Классы полуколец, характеризуемые гомологическими свойствами полумодулей над ними тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Ильин Сергей Николаевич

• Ильин Сергей Николаевич
• доктор наук
• 2023

Оглавление диссертации доктор наук Ильин Сергей Николаевич

3.2 Аддитивно п

3.3 Аддитивно регулярные полукольца

3.4 Полукольца, удовлетворяющие критерию Бэра

4 V- и V*

4.1 Простые полу модули над зероидными полукольцами

4.2 V

4.3 V*

5 С!- и СР-полукольца, е-аналоги инъективности и проективности

5.1 С!

5.2 СР

5.3 е

6 Шрайеровы и р

6.1 Шрайеровы многообразия полу модулей

р

6.3 Проективные и свободные полу модули над полутелами и полиномиальными полукольцами

Заключение

Список обозначений

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Классы полуколец, характеризуемые гомологическими свойствами полумодулей над ними»

Введение

Диссертация посвящена исследованиям, связанным с описанием полуколец, характеризуемых различными свойствами (такими как инъективность, проективность, плоскостность и т.п.) полумодулей, либо категорий полумодулей над ними.

Актуальность темы. Понятие полукольца было впервые введено в 1934 году Вандивером [87], хотя неявным образом полукольца появлялись и ранее, в частности, в работах Дедекинда [45], Крулля [67], Нётер [72] в связи с изучением идеалов колец. Начиная с 60-х годов XX-го века полукольца и полумодули над ними стали достаточно активно изучаться, в том числе, в связи с их практическими приложениями в различных областях математики и информатики; основам общей теории полуколец и полу модулей, а также сферам их возможных приложений посвящены, например, монографии [48] [52].

Полукольца являются естественными и весьма широкими обобщениями ассоциативных колец, поэтому неудивительно, что многие задачи общей теории полуколец возникают как обобщения задач, относящихся к различным областям и направлениям классической алгебры линейной алгебры, теории колец и модулей и др. Так, например, в последние 20 30 лет весьма активно изучаются матрицы над полукольцами, среди многочисленных публикаций по этой тематике выделим докторские диссертации А.Э. Гутермана [15] и Я.Н. Шитова [32], содержащие большое количество результатов о матрицах над полукольцами. Исследованиями абстрактных полуколец и полу тел, полуколец непрерывных функций, вопросами функционального представления полуколец 30 лет успешно занимается научная школа в г. Кирове под руководством профессора Е.М Вечтомова. Среди результатов, полученных членами школы, отметим монографии [4], [5], [8], [10], [11] и [30], статьи [1] [3], [6], [7], [9], [12] [14], докторскую диссертацию В.В. Чермных [31], посвященную пучковым представлениям полуколец и полу модулей, а также 18 кандидатских

диссертаций.

Еще одно классическое направление современной алгебры в рамках общей теории колец и модулей связано с так называемой го.м,алогической классификацией колец, то есть изучением связей между свойствами кольца и свойствами категории модулей над ним. Программа гомологической классификации колец была предложена в 1961 году Л.А. Скорияковым (см. [20] и [21]); полученные в этом направлении за прошедшее время результаты изложены во многих книгах по теории колец и модулей (см., напр., [16], [26], [27], [28], [44], [68] и др.) Активное и успешное развитие гомологической классификации колец послужило мотивацией для проведения аналогичных исследований в отношении других алгебраических систем. В работах [22] и [23] Скорияковым была предложена программа гомологической классификации моноидов, также оказавшаяся весьма успешной и плодотворной, большое количество результатов, характеризующих моноиды в терминах свойств полигонов над ними, представлено в опубликованной в 2000 году монографии [66]; ряд полученных в последующие годы результатов об инъективности и проективности полигонов над некоторыми классами полугрупп представлен в [18]. Обзор результатов по гомологической классификации дистрибутивных решеток дан в [47].

Первой публикацией, посвященной гомологической классификации полуколец, по-видимому, следует считать статью [29], в которой изучались полукольца, удовлетворяющие условиям проективности, либо инъективности всех полумодулей из произвольного многообразия, содержащих) регулярный полумодуль. К сожалению, эта статья осталась, фактически, незамеченной, она не упоминается ни в указанных выше монографиях по общей теории полуколец, ни в статьях других авторов. В 80-е годы XX-го века серия результатов о полумодулях над полукольцами была представлена в работах Такахаши [79] [84], в частности, в статье [80] был предложен один из возможных подходов к определению тензорного произведения полу модулей. Инъективные полумодули над аддитивно идемпотентными полукольцами изучались Такахаши и Вангом [85]; полученные в последней статье результаты получили дальнейшее развитие в статье Ванга [88], доказавшего, что все полумодули над аддитивно идемпотентными полукольцами обладают инъективными оболочками. Несколькими годами позднее этот результат был существенно обобщен

Кацовым [59] на случай полу модулей над аддитивно регулярными полукольцами. Специальные виды инъективности и проективности для полумодулей над полукольцами исследовались в работах [38] [41], [43]. Строение проективных полу модулей и их связь со свободными полу модулями изучались Сократовой в [77] и [78]. В частности, в [77] было показано, что каждый проективный полу модуль над коммутативным аддитивно регулярным полукольцом $ является свободным в точности тогда, когда S = 0; в статье [ ] было установлено, что всякий проективный полумодуль является ретрактом прямой суммы некоторого набора своих счетно-порожденных проективных подполу модулей, последний результат обобщает хорошо известный результат Капланского [58, теорема 1]. Используя предложенное Такахаши определение тензорного произведения полу модулей, Аль-Тани в статье [42] ввел понятие плоского полумодуля, а также исследовал связи плоских полумодулей с проективными и инъективными полу модулями. Другой подход к конструкции тензорного произведения полу модулей и, соответственно, определению плоского полу модуля, был предложен Кацовым [60]; этот подход в отличие от конструкций, предложенных Такахаши и Аль-Тани позволил почти без изменений распространить на случай полу модулей большую часть базовых свойств плоских модулей над кольцами.

В связи гомологической классификацией полуколец особо следует отметить опубликованную в 2004 году статью Кацова [61], в которой, в частности, было доказано, что 1) в классе коммутативных аддитивно регулярных полуколец условие проективности всех плоских правых полумодулей (то есть совершенность по Бассу) выполняется тогда и только тогда, когда полукольцо является кольцом, 2) все проективные правые полумодули над полукольцом Я[х 1,..., хп], где Я - аддитивно регулярное полутело, свободны тогда и только тогда, когда Я - поле. В той же статье были сформулированы в качестве открытых проблем два направления исследований, одно из которых касалось описания односторонне совершенных по Бассу полуколец в классе вссех аддитивно регулярных полуколец, а второе заключалось в нахождении условий,

Я

ные правые полумодули над полукольцом Я[х1,..., хп] были бы свободными, последняя задача является полукольцевым аналогом известной проблемы Серра (см., напр., [70]).

Статья [61], несомненно, способствовала активизации исследований в области гомологической классификации полуколец, за последующие годы по настоящее время в ведущих российских и зарубежных журналах было опубликовано более двух десятков работ, содержащих результаты о проективных, инъективных, плоских полумодулях над полукольцами и о связи свойств таких полумодулей со свойствами базового полукольца. В частности, различные виды инъективности и проективности для полу модулей, а также возможность описания некоторых классов полуколец с помощью свойств инъективных, либо проективных полумодулей заданного вида изучались в [34], [35], [46], [57], [89], [90], [92], [93], [94], [98], [100], [101], [104]; инъективные и проективные оболочки полумодулей, а также условия существования таких оболочек для различных типов полумодулей исследовались в [86], [96], [99], [102]; плоские полумодули и совершенные по Бассу полукольца изучались в [33], [63], [96]; решению полукольцевого аналога проблемы Серра посвящены статьи [95] и [97].

Цели и задачи диссертации. Основная цель диссертации заключается в развитии гомологической классификации полуколец, изучении возможности обобщения на случай полуколец ряда классических результатов теории колец и модулей. Основными задачами диссертации являются: описание полуколец, над которыми все, либо все конечно-порожденные полумодули инъективны или проективны, описание односторонне совершенных по Бассу полуколец, описание полуколец, все полумодули над которыми обладают проективными оболочками или инъективными оболочками, установление связей между классами правых V-, V*-, С!- и СР-полуколец, описание правых С!- и правых ОР-полуколец в классе антиограниченных полуколец, описание шрайеровых и р-шрайеровых многообразий полумодулей над полутелами и полукольцами многочленов над полутелами.

Основные методы исследования. В работе используются классические методы теории полуколец и полу модулей, универсальной алгебры и теории категорий.

Выносимые на защиту положения. Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем.

• Найдены условия, необходимые для инъективности прямых сумм и проективности прямых произведений полумодулей над полукольцами; с по-

мощью этих условий получены полу кольцевые аналоги ряда классических теорем теории колец и модулей (теоремы Фейса Уокера [16, теорема 13.6.1], Басса Паппа [16, теорема 6.5.1], Чейза [28, теорема 22.31В]).

• Доказано, что всякое полукольцо, над которым все правые полумодули обладают проективными оболочками, а также всякое совершенное справа по Бассу полукольцо, является совершенным справа кольцом; последнее, в частности, полностью подтверждает высказанное в [61] предположение об отсутствии аддитивно регулярных совершенных справа по Бассу полуколец, не являющихся кольцами.

• Описаны полукольца, над которыми все полумодули некоторого фиксированного типа (простые, аддитивно идемпотентные, аддитивно регулярные, конечно-порожденные и др.) обладают инъективными оболочками, в том числе, полностью подтверждено высказанное в [103] и [99] предположение о справедливости обращения результата Кацова [59, следствие 12] о существовании инъективных оболочек для всех полумодулей над аддитивно регулярными полукольцами.

• Получены условия, необходимые и достаточные для того, чтобы все инъ-ективные по Бэру правые полумодули над полукольцом были бы инъективными.

• Получены условия, необходимые и достаточные для того, чтобы полукольцо являлось правым У-полукольцом, либо правым V*-полукольцом; получено обобщение теоремы Капланского о коммутативных У-кольцах; доказано, что класс правых V*-полуколец строго содержится в классе правых У-полуколец.

• Внутри класса антиограниченных полуколец описаны все правые С1-полукольца и все правые СР-полукольца. Доказано, что всякое правое С/-полукольцо есть правое У-полукольцо, а всякое правое СР-полукольцо есть правое V*-полукольцо. Описание антиограниченых правых С/-полуколец обобщает известный результат Б.Ософской [ ],

Я

Я

• Доказано, что если полукольцо S не является кольцом, то многообразие Ms всех правых полумодулей над ним не шрайерово. Установлено, что для всякого аддитивно ^-регулярного полукольца S, не являющегося кольцом, многообразие Ms не является р-шрайеровым. Данный результат, в частности, дает решение поставленного в [61, проблема 1] открытого вопроса о несовпадении классов свободных и проективных полумодулей для всякого аддитивно регулярного полукольца, не являющегося кольцом.

• Для произвольного полутела R установлено, что р-шрайеровость многообразия Mr равносильна слабой аддитивной сократим ости полутела R. Доказано, что если полутело R не является телом, то р-шрайеровость многообразия Mr(x) (где R(X) есть полукольцо всех многочленов над R от произвольного набора X необязательно коммутирующих переменных) равносильна р-шрайеровости многообразия Mr. Указанные результаты дают решение полукольцевого аналога проблемы Серра о совпадении классов проективных и свободных модулей для полиномиальных колец над телами (см. также [61, проблема 2]).

Публикации. Все основные результаты диссертации опубликованы в 16 статьях, из которых работы [89] [94] опубликованы в изданиях из перечня, рекомендованного ВАК, работы [95] [103] в изданиях, входящих в международные реферативные базы данных цитирования Web of Science и Scopus. Все относящиеся к диссертации результаты в совместных работах, за исключением указанных ниже результатов, принадлежат автору. Исключение составляют теорема 5.1.2 и лемма 6.2.5, первоначально доказанные автором, окончательные варианты их доказательств получены в неразрывном сотрудничестве с Е.Б.Кацовым, а также следствие 5.2.1, предложения 5.2.2, 5.3.2 5.3.11, теоремы 5.3.1 и 5.3.2, полученные в неразрывном сотрудничестве с Е.Б. Кацовым и Т. Г. Намом.

Апробация результатов. Результаты диссертационного исследования по мере их получения были доложены автором: на международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша (Россия, г. Москва, МГУ имени М.В.Ломоносова, 28 мая 3 июня 2008 г.); на международной конференции "Мальцевские чтения", посвященной 100-летию со дня

рождения А.И. Мальцева (Россия, г. Новосибирск, НГУ, 24-28 августа 2009 г.); на международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора КГУ В.В.Морозова (Россия, г.Казань, КФУ, 25-30 сентября 2011г.); на международной конференции "Алгебра и математическая логика: теория и приложения" (Россия, г. Казань, КФУ, 2-6 июня 2014 г.); на XIII международной конференции "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения", посвященной 85-летию со дня рождения проф. С.С.Рышкова (Россия, г.Тула, 25-30 мая 2015г.); на международной конференции по алгебре, анализу и геометрии (Россия, г. Казань, КФУ, 26 июня 2 июля 2016г.); на международной конференции, посвященной 110-летию со дня рождения профессора А.Г. Куроша (Россия, г.Москва, МГУ имени М.В.Ломоносова, 22-26 мая 2018г.); на международной конференции по алгебре, анализу и геометрии (Россия, г. Казань, КФУ, 23-28 августа 2021г.). Кроме того, результаты докладывались на научных семинарах кафедры высшей математики факультета математики, информатики и физики Вятского государственного гуманитарного университета в 20082010 гг., а также на научных семинарах и итоговых конференциях кафедры алгебры и математической логики Института математики и механики имени Н.И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета в 2007-2021 гг.

Теоретическая и практическая значимость диссертации. Результаты диссертационной работы носят теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в дальнейших теоретических исследованиях в рамках гомологической классификации полуколец, при написании монографий и учебных пособий, а также при чтении специальных курсов по теории полуколец и полумодулей в высших учебных заведениях Российской Федерации.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация включает в себя введение, шесть глав, разбитых на параграфы, заключение, список обозначений, а также список литературы, содержащий 112 наименований, включая список работ, опубликованных автором по теме диссертации. Общий объем диссертации составляет 219 страниц.

Структура и содержание работы. В структурном плане диссертация состоит из введения, шести глав и списка литературы.

Глава 1 носит преимущественно вводный характер.

В § 1.1 приводятся определения основных понятий, некоторые известные факты, а также вспомогательные утверждения о полукольцах и полумодулях, необходимые для дальнейшего изложения.

В § 1.2 и § 1.3 исследуются свойства инъективных и проективных полумодулей над полукольцами; в частности, в § 1.2 даются необходимые условия инъективности прямых сумм, а в § 1.3 - необходимые условия проективности прямых произведений полумодулей над полукольцами.

Глава 2 посвящена исследованию ряда "кольцевых" свойств многообразий полумодулей над полукольцами, то есть таких свойств, которыми могут обладать только многообразия модулей над кольцами.

В § 2.1 доказываются полукольцевые аналоги известных результатов, характеризующих классически полупростые, квазифробениусовы и нётеровы кольца свойствами инъективных и проективных модулей над ними.

В § 2.2 доказывается, что условия инъективности, либо проективности всех конечно-порожденных полумодулей над полукольцом выполняются ровно тогда, когда полукольцо является классически полупростым кольцом.

В § 2.3 показывается, что условие существования проективных оболочек для всех правых полумодулей над полукольцом, либо его правая совершенность по Бассу (то есть проективность всех правых плоских полумодулей) выполняются только для совершенных справа колец.

Глава 3 посвящена исследованию вопросов о существовании инъективных оболочек для полумодулей, а также изучению полуколец, удовлетворяющих критерию Бэра.

В § 3.1 доказывается, что класс полузероидных полуколец может быть охарактеризован условиями существования инъективных оболочек для некоторых типов полумодулей (простые полумодули, модули и др.).

В § 3.2 доказывается, что условия существования инъективных оболочек для всех аддитивно идемпотентных, либо всех аддитивно регулярных полумодулей над полукольцом выполняются ровно тогда, когда полукольцо аддитивно п-регулярио.

В § 3.3 показывается, что существование инъективных оболочек для всех (либо всех конечно-порожденных) полумодулей над полукольцом эквивалентно тому, что полукольцо аддитивно регулярно.

В § 3.4 даются условия, необходимые и достаточные для того, чтобы каждый инъективный по Бэру полумодуль над полукольцом являлся бы инъек-тивным.

Глава 4 посвящена полукольцам, удовлетворяющим условиям инъектив-ности, либо проективности всех своих простых полумодулей.

В § 4.1 исследуются свойства простых полумодулей над зероидными полукольцами. Доказывается, что в случае проективности, либо инъективности всех простых циклических правых полумодулей над зероидным полукольцом, каждый простой правый полумодуль над ним порождается любым своим ненулевым элементом.

В § 4.2 изучаются V-полукольца, то есть полукольца, над которыми каждый простой иолу модуль инъективен. Доказывается, что всякое правое V-полукольцо является прямой суммой правого V-кольца и зероидного правого V-полукольца, а также доказывается полукольцевой аналог теоремы Капланского о коммутативных V-кoльцax.

В § 4.3 изучаются V*-полукольца, то есть полукольца, над которыми каждый простой полумодуль проективен. Показывается, что класс правых V*-полуколец строго содержится в классе правых V-пoлyкoлeц, доказываются структурные теоремы о V*-полукольцах; устанавливается, что свойство "быть V*-полукольцом" не является, вообще говоря, левоправосимметрич-ным.

Глава 5 посвящена полукольцам, удовлетворяющим условиям инъективности, либо проективности всех своих циклических полумодулей, а также изучению е-апалогов свойств инъективности и проективности для полумодулей.

В § 5.1 изучаются С/-полукольца, то есть полукольца, над которыми каждый циклический полумодуль инъективен. Показывается, что всякое правое С/-полукольцо является прямой суммой классически полупростого кольца и регулярного правого С/-полукольца, обладающего бесконечным элементом; дается описание правых С/-полуколец внутри класса антиограниченных полуколец.

СР

дый циклический полумодуль проективен. Показывается, что всякое правое СР

и аддитивно ^-регулярного правого СР-полукольца, обладающего бесконеч-

СР

тиограниченных полуколец.

В § 5.3 вводятся понятия е-инъективного и е-ироективного полумодуля, изучаются свойства таких полу модулей, а также излагается ряд результатов о

е

полумодулей над ними.

Глава 6 посвящена шрайеровым и р-шрайеровым многообразиям полумодулей над полукольцами.

В § 6.1 доказывается, что если полукольцо Б не является кольцом, то многообразие Мб всех правых полумодулей над ним не шрайерово; дается описание полутел и коммутативных полуколец, обладающих 2-шрайеровыми мно-

Р

полукольца Б многообразие Мб не является 1-шрайеровым.

В § 6.2 устанавливается, что если аддитивно п-регулярное полукольцо Б не является кольцом, то многообразие Мб не является р-шрайеровым; даются необходимые и достаточные условия р-шрайеровости многообразий

полумодулей над антинегативными полукольцами без делителей нуля.

р

разиями полу модулей. Также доказывается, что если Я - антинегативное полукольцо без делителей нуля и Б = Я(Х) - полукольцо многочленов от произвольного набора X (необязательно коммутирующих) переменных, то р-шрайеровость многообразия Мб равносильна р-шрайеровости многообразия Мд; с помощью последнего результата, в частности, дается решение полукольцевого аналога проблемы Серра.

Автор выражает глубокую благодарность научному консультанту д.ф,-м.н., профессору Евгению Михайловичу Вечтомову и д.ф.-м.н., профессору Ефиму Борисовичу Кацову за полезные обсуждения и внимание к работе, коллективу кафедры алгебры и математической логики Института математики и механики им. Н.И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета, в том числе, заведующему кафедрой д.ф.-м.н., профессору М.М. Арсланову за создание благожелательной атмосферы и условий, способствовавших написанию диссертации, а также своему первому научному руководителю к.ф.-м.н., доценту Ю.А.Альпину.

Гл

Базовые теоретико-полумодульные конструкции

Настоящая глава имеет преимущественно вводный характер и содержит, в основном, известные утверждения о полукольцах и полу модулях, а также ряд вспомогательных результатов, которые будут использоваться в последующих главах. Основные определения и некоторые необходимые для дальнейшего изложения начальные результаты приведены в параграфе 1.1. Параграфы 1.2 и 1.3 посвящены исследованию свойств инъективных и проективных полу модулей над полукольцами, в частности, в них получены необходимые условия инъективности прямых сумм и проективности прямых произведений полумодулей над полукольцами.

1.1 Полукольца и полумодули

В данном параграфе кратко излагаются начальные сведения и результаты о полукольцах и полумодулях. Большая часть используемых ниже терминов и обозначений соответствует терминам и обозначениям, принятым в книге [50]; в ней же можно найти подробное изложение многих результатов и фактов, приведенных здесь без доказательств.

Определение 1.1.1 Согласно [50] под полукольцом понимается алгебраическая система (£, +, •, 0) такая, что

1) (5, +, 0) - коммутативный моноид;

2) (5, •) - полугруппа;

3) (х + у)х = хх + ух, х(у + х) = ху + хх для всех х, у, х Е 5;

4) 0х = х0 = 0 для всех х Е

В случае, когда (S, •, 1) - моноид, говорят, что S - полукольцо с единицей. Ниже все полукольца (если это не оговорено особо) предполагаются содержащими единицу, не исключая случай, когда 1 = 0 и, следовательно, S = {0}.

Идеалы (правые, левые, двусторонние) полуколец определяются по аналогии с идеалами в кольцах.

Определение 1.1.2 Идеал / С S называется

- полустрогим (или вычитаемым), если для всех a,b £ S из a,a + b £ / вытекает b £ /;

- строгим, если a + b £ / влечет a, b £ / для всех a, b £ S.

При изучении полуколец существенно более важную роль по сравнению с идеалами играют конгруэнции.

Определение 1.1.3 Отношение эквивалентности р на полукольце S называется конгруэнцией, если a р b влечет (a + c) р (b + c), (ac) р (bc) и (ca) р (cb) для всex a, b, c £ S.

Для каждого a £ S под a/р будем понимать класс конгруэнтности элемента a относительно р.

S

груэнции: тривиальная - отношение равенства и универсальная - S х S. Множество всех конгруэнций на S обозначим через Cong(S); оно образует полную решетку относительно порядка, определенного правилом: р1 < р2, если a р1 b влечет a р2 b для всех a, b £ S.

р S 0/р

полустрогий идеал. Для полуколец (в отличие от колец) равенство идеалов 0/р1 = 0/р2 р1 р2

Для всякой конгруэнции р £ Cong(S) на множестве S/р = {s/р, s £ S} классов естественным образом определяются операции сложения и умножения: a/р + b/р = (a + Ь)/р, a/р•b/р = (ab)/^. При этом система (S/р, •, +)

S

р

Определение 1.1.4 Отображение y: S ^ T полуколец называется гсшо-

a, b £ S 1) a(a + b) = a(a) + a(b);

2) а(аЬ) = а(а)а(Ь);

3) а(0^) = 0т;

4) ) = 1т.

Биективный гомоморфизм называется из ом,орфизм,ом,.

Каждому гомоморфизму 7: 5 ^ Т полуколец соответствует конгруэнция =7, определяемая прав илом: а =7 Ь ^ 7 (а) = 7 (6). Справедлив стандартный результат, обычно называемый теоремой о гомоморфизме (см., напр., [50, предложение 9.45]):

Предложение 1.1.1 Всякий гомоморфизм 7: 5 ^ Т полуколец индуцирует ишективныи гомоморфизм 7': 5/=7 ^ Т, где 7'(в/=7) = 7(в) для всех в Е 5. Если гомоморфизм 7 сюрпективен, то 7' есть изоморфизм.

Как обычно, если р - конгруэнция на полукольце 5, то сюръективный гомоморфизм а : 5 Э в ^ в/р Е 5/р называется естественным, при этом для упрощения обозначений часто вместо 5/р будем писать 5 (или и т.п.) с соответствующими обозначениями для элементов: например, 5 Е 5 (5 Е 5 Е и т.п.).

Определение 1.1.5 Коммутативный моноид (М, +, 0м) называется правым полумодулем над полукольцом Б (правым Б-полумодулем), если для любых т Е М и в Е 5 определено произведение тв Е М, причем для всех т,т' Е М, в, в' Е 5 верно

1) т(вв/) = (тв)«';

2) (т + т')в = тв + т'в;

3) т(в + в') = тв + тв'; т1 = т

5) 0м в = 0м = т0.

Аналогично определяются левые полумодули. Категории всех правых и всех левых обозначаются через Мб и бМ, соответственно.

Включение М Е |Мб| означает, что М является объектом категории Мб, то есть является правым 5'-полумодулем. Ниже все полумодули (если это не оговорено особо) считаются правыми. Стандартным образом (см., напр., [50, гл. 14 16]) вводятся понятия подполумодуля, (в частности, вычитаемого и строгого подполумодуля), конгруэнции па полумодуле, фактор-полумодуля,

гомоморфизма полумодулей и т.д. Полукольцо, рассматриваемое как полумодуль над собой, называется регулярным, полумодулем.

Для произвольного полумодуля М рассмотрим следующие подполумоду-

V(М) = {т Е М : т + т' = 0 для некоторого т' Е М},

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Ильин Сергей Николаевич, 2023 год

Литература

[1] Бестужев, A.C. Циклические полукольца с коммутативным сложением / A.C. Бестужев, Е.М. Вечтомов // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1. Математика. Механика. Информатика. - 2015. - Вып. 20. _ с. 8-39.

[2] Вечтомов, Е.М. Обобщенные абелево-регулярные положительные полукольца / Е.М. Вечтомов, О.В.Старостина // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1. Математика. Механика. Информатика. - 2007. - Вып. 7. - С. 3-16.

[3] Вечтомов, Е.М. Полутела и их свойства / Е.М. Вечтомов, A.B. Черанева // Фундаментальная и прикладная математика. - 2008. - Т. 14. - Вып. 5. _ с. 3-54.

[4] Вечтомов, Е.М. Полукольца непрерывных функций: монография / Е.М. Вечтомов, В.В. Сидоров, Д.В. Чупраков. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2011. - 312 с.

[5] Вечтомов, Е.М. Элементы теории полуколец: монография / Е.М. Вечтомов, E.H. Лубягина, В.В.Чермных. - Киров: Изд-во ООО "Радуга-ПРЕСС", 2012. - 228 с.

[6] Вечтомов, Е.М. Циклические полукольца с идемпотентным некоммутативным сложением / Е.М. Вечтомов, И.В.Орлова // Фундаментальная и прикладная математика. - 2012. - Т. 17. - Вып. 1. - С. 33-52.

[7] Вечтомов, Е.М. Мультипликативно идемпотентные полукольца / Е.М. Вечтомов, А.А.Петров // Фундаментальная и прикладная математика. - 2013. - Т. 18. - Вып. 4. - С. 41-70.

[8] Вечтомов, Е.М. Полукольца с идемпотентным умножением / Е.М. Вечтомов, А.А.Петров. - Киров: Изд-во ООО "Радуга-ПРЕСС", 2015. - 144 с.

[9] Вечтомов, Е.М. Циклические полукольца с неидемпотентным некоммутативным сложением / Е.М. Вечтомов, И.В.Орлова // Фундаментальная и прикладная математика. - 2015. - Т. 20. - Вып. 6. - С. 17-41.

[10] Вечтомов, Е.М. Элементы функциональной алгебры: монография : в 2 т. Т. 1 / Е.М. Вечтомов, E.H. Лубягина, В.В.Сидоров, Д.В.Чупраков . ||1()Л р6д_ Е.М. Вечтомова]. - Киров: Изд-во "Радуга-ПРЕСС", 2016. -384 с.

[11] Вечтомов, Е.М. Элементы функциональной алгебры: монография : в 2 т. Т. 2 / Е.М. Вечтомов, E.H. Лубягина, В.В.Сидоров, Д.В.Чупраков . ||1()Л р6д_ Е.М. Вечтомова]. - Киров: Изд-во "Радуга-ПРЕСС", 2016. -316 с.

[12] Вечтомов, Е.М. Полукольца непрерывных функций / Е.М. Вечтомов, А.В.Михалев, В.В.Сидоров // Фундаментальная и прикладная математика. - 2016. - Т. 21. - Вып. 2. - С. 53-131.

[13] Вечтомов, Е.М. Конечные циклические полукольца с полурешеточным сложением, заданным двухпорожденным идеалом натуральных чисел / Е.М. Вечтомов, Д.В. Чупраков // Чебышевский сборник. - 2020. - Т. 21.

- Вып. 1. - С. 82-100.

[14] Вечтомов, Е.М. Основные направления развития теории полуколец / Е.М. Вечтомов, В.В. Чермных // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1. Математика. Механика. Информатика. - 2021. - Вып. 41. _ с. 4 40.

[15] Гутерман, А.Э. Фробениусовы эндоморфизмы пространств матриц: дис....докт. физ.-мат. наук: 01.01.06 / Гутерман Александр Эмилевич.

- Москва, 2008. - 321 с.

[16] Каш, Ф. Модули и кольца / Ф.Каш. - М.: Мир, 1981. - 368 с.

[17] Клиффорд, А. Алгебраическая теория полугрупп. Т. 1 / А. Клиффорд, Г.Престон. - М.: Мир, 1972. - 288 с.

[18] Кожухов, И.Б. Полигоны над полугруппами / И.Б. Кожухов, A.B. Михалёв // Фундаментальная и прикладная математика. - 2020. - Т. 23. -Вып. 3. - С. 141-199.

[19] Маклейн, С. Гомология / С. Маклейн. - М.: Мир, 1966. - 543 с.

[20] Скорняков, Л.А. Гомологическая классификация колец / Л.А. Скорняков // В сб. "Труды IV Всесоюзного математического съезда, т. 2". - Л.: Изд-во АН СССР, 1964. - С. 22-32.

[21] Скорняков, Л.А. Гомологическая классификация колец / Л.А. Скорняков // Математический вестник. - 1967. - Т. 4. - № 119. -С. 415-434.

[22] Скорняков, Л.А. Гомологическая классификация моноидов / Л.А. Скорняков // Сибирский математический журнал. - 1969. -Т 10. С. 1139-1143.

[23] Скорняков, Л.А. Характеризация категории полигонов / Л.А. Скорняков // Математический сборник. - 1969. - Т. 80. -№ 4. - С. 492-502.

[24] Скорняков, Л.А. Элементы теории структур / Л.А. Скорняков. - М.: Наука, 1982. - 160 с.

[25] Скорняков, Л.А. Элементы общей алгебры / Л.А. Скорняков. - М: Наука, 1983. - 272 с.

[26] Туганбаев, A.A. Теория колец. Арифметические модули и кольца / A.A. Туганбаев. - - М.: МЦНМО, 2009. - 472 с.

[27] Фейс, К. Алгебра: кольца, модули и категории. Т. 1. / К. Фейс. - М.: Мир, 1977. - 688 с.

[28] Фейс, К. Алгебра: кольца, модули и категории. Т. 2. / К. Фейс. М.: Мир, 1979. - 464 с.

[29] Флейшер, В. О гомологической классификации полуколец с нулем / В. Флейшер // Ученые записки Тартуского гос. ун-та. Труды по математике и механике. - 1975. - Т. 366. Л'° 16. С. 42-75.

[30] Чермных, В.В. Функциональные представления полуколец: монография / В.В. Чермных. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2010. - 224 с.

[31] Чермных, В.В. Функциональные представления полуколец и полумодулей: дне.... докт. физ.-мат. наук: 01.01.06 / Чермных Василий Владимирович. - Екатеринбург, 2007. - 234 с.

[32] Шитов, Я.Н. Линейная алгебра над полукольцами: дис....докт. физ.-мат. наук: 01.01.06 / Шитов Ярослав Николаевич. - Москва, 2015. -302 с.

[33] Abuhlail, J.Y. Some remarks on tensor products and flatness of semimodules / J.Y. Abuhlail // Semigroup Forum. - 2014. - Vol. 88. - № 3. - P. 732-738.

[34] Abuhlail, J.Y. Exact sequences of commutative monoids and semimodules / J.Y. Abuhlail // Homology, Homotopy and Applications. - 2014. - Vol. 16.

Л" 1. P. 199-214.

[35] Abuhlail, J.Y. On semisimple semirings / J.Y. Abuhlail, R.G. Noegraha // Communications in Algebra. - 2020. - Vol. 49. A" 3. P. 1295-1313.

[36] Abuhlail, J.Y. Pushouts and e-projective semimodules / J.Y. Abuhlail, R.G. Noegraha // Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society. -2021. - Vol. 44. A'0 1. P. 527-562.

[37] Alarcon, F.E. Commutative semirings and their lattices of ideals / F.E. Alarcon, D.D.Anderson / / Houston Journal of Mathematics. - 1994. -Vol. 20. - № 4. - P. 571-590.

[38] Al-Thani, H.M. A note on projective semimodules / H.M. Al-Thani // Kobe Journal of Mathematics. - 1995. - Vol. 12. - № 2. - P. 89-94.

[39] Al-Thani, H.M. k-projective semimodules / H.M. Al-Thani // Kobe Journal of Mathematics. - 1996. - Vol. 13. Л" 1. P. 49-59.

[40] Al-Thani, H.M. Characterizations of projective and k-projective semimodules / H.M. Al-Thani // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. - 2002. - Vol. 32. - № 7. - P. 439-448.

[41] Al-Thani, H.M. Injective semimodules / H.M. Al-Thani // Journal of Institute of Mathematics and Computer Sciences. Mathematics Series. -2003. - Vol. 16. ..V" 3. P. 143-152.

[42] Al-Thani, H.M. Flat semimodules / H.M. Al-Thani // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. - 2004. - Vol. 20. - № 17. -P. 873-880.

[43] Ahsan, J. Characterizations of semirings by P-injective and projective semimodules / J. Ahsan, M. Shabir, H.J. Weinert // Communications in Algebra. - 1998. - Vol. 26. - № 7. - P. 2199-2209.

[44] Anderson, F.W. Rings and Categories of Modules / F.W. Anderson, K.R. Fuller. - New York: Springer-Verlag, 1992. - 378 p.

[45] Dedekind, R. Uber die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen, Supplement XI to P. G. Lejeune Dirichlet: Vorlesungen über Zahlentheorie, 4 Aufl. / R. Dedekind. - Braunschweig: Druck und Verlag, 1894.

[46] Di Nola, A. On injectivity of semimodules over additively idempotent division semirings and chain MV-semirings / A. Di Nola, G. Lenz, T.G. Nam, S. Vannucci // Journal of Algebra. - 2019. - Vol. 538. - P. 81-109.

[47] Fofanova, T.S. Polygons over distributive lattices / T.S. Fofanova // Universal Algebra, in: Colloq. Math. Soc. Jänos Bolyai, Vol. 29, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1982. - P. 289-292.

[48] Glazek, K. A Guide to the Literature on Semirings and Their Applications in Mathematics and Information Sciences / K. Glazek. - Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers, 2002. - 392 p.

[49] Golan, J.S. The Theory of Semirings, with Applications in Mathematics and Theoretical Computer Science / J.S. Golan. - Harlow: Longman Scientific and Technical, 1992. - 318 p.

[50] Golan, J.S. Semirings and Their Applications / J.S. Golan. - Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers, 1999. - 381 p.

[51] Golan, J.S. Power Algebras over Semirings / J.S. Golan. - Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers, 1999. - 203 p.

[52] Golan, J.S. Semirings and affine maps between them / J.S. Golan. -Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers, 2003. - 241 p.

[53] Gratzer, G. Universal Algebra. 2nd ed. / G. Gratzer. - New York-Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag, 1979. - 581 p.

[54] Grillet, P.A. On free commutative semigroups /P.AGrillet // Journal of Natural Sciences and Mathematics. - 1969. - Vol. 9. - P. 71-78.

[55] Guterman, A.E. Rank and determinant functions for matrices over semirings / A.E. Guterman // Surveys in contemporary mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. London Mathematical Society. Lecture Note Series. - 2008. - Vol. 347. - P. 1-33.

[56] Jezek, J. Simple semimodules over commutative semirings / J. Jezek, T. Kepka // Acta Scientiarum Mathematicarum. - 1983. - Vol. 46. - № 1.

- P. 17-27.

[57] Johnson, M. FP-injective semirings, semigroup rings and Leavitt path algebras / M. Johnson, T.G. Nam // Communications in Algebra. - 2017.

- Vol. 45. - № 5. - P. 1893-1906.

[58] Kaplansky, I. Projective modules / I. Kaplansky // Annals of Mathematics.

- 1958. - Vol. 68. - № 2. - P. 372-377.

[59] Katsov, Y. Tensor products and injective envelopes of semimodules over additive regular semirings / Y. Katsov // Algebra Colloquium. - 1997. -Vol. 4. 2. - P. 121-131.

[60] Katsov, Y. On flat semimodules over semirings / Y. Katsov // Algebra Universalis. - 2004. - Vol. 51. - № 2-3. - P. 287-299.

[61] Katsov, Y. Toward homological classification of semirings: Serre's conjecture and Bass's perfectness in a semiring context / Y. Katsov // Algebra Universalis. - 2004. - Vol. 52. - № 2-3. - P. 197-214.

[62] Katsov, Y. Morita equivalence and homological characterization of semirings / Y. Katsov, T.G. Nam // Journal of Algebra and Its Applications. - 2011.

- Vol. 10. ..V" 3. P. 445-473.

[63] Katsov, Y. More on subtractive semirings: simpleness, perfectness, and related problems / Y. Katsov, T.G. Nam, N.X. Tuyen // Communications in Algebra. - 2011. - Vol. 39. - № 11. - P. 4342-4356.

[64] Katsov, Y. On radicals of semirings and related problems / Y. Katsov, T.G. Nam // Communications in Algebra. - 2014. - Vol. 42. - № 12. -P. 5065-5099.

[65] Katsov, Y. On simpleness of semirings and complete semirings / Y. Katsov, T.G. Nam, J. Zumbrägel // Journal of Algebra and Its Applications. - 2014.

- Vol. 13. ..V" 6. Article ID: 1450015.

[66] Kilp, M. Monoids, Acts and Categories / M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev. - Berlin-New York: Walter de Gruyter, 2000. - 529 p.

[67] Krull, W. Axiomatische Begründung der Algemeinen Idealtheory / W. Krull // SitZ. phys.-med. Soc. Erlangen. - 1924. - Vol. 56. - P. 47-63.

[68] Lam, T.Y. Lectures on Modules and Rings / T.Y. Lam. - New York-Berlin: Springer-Verlag, 1999. - 557 p.

[69] Lam, T.Y. A First Course in Noncommutative Rings. 2nd ed. / T.Y. Lam.

- New York-Berlin: Springer-Verlag, 2001. - 385 p.

[70] Lam, T.Y. Serre's Problem on Projective Modules / T.Y. Lam. - New York-Berlin: Springer-Verlag, 2006. - 401 p.

[71] Mac Lane, S. Categories for the Working Mathematician. 2nd edition. / S. Mac Lane. - New York: Springer-Verlag, 1998. - 314 p.

[72] Noether, E. Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl und Funktionenkörpern / E. Noether // Mathematische Annalen. - 1926. -Vol. 96. - P. 26-61.

[73] Osofsky, B.L. Rings all of whose finitely generated modules are injective / B.L. Osofsky // Pacific Journal of Mathematics. - 1964. - Vol. 14. -P. 645-650.

[74] Patchkoria, A. Projective semimodules over semirings with valuations in nonnegative integers / A. Patchkoria // Semigroup Forum. - 2009. - Vol. 79.

- № 3. - P. 451-460.

[75] Rowen, L.H. Ring theory. Abridged student edition. / L.H. Rowen. - Boston, MA: Academic Press, Inc., 1991. - 623 p.

[76] Schanuel, S.H. Negative sets have Euler characteristic and dimension / S.H. Schanuel. // in A. Carboni et al. (ds.): Category theory, Proc. Int. Conf., Como/Italy 1990, Lect. Notes Math. - 1991. - Vol. 1488. - P. 379-385.

[77] Sokratova, O. On semimodules over commutative additively idempotent semirings /0. Sokratova // Semigroup Forum. - 2002. - Vol. 64. - № 1. _ p. i_ii.

[78] Sokratova, O. Projective semimodules / O. Sokratova // Algebra Universalis. - 2002. - Vol. 48. - № 4. - P. 389-398.

[79] Takahashi, M. On the bordism categories. II: Elementary properties of semimodules / M. Takahashi // Mathematics Seminar Notes, Kobe University. - 1981. - Vol. 9. - P. 495-530.

[80] Takahashi, M. On the bordism categories. Ill: Functors Horn and tensor product for semimodules / M. Takahashi // Mathematics Seminar Notes, Kobe University. - 1982. - Vol. 10. - P. 211-236.

[81] Takahashi, M. Completeness and C-cocompleteness of the category of semimodules / M. Takahashi // Mathematics Seminar Notes, Kobe University. - 1982. - Vol. 10. - P. 551-562.

[82] Takahashi, M. Extension of semimodules. I / M. Takahashi // Mathematics Seminar Notes, Kobe University. - 1982. - Vol. 10. - P. 563-592.

[83] Takahashi, M. Extension of semimodules. II / M. Takahashi // Mathematics Seminar Notes, Kobe University. - 1983. - Vol. 11. - P. 83-118.

[84] Takahashi, M. Structures of semimodules / M. Takahashi // Kobe Journal of Mathematics. - 1987. - Vol. 4. ..V 1. P. 211-236.

[85] Takahashi, M. Injective semimodules over a 2-semiring / M. Takahashi, H. Wang // Kobe Journal of Mathematics. - 1993. - Vol. 10. - № 1. - P. 59-70.

[86] Tuyen, N.X. On projective covers of semimodules in the category A-CSSMod and their applications / N.X. Tuyen, T.G. Nam // Southeast Asian Bulletin of Mathematics. - 2007. - Vol. 31. - P. 363-377.

[87] Vandiver, H.S. Note on a simple type of algebra in which cancellation law of addition does not hold / H.S. Vandiver // Bulletin of the American Mathematical Society. - 1934. - Vol. 40. - P. 914-920.

[88] Wang, H. Injective hulls of semimodules over additively-idempotent semirings / H. Wang // Semigroup Forum. - 1994. - Vol. 48. Л'0 3. P. 377-379.

Работы автора по теме диссертации

[89] Ильин, С.Н. О применимости к полукольцам двух теорем теории колец и модулей / С.Н. Ильин // Математические заметки. - 2008. - Т. 83. -Вып. 4. - С. 530 544.

[90] Ильин, С.Н. Прямые суммы инъективных полумодулей и прямые произведения проективных полумодулей над полукольцами / С.Н. Ильин // Известия вузов. Математика. - 2010. - № 10. - С. 31—43.

[91] Ильин, С.Н. О рангах идемпотентных матриц над полутелами / С.Н. Ильин // Математические заметки. - 2012. - Т. 91. - Вып. 6. - С. 832839.

[92] Ильин, С.Н. V-полукольца / С.Н. Ильин // Сибирский математический журнал. - 2012. - Т. 53. - № 2. - С. 277-290.

[93] Ильин, С.Н. О полукольцах, удовлетворяющих критерию Бэра / С.Н. Ильин // Известия вузов. Математика. - 2013. Л'° 3. С. 33—39.

[94] Ильин, С.Н. О полукольцах, над которыми все простые полумодули про-ективны / С.Н. Ильин // Сибирский математический журнал. - 2017. - Т. 58. - № 2. - С. 281-297.

[95] Il'in, S.N. On p-Schreier varieties of semimodules / S.N. Il'in, Y. Katsov // Communications in Algebra. - 2011. - Vol. 39. № 4. - P. 1491-1501.

[96] Il'in, S.N. On projective covers of semimodules and perfect semirings / S.N. Il'in // Journal of Algebra and Its Applications. - 2014. - Vol. 13. Л'0 6. Article ID: 1450014.

[97] Il'in, S.N. On Serre's problem on projective semimodules over polynomial semirings / S.N. Il'in, Y. Katsov // Communications in Algebra. - 2014. -Vol. 42. Л'° 9. P. 4021-4032.

[98] Abuhlail, J.Y. On V-semirings and semirings all of whose cyclic semimodules are injective / J.Y. Abuhlail, S.N. Il'in, Y. Katsov, T.G. Nam. // Communications in Algebra. - 2015. - Vol. 43. - № 11. - P. 4632-4654.

[99] Il'in, S.N. On injective envelopes of semimodules over semirings / S.N. Il'in // Journal of Algebra and Its Applications. - 2016. - Vol. 15. - № 7. -Article ID: 1650122.

[100] Il'in, S.N. Toward homological structure theory of semimodules: On semirings all of whose cyclic semimodules are projective / S.N. Il'in, Y. Katsov, T.G. Nam // Journal of Algebra. - 2017. - Vol. 476. - P. 238-266.

e

injective semimodules / J.Y. Abuhlail, S.N. Il'in, Y. Katsov, T.G. Nam // Journal of Algebra and Its Applications. - 2018. - Vol. 17. - № 4. -Article ID: 1850059.

[102] Il'in, S.N. On semirings all of whose semimodules have injective envelopes / S.N. Il'in // Journal of Algebra and Its Applications. - 2021. - Vol. 20. -№ 7. - Article ID: 2150130.

[103] Il'in, S.N. On the homological classification of semirings / S.N. Il'in // Journal of Mathematical Sciences (New York). - 2021. - Vol. 256(2). -P. 125-142.

Прочие публикации

[104] Ильин, С.И. Полукольца, над которыми любой полумодуль ннъектн-вен (проектнвен) / С.Н. Ильин // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. - 2006. - Вып. 8. - С. 50-53.

[105] Ильин, С.Н. Прямые суммы инъективных полумодулей и прямые произведения проективных полу модулей над полукольцами / С.Н. Ильин / / Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию

со дня рождения А.Г. Куроша. Тезисы докладов. М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2008. - С. 108-109.

[106] Il'in, S.N. On p-Schreier varieties of semimodules / S.N. Il'in, Y. Katsov // Мальцевские чтения. Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.И. Мальцева (24-28 августа 2009 г., Новосибирск). Тезисы докладов. - Новосибирск: Институт математики СО РАН, 2009. - С. 145.

p

Katsov, S.N. Il'in // International Conference on Algebras and Lattices, dedicated to the 65th birthday of Jaroslav Jezek (June 21-25 2010, Prague, Czech Republic). - Prague, 2010. - P. 6.

[108] Il'in, S.N. On Serre's problem on projective semimodules over polynomial semirings / S.N. Il'in, Y. Katsov // Алгебра и математическая логика: материалы международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора В.В. Морозова и молодежной школы-конференции "Современные проблемы алгебры и математической логики", Казань, 25-30 сентября 2011 г. - Казань: Изд-во Казанского университета, 2011. - С. 208-210.

[109] Il'in, S.N. On injective envelopes of simple semimodules / S.N. Il'in // Материалы конференции "Алгебра и математическая логика: теория и приложения" (г. Казань, 2-6 июня 2014 г.) и сопутствующей молодежной летней школы "Вычислимость и вычислимые структуры . Казань: Изд-во Казанского университета, 2014. - С. 62-63.

[110] Il'in, S.N. On injective envelopes of semimodules / S.N. Il'in // Материалы XIII Международной конференции "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения", посвященной 85-летию со дня рождения профессора С.С. Рышкова. - Тула: Изд-во Тульского государственного педагогического университета им. Л.Н.Толстого, 2015. - С. 157-158.

[111] Ильин, С.Н. О полукольцах, над которыми все простые полумодули проективны / С.Н.Ильин // Материалы международной конференции по алгебре, анализу и геометрии, посвященной юбилеям выдающихся

профессоров Казанского университета, математиков Петра Алексеевича (1895-1944) и Александра Петровича (1926-1998) Широковых. - Казань: Казанский университет, изд-во Академии наук РТ, 2016. - С. 186-187.

[112] Il'in S.N. On injective envelopes of semimodules and additively regular semirings / S.N. Il'in // Международная алгебраическая конференция, посвященная 110-летию со дня рождения профессора А.Г. Куроша. Тезисы докладов. - М.: Изд-во МГУ, 2018. - С. 240-241.