответствии с результатами А.Р. Кемера (а именно, с теоремой 1).

Основным понятием при исследовании первичных многообразий является определение 7-классического многообразия алгебр со следом, введённое А.Р. Кемером. А именно, нетривиальный Т-идеал называется 7-классическим, 7 6 F, если он порождается полилинейными полиномами, содержит элемент Tr( 1) — 7 и при каждом m полилинейные тождества степени m при отображении Ато переходят в двусторонние идеалы алгебр FSm+1 (самое главное). Обычный идеал Г называется

7-классическим, если Г = Р{Х) П Г для некоторого 7-классического Т-идеала Г,

Определение 7-классических многообразий накладывает очень жесткие условия. Тем не менее, все регулярные первичные многообразия являются 7-классическими, где 7 равно матричному типу многообразия (см. [18]), что позволяет при их исследовании использовать тождества со следом. Важнейшим примером (п — &)-классических многообразий являются многообразия, порождаемые полилинейными тождествами матричных супералгебр Мп

О нерегулярных первичных многообразиях практически ничего неизвестно. Так, например, вычисление матричного типа алгебры Грас-смана уже представляет из себя большие трудности (недавно такое решение было получено А.Р. Кемером). Тем не менее, существует весьма правдоподобная гипотеза Размыслова-Кемера, которая сводит их изучение к исследованию О-классических многообразий. По модулю этой гипотезы классификация (на том или ином языке) полилинейных компонент первичных многообразий полностью сводится к классификации первичных 7-классических многообразий, чем и объясняется их важная роль в Р1-террии.

Гипотеза Размыслова-Кемера (недоказанная даже для случая нулевой характеристики) формулируется следующим образом. Пусть Г -нетривиальный первичный нерегулярный Г-идеал, порождаемый полилинейными полиномами. Тогда найдётся такой О-классический первичный Г-идеал Г, что Г = Р{Х) П (Г + {Тг(х)}т). Неформально это означает, что Г получается из Г путём "отбрасывания" следов у всех полиномов из Г.

Над полями нулевой характеристики все 7-классические многообразия являются первичными, что вытекает из их полной классификации. В положительной характеристике это неверно: в § б построен соответ-свующий пример.

§ 4 носит технический характер: здесь доказываются необходимые для дальнейшего рассмотрения утверждения, связанные с аннулято-рами тождеств 7-классических многообразий. Самостоятельный интерес представляет теорема 4.

Теорема 4. Пусть V - некоторое 7-классическое многообразие. Тогда если char F = 0; то 7 Е Z; если же char F = р > 0, то 7 Е Zp.

В § 5 исследуются первичные многообразия В1 алгебр со следом, построенные Ю.П. Размысловым. Оказывается, что эти многообразия являются минимальными 7-классичеекими многообразиями (теорема 5). Это означает, что каждое 7-классическое многообразие содержит Ду в качестве подмногообразия. Далее описывается базис тождеств этих многообразий.

Теорема 6. Пусть char F = р > 0. Тогда:

1) Т{Щ = М1А;

Ю T[Bp-i] =-Мод/

3) если char F = р > 5 и 7 Е {2,3,., 2}, то Т[В7] = M7i0+M0jP7;

4) если char F ф 2, mo T[BQ] = М\у,

5) если char F — 2, то T[Bq] порождается полиномами Tr( 1) — 0; ху+ух-Ь Тг(х)Тг(у) = 0 и хТг(у) + уТг(х) + Тг(ху) = 0.

При помощи теоремы 1 можно явно указать порождающие системы идеалов Т[В7] в пунктах 1)-3). В этой теореме самым сложным является общий случай (пункт 3)). Отметим, кстати, что многообразия В7 при р> 5и7 Е {2,3,.,р—2} являются по крайней мере (р— 1)-энгелевыми, но не являются лиево нильпотентными (это один из контрпримеров Ю.П. Размыслова к глобальной проблеме Бернсайда для алгебр Ли, см. [27]).

В конце § 5 показывается, что каждое 7-классическое многообразие над полем положительной характеристики удовлетворяет тождеству Гамильтона-Кэли некоторого порядка (в нулевой характеристике это неверно).

В § б описывается конструкция свёртки 7-классических многообразий. Её определение довольно длинно, поэтому отметим только, что при свёртке первичных 71- и 72-классических многообразий, где хотя бы одно из них удовлетворяет некоторому дополнительному ествен-ному условию, снова получается первичное, (71 + 72)-классическое многообразие (теорема 11). Свёртка используется в § 7, где при помощи её над полями характеристики р > 5 строятся неизвестные ранее первичные многообразия алгебр со следом, а поэтому ввиду теорем 13 и

14 и обычные первичные многообразия. Такими примерами являются, в частности, свёртки нескольких многообразий вида В7.

Теоремы 13 и 14 показывают, что 7-классические первичные многообразия при 7^0 однозначно определяются своими обычными тождествами.

Теорема 13. Пусть Г i Э Г 2 - 7-классические Т-идеалы, 7^0. Тогда если Г1 П F(X) = Г2 П F(X) и Г2 - вербалъно-первичен, то Гi =

Теорема 14. Пусть Г1 и Г2 ~ 7-классические вербалъно первичные Т-идеалы, 7 ф 0. Тогда если Гi П F{X) = Г2П F{X), тоТх = Т2.

Для доказательства этих теорем необходимо установить наличие у 7-классических многообразий тождеств специального вида. Это делается в теореме 12, которую мы сформулируем только частично. Эта часть обобщает результаты Ю.П. Размыслова о существовании центральных полиномов для матричных супералгебр над полями нулевой и положительной характеристик.

Теорема 12. Каждое 7-классическое многообразие обладает (полилинейными) центральными полиномами.

В § 8 рассматриваются Г-пространства C[V] центральных полиномов для 7-классических многообразий V при 7 ф 0, а точнее говоря, их Т-подпространства L с условием

T[V] С L С C[V].

В этих обозначениях доказана следующая теорема.

Теорема 15. Если char F = 0, то L - конечно-базируемое Т-пространство. Если char F = р > 0, то L - локально конечно-базируемое Т-пространство.

Частным случаем этой теоремы является положительный ответ на известную проблему о конечной базируемости центральных полиномов для Мп.

Следствие 2. Пространство полилинейных центральных полиномов для алгебры матриц порядка п над полем характеристики 0 конечно-базируемо. Над полем положительной характеристики это пространство локально конечно-базируемо на полилинейном уровне, если п не делится на р.

Последний параграф работы, § 9, не использует техники, связанной с 7-классическими многообразиями. Здесь исследуются трёхчленные тождества, т.е. полиоднородные тождества вида ami + + 7^3 — О, где а,/3,7 G F, Ш1,Ш2,тз - различные мономы и хотя бы два коэффициента отличны от нуля. Для тождеств такого вида получены результаты, являющиеся обобщением соответствующих результатов о полугрупповых тождествах, т.е. полиоднородных тождествах, имеющих вид т\ — ш.2, где гщ и т^ - различные мономы. Такие тождества изучались ранее в ряде работ (см., например, [3], [28]) Основным результатом является доказательство утверждения, что каждое трёхчленное тождество влечет некоторое полугрупповое тождество, и при этом сохраняются свойства приведённости.

Напомним, что полиоднородный полином вида агшг-, где щ Е F, а.{ ф 0, а тг- - различные мономы, называется приведённым слева (справа), если п > 1 и наибольшее общее начало (конец) мономов появляется пустым. Если полином приведён и слева и справа, то он называется приведённым.

Теорема 16. Для алгебры А (в общем случае без единицы) над бесконечным полем следующие условия эквивалентны:

1) алгебра А удовлетворяет трёхчленному тождеству (приведённому, приведённому слева, приведённому справа);

2) для некоторых т, п, к алгебра А удовлетворяет тождеству утЕпук = 0 (Еп = 0, Епук = 0, утЕп = 0);

3) в алгебре А выполнено полугрупповое тождество (приведённое, приведённое слева, приведённое справа);

4) многообразие Var(A) не содержит алгебру верхнетреугольных матриц второго порядка К^.

Теорема 16 показывает, что изучение трёхчленных тождеств над бесконечным полем полностью может быть сведено к изучению полугрупповых тождеств, поскольку сохраняются все необходимые свойства приведённости.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [35]-[37] и докладывались на Международной алгебраической конференции памяти А.Г. Куроша (Москва, 1998), на Второй Международной конференции "Полугруппы: теория и приложения" в честь профессора Е.С. Ляпина (Санкт-Петербург, 1999), на пленарном докладе Европейской конференции "Rings, Modules and Representations" (Констанца, 2000).

Автор выражает глубокую благодарность проф. А.Р. Кемеру за постановку задач, научное руководство и постоянное внимание к работе.