Партонные распределения в КХД: методы дисперсионных соотношений и интегральной геометрии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Габдрахманов Ильнур Рамилевич

• Габдрахманов Ильнур Рамилевич
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Габдрахманов Ильнур Рамилевич

способ)

Обратное проецирование с фильтрацией с разделением

по каналам

2 Голографическое правило сумм, В — член и механические свойства элементарных частиц

2.1 Голографическое правило сумм

2.2 Дуальная параметризация

2.3 Связь Э-члена с механическими свойствами

2.3.1 Электророждение р0 мезона

3 Модификации аналитической теории возмущений

3.1 Современный статус аналитической теории возмущений

3.1.1 Аналитическая теория возмущений

Замечание по аналитичности

1/Ь разложение

Приближение к пределу О2 ^

3.2 Правило сумм Бьёркена

3.2.1 Массивная аналитическая теория возмущений и инфракрасный предел

3.2.2 Новые прецизионные данные и 1/Ь разложение аналитической теории возмущений

Заключение

А Преобразование Радона

А.1 Математическая формулировка

А.2 Преобразование Радона функции Вигнера

В Интегрирование некоторых сингулярных функций

С Регулярная часть (в,а)

В Операторы Ят разложения в дробно-аналитической теории

возмущений

Список литературы

Введение

Квантовая хромодинамика (КХД) является фундаментальной теорией для описания сильных взаимодействий. Это неабелева калибровочная теория, построенная на цветовой группе Би(3) и описывающая взаимодействие кварков и глюонов, была мотивирована результатами экспериментов по глубоконе-упругому рассеянию (ГНР), в первую очередь бьеркеновским скейлингом -зависимостью структурных функции адронов от кинематических переменных только в комбинации, называемой переменной Бьеркена, хв = 2р2/ в пределе больших квадратов переданного импульса = —с[2 - и возникшей в результате партонной моделью.

Согласно партонной модели [1] адрон в высокоэнергетических соударениях эффективно состоит из точечных центров рассеяния - партонов. В совокупности с открытием асимптотической свободы [2; 3] данная модель позволила практически исследовать внутреннюю структуру адронов и свойства составляющих их партонов, впоследствии отождествленных с кварками и глюонами. Асимптотическая свобода подразумевает, что в ГНР эффективный заряд 1 as при больших значениях квадрата переданного импульса (т.е. на малых пространственных масштабах) стремится к нулю и кварки можно считать асимптотически свободными. Таким образом, возможно получить пертурба-тивную (с применением теории возмущений) амплитуду партонного процесса. Однако на малых энергетических масштабах теория возмущений становится неприменимой из-за неограниченного роста эффективного заряда, что физически выражается в нахождении кварков только в связанных адронных

1 Наименования бегущая константа связи и эффективный заряд будут далее применяться как синонимы

состояниях. И, следовательно, необходимо учитывать крупномасштабную (непер-турбативную) динамику сильных взаимодействий, ответственных за удержание партонов. Стандартным подходом к решению данной проблемы при больших квадратах переданного импульса Q2 является факторизация амплитуды процесса на пертурбативную (описывающую процессы на малых пространственно-временных масштабах и вычисляемую по теории возмущений) и непертурбатив-ную (описывающую процессы на больших масштабах) компоненты. Для больших квадратов переданного импульса Q2 факторизационные теоремы (в частности для инклюзивных процессов [4], эксклюзивного электророждения мезонов [5] и глубоконеупругого комптоновского рассеяния (ГНКР, Deeply Virtual Compton Scattering - DVCS) [6]) выражают главный член асимптотики по большому масштабу ~ Q амплитуды жестких адронных процессов в виде свертки пертурбативных (жестких) и непертурбативных (мягких) множителей. Мягкие множители определяются как матричные элементы соответствующих партонных операторов между адронными состояниями и, как правило, рассматриваются феноменологически, т.к. на текущий момент нет способа вычислять их аналитически.

Дисперсионные соотношения

Дисперсионные соотношения (ДС) чрезвычайно широко применяются в физике элементарных частиц. Соотношения Крамерса-Кронига [7; 8] первоначально возникли в классической электродинамике для связи действительной и мнимой частей показателя преломления вещества. Позднее они нашли широкое применение в теории сильных взаимодействий.

Начало применению ДС в квантовой теории поля (КТП) положили Гелл-Манн, Гольдбергер и Тирринг в 1954 г. работой [9], в которой авторы исследовали роль причинности в квантовой механике. Они показали, что требование

причинности - равенство нулю коммутаторов полевых операторов, разделенных пространственно-подобным интервалом - приводит к связи действительной и мнимой частями амплитуды рассеяния. В 1955 г. метод был строго обоснован Боголюбовым [10] (краткие обзоры в учебной литературе: глава X в [11], главы XI, XII в [12], обширный обзор метода, а также приложения к пион-пионному и пион-нуклонному рассеянию дан в книге [13], общее введение в теорию [14]). Метод ДС базируется на следующих положениях:

1. Причинность.

2. Аналитичность амплитуды рассеяния, вытекающая из условия причинности.

3. Унитарность, связывающая мнимую часть амплитуды и промежуточные состояния реакции.

В частности из двухчастичной унитарности и аналитических свойств вытекает тесная связь мнимой части точного фотонного пропагатора и существованием промежуточных состояний двухчастичной реакции (см. также представление Челлена-Лемана [15; 16]).

К примеру, рассмотрим аналитические свойства поляризационного оператора фотона П(д2) с импульсом д в однопетлевом приближении, изображенного на Рис.(1).

7---7

Рис. 1: Диаграмма поляризационный оператор фотона в однопетлевом приближении

Дисперсионное соотношение для амплитуды фотонного пропагатора будет иметь следующий вид, определяемый его аналитическими свойствами:

Щ«2) =

1

и(«)

2пг J в — д

ссиг

(1в,

(1)

где Сси обозначает контур, охватывающий физический разрез функции П(в), изображенный на Рис.(2), откуда

П(д2) =П /

1 [ 1т[П(в)]

п J в — д

4т2

2

йв,

(2)

где 4т2 - порог рождения пары электрон-позитрон в промежуточном состоянии. Таким образом, значение функции П(в) в произвольной точке опреде-

'ад

д

4т2

С

сиЬ

ВД

Рис. 2: Контур интегрирования дисперсионного соотношения для фотонного пропагатора

ляется интегралом от мнимой части по положительной действительной оси, соответствующей физическим промежуточным состояниям на массовой поверхности.

Метод ДС позволил развить такой плодотворный метод непертурбатив-ного анализа как КХД правила сумм. С помощью ДС, в частности, было получено правило сумм Герасимова-Дрелла-Хирна [17],[18], к которому мы обратимся далее в главе (3).

Факторизационные теоремы, на которых базируется метод партонных распределений, как инклюзивных так и эксклюзивных жестких процессов в КХД были выведены с использованием дисперсионных соотношений.

На основе аналитических свойств амплитуд DVCS и VMP были получены дисперсионные соотношения для ОПР с вычитанием, связанным с D - членом [19; 20]. В диссертации они будут исследованы как для фотона в главе (2.1) так и для электророждения векторных мезонов на протоне в подразделе (2.3.1).

Дисперсионные соотношения являются ключевым элементом аналитической теории возмущений (АТВ, analytic perturbation theory (APT)) [21] (также см. обзоры [22; 23]), на которой мы сосредоточимся в дальнейшем. Ключевой идеей подхода является объединение метода ренормгруппы с требованием аналитичности по квадрату переданного импульса, что приводит, в частности, к устранению нефизических сингулярностей эффективного заряда и переходу от степенного ряда по заряду as к ряду по аналитическим образам соответствующих степеней заряда An.

Партонные распределения

Основным объектом исследования данной работы являются феноменологические кварковые распределения для эксклюзивных процессов, поэтому остановимся на них более подробно.

Согласно партонной модели в коллинеарном приближении инклюзивное сечение а глубоконеупругого лептон-адронного рассеяния в главном твисте выражается в виде свертки сечения ар (y, — ) пертурбативного подпроцесса

f F

и партонных плотностей qi(x,^p), характеризующих плотность вероятности данного партона i иметь долю x импульса P адрона - мишени: а(цр) = Y^ J'0 dxap(x, — )qi(x,^p), где суммированием по i обозначено суммирование

iF

по всем партонам.

При рассмотрении эксклюзивных процессов возникает необходимость в непрямой кинематике, когда испускаемый и поглощаемый адроном кварк имеют различные доли импульса. Данное обобщение уже имеет смысл амплитуды вероятности.

Обобщенные партонные распределения (ОПР, Generalized Parton Distribution (GPD)) были введены для описания эксклюзивных амплитуд процессов DVCS [24—26] и глубоконеупругого рождения мезонов (DVMP) [5; 27]. Для больших Q2 эти процессы факторизуются на вычислимую по теории возмущений часть, отвечающую жесткому рассеянию, и универсальные непертурбатив-ные ОПР [5; 6]. Обобщенные амплитуды распределений (ОАР, Generalized Distribution Amplitude (GDA)) были введены как t-канальный аналог ОПР

[24].

Функции TMD (Transverse Momentum dependent parton Distributions), зависящие от доли x коллинеарного импульса и вектора p± поперечного импульса f (x,pl), могут быть связаны с ОПР дифференциальным соотношением [28].

ОПР активно изучаются экспериментально на установках COMPASS (а также в будущем на AMBER/COMPASS-2) в CERN, CLAS в JLAB и J-PARC в KEK. Исследования в этой области приобретают все большую актуальность в связи с планами изучения ОПР на будущих установках EIC в BNL и SPD@NICA в ОИЯИ.

Обобщенные партонные распределения

ОПР определяют амплитуду вероятности адрону испустить кварк с колли-

неарной долей импульса (х + £) и поглотить соответственно (х — £), как

р +р р +—р+

изображено на Рис.(2.5), где Р = * 2 ;, £ = Р++ р+ - т.н. 'асимметрия' - доля коллинеарного импульса, переданного адроном. Название объясняется тем,

7

*

7

(х +

Н (х,Ы)

(х - £)Р

Рис. 3: Диаграмма глубоконеупругого комптоновского рассеяния что в пределе прямой кинематики ОПР сводятся к партонным плотностям:

где q(x) и плотности кварков и антикварков соответственно. Область определения: —1 < £ < 1, —1 < х <

Широкий интерес к ОПР вызван тем, что они описывают непертурбатив-ную динамику партонов на уровне амплитуд. В частности, моменты ОПР по х непосредственно связаны со спиновой структурой нуклона [29], с гравитационным формфактором кварков и глюонов [30; 31] а также с распределением давления и сдвиговых напряжений внутри нуклона [32]. Что недавно было применено к вычислению распределения давления в протоне [33], используя зависимость ОПР от квадрата переданного импульса. Обширные обзоры, посвященные ОПР, их интерпретации и феноменологии даны в [34; 35]

В контексте переменных на световом конусе

Н(х,0,0) = q(x) для х > 0, Н(х,0,0) = —q"(—х) для х < 0,

(3)

V

V

2

± V3),

2v+v— — V2

V = (VV2)

(4)

кварковые ОПР в случае барионов определяются через матричные элементы

Спиральность адрона

сохраняется меняется

Сумма по спиральностям партонов Н(х,£,£)

Разность по спиральностям партонов Е(х,£,£)

Н(х^г) Е(х^г)

Таблица 1: Спиральные обобщенные партонные распределения бариона

кварковых операторов [36]:

1

егхР+г (р'| ) |р)

2 ] 2п

г+=0, z=0

2Р+

Н*(х,^) и(р')7+и(р) + Е*и(р')

2т

-и(р)

1

егхР+"- (р'| д(_х) 7+7в ф) |р)

2У 2п

¿+=0, z=0

2Р+

л7вА+

Н*(х,^) и(р')7+7ви(р) + Е*(х,^) и(р')—2-—и(р)

(5)

где ОПР, зависящие от коллинеарных компонент импульса (ж,£), определяют следующие спиральные компоненты (спиральность кварков в данном примере сохраняется), см Таб.(1).

Первые меллиновские моменты ОПР соответствуют кварковым вкладам в соответствующие формфакторы:

.1 р 1 йхН (х,£,£) = / йхЕ (х,£,£) =

'_1

_1

йхН(х£,г) = дл(£),

йхЕ^х,^) = дР (£),

(6) (7)

_1 _1 где и - кварковые вклады в формфакторы соответственно Дирака и Паули, а дл^) и др(£) - аксиальный и псевдоскалярный.

Кроме того, ОПР, как характерные распределения эксклюзивных процессов, несут более детальную информацию о внутренней динамике партонов,

нежели партонные плотности. В частности, правило сумм Джи [29] определяет спиновую структуру адрона:

1 Í1

-J dxx[H (x,£,t) + E = Jq (t), (8)

где Jq (0) - вклад кварков в полный спин адрона.

Кроме упомянутых правил сумм, ОПР должны удовлетворять множеству дополнительных ограничений, в частности, т.н. полиномиальность[36] (xnH момент ОПР является в общем случае полиномом n +1 степени), следующая из Лоренц-инвариантности, и позитивность[37; 38] (положительная определенность множества комбинаций ОПР). Для их удовлетворения была разработан ряд параметризаций. В частности параметризация т.н. двойных распределений (ДР) [24; 39]

Г1 гНв|

H(x,£,t)= / d/3 da5(x - / - £a)F(/,a,t), (9)

J-1 J-1+|в|

где функция F(/,a,t) - двойное распределение, в которой полиномиальность удовлетворяется автоматически.

Вследствие указанных свойств ОПР двойные распределения имеют область определения |а| + 1 < 1, являются четными функциями от а и объединяют в себе элементы обоих каналов: как партонной плотности так и амплитуды распределения. А именно - партонная плотность это интеграл

от ДР вдоль вертикальной линии / = x (как видно на Рис.(4)):

f 1-|x|

q (x) = daF (x,a,0). (10)

J-1+ |x|

Было показано [40; 41], что с учетом замены переменных:

£ = tan ф,

z = p/ cos ф, (11)

[H(z,£) = R(pM cosф|, данная параметризация является преобразованием Радона (ПР) [42](преобра-зование широко применяемое в задачах томографии, подробный справочный

обзор см. в дополнении (А)) от ДР. Т.о., ОПР является интегралом от ДР по линии с наклоном —1/£ и пересекающей ось в в точке х, как изображено на Рис. (4)

Рис. 4: Двойное распределение Г(в,а) и интегралы от него: по наклонным отрезкам - обобщенное партонное распределение Н(х,£), по вертикальному отрезку - партонная плотность д(х).

Другая параметризация, которая будет применена в нашей работе, т.н. дуальная параметризация - основана на представлении амплитуды в виде бесконечного ряда ^канальных обменов [43; 44].

В работах [45; 46] были вычислены ОПР и ОАР, соответственно, исключительно в рамках квантовой электродинамики путем вычисления амплитуд ГНКР виртуального фотона на фотоне в лидирующем твисте и коллинеар-ной кинематике (с нулевой поперечной компонентой переданного импульса). Позднее были получены обобщения для ненулевого прицельного параметра [47; 48]. Это позволяет аналитически применять имеющийся математический

аппарат КХД на тестовой фотонной модели.

Диссертация рассматривает применение методов дисперсионных соотношений в комбинации с методами интегральной геометрии как к эксклюзивным (главы (1),(2)), так и инклюзивным процессам (глава (3)).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Партонные распределения в КХД: методы дисперсионных соотношений и интегральной геометрии»

Цель работы

Целью данной работы является исследование аналитических свойств амплитуд эксклюзивных и инклюзивных жестких адронных процессов, обобщенных партонных распределений и обобщенных амплитуд распределений с применением математического аппарата интегральной геометрии, разработка аналитических и численных методов как для получения новых распределений так и для прикладного анализа экспериментальных данных эксклюзивных и инклюзивных процессов. А также разработка моделей на основе аналитической теории возмущений (АТВ) для правила сумм Бьёркена в области низких энергий. Для достижения поставленной цели ставились следующие задачи:

• Продолжить обобщенные партонные распределения фотона во всю область определения, определив их в нефизической области через обобщенные амплитуды распределения и восстановить двойные распределения фотона с помощью полных обобщенных партонных распределений.

• Получить формулы вычисления двойных распределений из обобщенных партонных распределений в ограниченной области и вычисления вкладов различных каналов. Применить полученные формулы для обобщенных партонных распределений фотона. Вычислить Э-член фотона.

• Получить голографическое правило сумм с конечным вычитанием для обобщенных партонных распределений фотона. Применить константное вычитание к описанию сечения электророждения векторных мезонов на примере р0 мезона.

• Вычислить функции квинтэссенции фотона в подходе дуальной параметризации.

• Применить спектральное представление вклада высших твистов к описанию правила сумм Бьеркена в инфракрасной области.

• Продолжить правило сумм Бьеркена к пределу = 0 с помощью правил сумм Герасимова-Дрелла-Хирна и Буркхарта-Коттингема.

• Применить 1/Ь разложение аналитической теории возмущений к описанию новых прецизионных данных по правилу сумм Бьеркена в области малых Q2.

Научная новизна и практическая ценность

Описание адронных процессов в области низких энергий остается трудной задачей для квантовой хромодинамики. В данной работе исследуются как феноменологические функции описывающие непертурбативную низкоэнергетическую динамику сильновзаимодействующих частиц, так и поведение самих эффективных зарядов.

Ключевой особенностью диссертации является объединение методов дисперсионных соотношений с математическим аппаратом интегральной геометрии в приложении к анализу амплитуд различных процессов в КХД.

Для феноменологических функций обобщенных партонных распределений получены новые методы восстановления из них двойных распределений на основе обратного преобразования Радона, причем несколькими различными способами, в том числе позволяющими вычислить вклады различных каналов. Полученные преобразования применены для фотона в лидирующем твисте. Также для них на примере фотона впервые аналитически применено

голографическое правило сумм и вычислен компонент формфактора тензора энергии-импульса, отвечающий за механическую устойчивость частицы-мишени. Это ценно по нескольким причинам. С одной стороны данные методы можно непосредственно применять как для аналитических так и численных расчетов. С другой стороны аналитический пример прекрасно подходит для разработки и тестирования математического аппарата феноменологии в коллинеарной факторизации жестких адронных процессов. В то же время появляется возможность исследовать различные партонные распределения на будущих поляризационных экспериментах на EIC и SPD@NICA. На EIC одними из возможных способов является извлечение ОПР из процесса DDVCS (Double Deeply Virtual Compton Scattering) - дважды глубоко-виртуального комптоновского рассеяния, что требует высокой светимости и способности регистрировать все продукты реакции, а также эксклюзивного фоторождения пар мезонов [49]. На SPD в процессах DVMP (Deeply Virtual Meson Production) - глубоконеупругого рождения векторных мезонов возможно измерение моментов ОПР. Свертка двух ОПР может быть извлечена из эксклюзивных процессов Дрелла-Яна. TMD, как одно из основных направлений исследований обеих установок, связаны с ОПР, как было указано выше.

Впервые "массивная"аналитическая теория возмущений в сочетании с правилами сумм Буркхарда-Коттингема и Герасимова-Дрелла-Хирна применена к экспериментальным данным правила сумм Бьёркена для продолжения до Q2 = 0. Проведено сравнение применения различных модификаций аналитической теории возмущений к анализу экспериментальных данных.

Положения, выносимые на защиту

1. В рамках факторизационного представления построен новый подход к анализу амплитуд эксклюзивных жестких процессов, сочетающий методы интегральной геометрии и исследование аналитических свойств.

Получено новое представление для обратного преобразования Радона, справедливое во всей области аналитичности амплитуды, описывающей глубоконеупругое комптоновское рассеяние и электророждение адро-нов.

2. Данные преобразования применены аналитически к фотонным обобщенным партонным распределениям и получены двойные распределения для фотона. Также для них получено голографическое правило сумм с конечным вычитанием, связанным с гравитационным форм-фактором адрона. Эти результаты находятся в согласии с критерием механической устойчивости облака виртуальных фермионных (кварк-антикварковых) пар. Вычислены функции квинтэссенции - базовые функции дуальной параметризации. Константное вычитание успешно применено к описанию сечения электророждения векторных мезонов на примере р0 мезона.

3. Построены новые модели спектральных функций высших твистов правила сумм Бьёркена. Получено хорошее согласие с экспериментальными данными при малых значениях Q2. Проведено сравнение различных модификаций аналитической теории возмущений.

Апробация работы: доклады

• Advanced Studies Institute. SPIN-Praha-2011, Карлов Унив., ОИЯИ, Прага, Чехия. Analytic properties of photonic GPDs, I.R. Gabdrakhmanov, O.V. Teryaev, 2011

• Drell-Yan Scattering and the Structure of Hadrons, ECT*, Тренто, Италия Finite Subtractions for Meson Electroproduction and Exclusive Drell-Yan, I.R. Gabdrakhmanov, O.V. Teryaev, 2012

• XXI International Baldin Seminar on High Energy Physics Problems, JINR, Dubna, Russia Subtractions in exclusive vector meson production, I.R. Gabdrakhmanov, O.V. Teryaev, 2012

• 48th Karpacz Winter School of Theoretical Physics, Institute for Theoretical Physics, Wroclaw, Ladek-Zdroj, Poland. Poster: Analytic properties of Y*y scattering amplitudes, I.R. Gabdrakhmanov, O.V. Teryaev, 2012

• Analytic properties of photonic GPDs National Center for Nuclear Research, Warsaw, Poland, 2012

• DSPIN-17, Bogoliubov Laboratory of Theoretical Physics of the Joint Institute for Nuclear Research, Dubna, Russia Infrared models for the Bjorken sum rule in the APT approach, I.R. Gabdrakhmanov, O.V. Teryaev, V.L. Khandramai, 2017

• AYSS-2019, JINR, OMUS, Dubna, Russia, JINR, Dubna, Russia Cross channel Radon tomography, I.R. Gabdrakhmanov, D. Muller, O.V. Teryaev, 2019

• Radon Tomography In QCD Phenomenology, DSPIN-19, ОИЯИ, Дубна, Россия I.R. Gabdrakhmanov, D. Muller, O.V. Teryaev, 2019

• Integral geometry approach to exclusive processes in QCD Международный математический институт имени Л. Эйлера, Санкт-Петербург, 2019

• Партонные распределения в КХД: методы дисперсионных соотношений и интегральной геометрии, семинар по материалам диссертации, ЛТФ ОИЯИ, Дубна, 2022

• Партонные распределения в КХД: методы дисперсионных соотношений и интегральной геометрии, семинар по материалам

диссертации, ЛФВЭ ОИЯИ, Дубна, 2023 Личный вклад

Все результаты, приведенные в диссертации, за исключением введения, получены лично автором, либо при его непосредственном участии.

Результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Gabdrakhmanov I. R., Teryaev O. V. Analyticity and sum rules for photon GPDs // Phys. Lett. B. 2012. Т. 716. С. 417—424

2. Gabdrakhmanov I., Teryaev O. QCD motivated subtractions in hard photonic and mesonic reactions // PoS. 2012. Т. Baldin-ISHEPP—XXI. С. 035

3. Khandramai V. L., Teryaev O. V., Gabdrakhmanov I. R. Infrared modified QCD couplings and Bjorken sum rule //J. Phys. Conf. Ser. 2016. Т. 678, № 1. С. 012018

4. Gabdrakhmanov I. R., Teryaev O. V., Khandramai V. L. Infrared models for the Bjorken sum rule in the APT approach //J. Phys. Conf. Ser. 2017. Т. 938, № 1. С. 012046

5. Gabdrakhmanov I. R., Muller D., Teryaev O. V. Inverse Radon transform at work // Phys. Part. Nucl. Lett. 2019. Т. 16, № 6. С. 625—637

6. Bjorken Sum Rule with Analytic Coupling at Low Q2 Values / I. R. Gabdrakhmanov, N. A. Gramotkov, A. V. Kotikov, D. A. Volkova, I. A. Zemlyakov // JETP Letters. 2023. Т. 118

Объем и структура диссертации

Диссертация включает в себя введение, 3 главы и заключение. Объем диссертации: 94 страницы, 22 рисунка и 3 таблицы. Список литературы содержит 147 наименований.

Аналитические свойства, дисперсионные соотношения и обратное преобразование Радона обобщенных партонных распределений.

1.1 Методы обратного преобразования Радона

В общем виде параметризация ДР определена следующим образом:

г 1 г Нв1

H(x£,t) = / dß daö(x - ß - £a)F(ß,a,t) + D(x,£,t), (1.1)

J-1 J-1+|в|

где ДР четно по а: F(ß,a,t) = F(ß, — a,t), а

D(x^t) = 0(1 - |ж/£|)sign(£)D(x/£), (1.2)

D-член был введен чтобы гарантировать условие полиномиальности [56]. Он входит в ОПР в виде нечетной функции D(a), D(a) = -D(-а). Из (1.1) и(1.2) следует, что D-член можно вычислить как предел

D(a) = lim H(a£,£,t) для |x| < 1. (1.3)

Параметризация в форме ДР определена не однозначно. Однако "калиб-ровочным"преобразованием [40] всегда можно привести его к стандартному виду

1 1-Й

H(ж,£) = у da J dß(F(ß,a) + £6(ß)D(a))ö(x - ß - ). (1.4)

-1 -1+|а|

В более общем случае [40]:

1 1—М

Н(х,£¿а J дьв(Г(в,а)+ £О(в,а))6(х — в — а^) (1.5)

— 1 —1+|а|

для 2-ДР представления, в котором Г и О определены не однозначно. Различные пары Г(в,а) и О(в,а), принадлежащие 2-ДР (ВО+Э) представлению (1.1) связаны калибровочными преобразованиями [40],

дХ(в,а)

F(в,а) ^ F(в,а) +

да

с(М ^ с(М - (1.6)

и могут быть приведены к форме [35]

f сад = в/сад (1.7)

С(в,а) = а/(в,а), (1.8)

где / функция 1-ДР (single DD) 1 представления:

1 1-Н

H) =J da J def (в,а)6(x - в - a£) (1.9)

-1 -1+M

Заметим, что полные ОПР на интервале -1 < x < 1 представляют собой сумму кваркового и антикваркового вкладов, определенных соответственно на интервалах - £ < x < 1 и -1 < x < £, а соответствующие ДР на в > 0 и в < 0.

В дальнейшем по умолчанию будем считать, что D-член уже вычтен, и ДР ограничено неотрицательными в, таким образом

г 1 г 1-е

H(x,£,t) - D(x,£,t) ^ H(x,£,t) = / dm da5(x - в - £ )F(в,a,t), (1.10)

Jo J-1+p

1 Данное "Single ББ"представление[57] упрощает формулировку прямого и обратного ПР, а также автоматически удовлетворяет условию полиномиальности, однако, не нашло широкого применения при построении моделей ОПР из-за возникающих дополнительных не интегрируемых сингулярностей в пределе партонных плотностей при в = 0

где ДР имеет компактную область определения 0 < в < 1 и |а| < 1 — в• Так, что для ОПР |£| < 1 и — £ < х < 1, применяя разложение [58]:

Н(х,£,*) = 0(х + £Мх,£,*) + 0(х — £)ы(х, — £,*), (1.11)

выражено через функции

1 Г Ш

ы(х,£,*) = £ у ^(в,(х — в)/£,*). (1.12)

Они, в свою очередь, обращаются в ноль на границе х = —£. Здесь и далее примем, что £ положительна.

Обратим внимание, что полные ОПР, в свою очередь:

Н«(х,£,£) = Н(х,£,£) ± Н(—х,£,*), (1.13)

соответственно, для поляризованных и неполяризованных ОПР. Для |£ | > 1 соответственно [59]:

Н(х,£,£) = в(х,£) ы(х,£,*) + 0(х, — £) ы(х, — £,*), (1.14а) где ограничение

0(х,£) = а18п(1 + £(1.14б)

гарантирует, что полиномиальность сохраняется и в расширенной области определения £.

В кросс-канале ОАР аналогичное (1.11) разложение имеет вид [59]:

Ф(г,а) = 0(С — *М*,с,г) — Ф — С М—— С,*), (1.15)

где

х1

ы(х,£,*) = . (1.16)

Преобразование Радона (1.10) также гарантирует, что ОПР можно однозначно расширить на всю плоскость (х,£) (вследствие того, что это Фурье образ аналитической функции[24; 58] как будет показано далее, в (1.1.1)).

Следует заметить, что обратное преобразование Радона является некорректно поставленной задачей, т.е. в нашем случае, ДР не является непрерывной функцией от ОПР. Обратное преобразование Радона активно применяется для обращения ОПР, в частности в работах [50; 54; 60—62]. В литературе хорошо известны 2 способа обратного преобразования Радона: через преобразование Фурье и т.н. обратное проецирование с фильтрацией. В последнем случае термин возникший в обработке сигналов означает следующее. Производная по доле импульса вместе интегралом Гильберта служат фильтром, а последующее интегрирование по £ - обратным проецированием. Как будет показано далее в комплексной плоскости для ОПР фильтр не требуется, и достаточно одного интеграла.

1.1.1 Обращение через преобразование Фурье

Покажем, как теорема о связи преобразований Фурье и Радона в совокупности с аналитическими свойствами ОПР позволяет вывести новый способ вычисления ДР.

Совершим обратное преобразование Фурье по х, где ограничимся |£| < 1,

йхе—шхН(х,£,£). (1.17)

Подставив определение параметризации ДР (1.1) получаем двойное обратное преобразование Фурье от ДР

г 1 г 1—в

г11[Н](к,£,^) = 1Шк,^) = йв йае—кв—(в,а,*), (1.18)

Jo J—1+в

оно является аналитической функцией по к и £. Следовательно можно убрать ограничение |£ | < 1 аналитическим продолжением (АС) по £. Проведя прямое

преобразование Фурье получим ОПР, расширенное на всю область определения

1 гто

Н(х,ЗД = —у ¿ке*кХАС. (1.19)

Т.о. ДР можно получить двойным прямым преобразованием Фурье [54],

-| />ТО />ТО

/= — ¿к ¿Ае1кв+гХа£-1 [Н](к,А/к,£), (1.20)

«/ — ТО «/ — ТО

обратного преобразования Фурье от

/то

¿хе-кХН(х,£,;£) (1.21)

-то

расширенного ОПР Н или аналитического продолжения

^-1[Н](к,£,£) = АС ^-1[И ](к^г) непосредственно ОПР.

1.1.2 Обратное проецирование с фильтрацией

Стандартная формула обращения как известно [63—65] может быть выведена как применяя преобразование Фурье так и с помощью преобразования Абеля.

Воспользуемся известным обращением ОПР из [40], основанных на стандартной формуле, и сдвинем интегрирование по х:

-1 Сто д Сто ¿х /= РУу — Н(х + в + , (1.22)

Проведя преобразование координат для нефизической части ОПР, соответствующей ОАР:

х

х ^ —,

1 (1.23)

V ^ -, V

и учтя четность по £ получим выражение ДР отдельно для вкладов s и t каналов (соответственно из ОПР и ОАР) [54]

f /d£f), Jo

f (P,a,t\£) = fGPD(e,a,i|£) + fGDA(e,a,t|£), (1-24)

—1 д f1 2(x — в) WAMi) = 2П2двP7—edx(x — в)2 — H(x,i,t)'

-1 д i1 2(r-£6) /GDA^^i ) = 2П2 двPVjjX (x — )2 — «2 H(X^) •

1.1.3 Обращение через обратное преобразование Лапласа

В работе [60] Д. Мюллер показал, что для ОПР, обладающих LFWF (Light Front Wave Function overlap representation - представление перекрытия волновых функций на световом конусе) представлением, ДР можно получить однократным интегрированием в комплексной плоскости "внешней" DGLAP (x > £) ОПР Hout(x,£,t)

f(^t) = ГdrT^^ wim" ,Г1—+(1 + Г)вt) ,

2пгдр J—i(1 + a + ra)2 \1 + a + ra 1 + a + ra /

(1-25)

где \a\ < 1 — в и 0 < в < 1 — в -

В нашей статье [54]данный результат был выведен в общем случае, для ОПР не обязательно обладающим LFWF представлением.

1.2 Фотонные обобщенные партонные распределения

Амплитуду глубоконеупругого Комптоновского рассеяния можно разложить по тензорному базису [66]

(ДГ = 0) =4^А + 1 + - А+

4 (л? - ^) Аз

Следует отметить, что для фотона А2 = 0, а соответствующие амплитуды

определяются свертками:

1 1

Д(£) = 1 ¿хС+(х,£)И1 (х,£,0), Аз(£) = 1 ¿хС—(х,£ )Из(х,£,0) (1.26) -1 -1

где

С±(х,£) = -2е2 (--1—- ± + 1 (1.27)

\х — £ + г- х + £ — г-/

Опуская здесь и далее множитель -^т 1п (т.к. исследуется зависимость только от х,£), фотонные ОПР соответствующие амплитудам (1.26) равны [45] (кварковая плюс антикварковая компонента):

х2 + (1 — х)2 — £ 2 , ^ |Мх(1 — |£ |)

Щ(х,£,0) =„(х — £) ' \ £2-- + „(£ — х)„(х + £)

„(—х — £)

1 — £2 ^ чу|£ 1(1£ I + 1)

х2 + (1 + х)2 — £2

1 — £2

х2 (1 х)2 £2 1 £

И| (х,£,0) =„(х — £)--2-^ — „(£ — х)„(х + £) |£|

„(—х — £)

1 — £2 ' ^ |£| + 1 х2 — (1 + х)2 — £2

1 — £2

Тогда как ОАР равны [46]:

Ф?(г',С',0) = „(-' — С') г'(2г- С'' + „(-' — С7) С) +

„(С — - 71 — С') + „(? — -') ^^^ (1.28)

Ф3(У,С ',0) = „(-' — С) ^ — „(У — С') ^ — „(С — -') ^ + „(С7 — -') ^.29)

Из соображений удобства мы используем более симметричный способ [40; 67] задания аргументов фотонных амплитуд распределения через разность импульсов:

, 1-г

г =

2

, 1- С

С = ^, (1.30)

где ' - переменные использованные, в частности, в работе [46].

1.2.1 Расширение в нефизическую область

Фотонные ОПР, полученные из ЭУСБ, определены в области |£| < 1 и |х| < 1. Они могут быть расширены в нефизическую область |£ | > 1, путем выражения ОПР через ОАР ) в физической для них области —1 < г < 1, —1 <

С < 1.

В принятой нормировке [34; 45; 46] соотношение между ОПР (в нефизической области) и ОАР (в физической), полученное в работе [40] принимает вид:

1 х 1

Н (х,£) = - )Ф() (1.31)

Применяя (1.31) к (1.28) и (1.29) мы получим [50] ОПР Н\(х,£) при |£| > 1:

—1 <х< 1,

(х-е)(2хе+е2—1) х > 1 (1.32)

е(е2—1) х >15 1 ;

(х+р(—2хе+е2—1) л

£(£2-1) х < 1

V

и аналогично для Н|(х,£):

/

—1 < х < 1,

{ ^ X > 1, (1.33)

х<-1

е2—1

Т.о. имеем ОПР определенные во всей расширенной области определе-ния[50]. Их трехмерные графики изображены на Рис. (1.1) и (1.2).

.V 4

Рис. 1.1: Неполяризованное обобщенное партонное распределение фотона И? (х,£)

Соответствующие £ сечения изображены на Рис. (1.3) и (1.4). Как легко видеть х-производные И1(х,£,0) и И3(х,£,0) имеют разрывы в точках —1, —£, £, 1.

Рис. 1.2: Поляризованное обобщенное партонное распределение фотона

H )

Hl

Рис. 1.3: Неполяризованное обобщенное партонное распределение фотона Hq) для £ = 0.2 (красная штриховая линия), 0.8(черная сплошная), 1.6 (синие точки)

Рис. 1.4: Поляризованное обобщенное партонное распределение фотона Н|(х,£) для £ = 0.2 (красная штриховая линия), 0.8(черная сплошная), 1.6 (синие точки)

1.2.2 Применение обратного преобразования Радона к обобщенным партонным распределениям фотона

В задачах аналитического восстановления ДР будет удобно обратиться к представлению (1.11),(1.15). Неполяризованные фотонные ОПР [45] и ОАР [46], таким образом, приведут, соответственно, к:

/ Х + С Х Х + С , ч 1 + Х 1 + Х , ч

— с ^ ^1(х,СЬ — — х• (1.34)

Тогда как поляризованные:

-3(х,С) = Х2+С — 1^ шэ(х,С) = — ^ + 1±|. (1.35) Пользуясь (1.3) можно получить компоненту "фиктивного"В-члена

X 1

4(х) = - — -8^п(х), (1.36)

В силу симметричности поляризованного полного ОПР по х

И3+)(х,£) = И3(х,£) + И3(—х,£), Э-член не вносит физического вклада.

Обращение через преобразование Фурье

Рассмотрим сначала простейший пример, в котором ОПР (1.11) построено на функции:

1х+£

шс°"*'(х,£) = £ г+|, (1.37)

являющейся вторым слагаемым поляризованного ОПР ¡х>3(х,£) (1.35).

По построению, ОПР определено на интервале —£ < х < 1, а Э-член отсутствует. Получим сначала обратное преобразование Фурье при ограниченном |£| < 1

аналитична по £, проведя аналитическое продолжение по переменной А = £к получаем

е—гк _ р%\ р—ък _ р—¿А

МкД) = г'ММАО = — ТК—А)Г ■ (139)

Далее двумерное прямое преобразование Фурье (1.20) даст искомое ДР (регулярная часть поляризованного ОПР ^3(х,£) (1.35))

^ (в,а) = 1 (1.40)

с областью определения |а|< 1 — в и 0 < в < 1.

Далее рассмотрим первое слагаемое в ^3(х,£) (1.35):

Мх,£) = (1.41)

Вычтя компоненту Э-члена (1.36) найдем, что соответствующий вклад в ОПР представляет собой константу на х € [0,1]:

¿И3(х,п) = „(х)„(1 — х). (1.42)

Проведя соответствующие преобразования Фурье (1.1.1) получим

= ¿(а). (1.43) Таким образом, в сумме получаем поляризованное ДР:

ада) = ¿(а) — 1. (1.44)

Обращение через обратное преобразование Лапласа

Покажем на примере сингулярного слагаемого, присутствующего в обоих ОПР (1.34),(1.35):

¿"(х,£) = Х2+С (1.45)

Подставив его в (1.25) получим

1 /пто 1

= 2Л7(1 + а + га)2 для 0 * а * 1 — в (1.46)

что дает ¿(а).

Аналогично получим регулярные части, соответственно, и Замкнув контур интегрирования в левой полуплоскости и приняв, к примеру, а > 0 найдем:

^ (в,а) = 1 — 2в — 2а,

(в,а) = —1. (1.47)

Обратное проецирования с фильтрацией (традиционный способ)

В параграфе (1.2.1) мы получили ОПР во всей расширенной области определения, и, следовательно, можем применить обратное проецирования с фильтрацией в стандартной форме. Данный метод, в отличие от приведенных

далее, требует ОПР, известных во всей области определения, однако удобен при численных расчетах.

Найдем преобразование, связывающее ДР Э - типа с ¥(в,а) = в/(в,а) и С(в,а) = а/(в,а), соответствующими 1-ДР представлению,

¥ (в,а) = в/(в,а) х(в,а) ^ (в,а)

С(в,а) = а/(в,а) ^—^ Л(а)

¥р соответствует паре в которой С(в,а) = 6(в)^(а). ¥р(х,£) -

часть ОПР, соответствующая Э - члену.

Если Э - член вычтен, легко вычислить (в,а), (в,а) и /1(в,а). Здесь нам потребуется обратить первое слагаемое в правой части (1.4). Таким образом:

¥хв (в,а) = [2(1 — |в | — |а|) — 1 + 6 (а)]здп(в), (1.48)

её регулярная часть изображена для различных а на Рис.(1.5). Для поляризованного И3(х,£) получим

¥гв (в,а) = 6(а) — 1. (1.49)

Далее получим /1 (в,а) применяя его же к где можно заметить член

6(в) ^

/1(в,а) = ^ — 1 + 26(в )(1 — |а|) + 6 (в) ^ (1.50)

Таким образом

^1(в,а) = 6(а)^п(в) — в (1.51)

^1(в,а) = —а + 26(в )(1 — |а|)а + 6(в (а) (1.52)

Теперь легко получить калибровочное преобразование (1.6)

Х1(в,а) = а )(1 — |в| — |а|) + С (1.53)

Р1

геё

в

Рис. 1.5: Регулярная часть двойного распределения (в,а) при а: 0.1 красная штриховая линия, 0.5 - черная

^^----- 1>" / 0.5

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-0.5

-1.0 - ^^

а

Рис. 1.6: Д1(а)-член фотона. Отрицательный знак (при положительных значениях а) соответствует критерию механической устойчивости фотона.

Т.к. Х1 определена с точностью до константы, можно принять константу С равной нулю, занулив х1 на границе области определения - ромба |в| + |а| = 1, такая Х1 изображена на Рис. (1.7) слева. Заметим, что х1 также может быть вычислена с использованием лишь функции С1 [40]

в 1—М

Х1(в,а) = #(в< 0) J (*,а) — 0(в > 0) у (1.54)

|а| —1 в

Хотя ^з(а) = 0, можно так же произвести калибровочное преобразование и записать 1- ДР представление дающее "фиктивную"(настоящую, но не являющуюся необходимой, т.к. от нее можно избавиться калибровочным преобразованием) функцию Сз,

в/зсад — Рзв сад =

0 — а/з(в,а) =

дХз(в,а)

да дХз(в,а)

дв '

Отсюда находим калибровочную функцию:

Хз(в,а) = а(1 —

1

|в | + |а

изображенную на Рис. (1.7) справа, а также соответствующее ДР:

/з(в,а) =

¿(а) 5дп(в)

в (|в | + И)2

(1.55)

(1.56)

(1.57)

Рис. 1.7: Калибровочные функции двойных распределений фотона х1(в,а) -слева и хз(в,а) - справа соответственно.

Обратное проецирование с фильтрацией с разделением по каналам

Рассмотрим теперь по отдельности вклады каждого из каналов в соответствии с формулами (1.24). Тогда для неполяризованных ОПР вклады в регулярную часть ДР, после первого интегрирования запишутся

^Рв(в,а|£) =

2п2 1 — £

(4(в + а£ )1п

1 — (в + а£)

£2 — (в + а£ )2

21п

4

(1 — в — а£ )(£ + в + а£) (1+ в + а£ )(£ — в — а£)

^ (в + а£ )1п

£2 — (в + а£ )

(в + а£ )2

)

+

(1.58)

£ (1 + £)

1п

£ — в — а£

£ + в + а£

+ {£ ^ —£}

и

^5>л(в,а|£) =

2п21 1 — £2

4(в£ + а) 1п

1 — (в£ + а)5

£2 — (в£ + а)2

21п

4

(1 — в£ — а)(£ + в£ + а)

(1 + в£ + а)(£ — в£ — а) £2 — (в£ + а)2

-(в£ + а) 1п £

(в£ + а)2

+

1+ £

1п

£ — (в£ + а) £ + в£ + а

(1.59) + {£ £ }1 •

Последующее интегрирование по £ дает регулярную часть = ^Гжл +

РСБЛ:

^ (в,а) = (1 — 21 в | — 2|а|)^п(в )0((1 — |в |)2 — а2 )0(1 — |в |) ^вл(в,а) = ^(в,а) — ^ (в,а),

(1.60)

где ^Црв(в,а) в силу своей громоздкости вынесена в дополнение (С). Вклады ^шРб(в,а) (штрих), ^1г^?Вл(в,а) (точки) и их сумма (в,а) (сплошная) изображены на Рис. (1.8) для а = 0.3 по в. Обратим внимание, что СРЭ и СЭЛ слагаемые не ограничены по области определения, в то время как их

1

1

2

2

сумма ДР (в,а) имеет известное ограничение на ромбе |а| < 1 — |в| и 1в | < 1.

1 гед 1.0

-0.5

\ч \\ \\ ^ * * "*

\ 0 \ \ \ \ \ \ '.V 1 5 1 ч> 'ч ч \

Ч__.'

х

-1.0

Рис. 1.8: Вклады в двойное распределение фотона ^¿р^(в,а) (пунктирная красная линия), ^¿^(в^) (синие точки) и (в,а) (черная сплошная) соответственно, а = 0.3.

Для поляризованного ОПР фотона первое интегрирование в (1.24) приводит в 2-ДР представлении к:

^ЭСРЯ (в,а|£) = — 1^72 Ь(в,а,<7Н

П1 —7 1 1 \ (161)

+

2п2 V (1 + в)2 — К)2 (1 — в)2 — (а7)2/

П1 — ^ 1 1 \ (1.62)

+

2п2 V 7 2(1+ в )2 — а2 72(1 — в )2 — а2,

где

¿(в,а,£) = 1п

(1 — (в + а£ )2)(1 — (в- а£)2)

(£2 — (в + а£ )2)(£2 — (в — а£)2)

(1.63)

Любопытно отметить симметрию первых слагаемых в данных вкладах, в сумме дающих, как будет показано далее, регулярную часть (в,а) = 6(а) — 1.

Вторые же слагаемые в общей сумме дают дельта функцию в 6(а) (см. вычисления в приложении (В)).

Интегрируя (1.61) и (1.62) далее по £ получим для регулярной части:

- 2+*

^эсря (в,а) изображенные на Рис.(1.9)

1 1^1 + в — а^ 1^1 + в + а'

—1 — * 2 *

2п2 1

2П2

1п

1 — в + а/ '1 + в — а" 1 — в + а

1п

1 — в — ау '1 + в + а~

1 — в — а,

(1.64)

1 0.2

- • ; у —0 \ 1.5 -0.2 0 5 # 1 \ 0

Г \ \ \ ч / / / У V.__

—. ^ ....... ................... .....

♦ ♦ » • ♦ ♦ \ ♦ * •

% • • * — 0.8 • ■ * • *

-1.2

X

Рис. 1.9: Вклады в двойное распределение фотона ^¿р^(¡3,а) (пунктирная красная линия), (синие точки) и (в,а) (черная сплошная)

соответственно, а = 0.2.

Голографическое правило сумм, Ю — член и механические свойства элементарных частиц.

2.1 Голографическое правило сумм

Рассмотрим дисперсионные соотношения, связывающие действительную и мнимую части амплитуды ЭУСБ [68] применительно к фотону. Вклад ОПР в жесткую эксклюзивную амплитуду (в частности в ЭУСБ) в лидирующем твисте определен (опуская множители —2е^) как

1

С 11

А 1 = ад,з(х,Ш . ±-—-] (2.1)

] X + 4 — 26 X — £ + 26

—1

или для компактности (учитывая четность ОПР Н1 и Н3 по х и опуская не важные для нас множители) примем:

1

ММА = ¿х^+Х^ (2.2)

] X + £ — 26 —1

ТтА1;3(х,£) = пН1?3 (х,х,^). (2.3)

Заметим, что мнимые части амплитуд А1 и А3 в области х > 0 отличаются лишь знаком, т.к.

1 — х

Н1(х,х) = — Н3(х,х) = -— (2.4)

1 | х

Согласно голографическому правилу сумм для ОПР [68] в лидирующем твисте вся информация о коллинеарной структуре адрона с точностью до вычитательной константы содержится в одномерной области х = £: 1 1 1-|в1 Р / Нх^хгхи = Д = / ¿в I ¿а^М, (2.5)

-1 -1 -1 + |в| где Р / обозначает главное значение несобственного интеграла, и А не зависит от £, следовательно,

1

ЯеЛ(£) = Р 1¿х + А (2.6)

-1

Перейдем непосредственно к получению голографического правила сумм для фотона, проинтегрировав полученные ОПР мы получили [50]:

1

^ [ Н1 (х,£) - Н1(х,х) , ^ „ч

Р и - п ' ;¿х = 21п2 при |£| < 1 (2.7)

л х - £

-1

1

Р Н(х,£) - Нз(х,х)¿х = 0 при |£| < 1 (2.8)

J х £

-1

Полученный значения согласуются с (2.5) с правой частью (2.21).

Мы получили, что Н1 и Н удовлетворяют голографическому правилу сумм также и в нефизической области |£ | > 1, [50] как и предсказывалось в [69]:

е

р Н1(х,£) - Н1(х>х> ¿х = 21п 2 при |£| > 1, (2.9)

J х £

-е

е

/Н3(х,£) — Н3(х,х) , ,

А -' ¿х = 0 при |£| > 1 (2.10)

х - £

-е

Как видно, вычитательные константы не зависят от £ [19], для любых конечных £.

2.2 Дуальная параметризация

Альтернативой двойным распределениям в задании структуры адрона является дуальная параметризация, в которой партонные распределения представлены в виде бесконечного ряда ^канальных обменов [43; 70]. В дуальной параметризации амплитуда глубоконеупругого рассеяния определяется интегралами [44]:

1

= / -Ж (х,*)[ 1 =]

] х _х2 _ 1

V ^ х 1

е

(2.11)

1-У 1-е2 е

ЯеЛ(7,*) = I ^ (х>*)[ 1

о

+

1

2

1 - 2х + X2 л/1 + у + X

2х + х2 л/1 + X2

1

+

1

/ -Ж (х,*)[—

1-У^ х Г + Т + х

е

2

2х + х2 л/1 + х:

=] + 2Я(*)

(2.12)

которые могут быть однозначно обращены следующим образом [44]:

N (х,£) =

д7

2 х(1 - х2) П (1 + х2)3/2 У Т3?2

1+х2

7 -

11 д

=== {2/шА(7,*) - 7-/тЛ(7,*)}(2.13)

1+х2

где N(х,*) - т.н. функция квинтэссенции, её физическое содержание более ясно можно видеть для моментов Меллина функции N(х,*), которые непосредственно связаны со вкладами кварк-антикварковых состояний с определенным угловым моментом в ^канале [70; 71]:

1 1

I дхх7-1Ж(х,*) = 11 дг' (2.14)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Габдрахманов Ильнур Рамилевич, 2024 год

Список литературы

1. Feynman R. P. Very high-energy collisions of hadrons // Phys. Rev. Lett. — 1969. — Т. 23. — С. 1415—1417. — [494(1969)].

2. Politzer H. D. Reliable Perturbative Results for Strong Interactions? // Phys. Rev. Lett. — 1973. — Т. 30. — С. 1346—1349. — [,274(1973)].

3. Gross D. J., Wilczek F. Ultraviolet Behavior of Nonabelian Gauge Theories // Phys. Rev. Lett. — 1973. — Т. 30. — С. 1343—1346. — [,271(1973)].

4. Collins J. C, Soper D. E., Sterman G. Factorization of Hard Processes in QCD // Perturbative quantum chromodynamics. — Singapore : World Scientific, 1989. — С. 1—92. — (Advanced series on directions in high energy physics).

5. Collins J. C, Frankfurt L, Strikman M. Factorization for hard exclusive electroproduction of mesons in QCD // Phys. Rev. D. — 1997. — Т. 56. — С. 2982—3006.

6. Collins J. C, Freund A. Proof of factorization for deeply virtual Compton scattering in QCD // Phys. Rev. D. — 1999. — Т. 59. — С. 074009.

7. L. Kronig R. de. On the Theory of Dispersion of X-Rays //J. Opt. Soc. Am. — 1926. — Т. 12, № 6. — С. 547—557.

8. Kronig R. d. L, Kramers H. La diffusion de la lumiere par les atomes // Atti Congr. Intern. Fisici. — 1927. — Т. 2. — С. 545—557.

9. Gell-Mann M., Goldberger M. L, Thirring W. E. Use of Causality Conditions in Quantum Theory // Phys. Rev. — 1954. — Т. 95, вып. 6. — С. 1612— 1627.

10. Боголюбов Н. Н., Медведев Б. В., Поливанов М. К. Вопросы теории дисперсионных соотношений. — ФМЛ, 1958.

11. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — 4-е изд. — Наука, 1984.

12. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Теоретическая физика. Квантовая электродинамика. Том 4. — 3 исправленное. — ФМЛ, 1989.

13. Ширков Д. В., Серебряков В. В., Мещеряков В. А. Дисперсионные теории сильных взаимодействий при низких энергиях. — Наука, 1967.

14. Nussenzveig H. M. Causality and dispersion relations. Т. 95. — New York, London : Academic Press, 1972.

15. Kallen G. On the definition of the Renormalization Constants in Quantum Electrodynamics // Helv. Phys. Acta. — 1952. — Т. 25, № 4. — С. 417.

16. Lehmann H. Uber Eigenschaften von Ausbreitungsfunktionen und Renormierungskonstanten quantisierter Felder // Il Nuovo Cimento (19431954). — 1954. — Т. 11. — С. 342—357.

17. Gerasimov S. B. A Sum rule for magnetic moments and the damping of the nucleon magnetic moment in nuclei // Sov. J. Nucl. Phys. — 1966. — Т. 2. — С. 430—433. — [Yad. Fiz.2,598(1965)].

18. Drell S. D., Hearn A. C. Exact Sum Rule for Nucleon Magnetic Moments // Phys. Rev. Lett. — 1966. — Т. 16. — С. 908—911.

19. Anikin I., Teryaev O. Dispersion relations and subtractions in hard exclusive processes // Phys.Rev. — 2007. — Т. D76. — С. 056007.

20. Anikin I. V., Teryaev O. V. Dispersion relations and QCD factorization in hard reactions // Fizika B. — 2008. — T. 17. — C. 151—158.

21. Solovtsov I. L, Shirkov D. V. Analytic approach in quantum chromodynamics // Theor. Math. Phys. — 1999. — T. 120. — C. 1220—1244. — [Teor. Mat. Fiz.120,482(1999)].

22. Shirkov D. V., Solovtsov I. L. Ten years of the Analytic Perturbation Theory in QCD // Theor. Math. Phys. — 2007. — T. 150. — C. 132— 152.

23. Stefanis N. G. Taming Landau singularities in QCD perturbation theory: The Analytic approach // Phys. Part. Nucl. — 2013. — T. 44. — C. 494— 509.

24. Wave functions, evolution equations and evolution kernels from light ray operators of QCD / D. Müller, D. Robaschik, B. Geyer, F. M. Dittes, J. Horejsi // Fortsch. Phys. — 1994. — T. 42. — C. 101—141.

25. Radyushkin A. V. Scaling limit of deeply virtual Compton scattering // Phys. Lett. B. — 1996. — T. 380. — C. 417—425.

26. Ji X.-D. Deeply virtual Compton scattering // Phys. Rev. D. — 1997. — T. 55. — C. 7114—7125.

27. Radyushkin A. V. Asymmetric gluon distributions and hard diffractive electroproduction // Phys. Lett. B. — 1996. — T. 385. — C. 333—342.

28. Relating transverse structure of various parton distributions / T. Maji, C. Mondal, D. Chakrabarti, O. V. Teryaev // JHEP. — 2016. — T. 01. — C. 165.

29. Ji X.-D. Gauge-Invariant Decomposition of Nucleon Spin // Phys. Rev. Lett. — 1997. — T. 78. — C. 610—613.

30. Teryaev O. V. Spin structure of nucleon and equivalence principle. — 1999. — Anp. — arXiv: hep-ph/9904376.

31. Teryaev O. V. Gravitational form factors and nucleon spin structure // Front. Phys. (Beijing). — 2016. — T. 11, № 5. — C. 111207.

32. Polyakov M. Generalized parton distributions and strong forces inside nucleons and nuclei // Phys.Lett. — 2003. — T. B555. — C. 57—62.

33. Burkert V. D., Elouadrhiri L, Girod F. X. The pressure distribution inside the proton // Nature. — 2018. — T. 557, № 7705. — C. 396—399.

34. Diehl M. Generalized parton distributions // Phys.Rept. — 2003. — T. 388. — C. 41—277. — Habilitation thesis.

35. Belitsky A., Radyushkin A. Unraveling hadron structure with generalized parton distributions // Phys.Rept. — 2005. — T. 418. — C. 1—387.

36. Ji X.-D. Off forward parton distributions // Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics. — 1998. — T. 24, № 7. — C. 1181—1205.

37. Pire B., Soffer J., Teryaev O. Positivity constraints for off - forward parton distributions // Eur. Phys. J. C. — 1999. — T. 8. — C. 103—106.

38. Pobylitsa P. V. Solution of polynomiality and positivity constraints on generalized parton distributions // Phys. Rev. — 2003. — T. D67. — C. 034009.

39. Radyushkin A. V. Nonforward parton distributions // Phys. Rev. D. — 1997. — T. 56. — C. 5524—5557.

40. Teryaev O. Crossing and radon tomography for generalized parton distributions // Phys.Lett. — 2001. — T. B510. — C. 125—132.

41. Twist three analysis of photon electroproduction off pion / A. V. Belitsky, D. Mueller, A. Kirchner, A. Schafer // Phys. Rev. D. — 2001. — T. 64. — C. 116002.

42. Radon J. Über die Bestimmung von Functionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten // Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math-Nat. Kl. — 1917. — T. 69. — C. 262—277.

43. Polyakov M., Shuvaev A. On'dual' parametrizations of generalized parton distributions. — 2002. — arXiv: hep-ph/0207153 [hep-ph].

44. Moiseeva A. M., Polyakov M. V. Dual parameterization and Abel transform tomography for twist-3 DVCS // Nucl.Phys. — 2010. — Т. B832. — С. 241— 250.

45. Friot S., Pire B., Szymanowski L. Deeply virtual compton scattering on a photon and generalized parton distributions in the photon // Phys.Lett. — 2007. — Т. B645. — С. 153—160.

46. Diphoton Generalized Distribution Amplitudes / M. El Beiyad, B. Pire, L. Szymanowski, S. Wallon // Phys.Rev. — 2008. — Т. D78. — С. 034009.

47. Mukherjee A., Nair S. Generalized Parton Distributions of the Photon // Phys.Lett. — 2011. — Т. B706. — С. 77—81.

48. Mukherjee A., Nair S. Generalized Parton Distributions of the Photon for Nonzero Z // Phys.Lett. — 2012. — Т. B707. — С. 99—106.

49. The case for an EIC Theory Alliance: Theoretical Challenges of the EIC / R. Abir [и др.]. — 2023. — Май. — arXiv: 2305.14572 [hep-ph].

50. Gabdrakhmanov I. R., Teryaev O. V. Analyticity and sum rules for photon GPDs // Phys. Lett. B. — 2012. — Т. 716. — С. 417—424.

51. Gabdrakhmanov I., Teryaev O. QCD motivated subtractions in hard photonic and mesonic reactions // PoS. — 2012. — Т. Baldin-ISHEPP—XXI. — С. 035.

52. Khandramai V. L., Teryaev O. V., Gabdrakhmanov I. R. Infrared modified QCD couplings and Bjorken sum rule //J. Phys. Conf. Ser. — 2016. — Т. 678, № 1. — С. 012018.

53. Gabdrakhmanov I. R., Teryaev O. V., Khandramai V. L. Infrared models for the Bjorken sum rule in the APT approach //J. Phys. Conf. Ser. — 2017. — Т. 938, № 1. — С. 012046.

54. Gabdrakhmanov I. R., Muller D., Teryaev O. V. Inverse Radon transform at work // Phys. Part. Nucl. Lett. — 2019. — T. 16, № 6. — C. 625—637.

55. Bjorken Sum Rule with Analytic Coupling at Low Q2 Values / I. R. Gabdrakhmanov, N. A. Gramotkov, A. V. Kotikov, D. A. Volkova, I. A. Zemlyakov // JETP Letters. — 2023. — T. 118.

56. Polyakov M. V., Weiss C. Skewed and double distributions in pion and nucleon // Phys.Rev. — 1999. — T. D60. — C. 114017.

57. Belitsky A. V., Mueller D., Kirchner A. Theory of deeply virtual Compton scattering on the nucleon // Nucl. Phys. B. — 2002. — T. 629. — C. 323— 392.

58. Mueller D., Schafer A. Complex conformal spin partial wave expansion of generalized parton distributions and distribution amplitudes // Nucl. Phys.

B. — 2006. — T. 739. — C. 1—59.

59. Mueller D. Generalized Parton Distributions - visions, basics, and realities - // Few Body Syst. — 2014. — T. 55. — C. 317—337.

60. Muller D. Double distributions and generalized parton distributions from the parton number conserved light front wave function overlap representation. — 2017. — hoh6. — arXiv: 1711.09932 [hep-ph].

61. Covariant Extension of the GPD overlap representation at low Fock states / N. Chouika, C. Mezrag, H. Moutarde, J. Rodriguez-Quintero // Eur. Phys. J. — 2017. — T. C77, № 12. — C. 906.

62. A Nakanishi-based model illustrating the covariant extension of the pion GPD overlap representation and its ambiguities / N. Chouika, C. Mezrag, H. Moutarde, J. Rodriguez-Quintero // Phys. Lett. B. — 2018. — T. 780. —

C. 287—293.

63. Гельфанд И., Граев М., Виленкин Н. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. Выпуск 5. — Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. — (Обобщенные функции).

64. Гельфанд И., Гиндикин С., Граев М. Избранные задачи интегральной геометрии. — Изд-во, Добросвет, 2000.

65. Facchi P., Ligabo M. Classical and quantum aspects of tomography // AIP Conference Proceedings. — 2010. — Т. 1260. — С. 3—34. — arXiv: 1001.5169v1 [math-ph].

66. The Two photon particle production mechanism. Physical problems. Applications. Equivalent photon approximation / V. Budnev, I. Ginzburg, G. Meledin, V. Serbo // Phys.Rept. — 1975. — Vol. 15. — P. 181-281.

67. Probing partonic structure in 7*7 ^ nn near threshold / M. Diehl, T. Gousset, B. Pire, O. Teryaev // Phys.Rev.Lett. — 1998. — Т. 81. — С. 1782— 1785.

68. Teryaev O. Analytic properties of hard exclusive amplitudes. — 2005. — arXiv: hep-ph/0510031 [hep-ph].

69. Teryaev O. Analyticity and end-point behaviour of GPDs // PoS. — 2010. — Т. DIS2010. — С. 250.

70. Polyakov M. V. Hard exclusive electroproduction of two pions and their resonances // Nucl. Phys. B. — 1999. — Т. 555. — С. 231.

71. Polyakov M. Tomography for amplitudes of hard exclusive processes // Phys.Lett. — 2008. — Т. B659. — С. 542—550.

72. Жуковский Н. Е. Къ вопросу о разрезанш вихревыхъ шнуровъ // Математический сборник. — 1895. — Т. 17, № 4. — С. 702—719.

73. Abel N. Auflösung einer mechanischen Aufgabe. // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1826. — Т. 1. — С. 153—157.

74. Kim H.-C., Schweitzer P., Yakhshiev U. Energy-momentum tensor form factors of the nucleon in nuclear matter. — 2012. — arXiv: 1205 . 5228 [hep-ph].

75. Mai M., Schweitzer P. Energy momentum tensor, stability, and the D-term of Q-balls. — 2012. — arXiv: 1206.2632 [hep-ph].

76. Exclusive p0 electroproduction on the proton at CLAS / S. A. Morrow [h Ap.j // Eur. Phys. J. A. — 2009. — T. 39. — C. 5—31.

77. Exclusive electroproduction of p0 and J/^ mesons at HERA / J. Breitweg [h flp.j // Eur.Phys.J. — 1999. — T. C6. — C. 603—627.

78. Elastic electroproduction of p mesons at HERA / C. Adloff [h gp.] // Eur.Phys.J. — 2000. — T. C13. — C. 371—396.

79. Diffractive production of p0(770) mesons in muon proton interactions at 470-GeV / M. Adams [h gp.] // Z.Phys. — 1997. — T. C74. — C. 237—261.

80. Spin Density Matrix Elements in Exclusive p0 Electroproduction on H-1 and H-2 Targets at 27.5-GeV Beam Energy / A. Airapetian [h gp.] // Eur.Phys.J. — 2009. — T. C62. — C. 659—695.

81. Vanderhaeghen M, Guichon P. A., Guidal M. Hard electroproduction of photons and mesons on the nucleon // Phys.Rev.Lett. — 1998. — T. 80. — C. 5064—5067.

82. Musatov I. V., Radyushkin A. V. Evolution and models for skewed parton distributions // Phys. Rev. D. — 2000. — T. 61. — C. 074027.

83. Goloskokov S., Kroll P. The Longitudinal cross-section of vector meson electroproduction // Eur.Phys.J. — 2007. — T. C50. — C. 829—842.

84. Vanderhaeghen M, Guichon P. A., Guidal M. Deeply virtual electroproduction of photons and mesons on the nucleon: Leading order amplitudes and power corrections // Phys.Rev. — 1999. — T. D60. — C. 094017.

85. Guidal M, Morrow S. Exclusive p0 electroproduction on the proton: GPDs or not GPDs? // Eur.Phys.J. — 2007. — Т. A39. — С. 5—31.

86. Off - forward quark distributions of the nucleon in the large N(c) limit / V. Y. Petrov, P. Pobylitsa, M. V. Polyakov, I. Bornig, K. Goeke [и др.] // Phys.Rev. — 1998. — Т. D57. — С. 4325—4333.

87. Goloskokov S. Generalized Parton Distributions in light meson production // Nucl.Phys.Proc.Suppl. — 2011. — Т. 219/220. — С. 185—192.

88. Индурайн Ф. Квантовая хромодинамика. Введение. — Мир, 1986.

89. Коллинз Д. Перенормировка. Введение в теорию перенормировок, ре-нормализационной группы и операторных разложений. — Мир, 1988.

90. Боголюбов Н., Логунов А., Ширков Д. Метод дисперсионных соотношений и теория возмущений // ЖЭТФ. — 1959. — Т. 37, № 3. — С. 805— 815.

91. Shirkov D. V., Solovtsov I. L. Analytic QCD running coupling with finite IR behavior and universal as(0) value. — 1996. — Апр. — arXiv: hep-ph/9604363.

92. Shirkov D. V., Solovtsov I. L. Analytic model for the QCD running coupling with universal as(0) value // Phys. Rev. Lett. — 1997. — Т. 79. — С. 1209— 1212.

93. Milton K. A., Solovtsov I. L, Solovtsova O. P. Analytic perturbation theory and inclusive tau decay // Phys. Lett. B. — 1997. — Т. 415. — С. 104—110.

94. Bakulev A. P., Mikhailov S. V., Stefanis N. G. QCD analytic perturbation theory: From integer powers to any power of the running coupling // Phys. Rev. D. — 2005. — Т. 72. — С. 074014.

95. Bakulev A. P., Mikhailov S. V., Stefanis N. G. Fractional Analytic Perturbation Theory in Minkowski space and application to Higgs boson decay into a bb pair // Phys. Rev. D. — 2007. — T. 75. — C. 056005. — [Erratum: Phys.Rev.D 77, 079901 (2008)].

96. Bakulev A. P., Mikhailov S. V., Stefanis N. G. Higher-order QCD perturbation theory in different schemes: From FOPT to CIPT to FAPT // JHEP. — 2010. — T. 06. — C. 085.

97. Cvetic G., Valenzuela C. Analytic QCD: A Short review // Braz. J. Phys. — 2008. — T. 38. — C. 371—380.

98. Baikov P. A., Chetyrkin K. G., Kuhn J. H. Order af QCD Corrections to Z and t Decays // Phys. Rev. Lett. — 2008. — T. 101. — C. 012002.

99. Cvetic G., Valenzuela C. Various versions of analytic QCD and skeleton-motivated evaluation of observables // Phys. Rev. D. — 2006. — T. 74. — C. 114030. — [Erratum: Phys.Rev.D 84, 019902 (2011)].

100. Cvetic G., Kotikov A. V. Analogs of Noninteger Powers in General Analytic QCD // J. Phys. G. — 2012. — T. 39. — C. 065005.

101. Kotikov A. V., Zemlyakov I. A. Fractional analytic QCD beyond leading order // J. Phys. G. — 2023. — T. 50, № 1. — C. 015001.

102. Kotikov A. V., Zemlyakov I. A. Fractional analytic QCD beyond leading order in the timelike region // Phys. Rev. D. — 2023. — T. 107, № 9. — C. 094034.

103. Kotikov A. V., Zemlyakov I. A. About Fractional Analytic QCD beyond Leading Order // International Workshop on Elementary Particles and Nuclear Physics. — 07.2022. — arXiv: 2207.01330 [hep-ph].

104. Kotikov A. V., Zemlyakov I. A. About Fractional Analytic QCD //. — 02.2023. — arXiv: 2302.13769 [hep-ph].

105. Shirkov D. V. 'Massive' Perturbative QCD, regular in the IR limit // Phys. Part. Nucl. Lett. — 2013. — T. 10. — C. 186—192.

106. Bjorken J. D. Applications of the Chiral U(6) x (6) Algebra of Current Densities // Phys. Rev. — 1966. — T. 148. — C. 1467—1478.

107. Bjorken J. D. Inelastic Scattering of Polarized Leptons from Polarized Nucleons // Phys. Rev. D. — 1970. — T. 1. — C. 1376—1379.

108. Experimental study of the behavior of the Bjorken sum at very low Q2 /

A. Deur [h gp.] // Phys. Lett. B. — 2022. — T. 825. — C. 136878.

109. Measurements of the proton and deuteron spin structure functions g and g2 / K. Abe [h gp.] // Phys. Rev. D. — 1998. — T. 58. — C. 112003.

110. Measurement of the spin dependent structure function g (x) of the deuteron /

B. Adeva [h gp.] // Phys. Lett. B. — 1993. — T. 302. — C. 533—539.

111. Measurement of the spin structure of the deuteron in the DIS region / E. S. Ageev [h gp.] // Phys. Lett. B. — 2005. — T. 612. — C. 154—164.

112. Measurement of the neutron spin structure function gf with a polarized 3He internal target / K. Ackerstaff [h gp.] // Phys. Lett. B. — 1997. — T. 404. — C. 383—389.

113. Experimental determination of the evolution of the Bjorken integral at low Q2 / A. Deur [h gp.] // Phys. Rev. Lett. — 2004. — T. 93. — C. 212001.

114. Probing Quark-Gluon Interactions with Transverse Polarized Scattering / K. Slifer [h gp.] // Phys. Rev. Lett. — 2010. — T. 105. — C. 101601.

115. Shuryak E. V., Vainshtein A. I. Theory of Power Corrections to Deep Inelastic Scattering in Quantum Chromodynamics. 2. Q4 Effects: Polarized Target // Nucl. Phys. B. — 1982. — T. 201. — C. 141.

116. Balitsky I. I., Braun V. M, Kolesnichenko A. V. Power corrections 1 / Q2 to parton sum rules for deep inelastic scattering from polarized targets // Phys. Lett. B. — 1990. — T. 242. — C. 245—250. — [Erratum: Phys.Lett.B 318, 648 (1993)].

117. Review of Particle Physics / P. A. Zyla [h gp.] // PTEP. — 2020. — T. 2020, № 8. — C. 083C01.

118. Baikov P. A., Chetyrkin K. G., Kuhn J. H. Adler Function, Bjorken Sum Rule, and the Crewther Relation to Order af in a General Gauge Theory // Phys. Rev. Lett. — 2010. — T. 104. — C. 132004.

119. Soffer J., Teryaev O. The Role of g2 in relating the Schwinger and Gerasimov-Drell-Hearn sum rules // Phys. Rev. Lett. — 1993. — T. 70. — C. 3373— 3375.

120. Soffer J., Teryaev O. QCD radiative and power corrections and generalized GDH sum rules // Phys. Rev. D. — 2004. — T. 70. — C. 116004.

121. Burkhardt H, Cottingham W. N. Sum rules for forward virtual Compton scattering // Annals Phys. — 1970. — T. 56. — C. 453—463.

122. Drechsel D., Tiator L. The Gerasimov-Drell-Hearn sum rule and the spin structure of the nucleon // Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. — 2004. — T. 54. — C. 69—114.

123. Soffer J., Teryaev O. V. On the G2 manifestation for longitudinally polarized particles // Phys. Rev. — 1995. — T. D51. — C. 25—31.

124. Schwinger J. S. Source Theory Viewpoints in Deep Inelastic Scattering // Proc. Nat. Acad. Sci. — 1975. — T. 72. — C. 1—5.

125. Teryaev O. Analyticity and higher twists // Nucl. Phys. Proc. Suppl. — 2013. — T. 245. — C. 195—198.

126. Breit G., Wigner E. Capture of Slow Neutrons // Phys. Rev. — 1936. — T. 49. — C. 519—531.

127. Experimental determination of the effective strong coupling constant / A. Deur, V. Burkert, J.-P. Chen, W. Korsch // Phys. Lett. B. — 2007. — T. 650. — C. 244—248.

128. Experimental study of isovector spin sum rules / A. Deur [h gp.] // Phys. Rev. D. — 2008. — T. 78. — C. 032001.

129. Determination of the effective strong coupling constant as,g(i)(Q2) from CLAS spin structure function data / A. Deur, V. Burkert, J. P. Chen, W. Korsch // Phys. Lett. — 2008. — T. B665. — C. 349—351.

130. High precision determination of the Q2 evolution of the Bjorken Sum / A. Deur [h gp.] // Phys. Rev. D. — 2014. — T. 90, № 1. — C. 012009.

131. The Spin-dependent Structure Function of the Proton gi and a Test of the Bjorken Sum Rule / M. G. Alekseev [h gp.] // Phys. Lett. B. — 2010. — T. 690. — C. 466—472.

132. Four-loop QCD analysis of the Bjorken sum rule vs data / V. L. Khandramai, R. S. Pasechnik, D. V. Shirkov, O. P. Solovtsova, O. V. Teryaev // Phys. Lett. — 2012. — T. B706. — C. 340—344.

133. Cut moments approach in the analysis of DIS data / D. Kotlorz, S. V. Mikhailov, O. V. Teryaev, A. Kotlorz // Phys. Rev. D. — 2017. — T. 96, № 1. — C. 016015.

134. Chen J.-P., Deur A., Meziani Z.-E. Sum rules and moments of the nucleon spin structure functions // Mod. Phys. Lett. A. — 2005. — T. 20. — C. 2745—2766.

135. Chen J.-p. Spin sum rules and polarizabilities: results from Jefferson lab //. — 11.2006. — arXiv: nucl-ex/0611024.

136. Ayala C, Pineda A. Bjorken sum rule with hyperasymptotic precision // Phys. Rev. D. — 2022. — T. 106, № 5. — C. 056023.

137. Chetyrkin K. G., Kuhn J. H., Sturm C. QCD decoupling at four loops // Nucl. Phys. B. — 2006. — T. 744. — C. 121—135.

138. Matching-invariant running of quark masses in quantum chromodynamics / H. M. Chen, L. M. Liu, J. T. Wang, M. Waqas, G. X. Peng // Int. J. Mod. Phys. E. — 2022. — T. 31, № 02. — C. 2250016.

139. Burkert V. D., Ioffe B. L. On the Q2 variation of spin dependent deep inelastic electron - proton scattering // Phys. Lett. B. — 1992. — T. 296. — C. 223—226.

140. Burkert V. D., Ioffe B. L. Polarized structure functions of proton and neutron and the Gerasimov-Drell-Hearn and Bjorken sum rules //J. Exp. Theor. Phys. — 1994. — T. 78. — C. 619—622.

141. Light-Front Holographic QCD and Emerging Confinement / S. J. Brodsky, G. F. de Teramond, H. G. Dosch, J. Erlich // Phys. Rept. — 2015. — T. 584. — C. 1—105.

142. Pasechnik R. S., Shirkov D. V., Teryaev O. V. Bjorken Sum Rule and pQCD frontier on the move // Phys. Rev. D. — 2008. — T. 78. — C. 071902.

143. Bjorken sum rule in QCD frameworks with analytic (holomorphic) coupling / C. Ayala, G. Cvetic, A. V. Kotikov, B. G. Shaikhatdenov // Int. J. Mod. Phys. A. — 2018. — T. 33, 18n19. — C. 1850112.

144. Bjorken polarized sum rule and infrared-safe QCD couplings / C. Ayala, G. Cvetic, A. V. Kotikov, B. G. Shaikhatdenov // Eur. Phys. J. C. — 2018. — T. 78, № 12. — C. 1002.

145. Helgason S. The Radon Transform. — Birkhauser, 1980.

146. Tomograms in the quantum-classical transition / V. Man'ko, G. Marmo, A. Simoni, A. Stern, F. Ventriglia // Phys.Lett. — 2005. — Vol. A343. — P. 251-256.

147. Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функций: секвенциальный подход. — Москва : Мир, 1976.