Структурная теория специальных алгебр Ли тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Пихтильков, Сергей Алексеевич

• Пихтильков, Сергей Алексеевич
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Пихтильков, Сергей Алексеевич

Список обозначений

Введение

0 Исторический очерк. Основные определения и обозначения

1 Предварительные сведения о специальных алгебрах Ли

1.1 О свойствах присоединенной ассоциативной алгебры

1.2 Операции над специальными многообразиями.

1.3 Связь между свойствами алгебры Ли и ее Р/-оболочки

1.4 Косые полугрупповые алгебры.

2 Первичный радикал алгебр Ли

2.1 Первичные специальные алгебры Ли.

2.2 О сумме локально разрешимых идеалов алгебр Ли

2.3 Верхний и нижний слабо разрешимые радикалы алгебр Ли

2.4 Первичный радикал специальных алгебр Ли.

3 Локально нильпотентный радикал специальных алгебр Ли

3.1 Наибольший локально нильпотентный идеал специальных алгебр Ли

3.2 Локально нильпотентный радикал.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структурная теория специальных алгебр Ли»

Тема диссертации относится к изучению структуры абстрактных алгебр Ли. Это направление является актуальным. Написаны сотни работ, изучающих структурную теорию алгебр Ли с разных точек зрения.

В настоящий момент не существует удовлетворительной структурной теории для всех классов алгебр Ли. Создание структурной теории предполагает наличие хорошего радикала, хорошее описание фактора по радикалу и получение ряда результатов, описывающих отдельные классы алгебр.

Единый для всех классов алгебр Ли радикал был построен В.А.Парфеновым [39]. Он предложил рассматривать в качестве радикала наибольший слабо разрешимый идеал алгебры Ли.

В.А.Парфенов показал, что сумма слабо разрешимых идеалов алгебры Ли является слабо разрешимым идеалом. Кроме того, класс всех слабо разрешимых алгебр Ли является радикальным в универсальном классе всех алгебр Ли. Для дальнейшего развития структурной теории хотелось бы найти аналоги ряда теорем, справедливых для конечномерных алгебр Ли. Для класса всех алгебр Ли этого сделать не удалось.

В 1963 г. В.Н.Латышев ввел новый класс алгебр Ли [32], которые он назвал специальными по аналогии с йордановыми алгебрами.

Скажем, что алгебра Ли Ь специальная или 8Р1-алгебра Ли, если существует ассоциативная Р/-алгебра А такая, что Ь вложена в АН как алгебра Ли, где - алгебра Ли, заданная на Л с помощью операции коммутирования [х,у] = ху — ух.

При исследовании специальных алгебр Ли нужно было решить вопрос: представляет класс этих алгебр многообразие или нет? Для этого требовалось ответить на вопрос: будет ли гомоморфный образ специальной алгебры Ли специальным? - который был поставлен В.Н.Латышевым [32].

Исследования в этом направлении были проведены Ю.А. Бахтури-ным [54], автором диссертации [87] и Ю.В.Биллигом [10]. В частности, автор диссертации показал, что присоединенная ассоциативная алгебра Ас\Ь специальной алгебры Ь является Р/-алгеброй - теорема 1.1.1 [87]. Из этого следует, что фактор специальной алгебры Ли по центру является специальной алгеброй Ли.

Для свободной алгебры многообразия алгебр Ли над полем характеристики нуль справедливо также обратное утверждение - теорема 1.1.2 [87]. Используя теорему 1.1.2 Ю.В.Биллиг дал отрицательный ответ на вопрос о гомоморфном образе специальной алгебры Ли [10].

Следующий класс алгебр образует многообразие и является обобщением специальных алгебр.

Назовем алгебру Ли Ь обобщенно специальной, если ее присоединенная ассоциативная алгебра является Р1-алгеброй.

Для обобщенно специальных алгебр Ли можно построить хорошую структурную теорию.

В диссертации рассматриваются различные аспекты структурной теории обобщенно специальных алгебр Ли.

Остановимся подробнее, на содержании отдельных глав.

В 1 главе рассмотрены свойства алгебр Ли, лежащих в специальном многообразии, и рассмотрены некоторые важные конструкции.

В разделе 1.1 доказана следующая теорема.

Теорема 1.1.1 ([87]). Пусть Ь - специальная алгебра Ли. Тогда А6.Ь - Р1-алгебра.

Ю.А.Бахтуриным было показано, что если алгебра Ли Ь лежит в специальном многообразии, порожденном специальной алгеброй Ли (2, то алгебра Ав.Ь лежит в многообразии, порожденном алгеброй Ас1(7 [8].

Это утверждение следует из того, что любое тождество в алгебре АсК? может быть записано как система лиевых тождеств алгебры (3.

Следовательно, у всех алгебр лежащих в специальном многообразии, присоединенная алгебра Ад.Ь является Р/-алгеброй.

При доказательстве результата Ю.А. Бахтурина о том, что подмногообразие специального многообразия над полем характеристики нуль является специальным [8], используется следующая теорема, принадлежащая автору диссертации.

Теорема 1.1.2 ([87]). Пусть Ь - свободная алгебра Ли некоторого многообразия ШТ над полем Р характеристики нуль, Z{L) - центр этой алгебры и - специальная алгебра Ли. Тогда Ь также является специальной алгеброй Ли.

В разделе 1.2 рассматриваются операции над многообразиями.

Ответ на вопрос о том, когда произведение и коммутатор специальных многообразий являются специальным многообразием, полезен при построении примеров обобщенно специальных алгебр Ли.

Приведены следующие теоремы.

Теорема 1.2.1 Пусть ^ - поле характеристики нуль. Произведение многообразий алгебр Ли ШЕЛ является специальным тогда и только тогда, когда - многообразие абелевых алгебр, а 9РХ - ниль-потентных алгебр ограниченной степени.

Теорема 1.2.2 Пусть .Р - поле характеристики нуль. Коммутатор многообразий алгебр Ли [ЯП, УХ] является специальным тогда и только тогда, когда - многообразие абелевых алгебр или тривиальное многообразие, состоящее из нулевой алгебры, а 9Л - специальное многообразие (возможно 9Я и меняются ролями).

Теоремы 1.2.1 и 1.2.2 были получены Бахтуриным Ю.А. и автором диссертации независимо [5], [97]. Эти результаты были доложены на летней школе по многообразиям в Барнауле, 1981 г.

При изучении строения специальной алгебры Ли полезно изучить возможные вложения алгебры Ли в ассоциативную Р/-алгебру. Этому вопросу посвящен раздел 1.3.

Интересно изучить связь такого свойства специальных алгебр Ли и их Р1-оболочек как первичность.

Теорема 1.3.2([101]). Пусть Ь - специальная алгебра Ли.

1) Если Ь первичная, тогда у нее существует первичная Р1 -оболочка, которая может быть получена как гомоморфный образ любой Р1-оболочки.

2) У простой специальной алгебры Ли существует простая Р1-оболочка, которая может быть получена как гомоморфный образ любой Р1-оболочки.

Теорема 1.3.2 получена совместно с К.И.Бейдаром.

Теорема 1.3.2 вызывает следующий вопрос: будет ли присоединенная алгебра Ас11/ первичной специальной алгебры Ли первичной? Отрицательный ответ на него дает пример 1.3.1 специальной алгебры Ли над полем характеристики 3.

Для поля нулевой характеристики ответ на вопрос положительный.

Теорема 2.1.7 Присоединенная алгебра AdL первичной специальной алгебры JIu L над полем характеристики нуль является первичной ассоциативной Р1-алгеброй.

В разделе 1.4 рассматриваются косые полугрупповые алгебры.

Дано определение косой полугрупповой алгебры Ли.

Получены достаточные условия, при выполнении которых, косая полугрупповая алгебра Ли является специальной алгеброй Ли.

Построен пример специальной первичной артиновой бесконечномерной алгебры Ли и примеры косых полугрупповых специальных алгебр Ли, удовлетворяющих различным условиям.

Во второй главе изложена теория первичного радикала обобщенно специальных алгебр Ли.

В разделе 2.1 рассмотрены первичные алгебры Ли.

Приведены формулировки теорем Капланского [47], Познера [68] и Размыслова о ранге [45]. Рассмотрены их следствия, относящиеся к специальным алгебрам Ли.

В разделе 2.2 дано отрицательное решение проблемы Р. Амайо и И. Стюарта [50]: приведен пример алгебры Ли над полем, в которой сумма двух локально разрешимых идеалов не является локально разрешимым идеалом. Результаты этого раздела получены совместно В.Н. Латышевым, A.B. Михалевым и автором диссертации.

В разделе 2.3 рассмотрены общие свойства первичного и слабо разрешимого радикала, справедливые для произвольных алгебр Ли. Результаты этого раздела получены совместно с A.B. Михалевым и А.Ю .Голубковым.

Введены понятия верхнего и нижнего слабо разрешимого радикалов.

Показано, что первичный радикал совпадает с нижним слабо разрешимым радикалом.

В качестве приложения полученных результатов доказано, что первичный радикал нетеровой алгебры Ли над полем является разрешимым (теорема 4.1.3).

В разделе 2.4 рассматриваются свойства первичного радикала для обобщенно специальных алгебр Ли. Результаты раздела 2.4 получены совместно с К.И.Бейдаром.

Показано, что для обобщенно специальных алгебр Ли первичный, слабо разрешимый и локально разрешимый радикалы совпадают. Первичный радикал обобщенно специальной алгебры Ли над полем характеристики нуль является характеристическим.

В главе 3 рассматриваются локально нильпотентный радикал обобщенно специальных алгебр Ли.

В разделе 3.1 изучаются свойства локально нильпотентных идеалов.

Известно, что сумма нильпотентных идеалов алгебры Ли является нильпотентным. Из этого следует существование наибольшего нилыю-тентного идеала в конечномерной алгебре Ли.

Существование наибольшего локально нильпотентного идеала в произвольной алгебре Ли над полем было доказано Б.И.Плоткиным [40] и Hartley [67].

Независимое доказательство существования наибольшего локально нильпотентного идеала для энгелевых алгебр Ли было дано А.И, Ко-стрикиным [30], для обобщенно специальных алгебр Ли, и также тот факт, что для таких алгебр ниль-идеал является локально нильпотентным было дано автором диссертации в [90].

Нам потребуется следующее определение. Скажем, что внутреннее дифференцирование ad6 является ниль для элемента х алгебры Ли L, если существует натуральное число пх такое, что Ь)Пх = 0.

Для обобщенно специальных алгебр Ли справедлива следующая теорема.

Теорема 3.1.1 Пусть L - обобщенно специальная алгебра Ли. Тогда

1) в алгебре L существует наибольший локально нильпотентный идеал Pl(L);

2) идеал В алгебры JIu L является локально нильпотентньш тогда и только тогда, когда для всех Ь Е В внутреннее дифференцирование adb ниль для всех х Е L.

Ю.А.Бахтурин показал, что если R - локально разрешимый идеал специальной алгебры Ли L над полем характеристики нуль, то идеал [R, L] локально нильпотентен [54].

Как показал В.А.Парфенов, наибольший локально нильпотентный идеал абстрактной алгебры Ли может не быть характеристическим даже для поля характеристики нуль [39]. Для обобщенно специальных алгебр Ли справедливо следующее обобщение результата Ю. А.Бахтурина.

Теорема 3.1.2 Пусть L - обобщенно специальная алгебра Ли над полем характеристики нуль, R(L) - ее первичный радикал, Pl(L) -наибольший локально нильпотентный идеал, D : L —L - дифференцирование. Тогда D(R(L)) С Pl{L).

Из теоремы 3.1.2 следует характеристичность наибольшего локально нильпотентного идеала специальной алгебры Ли над полем характеристики нуль.

Для конечно порожденных специальных алгебр существование наибольшего нильпотентного идеала было доказано Ю.П.Размысловым [44].

В разделе 3.2 рассматривается теория локально нильпотентного радикала для обобщенно специальных алгебр Ли.

Пусть М модуль над Ь. Обозначим через А(Ь) ассоциативную подалгебру, порожденную в Епс1Х множеством Ь. Скажем, что алгебра А(Ь) - ассоциативная алгебра, ассоциированная с представлением алгебры Ли Ь.

Если модуль М - конечномерный, то наибольший идеал и алгебры Ь такой, что эндоморфизм хм, соответствующий элементу ж, является нильпотентным для всех х £ Ь, в алгебре Епс1М, - называется наибольшим идеалом нильпотентности представления.

Назовем РI-представлением алгебры Ли Ь представление, для которого ассоциированная ассоциативная алгебра представления А(Ь) является Р/-алгеброй.

Для Р1- представлений алгебр Ли введено понятие наибольшего идеала локальной нильпотентности представления.

Назовем локально нильпотентным радикалом N(1/) обобщенно специальной алгебры Ли Ь над полем Г пересечение наибольших идеалов локальной нильпотентности всех Р/-представлений алгебры Ли Ь над полем .Р.

Скажем, что обобщенно специальная алгебра Ли локально нильпо-тентно полупростая, если ее локально нильпотентный радикал ЛГ(Ь) равен нулю.

Для идеала N(1;) выполнены следующие свойства.

Теорема 3.2.2 Пусть Ь - обобщенно специальная алгебра Ли над полем. Тогда

I) Определенный выше идеал алгебры Ли Ь является локально нилъпотентным. и) Идеал Лявляется радикалом для класса обобщенно специальных алгебр Ли.

Скажем, что обобщенно специальная алгебра Ли называется редук-тивной, если она является произведением полупервичной и абелевой алгебр.

Следующая теорема является аналогом утверждения, справедливого для конечномерных алгебр Ли [12].

Теорема 3.2.3 Пусть Ь - обобщенно специальная алгебра Ли над полем Г характеристики нуль, Я{Ь) ~ ее локально разрешимый радикал. Тогда следующие условия эквивалентны

1) Ь - локально нилъпотентно полупростая алгебра Ли.

2) Ь - редуктивна.

3) Ь2 - полупервичная алгебра.

Отметим, что некоторые утверждения, справедливые для конечномерных алгебр Ли, не переносятся на обобщенно специальные.

Так, например, для конечномерной алгебры Ли Ь над полем характеристики нуль справедливо равенство №(Ь) = [X, 11(Ь)], где N(1,) -нильпотентный, а Я(Ь) - разрешимый радикалы [12].

Кроме того, для конечномерной алгебры Ли Ь над полем характеристики нуль равенство нулю нильпотентного радикала N(1) равносильно тому, что радикал ЩЬ) совпадает с центром.

Оба этих утверждения не имеют места для обобщенно специальных алгебр Ли. Контрпримером к ним является известный пример Ю.В.Биллига [10].

В главе 4 рассмотрены различные приложения теории первичного радикала обобщенно специальных алгебр Ли.

В разделе 4.1 рассмотрены артиновы и нетеровы обобщенно специальные алгебры Ли.

Получен следующий результат, который является аналогом утверждения о нильпотентности радикала Джекобсона артиновой ассоциативной алгебры.

Теорема 4.1.1 ([107]). Пусть Ь - артинова, обобщенно специальная алгебра Ли и Я(Ь) - ее первичный радикал. Тогда идеал Я(Ь) -разрешимый.

В разделе 4.2 обсуждается методика применения первичного радикала матричной алгебры Ли в теории многообразий.

Следуя В.Н.Латышеву, назовем многообразие, порожденное алгеброй Ли, удовлетворяющей всем тождествам алгебры матриц некоторого порядка, матричным [34].

С использованием рассмотренной методики получено другое доказательство теоремы Ю.П.Размыслова о собственных подмногообразиях многообразия, порожденного 2,-Р) в следующей редакции[43].

Теорема 4.2.А [43]. Пусть - матричное многообразие алгебр Ли. Любое нематричное подмногообразие лежит в произведении ЛГСА для некоторого нилъпотентного многообразия ЛГС и абелева многообразия А.

В разделе 4.3 показано применение структурной теории для исследования алгебр с условием максимальности на абелевы подалгебры. Результаты раздела 4.3 получены совместно с К.И.Бейдаром и М.В,Зайцевым.

В 1991 году М.В.Зайцев доказал следующую теорему.

Теорема 4.3.А [81]. Пусть Г - поле характеристики нуль, Ь -конечнопорожденная специальная алгебра Ли над полем Р. Если любая абелева подалгебра алгебры Ь - конечномерна, то алгебра Ь является конечномерной.

В этом разделе дается обобщение теоремы 4.3.А, основанное на некоторых результатах и некоторых идеях из [81].

Теорема 4.3.1 Пусть Ь - обобщенно специальная алгебра Ли с условием максимальности на абелевы подалгебры. Тогда алгебра Ь является конечномерной.

В разделе 4.4 рассматривается локально разрешимый радикал для групп.

Введено понятие Р/-представимых групп. Показано, что первичный радикал Р/-представимой группы является локально разрешимым.

Этот результат является аналогом теоремы, доказанной для групп с кручением [83].

В разделе 4.5 исследуется первичный радикал супералгебр Ли. Результаты раздела 4.5 получены совместно с И.Н.Балабой.

В частности показано, что для обобщенно специальных супералгебр Ли первичный и локально разрешимый радикалы совпадают.

В главе 5 приведены краткие сведения о центроиде Мартиндейла и о построении инъективной оболочки модуля над ассоциативной алгеброй.

При изучении специальных алгебр Ли важную роль играет понятие центроида Мартиндейла. В разделе 5.1 даются формулировки основных результатов о центроиде Мартиндейла первичных и полупервичных алгебр, необходимых для исследования строения специальных алгебр Ли.

В разделе 5.2 приводится конструкция инъективной оболочки модуля.

При использовании инъективных оболочек определенный интерес представляет вопрос о существовании эпиморфизма между инъектив-ными оболочками. С использованием конструкции из раздела 5.2 в разделе 5.3 доказан следующий результат.

Теорема 5.3.1 Пусть Д С 5 - ассоциативные кольца, единицы колец Я и 5 совпадают, Мз - правый Б-модулъ, Р\ - инъективная оболочка М как Б-модуля, а Р2 - как Я-модуля. Тогда существует Я-эпиморфизм яр : Р\ —Р2, действующий тождественно на модуль М.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Доказано, что присоединенная ассоциативная алгебра специальной алгебры Ли является Р/-алгеброй (теорема 1.1.1; эта теорема дала основание для определения обобщенно специальной алгебры Ли). Проблема В.Н. Латышева о специальности гомоморфного образа специальной алгебры Ли сведена к центральным расширениям для поля характеристики нуль (теорема 1.1.2; это утверждение было использовано Ю.В. Биллигом для отрицательного решения проблемы о гомоморфном образе специальной алгебры Ли);

2. Отрицательно решена проблема Амайо - Стюарта о сумме локально разрешимых идеалов алгебры Ли (пример 2.2.1; это означает, что для класса всех алгебр Ли может не существовать наибольший локально разрешимый идеал);

3. Построена теория первичного радикала обобщенно специальных V алгебр Ли. Доказаны следующие утверждения: а) В любой обобщенно-специальной алгебре Ли существует наибольший локально разрешимый идеал, который называется локально разрешимым радикалом (теорема 2.4.1); б) Фактор обобщенно-специальной алгебры Ли по локально разрешимому радикалу представим в виде подпрямого произведения первичных алгебр Ли, конечномерных над своими центроидами Мартиндейла (теорема 2.4.3); в) Для обобщенно-специальных алгебр Ли локально разрешимый радикал совпадает с первичным (следствие 2.4.1);

4. Построена теория локально нильпотентного радикала обобщенно специальной алгебры Ли. Доказаны следующие утверждения: а) Существует наибольший идеал локальной нильпотентности Р1-представления алгебры Ли (теорема 3.2.1); б) Пересечение наибольших идеалов локальной нильпотентности всех Р1-представлений обобщенно-специальной алгебры Ли является локально нильпотентным радикалом (теорема 3.2.2);

5. Получен критерий того, что обобщенно специальная алгебра Ли над полем характеристики нуль является редуктивной (теорема 3.2.3);

6. Решена проблема М.В. Зайцева. Доказано, что обобщенно - специальная алгебра Ли, удовлетворяющая условию максимальности на абелевы подалгебры, является конечномерной (теорема 4.3.1).

Подводя итог сказанному выше, можно сделать вывод о том, что в диссертации развита структурная теория обобщенно-специальных алгебр Ли, тем самым открыто новое направление - построение радикалов обобщенно-специальных алгебр Ли и их применение для решения различных задач.

Результаты диссертации докладывались на:

- научно-исследовательских семинарах "Теория колец" и "Кольца и модули" кафедры Высшей алгебры МГУ в период с 1981 по 2003 г.;

- расширенном семинаре кафедры Высшей алгебры МГУ памяти А.Г.Куроша, 1981 год;

- летней математической школе по теории многообразий алгебраических систем, Барнаул, 1981 год;

- XIX Всесоюзной алгебраической конференции, Львов, 1987 год;

- Международной конференции по алгебре памяти А.И.Ширшова, Барнаул, 1991 год;

- Международной сессии алгебраического семинара кафедры Высшей алгебры МГУ, посвященного 70-летию О.Ю.Шмидта, Москва, 2000 год;

- IV Международной конференции " Современные проблемы теории чисел и ее приложения", посвященной 110-летию И.М.Виноградова, Тула, 2001 год;

Всероссийской научной конференции " Современные проблемы математики, механики, информатики", проходившей в Туле в 2001 году;

Международной алгебраической конференции, посвященной памяти З.И.Боревича. Санкт-Петербург. 2002;

V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". Тула. 2003;

International Conference on Radicals dadicated to the memory of Prof. V. Andrunakievich. Chisinau. 2003.

Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах ([87], [88], [89], [90], [91], [93], [96]).

В работах с К.И. Бейдаром [88], [89] идея существования наибольшего локально разрешимого радикала и его совпадения с первичным для обобщенно-специальных алгебр Ли принадлежит автору. К.И. Бейдару принадлежит идея исследования IDS-свойства.

В работе с К.И. Бейдаром и М.В. Зайцевым [91] идея использования локально разрешимого радикала и введение размерности над полупервичным центроидом Мартиндейла принадлежит автору. К.И. Бейдару и М.В. Зайцеву принадлежит идея использования условия обрыва возрастающих цепей аннуляторов.

В работе с В.Н. Латышевым и A.B. Михалевым [96] идея отрицательного решения проблемы Амайо - Стюарта и использования линейных отображений на векторном пространстве с растущими по ширине промежутками нулевого действия принадлежит автору. В.Н. Латышеву и A.B. Михалеву принадлежат идеи о наложении дополнительных условий на рассматриваемые линейные отображения.

Автор выражает благодарность своему научному консультанту -профессору В.Н.Латышеву, профессорам В.А.Артамонову, М.В.Зайцеву, А.В.Михалеву, А.Ю.Ольшанскому, Б.И.Плоткину, А.Л.Шмелькину и всем преподавателям кафедры Высшей алгебры мех-мата МГУ за помощь, внимание к работе и полезные консультации.

О Исторический очерк. Основные определения и обозначения

Начало создания теории конечномерных алгебр Ли относится к концу XIX века. Оно связано с именами таких математиков как Софус Ли, Эн-гель, Э, Картан, Киллинг и др. [12]. По аналогии с теорией групп было введено понятие разрешимой и нильпотентной алгебр Ли. Киллинг ввел понятие радикала и полупростой алгебры Ли.

В дальнейшем развитие теории конечномерных алгебр Ли привело к классификации конечномерных простых алгебр Ли над полем характеристики нуль, доказательству теоремы Леви-Мальцева и многих других.

Конечномерные алгебры Ли возникли при изучении групп Ли. В настоящее время они имеют хорошо разработанную теорию, которая находит приложение в различных областях математики.

При изучении теории гладких многообразий естественно возникают бесконечномерные алгебры Ли векторных полей. Бесконечномерные алгебры Ли оказались полезным инструментом при построении примеров групп. Они находят и другие применения в математике. В силу сказанного выше, были предприняты значительные усилия по разработке теории бесконечномерных алгебр Ли. В настоящее время в этой области имеются тысячи научных работ, изучающих бесконечномерные алгебры Ли с разных точек зрения.

К сожалению, не удалось создать удовлетворительную структурную теорию бесконечномерных алгебр Ли. Создание структурной теории предполагает наличие хорошего радикала, хорошее описание фактора по радикалу и получение ряда результатов, описывающих отдельные классы алгебр.

Единый для всех классов алгебр Ли радикал был построен В.А.Парфеновым [39]. Он предложил рассматривать в качестве радикала наибольший слабо разрешимый идеал алгебры Ли.

Везде далее мы будем рассматривать алгебры Ли над полем.

Алгебра Ли называется слабо разрешимой, если любое ее конечномерное подпространство удовлетворяет тождеству разрешимости некоторой степени.

В.А.Парфенов показал, что сумма слабо разрешимых идеалов алгебры Ли является слабо разрешимым идеалом. Кроме того, класс всех слабо разрешимых алгебр Ли является радикальным в универсальном классе всех алгебр Ли. Для дальнейшего развития структурной теории хотелось бы найти аналоги ряда теорем, справедливых для конечномерных алгебр Ли. Для класса всех алгебр Ли этого сделать не удалось.

В 1963 г. В.Н.Латышев ввел новый класс алгебр Ли [32], которые он назвал специальными по аналогии с йордановыми алгебрами.

Ассоциативная алгебра А называется Р/-алгеброй, если существует f(x\,., хп) 6 F(X), где F(X) - свободная ассоциативная алгебра над полем F, такой, что /(ai,ап) = 0 для произвольных <zi,., ап 6 А.

Скажем, что алгебра Ли L специальная или S"P/-алгебра Ли, если существует ассоциативная Р/-алгебра А такая, что L вложена в АН как алгебра Ли, где - алгебра Ли, заданная на А с помощью операции коммутирования [х,у] — ху — ух.

На приведенной диаграмме показаны взаимоотношения теории специальных алгебр Ли и других разделов алгебры.

Суть этих взаимоотношений можно выразить словами: теория специальных алгебр Ли это дитя трех родителей - теории алгебр Ли, теории многообразий и теории ассоциативных колец и модулей. Хорошо известно, что многие результаты, полученные в теории групп, переносятся на алгебры Ли и наоборот. На диаграмме это соответствие отмечено стрелкой. Пунктирная стрелка указывает на то, что развитие структурной теории специальных алгебр Ли может повлиять, и уже влияет, на развитие структурной теории для некоторого класса групп.

Изучение многообразий различных алгебраических систем было модной темой второй половины XX века. Одной из наиболее известных проблем являлась проблема конечной базируемости многообразий. В настоящее время она исследована почти для всех классов широко изучаемых алгебраических систем. Пока неизвестно существуют ли не конечно базируемые многообразия для случая алгебр Ли над полем характеристики нуль. Хотя проблема конечной базируемости многообразий носит абстрактный характер, при ее исследовании были разработаны новые методы для работы с тождествами.

При развитии теории многообразий были получены структурные результаты, или результаты имеющие широкое применение при изучении структурных вопросов. К их числу относятся теоремы И.Капланского и Познера [47], теорема Размыслова-Кемера-Брауна о нильпотентности радикала конечно порожденной ассоциативной Р/-алгебры [27], [63], лемма А.И.Ширшова о локальной ограниченности высот [48], теорема Ю.П.Размыслова о ранге [45] и другие. Создались предпосылки для применения результатов теории многообразий при изучении структуры различных алгебраических систем.

В теории ассоциативных колец и модулей были разработаны различные объекты, которые можно применять при построении структурной теории. К их числу относятся радикалы Джекобсона и первичный [47], кольцо частных [31], [61], центроид Мартиндейла [59], [45], [61] и другие.

Развитие упомянутых выше разделов алгебры позволило приступить к созданию структурной теории специальных алгебр Ли - класса алгебр Ли близких к конечномерным, которые сочетают в себе свойства ассоциативных алгебр и алгебр Ли.

Для различных алгебраических систем важную роль при построении структурной теории играет понятие радикала.

Радикал это такой класс идеалов, фактор по которым имеет нулевой радикал и хорошо устроен.

В теории ассоциативных колец используются радикалы Джекобсона, первичный, Левицкого и другие. К сожалению, в общем случае нельзя утверждать, что полу простое в смысле некоторого радикала кольцо хорошо устроено. Если наложить на полупростое кольцо дополнительно некоторое условие конечности, то оно может стать хорошо устроенным.

Такими условиями могут служить артиновость, наличие полиномиального тождества и другие.

Различные радикалы для алгебр Ли исследовались в работах [70], [78], [79] и других.

В теории конечномерных алгебр Ли в качестве радикала используют наибольший разрешимый идеал.

К сожалению, в бесконечномерных алгебрах Ли сумма всех разрешимых идеалов не всегда является разрешимым идеалом.

Естественным обобщением понятия разрешимого идеала является локально разрешимый идеал.

Р. Амайо и И.Стюарт сформулировали в своей книге [50] вопрос: будет ли сумма локально разрешимых идеалов бесконечномерной алгебры Ли - локально разрешимым идеалом? Отрицательный ответ на этот вопрос был дан В.Н. Латышевым, А.В. Михалевым и автором диссертации [96]. Поэтому исследовать локально разрешимый радикал для класса всех алгебр Ли нельзя.

Можно рассматривать для класса всех алгебр Ли слабо разрешимый радикал, построенный В.А.Парфеновым [39].

Для класса всех алгебр Ли не удается дать хорошую характериза-цию ни примитивной ни первичной алгебр Ли. В работе [85] показано, что свободная ассоциативная алгебра над полем является примитивной. Такой же будет и свободная алгебра Ли.

В общем случае также не удается дать хорошую характеризацию полупростой в смысле Парфенова алгебры Ли, требуется наложить дополнительное условие. Оказалось, что класс обобщенно специальных алгебр Ли в некотором смысле близок к конечномерным алгебрам и, в то же время, содержит интересные примеры бесконечномерных алгебр Ли.

Так, например, Ю.А.Бахтурин доказал для почти разрешимых конечно порожденных специальных алгебр Ли над полем характеристики нуль аналог теоремы Леви-Мальцева [54]. Ю.П.Размыслов показал, что в конечно порожденных специальных алгебрах Ли существует наибольший разрешимый идеал, фактор по которому представим в виде подпрямого произведения полупростых алгебр Ли, конечномерных над соответствующими полями [44].

Автор диссертации, совместно с К.И.Бейдаром, показал, что в обобщенно специальных алгебрах Ли первичный радикал является наибольшим локально разрешимым идеалом и совпадает со слабо разрешимым идеалом [88], [89]. Согласно теореме Размыслова о ранге, первичные специальные алгебры Ли являются конечномерными над своими центроидами Мартиндейла [45], что позволяет применять первичный радикал при решении различных задач (теоремы 2.1.7, 3.1.1 и др.).

Для удобства чтения диссертации приведем некоторые определения которые часто встречаются в тексте

Назовем алгебру полупервичной, если для любого ее идеала I из того, что I2 = 0 следует, что 1 = 0. Это определение относится как к ассоциативным алгебрам, так и к алгебрам Ли.

Скажем, что обобщенно специальная алгебра Ли называется редук-тивной, если она является произведением полупервичной и абелевой алгебр.

Введем понятие произведения многообразий.

Как известно, многообразие определяется множеством выполненных в его алгебрах тождеств, которое называется Т-идеалом. В отличие от обычного идеала Т-идеал свободной алгебры замкнут не только относительно умножения на элементы свободной алгебры, но и относительно подстановок.

Пусть I и 3 - лиевские Т-идеалы. Обозначим через «/(/) Т-идеал, порожденный полиномами вида (*Е11э » ®Г»1, ХШп) = р (^'1(2'115 ^131 ) > ••') З'Пвп))» где

Если ШТ и «П- многообразия алгебр Ли; /, 7 - соответствующие им Т-идеалы, то многообразие которому соответствует Т-идеал ./(/), называется произведением многообразий Ш1 и Многообразие заданное идеалом [/,7], назовем коммутатором многообразий ШТ и 91. Отметим, что операция коммутирования многообразий коммутативна.

При изучении строения специальной алгебры Ли полезно изучить возможные вложения алгебры Ли в ассоциативную Р/-алгебру.

Следуя Ю.А.Бахтурину [7] скажем, что ассоциативная Р/-алгебра является Р/-оболочкой алгебры Ли если Ь С А^ и алгебра А порождена множеством Р как ассоциативная алгебра. Р7-оболочки конечномерных редуктивных алгебр Ли над полем характеристики нуль были рассмотрены Ю.А.Бахтуриным [7].

Приведена конструкцию универсальной обертывающей алгебры из многообразия.

Пусть специальная алгебра Ли Ь имеет Р/-оболочку А. Обозначим через Ж многообразие ассоциативных алгебр, порожденное алгеброй А. Скажем, что алгебра А является универсальной обертывающей алгеброй, алгебры Ли Ь из многообразия ШТ, если для любого гомоморфизма (р : Ь В<"), где В - произвольная алгебра из многообразия Ш1, существует продолжение <р : А —>• В гомоморфизма (р.

Для произвольной алгебры Ли Ь универсальная обертывающая алгебра из многообразия может не существовать. Например, если алгебра Ли Ь не является специальной. Для специальных алгебр Ли справедлива теорема.

Теорема 1.3.4 Пусть Ь - специальная алгебра Ли и А - ее Р1-оболочка, лежащая в многообразии Тогда Ь имеет универсальную обертывающую алгебру им(£) в многообразии ЯЛ, единственную с точностью до изоморфизма.

При построении различных примеров важную роль играют косые полугрупповые алгебры.

Пусть Н - полугруппа, Я - алгебра над полем .Р и а - гомоморфизм полугруппы Н в группу автоморфизмов АиЬрЯ алгебры Я.

Назовем косой полугрупповой алгеброй ЯаН множество конечных сумм

С Я, 91 € Я, умножение в котором задается формулой ад = да^\аеЯ,деН, законами дистрибутивности и умножением в полугруппе. Если а отображает Н в тождественный автоморфизм алгебры Я, получим полугрупповую алгебру ЯН.

Определим также косую полугрупповую алгебру Ли.

Пусть Ь - специальная алгебра Ли, А - ее Р1-оболочка и ШТ - многообразие ассоциативных алгебр, порожденное алгеброй А. Алгебра Ли Ь имеет универсальную обертывающую алгебру £/м(£) в многообразии т.

Назовем алгебру Ли первичной, если из того, что произведение идеалов [U, V] = 0 следует, что U = О или V = 0. Такое определение рассматривается в книге Ю.П.Размыслова [45] для универсальных алгебр.

Пусть полупростая специальная алгебра Ли L имеет полупервичную Р/-оболочку А. Обозначим через ШТ многообразие ассоциативных алгебр, порожденное алгеброй А. Скажем, что алгебра А является полупервичной универсальной обертывающей алгеброй, алгебры Ли L из многообразия !ЭЯ, если для любого гомоморфизма <р : L где В произвольная полупервичная алгебра из многообразия Ш1 и ip(L) порождает В , существует продолжение (р : А —> В гомоморфизма <р.

Пусть Р = P(Um{L)) - первичный радикал алгебры Um{L). Первичный радикал ассоциативной PI-алгебры локально нильпотентен. Следовательно, POL = 0 и, алгебра Ли L вкладывается в алгебру (UM(L)/P)(~K Алгебра

UM{L)sp = UM(L)/P является полупервичной универсальной обертывающей алгеброй алгебры L из многообразия ШТ. Это следует из универсального свойства алгебры Um(L) и из того, что при эпиморфном отображении в полупервичную алгебру образ первичного радикала равен нулю. Легко понять, что полупервичная универсальная обертывающая алгебра Um(L)sp полупростой специальной алгебры Ли L из многообразия ШТ единственна с точностью до изоморфизма.

Пусть Н - полугруппа, о - гомоморфизм полугруппы Н в группу автоморфизмов AutpL алгебры Ли L. Из универсального свойства алгебры Um(L)sp следует, что для всех h £ Н автоморфизм a(h) продолжается до гомоморфизма ¿г(Л.) алгебры Um{L)sp• Легко понять, что гомоморфизм <т(/г) является автоморфизмом алгебры им{^)зр- Пусть а : Н АиЬР{имЩ8р) это отображение, продолжающее отображение ст.

Пусть Ь - полупростая специальная алгебра Ли. Рассмотрим косую полугрупповую ассоциативную алгебру в = (им(Ь)зр)&Н.

Скажем, что подалгебра Ли (ЬаН)м, порожденная в алгебре подмножеством Ьи Н, является косой полугрупповой алгеброй Ли из многообразия !ЭЯ.

Как известно, тензорное произведение алгебры Ли Ь на алгебру К является алгеброй Ли, если К коммутативная ассоциативная алгебра. Строя определение аналогично определению косой полугрупповой алгебры Ли, можно определить тензорное произведение специальных алгебр Ли, которое будет специальной алгеброй Ли.

Скажем, что идеал алгебры Ли первичный, если фактор-алгебра по нему первичная. Назовем первичным радикалом обобщенно специальной алгебры Ли пересечение всех ее первичных идеалов. Обозначим первичный радикал алгебры Ли Ь через Р(Ь).

Будем исследовать также слабо разрешимый радикал. Обозначим через Т(Ь) слабо разрешимый радикал алгебры Ли Ь.

В некотором смысле, слабо разрешимая алгебра Ли является аналогом ассоциативной ниль-алгебры.

Так же как и для ассоциативных алгебр [19], для алгебр Ли можно определить верхний и нижний слабо разрешимые радикалы.

Назовем наибольший слабо разрешимый идеал Т(Ь) алгебры Ли Ь верхним слабо разрешимым радикалом.

По аналогии с построением нижнего ниль-радикала в ассоциативных алгебрах, обозначим через p(L) сумму всех разрешимых идеалов алгебры Ли L.

Так как сумма двух разрешимых идеалов алгебры Ли является разрешимым идеалом, идеал p(L) является локально разрешимым.

С помощью трансфинитной индукции определим для каждого порядкового числа а идеал р(а) следующим образом.

1. р(0) = 0.

2. Предположим, что р(ск) определено для всех а < ß. Тогда определим p(ß) следующим образом. а) если ß = 7 + 1 не является предельным порядковым числом, то p(ß) это такой идеал алгебры L, что p(ß)/p(7)) = p(L/p(L)). б) Если ß - предельное порядковое число, то p(ß) = и р(1)

Kß

Расширение локально разрешимой алгебры Ли с помощью локально разрешимой алгебры может не быть локально разрешимым [50], но оно будет слабо разрешимым [39].

Если p(ß) = p{ß + 1) скажем, что p(ß) - нижний слабо разрешимый радикал алгебры Ли L.

Для построения хорошей структурной теории полезно наложить на алгебру дополнительные условия. Такими условиями могут служить артиновость и нетеровость.

По аналогии с ассоциативными алгебрами скажем, что алгебра Ли является артиновой, если любая не пустая убывающая цепочка ее идеалов стабилизируется. Назовем алгебру Ли нетеровой, если в ней стабилизируется любая возрастающая цепочка идеалов.

При применении структурной теории обобщенно специальных алгебр Ли в теории многообразий полезно знать понятия слабого тождества и слабого многообразия, введенные Ю.П. Размысловым.

Пусть алгебра Ли Ь вложена в ассоциативную обертывающую Ь С Ассоциативный полином /(жх,., хп) называется слабым тождеством пары (А, Ь), если /(г>ь уп) = 0 для любых VI,е Ь.

Пусть Р{Х) - свободная ассоциативная алгебра над полем Ь(Х) - свободная подалгебра Ли алгебры порожденная образующими из X. Идеал I С Е(Х) называется идеалом слабых тождеств, если он замкнут относительно подстановки элементов из Ь(Х) вместо образующих.

Легко проверить, что слабые тождества действительно образуют идеал слабых тождеств. Имеет место и обратная связь между ними.

Структурную теорию удобно применять к матричным многообразиям алгебр Ли.

Для формулировки следующих теорем важным является понятие сложности многообразия. Впервые сложность многообразия была рассмотрена в работах [34], [13], [14].

Пусть 5ЕП - многообразие ассоциативных алгебр, Т - соответствующий ему Т-идеал. Как показал Амицур [52], существует такое натуральное число п = п(Ш1) = п(Т), что элементы Т это некоторые степени элементов из Мп, где Мп - идеал тождеств алгебры матриц порядка п.

Назовем это число п — п(Т) сложностью многообразия ШТ и Г-идеала Т. Скажем, что многообразие ШТ - нематричное, если его сложность равна 1, то есть п(ЯЯ) = 1.

Как оказалось, понятие сложности связано с тождествами фактора по радикалу.

Пусть А - ассоциативная Р/-алгебра или алгебра Ли, удовлетворяющая тождественному соотношению. Назовем сложностью п(Л) алгебры А наименьший из порядков матричных алгебр, всем тождествам которой удовлетворяет фактор алгебры А по первичному радикалу. Скажем, что алгебра А нематричная, если п(А) = 1.

Как известно, радикалом для групп (2 называется такой класс нормальных подгрупп #((?), что 11(0/11(0)) = 1.

Различные радикалы для групп исследовались в работах [49], [16], [17], [15], [82], [83] и других.

Нормальная подгруппа Р группы (9 называется первичной, если вложение [А, В] С Р, где и - нормальные подгруппы, влечет А С Р или ВСР. Скажем, что фактор-группа С/Р является первичной, если нормальная подгруппа Р - первична. Назовем группу О - полупервичной, если она не содержит нетривиальных разрешимых нормальных подгрупп.

Нетрудно заметить, что первичная группа является полу первичной.

В конце XX века была создана теория абстрактных супералгебр Ли. Различные аспекты этой теории исследовались в работах Ю.А.Бахтурина, М.В,Зайцева, А.А.Михалева и других математиков. Об этой теории можно прочитать в книге [55]. Была также развита теория конечномерных супералгебр Ли. В частности, была дана классификация конечномерных простых супералгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль [69].

По своему строению супералгебры Ли во многом похожи на алгебры Ли. Поэтому представляется естественным рассмотреть класс супералгебр Ли, аналогичный классу специальных алгебр Ли [32].

Скажем, что ассоциативная супералгебра А является Р1- супералгеброй, если она удовлетворяет тождественному соотношению как алгебра без градуировки. Известно, что достаточным условием выполнимости тождества в градуированной конечной группой алгебре является выполнимость тождественного соотношения в единичной компоненте алгебры [62]. В [56] была дана оценка степени такого тождества.

Назовем супералгебру Ли Ь над полем Г специальной, если существует ассоциативная Р1-супералгебра А такая, что Ь С [А], где [А] это алгебра А по отношению к операции коммутирования, определенной на однородных компонентах по формуле а(х) - номер однородной компоненты. Ассоциативная супералгебра А по отношению к такой операции коммутирования является супералгеброй Ли [А].

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Пихтильков, Сергей Алексеевич, 2003 год

1. Андрунакиевич В.А,, Рябухин Ю.М. Радикалы алгебр и структурная теория. М.: Наука, 1979.

2. И. Н. Б ал аба Кольца частных полупервичных градуированных колец/ / Труды участников международного семинар "Универсальная алгебра и ее приложения" посвященного памяти Л.А.Скорнякова, Волгоград, 2000, С. 21-28.

3. Балаба И.Н. Градуированные первичные Р1-алгебры // Фундаментальная и прикладная математика. 2003. Т. 9. Вып. 1. С. 19-26.

4. Барбаумов В.Е. О кольцах Орэ// Мат. исследования. 1972. Т. 7. N 3. С. 19-30.

5. Бахтурин Ю.А. Специальные многообразия алгебр Ли// Алгебра и логика. 1981. Т. 20. N 5. С. 522-530.

6. Бахтурин Ю.А. Артиновы специальные алгебры Ли// Алгебра. М.: Изд-во МГУ, 1982. С. 24-26.

7. Бахтурин Ю.А. О строении Р/-оболочки конечномерной алгебры Ли// Изв. вузов. Матем. 1985. N 11. С. 60-62.

8. Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985.

9. Ф.А.Березин Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными. М.: Изд-во МГУ, 1983.

10. Биллиг Ю.В. О гомоморфном образе специальной алгебры Ли// Матем. сборник. 1988. Т. 136. N 3. С. 320-323.

11. Биллиг Ю.В. О специальных алгебрах Ли с тождествами алгебры shU Изв. вузов. Матем. 1991. N 10. С. 15-18.

12. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (главы I-III). М.: Мир, 1976.

13. Гатева Т.В. О сложности многообразия, порожденного тензорным произведением алгебр// Вестник МГУ. 1980. N 2. С. 47-50.

14. Гатева Т.В. Сложность произведения многообразий ассоциативных алгебр// УМН. 1981. N 1. С. 203-204.

15. Голубков А.Ю. Первичный (RP-разрешимый) радикал унитарной группы над кольцом с инволюцией// Фундаментальная и прикладная математика. 2000. Т. 6. N 1. С. 93-119.

16. Голубчик И.З., Михалев A.B. Изоморфизмы унитарных групп над ассоциативными кольцами // Записки научных семинаров Л О МИ АН СССР. 1983. Т. 132. С. 97-109.

17. Голубчик И.З., Михалев A.B. Элементарная подгруппа унитарной группы над PI-кольцом// Вестник МГУ. 1985. N 1. С. 30-36.

18. Днестровская тетрадь. Институт математики СО АН СССР. Новосибирск. 1978.

19. Джекобсон Н. Строение колец. М.: Изд-во иностр. литературы, 1961.

20. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.:Мир, 1964.

21. Доманов О.И. О тождествах полугрупповых алгебр вполне 0-простых полугрупп// Мат. заметки. 1975. Т.18. N 2. С. 203-212.

22. Зельманов Е.И. Об Энгелевых алгебрах Ли// Сиб. мат. журнал. 1988. Т. 29. N 5 (171). С. 112-117.

23. Зубрилин К.А. Алгебры, удовлетворяющие тождествам Капелли// Мат. сб. 1995. Т. 186. N 3. С. 53-64.

24. Зубрилин К.А. О максимальном нильпотентном идеале в алгебре, удовлетворяющей тождествам Капелли// Мат. сб. 1997. Т. 188. N 8. С. 93-102.

25. Капланский И. Алгебры Ли и локально компактные группы Ли. М.: Мир, 1974.

26. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп// М.: Наука, 1996.

27. Кемер А.Р. Тождества Капелли и нильпотентность радикала конечно порожденной Р7-алгебры// ДАН СССР. 1980. Т. 255. N 4. С. 793-797.

28. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М.: Мир, 1972.

29. Кон П. Универсальная алгебра. М.: Мир, 1968.

30. Кострикин А.И. Вокруг Бернсайда. М.: Наука, 1986.

31. Ламбек И. Кольца и модули. М.: Мир, 1971.

32. Латышев В.Н. Об алгебрах Ли с тождественными соотношениями// Сиб. мат. журнал. 1963. Т. 4. N 4. С. 821-829.

33. Латышев В.Н. Два замечания о Р7-алгебрах. Сиб. мат. журнал. 1963. Т. 4. N 4. С. 1120-1121.

34. Латышев В.Н. О сложности нематричных многообразий ассоциативных алгебр. I// Алгебра и логика. 1977. Т. 16. N 2. С. 149-183.

35. Мерзляков Ю.И. Рациональные группы. М.: Наука, 1980.

36. Михалев A.B., Шаталова М.А. Первичный радикал решеточно-упорядоченных групп// Вестник МГУ. 1990. N 2. С. 84-86.

37. Михалев A.B., Шаталова М.А. Первичный радикал fi-групп и П-/-групп// Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4. N 4. С. 1405-1413.

38. Наджирян Н.Г. О радикале и тождествах обобщенных относительно свободных алгебр// Ереван. 1984. Деп. в АрмНИИНТИ 4.12.1984.

39. Парфенов В.А. О слабо разрешимом радикале алгебр Ли// Сиб. мат. журнал. 1971. Т. 12. N 1. С. 171-176.

40. Плоткин Б.И. О некоторых признаках локально нильпотентных групп // Успехи мат. наук. 1954. Т. 9, N 3(61). С. 181-187.

41. Размыслов Ю.П., Кушкулей А.К. Многообразия, порожденные неприводимыми представлениями алгебр Ли// Вестник МГУ. 1983. N 5. С. 4-7.

42. Размыслов Ю.П, Об энгелевых алгебрах Ли// Алгебра и логика. 1971. Т. 10. N 1. С. 33-44.

43. Размыслов Ю.П. О конечной базируемости тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль// Алгебра и логика. 1973. Т. 12. N 1. С. 83-113.4546 47 [4849