Оценки гомологических размерностей расслоённого произведения колец тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Косматов, Николай Вячеславович

• Косматов, Николай Вячеславович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Косматов, Николай Вячеславович

§0. Введение.

Глава 1.

Предварительные сведения.

§ 1. Расслоённое произведение колец

§2. Свойства функторов Ext и Тог.'.

§3. Гомологические размерности модулей.

§4. Гомологические размерности колец.

Глава 2.

Оценки гомологических размерностей модулей над расслоённым произведением колец.

§5. Критерии проективности, инъективности и плоскости.

§6. Оценка инъективной размерности.

§7. Оценка проективной размерности.

§8. Оценка плоской размерности.

Глава 3.

Оценки гомологических размерностей расслоённого произведения колец.

§9. Оценки глобальной размерности.

§ 10. Оценки слабой размерности.

§ 11. Оценки финитных размерностей

§ 12. Примеры

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценки гомологических размерностей расслоённого произведения колец»

Возникшая из методов алгебраической топологии, гомологическая алгебра сформировалась как самостоятельная алгебраическая дисциплина в сороковых-пятидесятых годах XX века. Уже в первой и основополагающей книге по гомологической алгебре А. Картана и С. Эй-ленберга [3], впервые опубликованной в 1956 году, были продемонстрированы широкие возможности её применения в различных разделах алгебры, например, при изучении групп, ассоциативных алгебр и алгебр Ли. К моменту выхода в свет в 1963 году нового изложения этой быстро развивавшейся ветви алгебы — монографии С. Маклейна «Гомология» [7] — важное место среди её приложений заняла и теория колец.

Многие известные классы колец были охарактеризованы в терминах гомологических размерностей. Так, полупростые кольца — это в точности кольца нулевой левой глобальной размерности, или, эквивалентно, нулевой правой глобальной размерности [3, следствие VI.2.7]. Наследственными слева являются те и только те кольца, левая глобальная размерность которых не превосходит 1 [3, предложение VI.2.8].

В пятидесятых годах М. Ауслендер, Д. А. Буксбаум [14] и Ж.-П. Серр [36] доказали, что коммутативное нётерово локальное кольцо регулярно тогда и только тогда, когда его глобальная размерность конечна [14, теорема 1.10]. В 1956-1957 годах в работах М. Ха-рады [22] и М. Ауслендера [13] было дано новое описание регулярных в смысле фон Неймана колец, введённых им в 1936 году, — они оказались кольцами нулевой слабой размерности [13, теорема 1].

Финитные размерности колец были впервые определены М. Ауслен-дером, Д. А. Буксбаумом [14] и Ж.-П. Серром [36] для изучения коммутативных нётеровых локальных колец. В 1960 году X. Басс [15] нашёл удобным их использование в случае произвольных колец и охарактеризовал с их помощью некоторые классы колец. Эти размерности особенно интересны при рассмотрении колец бесконечной глобальной или слабой размерности, так как финитные размерности таких колец могут принимать конечные значения (именно так обстоит дело и в нашем примере 12.1).

Появление категорно-гомологических понятий дало сильный импульс к развитию теории фробениусовых и квазифробениусовых колец, определённых Т. Накаямой в 1939-1941 годах. В ходе последовавших многочисленных исследований в этой области было, в частности, установлено, что условие квазифробениусовости кольца А равносильно требованию проективности всех инъективных (или, что эквивалентно, инъективности всех проективных) правых Л-модулей [10, теорема 24.20].

Ярким примером использования гомологических методов в теории групп является теорема Дж. Столлингса [37] и Р. Суона [38]: нетривиальная группа свободна тогда и только тогда, когда она имеет когомологическую размерность 1.

Настоящая работа посвящена изучению свойств гомологических размерностей расслоённых произведений колец и модулей над ними. Напомним, что в коммутативном квадрате колец и гомоморфизмов колец Я

2 & кольцо Я называют расслоённым произведением колец и над Я', если для любых элементов гх 6 Я\, г2 £ Яг, удовлетворяющих условию ¿1{г\) = .Ыг2)-> существует единственный элемент г Е Я, для которого г'^г) = г\ и г*2(г) = г2. Мы дополнительно предполагаем, что является сюръекцией.

Расслоённые произведения колец, ставшие в наши дни предметом разносторонних исследований алгебраистов, вызывают большой научный интерес начиная с семидесятых годов. Своеобразным толчком к этим исследованиям часто становилось доказательство (в более или менее общем случае) следующих критериев инъективности, проективности и плоскости (левых) модулей над кольцом Я :

Теорема 0.1. Я-модуль М инъективен, если и только если Я\-модулъ Нот#(#1, М) и Яч-модуль Нот/г(Я25 М) инъективны. (и) Я-модуль М проективен, если и только если Я\-модуль и В,2-модулъ Я2^)КМ проективны. ш) Я-модуль М плоский, если и только если Я\-модуль Я\^КМ и -модуль /?2 М плоские.

Первый существенный шаг на пути изучения расслоённых произведений колец был сделан в 1971 году Дж. Милнором, который в предположении сюръективности отображения 72 охарактеризовал проективные модули над кольцом Я и доказал теорему 0.1(11) [8, теоремы 2.1,2.2,2.3]. В случае коммутативных колец при дополнительных предположениях сюръективности и инъективности утверждения теоремы были доказаны Д. Ферраном [19, лемма] (для плоских модулей) и У. В. Васконселосом [40, теоремы 1.1,2.1] (для инъективных и проективных модулей).

Расслоённые произведения колец неоднократно возникали и изучались в различных специальных случаях. В 1972 году У. В. Васконселос [39] дал классификацию коммутативных локальных колец глобальной размерности 2: ими могут быть либо регулярные локальные кольца, либо кольца нормирования, либо их расслоённые произведения — зонтичные кольца (см. пример 1.6.3). Б. Гринберг [20], [21] также рассматривал некоторые частные случаи, в которых он интересовался зависимостью гомологических свойств кольца R от соответствующих свойств колец R\ и i?2- В работах Л. С. Леви [28], [29], [30], [31] в центре внимания оказался другой интересный пример расслоённого произведения колец — кольца дедекиндового типа (Dedekind-like rings, см. [30]). Одним из них является, например, целочисленное групповое кольцо абелевой группы свободного от квадрата порядка [31, следствие 1.8]. В результате была получена классификация всех конечно порождённых неразложимых модулей над такими кольцами. Подобной классификацией для некоторых типов расслоённых произведений колец занимались также Д. М. Арнольд и Р. Лаубенбахер [11], [12].

Расслоённые произведения коммутативных нетеровых колец изучались Т. Огомой [32], [33]. Он сформулировал необходимые и достаточные условия для того, чтобы расслоённое произведение коммутативных нётеровых колец само было нётеровым [32, теорема 2.1].

Многие алгебраисты (см., например, [17], [26], [32], [34], [41]) использовали конструкцию расслоённого произведения колец для построения тех или иных примеров и контрпримеров в теории колец.

Первая оценка (левой) глобальной размерности кольца R lgld R в общем случае была опубликована в 1985 году в статье А. Н. Уайзме-на [43]. Он доказал без дополнительных условий на отображение j2 теорему 0.1 (и) и на её основании установил формулу gldR < тах{^1с1 + тах{г£ёд Як}, к=1'2 к—1,2 где Як обозначает плоскую размерность правого Я-модуля Як.

Все три утверждения теоремы 0.1 были получены в 1985 году

А. Факкини и П. Вамошем [18, теорема 2] в предположении сюръективности отображения

В 1988 году Е. Киркман и Ж. Кузманович [25, теорема 2] нашли следующую оценку глобальной размерности кольца Я : если — сюръекция, то

1ёМ Я < тах{^1<1 Як + vídR Як}. (0.2) к=1,2

В 1992 году С. Скриванти [35, теоремы 1,2] для случая коммутативных колец получила оценки слабой размерности и более точную оценку глобальной размерности кольца Я, а также использовала их для конкретных вычислений.

В 1997 году К. М. Коули [16, теорема 3.1] доказал, что если 2ъ — сюръекция, то

1ёЫ Я < тах^Ы Як + рс1д Як}, (0.3) к=1,2 где через рс!д Як обозначается проективная размерность левого Я-мо дуля Як. Эта оценка является «односторонней» (при её вычислении все модули над всеми кольцами рассматриваются с одной стороны, слева), в то время как все предыдущие оценки являлись «двусторонними».

Сравнение оценок (0.2) и (0.3) в [16, пример 3.4] демонстрирует, что «односторонние» оценки глобальной размерности R могут оказаться точнее «двусторонних».

Излагаемый в данной диссертации материал подразделён на три главы. Первая глава содержит некоторые предварительные сведения. Для удобства читателя здесь же приведены точные формулировки большинства используемых ниже результатов. В § 1 обсуждается понятие расслоённого произведения колец, его равносильные определения и примеры. В § 2 помещены основные свойства функторов Ext и Тог, имеющих большое значение для получения наших основных результатов. Далее, в §§ 3,4 приводятся определения и свойства гомологических размерностей модулей и колец.

Во второй главе мы получим оценки гомологических размерностей модулей над кольцом R. Для этого прежде всего в § 5 мы выведем из доказанных А. Факкини и П. Вамошем результатов утверждения теоремы 0.1 — критерии инъективности, проективности и плоскости R-модулей в нужной нам общности. Опираясь на них, в §§6-8 мы докажем нижеследующие оценки инъективной, проективной и плоской размерностей (левых) Д-модулей, последние две из которых обобщают [35, предложения 4,5] на случай некоммутативных колец.

Теорема 0.2. Пусть п ^ 0, М — R-модулъ, и при всех к = 1, 2 и I =

О, 1, . , п имеет место id^fc(ExtM)) ^ п — I. Тогда id# M ^ п.

Теорема 0.3. Пусть п ^ О, M — R-модулъ, и при всех к = 1, 2 и I = О, 1, . , п имеет место pdRk(Tovf(Rk, M)) ^.n — L Тогда pdRM ^ п.

Теорема 0.4. Пусть п ^ О, M — R-модуль, и при всех к = 1, 2 и I = О, 1, . , п имеет место M)) ^ п — I. Тогда fd# M ^ п.

В третьей главе при помощи этих результатов мы получим оценки гомологических размерностей кольца R. В § 9 будет установлена новая «односторонняя» оценка его глобальной размерности:

Теорема 0.5. Пусть п ^ 0 и для любого R-модуля M при всех к — 1, 2 и I = 0, 1, . , п выполнено id^fc(ExtlR(Rk:M)) ^ п — I. Тогда lgldi? ^ п.

Мы также увидим, что если кольцо R нётерово слева, то в этой теореме достаточно накладывать условия только на циклические .R-модули М.

В §§9,10 будут доказаны следующие «двусторонние» оценки глобальной и слабой размерностей кольца Л, обобщающие на некоммутативный случай результаты С. Скриванти [35, теоремы 1,2].

Теорема 0.6. Пусть п ) 0 и для любого левого идеала J кольца R, при всех к = 1,2 и I = 0, 1, . ,п выполняется неравенство pdRk(Tovf(Rk,R/J)) ^ п-1. Тогда lgldR ^ п.

Теорема 0.7. Пусть п ^ 0 и для любого конечно порождённого левого идеала J кольца R при всех k = I, 2 и I = О, 1, . , п имеет место fd^(Tor^(R^R/J)) < n - /. Тогда wd R ^ п.

В качестве немедленных следствий из теорем 0.5, 0.6 и 0.7 будут выведены оценки (0.3), (0.2) и аналогичное неравенство для слабой размерности. При этом мы нигде не будем дополнительно предполагать ни сюръективности отображения j2, ни коммутативности рассматриваемых колец.

В § 11 мы оценим (левые) финитные инъективную, проективную и плоскую размерности кольца R :

Теорема 0.8. Пусть й)0 и для любого R-модуля M конечной инъ-ективной размерности при всех к = 1, 2 и I — 0, 1, . , п выполнено id^(ExtlE(Rk,M)) ^ п-1. Тогда 1FIDЛ < п.

Теорема 0.9. Пусть п ^ 0 и для любого R-модуля M конечной проективной размерности при всех к — 1, 2 и I = 0, 1, . , п выполнено pd^Torf^M)) < п - I. Тогда 1FPD R < п.

Теорема 0.10. Пусть п ) 0 и для любого R-модуля M конечной плоской размерности при всех Лт ~ 1, 2 г/ / = 0, 1,.,гг выполнено fd^(Tor?{Rk,M)) < n-l. Тогда 1FFDЯ < п.

В § 12 мы рассмотрим два примера расслоённых произведений колец и вычислим их гомологические размерности. Пример 12.1 является простой иллюстрацией того, что требование конечности глобальной или слабой размерности колец-сомножителей Я\ и отнюдь не гарантирует выполнение того же условия для их расслоённого произведения Я. Существование подобных примеров показывает невозможность содержательно оценить глобальную и слабую размерности кольца Я, зная только соответствующие размерности колец Я\ и #2? и тем самым объясняет необходимость наложения иных условий. Для вычисления финитных размерностей расслоённого произведения колец в этом примере мы воспользуемся нашими теоремами 0.8, 0.9 и 0.10.

Как уже отмечалось выше, во всех наших утверждениях мы отказываемся от требований коммутативности колец и сюръективности отображения ^2, но предполагаем сюръективность отображения г\. Приведение нашего примера 12.4 мотивировано желанием ответить на вопрос, является ли последнее условие существенным для полученных оценок. Мы увидим, что это условие нельзя отбросить.

Основные результаты настоящей диссертации опубликованы в работах [4], [5], [6] и [27].

Автор выражает искреннюю признательность профессору А. И. Генералову, предложившему автору рассматриваемую проблему и оказавшему большую помощь в работе над ней, а также лаборатории математики университета Франш-Конте (Безансон, Франция) и лично профессору Д. В. Хофману за поддержку и внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Косматов, Николай Вячеславович, 2000 год

1. Н. БУРБАКИ. Алгебра. Глава X. Гомологическая алгебра. — М., Наука, Физматлит, 1987.

2. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков. Основы теории групп. — М., Наука, Физматлит, 1996.3. a. kaptah, С. эйленберг. Гомологическая алгебра. —м., ИЛ, I960.

3. Н. В. КОСМАТОВ. Оценка глобальной размерности расслоённого произведения колец. — Фунд. и прикл. мат-ка, 5 (1999), № 4, 12511253.

4. Н. В. Косматов. Оценки гомологических размерностей расслоённого произведения колец. — Зап. научи, семин. ПОМИ 265(1999), 222-228.

5. Н. В. КОСМАТОВ. Оценки гомологических размерностей расслоённого произведения колец. II. — М., Деп. в ВИНИТИ, № 2603-В00 от 12.10.2000 г.

6. С. МаклеЙН. Гомология. — М., Мир, 1966.

7. Дж. МИЛНОР. Введение в алгебраическую К-теорию. — М., Мир, 1974.

8. К. ФейС. Алгебра: кольца, модули и категории, т. 1. — М., Мир, 1977.

9. К. Фейс. Алгебра: кольца, модули и категории, т. 2. — М., Мир, 1979.

10. D. М. Arnold, R. С. Laubenbacher. Almost split sequences for Dedekind-like rings. — J. London Math. Soc., 43 (1991), 225-235.

11. D. M. Arnold, R. C. Laubenbacher. Finitely generated modules over pullback rings. — J. Algebra, 184 (1996), 304-332.

12. M. Ausländer. On regular group rings. — Proc. AMS, 8(1957), 658-664.

13. M. Auslander, D. A. Buchsbaum. Homological dimension in local rings. — Trans. AMS, 85 (1957), 390-405.

14. H. BASS. Finitistic dimension and a homological generalisation of semi-primary rings. — Trans. AMS, 95 (1960), 466-488.

15. К. M. Cowley. One-sided bounds and the vanishing of Ext. — J. Algebra, 190(1997), 361-371.

16. A. Facchini. Fiber products and Morita duality for commutative rings. — Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 67 (1981), 143-159.

17. A. Facchini, P. Vamos. Injective modules over pullbacks. — J. London Math. Soc., 31 (1985), 425-438.

18. D. Ferrand. Descente de la platitude par un homomorphisme fini. — C. R. Acad. Sci. Paris, 269 (1969), 946-949.

19. B. Greenberg. Global dimension of cartesian squares. — J. Algebra, 32(1974), 31-43.

20. B. Greenberg. Coherence in cartesian squares. — J. Algebra, 50(1978), 12-25.

21. M. Harada. Note on the dimension of modules and algebras. — J. Inst. Polytech. Osaka City Univ., Ser. A, 7(1956), 17-27.

22. E. klrkman, J. Kuzmanovich. On the global dimension of fibre products. — Pacific J. Math., 134 (1988), 121-132.

23. E. Kirkman, J. Kuzmanovich. On the global dimension of a ring modulo its nilpotent radical. — Proc. AMS, 102 (1988), 25-28.

24. N. V. Kosmatov. On the global and weak dimensions of pullbacksof non-commutative rings. — Prépublications de l'Equipe de Mathématiques de Besançon, 1998, № 14, Université de Franche-Comté, Besançon, France.

25. L. S. Levy. Modules over pullbacks and subdirect sums. — J. Algebra, 71(1981), 50-61.

26. L. S. Levy. Mixed modules over ZG, G cyclic of prime order, and over related Dedekind pullbacks. — J. Algebra, 71 (1981), 62-114.

27. L. S. Levy. Modules over Dedekind-like rings. — J. Algebra, 93(1985), 1-116.

28. L. S. Levy. ZGn-modules, Gn cyclic of square-free order n. — J. Algebra, 93(1985), 354-375.

29. T. Ogoma. Fibre products of Noetherian rings and their applications. — Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 97(1985), 231-241.

30. T. Ogoma. Fibre products of Noetherian rings. — Adv. Stud. Pure Math., 11 (1987), 173-182.

31. J. C. Robson. Some constructions of rings of finite global dimension. — Glasgow Math. J., 26 (1985), 1-12.

32. S. SCRIVANTI. Homological dimension of pullbacks. — Math. Scand., 71 (1992), 5-15.

33. J. P. SERRE. Sur la dimension homologique des anneaux et des modules Noethériens. — Proceedings. Symposium on Algebraic Number Theory, Tokyo and Nikko, 1955, 175-189.

34. J. stallings. On torsion-free groups with infinitely many ends. — Annals Math., 88 (1968), 312-334.

35. R. Swan. Groups of cohomological dimension one. — J. Algebra, 12(1969), 585-610.

36. W. V. Vasconcelos. The local rings of global dimension two. — Proc. AMS, 35 (1972), 381-386.

37. W. V. Vasconcelos. Conductor, projectivity and injectivity. — Pacific J. Math., 46 (1973), 603-608.

38. W. V. Vasconcelos. The rings of dimension two. — Marcel Dekker, New York, 1976.

39. C. A. WEIBEL. An introduction to homological algebra. — Cambridge Univ. Press, 1994.

40. A. N. Wiseman. Projective modules over pullback rings. — Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 97(1985), 399-406.