Периодические решения некоторых модельных систем дифференциальных уравнений на римановых многообразиях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Данг Хань Хой

• Данг Хань Хой
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Данг Хань Хой

Введение

1 УРАВНЕНИЯ С ОБРАТИМЫМ ОПЕРАТОРОМ — - А

1.1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНОЕ

УРАВНЕНИЕ С М- ОПЕРАТОРОМ (— - А)и = Ми)

1.2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ЕСТЕСТВЕННОЕ УРАВНЕ

НИЕ НА ТОРЕ — - {а0А + ах)и = h{u).

1.3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ЕСТЕСТВЕННОЕ УРАВНЕ

НИЕ НА СФЕРЕ — - {а0А + ai)u = h{u)

2 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С МОДЕЛЬНЫМ ОПЕРАТОРОМ

2.1 ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С МОДЕЛЬНЫМ ОПЕРАТОРОМ А. ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ.

2.2 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЕСТЕСТВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ ОПЕРАТОРОМ НА МНОГООБРАЗИИ

2 3 ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ТИПА ШРЕДИНГЕРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Периодические решения некоторых модельных систем дифференциальных уравнений на римановых многообразиях»

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ЦЕЛЬ РАБОТЫ

В диссертации рассматривается задача о периодических решениях одного класса дифференциально - операторных уравнений - уравнений, содержащих "естественный" дифференциальный оператор i(d + 5) и оператор Лапласа А = ~(d + 8)2, действующий в пространствах внешних дифференциальных форм на римановом многообразии X.

Вопрос о существовании периодических решений для дифференциальных уравнений, дифференциально-операторных уравнений и уравнений с частными производными привлекал внимание многих исследователей в связи с его прикладным и теоретическим значением; такие вопросы возникают в теории устойчивости упругих систем, среди задач небесной механики, теории вибрации кораблей, при описании электромагнитных волн в волноводах и в ряде других задач.

Вопрос о существовании и свойствах периодических решений для произвольных уравнений с частными производными весьма сложен и общих результатов в этом направлении практически нет Отмегим, в частности, что условие периодичности имеет нелокальный характер и задача о периодических решениях содержит в себе специфику и сложности нелокальных краевых задач. Поэтому представляют интерес детальное исследование задачи о периодических решениях для конкрехных уравнений, позволяющее понять природу явлений, связанных с "правильными" или "неправильными" постановками граничных задач.

Основное внимание удалено уравнениям вида

-— Л)и = uh(u) (0.0.1)

С/ L в пространстве дифференциальных форм на римановом многообразии X с коэффициентами, зависящими от t € [0,6]. Здесь Л = i(d + 5) или Л = Д = —(d + 5)2, d - оператор внешнего дифференцирования, 8- ею сопряженный и Д - оператор Лапласа, h(u)— оператор ( линейный или нелинейный ) на пространстве дифференциальных форм

Рассматриваемый в диссертации дифференциальный оператор d+5 на многообразиях X является объектом исследования в дифференциальной геометрии [39], теории индекса эллиптических операторов [50] и возникав г во многих уравнениях математической физики, см. [37], [66], [67], [68].

Интерес к выбору этого уравнения определяется также тем, что уравнение (0.0.1) представляет собой "половину" волнового уравнения jt - i(d + <5))(| + «(d + *))u = - Д)« (0.0.2)

Следует отметить, что хотя исходный волновой оператор определен на пространстве функций, операторы — ±г'(о? + 5), полученные при его факторизации действуют в пространстве дифференциальных форм.

НЕОБХОДИМЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Оператор А = i(d + 5) на многообразиях.

Мы будем обозначать через X - С°° -риманово многообразие, которое всегда предполагается ориентированным и замкнутым.

Пусть £ = Фр=о£р = ®р=0А.р{Т*Х) ® С - комплексифицированное расслоение внешних степеней кокасательного расслоения Т*Х многообразия X (по определению, сечениями расслоения £ являю 1ся дифференциальные формы на X ); С°°(£), Нк(£)- пространство гладких дифференциальных форм и пространство Соболева дифференциальных форм над X соответственно [50].

Через А будем обозначав оператор i(d + 5), где d - внешний дифференциальный оператор, а 5 = d* - его формально сопряженный относительно скалярного произведения в С°°(£), индуцированною римановой структурой на X. Известно (см [50], [66]), чю d+8 - эллишический дифференциальный оператор первого порядка на X. Из основных результатов теории эллиптических операторов на замкнутых многообразиях главным для нас будет следующее предложение

Предложение 0.1. В гильбертовом пространстве Н°(£) существует ортонормированный базис {/&}, к £ Z, состоящий из собственных векторов fk причем соответствующие собственные значения оператора А являются чисто мнимыми и -> оо при \k\ оо, Хк = —X-k ■

Доказательство этого Предложения имеется в [68].

Подчеркнем также, что рассматриваемый в Я°(£) оператор А нормален, а А = d + 8 самосопряженный оператор; АЛ* = А*А = Л2 = —А, где А - оператор Лапласа.

Пусть Ра А - множество собсгвенных значений оператора А. Везде в нашей работе мы условимся, что каждое собственное значение повторяется столько раз, какова его крагность так, что каждому Хк отвечает один и только один собственный вектор fk. Для всякой функции F(z) на Ра А определен оператор F = F(A), действующий в #°(£) по правилу ( см , например, [36] ):

00

Fu= £ F(\k)ukfk, (0.0 3) к—— оо где ик = (u,fk) - коэффициенты Фурье элемента и в базисе Д. По определению область определения оператора F состоит из элементов и £ #°(£), для которых ряд (0.0 3) сходится в #°(£).

Обозначим как обычно через pF,aF, Pcri^CcF-соотвеасгвенно резольвентное множество, спектр, точечный спектр и непрерывный спектр оператора F, для каждого линейного оператора F в Я°(£). Тогда мы имеем

Предложение 0.2. Спектр aF оператора F : ->■ #°(£) является замыканием в комплексной плоскости множества

PaF={F(\k),\kePaA}, а его непрерывный спектр - множество

CaF = PoF \ PaF.

Оператор А = i(d + 6) на торе.

Пусть теперь X = П" = Rn/(2Z)n- п- мерный тор со стандартной римановой структурой. Укажем собственные векторы и собственные значения оператора А на Пп. Основной результат содержится в следующей теореме

Теорема 0.1. Множество собственных значений оператора А на П" имеет вид каждое из этих чисел является собственным значением конечной кратности.

Доказательство этой теоремы имеется в [13].

Замечание. Собственные формы оператора Л = d + S, соответствуюгде k е Ъп , а икг] 6 Ф^0ЛР(СП), г] = {щ,. ,т]п) е {-1, +1}" - некоторый базис в 2п -мерном пространстве комплексных дифференциальных форм с постоянными коэффициентами, зависящий от вектора к € Zn (параметр 7] нумерует элементы этого базиса). Мы не приводим здесь явный вид форм Wkrj, ввиду громоздкости выражений.

Оператор А = i(d + 5) на сфере.

Пусть Sn - сфера в Mn+1, Sn = {х е Mn+1, ||z|| = 1} с римановой структурой, наследованной из евклидовой структуры на Rn+1.

Положим Дs = -А2 = А2 на Sn , и пусть щие собственному значению т]птт\/к2 + Щ Н-----Ь имеют вид п р ■ Rn+1 \ {0} ^ Sn, р{х) = х

- каноническая проекция.

Наша задача состоит прежде всего в нахождении собственных значений и собственных векторов оператора А. Для этого будем работать со сферическими координатами на Rn+1 : (г; а), г = ||ж||;а = rj—^ - коорди

IfII наты на Sn.

Рассмотрим форму на R"+1 вида h(r) Л w(a) класса С°° , обозначив при этом одновременно через w(a) форму на Sn и ее продолжение p*w на Mn+1 Непосредственно проверяется, что

A(h(r) А Ца)) = Ah(г) A w(a) + h Л (Aw).

Если h - функция (иначе говоря, форма степени 0), то

Ah{r) = h"(r) + -h'{r), г

Aw = -^Asw. ri и наконец, для h(r) = г^ имеем

A(r>lw(a)) = гм-2(Д3гу + fi(/i + п - 1 )w).

Отсюда вытекают следующие известные результаты

Предложение 0.3. При г > 0, w ф 0, равенство Д(г^ги) = 0 равносильно тому, что w является собственным вектором оператора As, отвечающим собственному значению

А = + гг — 1).

Предложение 0.4. Все собственные значения оператора As имеют вид

А = -k(k + n- 1), fc = 0,1,2,. (0.0 5)

Следующая теорема доказана в работе [14].

Теорема 0.2. Все собственные значения оператора А = i(d+5) на сфере Sn задаются формулой = ±гу/к{к + п- 1), А; = 0,1,.

Мы условимся, что

Хк = sign(k)iy/\k\{\k\ + n-l), к е Z. (0.0.6)

Эти формулы определяют взаимно однозначное соответствие между целыми числами и собственными значением оператора i(d + S) на Sn . Мы ничего не утверждаем о размерности собственного подпространства, соответствующего собственному значению Л^ , кроме того, что эта размерность конечна.

Собственные значения оператора Лапласа в просхранстве функций на сфере известны (см., например, [71]), они имеют вид, указанный в Предложении 0.4, соответствующие собственные функции - это хорошо известные сферические функции (то есть сужения на сферу Sn однородных гармонических полиномов в Rn+1).

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Граничная задача для уравнения в частных производных-объект богатый и сложный и допускает рассмотрение с весьма различных точек зрения. Подход, ориентированный на выявление правильных постановок и исследование свойств решении для модельных уравнений, допускающих применение метода Фурье, предложил А.А. Дезин (см например [36, 38])

Настоящая работа основана на указанном подходе А.А Дезина, позволяющем с помощью методов функционального анализа и метрическою метода теории чисел получить условия существования и единственности периодических решений для ряда физически осмысленных эволюционных интегро-дифференциальных уравнений на многообразиях и описать множество периодов решений.

Для исследования линейных задач в диссертации (2-ая глава) широко используются методы спектральной теории компактных операторов. Для нелинейных задач применяется принцип неподвижной точки для сжимающих отображений, при использования которого важную роль играет оценивание норм разрешающих операторов и выявление зависимости этих норм от параметров задачи.

ИСТОРИОГРАФИЯ ВОПРОСА.

В последнее время большое внимание уделяется исследованию некорректных задач, в том числе некорректных граничных задач для дифференциальных уравнений с частными производными Это вызвано как запросами практики, так и чисто теоретическим интересом (см., например, работы [46], [49J, [64], [91]). С точки зрения постановки граничных задач наиболее хорошо изучены дифференциальные уравнения с частными производными классических типов и непосредственные их обобщения Что касается произвольных уравнений с частными производными, а также неклассических задач, то при их изучении получены более скромные результаты Одним из немногих общих результатов в теории граничных задач для дифференциальных уравнений с частными производными являе1ся теорема Хёрмандера, согласно которой для любого линейного дифференциального оператора в частных производных с постоянными коэффициентами, рассматриваемого в ограниченной области, существует некоторая корректная граничная задача. Однако в этой теореме, являющейся теоремой существования, не дается никаких указаний относительно эффективного описания корректной задачи с помощью граничных условий для наперед заданного оператора Корректность граничных задач для некоторых общих дифференциальных и дифференциаль-но-операюрных уравнений изучается в различных аспектах в работах А А Дезина [33, 34, 35, 36, 38], В.К. Романко [53, 54, 55, 56], Н.И. Юрчука [69, 70], В М. Борок [9, 10, 11] и других авторов; много рабог посвящено также изучению неклассических граничных задач для отдельных дифференциальных операторов с частными производными. В большинстве из этих работ выделяются случаи корректно поставленных задач. Однако граничные задачи с данными на всей границе области (как и ряд других задач) для общих дифференциальных операторов с частными производными являются, вообще говоря, некорректными, а вопрос об их разрешимости во многих случаях связан с так называемой проблемой малых знаменателей Наглядными примером сказанного является задача Дирихле для уравнения колебания струны, исследованию которой посвящено много работ как отечественных, так и зарубежных авторов; на некорректность этой задачи в 1921 г. указал Ж. Адамар. С проблемой малых знаменателей впервые ученые встретились в небесной механике еще в XVIII веке ( см. [12] ) при математических исследованиях дифференциальных уравнений, описывающих движения планетных и спутниковых систем в ньютоновских гравитационных полях. Математически эффект малых знаменателей проявляется в том, что в решения уравнений движения, представленные в виде рядов Фурье, входит бесконечно число членов с коэффициентами, знаменатели которых как угодно близки к нулю, что обуславливает расходимость этих рядов; с динамической точки зрения в движениях планет появляются эффекты, называемые в физике и нелинейной механике резонансными. Исследования А.Пуанкаре по качественной теории дифференциальных уравнений показали, что проблема малых знамена!елей возникает также в следующих задачах: 1) о траекториях на торе; 2) об отображении окружности на себя; 3) об усюйчивости особой ючки типа центр Вопрос о преодолении отрицательного влияния малых знаменателей, о сходимосхи рядов, связанных с решением указанных выше задач, носил принципиальный теоретический характер и долгое время оставался нерешенным. Первые положительные результаты в решение проблемы малых знаменателей на основе «метрического» похода были получены в 1939 г Д Боржином и Р. Даффином [76] при исследовании задачи Дирихле для уравнения колебания струны, а в 1942 г-К Л Зигелем [94] для задачи об устойчивости особой точки типа центр. В 1953-1954 гг. А.Н. Колмогоров [47] предложил метрическую концепцию и во всей полноте применил ее в задаче о движении на торе и в теории динамических систем. В этих задачах появились малые знаменателей, имеющие вид линейной формы и), к) =ш\к\Л-----Н u)pkp, где ьо G Мр, к G IP. Идея метрического подхода состояла в следующем: 1) использовался тот факт, что малые знаменатели для почти всех (в смысле меры Лебега) векторов ш удовлетворяют некоторым оценкам снизу, 2) анализ сходимости рядов с малыми знаменателями проводился не для всех частот ш , а только для множества частот, удовлетворяющих упомянутым оценкам. Эти оценки имеют вид

1(^)1 >щр (С > 0, 5 > 0) и выполняются при 5 > р - 1 и некотором С = С(ш) для почти всех (в смысле меры Лебе1а в Мр) векторов ш.

Библиография, связанная с проблемой малых знаменателей для обыкновенных дифференциальных уравнений, может быть найдена, например, в монографии В.А. Якубовича и В.М. Старжинского [73]. Обзор работ, связанных с исследованием периодических решений некоторых уравнений с частными производными содержится в монографиях Б.И. Пташника [51, 52] и О. Вейводы [97]

Отметим некоторые результаты, относящиеся к задачам с условием периодичности по временной переменной t. Для дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического и составного типов периодическая по t краевая задача являелся, вообще, некорректной, а вопрос о существовании решения связан с проблемой малых знаменателей Трудности, связанные с малыми знаменателями, являются одной из причин того, что периодические краевые задачи для гиперболических уравнений (как линейных, так нелинейных) начали исследоваться сравнительно недавно.

Первой в этом направлении была работа Н.А. Артемьева [7], в которой в области {0 < t,x < 1} рассматривалась задача

2(0,0 = ^(1,0 = 0 (0 0 8) dz dz z{x, 0) = z(z, 1), ^|t=o = (0.0.9)

Доказано, что если a = (2m + 1 )/p (m,p— целые числа, p Ф 0), то при соответствующих ограничениях, налагаемых на Ф(х,1) и }(z), задача (0.0 7)-(0 0.9) при достаточно малых значениях \ц\ имеет единственное классическое решение в классе функций, представляющихся рядами

00 z(x, 0 = ^ 22fc+i(0 Sin(2fc + 1)тхх. к=0

При доказательстве существования решения задачи (0.0.7)-(0.0.9) Н.А. Артемьев пользуется системой функций Грина

0 < f, т < 1;п € N). (0.0 10)

2nairsm(anir/2)

Утверждается, чго при иррациональном а каждая функция <£>п(£,т) в отдельности ограничена, но совокупность всех функций ipn не ограничена (так как знаменатель sin(cm7r/2) может принимать как угодно малые значения для бесконечного множества натуральных п). Заметим, однако, что совокупность всех функций (0 0 10) ограничена, если а - такое иррациональное число, что для всех целых m и п ф 0 и некоторого С > 0 выполняется неравенство а — —\> (0011) п гг

Неравенство (0 0 И) удовлетворяют иррациональные числа, которые разлагаются в цепные дроби с ограниченными элементами, в частности квадратичные иррациональности Для отдельного случая впервые это было отмечено ГТ Соколовым в работе [62], где исследована задача (0.0 7)-(0 0 9) при a=^/p/q (p,qG N).

Позднее, задача о периодических уравнений для различных гиперболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными изучалась в работах [58, 65, 74, 75, 77, 78, 89, 96]. Многомерные гиперболические задачи исследовались в работах [82, 95, 98, 100]. В работах [44, 45, 80, 81, 93] исследовались периодические решения для гиперболических квазилинейных систем. Уравнениям более высокого порядка посвящены работы [72, 79, 85].

В работах [84, 86, 90] изучаются задачи о периодических решениях для линейных и квазилинейных параболических уравнений Аналогичные задачи для многомерных линейных и квазилинейных волновых уравнений рассматривались в [95, 100]. Отметим, что в работе [100] областью изменения пространственных переменных является многомерная сфера.

В работах Ю.А. Дубинского [40]-[43] исследуются периодические решения эллиптических, эллипгико-параболических и дифференциально-операторных уравнений бесконечного порядка. При этом вводятся и изучаются пространства Соболева бесконечного порядка на торе

В кандидатской диссертации [16] были исследованы периодические решения некоторых линейных уравнений, содержащих естественный дифференциальный оператор на многообразии.

Приведем (конечно - далеко не полный) обзор работ по периодическим решениям, опубликованных в последние годы.

Исследования Li Donglong, Guo Doling [87] посвящены изучению существования периодических решений трехмерного комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау. Методом Галеркина и с помощью теоремы Шаудера о неподвижной точке доказывается существование периодических решений уравнения щ = ри + (1 + irfAu - (1 + щ) - \и\2аи + /.

Zhang Yan-Zhou [99] исследовал задачу о симметрических периодических решениях телеграфных уравнений в пространстве высокого числа измерений С помощью теоремы Шаудера о неподвижной точке доказывается существование Т-периодических симметрических решений однородной задачи Дирихле для уравнения

Utt + 5щ + А и- g(t, х,и) = О в R х Ва, Ва = {х е W1, \\х\\ < а}.

Genttle Guido, Mastropietro Vieri, Procesi Micheala [83] исследовали периодические решения вполне резонансных нелинейных волновых уравнений utt ~ ихх = <р(и) с краевыми условиями Дирихле. При определенных условиях на функцию ip(u) доказывается существование периодических решений малой амплитуды.

В работе И.А. Рудакова [60] рассматривается многомерное волновое уравнение в шаре с условиями Дирихле на границе, при условии, чю нелинейное слагаемое удовлетворяет условиями нерезонансности.

Li Hongyan, Zhou Shengfan, Yin Fugi [88] рассматривают задачу о существовании глобального периодического аттрактора для сильно затухающих волновых уравнений с периодической по времени подгоняющей силой д2и . ди , ,ди. . . . ~di + (¥} + = 9^ ^

В нашей работе на основе метрической концепции исследуются вопросы корректной постановки некоторых неклассических задач о периодических решениях линейных и нелинейных дифференциальных уравнений и систем Эхи задачи объединены общей методикой исследования. Они является некорректными, а их разрешимость связана с проблемой малых знаменателей; при этом возникают знаменатели сложной нелинейной структуры, что ведет к новым не исследованным еще задачам метрической теории диофантовых приближений Найдены условия корректности рассматриваемых задач в соответствующих функциональных пространствах (дифференциальных форм), приведены формулы для решений в виде рядов по системам ортогональных функций (форм). Для каждой задачи впервые исследована структура множества периодов, при которых она имеет единственное периодическое решение. Оказалось, что это множество имеет довольно сложную структуру, оно является множеством 1-ой категории Бэра и потому нигде не плотно (таким образом, при сколь угодно малом изменении периода свойство однозначной разрешимости задачи может нарушиться). С другой стороны, это множество всегда имеет положительную меру Лебега, а для рассмотренных во 2-ой главе линейных задач - даже полную меру Лебега. В частности, линейные задачи из 2-ой главы имеют единственное периодическое решение для почти всех значений периода Для общих нелинейных задач, в диссер!ации получены оценки снизу на меру множества периодов, гарантирующих однозначную разрешимость задачи. Результаты, полученные в диссертации, доказаны для общих дифференциально-операторных уравнений с модельным оператором, действующем в абстрактном гильбертовом пространстве Затем эти результаты прилагаются и уточняются для ряда конкретных модельных операторов, содержащих или естественный дифференциальный оператор А = i(d + 5) или оператор Лапласа Д на римановом многообразии X. Рассмотрены случаи, когда многообразие X = Пп - многомерный тор (это соответствует задачам с условием периодичности по прос1ранствен-ным переменным) и когда X = Sn - многомерная сфера (что соответствует задачам с радиальной симметрией). Исследуемые задачи включают в себя физически осмысленные задачи о периодических решениях для нелокального уравнения Шредингера, возникающего в квантовой механике, и для телеграфного уравнения, описывающего распространение сигнала в проводниках (или волноводах) Описание периодических режимов, возникающих в таких моделях имеет большое практическое значение В работе также приведен алгоритм численного решения модельных задач, основанный на методе последовательных приближений. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Настоящая диссертация посвящена качественному исследованию задачи о периодических решениях одного класса модельных интегрально-дифференциальных уравнений. Работа состоит из трех глав.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Данг Хань Хой, 2006 год

1. Антоневич А.Б., Данг Хань Хой. О периодических решениях некоторых неоднородных эволюционных дифференциальных уравнений на римановых многообразиях. Дифф. Уравн. Т. 25, № 10. 1989. С. 17311736.

2. Антоневич А.Б , Данг Хань Хой. Положительность меры одного множества, возникающего в теории малых знаменателей. Труды ИМ НАН Беларуси. 2005. Т. 13. № 1. С. 3-11.

3. Антоневич А.Б., Данг Хань Хой. О множестве периодов периодических решений модельного квазилинейного дифференциального уравнения. Дифф. Уравн. 2006. в печати

4. Арнольд В И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений М.: "Наука", 1987.

5. Борок В.М. Критерий абсолютной с-устойчивости уравнений в частных производных ДиФФеренц. уравнения. 1988. Т. 24, № 3. С. 438-444

6. Борок В.М. Фардигола JI.B. Нелокальные корректные краевые задачи в слое Матем. заметки. 1990. Т. 48, № 1. С. 20-25.

7. Борок В.М. Кенне Э. Классификация интегральных краевых задач в широкой полосе. Пзв. вузов. Математика. 1994. Т 384, № 5 с. 3-12

8. Гребенников Е.А., Рядов Ю.А. Резонансы и малые знаменатели в небесной механике. М.,: Наука, 1978.

9. Данг Хань Хой и Фам Нгок Тхао. Периодические решения эволюционных систем естественных уравнений на римановых многообразиях (I). Acta. Math. Viet Т.13, №2. 1988. С. 31-44.

10. Данг Хань Хой. Периодические решения эволюционных систем естественных уравнений на римановых многообразиях (^///University of Hanoi, Faculty of Mathematics, Mechacics and Informatics, Hanoi 1987. P. 5-13

11. Данг Хань Хой. О периодических решениях некоторых дифференциально-операторных уравнений с переменными коэффициентами Деп. в ВИНИТИ. 1989. N-53337-B-89-20

12. Данг Хань Хой. Периодические решения некоторых дифференциальных уравнений на многообразиях Диссертация . кандидата физ -мат наук Минск, 1989.

13. Dang Khanh Hoi and Pham Ngoc Thao. Periodic solutions of natural differential evolution equations on riemannian manifolds. Journal of Science. University of Hanoi. 1993. P. 35-40.

14. Данг Хань Хой. Периодические решения некоторых нелинейных эволюционных естественных дифференциальных уравнений на многообразиях. Труды Института математики. Минск. 2004 Т. 12. № 2. С. 5761.

15. Данг Хань Хой. Периодические решения некоторых нелинейных эволюционных естественных дифференциальных уравнений на многообразиях. Вестн. Новг. гос. ун-та, сер. Техн. науки. 2004. №26 С. 104-107.

16. Данг Хань Хой. О периодических решениях некоторых нелинейных эволюционных систем естественных дифференциальных уравнений на многомерном торе Вестн. Новг. гос. ун-та, сер. Техн. науки. 2004. №28 С. 77-79

17. Данг Хань Хой О структуре множества периодов периодических решений некоторых нелинейных эволюционных систем дифференциальных уравнений на многомерном сфере. Вестн. Новг. гос. ун-та, сер Техн. науки. 2005. № 30. С. 58-62.

18. Данг Хань Хой. О структуре множества периодов периодических решений некоторых линейных интегро-дифференциальных уравнений на многомерной сфере Вестн. Новг. гос. ун-та, сер. Техн.науки. 2005 № 34. С. 53-56.

19. Данг Хань Хой. О структуре множества периодов периодических решений некоторых линейных эволюционных систем естественных дифференциальных уравнений. Дифф. Уравн. 2006 в печати

20. Данг Хань Хой. О структуре множества периодов периодических решений некоторых линейных интегро-дифференциальных уравнений на многомерной сфере. Алгебра и Анализ. 2006. Т. 18. № 4, в печати.

21. Данг Хань Хой. Периодические решения некоторых линейных эволюционных уравнений на сфере. Вести. Новг. гос. ун-та, сер. Техн.науки 2006. в печати

22. Данг Хань Хой. Периодические решения некоторых линейных систем дифференциальных уравнений . Сибирские электронные математические известия. 2006. в печати

23. Данг Хань Хой. Периодические решение некоторых нелинейных эволюционных систем естественных дифференциальных уравнений Тезисы докладов международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы". Москва, 16-22 мая 2004. С. 48

24. Дезин А.А. К теорий операторов вида А. ДАН СССР. 1965.atТ. 164, № 5. С. 963-966

25. Дезин А. А. Операторы с первой производной по "времени "и нелокальные граничные условия Изв. АН СССР. Сер. мат. 1967. Т. 31, № 1. с. 61-86

26. Дезин А.А. К общей теории граничных задач Мат. сборник (новая серия). 1976. Т. 100(142). № 2. С 171-180.

27. Дезин А.А. Общие вопросы теории граничных задач М., 1980.

28. Дезин А.А. Многомерный анализ и дискретные модели М : Наука 1990.

29. Дезин А.А Дифференциально-операторные уравнения Метод модельных операторов в теории граничных задач Труды Матем ин-та им В А. Стеклова 2000 Т. 229

30. Де Рам Г. Дифференцируемые многообразия. М.: Иностранная литература. I960.

31. Дубинский Ю.А. Периодические решения эллиптико-параболических уравнений. Мат. сборник. 1968. Т. 76 (118), № 4. С. 620-633.

32. Дубинский Ю.А. О некоторых дифференциально-операторных уравнениях произвольного порядка. Мат. сборник. 1973. Т. 90(132), № 1. С. 3-22.

33. Дубинский Ю.А Пространства Соболева бесконечного порядка на торе и некоторые вопросы теории периодических решений дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР. 1975. Т. 222. № 2. С. 269-272.

34. Дубинский Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения. Итоги науки и техники (ВИНИТИ). Сер. Современ проблемы математики. М 1976. Т. 9. С. 5-130.

35. Жесткое С.В. О двоякопериодических решениях квазилинейных гиперболических систем в частных производных. Дифференц уравнения. 1988. Т. 24, № 12. С. 2164-2166.

36. Жесткое С.В. О существовании и -периодических решений квазилинейных волновых систем с п пространственными переменными Вестник АН Белоруссии. Сер. физ.-мат. наук. 1994. № 2. С. 5-9.

37. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее применения М.,: Наука, 1978.

38. Колмогоров АН О динамических системах с интегральным инвариантом на торе Докл АН СССР. 1953. Т. 93, N° 5. С 763-76648| Корнфельд И П., Синай Я Г, Фомин С.В Эргодическая теория М , "Наука 1980.

39. Лаврентев М.М., Романов В.Г., Шишатский С П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М : Наука, 1980.

40. Пале Р. Семинар по теореме Атьи-Зингера об индексе. М.: Мир. 1970.

41. Пташник Б И Некорректные граничные задачи с частными производными. Киев, 1984.

42. Пташник Б.И., Илькив B.C., Кмить И.Я., Полищук В.М. Нелокальные краевые задачи для уравнений с частными производными. Киев : Наукова Думка 2002.dm

43. Романко В.К. К теории операторов вида ---А Дифференц. Уравdtmнения. 1967. Т. 3, № 11. С. 1957-1970

44. Романко В.К. Граничные задачи для некоторых дифференциально-операторных уравнение. Докл. АН СССР. 1976. Т. 227, № 4. С. 812-816.

45. Романко В.К Однозначная разрешимость граничных задач для некоторых дифференциально-операторных уравнений. Дифференц. уравнения 1977 Т. 13, № 2 С. 324-335.

46. Романко В К. Задача о сопряжении дифференциально-операторных уравнений. Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, № 1. С. 124-134

47. Романко В К. Разрешимость граничных задач для дифференциально-операторных уравнений высокого порядка. Дифференц. уравнения 1978. Т. 14, № 6 С 1081-1092

48. Рудаков И.А Задача о свободных периодических колебаниях струны с монотонной нелинейностью. Успехи мат. наук. 1985. Т. 241, вып. 1. С. 215-216

49. Рудаков И.А. Периодическое решение нелинейного телеграфного уравнения Вестн. Моек ун-та. Сер 1. Магема1ика. Механика 1993 № 4 С. 3-6.

50. Рудаков И.А. Периодическое радиально-симметричное решение нелинейного волнового уравнение в шаре. Вестн. МГУ. сер. 1. 2004. N° 6 С. 8-14.

51. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир. 1975.

52. Соколов Г.Т. О периодических решениях волнового уравнения Учен, зап Ферган пед. ин-та. Сер. мат. 1965, вып. 1, С. 17-25.

53. Спринджук В.Г. Метрическая теория диофантовых приближений. М , 1977.

54. Тихонов А.Н , Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974.

55. Третьякова Л.Г. К задаче о 2it -периодических решениях уравнения колебания струны. Вестн. Белорус, ун-та. 986 Сер. 1, № 3. С. 49-51.

56. Фам Нгок Тхао Естественные дифференциальные операторы на компактных многообразиях. Дифф. Уравн. 1969. Т. 5. № 1. С. 186-198

57. Фам Нгок Тхао. Граничные задачи для естественных дифференциальных операторов на многообразиях. Дифф. Уравн. 1970 Т 6 Я0 5 С. 877-888.

58. Фам Нгок Тхао. Boundary value problems for natural differential operators on Riemannnian manifolds. Inst.of Math. Polish Acad, of Sci. Preprint JV° 240. May 1981

59. Чесалин В П , Юрчук ИЛ. Задача с граничными условиями для абстрактных уравнений Лява. Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат наук 1973 N° 6 С. 30-35.

60. Чесалин В.П., Юрчук Н.Н. Задача сопряжения абстрактных параболических и гиперболических уравнении с нелокальными условиями по t. Докл АН БССР 1974 Т 18, № 3 С. 197-200.

61. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения М • Наука, 1972

62. Arias М., Martinez-Amorez P., Ortega R. Doubly-periodic solutions of a forced semihnear wave equation Proc. Amer. Math. Soc. 1987. V. 101, N° 3. P. 503-508.

63. Ben-Naoum A.K., Mawhin J. The periodic-Dirichlet problem for some semihnear wave equation Journ. Diff. Equat. 1992 V. 96. N° 2 P. 340354.

64. Bourgin D.G., Duffin R., The Dirichlet problem for the vibrating string equation. Bull. Amer. Math. Soc., 1939. V. 45. № 12. P. 851-858.

65. Brezis II. Periodic solutions of nonlinear vibrating strings and duality principles. Bull. Amer. Math. Soc (New Series) 1983. № 8. P. 409-426.

66. Brezis H., Nirenberg L Forced vibrations for a Nonlinear Wave Equation Comm. Pure Appl. Math. 1978. V. 31. P. 1-30.

67. FeireisI E On existence of infinitely many periodic solutions for an equation of a rectangular thin plate Czechosl. Math. Journ. 1987 V. 37, № 2 P 334-341.

68. FeireisI E. Small time-periodic solutions to a nonlinear equation of a vibrating string. Apl. mat 1987. V. 32, № 6. P. 480-490

69. Felmer P.L., Manasevich R.F. Periodic solutions of a coupled system oj telegraph-wave equations. J. math. anal, and appl. 1986. V. 116, № 1. P. 10-21.

70. Fucik S., Mawhin J. Generalized periodic solutions of nonlinear telegraph equations. Nonlinear. Anal., Theory, Methods and Appl. 1978 V. 2, № 5. P. 601-617.

71. Genttle Guido, Mastropietro Vieri, Procesi Micheala Periodic solutions for completely resonant nonlinear wave equations with Dirichlet boundary conditions. Commun. Math. Phys. 2005. V. 256. N 2. P. 437-490.

72. Grindrod P., Rynne B.P. Time-periodic solutions to semilmear parabolic equations Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1986. V. A104, № 3-4. P. 329-342d2u

73. Hall W S. On the existence of periodic solutions for the equations +d2puef{t,x,u). Journ. Diff. Equal. 1970 V. 7, N°- 3. P. 509-526.

74. Kannan R , Nieto J.J Periodic solutions of semilmear partial differential equations of parabolic type. Ann. mat. pura ed appl 1987. N° 148. P 1-16

75. Li Donglong, Guo Boling. Existence of periodic solutions for 3-D complex Gmzburg-Landau equation. J. Part. Differ. Equat 2004. V 17 № 1, P. 1228.

76. Li Hongyan, Zhou Shengfan, Yin Fugi. Global periodic attractor for strongly damped wave equations with time-periodic driving force J. Math Phys. 2004 V. 45. № 9. P. 3462-3468.

77. Li S , Szulkin A Periodic solutions for a class of nonautonomous wave equations Diff. and Integral Equat 1996 V. 9, JVe б P 1197-1212

78. Nkashama M.N , Willem M Time-periodic solutions of boundary value problems for nonlinear heat, telegraph and beam equations Differ EquatQualit Theory : 2nd Colloq. (Szeged, Aug. 27-31,1984). Amsterdam, 1987. V. 2. P. 809-846.

79. Payne L E. Improperly posed problem in partial differential equations. Red Conf. Ser. Appl. Math. № 22. Philadelphia (Pa), Soc. Ind. and Appl. Math., 1975. P. 76.

80. Rabinowitz P. H. A prion bounds for a semihnear wave equation. Lect Notes Math. 1979. V. 703 P. 340-347.

81. Rehacek J. On periodic solutions of a special type of the beam equation Appl. math. 1988. V. 33, N 1. P. 33-40.

82. Siegel C.L. Interactions of analytic functions. Ann. Math 1942. V. 43 N 4. P. 607-612.

83. Smiley M.W. Time periodic solutions of wave equations on M1 and R3 Math. meth. appl. sci. 1988. V. 10, N 4. P 457-475

84. Sugimuia K. Infinitely many periodic solutions of a forced wave equation with an exponential growth nonlinear term. Journ. Math. Anal, and Appl 1995. V. 190. P. 517-545.

85. Vejvoda O. Partial differential equations: time periodic solutions USA Sijthoff: Noordhoff, 1981.

86. Vidossich G. Periodic solutions of hyperbolic equations using ordinary differential equations. Nonlinear anal. Theory, meth. and appl. 1991 V. 17, N 8. P. 703-710

87. Zhang Yan-Zhou. Symmetric periodic solutions of the telegraph equations with high space dimension. Acta Anal Funet. Appl 2004. V. 6. N 3 P. 236239. Кит; рез. англ

88. Zhou Z. The existence of periodic solutions of nonlinear wave equations of Sn Cornrnun Part Differ Equat. 1987 V 12, N 8 P 829-882