Описание некоторых классов тождеств алгебры M3(F) тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Аверьянов, Илья Владимирович

• Аверьянов, Илья Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Аверьянов, Илья Владимирович

Введение

Глава 1 Базис градуированных тождеств супералгебры Mi,2(F)

1.1 Предварительные замечания.

1.2 Описание градуированных тождеств супералгебры MatiiOQ(F).

1.3 Тождества Mati,n(F) от нечетных переменных.

1.4 Базис тождеств супералгебры Mnti^{F).

1.5 Полученные результаты.

Глава 2 Описание алгебр, порождающих многообразие трейскиллеров

2.1 Трейскиллеры для M2(F)

2.2 Общее описание алгебр, порождающих Г^

2.3 Описание Л2.

2.4 Описание -А3.

2.5 Доказательство основной теоремы.

2.6 Полученные результаты.

Глава 3 Проблема Прочези для алгебры общих матриц порядка

3.1 Основные определения.

3.2 Необходимые условия редуцируемости.

3.3 Сведение задачи к многочленам следовой степени

3.4 Решение задачи для многочленов «ледовой слепени 1.

3.5 Полученные результаты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Описание некоторых классов тождеств алгебры M3(F)»

История проблем, связанных с тождествами

Теория тождеств в алгебраических структурах является очень своеобразной и интересной областью современной алгебры, тесно связанной с другими ее разделами: теорией групп, колец, тел, алгебраической геометрией, теорией инвариантов, и пр. Тождества были введены как обобщения известных математикам с древних времен свойств обычных чисел для того, чтобы иметь возможность переносить известные факты на новые алгебраические объекты.

С возникновением формальных алгебраических систем в начале двадцатого века математики смогли сформулировать понятие «тождества» на подходящем алгебраическом языке, и проследить, как тождества связаны с алгебраической структурой объектов. Например, бинарная операция коммутативна, если выполнено тождество ху ■ ух . Также легко проверить, что любая группа, удовлетворяющая юждеству х2 = 1, является коммутативно]'!.

Тождества в ассоциативных алгебрах имеют вид /(.гь я-2. • • •, хп) = g(xi,x2,. хп), где f(xi,x2,. ,хп) и g{xi,x-2, ■ ■. ,.rn) - некоммутативные полиномы, или, эквивалентно, вид /(.х'1, х'2, ■ • .,хп) = 0.

Тождеством в алгебре А называется нетривиальное соотношение f(xi,X2,- • - хп) = 0, выполняющееся при любых подстановках х\ н-> а; элементов из А. Тождество / называют PI -тождеством или полиномиальным тождеством. PI -степенью А называется наименьшая степень полиномиального тождества, выполненного в А.

Например, алгебра А коммутативна, если ab = ba Va, Ь £ А , или если xix<2~x?xi = 0 является полиномиальным тождеством в А. Т.о. полиномиальные тождества обобщают коммутативность.

Изучение PI-теории было начато Деиом [5], который стремился описать теоремы Дезарга с помощью полиномиальных тожесгв соответствующего тела D. Заметив, что теорема Паппа верна в точности тогда, когда D комм)гггативно, он хотел найти полиномиальные ограничения на D, необходимые и достаточные для выполнения соответствующей теоремы.

Несмотря на то, что эта цель была достигнута лишь много позднее Амицуром, благодаря этому было заложено понятие полиномиального тождества.

Следующий важный шаг в изучении PI -алгебр был сделан В. Вагнером [17] - он доказал коммутативность упорядоченного РI-тела и нашел некоторые важные тождествва алгебры матриц порядка 2. Позднее М.Холл изучал тела, удовлетворяющие тождеств}' [[а;, г/]2, z] — 0.

Большую роль в теории PI -алгебр сыграла проблема Куроша, поставленная им в 1941г. [40] Курош сформулировал аналог проблемы Бернсайда для алгебр: является ли любая конечно-порожденная алгебраическая алгебра над полем F конечномерной над F ? Джекобсон [7] заметил, что любая алгебраическая алгебра ограниченной степени является PI -алгеброй. Используя недавно разработанную структурную теорию и результаты Левицкого [18], Капланский установил, что любая алгебраическая конечно-порожденная PI -алгебра является конечномерной [9].

В общем виде проблема Куроша была решена отрицательно в 1964г. Голодом и Шафаревичем [32], [33].

Положительное решение проблемы Куроша для PI-алгебр немедленно следует из знаменитой теоремы Ширшова о высоте [51], доказанной им в 1957г.

Другая очень важная проблема PI-теории была поставлена Шпехтом [25| в 1950г.: "Имеет ли любая ассоциативная PI-алгебра над полем нулевой характеристики конечный базис тождеств?".

Эта проблема имеет смысл для алгебр над любым полем, а также для колец, групп, и многих других алгебраческих структур. Для групп проблема конечного базирования была отрицательно решена Ольшанским [47]. В 1973г. Крузе и Львов |46] доказали, что любое конечное кольцо имеет конечный базис тождеств. Проблеме конечной базируемое™ над полями нулевой характеристики было посвящено множество работ. У В.Н.Латышева имеется большой цикл работ па эту тему [41]-[45]. Многие русские и болгарские математики работали в этом направлении. Отметим наиболее важные результаты. В 1978г. Латышев [45] доказал, что любая ассоциативная алгебра над полем нулевой характеристики, удовлетворяющая тождеству вида ал,., £„]. = 0, имеет конечный базис тождеств. В 1982г. А.В.Яковлев анонсировал следующий результат: алгебра матриц любого порядка над полем нулевой характеристики имеет конечный базис тождеств. Полностью проблема Шпехта для полей нулевой характеристики была решена А.Р.Кемером [36] в 1986г. В 2000г. Белов [3] построил контрпример к гипотезе Шпехта для алгебры над полем характеристики р и показан справедливость гипотезы Шпехта для конечномерных PI-алгебр (хотя результат не опубликован даже в России).

Актуальность исследований

Несмотря на положительное решение проблемы Шпехта в случае поля нулевой характеристики, возникают проблемы нахождения базисов тождеств конкретных алгебр, в частности, алгебр матриц - важнейшего класса алгебр в PI-теории. Эти проблемы оказываются неожиданно сложными. Основным результатом в этом направлении является описание тождеств алгебры матриц второго порядка над полем нулевой характеристики [48]. Однако базисы тождеств для алгебр матриц более высокого порядка до сих пор неизвестны. Тем не менее, Размыслов [50] нашел базисы тождеств со следом для алгебр матриц Mn{F) произвольного порядка п. Также описаны басисы тождеств алгебры матриц второго, третьего и четвертого порядка в случае конечного основного поля.

Большое число работ посвящено градуированным тождествам матричных алгебр. Различные ^-градуировки алгебры Мч(К) и базисы соответстугощнх идеалов градуированных тождеств в случае конечного поля К были описаны в [16]. Также в работах [26] и [1] описаны базисы градуированных тождеств алгебры Мп[К), наделенной Zn-градуировкой, в случае произвольного бесконечного поля К. В статье В. Дренского и Ю. Бахтурина исследуются градуированные тождества G-градуированной алгебры Мп(К) в случае произвольной группы G и char К = 0, также в ней найдены базисы соответствующих иделов градуированных тождеств в случае простейшей градуировки[2].

Диссертация продолжает дальнейшее исследование различных классов градуированных тождеств и тождеств со следом:

1. находится базис градуированных тождеств супералгебры Mi, 2(F);

2. находятся алгебры порождающие многообразие трейскиллеров для Л/3(F);

3. решается классическая проблема К.Прочези для алгебры общих матриц порядка 3 .

Цели и задачи исследования. Целью исследований является по пучение новой информации о тождествах алгебры матриц третьего порядка, позволяющей более глубокого исследовать многообразие алгебр Var(Mz(F)). Полезные эффекты

Информация об исследуемых тождествах позволяет более глубоко изучить юждества матриц третьего порядка:

1. Один из путей к получению ассимптотического базиса (обычных) тождеств алгебры Мз(Г) лежит через нахождение градуированных тождеств алгебры Mit2(F) [10].

2. Описание идеала трейскиллеров для алгебры матриц Mn(F) необходимо для изучения подмногообразий многообразия Var(Mn(F)) в случае положительной характеристики поля р.

3. Описание трейскиллеров является также описанием центральных полиномов соответствующей алгебры матриц.

Объект исследования

Объектом исследования является алгебра матриц третьего порядка M2{F) над бесконечным полем F и ее тождества различных типов. Методологическая и теоретическая основы

Исследования, проводимые в диссертации, основываются на следующих результатах:

1. Базис градуированных тождеств супералгебры M\'z{F) получен с использованием общей теории представлений симметрической группы и результов о тождествах со следом и обычных тождествах алгебры M2(F).

2. Алгебры порождающие многообразие трейскиллеров для Мз(F) найдены с использованием структурной теории FI-алгебр, разработанной А.Р.Кемером.

3. Проблема К.Прочези для алгебры общих матриц порядка 3 решается с помощью результатов о тождествах со следом и обычных тождествах алгебры M%{F).

Научная значимость и новизна

Работа носит теоретический характер. Представленные в диссертации теоретические результаты являются новыми, не полученными ранее:

1. Найден базис градуированных тождеств супералгебры M1)2(F).

2. Найдены алгебры порождающие многообразие трейскиллеров для M^(F).

3. Решена проблема К.Прочези для алгебры общих матриц порядка 3.

Два последних результата получены в соавторстве с научным руководителем А.Р.Кемером.

Структура работы

1. Первая глава посвящена нахождению базиса градуированных тождеств супералгебры M\ti{F). В печати данные результаты представлены в [30] и [31].

2. Вторая глава посвящена описанию алгебр, порождающих многообразие трейскиллеров для M3(F). Результаты представлены в [14], [38], [15] и [39].

3. Третья глава посвящена решению проблемы Прочези для алгебры общих матриц порядка 3. Результаты представлены в [13], [37] и [15].

Автор очень признателен А.Р.Кемеру за сотрудничество и множество интересных обсуждений.

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Аверьянов, Илья Владимирович

Заключение

В заключении представленной диссертационной работы можно отметить, что поставленная задача исследований решена в полном объеме. Основные результаты работы:

1. Найден базис градуированных тождеств супералгебры Mi${F).

2. Найдены алгебры порождающие многообразие трейскиллеров для M3(F).

3. Решена проблема К.Прочези для алгебры общих матриц порядка 3.

К полезным эффектам работы можно отнести:

1. Возможность получения ассимптотического базиса (обычных) тождеств алгебры Mz(F) через нахождение градуированных тождеств алгебры i\/i)2(F).

2. Описание идеала трейскиллеров для алгебры матриц Mn(F), необходимое для изучения подмногообразий многообразия Var(Mn(F)) в случае положительной характеристики поля р.

3. Описание центральных полиномов соответсвующей алгебры матриц M${F).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Аверьянов, Илья Владимирович, 2009 год

1. Azevedo S.S. Graded identities for the matrix algebra of order n over an infinite field // Communications in Algebra, 2002 30:12, pp.849-5800.

2. Bahturin Y., Drensky V. Graded polynomial identities of matrices // Linear Algebra and its Applications, 2002, 357:1, 15-34

3. Belov, A. Counterexamples to the Specht problem // Sb. Math. 191 (3-4), 2000, 329-340.

4. Burnside, W. On an unsettled question in the theory of discontinuous groups // Quart. J. Puie Appl. Math. 33 (1902), 230-238

5. Dehn, M. Uber die Grundlagen der projektiven Geometric und allgemeine Zahlsysteme // Math. Ann. 85, 1922, 184-193.

6. Ilall, M. Projective planes // Trans. Amer. Math. Soc. 54, 1943, 229-277.

7. Jacobson, N. Structure theory for algebraic algebras of bounded degree // Ann. of Math., 1945, 695-707.

8. Kaplansky, I. Rings with a polynomial identity // Bull. Amer.Math. Soc. 54, 1948, 575-580.

9. Kaplansky, I. Topological representation of algebras. II Trans. Amer. Math. Soc. 66, 1949, 464-491.

10. Kemer A.R. Ideals of identities of associative algebras — Providence RI: Amer. Math. Soc., 1991. (Trans!. Math. Monogr.; 87).

11. Kemer A.R. Identities of finitely generated algebras over an infinite field // Izv. AN SSSR. Ser Mat., vol 54, no 4, 1990 726-753(russian).

12. Kemer A. R. On some problems in Pl-theory in characteristic p connects with dividing by p //Proc. of 3 Intern. Algebra conf., Kluwer Acad. Publish., 2003, pp. 53-67.

13. A. Kemer, I. Averyanov Conjecture of Procesi for 2-generated algebra of generic 3x3 matrices // Journal of Algebra, Vol. 299, Issue 1, 2006, pp. 151-170.

14. A. Kemer, I. Averyanov Description of the algebras generating the variety of trace-killers // Advances in Applied Mathematics, Vol. 37, Issue 3, 2006, pp. 390-403.

15. Kemer A.R., Averyanov I.V. Some problems in Pi-theory // Advances in Algebra and Combinatorics. Proceedings of the Second International Congress in Algebra and Combinatorics, 2008, c. 189-204

16. Ivoshlukov P., Azevedo S.S. A Basis for the Graded Identities of the Matrix Algebra of Order Two over a Finite Field of Characteristic p ф 2 I j Finite Fields and Their Applications, 2002,8:4, 597-609.

17. Lewin J. A matrix representation for associative algebras // I, II, Trans. Amer. Math. Soc. 188. 1974, 293-308, 309-317

18. Levitzki. J. On a problem of Kurosch // Bull. Amer. Math. Soc. 52, 1946, 1033-1035.

19. Lewin, J. A matrix representation for associative algebra //I, II, Trans. Amer. Math. Soc. 188, 1974, 293-308, 309-317.

20. Procesi C. The invariant theory of n x n matrices // Adv. in Math., Vol 19, 1976, 306-381.

21. Procesi C. Rings with polynomial identities — Marcel Dekker, 1973.

22. Razmyslov Yu. P. Trace identities of the matrix algebras over field of characteristic zero // Izv. AN SSSR (russian), Vol. 38, no 4, 1974, 723-756.

23. Regev A. Existence of identities in А® В // Israel J. Math. 11, 1972, 131-152.

24. Schelter W. F. On question concerning generic matrices over the integers // J. Algebra, Vol. 96, 1985, 48-53.

25. Specht W. Gesetze in Ringen // I, Math. Z. 52, 1950, 557-589.

26. Vasilovsky S. Yu Zn-graded polynomial identities of the full matrix algebra of order n // Proc. Amer. Math. Soc., 1999, 127, pp.517-3524.

27. Di Vincenzo O.M On the graded identities of Л/М(Я) // Israel J. Math., 1992. 80:3, pp.23-335.k

28. Wagner, W. Uber die Grundlagen der projektiven Gcometrie und allgcmcine Zahlsys-teme 11 Math. Z. 113 (1937), 528-567.

29. Zubkov A. N. On the generalization of the theorem of Procesi Razmyslov // Algebra i Logika, Vol. 35, no 4, 1996, 433-457.

30. Аверьянов И.В. Тождества супералгебры Mii2(F) // Между народная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г.Куроша. Тезисы докладов., М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2008, с.24-25

31. Аверьянов И.В. Базис тождеств алгебры Aflj2(F) '/ Математические заметки, 2009(принято в печать)

32. Голод Е.С. О ниль-алгебрах и финитно-аппроксимируемых р -группах // Изв. АН СССР, сер. матем., 28, 1964, 273-276.

33. Голод Е.С. Шафаревич И.Р. О башне полей классов // Изв. АН СССР, сер. матем., 28, 1964, 261-272

34. Джеймс Г. Теория представлений симметрических групп — М., Мир, 1982

35. Дренски В. Минимальный базис тождеств агебры матриц второго порядка над полем характеристики 0 //Алгебра и логика, 1981, 20:4, 282-290.

36. Кемер А.Р. Конечная базируемость тождеств ассоциативных алгебр //Алгебра и логика 26, 1987, 597-641.

37. Кемер А.Р., Аверьянов И.В. Проблема Прочези для алгебры общих матриц порядка 3 // Ученые записки Ульяновского государственного университета. Серия Фундаментальные проблемы математики и механики, Вып. 1(14), 2004, с. 8-33.

38. Кемер А.Р., Аверьянов И.В. Описание алгебр, порождающих многообразие трейскиллеров // Ученые записки Ульяновского государственного университета. Серия Фундаментальные проблемы математики и механики. Вып. 1(15), 2005, с. 4-20.Q