СВЯЗНОСТИ НА СЕМЕЙСТВАХ ЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Кулешов Артур Владимирович

• Кулешов Артур Владимирович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Кулешов Артур Владимирович

0.3 Описание работы

1 СВЯЗНОСТИ НА СЕМЕЙСТВЕ

ЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ

ОБЩЕГО ВИДА

1.1 Деривационные формулы и структурные

уравнения проективного пространства

1.2 Уравнения семейства центрированных плоскостей

1.3 Ассоциированные связности на многообразии Вг

1.4 Композиционное оснащение семейства Вг

1.5 Связки и пучки индуцированных связностей

1.6 Индуцированные связности

1.7 Геометрическая интерпретация плоскостной и нормальной линейных подсвязностей при помощи центральных проектирований

1.8 Тензор параллелизма

1.9 Интерпретация индуцированных центропроективных связно-стей при помощи параллельных перенесений нормали 2-го рода

1.10 Интерпретация индуцированных аффинно-групповых связ-ностей при помощи параллельных перенесений нормали 1-го рода

1.11 Параллельное перенесение плоскости Картана в линейной комбинации связки фундаментально-групповых связностей

1.12 Параллельное перенесение плоскости Картана в фундаментально-групповой связности

1.13 Тензоры кривизны индуцированных связностей

1.14 Плоские связности

2 СВЯЗНОСТИ НА ГРАССМАНОВОМ РАССЛОЕНИИ НАД ПОВЕРХНОСТЬЮ

В ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

2.1 Поверхность в проективном пространстве

2.2 Оснащения поверхности Sn

2.3 Грассманово расслоение над поверхностью £п

2.4 Фундаментально-групповая связность, ассоциированная с грас-смановым расслоением

2.5 Нормализация 1-го рода и композиционное оснащение грас-сманова расслоения BS

2.6 Индуцированная связность П на грассмановом расслоении BS

3 ВНУТРЕННИЕ СВЯЗНОСТИ НА ТРИ-РЕГУЛЯРНОМ СЕМЕЙСТВЕ ГИПЕРПЛОСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ

3.1 Семейство гиперплоских элементов

3.2 Метод редукции подвижного репера семейства в

3.3 Уравнения семейства в в репере нулевого порядка

3.4 Уравнения регулярного семейства в в репере первого порядка

3.5 Редукция расслоения реперов ^(в)

3.6 Внутренние конструкции: структура

почти произведения и связности на три-регулярном семействе в

ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ

§ 0.1 Исторический обзор

Начало теории связностей было положено работой Т. Леви-Чивита [80] о параллельном перенесении вектора в римановом пространстве, что позволило геометрически интерпретировать абсолютное дифференциальное исчисление Г. Риччи-Курбастро. Эта идея нашла важные приложения в общей теории относительности (ОТО) и была обобщена в разных направлениях в работах Г. Вейля [83], Я.А. Схоутена [81] и др.

Работы Э. Картана [1] в 20-х годах прошлого столетия, также выполненные под влиянием ОТО, имели своей целью распространение Эрланген-ской программы Ф. Клейна на "обобщенные пространства иначе называемые пространствами со связностями [82]. В 1923 - 1925 гг. он опубликовал работы о геометрии пространств аффинной, проективной и конформной связности (см. русский перевод [15]). Свои результаты Э. Картан получил, применяя разработанное им исчисление внешних дифференциальных форм в сочетании с методом подвижного репера Г. Дарбу [63].

Задача классификации и описания с глобальной точки зрения всех связностей, открытых в первой половине XX в., была окончательно решена Ш. Эресманом с помощью введенного им понятия локально тривиального расслоения со структурной группой Ли [77]. Глобальная формулировка связности у Эресмана развивалась дальше в работах А. Лихнеровича [41],

К. Номидзу [48], Ш. Кобаяси [79] и др. Независимо от Эресмана общее понятие связности в расслоенном пространстве ввел В.В. Вагнер [7]. Изложение Вагнера является локальным и выполнено классическими методами. Глубокое развитие этих результатов было дано Г.Ф. Лаптевым [38] в 1953 г. На основе исчисления Э. Картана и теории геометрических объектов В.В. Вагнера [8] он предложил теоретико-групповой метод и применил его к решению задачи построения инвариантной проективно-дифференциальной геометрии гиперповерхности. Характерной особенностью этого метода является исследование последовательности полей геометрических объектов, возникающих из поля исходного фундаментального объекта при помощи операции продолжения полей и теоретико-групповой операции охвата.

Одновременно с развитием общей теории погруженных многообразий Г. Ф. Лаптев изучал пространства с фундаментально-групповой связностью. Связности в расслоенных пространствах строились им как при помощи отображений бесконечно близких слоев расслоения [40], так и с помощью некоторого объекта, называемого объектом связности [39]. Таким образом, понятие связности, возникшее в дифференциальной геометрии как обобщение понятия параллельного перенесения, позже стало отождествляться с понятием геометрического объекта специального вида.

Наряду с теорией связностей в главных расслоениях создается теория связностей в более общих однородных расслоениях. Связность в однородном расслоении вводится Ю.Г. Лумисте [43, 44] как дифференцируемое распределение, удовлетворяющее некоторым дополнительным условиям. Нелинейные связности (в широком смысле) аппаратом, разработанным Г. Ф. Лаптевым, исследовал Л. Е. Евтушик [11].

Первые применения теории связностей к проективно-дифференциальной

геометрии дали Е. Бортолотти [75] и Э. Картан [76]. Э. Бортолотти реализовал проективную связность на оснащенных семействах многомерных плоскостей. В его исследованиях под оснащением семейства понимается сопоставление каждой его т-мерной плоскости Ь некоторой (п — т — 1)-мерной плоскости Вп—т—\(Ь), не имеющей общих точек с плоскостью Ь. Идея, предложенная Картаном, аналогична и состоит в том, что каждой точке поверхности Бт в проективном пространстве Рп сопоставляется (п — т — 1)-мерная плоскость Сп—т—\(А), не пересекающая касательную плоскость Тт(А) данной поверхности. Тогда на оснащенной таким образом поверхности Бт возникает проективная связность, инфинитезимально определяемая проектированием из плоскости Сп—т—\(А).

Вообще, под оснащением подмногообразия понимается процесс присоединения к его образующему элементу некоторых дополнительных геометрических образов в объемлющем однородном пространстве. Полученная таким образом связность называется индуцированной заданным оснащением.

А.П. Норденом [49] был разработан метод нормализации, позволяющий на поверхности Бт С Рп индуцировать две аффинные связности без кручения — касательную и нормальную. Основной идеей этого метода является сопоставление каждой точке А € Бт двух плоскостей:

1) (п — т)-мерной плоскости Ып—т(А), проходящей через точку и не имеющей с касательной плоскостью Тт(А) других общих точек (нормаль 1-го рода);

2) (т — 1)-мерной плоскости Ыт—\(А), расположенной в касательной плоскости Тт(А) и не проходящей через точку (нормаль 2-го рода).

На самом деле, нормализация А.П. Нордена позволяет индуцировать

более широкие фундаментально-групповые связности [70].

Благодаря работам А.В. Чакмазяна [64-66] многие, ставшие уже классическими, объекты исследования (нормализация Нордена, фокусные образы конгруэнций плоскостей, расслояемое подмногообразие т-пар, тангенциально вырожденное подмногообразие, двойственная нормализация, сопряженные системы, сети и др.) были объединены с такими более новыми понятиями, как связность в нормальном расслоении, параллельность подрасслоения и другие. В результате теория подмногообразий евклидова и неевклидовых пространств приняла более стройный вид.

А.М. Шелехов в работе [71] подчеркивает роль аффинной связности в классификации многомерных три-тканей.

Проблема инвариантного построения геометрии многообразия, образующим элементом которого является фигура, отличная от точки исходного пространства, давно интересовала геометров [46]. Имеется много работ по теории семейств плоскостей в классических многомерных пространствах (см., напр., обзор [10]). Ю.Г. Лумисте [42] удалось построить глубокую и развернутую теорию различных оснащений произвольных семейств плоскостей, включавшую в себя как частный случай оснащение Бортолотти. Для некоторых классов таких подмногообразий Ю.Г. Лумисте указал внутренние оснащения. Задачей построения внутренних оснащений гиперкомплекса прямых С( 1, п, 2п — 3) занимались К.И. Гринцевичюс и В.И. Близ-никас [3]. Отметим, что К.И. Гринцевичюс первый применял теоретико-групповой метод Г.Ф. Лаптева для систематических исследований линейчатых многообразий как трехмерного, так и многомерного проективного пространства [4].

Теория линейчатых поверхностей и семейств линейных фигур в клас-

сических многомерных пространствах получила значительное развитие в трудах Р.Н. Щербакова, Е.Т. Ивлева и других представителей томской геометрической школы [72].

В работе [56] Н. М. Остиану методом Г. Ф. Лаптева свела задачу построения внутреннего оснащения произвольного семейства плоскостей в п-мерном проективном пространстве к нахождению нетривиального относительного инварианта. Геометрия распределения т-мерных линейных элементов (т.е. центрированных плоскостей) в п-мерном пространстве проективной связности с кривизной и кручением развита в работе Г. Ф. Лаптева и Н. М. Остиану [40]. Э. Г. Нейфельдом задавались аффинные связности в нормализованном пространстве т-плоскостей [47].

В многомерном проективном пространстве Ю. И. Шевченко изучал структуру оснащений погруженных многообразий. С помощью понятия ковари-антного дифференциала геометрического объекта относительно связности ему удалось дать геометрические интерпретации нелинейным связностям в узком смысле, а также линейной комбинации связности на поверхности проективного пространства [68]. Также он показал [67], что оснащение Бор-толотти многообразия плоскостей и композиционное оснащение многообразия центрированных плоскостей позволяют задать связности в соответствующих ассоциированных расслоениях. К.В. Полякова [58] изучала параллельные перенесения на поверхности проективного пространства, рассматриваемой как многообразие точек и многообразие касательных плоскостей. Параллельные перенесения в линейных связностях она описала с помощью проективно-ковариантных дифференциалов. О.О. Белова [2] рассмотрела связности на многообразии Грассмана и пространстве центрированных плоскостей. Связности, индуцированные композиционным осна-

щением распределения плоскостей, рассматривались в работах О.М. Оме-льян [51-53].

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «СВЯЗНОСТИ НА СЕМЕЙСТВАХ ЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ»

§ 0.2 Общая характеристика работы

Предметом исследования настоящей диссертации являются индуцированные связности на семействах центрированных плоскостей в проективном пространстве. Работа относится к исследованиям в области дифференциальной геометрии, осуществляется методом Картана - Лаптева, который опирается на метод подвижного репера и исчисление внешних дифференциальных форм Э. Картана [12,57,73,78,82]. Методика, разработанная в диссертации, позволяет с единой точки зрения изучать индуцированные связности различных типов, возникающие на произвольных композиционно оснащенных семействах центрированных т-мерных плоскостей.

Актуальность темы. Теория связностей в главных расслоениях занимает важное место в современной дифференциальной геометрии. Эта теория применяется в различных разделах математики и физики, например, в теории калибровочных полей [9,18,45]. Основную роль при реализации связностей на многообразиях, погруженных в однородные или обобщенные пространства, играют оснащения. Исследованию связностей, индуцированных различными оснащениями погруженных многообразий, положено начало в работах Э. Картана, Э. Бортолотти, А.П. Нордена, Г.Ф. Лаптева. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах Ю.Г. Луми-сте, А.В. Столярова, В.И. Близникаса, Л.З. Круглякова, Р.Н. Щербакова и др. Фундаментально-групповые связности на поверхности в проективном пространстве были исследованы Ю.И. Шевченко [68-70] и К.В. Поляковой [58], в пространстве центрированных плоскостей и на грассмано-

подобном многообразии — О.О. Беловой [2], на распределении плоскостей — О.М. Омельян [51], [52], [53]. В силу того, что каждое из этих многообразий можно рассматривать как семейство центрированных плоскостей, имеющее определенный вид, особую актуальность приобретает переход к изучению произвольного гладкого семейства таких фигур. Это дает возможность: 1) построить общую теорию индуцированных связностей на семействах центрированных плоскостей, которая, в частности, позволит объяснить наблюдающиеся случаи совпадения результатов, независимо полученных для различных семейств; 2) обобщить полученные ранее результаты для конкретных семейств на более широкие классы семейств центрированных плоскостей; 3) получить новые результаты, ранее не встречавшиеся в исследованиях, указанных выше.

Среди разнообразных математических конструкций выделяются естественные конструкции, характеризующиеся тем, что они не содержат никаких элементов произвола. Поэтому одной из основных задач в теории связ-ностей является задача нахождения естественной конструкции для связности на погруженном многообразии. Полученную таким образом связность будем называть внутренней, или связностью, построенной внутренним образом. Такая связность должна определяться (порождаться) самим погруженным многообразием и не требовать привлечения никаких дополнительных структур. С аналитической точки зрения задача построения внутренней связности на погруженном многообразии сводится к построению геометрического объекта, охваченного фундаментальным объектом некоторого порядка данного многообразия.

Когда структура оснащения, индуцирующего заданную связность, выяснена, задача построения связности внутренним образом сводится к по-

строению внутреннего оснащения. Поэтому построение внутренних оснащений является одной из основных задач дифференциальной геометрии погруженных многообразий [56]. Эта задача решена лишь в ряде конкретных случаев, таких, например, как невырожденная гиперповерхность [38] и регулярная гиперполоса [61]. Оба указанных многообразия являются примерами семейств гиперплоских элементов. Поэтому приобретает актуальность задача распространения указанных выше результатов на случай произвольного семейства данного вида.

Цель работы. Целью настоящей работы является построение общей теории фундаментально-групповых связностей на семействах центрированных плоскостей в проективном пространстве. Данное исследование включает в себя:

1) разработку универсального способа индуцирования связностей в главных расслоениях, ассоциированных с произвольным семейством центрированных плоскостей;

2) геометрическую характеристику индуцированных связностей, их пучков и связок;

3) изучение объектов кривизны построенных связностей;

4) приложение разработанной методики к исследованию связностей на семействах специального вида;

5) построение связностей, присоединенных к семейству внутренним образом.

Научная новизна результатов. Результаты работы являются новыми и состоят в следующем.

1) Построена трехпараметрическая связка Г(£, п, С) многопараметрических пучков индуцированных фундаментально-групповых связностей, а

также однопараметрические связки пучков центропроективных Гх(£) и аффинно-групповых Г2(п) подсвязностей на семействе центрированных плоскостей в проективном пространстве. Из каждого пучка этой связки выделены связности, также образующие трехпараметрическую связку. Этот результат стал возможен благодаря применению нового приема охвата объектов связностей, состоящего в использовании инвариантных соотношений между ковариантными производными оснащающего объекта, их линейными комбинациями и тензорами подвижности. Ранее каждая новая связность или пучок связностей строились независимо от уже построенных.

2) Описаны параллельные перенесения оснащающих плоскостей в пучках построенных связок и выявлены особенности этих перенесений в зависимости от типа пучка.

3) Дана геометрическая характеристика линейных подсвязностей при помощи центральных проектирований.

4) Показано, что объекты кривизны фундаментально-групповых связно-стей различных типов выражаются через тензоры подвижности, что позволило выявить зависимость между специализацией оснащения семейства и вырождением этих тензоров.

5) Дано аналитическое описание грассманова расслоения на поверхности в проективном пространстве и главного расслоения, ассоциированного с этим многообразием. Выяснена структура оснащения этого многообразия, индуцирующая пучок фундаментально-групповых связностей. Показано, что задание аффинной связности в пространстве центропроективной структуры позволяет выделить связность из этого пучка.

6) Решена задача построения внутреннего оснащения и внутренних связ-ностей на семействе в гиперплоских элементов.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретическое значение. Полученные в ней результаты и разработанные методы исследования могут быть использованы при изучении дифференциальной геометрии конкретных семейств фигур в однородных и обобщенных пространствах. Выполненная работа может использоваться при чтении спецкурсов, а также для написания курсовых, дипломных и магистерских работ в Балтийском федеральном университете имени И. Канта.

Апробация. Основные результаты диссертации были представлены на следующих конференциях и семинарах: математический семинар БФУ имени И. Канта (2008-2013); международные молодежные научные школы-конференции "Лобачевские чтения"(Казань, 2008, 2011, 2012, 2013); геометрический семинар Казанского (Приволжского) федерального университета (2010), Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс"(Новосибирск, 2011); международный геометрический семинар имени Г.Ф. Лаптева "Лаптевские чтения"(Пенза, 2011, 2013, 2015); семинар по теории дифференциально-геометрических структур (Москва, 2011); конференция с международным участием "Геометрия многообразий - 2012"(Улан-Удэ, 2012); международная конференция "ЛСМР-8"(Брно, 2012), Международная конференция "Дни геометрии в Новосибирске"(Новосибирск, 2015).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 19 работ, в том числе 8 статей: [24], [25], [28], [30], [33], [32], [35], [37] и тезисы 11 докладов, сделанных на конференциях: [19], [21], [20], [22], [23], [26], [29], [27], [31], [34], [36].

Вклад автора в разработку проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные работы сделаны

без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения (исторический обзор, общая характеристика работы, краткое содержание работы), трех глав, приложения и списка использованной литературы, включающего 82 наименования. Полный объем работы — 110 страниц машинописного текста.

§ 0.3 Описание работы

В настоящей работе рассматриваются семейства центрированных плоскостей в многомерном проективном пространстве.

Обозначения в работе в основном взяты из [70]. Суммирование производится по правилу Эйнштейна. Для двух плоскостей М, N С Рп неотрицательной размерности (нульмерная плоскость — это точка) их проективную оболочку будем обозначать через [М, N. Если при этом плоскости М и N не пересекаются, то будем использовать обозначение М 0 N. Запись О(Б) означает главное расслоение с базой Б и структурной группой О. Многообразие Грассмана всех т-мерных плоскостей проективного пространства Рп обозначается 0(т, п).

Вводимые функции и отображения предполагаются гладкими. Все рассмотрения носят локальный характер.

В главе 1 исследуется семейство центрированных плоскостей Бг общего вида как г-мерное многообразие пар (А, Ьт) в п-мерном проективном пространстве Рп, образованных точкой А и проходящей через нее плоскостью Ьт, ё,гтЬт = т. Размерность г семейства может быть в пределах 1 < г < т(п — т) + п.

§ 1.1 носит вспомогательный характер. В нем вводятся в рассмотрение

структурные уравнения проективного пространства.

В § 1.2 семейство Вг задается параметрическими уравнениями, выражающими главные формы ша, ша, семейства через структурные фор-

мы 0г пространства параметров (а, Ь, ... = 1, т; а, в, ... = т + 1, п;

%,2,... = 1, г. Находятся уравнения фундаментального объекта 1-го порядка Л = {Ла, Ла, Л^} семейства Вг. Над этим семейством как над базой возникает главное расслоение Оа(Вг), структурной группой Оа (в = п(п + 1) — т(п — т)) которого является подгруппа стационарности образующего элемента (А, Ьт). Найдены структурные уравнения данного расслоения. Показано, что оно имеет четыре фактор-расслоения: 1) расслоение плоскостных линейных реперов; 2) расслоение нормальных линейных реперов; 3) расслоение центропроективных реперов; 4) расслоение аффинно-групповых реперов.

В главном расслоении С3(ВГ) приемом Ю.Г. Лумисте задается фундаментально групповая связность по Г.Ф. Лаптеву с помощью поля объекта связности

(§ 1.3)

г = !га Га Г ■ Га Г 1

г = {Г ьг, Г вг, Г аг, Г аг, Г аг}.

Показано, что объект г содержит 2 простейших и 2 простых подобъекта: 1) Гаг — объект плоскостной линейной связности; 2) Г^ — объект нормальной линейной связности; 3) Г1 = {Гаг, Гаг} — объект центропроективной связности; 4) Г2 = {Гаг, Г^, Гаг} — объект аффинно-групповой связности. Объект кривизны Я связности Г является тензором, содержащим 2 простейших и 2 простых подтензора.

В § 1.4 произведено композиционное оснащение семейства Вг полями аналогов нормалей 2-го рода А.П. Нордена Мт—1 и плоскостей Э. Картана Сп—т—1. Аналитически оно задается полем квазитензора Л = {Ла, \аа, Аа},

названного оснащающим квазитензором. При этом объект Л', состоящий из пфаффовых производных квазитензора Л, образует геометрический объект лишь в совокупности с объектами Л и Л. Плоскость Nn-m = Cn-m-1 0 A является аналогом нормали 1-го рода А.П. Нордена, порожденной плоскостью Э. Картана, а плоскость Pn-1 = Nm-10Cn-m-1 — аналогом гиперплоскости Э. Бортолотти, натянутой на плоскость Э. Картана и нормаль 2-го рода А.П. Нордена. Дифференциалы точки A и базисных точек оснащающих плоскостей разложены по самим этим точкам, причем коэффициенты в этих разложениях M®, Л", M®, tai, í^, tai образуют тензоры. Равенство нулю подтензора Ла фундаментального тензора Л характеризует семейства Br, у которых центр A плоскости L*m смещается в ней же. Обращение тензора Ma в нуль характеризует такие оснащенные семейства Br, у которых центры плоскостей L*m смещаются вдоль соответствующих нормалей 1-го рода Nn-m. Обращение в нуль тензора Maai выделяет семейства, у которых нормали Nm-i смещаются в соответствующих плоскостях Lm. Случаи обращения в нуль тензоров íai, tai, íai геометрически характеризуются соответствующими специальными смещениями оснащающих плоскостей, при этом никаких ограничений на само семейство Br не накладывается. Рассматривая разности между компонентами объектов индуцированных связ-ностей на поверхности, К.В. Полякова [58] вводит тензоры деформации. На наш взгляд, их лучше называть тензорами подвижности оснащающих плоскостей.

В § 1.5 рассматриваются ковариантные производные УДа, V^a, оснащающего квазитензора относительно связности Г, а также строится тензор Tai их линейных комбинаций. Инвариантные соотношения между

ними и тензорами подвижности:

Vi^a = , Vi\аа = n^ai, Tai = Ctai,

содержащие числовые параметры £, n, Z, выделяют трехпараметрическую связку пучков фундаментально-групповых связностей

гк, n, z ) = {rai, rai, ^ ), rai(n), ^ n, z )}.

Эта связка содержит центропроективную Г1 (£) = {Г^, rai(£)} и аффинно-групповую г2(п) = {rai, rai, rai(n)} подсвязки.

При помощи охватов компонент rai и Г^ из связки пучков Г(£, n, Z) вы-

0

делена трехпараметрическая связка индуцированных связностей Г (£, n, Z) (§ 1.5). Показано, что совпадение построенных связностей обусловлено специализацией композиционного оснащения семейства Br.

В § 1.6 дана геометрическая характеристика индуцированным плоскост-

0 0 0 ной и нормальной линейных подсвязностей rai и Г^. Связность Гai геометрически характеризуется проекцией на нормаль 2-го рода Nm-1 смежной с ней нормали Nm-1 + dNm-1 из центра — нормали 1-го рода Nn-m:

4 Nm-1 + dNm-1 —m Nm-1.

0

Связность Г% интерпретируется проекцией на плоскость Картана Cn-m-1 смежной с ней плоскости Cn-m-1 + dCn-m-1 из центра — плоскости Lm:

0 т

Га • C + dC \ C

Г fli: Cn—m—1 + dCn—m—1 f Cn—m—1.

Параграфы 1.7 - 1.12 посвящены интерпретации построенных связностей и их центропроективных и аффинно-групповых подсвязностей. Для этой цели построены невырожденные, свободно вырожденные и связанно вырожденные параллельные перенесения оснащающих плоскостей в соответствующих пучках связностей. Условия существования введенных параллельных перенесений представляют собой соотношения на ранги матриц

тензоров подвижности. При помощи этих условий получен произвол существования каждого конкретного параллельного перенесения, иначе говоря, размерность подпространства параллельности.

В § 1.13 найдены выражения компонент тензоров кривизны индуци-

0

рованных связностей из трехпараметрической связки Г (£, П, С), а также условия их совпадения для различных индуцированных центропроектив-ных, аффинно-групповых и фундаментально-групповых связностей.

В § 1.14 рассматриваются плоские связности, т.е. связности с нулевым

тензором кривизны. Найдены пять достаточных условий для того, чтобы

0

каждая связность из трехпараметрической связки Г (£, П, С) была плоской.

В главе 2 рассматривается грассманово расслоение центрированных плоскостей, представляющее собой объединение центрированных многообразий Грассмана во всех касательных плоскостях некоторой поверхности Sp в проективном пространстве. Параграф § 2.1 носит обзорный характер, в нем излагаются основные сведения о поверхности в многомерном проективном пространстве, необходимые в дальнейшем. В § 2.2 рассматриваются различные оснащения поверхности: нормализация 1-го и 2-го рода, а также поднормализация 1-го рода. Показано, что нормализация 1-го рода поверхности индуцирует поднормализацию 1-го рода, а поднормализация 1-го рода вместе с нормализацией 2-го рода индуцирует аффинную связность Г^к в расслоении касательных линейных реперов Ь(5П).

В § 2.3 рассматривается семейство центрированных плоскостей, представляющее собой объединение центрированных многообразий Грассмана Ог*(т, п) во всех касательных плоскостях Тп поверхности. Над семейством как над базой возникает главное расслоение (Б$), структурной группой которого является подгруппа стационарности образующего элемента

семейства внутри соответствующей касательной плоскости поверхности. В расслоении (Б^) задается связность П, и выводятся уравнения на компоненты объекта, задающего эту связность. (§ 2.4). Оснащениям многообразия посвящен параграф § 2.5. Композиционное оснащение семейства Б$, индуцированное нормализацией 1-го рода многообразия вместе с нормализацией 2-го рода поверхности 5П, названо Ж-индуцированным. В § 2.6 показано, что композиционное оснащение многообразия сводит фундаментально-групповую связность П к плоскостной П и нормальной П2 линейным подсвязностям, иначе говоря, индуцирует в главном расслоении С(Б$) многопараметрический пучок фундаментально-групповых связностей П. При этом нормализация 1-го рода многообразия вместе с аффинной связностью Г^к поверхности Sn индуцируют плоскостную П

и нормальную П2 линейные связности, что позволяет выделить из постро-

0

енного пучка фундаментально-групповую связность П.

В главе 3 в многомерном проективном пространстве рассматривается семейство в гиперплоских элементов. В § 3.1 даются необходимые определения и ставится задача построения композиционного оснащения данного семейства внутренним инвариантным образом. Решение данной задачи основано на редукции расслоения реперов, адаптированных данному семейству (§ 3.2). В §§ 3.2 - 3.5 изложено пошаговое описание этой процедуры. При этом производится аналитическая канонизация репера, основанная на систематическом применении леммы Н.М. Остиану. В § 3.6 указаны два приложения полученного результата. Во-первых, в специальном случае найдена каноническая структура почти произведения на семействе. Во-вторых, в общем случае к семейству в внутренним образом присоединены две линейные связности и получены выражения их тензоров кривизны.

Глава 1

СВЯЗНОСТИ НА СЕМЕЙСТВЕ ЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ ОБЩЕГО ВИДА

§ 1.1 Деривационные формулы и структурные уравнения проективного пространства

Пусть К — поле характеристики нуль. Проективное пространство Рп размерности п можно получить факторизацией множества Ь* ненулевых векторов (п + 1)-мерного векторного пространства Ьп+1(К) по отношению эквивалентности, относящему в один класс коллинеарные векторы. Таким образом, точкой А проективного пространства Рп является линейная оболочка некоторого вектора е € Ь* без нулевого вектора. При этом А € Рп часто называют геометрической точкой, а е — аналитической точкой, представляющей точку А.

Замечание. В следующих параграфах аналитическую и геометрическую точки будем обозначать одинаково, имея в виду, что в формулах фигурируют аналитические точки, а в рассуждениях — соответствующие геометрические точки.

Каждый элемент группы СЬ(п + 1) порождает некоторое проективное преобразование пространства Рп. При этом два элемента ф, ф' € СЬ(п + 1)

определяют одно и то же преобразование тогда и только тогда, когда существует Л € К такое, что ф' = Лф. Поэтому группа ОЬ(п + 1) не является эффективно действующей на Ьп+\: ядро ее неэффективности состоит из всех гомотетий, т.е. преобразований вида Ле, где е — единица группы ОЬ(п+1). Легко видеть, что данное множество является центром 2 группы ОЬ(п + 1). Факторгруппа ОР(п) = ОЬ(п + 1)/2 называется группой проективных преобразований на Рп. Эту группу также называют проективной группой, или группой коллинеаций. В качестве представителя класса смежности в факторгруппе ОР(п) всегда можно выбрать линейный оператор ф с |^е£(Ф)| = 1, где Ф — матрица этого оператора относительно некоторого базиса пространства Ьп+\. При этом для четных п = 2т получаем изоморфизм со специальной линейной группой: ОР(2т) ~ БЬ(2т + 1). Для нечетных п связная компонента единицы ОРе(п) группы ОР(п) изоморфна группе БЬ(п + 1), профакторизованной по дискретному нормальному делителю С2 = {е, —е}: ОРе(п) ~ БЬ(п + 1)/С2. Итак, группы ОР(п) и БЬ(п +1) локально изоморфны при любом п, а потому их алгебра Ли одна и та же — в1(п + 1). Группа ОР(п) действует на Рп эффективно [13].

Замечание. Для нечетных п в комплексном случае связная компонента единицы ОРе (п) группы ОР(п) совпадает с самой ОР(п), а в вещественном случае ОР(п) имеет две диффеоморфные компоненты связности, одна из которых - ОРе(п).

Проективным репером Я в пространстве Рп размерности п называется класс эквивалентных базисов {ег} (I' = 0, 1, ...п) пространства Ьп+\, таких, что существует гомотетия, переводящая один из них в другой. Он может быть отождествлен с системой, состоящей из п +1 точки А1 / € Рп, и единичной точки Е € Рп общего положения. В пространстве Ьп+\ точкам

А// соответствуют линейно независимые векторы е//, а вектор е = е0 + е1 + ... + еп соответствует точке Е. Эти векторы определяются с точностью до общего множителя. Отсюда следует, что семейство проективных реперов зависит от п2 + 2п параметров. Будем предполагать, что единичная точка Е задана вместе с базисными точками А//, хотя не будем упоминать ее каждый раз.

Следуя [16] и [63], нормируем базис в Ьп+1, т.е. в семействе базисов этого пространства выделим некоторую орбиту группы 5Ь(п + 1). Тогда точечному реперу {А//} будет соответствовать единственный базис из данной орбиты.

Деривационные формулы и структурные уравнения подвижного репера {е//} в Ьп+1 имеют вид

¿е// = вр ер/, ^ = вК Л .

где вр — левоинвариантные линейные дифференциальные формы на группе СЬ(п + 1). Соответствующие формулы для репера {А//} в Рп имеют аналогичный вид

¿А// = вр Ар/, (1.1.1)

¿в// = вК Л вК/, (1.1.2)

причем в силу нормировки базиса они дополняются соотношением, называемым условием эквипроективности

во + в; +... + вп = о. (1.1.3)

Уравнения (1.1.2), (1.1.3) называют уравнениями структуры проективного пространства Рп. В работе [70] показано, что аналитический аппарат (1.1.1), (1.1.2), (1.1.3) обладает существенным недостатком: при его ограни-

чении на подпространства Рт С Рп структурные уравнения соответствующих групп преобразований 5Ь(т + 1) непосредственно не получаются. Следуя данной работе, а также [15] и [17], построим другой аппарат, лишенный отмеченного недостатка.

Рассмотрим формы

= р - /во. (1.1.4)

Выделим значение 0 индексов 7' и 7' и запишем формы (1.1.4) в виде:

X = в0, = в/ - рв0, ¡/ = в0 К = 0); 7,7 = 1, п. (1.1.5)

Тогда деривационные формулы (1.1.1) подвижного репера Я принимают вид

¿А0 = вА0 + ^/А/, (¿А^г = вА/ + ¡/Ар + ¡А0, (1.1.6)

где в = в0, а из (1.1.2) получаем структурные уравнения [15] на формы (1.1.5):

¿¡х^ = ¡х7 Л ¡х^, = ¡¡/ Л ,

' ' (1.1.7)

= ¡к Л ¡К+/хК Л ¡к + Л ¡¡Л § 1.2 Уравнения семейства центрированных плоскостей

Определение 1.2.1. Центрированной т-мерной плоскостью Ьт = (Ьт, А), 1 ^ т < п пространства Рп называется т-мерная плоскость Ьт С Рп с выделенной на ней точкой А (называемой центром плоскости).

Различные семейства центрированных плоскостей рассматривались во многих работах, например, в [2,5,6,14,40,67].

Определение 1.2.2. Гладкое г-мерное многообразие, образующим элементом которого является центрированная плоскость, назовем семей-

ством центрированных плоскостей и будем обозначать Вг, где 1 ^ г ^ т(п — т) + п (см. [5, 24, 25, 67]).

Замечание. Семейство Вг можно рассматривать как образ произвольного г-мерного многообразия Уг при гладком регулярном отображении в пространство всех центрированных т-плоскостей В(т, п) проективного пространства Рп. Многообразие Уг будем называть пространством параметров семейства Вг.

Произведем специализацию подвижного репера

Я = {А0, Аа, Аа}, (а, Ь, ... = 1,т; а, в, ... = т + 1, п),

помещая вершину А0 в центр А плоскости Ь*т, а вершины Аа — на плоскость Ьт. Система уравнений семейства Вг в параметрической форме имеет вид:

иа = лавг, иа = Ла вг, ^ = л,гвг, ъ,з,... = 1,г, (1.2.1)

где формы Пфаффа вг являются структурными формами г-мерного гладкого многообразия Уг и удовлетворяют уравнениям ё,вг = в1 Л в1. Продолжая систему уравнений (1.2.1) с учетом (3.3.2), получим

дла+ЛХ = Л°.в1, дла = Л§в1, дл- — л^, = Л«,.в1; (1.2.2)

л1 = 0, л [31] = —■лал1 лаи = 0, I1.2.3)

где, например,

дл аг = ^л аг+л^?—л^а—л а в1.

Объект л = {л,, л-, лаг} назовем фундаментальным объектом 1-го порядка семейства Вг, заданного параметрическими уравнениями (1.2.1). Из уравнений (1.2.2) следует

Утверждение 1.2.1. Фундаментальный объект Л = {А®, Л®, Л^} образует тензор, содержащий 3 подтензора {Л"}, {Л®, Л"}, {Л", Лаг}.

С многообразием Бг ассоциировано главное расслоение С5(БГ) со структурными уравнениями

¿вг = в] Л в],

¿¡а = ¡с л ¡а+в* л ,

= ¡в Л + в* Л

¿¡а = ¡а л ¡а+¡в л ¡а+в* л

¿¡а = ¡а Л ¡6 + в* Л ¡а*, ¿¡а = ¡а Л ¡в + ¡а Л ¡а,

(1.2.4)

(1.2.5)

(1.2.6)

(1.2.7)

(1.2.8) (1.2.9)

где

¡а* = лк - ¿а (ла^+л^с) - Ла^ь, ¡а = -л>а - ¿?(Л?¡7+ла^) - ла^,

^ - ¿в' ¡аг = ^¡а,

¡а» = ла^а.

Базой этого расслоения является само многообразие Бг, а структурной группой — в-членная подгруппа стационарности плоскости Ьт, где в = п(п + 1) - т(п - т). Уравнения группы получаются из (1.2.4) - (1.2.9) фиксацией главных параметров:

¿^а = пс л па,

¿па = пв л па, ¿па=па л па+пв л па,

¿па = па Л пь, ¿па = пв Л пв + па Л па,

(1.2.10) (1.2.11) (1.2.12)

(1.2.13)

(1.2.14)

где п = ш|^=с.

Расслоение С3(ВГ) имеет 2 простейших и 2 простых фактор-расслоения:

1) расслоение Ьт2 (Вг) плоскостных линейных реперов со структурными уравнениями (1.2.4), (1.2.5), тотальным пространством которого является семейство базисов касательных векторных пространств ТА(Ьт) к элементам Ь*т Е Вг в их центрах, а структурная группа — линейной факторгруппой Ьт2 = ОЬ(т) группы Оа с уравнениями (1.2.10);

2) расслоение Ь(п—ту (Вг) нормальных линейных реперов со структурными уравнениями (1.2.4), (1.2.6), тотальным пространством которого является семейство базисов векторных фактор-пространств ТА(Рп)/ТА(Ьт), Ьт Е Вг, структурная группа которого являются линейной фактор-группой Ь(п—т)2 = СЬ(п — т) группы Оа с уравнениями (1.2.11);

3) расслоение Ст(т+1)(ВГ) центропроективных реперов со структурными уравнениями (1.2.4), (1.2.5), (1.2.8), тотальным пространством которого является семейство центропроективных реперов элементов Ь*т Е Вг и структурной группой — центропроективной фактор-группой Ст(т+1) с уравнениями (1.2.10), (1.2.13);

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кулешов Артур Владимирович, 2016 год

Литература

1. АкивисМ. А., Розенфельд Б.А. Эли Картан (1869 - 1951). М.: МЦН-МО, 2007. 328 с.

2. Белова О. О. Связности в расслоениях, ассоциированных с многообразием Грассмана и пространством центрированных плоскостей // Фундам. и прикл. мат. 2008. Том 14, №2. С. 29 - 67.

3. БлизникасВ. И. Некоторые вопросы геометрии гиперкомплексов прямых // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ АН СССР. М., 1974. Т. 6. С. 43 -111.

4. БлизникасВ. И., Вашкас,П.И., Лупейкис, З. Ю., Шинкунас, Ю. И. Обзор научных работ К.И. Гринцевичюса, Тр. Геом. семин., 1974, Т. 5, С. 7-53.

5. Бондаренко Е. В. Связности на многообразии центрированных плоскостей в проективном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2000. Вып. 31. С. 12 - 16.

6. Бочилло Г. П. К дифференциальной геометрии т-распределений на многообразии всех гиперплоских элементов п-мерного проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 14. Калининград, 1983. С. 18 - 23.

7. Вагнер В. В. Теория составного многообразия // Тр. семин. по век-торн. и тензорн. анализу. 1950. 8, С. 11 - 72.

8. Вагнер В. В. Теория геометрических объектов и основания дифференциальной геометрии (в кн. Веблен О., Уайтхед Дж. Основания дифференциальной геометрии. М.:ГИТТЛ, 1949)

9. Волобуев И. П., Кубышин Ю. А. Дифференциальная геометрия и алгебры Ли и их приложения в теории поля. М.: Эдиториал - УРСС, 1998.

10. Гейдельман Р. М. Дифференциальная геометрия семейств подпространств в многомерных однородных пространствах. Итоги науки. Алгебра, топол., геометрия, 1965. ВИНИТИ АН СССР, М., 1967, С. 323 - 374.

11. ЕвтушикЛ. Е. Нелинейные связности высших порядков // Изв. Вузов. Математика. №2. 81. 1969. С. 32 - 44.

12. ЕвтушикЛ. Е., ЛумистеЮ. Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии/ ВИНИТИ. М, 1979. Т. 9. С. 5 - 247.

13. ЗуланкеР., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения. М.: Мир, 1975. 354 с.

14. Ивлев Е.Т., Глазырина Е.Д. О двумерном многообразии центрированных 2-плоскостей в многомерном эвклидовом пространстве Еп (п > 4) // Известия Томского политехнического университета. Томск, 2003. № 4. Т. 306. С. 5 - 9.

15. КартанЭ. Пространства аффинной, проективной и конформной связности. Казань, 1962. 210 с.

16. Картан Э. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия, изложенные методом подвижного репера. М.: Издательство МГУ, 1963. 360 с.

17. КобаясиШ. Группы преобразований в дифференциальной геометрии. М., 1986. 224 с.

18. КоноплеваН. П., Попов В. Н. Калибровочные поля. М.: Атомиздат, 1972. 240 с.

19. Кулешов А. В. О связности 1-го и 2-го порядков на многообразии центрированных плоскостей в проективном пространстве // Труды математического центра имени Н.И.Лобачевского. Материалы Шестой молодежной научной школы-конференции. - Казань: Издательство Казанского математического общества, 2007. Т. 36. С. 131 - 133.

20. Кулешов А. В. Индуцированные связности на многообразии центрированных плоскостей // Материалы XX Международной летней школы-семинара по современным проблемам теоретической и математической физики "Волга'20 - 2008". - Казань, 2008. С. 38.

21. Кулешов А. В. О тензорах кривизны индуцированной групповой связности на многообразии центрированных плоскостей // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Материалы Седьмой молодежной научной школы-конференции. - Казань: Издательство Казанского математического общества, 2008. Вып. 37. С. 133 - 135.

22. Кулешов А. В. Оснащение Картана - Нордена конгруэнции центрированных плоскостей // Тезисы докладов международной конференции "Геометрия в Одессе - 2009". Одесса, 2009. С. 54.

23. Кулешов А. В. О связностях на конгруэнции центрированных плоскостей // Материалы XXI Международной летней школы-семинара по современным проблемам теоретической и математической физики "Волга'21 - 2009". Казань, 2009. С. 26.

24. Кулешов А. В. Шесть типов индуцированной групповой связности на семействе центрированных плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2009. Вып. 40. С. 72 - 84.

25. Кулешов А. В. О совпадении и интерпретации связностей, индуцированных на семействе центрированных плоскостей // Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. Выпуск 10: Сер. Физико-математические науки. Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2009. С. 112 - 119.

26. Кулешов А. В. Обобщенные связности на комплексе центрированных плоскостей в проективном пространстве // Тезисы докладов международной конференции "Petrov 2010 Anniversary Symposium on General Relativity and Gravitation". - Казань, 1-6 ноября 2010. С. 80.

27. Кулешов А. В. Связности, индуцированные композиционным оснащением семейства центрированных плоскостей в проективном пространстве // Материалы XLIX Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика. Новосибирск, 2011. С. 79.

28. Кулешов А. В. Связности, индуцированные композиционным оснащением семейства центрированных плоскостей в проективном пространстве // Дифф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2011. Вып. 42. С. 59 - 87.

29. Кулешов А. В. Трехпараметрическая связка индуцированных фундаментально-групповых связностей на семействе центрированных плоскостей в проективном пространстве // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Материалы Десятой молодежной научной школы-конференции. - Казань: Издательство Казанского математического общества, 2011. Т. 44. С. 189 - 192.

30. Кулешов А. В. Кривизна индуцированных фундаментально-групповых связностей семейства центрированных плоскостей в проективном пространстве // Известия Пензенского государственного педагогического университета им. В.Г. Белинского. - Пенза, 2011. С. 111 - 120.

31. Кулешов А. В. Специальные оснащения, индуцирующие плоские связности на поверхности в проективном пространстве // Тезисы докладов международной конференции "Геометрия в Одессе - 2012". Одесса: Благотворительный фонд "Наука 2012.

32. Кулешов А. В. Фундаментально-групповые связности, индуцированные композиционным оснащением семейства центрированных плоскостей в проективном пространстве // Вестник Балтийского федерального университета им. Иммануила Канта. Сер. Физико-математические науки. №4. Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2012. С. 139 - 147.

33. Кулешов А. В. Индуцированная связность на грассмановом расслоении над поверхностью в проективном пространстве // Известия Пензенского государственного педагогического университета им. В.Г. Белинского. Физ.-мат. и технич. науки. № 30. Пенза, 2012. С. 84 - 88.

34. Кулешов А. В. Об одном проективном инварианте семейства гиперплоских элементов с огибающей поверхностью центров // Тезисы докладов международной конференции "Геометрия в Одессе - 2013". Одесса: Благотворительный фонд "Наука 2013. C. 53.

35. Кулешов А. В. Об одном проективном инварианте семейства гиперплоских элементов с огибающей поверхностью центров // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 44. Калининград, 2013. С. 67 - 77.

36. Kuleshov A. V. Intrinsic clothing of regular family of hyperplane elements // Тезисы докладов международной конференции "Геометрия в Одессе - 2014". Одесса: Благотворительный фонд "Наука2014. С. 78.

37. Кулешов А. В. О внутреннем оснащении одного семейства ги- пер-плоских элементов // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 45. Калининград, 2014. С. 65 - 72.

38. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. мат. о-ва. 1953. Т. 2. С. 275 - 382.

39. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ АН СССР. М., 1966. Т. 1. С. 139 - 189.

40. Лаптев Г. Ф. Остиану Н.М. Распределения т-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ АН СССР. М., 1971. Т. 3. С. 49 - 83.

41. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономии. М.: Изд-во иностранной литературы, 1960. 216 с.

42. Лумисте Ю.Г. Индуцированные связности в погруженных проективных и аффинных расслоениях // Уч. зап. Тартуского ун-та. 1965. Вып. 177. С. 6 - 41.

43. Лумисте Ю.Г. Однородные расслоения со связностью и их погружения // Труды геометрического семинара. Т. 1. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1966. С. 191 - 237.

44. Лумисте Ю.Г. Связности в однородных расслоениях // Мат. сб. 1966. Т. 69. С. 434 - 469.

45. Лумисте Ю.Г. Связности при геометрической интерпретации полей Янга-Миллса и Фаддеева-Попова // Изв. вузов. Матем., 1983, № 1. С. 46 - 54.

46. Малаховский В.С. Дифференциальная геометрия многообразий фигур и пар фигур в однородном пространстве // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ АН СССР. М., 1969. Т. 2. С. 179 - 205.

47. Нейфельд Э.Г. Аффинные связности на нормализованном многообразии плоскостей проективного пространства // Изв. высш. учеб. завед. Математика. 1976. № 11. С. 48 - 55.

48. Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. М.: Изд-во иностранной литературы, 1960. 128 с.

49. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976. 432 с.

50. Норден А.П. Теория композиций // Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1978. Т. 10. С. 117 - 145.

51. Омельян О.М. Классификация пучков связностей, индуцированных композиционным оснащением распределения плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2006. № 37. С. 119 - 127.

52. Омельян О.М. О кривизне 1-го типа, индуцированной на распределении плоскостей в проективном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2008. Вып. 39. С. 110 - 116.

53. Омельян О.М. О внутренних кривизнах 1-го и 2-го типов на распределении плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2010. Вып. 41. С. 106 - 111.

54. Омельян О.М, Шевченко Ю.И. Редукции объекта центропроектив-ной связности и тензора аффинного кручения на распределении плоскостей //Мат. заметки. М., 2008. Т.84. Вып. 1. С. 99 - 107.

55. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. (RPR). 1962. T. 7. № 2. C. 231 -240.

56. Остиану Н.М. Об инвариантном оснащении семейства многомерных плоскостей в проективном пространстве // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ АН СССР. М. 1969. Т. 2. С. 247 - 262.

57. Остиану Н.М. Метод Картана-Лаптева в исследовании С-структур на многообразиях // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. / ВИНИТИ. М. 2002, Т. 30, С. 5 -- 124

58. Полякова К.В. Параллельные перенесения на поверхности проективного пространства // Фундам. и прикл. мат. 2008. Т. 14, № 2. С. 129 -177.

59. Розенфельд Б.А. Проективно-дифференциальная геометрия семейств пар Рт + Рп-т-1 в Рп // Матем. сб., 24. 1949. С. 405 - 428.

60. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966. 648 с.

61. Столяров А.В. О фундаментальных объектах регулярной гиперполосы // Изв. вузов. Мат. 1975. № 10. С. 97 - 99.

62. Столяров А.В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения т-мерных линейных элементов // Проблемы геометрии. Т.7. ВИНИТИ АН СССР. М., 1975. С. 117 -151.

63. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. Теория совместности систем дифференциальных уравнений в полных дифференциалах и в частных производных. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. 432 с.

64. Чакмазян А.В. О нормальной связности нормализованного многообразия плоскостей в проективном пространстве // Изв. высш. учебн. завед. Математика. - 1974. № 7. С. 74 - 79.

65. Чакмазян А.В. Связность в нормальных расслоениях нормализованного подмногообразия Vm в Pn // Проблемы геометрии. Т. 10. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1978. С. 55 - 74.

66. Чакмазян А.В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий. Ереван, 1990.

67. Шевченко Ю.И. Об оснащениях многообразий плоскостей в проективном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1978. Вып. 9. С. 124 - 133.

68. Шевченко Ю.И. Геометрическая характеристика некоторых индуцированных связностей поверхности // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1981. Вып. 12. С. 126 - 130.

69. Шевченко Ю.И. Параллельный перенос фигуры в линейной комбинации связности // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1987. Вып. 18. С. 115 - 120.

70. Шевченко Ю.И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000. 113 с.

71. Шелехов А.М. О дифференциально-геометрических объектах высших порядков многомерной три-ткани // Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом., 1987. ВИНИТИ, М., Т. 19. С. 101 - 154.

72. Щербаков Р.Н. Линейчатая дифференциальная геометрия трехмерного пространства // Итоги науки. Сер. Мат. Алгебра. Топол. Геом. 1965, ВИНИТИ, М., 1967. С. 265 - 321.

73. Akivis M.A., Goldberg V.V. Projective differential geometry of submanifolds. Amsterdam: North Holland, 1993. 374 p.

74. Akivis M.A., Goldberg V.V. Differential geometry of varieties with degenerate Gauss maps. New York: Springer-Verlag, 2004. 254 p.

75. Bortolotti E. Connessioni nelle varieta luogo di spazi // Rend. Semin. Fac. Sci. Univ. Cagliari, 1933. No. 3. P. 81 - 89.

76. Cartan E. Lecons sur la theorie des espaces a connexion projective. Paris, 1937. 308 p.

77. Ehresmann C. Les connections infinitesimals dans un espace fibre differentiable. Colloque de Topologie. Bruxelles, 1950. P. 29 - 55.

78. Ivey Th.A, Landsberg J.M. Cartan for beginners: differential geometry via moving frames and exterior differential systems. AMS, 2003.

79. Kobayashi S. Theory of connections. Ann. mat. pura ed appl., 43. 1957. p. 119 - 194.

80. Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e consequente specificazione geometrica della curvatura Riemmaniana // Rend. circ. matem. Palermo, 1917. No 42. P. 173 - 205.

81. Schonten J.A. Der Ricci-Kalkül. Berlin: Springer, 1924.

82. Sharpe R.W. Differential geometry: Cartan's generalization of Klein's Erlangen program. Springer, 1997.

83. Weyl H. Raum, Zeit, Matherie. Berlin, 1918.