Оценка связанности колебательных систем методом причинности по Грейнджеру при использовании моделей с полиномиальной нелинейностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук Корнилов, Максим Вячеславович

• Корнилов, Максим Вячеславович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Корнилов, Максим Вячеславович

Оглавление

Введение

1 Влияние выбора структуры модели на работоспособность метода нелинейной причинности по Грейнджеру

1.1 Введение

1.2 Описание метода

1.3 Тестирование на эталонных примерах

1.4 Выводы

2 Оптимальный подбор параметров прогностической модели в методе нелинейной причинности по Грейнджеру в приложении к сигналам, характеризуемым хорошо выраженными временными масштабами

2.1 Введение

2.2 Методика исследования работоспособности метода

2.3 Численный эксперимент

2.4 Выводы

3 Исследование эффективности метода нелинейной причинности по Грейнджеру в случае частичной фазовой синхронизации

3.1 Введение

3.2 Методика исследования работоспособности метода

3.3 Обсуждение результатов

3.4 Выводы

Приложение метода причинности по Грейнджеру к исследованию изменения архитектуры связей в ЭЭГ у детей, больных ДЦП

Заключение

Литература

96

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценка связанности колебательных систем методом причинности по Грейнджеру при использовании моделей с полиномиальной нелинейностью»

Введение

Задача определения наличия и направления связи между различными подсистемами сложных систем по их экспериментальным наблюдаемым временным рядам актуальна во многих областях знания: радиофизике, технике передачи информации, биомедицинских приложениях, климатологии, экономике и в других. Для её решения было разработано множество методов, среди них: вычисление взаимной корреляционной функции, в том числе различные обобщения на нелинейный случай [1], функции когерентности [2], коэффициента фазовой синхронизации [3], функция взаимной информации (различные подходы к её вычислению изложены в [4-8]), информации взаимодействия [9], позволяющей охарактеризовать связь между тремя переменными, энтропии переноса [10], а также подходы, основанные на использовании прогностических моделей [11,12]. Последние интересны в том числе тем, что позволяют получить не только информацию о наличии связанности систем, но и о её направленности.

К таким подходам относится и метод причинности по Грейнджеру [13], являющийся известным способом оценки влияния одной системы на другую по записям их колебаний (временным рядам). Согласно данному методу степень влияния одной системы на другую оценивается по изменению точности прогноза поведения первой системы при введении в прогностическую математическую модель данных о колебаниях второй — уменьшение ошибки прогноза истолковывается как признак влияния второй системы на первую. Методы был разработан применительно к эконометрике, однако сейчас он

успешно применяется в самых различных задачах: в физиологии — для выявления связей между различными отделами головного мозга [14-19], мозгом и конечностью [15, 20], в климатологии — для исследования взаимосвязи между индийским муссоном и Эль-Ниньо [21] и изучения глобальных климатических процессов [22]. Изначально использовались только линейные модели, однако на данный момент активно применяются также и нелинейные [20,23,24].

На практике далеко не всегда удаётся построить модельные уравнения системы исходя из первых принципов — на основе универсальных законов природы с учётом особенности моделируемого объекта. Поэтому часто реализуется эмпирический подход к построению прогностических моделей — они реконструируются по временным рядам. Прототипом такого подхода является аппроксимация точек на плоскости функцией. Когда стали доступны высокопроизводительные компьютеры, сформировалась концепция динамического хаоса и стало ясно, что сложное поведение может описываться и достаточно простыми нелинейными уравнениями, границы и возможности применения эмпирического подхода существенно расширились. К настоящему времени накоплен значительный опыт конструирования и реконструкции динамических систем различных классов [25-27]. Так. для решения задачи поиска связанности методом причинности по Грейнджеру в качестве прогностических моделей часто используются отображения по-следования с полиномиальными функциями [20,28].

Опыт моделирования по временным рядам показывает [29], что обеспечение эффективности реконструкции модельных уравнений требует разработки и использования специальных технологий подбора параметров. При реконструкции полиномиальных моделей, используемых при оценке причинности по Грейнджеру. важны выбор параметров процедуры реконструкции вектора состояний: его размерности (числа точек) и лага (расстояния

между точками), а также дальности прогноза (расстояния от предсказываемой точки до наиболее близкой к нему точки вектора состояния) и порядка полинома. Теоретически согласно теореме Такенса всегда можно взять достаточно большую размерность, а согласно теореме Вейерштрасса полиномиальные функции могут сколь угодно точно аппроксимировать любую сложную зависимость при условии использования достаточного числа членов. На практике задача упирается в недостаток данных: конечность длины временного ряда, недостаточная частота выборки, невозможность наблюдения части переменных вектора состояний (наличие скрытых переменных), наличие измерительных и динамических шумов. Трудности также возрастают. если связанные системы находятся в процессе синхронизации, например, при полной синхронизации определить направление связи между ними невозможно, поскольку их временные ряды идентичны.

Одной из основных проблем оценок связи методом причинности по Грейнджеру является обеспечение их значимости — достоверности результата, достаточно высокой вероятности того, что он не является результатом воздействия случайных факторов. Популярным способом осуществления такой проверки является тестирование с помощью суррогатных временных рядов, на основе которых строят доверительные интервалы. Существует множество способов генерации таких рядов для проверки различных нулевых гипотез. Среди них можно выделить суррогаты, сохраняющие когерентность сигналов [30], полученные заданием случайным образом фаз сигналов [31], перестановкой частей временного ряда [32] (с различными условиями перестановки) и другие.

Учитывая перечисленные сложности, требуется разработать подходы к оценке эффективности метода, в частности, по таким параметрам, как специфичность и чувствительность. Чувствительность определяется тем, насколько слабую связь может детектировать метод. Различные факторы:

ограниченность наблюдаемых временных рядов, шумы измерений, использование слишком простых базисных функций, недостаточная точность расчётов и т.п. не позволяют определять наличие связи при сколь угодно малых её уровнях. Под специфичностью понимается способность метода избегать ложно положительных результатов. Хорошая специфичность означает относительно малое число ложных связей (найденных там, где их на самом деле нет), а плохая — большое их число.

Актуальность работы определяется следующим:

• Следует ответить на вопрос, можно ли надеяться на успех при поиске направленной связи методом причинности по Грейнджеру в случае использования в качестве эмпирических моделей отображений после-дования с полиномиальными функциями, если размерность и порядок полинома не обеспечивают должную аппроксимацию свойств объекта? Например, когда колебания исследуемой системы являются хаотическими, а временной ряд, полученный с помощью реконструированной полиномиальной модели, демонстрирует более простое поведение.

• Без дополнительной «настройки» метод часто демонстрирует произвольные результаты при использовании в качестве моделей отображения последования с полиномиальными функциями, показывая недостаточную чувствительность или специфичность. Необходимо разработать технологию оптимального, соблюдая баланс между чувствительностью и специфичностью, подбора параметров прогностической модели.

• В природе многие системы находятся в синхронизованном состоянии. Это существенно затрудняет задачу поиска направления связи. Применимость метода нелинейной причинности по Грейнджеру в режимах, близких к синхронным, исследована недостаточно.

Целью диссертационной работы является исследование эффективности метода причинности по Грейнджеру применительно к однонаправ-ленно связанным системам в случае, когда прогностическая модель в виде отображения последования с полиномиальными функциями качественно не воспроизводит характер наблюдаемого временного ряда, представляющего собой сложные, хаотические колебания, при наличии скрытых переменных, а также в случае фазовой синхронизации взаимодействующих систем.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

• проведена оценка эффективности метода нелинейной причинности по Грейнджеру при использовании моделей в виде отображения последования с полиномиальными функциями для поиска направленной связи между системами различной сложности;

• разработаны критерии оптимального подбора значений лага и дальности прогноза эмпирической модели, при которых метод позволяет получить значимые результаты для систем с ярко выраженными характерными временными масштабами;

• исследована эффективность метода в случае сильной фазовой синхронизации систем с ярко выраженными временными масштабами при различных степенях нерегулярности;

• проведено сопоставление различных подходов к генерации суррогатных временных рядов для оценки значимости величины улучшения прогноза для однонаправленно связанных потоковых динамических систем, обладающих ярко выраженными характерными временными масштабами.

Объекты исследования. Эффективность метода причинности по Грейнджеру с моделями в виде отображений последования с полиномиальными

функциями в зависимости от параметров модели тестируется на эталонных однонаправленно связанных динамических системах: отображениях Эно, окружности, Икеды, Заславского; системах, обладающих ярко выраженными характерными временными масштабами: Рёсслера, Лоренца, уравнениях генераторов Кияшко-Пиковского-Рабиновича. Анищенко-Астахова, хаоса с 1.5 степенями свободы. Разработанный метод оценки наличия связанности был применён ко временным рядам электроэнцефалограммы детей, страдающих односторонним детским церебральным параличём.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Требование, чтобы реконструированная по временным рядам прогностическая модель в виде отображения последования с полиномиальными функциями качественно воспроизводила режим поведения исследуемого процесса не является обязательным для успеха поиска направленной связи между системами методом нелинейной причинности по Грейнджеру.

2. Предложенные в данной работе численные критерии, первый — учитывающий среднюю разницу между значениями показателя улучшения прогноза, полученными при поиске связи в заведомо верном и заведомо ложном направлении, и второй — учитывающий долю случаев, для которых вывод о связанности в верную сторону является значимым, а в неверную — незначимым, позволяют подбирать дальность прогноза и лаг модели для оценки связанности методом нелинейной причинности по Грейнджеру по временным рядам с выраженным характерным временным масштабом однонаправленно связанных систем, исходя из оптимального баланса между чувствительностью и специфичностью с учётом значимости результатов.

3. Метод причинности по Грейнджеру при использовании в качестве мо-

делей отображений последования с полиномиальными функциями позволяет выявить однонаправленную связь для систем, обладающих ярко выраженными характерными масштабами и находящихся в режиме фазовой синхронизации.

Достоверность научных результатов и выводов подтверждается их воспроизводимостью в численном эксперименте, а также тем, что они опираются на базовые результаты нелинейной динамики и радиофизики.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Проведена оценка эффективности метода нелинейной причинности по Грейнджеру для систем различной сложности. Показано, что для выявления направленных связей для рассмотренных классов систем достаточно использовать модели в виде отображений последования с полиномиальными функциями малой степени.

2. Разработаны критерии подбора оптимальных с точки зрения чувствительности и специфичности значений лага и дальности прогноза эмпирической модели в методе нелинейной причинности по Грейнджеру. С их помощью показано, что эффективность работы метода также зависит и от значения старшего ляпуновского показателя системы, а также предложены рекомендации выбора значений лага и дальности прогноза, при которых метод позволяет получить наилучшие результаты для систем с выраженными характерными временными масштабами.

3. Проведено исследование эффективности метода в случае фазовой синхронизации систем. Показано, что метод нелинейной причинности по Грейнджеру позволяет выявить направленную связь даже в таких неблагоприятных условиях. Наличествует интервал значений коэффициента фазовой синхронизации, при которых метод позволяет выявить

преимущественное направление связи, даже в случае, когда результаты, полученные при поиске связи в заведомо ложном направлении проходят проверку на значимость с помощью суррогатных временных рядов (при недостаточной специфичности).

4. Для систем, обладающих ярко выраженными характерными временными масштабами, проведено сравнение различных подходов к генерации суррогатных временных рядов. Показано, что несмотря на то, что эти подходы проверяют различные нулевые гипотезы, они позволяют получить для рассмотренных систем близкие доверительные интервалы, расширяющиеся с ростом значения коэффициента фазовой синхронизации.

Теоретическая и практическая значимость результатов.

Метод причинности по Грейнджеру находит в последние годы активное применение к задачам нейрофизиологии и климатологии. При этом одна из основных проблем в приложении к этим областям — недостаточный объём данных из-за малой длины рядов, недостаточной частоты выборки и нестационарности. Использовать модели, построенные из первых принципов, как правило невозможно из-за их громоздкости. Поэтому важно понимать, насколько могут быть применимы компактные и простые эмпирические модели, например, с полиномиальными аппроксимирующими функциями, исследованию чего посвящена данная работа.

Также многие процессы в нейрофизиологии характеризуются основным ритмом — выделенным временным масштабом, например, при абсансной эпилепсии; часто рассматриваются фильтрованные в определённом диапазоне сигналы; имеют место процессы синхронизации на разных уровнях от групп нейронов до целых отделов головного мозга. Для таких временных рядов возможно повысить эффективность применения метода, опираясь на

сформулированные в данной работе рекомендации по выбору лага и дальности прогноза. Пример такого подхода продемонстрирован в «Приложении».

Личный вклад соискателя. Основные результаты диссертации получены лично автором. В совместных работах автором выполнены все основные компьютерные расчёты, включая обработку экспериментальных данных. Постановка задач, разработка методов их решения, выбор объектов, изложение и интерпретация результатов были осуществлены совместно с руководителем и другими соавторами.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации были доложены на следующих конференциях:

1. XIII Всероссийская школа-семинар «Физика и применение микроволн». Звенигород, Московская обл. 2011.

2. Всероссийская VI конференция молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика». Саратов. 2011.

3. Всероссийская научная школа-семинар «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине - 2011». Саратов. 2011.

4. Всероссийская научная школа-семинар «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине - 2012». Саратов. 2012.

5. Всероссийская VII конференция молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика». Саратов. 2012.

6. XVI научная школа «Нелинейные волны — 2012». Нижний Новгород. 2012.

7. XIV Всероссийская школа-семинар «Физика и применение микроволн». Можайск. 2013.

8. Всероссийская VIII конференция молодых учёных «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика». Саратов. 2013.

9. Всероссийская научная школа-семинар «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине - 2013». Саратов. 2013.

10. X Международная школа-конференция «Хаотические автоколебания и образование структур». Саратов. 2013.

11. The International Conference «Nonlinear Dynamics of Deterministic and Stochastic Systems: Unraveling Complexity». Saratov. 2014.

12. Всероссийская IX конференции молодых ученых «Наноэлектроника. нанофотоника и нелинейная физика». Саратов. 2014.

Также результаты неоднократно обсуждались на семинарах кафедры динамического моделирования и биомедицинской инженерии факультета нано- и биомедицинских технологий Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского.

Исследования были поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований гранты 12-02-00377, 14-02-00492, 11-02-00599, грантом от президента РФ по поддержке Ведущих Научных школ 1726.2014.2, грантом российского научного фонда 14-12-00291.

По теме диссертации опубликованы 14 работ: 3 статьи в реферируемых журналах, входящих в перечень рекомендованных ВАК, 11 тезисов в сборниках трудов конференций.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, приложения, заключения и списка литературы. Работа изложена на 107 страницах, содержит 26 рисунков и список литературы из 93 наименований.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируются цели и задачи исследования, даётся краткий обзор

существующих методов их решения и накопленных результатов, а также формулируются положения, выносимые на защиту, раскрываются научная новизна, теоретическое и практическое научное значение полученных в диссертации результатов, личный вклад соискателя, кратко описывается содержание работы.

В первой главе на ряде последовательно усложняющихся эталонных од-нонаправленно связанных систем, содержащих сложные нелинейные функции, скрытые переменные, в том числе описываемые дифференциальными уравнениями, проведено исследование работоспособности метода причинности по Грейнджеру в случае, когда прогностическая модель в виде отображений последования с полиномиальными функциями качественно не воспроизводит динамику исследуемого объекта (не обеспечивает должную аппроксимацию свойств объекта).

Вторая глава диссертации посвящена оптимальному подбору параметров прогностических моделей метода нелинейной причинности по Грейнджеру в приложении к сигналам, характеризуемым хорошо выраженными временными масштабами. Для этой цели были разработаны два критерия, позволяющие, соблюдая баланс между чувствительностью и специфичностью, а также учитывая значимость результатов, подбирать параметры прогностической модели (лаг и дальность прогноза).

В третьей главе диссертации рассматривается важный вопрос работоспособности метода нелинейной причинности по Грейнджеру в случае исследования связанности между системами, находящихся в режиме частичной фазовой синхронизации. А также рассматриваются различные методы создания суррогатных временных рядов.

В приложении метода причинности по Грейнджеру к исследованию изменения архитектуры связей в ЭЭГ у детей, больных ДЦП показано практическое использование метода для анализа медицинских данных. Было осу-

ществлено исследование изменения направления связей между отведениями поверхностной электроэнцефалограммы головного мозга детей, страдающих детским церебральным параличём.

Результаты диссертационной работы и выводы обобщаются и обсуждаются в заключении.

Глава 1

Влияние выбора структуры модели на работоспособность метода нелинейной причинности по Грейнджеру

1.1 Введение

Причинность по Грейнджеру — известный способ оценки влияния одной системы на другую по записям их колебаний (временным рядам), впервые предложенный нобелевским лауреатом по экономике К. Грейнджером [13]. Согласно данному методу степень влияния одной системы на другую оценивается по изменению точности прогноза поведения первой системы при введении в прогностическую математическую модель данных о колебаниях второй системы. Уменьшение ошибки прогноза истолковывается как признак влияния второй системы на первую. Метод неоднократно применялся для оценки связанности экспериментальных систем, например, между различными отведениями энцефалограммы головного мозга, например, [14,15,33], процессами в климатологии [21,34]. Следует отметить, что упомянутые результаты получены с помощью авторегрессионных моделей с полиномиальными [20, 28, 35] или радиальными [24] базисными функциями, а также с использованием предложенного в [36] подхода построения нелинейных ядер-

ных функций. Выбор способа аппроксимации нелинейности в том числе опирался на физиологические и физические соображения, а достоверность результатов подтверждалась анализом характеристик остатков и с помощью суррогатных данных.

Но не случаен ли успех? Остаётся открытым вопрос влияния вида предсказательной модели на оценку причинно-следственных связей методом причинности по Грейнджеру. Ответ на него целесообразно искать, используя в качестве объектов эталонные связанные уравнения, так как модели реальных объектов, как правило, не единственны и вопрос их адекватности требует доказательств. При таком выборе объекта нам известна его структура, включая наличие и характер связей, что позволяет проверить правильность оценок с помощью метода причинности по Грейнджеру при использовании в качестве аппроксимирующих функций отображения последования с полиномиальными функциями.

Целью исследования было уточнить рамки применимости метода: насколько несоответствие структуры прогностической модели структуре породившего временные ряды объекта существенно сказывается на чувствительности (способности почувствовать существующую связь) и специфичности метода (способности определить связь в заведомо ложную сторону как незначимую). Также необходимо понять, насколько важна для диагностики связанности способность построенной по экспериментальным данным прогностической модели воспроизводить качественно наблюдаемый режим поведения.

Для этого в численном эксперименте, на тестовых примерах — связанных однонаправленной связью уравнениях эталонных динамических систем, проверяется при различных уровнях связи работоспособность метода причинности по Грейнджеру. В качестве аппроксимирующих функций метода используются отображения последования с полиномиальной нелиней-

ностью [20,28].

1.2 Описание метода

Пусть имеются два временных ряда: ряд {хп}п=1 от системы X и ряд {Уп}п=1 от системы У, где п — дискретное время, N — длина временного ряда. На основе анализа реализаций {хп}^=1 и {уп\п=ъ которые в общем случае содержат и шумы, требуется определить, влияет ли система У на систему X или нет. На первом шаге строится индивидуальная модель

Хп — Жп_2, •••, Хп—£)3-) с ), (1-1)

где / — аппроксимирующая функция, Из — собственная размерность модели, с5 — неизвестный вектор коэффициентов. В качестве функции / можно использовать разложение по некоторому базису, например, степенной многочлен общего вида. В оригинальной работе [13] использовались линейные функции. Коэффициенты С5 подбираются методом наименьших квадратов по временному ряду {хп}^=1. Погрешность предсказания построенной модели (среднеквадратичная ошибка аппроксимации исходного ряда) выражается следующим образом: = ^ (х'п ~ хп)2. Следующим шагом строится совместная модель:

хп = д(хп-1, Хп-2, ■■■,Хп-В3,уп- 1-е, ...,Уп-Оа-в,С3), (1-2)

где для оценки коэффициентов аппроксимирующей функции д используется также реализация системы У, размерность добавки (число учитываемых значений из ряда {уп}п=1)> с° ~ коэффициенты совместной модели; в — возможная задержка, обусловленная конечным временем распространения сигнала (на практике часто неизвестна и должна быть определена). Построив совместную модель, рассчитывают среднеквадратичную ошибку

прогноза совместной модели е2 — ^ 1 (х"п ~ хп)2■ При £2 < е23 говорят, что У действует на X (системы связаны).

В качестве меры связанности используется показатель улучшения прогноза:

Р1= (1.3)

5

Если Р1 = 0 (учёт сигнала У не помог в предсказании X), то считают, что У не воздействует на X. Если же Р1 -» 1 (учёт сигнала У существенно улучшил предсказание X), считают, что У воздействует на X.

В некоторых работах, например, в [37] используется другой способ нормировки, когда под улучшением прогноза подразумевается величина, равная в используемых здесь обозначениях \og(PI), что может быть в некоторых случаях удобнее. В [38] также показывается, что отсутствие нормировки в формуле (1-3) на может быть полезно для целей выявления избыточных и взаимнозависимых переменных.

В качестве моделей в методе нелинейной причинности по Грейнджеру использовались отображения последования с полиномиальными функциями общего вида (со всеми возможными перекрестными слагаемыми [28]):

р скП+к с

х'п = Е Е П хп-п> (1-4)

к=0 д=1 т= 1

где Р — степень, И — размерность, аг — коэффициенты полинома, \/к = 0,...,Р = к.

Несмотря на то, что такой подход нельзя назвать наилучшим во всех случаях — вполне возможно, что для тех или иных объектов будет лучше использовать иной базис, например, радиальные базисные функции [24] — полиномиальный базис является самым распространенным и простым в использовании, требует меньшего объема данных, чем радиальные базисные или вейвлетные функции вследствие отсутствия локализации в фазовом пространстве.

В реальной ситуации всегда присутствуют шумы, длина временного ряда ограничена, точность вычислений конечна и т.п., поэтому требуется проводить проверку значимости выводов — оценку вероятности, что полученный результат не случаен. Известны различные виды такого тестирования: теоретические оценки [39], использование суррогатных данных [20,40]. При выполнении данной работы использовался только один вид суррогатов, приготовленных из временных рядов тех же систем, что использовались в качестве объектов моделирования, но без связи, на основе которых оценивалась статистическая значимость полученных значений показателя Р1. Для этого строились ансамбли реализаций эталонных систем с добавлением каждый раз новой реализации динамического шума и стартуя с новых, выбранных случайно начальных условий (переходной процесс отсекался).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Корнилов, Максим Вячеславович, 2015 год

Литература

1. Pijn, J.P.M., Vijn, P.C.M., Lopes da Silva, F.H., van Emde Boas, W., Blanes, W. The use of signal-analysis for the location of an epileptogenic focus: a new approach // Adv Epilptology. V. 17. 1989. P. 272-276.

2. Luiz A. Baccala, Koichi Sameshima. Partial directed coherence: a new concept in neural structure determination // Biol. Cybern. V.84. 2001. P.463.

3. Allefeld C., Kurths J. Testing for phase synchronization // Int. J. Bif. Chaos. 2004. V. 14. P. 405.

4. Alexander Kraskov, Harald Stogbauer, Peter Grassberger. Estimating mutual information // Phys. Rev. E. 2004. V. 69. P. 066138.

5. Young Il-Moon, Balaji Rajagopalan, Upmanu Lall. Estimation of mutual information using kernel density estimators // Phys. rev. E. 1995. V. 52(3). P. 2318-2321.

6. Andrew M. Fraser, Harry L. Swinney. Independent coordinates for strange attractors from mutual information // Phys. Rev. A. 1986. V. 33. P. 1134.

7. Ai-Hua Jiang, Xiu-Chang Huang, Zhen-Hua Zhang, Jun Li, Zhi-Yi Zhang, Hong-Xin Hua. Mutual information algorithms // Mechanical Systems and Signal Processing. 2010. V. 24(8). . P. 2947-2960.

8. Liam Paninski. Estimation of Entropy and Mutual Information // Neural Computation. 2003. V. 15. P. 1191-1253.

9. McGill W. Multivariate information transmission // Psychometrika. 1954. V. 19. P. 97-116.

10. Thomas Schreiber. Measuring Information Transfer // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. P. 461.

11. D. Smirnov and B. Bezruchko. Estimation of interaction strength and direction from short and noisy time series // Phys. Rev. E. 2003. V.68. P. 046209.

12. M. Rosenblum and A. Pikovsky. Detecting direction of coupling in interacting oscillators // Phys. Rev. E. 2001. V.64. P. 045202(R).

13. Granger C.W.J. Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods // Econometrica. 1969. V. 37. Iss. 3. P. 424-438.

14. L.A. Baccala, K. Sameshima, G. Ballester, A.C. Do Valle and C. Timo-Laria. Studing the interactions between brain structures via directed coherence and Granger causality // Applied sig. processing. 1998. V. 5. P. 40-48.

15. P. Tass, D. Smirnov, A. Karavaev, U. Barnikol, T. Barnikol, I. Adamchic, C. Hauptmann, N. Pawelcyzk, M. Maarouf, V. Sturm, H.-J. Freund, and B. Bezruchko. The causal relationship between subcortical local field potential oscillations and parkinsonian resting tremor //J. Neural Eng. 2010. Vol. 7. P. 016009.

16. Boris Gourevitch, Regine Le Bouquin-Jeannes, Gerard Faucon. Linear and nonlinear causality between signals: methods, examples and neurophysiological applications // Biological Cybernetics. 2006. V. 95. P. 349-369.

17. Sitnikova E, Dikanev T, Smirnov D, Bezruchko B, van Luijtelaar G. Granger

causality: cortico-thalamic interdependencies during absence seizures in WAG/Rij rats //J Neurosci Methods. 2008. V. 170(2). P. 245-254.

18. Sysoeva M, Sitnikova E, Sysoev I, Bezruchko B, van Luijtelaar G. Application of adaptive nonlinear Granger causality: Disclosing network changes before and after absence seizure onset in a genetic rat model // Journal of Neuroscience Methods. 2014. V. 226. P. 33-41.

19. Daniele Marinazzo, Wei Liao, Huafu Chen, Sebastiano Stramaglia. Nonlinear connectivity by Granger causality // Neurolmage. 2011. V. 58. P. 330-338.

20. И.В. Сысоев, А.С. Караваев, П.И. Наконечный. Роль нелинейности модели в диагностике связей при патологическом треморе методом грейн-джеровской причинности // Изв. вузов. ПНД. 2010. Т. 18, № 4. С. 831-90.

21. Мохов И.И., Смирнов Д.А., Наконечный П.И., Козленко С.С., Курте Ю. Оценка взаимного воздействия Эль-Ниньо-Южного колебания и Индийского муссона //В: Современные проблемы динамики океана и атмосферы. Под ред. А.В. Фролова и Ю.Д. Реснянского. М: Триада ЛТД. 2010. С. 251-267.

22. И.И. Мохов, Д.А. Смирнов. Эмпирические оценки воздействия различных факторов на глобальную приповерхностную температуру // Доклады академии наук. 2009. Т. 426. С. 679-684.

23. К. Ishiguro, N. Otsu, М. Lungarella, Y. Kuniyoshi. Comparison of nonlinear Granger causality extensions for low-dimensional systems // Phys. Rev. E. 2008. V. 77. P. 036217.

24. Daniele Marinazzo, Mario Pellicoro, Sebastiano Stramaglia. Nonlinear parametric model for Granger causality of time series // Phys. Rev. E. 2006. V. 73. P. 066216.

25. Boris P. Besruchko and Dmitry A. Smirnov. Constructing nonautonomous differential equations from experimental time series // Phys. Rev. E. 2000. V. 63. P. 016207.

26. Безручко Б.П., Смирнов Д.А., Сысоев И.В., Селезнев Е.П. Реконструкция моделей неавтономных систем с дискретным спектром воздействия // Письма в ЖТФ. 2003. Т. 29. № 19. С.69-76.

27. В.P. Bezruchko, A.S. Karavaev, V.I. Ponomarenko, M.D. Prokhorov. Reconstruction of time-delay systems from chaotic time series // Physical Review E. 2001. V. 64. P. 056216.

28. Yonghong Chen, Govindan Rangarajan, Jianfeng Feng, Mingzhou Ding. Analyzing Multiple Nonlinear Time Series with Extended Granger Causality // Physics Letters A. 2004. V. 324. Iss. 1, P. 26-35.

29. Б.П. Безручко, Д.А. Смирнов. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Саратов: ГосУНЦ "Колледж". 2005 г. 320 с.

30. Kevin Т. Dolan, Alexander Neiman Surrogate analysis of coherent multichannel data // Physical Review. E. 2002. V.65. P. 026108.

31. T. Schreiber and A. Schmitz. Improved surrogate data for nonlinearity tests // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. P. 635.

32. M. Thiel, M. C. Romanol, J. Kurths 1, M. Rolfs and R. Kliegl. Twin surrogates to test for complex synchronisation // Europhys. Lett. 2006. V. 75(4). P. 535.

33. Andrea Brovelli, Mingzhou Ding, Anders Ledberg, Yonghong Chen, Richard Nakamura, and Steven L. Bressler. Beta oscillations in a large-scale sensorimotor cortical network: Directional influences revealed by Granger causality // PNAS. 2004. V. 101. P. 9849-9854.

34. С.С. Козленко, И.И. Мохов, Д.А. Смирнов Анализ причинно-следственных связей между Эль-Ниньо в Тихом океане и его аналогом в экваториальной Атлантике // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2009. Т. 42. № 6. С. 754-763.

35. Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Смирнов Д.А.. Тасс П.А. Моделирование и диагностика взаимодействия нелинейных колебательных систем по хаотическим временным рядам (приложения в нейрофизиологии) // Успехи физических наук. 2008. Т. 178. № 3. С. 323-329.

36. Daniele Marinazzo, Mario Pellicoro, and Sebastiano Stramaglia. Kernel Method for Nonlinear Granger Causality // PRL. 2008. V. 100. P. 144103.

37. Sebastiano Stramaglia, Jesus M Cortes, and Daniele Marinazzo. Synergy and redundancy in the Granger causal analysis of dynamical networks // New Journal of Physics. 2014. V. 16. P. 105003.

38. L. Angelini, M. de Tommaso, D. Marinazzo, L. Nitti, M. Pellicoro, and S. Stramaglia. Redundant variables and Granger causality // Phys. Rev. E. 2010. V. 81. P. 037201.

39. Смирнов Д.А. Выявление нелинейных связей между стохастическими осцилляторами по временным рядам // Известия ВУЗов. ПНД. 2010. Т. 18. № 2. С. 16-38.

40. Kevin Т. Dolan and Alexander Neiman. Surrogate analysis of multichannel data with frequency dependant time lag // Phys. Rev. E. 2002. V. 65. P. 026108.

41. С.П. Кузнецов. Динамический хаос. Москва: изд-во Физматлит. 2001. 296 с.

42. Cimponeriu L., Rosenblum M., Pikovsky A. Estimation of delay in coupling from time series // Phys. Rev. E. 2004. V. 70. P. 046213.

43. Смирнов Д.А., Сидак E.B., Безручко Б.П. Интервальные оценки времени запаздывания связи по временным рядам // Письма в ЖТФ. 2011. Т. 3. № 1. С. 64-71.

44. Сидак Е.В., Смирнов Д.А., Безручко Б.П. Оценка времени запаздывания воздействия по временным рядам с учетом автокорреляционной функции фазового шума // Письма в ЖТФ. 2014. Т. 40. № 20. С. 104-110

45. Baake Е., Вааке М., Воск H.G., Briggs К.М. Fitting ordinary differential equations to chaotic data // Phys. Rev. A. 1992. V. 45. Iss. 8. P. 5524-5529.

46. Boris P. Bezruchko, Dmitry A. Smirnov, Ilya V. Sysoev. Identification of chaotic systems with hidden variables (modified Bock's algorithm) // Chaos. Solitons & Fractals. 2006. V. 29. P. 82-90.

47. Bjork A. Solving Linear Squares Problem by Gram-Schmidt Orthogona lization // Math. Сорт. 1976. V. 20. P. 325-328.

48. Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. Матричные вычисления: Пер. с англ. Москва. Мир. 1999. 548 с.

49. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence // Lecture Notes in Math. 1981. V. 898. P. 366-381.

50. Lorenz E.N. Deterministic Nonperiodic Flow //J. Atmos. Sci. 1963. V. 20. P. 130-141.

51. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Определение параметров систем с запаздыванием по переходным процессам // Письма в ЖТФ. 2008. Т. 34. № 11. С. 62-67.

52. Безручко Б.П., Диканев Т.В., Смирнов Д.А. Глобальная реконструкция уравнений динамической системы по временной реализации переходного процесса // Изв. вузов, ПНД, 2001. Т.9. № 3. С. 3-12.

53. Корнилов М.В., Сысоев И.В. Влияние выбора структуры модели на работоспособность метода нелинейной причинности по Грейнджеру // Изв. вузов, ПНД. 2013. Т. 21. № 2. С. 3-16.

54. Корнилов М.В., Сысоев И.В. Чувствительность и специфичность метода нелинейной грейнджеровской причинности для объектов различной сложности // Тезисы докладов VI Всероссийской конференции молодых учёных «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика». Саратов. 2011. С. 120-121.

55. Корнилов М.В., Сысоев И.В. Эффективность метода причинности по грейнджеру в случае сильно неадекватной структуры модели // Материалы ежегодной Всероссийской научной школы-семинара «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине - 2011». Саратов. 2011. С. 76-79.

56. Корнилов М.В., Сысоев И.В. Работоспособность метода нелинейной причинности по Грейнджеру при использовании неадекватных моделей // Сборник докладов научной конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2011». Саратов. 2012. С. 87-93.

57. Packard N, Crutchfield J, Farmer J, Shaw R. Geometry from a Time Series // Phys. Rev. Lett. 1980. V. 45. P. 712-716.

58. Kougioumtzis D. State space reconstruction parameters in the analysis of chaotic time series — the role of the time window length // Physica D. 1996. V. 95(1). P. 13-28.

59. Яхно Ю.В., Мольков Я.И., Мухин Д.Н., Лоскутов Е.М., Фейгин A.M. Реконструкция оператора эволюции как способ анализа электрической активности мозга при эпилепсии // Изв. вузов. ПНД. 2011. Т. 19. № 6. С. 156-172.

60. Smirnov D, Bezruchko В. Spurious causalities due to low temporal resolution: Towards detection of bidirectional coupling from time series // Europhys. Lett. 2012. V. 100. P. 10005.

61. Сысоева M.B., Диканев T.B., Сысоев И.В. Выбор временных масштабов при построении эмпирической модели // Изв. вузов. ПНД. 2012. Т. 20. № 2. С. 54-62.

62. Пиковский А., Розенблюм М., Курте Ю. Синхронизация: Фундаментальное нелинейное явление. Москва: Техносфера. 2003. 496 с.

63. Schwarz G. Estimating the Dimension of a Model // The Annals of Statistics. 1978. V. 6(2). P. 461-464.

64. Rossler O.E. An equation for continuous chaos // Phys. Lett. 1976. V. A57. Iss. 5. P. 397-398.

65. Кияшко С.В., Пиковский А.С., Рабинович М.И. Автогенератор радиодиапазона со стохастическим поведением // Радиотехника и электроника. 1980. Т. 25. № 2. С. 336-343.

66. Анищенко B.C., Астахов В.В. Экспериментальное исследование механизма возникновения и структуры странного аттрактора в генераторе с инерционной нелинейностью // Радиотехника и электроника. 1983. Т. 28. № 6. С. 1109-1125.

67. Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Стохастические колебания в автогенерато-

ре с инерционным запаздыванием первого порядка // Радиотехника и электроника. 1984. Т. 29. № 12. С. 2389-2398.

68. Linda Sommerlade, Marco Thiel, Bettina Platt, Andrea Piano, Gernot Riedel, Celso Grebogi, Jens Timmer, Björn Schelter. Inference of Granger causal time-dependent influences in noisy multivariate time series // Journal of Neuroscience Methods. 2012. V. 203. P. 173-185.

69. Lionel Barnett, Adam B. Barrett, and Anil K. Seth. Granger Causality and Transfer Entropy Are Equivalent for Gaussian Variables // Phys. Rev. Lett. 2009. V. 103. P. 238701.

70. M.B. Корнилов, И.В. Сысоев, Б.П. Безручко. Оптимальный подбор параметров прогностических моделей в методе нелинейной причинности по Грейнджеру в приложении к сигналам, характеризуемым хорошо выраженными временными масштабами // Нелинейная динамика. 2014. Т. 10. № 3. С. 279-295.

71. Корнилов М.В., Сысоев И.В. Работоспособность нелинейной грейндже-ровской причинности для сигналов с выраженными характерными масштабами // Тезисы докладов VII Всероссийской конференции молодых учёных «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика». Саратов 2012. С. 75-76.

72. Корнилов М.В., Сысоев И.В. Поиск связанности методом грейнджеров-ской причинности по сигналам с выраженными временными масштабами // Материалы ежегодной Всероссийской научной школы-семинара «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине - 2012». Саратов. 2012. С. 26-28.

73. Корнилов М.В., Сысоев И.В. Чувствительность и специфичность метода нелинейной причинности по Грейнджеру для объектов различной

сложности // Тезисы докладов XVI научной школы молодых учёных «Нелинейные волны - 2012». Нижний Новгород. 2012. С. 73-74.

74. Корнилов М.В., Сысоев И.В. Выбор временных масштабов модели для метода причинности по Грейнджеру // материалы X Международной школы-конференции «Хаотические автоколебания и образование структур» ХАОС-2013. Саратов. 2013. С. 20.

75. М. Kornilov, I. Sysoev, Choosing empirical model parameters for detecting connectivity with nonlinear Granger causality approach from time series with a main time scale // The International Conference «Nonlinear Dynamics of Deterministic and Stochastic Systems: Unraveling Complexity». Saratov. 2014. P.25.

76. Корнилов M.B., T.M. Голова, Сысоев И.В. Подбор временных масштабов прогностической модели, используемой для оценки связанности методом нелинейной причинности по Грейнджеру // Тезисы докладов VIII Всероссийской конференции молодых учёных «Наноэлектроника, нано-фотоника и нелинейная физика». Саратов. 2013. С. 128.

77. D.A. Smirnov. Spurious causalities with transfer entropy // Phys. Rev. E. 2013. V. 87. P. 042917.

78. Matthias Winterhalder, Bjorn Schelter, Wolfram Hesse, Karin Schwab, Lutz Leistritz, Daniel Klan, Reinhard Bauerd, Jens Timmera, Herbert Witte. Comparison of linear signal processing techniques to infer directed interactions in multivariate neural systems // Signal Processing. 2005. V. 85. P. 2137-2160.

79. H. Nalatore, M. Ding, G. Rangarajan. Mitigating the effects of measurement noise on Granger causality // Phys. Rev. E. 2007. V. 75. P. 031123.

80. Linda Sommerlade, Marco Thiel, Malenka Mader, Wolfgang Mader, Jens Timmer, Bettina Platt, Björn Schelter. Assessing the strength of directed influences among neural signals. An approach to noisy data // Journal of Neuroscience Methods. 2015. V. 239. P. 47-64.

81. Henry D. I. Abarbanel, Nikolai F. Rulkov, Mikhail M. Sushchik. Generalized synchronization of chaos: The auxiliary system approach // Phys. Rev. E. 1996. V. 53. P. 452.

82. Дмитриев A.C., Панас A.M. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. Москва: Физматлит. 2002. 252 с.

83. R. Quian Quiroga, A. Kraskov, Т. Kreuz, P. Grassberger. Performance of different synchronization measures in real data: A case study on electroencephalographic signals // Phys. Rev. E. 2002. V. 65. P. 041903.

84. B.C. Анищенко, B.B. Астахов, Т.Е. Вадивасова, Г.И. Стрелкова. Синхронизация регулярных, хаотических и стохастических колебаний. М.Ижевск: Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика». 2008. 144 с.

85. J.T.C. Schwabedal, A. Pikovsky, В. Kralemann, and М. Rosenblum. Optimal phase description of chaotic oscillators // Phys. Rev. E. 2012. V. 85. P. 026216.

86. Д.А. Смирнов, E.B. Сидак, Б.П. Безручко. Метод обнаружения связи между осцилляторами с аналитической оценкой статистической значимости // Письма в ЖТФ. 2013. Т. 39. № 13. С. 40-48.

87. М.В. Корнилов, И.В. Сысоев. Исследование эффективности метода нелинейной причинности по Грейнджеру в случае сильной синхронизации систем // Известия высших учебных заведений. ПНД. 2014. Т. 22. № 4. С. 66-75.

дов к генерации суррогатных временных рядов в случае систем, близких к синхронизации // тезисы докладов IX конференции молодых учёных «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика». Саратов. 2014. С. 72-73.

89. Rosenbaum P., Paneth N., Levitón A., Goldstein M., Вах M., Damiano D., Dan В., Jacobsson B. A report: The definition and classification of cerebral palsy April 2006 // Developmental Medicine к Child Neurology. 2007. V. 49. P. 8-14.

90. E.A. Кислякова. Влияние комплексной реабилитации с применением бо-тулинического токсина типа а на показатели физического и моторного развития детей и подростков с детским церебральным параличом // Педиатрическая фармакология. 2006. Т. 3(2). С. 70-74.

91. О.В. Быкова А.Н. Платонова C.B. Балканская Т.Т. Батышева Детский церебральный паралич и эпилепсия — подходы к лечению и реабилитации // Журнал неврологии и психиатрии им. С.С. Корсакова. 2012. Т. 7. С. 64-70.

92. Е. Ф. Архипова. Логопедическое и психолого-педагогическое сопровождение развития детей младенческого возраста с церебральным параличом (обзор) // Журнал неврологии и психиатрии им. С.С. Корсакова. 2012. Т. 7. С. 52-55.

93. Корнилов М.В., Сысоев И.В., С.М. van Rijn Выявление изменений в архитектуре связей различных отделов коры головного мозга при лечении врожденного расстройства движения // материалы ежегодной Всероссийской научной школы семинара «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине - 2013». Саратов. 2013. С. 104-105.