О проективности конечно порожденных плоских модулей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Насрутдинов, Марат Фаритович

• Насрутдинов, Марат Фаритович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Насрутдинов, Марат Фаритович

Введение.

1 Проективность конечно порожденных плоских модулей. Предварительные сведения

1.1 Обозначения и соглашения.

1.2 Модули типа Р(Ат = Ат+1Ат)

1.3 Циклические плоские модули и модули типа Р(ат = ат+хат).

1.4 Переход от п-порожденных Д-модулсй к циклическим модулям

1.5 Наследование свойства п — РСРР родственными кольцами.

1.6 Гипотеза Лазара.!.

1.7 Кольца с инволюцией.

2 Дуальная размерность Голди

2.1 Дуальная размерность Голди - предварительные сведения

2.2 Проективные модули с полулокальным кольцом эндоморфизмов.

2.3 Полусовершеные кольца

3 Групповые 5-кольца

3.1 Групповые кольца упорядоченных групп.

3.2 Групповые Р1-алгебры.

3.3 Полулокальные групповые алгебры.

3.4 От полулокальных груповых алгебр к полупервичным. Редукционная теорема

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О проективности конечно порожденных плоских модулей»

Предмет исследования и актуальность темы. Кольца над которыми все конечно порожденные плоские модули проективны будем называть правыми 5-кольцами. Класс правых 5-колец включает в себя ряд известных и хорошо изученных классов колец. В класс правых ¿'-колец попадают, например, артиновы и нетеровы кольца, полусовершенные кольца, квазилокальные кольца.

В 1960 году Бассом в его известной статье [28] были рассмотрены кольца, над которыми проективны все правые плоские модули. Такие кольца называются совершенными справа. Эти кольца имеют внутреннее описание: кольцо Я совершенное справа тогда и только тогда, когда Я - полулокальное кольцо и его радикал Джекобсона Т-нильпотентен слева, то есть для всякой последовательности элементов а^ ., ап,. из J{R) существует такое к, что . а\ = 0.

Естественно поставить вопрос о строении колец над которыми проективны все конечно порожденные плоские модули. Таким кольцам посвящены работы Эндо [33], Васконселоса [58], Йондрупа [41]- [44], Сахаева [14, 13, 16, 18], недавняя работа Пунинского и Ротмаллера [52], и совместные статьи трех авторов Сахаева, Факкини и Херберы [36, 37].

В 1965 году Сахаевым в работе [14] был получен критерий проективности всех п-порожденных плоских правых модулей в терминах стабилизации возрастающих цепочек правых идеалов специального вида. Поэтому

Пунинским и Ротмалером в работе 2004 года [52] было предложено называть кольца, над которыми все конечно порожденные плоские модули проективны, правыми ¿-кольцами.

В 1962 году проф. Л.А. Скорняков предложил программу по гомологической классификации колец (см. [21] и [22]), в которой предлагалось охарактеризовать кольца при помощи гомологических свойств категории модулей над ними. Одним из классов таких колец были кольца, над которыми проективны все конечно порожденные правые плоские модули.

Отметим, что остается открытым вопрос о том будет ли всякое правое ¿'-кольцо левым ¿"-кольцом.

С вопросом о проективности конечно порожденных плоских модулей тесно связан следующий вопрос, поставленный в работе 1974 года Д. Лаза-ром [45]: Пусть Рц проективный К-модуль и его фактормодуль по радикалу Доюекобсона Р/РЗ{Я) конечно порожден. Будет ли конечно порожден модуль Р ?

Кольцо Я будем называть (правым) кольцом, если для любого проективного модуля Р выполняется следующее условие: Модуль Р конечно порожден тогда и только тогда, когда конечно порожден фактормодуль Р/Р^Я).

Для полулокальных колец понятие ¿-кольца и 5-кольца совпадают. Ла-заром было доказано, что коммутативные кольца являются //-кольцами. В работе [61] показано, что правые Ь-кольца являются левыми ¿/-кольцами.

В 1984 году в работе Герасимова и Сахаева [2] был построен пример полулокалыюго кольца не являющегося кольцом. Сахаевым в [17] построен пример полулокального кольца, показывающий, что проективность циклических плоских модулей не влечет проективности всех конечно порожденных плоских модулей.

В последнее время наблюдается новый всплеск интереса к ¿'-кольцам. В частности, техника, применяемая в исследовании конечно порожденных плоских модулей, оказалась полезной при исследованиях вопросов выполнимости теорем типа теоремы Крулля-Ремака-Шмидта (см. книгу Факкини [35]).

Цель работы: изучение ¿'-колец, нахождение новых классов колец, являющихся 5-кольцами. Исследование условий при которых групповые кольца являются ¿'-кольцами.

Основные результаты работы.

1. Получен новый критерий полулокальных 5-колец в терминах дуальной размерности Голди.

2. Показано, что групповое кольцо линейно упорядоченной группы над телом является ¿"-кольцом. Как следствие получена стабильная конечность групповых колец локально нильпотентных групп над полупримарными кольцами.

3. Показано, что если групповая алгебра конечно порожденной группы является Р/-кольцом, то она будет и 5-кольцом. Как следствие получена стабильная конечность групповых алгебр, являющихся Р/-кольцами.

Краткое содержание диссертации.

Первая глава диссертации посвящена свойствам колец, над которыми все ^-порожденные правые плоские модули проективны.

В этой главе определяются проективные модули особого вида, введенные в работах проф. И.И. Сахаева, которые тесно связаны с вопросом проективности конечно порожденных плоских модулей. Обсуждается вопрос наследования свойства быть ¿-кольцом факторкольцами.

Вторая глава посвящена изучению модулей, с полулокальным кольцом эндоморфизмов. Получена новый критерий проективности всех конечно порожденных плоских модулей над полулокальным кольцом в терминах дуальной размерности Голди. С помощью этого результата показывается, что существуют проективный модуль Р дуальная размерность Голди которого не совпадает с дуальной размерностью Голди фактормодуля Р/3{Р) по его радикалу Джекобсона.

Третья глава посвящена изучению групповых колец, которые являются ¿'-кольцами. В частности, этот вопрос для групповых колец интересен в связи с одной проблемой Капланского: всякий ли обратимый справа элемент групповой алгебры обратим. В случае поля нулевой характеристики ответ положительный. Для полей простой характеристики проблема остается открытой. В работе получено алгебраическое доказательство проблемы для групповых алгебр локально нильпотетных групп.

Показано, что групповые кольца над полупримарным кольцом линейно упорядоченной группы является 5-кольцом. В частности, показано, что групповые алгебры свободных групп являются 5-кольцами. Исследовался вопрос о проективности конечно порожденных плоских модулях над полулокальной групповой алгеброй. Проведена редукция к полу первичным полулокальным групповым алгебрам.

Теперь перейдем к изложению работы с точными формулировками полученных результатов.

Первая глава состоит из шести параграфов. В параграфе 1.1 приводятся основные соглашения, определения и факты из теории колец и модулей, которые используются в работе. Параграфы 1.2-1.4 посвящены изложению техники, разработанной проф. Сахаевым, для изучения конечно порожденных плоских модулей с помощью проективных модулей типа Р(Ат = Ат+1Ат). В параграфе 1.5 показано, что если / - нильпотентный идеал, то кольцо К - ¿-кольцо тогда и только тогда, когда Я/1 является

5-кольцом.

Теорема 1.5.6 21 - нилыютентный идеал кольца Я, то кольцо Я является п — .Р(2.РР-кольцом тогда и только тогда, когда таковым является кольцо Я/21.

Параграф 1.6 посвящен Ь-кольцам. В нем приведен критерий ¿/-кольца. В параграфе 1.7 показано что полулокальные кольца с инволюцией, удовлетворяющей некоторому дополнительному условию, являются 5-кольцам и. А именно, справедлива следующая

Теорема 1.7.2 Пусть Я полулокальиое кольцо с инволюцией *, Я = Я/./(Я) = ©¿Д, где Д = МпТ{ и 7] тела. Если индуцированная инволюция на факторкольце Я удовлетворяет условию (Д)* = Д, то кольцо Я является й1-кольцом.

Вторая глава состоит из трех параграфов. В первом приведены вспомогательные сведения о дуальной размерности Голди. Результаты этого параграфа по большей части известны и разбросаны по различным статьям. Доказательства приведены для тех утверждений, доказательство которых автору не удалось найти в доступных ему статьях или утверждения были переформулированы в более удобной для дальнейшего изложения форме.

Во-втором параграфе получен новый критерий проективности конечно порожденных плоских модулей для иолулокальных колец.

Лемма 2.2.1 Пусть Р (само-)ироективный левый Я-модуль. Обозначим Б = Нотц{Р,Р) кольцо эндоморфизмов модуля Р, I = Нот7(Р)) идеал кольца Б. Если Б/1 является полулокальным кольцом, то фактор-модуль Р/3{Р) конечно порожден.

Пусть Я - кольцо. Будем обозначать через сосИт (Р) дуальную размерность Голди правого Р-модуля Р.

Теорема 2.2.5. Проективный левый Р-модуль Р, кольцо эндоморфизмов которого полулокально, является конечно порожденным если и только если сосНт (Р) = сосНт (Р/</(Р)).

Следствие 2.2.6. Пусть Я - полулокальное кольцо. Р - проективный правый Р-модуль, такой, что Р/«7(Р) конечно порожден. Тогда Р является конечно порожденным если и только если сосНт (Р) = сосНт (Р/7(Р)).

Теорема 2.2.7. Пусть Я полулокальное кольцо. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) всякий конечно порожденный плоский модуль проективен;

2) для любого проективного модуля Р, такого, что сосНт Р/</(Р)Р < оо, выполнено сосНт Р = сосИт Р/7(Р)Р.

В конце параграфа показано (пример 2.2.9), что для любого целого положительного п можно построить полулокальное кольцо Я, над которым существует проективный Р-модуль Р со свойством сосНт д(Р/</(Р)) = п и сосИт д(Р) ф п.

В параграфе 2.3 обсуждаются вопросы существования плоского накрытия модулей.

Третья глава посвящена изучению вопроса проективности всех конечно порожденных плоских модулей над групповыми алгебрами (под алгеброй всюду понимается алгебра над полем.) Она состоит из четырех параграфов.

В первом параграфе рассматриваются групповые алгебры над линейно упорядоченными группами. Техника позволяет доказать результаты для более широкого класса нежели групповые алгебры, а именно для групповых колец линейно упорядоченных групп над полупримарными кольцами.

Теорема 3.1.6 Пусть R[G] групповое кольцо группы G над полупри-марным кольцом R. Если в G существует линейно упорядочиваемая подгруппа конечного индекса, то является S-кольцом.

Следствие 3.1.7 Пусть G локально свободная группа, R - полупри-марное кольцо, тогда R[G] является 5-кольцом.

Следствие 3.1.8 Пусть G группа, R - полупримарное кольцо. Если G конечно-порожденная почти нильпотентная группа (то есть в G существует нильпотентная подгруппа конечного индекса), то R[G] является S-кольцом.

Кольцо R называется конечным по Дедекинду, если для любых х,у 6 R равенство ху = 1, влечет ух = 1. Кольцо называется стабильно конечным, если для любого п кольцо матриц Rn конечно по Дедекинду.

Следствие 3.1.10 Пусть G нильпотентная группа, R - полупримарное кольцо. Тогда групповое кольцо R[G] является стабильно конечным.

В конце параграфа приведен пример конечно порожденной разрешимой группы G, такой, что групповая алгебра k[G] поля нулевой характеристики над группой G не является S-кольцом.

Параграф 3.2 посвящен групповым Р/-алгебрам. Строение групповых алгебр связано с р-абелевыми группами.

Намомним, что группа G называется р-абелевой, если в ней существует подгруппа конечного индекса Н, коммутант которой - конечная р-группа.

Теорема 3.2.4 Пусть R = k[G] групповая алгебра. Если G конечно порожденная р-абелева группа и характеристика поля = р, то R является ¿"-кольцом.

Теорема 3.2.5 Пусть k[G] групповая Р/-алгебра. Тогда для всякого проективного А;[С]-модуля Р конечная порожденность модуля Р/ РЗ{к[С\) влечет конечную порожденность модуля Р.

В параграфе 3.3 рассматриваются полулокальные групповые алгебры. Пусть &[(?] - групповая алгебра. Рассмотрим группу (относительно умножения) ё = {д + J(k[G})\g Е (3} и гомоморфизм групп в : (7 —>•

Теорема 3.3.2 Пусть к\С\ - полулокальная групповая алгебра группы над полем к. Обозначим через Я = Кег в. Справедливы следующие утверждения.

1) Если характеристика поля к равна р, то Я является р-группой.

2) В случае поля нулевой характеристики группы £ и (2 изоморфны.

Теорема 3.3.3 Если — полулокальная групповая алгебра конечно порожденной группы (7 над алгебраически замкнутым несчетным полем к характеристики р, то в группе (3 существует нормальная р-подгруппа Я конечного индекса, такая что ш{Н)к[С\ С J{k[G\).

Теорема 3.3.4 Если к[С\ полулокальная групповая алгебра группы С? над алгебраически замкнутым несчетным полем к, то любой конечно порожденный плоский £[(7]-модуль проективен.

В параграфе 3.4 показано, что при рассмотрении вопроса о проективности конечно порожденных плоских модулей можно считать, что групповая алгебра полупервична, то есть не содержит нильпотентных идеалов.

Благодарность. Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору И.И. Сахаеву за постановку задачи, постоянное внимание к работе и полезные обсуждения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Насрутдинов, Марат Фаритович, 2007 год

1. Бовди A.A. Групповые кольца. Киев: УМК ВО - 1988. - 156 с.

2. Герасимов В.Н., Сахаев И. И. Контрпример к двум гипотезам о проективных и плоских модулях.// Сиб. матем. журн 1984. - Т. XXV. - №6. - С. 31-35.

3. Жучин A.B. О полулокальных полугрупповых кольцах// Фунд. и прикладная математика 1999. - Т. 5. - №1. - С. 139-147.

4. Залесский А.Е., Михалев A.B. Групповые кольца //Итоги науки и техники. Сер. "Современные проблемы математики."Т. 2. М.:ВИНИТИ -1979.- с. 5-118.

5. Мальцев А.И. О включении групповых алгебр в алгебры с делением // ДАН СССР 1948. - Т. 60. - №9. - С. 1499-1501.

6. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. 3-е изд-М.:Наука - 1982.- 288 с.

7. Каш Ф. Модули и кольца. М.:Мир - 1981- 370 с.

8. Кокорин А.И., Копытов В.М. Линейно упорядоченные группы. -М.:Наука 1972 - 200 с

9. Кон П. Свободные кольца и их селзи.-М.:Мир 1975. - 422 с.

10. Курош А.Г. Теория групп 3-е издание - М.:Наука - 1967. - 648 с.

11. Ламбек И. Кольца и модули-М.:Мир 1971. - 280 с.

12. Мерзляков Ю.И. Рациональные группы М.:Наука - 1980. - 464 с.

13. Сахаев И.И., Чирков Ч. В. Проективность конечно порожденных плоских модулей над полулокальным кольцом с единственным примитивным идеалом. // Известия вузов. Математика. 1970. - №6. - С.100.

14. Сахаев И.И. О проективности конечно порожденных плоских модулей //Сиб. мат. журн. 1965. - Т. 6. - С 564-573.

15. Сахаев И.И. О конечной порожденности проективных модулей //Известия вузов. Математика. 1977. - №. 9. - С. 69 - 79.

16. Сахаев И.И. О проективности конечно порожденных плоских модулей над полулокальным кольцами. // Матем. заметки. 1985. - Т.37 -№2 - С.152-161.

17. Сахаев И. И. О группе Kq(AU) для полулокальных колец. //Math. Nachrichten. 1987. - Bd. 130,- 157-175.

18. Сахаев И.И. О поднятии конечной порожденности проективного модуля по модулю его радикала// Матем. заметки. 1991. - Т.49. - №3. - С.97-107.

19. Сахаев И.И. О конечной порожденности проективных модулей над кольцами с полиномиальными тождествами// // Известия вузов. Математика 1993. - №8 (375). - С.65-75.

20. Сахаев И.И. Конечная порожденность проективных модулей над некоторыми кольцами. // Известия вузов. Математика. 1996. - №10 (413). - С.63-75.

21. Скорняков JI.А. Гомологическая классификация колец // Труды IV Всесоюзного математического съезда. Москва 1962 г.

22. Скорняков Л.А. Гомологическая классификация колец // Мат. вестник.- 1967. Т.4. - №4 (19). - С.415-434.

23. Туганбаев А.А. Кольца с дистрибутивной структурой правых идеалов. // Успехи мат. наук. 1986. - Т.41. - №3 (249). - С.203-204.

24. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. Т.1. М.:Мир - 1977690 с

25. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. Т.2. М.:Мир - 1979464 с

26. Херстейн И. Некоммутативные кольца М.:Мир - 1972 - 192 с

27. Anderson F.W., Fuller K.R. Rings and Categories of Modules. New York: Springer-Verlag - 1992 - 380 p.

28. Bass H. Finitistic dimension and a homological generalization of semi-primary rings.// Trans. Amer. Math. Soc. -1960. V. 95 - P. 466-488.

29. Beck I. Projective and free modules.// Math. Z. 1972. - Bd. 129. -P. 231-234.

30. Chase S.U. Direct product of modules. // Trans. Amer. Math. Soc. 1960.- V. 97. P. 457-473.

31. P. M. Cohn. Inversive localization in Noetherian rings// Comm. Pure Appl. Math.- 1973.- №26-P. 679-691.

32. Cohn P.M. Free rings and their relations. 2nd ed. - London: Academic Press - 1985. - Vol. 19, L.M.S. Monographs - 590 c.

33. Endo S. On semi-heditary rings. //J. Math. Soc. Japan 1961. - V. 13. -P. 109-119.

34. A. Facchini and D. Herbera. Kq of a semilocal ring// J. Algebra-2000-№225-P. 47-69.

35. Facchini A. Module theory: endomorphism rings and direct sum decomposition in some classes of modules Basel; Boston; Berlin: Birkhauser, 1998. p.285

36. Facchini A., Herbera D., Sakhajev I. Finitely Generated Flat Modules and a Characterisation of Semiperfect Rings// Commun. Algebra -2003 V. 31 - №9 -P. 4195-4214.

37. Facchini A., Herbera D., Sakhajev I. Flat modules and lifting of finitely generated projective modules// Pacific journal of math- 2005. Vol. 220.- №. 1 -P. 49-67

38. P.Grezeszcuk and E.R.Puczylowski. On Goldie and dual Goldie dimension// J. Pure and Applied Algebra. 1984. - V. 31. - P. 47-54.

39. A.Hanna and A.Shamsuddin. Dual Goldie dimension// Rendiconti dell' Istitutio di Mathematica dell' Universita di Trieste 1992. - 24. - №.1-2.- P. 25-38.

40. D.Herbera and A.Shamsuddin. Modules with semi-local endomorphism ring// Proc. American Math. Soc.-1995-V. 123 P. 3593-3600. //Comm. Algebra - 2003. - Vol. 39. - №9. - P.4195-4214

41. Jondrup S. On Finitely generated flat modules. //Math. Scand. 1970. -Vol. 26. - P. 233-240.

42. Jondrup S. On Finitely generated flat modules II. //Math. Scand. 1970.- Vol. 27. P. 105-112.

43. Jondrup S. On Finitely generated flat modules III. //Math. Scand. 1970.- Vol.29. P. 206-210.

44. Jondrup S. Projective flat modules. //Proc. Amer. Math. Soc. 1976. -Vol. 59. - №2. - P. 217-221.

45. Lazard D. Liberie des Gros Modules projective. //J. Algebra. 1974. -31. - P. 434-457.

46. Lazard D. Autor de la platitude. La these de doctoral es sciences// Bull. Soc. Math. France. 1969. - 97. - P. 81-118.

47. Lomp C. On dual Goldie dimension, Diplomarbeit, HHU Düsseldorf (1996)

48. Lomp C. On semilocal modules and rings// Commun. Algebra 1999-Vol. 27.- M -P. 1921-1935.

49. Mount K. Some remarks on Fitting invariants// Pacific J. Math. -1963-V. 13. -P. 1353-1957.

50. Okninski J. Spectrally finite and semilocal group rings. // Commun. Algebra. 1980. - Vol 8. - P. 533-541.

51. Okninski J. Semilocal Skew Group Rings. // Proc. Amer. Math. Soc. -1980. Vol. 80. - №4. - P. 552-554.

52. Puninski G., Rothmaler Ph. When every finitely generated flat modules projective. //J. Algebra. 2004. - Vol. 277. - P. 542-558.

53. Sakhaev I.I. The finite generation of projective modules//Algebra. Proc. Int. Conf. Krasnoyarsk 1993 Gruyter, Berlin 1996 - P. 209-216.

54. B.Sarath and K.Varadarajan. Dual Goldie dimension //// Commun. Algebra. 1979.- Vol. 7,- P. 1885-1899.

55. Takeuchi T. On cofinite-dimensional modules// Hokkaido Math. J 1976. - №5. - P. 1-43.

56. Takeuchi T. Coranks of a quasi-projective module and its endomorphism ring// Glasgow Math. J. 1994. - Vol. 36. -P. 381 - 383.

57. K.Varadarajan. Dual Goldie dimension// Commun. Algebra. -1979. №7. -P. 565-610.

58. Vasconcelos W.V. On finitely generated flat modules. // Trans. Amer. Math. Soc. 1969. - Vol. 138. - P. 505-512.

59. Ware R. Endomorphism rings of projective modules// Trans. American Math. Soc. 1971. - Vol. 155. - P. 233-256 .

60. Woods S.M. On perfect group rings. // Proc. Amer. Math. Soc. 1971. -Vol. 27. - M. - P. 49-52.

61. Zoschinger H. Projektive Moduln mit endlich erzeugten Radikalfaktormodul. // Math. Annalen. 1981. - Bd. 255. - P. 199-206.Публикации автора по теме диссертации

62. Насрутдинов М.Ф. (совм. с Ломп X., Сахаев И.И.) О проективных модулях, кольцо эндоморфизмов которых полулокально // Изв.ВУЗов. Математика 2002. - №8. - С. 23-29.

63. Насрутдинов М.Ф. О полулокальных групповых алгебрах //Мат. заметки 2005. - №3. - С. 409-412.

64. Насрутдинов М.Ф. Стабильная конечность групповых колец //Известия вузов. Математика 2006. - №11. - С. 29-32.

65. Насрутдинов М.Ф. О конечной порожденности проективных модулей // Kurosh algebraic conference'98: Abstract of talks. Москва: мехмат МГУ, 1998, С.194.

66. Насрутдинов М.Ф. Проективность плоских модулей над кольцами с инволюцией// Тезисы докладов 3 Межд. алгебр, конф. в Украине, Сумы. Суми: СумДПУ им. А.С. Макаренко, 2001. -С. 216-217.

67. Насрутдинов М.Ф. (совм. с Ломп X., Сахаев И.И.) On projective modules of finite dual Goldi dimension// Труды мат. центра им. Н.И. Лобачевского. Казань:"Унипресс". 2001. Т. 5. -С. 243.

68. Насрутдинов М.Ф. О конечной пороэюдённости проективных модулей над полулокальными групповыми алгебрами// Труды мат. центра им. Н.И. Лобачевского. Казань:11ДАС". 2001. Т. 12. -С. 45-46.

69. Насрутдинов М.Ф. Проективность конечно порооюденных плоских модулей над групповыми алгебрами// Труды XXIV конф. молодых ученых МГУ им. М.В. Ломоносова. Москва: мехмат МГУ, 2002. -С. 122.

70. Насрутдинов М.Ф. On finitely generated flat modules over group algebras //Межд алгебр конф, посвящ. 75-летию каф. высшей алгебры МГУ Москва:Изд-во мехмата МГУ. 2004 -С. 100.

71. Насрутдинов М.Ф. Полулокальные групповые алгебры// Труды мат. центра им. Н.И. Лобачевского. Казань:изд-во математического общества. 2004. Т. 23. С. 58.