Особенности сложной динамики систем с полиномиальной нелинейностью: Неавтономные осцилляторы, специальные отображения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Кузнецова, Анна Юрьевна

• Кузнецова, Анна Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузнецова, Анна Юрьевна

Введение.

Глава 1. Сложная динамика неавтономных осцилляторов с полиномиальными потенциалами.

1.1 Классификация неавтономных осцилляторов с полиномиальными потенциалами по схеме теории катастроф Тома.

1.2 Динамика неавтономных нелинейных осцилляторов с убегающими на бесконечность решениями. j 1.2.1 Динамика неавтономного нелинейного осциллятора с катастрофой "складка".

1.2.2 Динамика неавтономного нелинейного осциллятора с катастрофой "двойственная сборка".

1.2.3 Динамика неавтономного нелинейного осциллятора с катастрофой "ласточкин хвост".

1.3 Динамика неавтономных нелинейных осцилляторов только с ограниченными решениями.

1.3.1 Динамика неавтономного нелинейного осциллятора с катастрофой "сборка".

1.3.2 Сравнение динамики неавтономных осцилляторов с ф полиномиальными потенциальными функциями, соответствующими катастрофам "сборка", "бабочка" и "звезда".

1.3.3 Динамика неавтономного нелинейного осциллятора с

Ф катастрофой "бабочка".

1.3.4 Динамика неавтономного осциллятора непосредственно в точках катастроф.

1.4 Выводы.

Глава 2. Сложная динамика специальных отображений с полиномиальной нелинейностью.

2.1 Критические явления в отображениях с удвоениями периода обзор основных свойств).

2.2 Классификация отображений с полиномиальной нелинейностью по схеме теории катастроф.

2.3 Динамика одномерных отображений с полиномиальной нелинейностью: отображения катастроф "складка", "сборка", "ласточкин хвост".

2.4 Динамика двумерных отображений с полиномиальной нелинейностью. j 2.4.1 Отображение катастрофы "эллиптическая омбилика", феномены комплексной динамики.

2.4.2 Отображение катастрофы "гиперболическая омбилика", приведение к связанным логистическим отображениям.

2.5 Выводы.

Глава 3. Сложная динамика универсального модельного отображения

3.1 Конструирование отображения, обладающего всеми известными бифуркациями двумерных отображений и двумя сценариями перехода к хаосу.

3.2 Трансформации языков синхронизации.

3.3 Сосуществование последовательностей терминальных точек разного типа для линий бифуркации удвоений периода.

3.4 Критическое поведение типа Н при разрушении фазовой синхронизации в предельной точке фейгенбаумовского каскада.

3.5 Критическое поведение типа С при разрушении фазовой синхронизации в предельной точке фейгенбаумовского каскада.

3.6 Качественное подобие бифуркационной структуры областей удвоенного периода п=8, 16. языка синхронизации периода 4.

3.6.1 Конфигурация бифуркационных линий типа "бабочка" в окрестности точек резонанса 1:2 R.

3.6.2 Качественное подобие разбиения на области по типу мультипликаторов языков синхронизации периода 3, 4 и их областей удвоенного периода.

3.7 Иллюстрация структуры языка синхронизации периода 4.

3.7.1 Фазовые портреты, бассейны притяжения и локальные бифуркации.

3.7.2 Трансформации инвариантных многообразий точек цикла и механизм разрушения инвариантной окружности.

3.7.3. Взаиморасположение точек цикла и критических кривых на фазовом портрете и механизм разрушения инвариантной окружности.

3.7.4. Трансформации бассейнов притяжения аттракторов и критические кривые.

3.8 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Особенности сложной динамики систем с полиномиальной нелинейностью: Неавтономные осцилляторы, специальные отображения»

Одной из характерных черт современной науки вообще и радиофизики в частности остается выделение и всестороннее исследование нелинейных колебательных феноменов [1-3]. Развитие вычислительной техники обеспечило для этого инструментальную базу, а формирование таких фундаментальных положений, как теория динамического хаоса, составило плодотворную идеологическую основу [4-6]. В настоящее время создано множество нелинейных колебательных моделей — эталонов того или иного типа поведения во времени и пространстве. Особое - исторически и методологически первое - место среди них занимают уравнения неавтономных диссипативных осцилляторов, описывающие колебания в окрестности положений равновесия [7, 8]. Неавтономные осцилляторы стали классическими моделями движений различных маятников под действием внешней силы [9], неустановившегося режима работы синхронного мотора в электротехнике [10], устойчивости кораблей [11], резонансных явлений в структурах различной природы [12, 5], осцилляторных явлений в биологии [13].

Системы нелинейных дифференциальных уравнений со многими параметрами достаточно сложны даже для численного анализа. Бессистемное численное исследование даже такого достаточно узкого класса нелинейных систем, какой составляют рассмотренные в работе осцилляторы с полиномиальной нелинейностью, находящиеся под внешним гармоническим воздействием, наталкивается на трудности выделения общего, универсального из необозримого разнообразия демонстрируемых колебательных режимов. Сложные нелинейные ситуации обычно не поддаются описанию под одним углом зрения. Не являются исчерпывающими и известные принципы систематизации осцилляторов, в частности, по виду симметрии потенциальной ямы, форме ее дна, количеству минимумов, форме воздействия [4, 14, 15]. Поэтому развитие подходов к систематизации осцилляторных феноменов остается актуальным, тем более что результаты последних компьютерных исследований этих систем выявляют все большее число деталей и особенностей.

В представленной работе предложено и реализовано упорядоченное рассмотрение осцилляторов с потенциальной функцией, аппроксимируемой степенным полиномом степени п< 8 с позиций теории катастроф Тома [16-23]. Как известно, предметом теории катастроф является исследование качественного изменения состояний равновесия Ч'Дс,) градиентной системы W^-V^V с потенциальной функцией FXT/.c,) при вариации управляющих параметров сг, 1 <г<т. Катастрофой называют внезапное резкое изменение в поведении системы при плавном изменении её параметров [18]. В нашем рассмотрении катастрофа означает внезапный переход от одного состояния равновесия к другому

20]. Катастрофы могут быть интерпретированы и как жесткие бифуркации, в которых постбифуркационное состояние системы существенно отличается от предыдущего [24].

Согласно классификационной теореме Тома, в типичном случае тетраметрическое семейство гладких функций R" -» R для всякого п и всех г <5 структурно устойчиво и эквивалентно (в смысле существования замены переменных) вблизи любой точки одной из тринадцати классификационных форм [17, 21, 22], некоторые из которых приведены в таблице 1. Другими словами, из всего огромного семейства полиномов, аппроксимирующих потенциальную функцию осциллятора, можно остановиться на последовательном рассмотрении нескольких разложений теории катастроф, начиная с кубического полинома (катастрофа "складка") и заканчивая полиномом 8 степени (катастрофа "звезда"

21]). Таким образом, результаты исследования динамической системы с потенциалом, соответствующим катастрофе Тома, должны обладать общностью для всех систем с потенциалами, приводимыми к нему. Более того, эти результаты будут верны и для систем с более сложными потенциалами, поскольку каждая катастрофа высшего порядка, т.е. описываемая полиномом высшей степени, всегда имеет в своих сечениях катастрофы низшего порядка [21].

Табл. 1 Катастрофы Тома.

Тип катастрофы' и коразмерность cod: Потенциальная функция U(x):

А "складка" 1 з х + ах

4з "сборка" 2 ±(х4 +ах2 +Ьх)

А "ласточкин хвост " 3 х5 + ахг + Ъх2 + сх

Ab "бабочка" 4 ±(х6 + ахА + Ъхъ + сх2 + dx)

А "вигвам " 5 х7 + ах5 + ЬхА + сх3 + dx2 + ex

А±1 "звезда" б ± (х& + ах6 + Ъх5 + сх4 + dx3 + ex2 + fic)

D-4 •у "эллиптическая омбшика" 3 х2у - у3 + ay2 +bx + cy у "гиперболическая омбшика " 3 х2у + у3 + ay2 +bx + cy

Осциллятор, потенциальная функция которого позволяет аппроксимацию степенным полиномом в виде одной из каспоидных катастроф Тома, мы называем "осциллятором с катастрофой", и его пространство параметров содержит бифуркационное множество соответствующей катастрофы. Например, в пространстве параметров осциллятора Дуффинга была найдена катастрофа "сборка" [25], и было предположено, что добавление четных степеней переменной х к восстанавливающей силе приведет к наблюдению катастроф высшего порядка [19]. Бифуркационное множество [18] - это проекция на плоскость параметров сг многообразия катастрофы [18], которое есть множество точек (л:, сг), удовлетворяющих уравнению U(x) -0. Коразмерность катастрофы cod (число параметров) повышается последовательно на каждой стадии нашего исследования. Поскольку при пересечении бифуркационного множества происходит трансформация потенциальной функции, то вблизи этих множеств осциллятор может демонстрировать богатое бифуркационное поведение или странный аттрактор.

1 Символы A-D по классификации Арнольда, которая слишком сложна, чтобы приводить её здесь [17, 18].

2 В качестве квадратичного члена можно взять также а(у2 + X2 ) [18].

Сравнительная сложность и громоздкость исследования систем с непрерывным временем при необходимости описания нелинейных систем в широкой области пространства параметров заставляет обращаться к дискретным моделям в виде отображений последования. Отображения не только имеют непосредственную связь с дифференциальными уравнениями через сечения Пуанкаре [5, 26, 27], что позволяет уменьшить размерность системы, но имеют и самостоятельное значение. Типичными основаниями для использования отображений в радиофизической практике являются дискретизация данных наблюдения с помощью аналого-цифрового преобразователя и использование стробирования. Существует оригинальный метод получения одномерных отображений из временных рядов [28]. Также двумерные отображения естественно выводятся при моделировании лазера с кольцевым резонатором [29], при переходе от разностных схем, описывающих генераторы специального вида [30], и при описании искусственных нейронных сетей, воспроизводящих сложные временные ряды потоковой системы [31]. При этом если даже данные получены из системы, однозначно обратимой во времени, дискретная модель может оказаться необратимой [31], а такие системы способны, например, демонстрировать хаос даже при размерности 1. Много систем в электронике и теории управления приводят к моделям в форме необратимых отображений [32-34]. Несмотря на относительную простоту нелинейных отображений, их анализ важен для описания разнообразных феноменов, наблюдаемых в более сложных системах [5]. Однако историческая практика формирования колебательных моделей сложилась в пользу дифференциальных уравнений, и арсенал модельных отображений значительно беднее, чем аналогичные наборы эталонных потоковых систем.

Конструирование новых модельных отображений, отражающих определенный путь эволюции нелинейной системы [35], отвечает современным фундаментальным и прикладным задачам радиофизики, поскольку возникающие в экспериментах ситуации на границе хаоса порою слишком сложны для анализа с использованием потоковых моделей [6, 36]. Как и в осцилляторных системах, здесь перспективны подходы теории катастроф и различные полиномиальные аппроксимации. Были предложены разные методы построения отображений с новыми свойствами. Так, при повышении степени функции правой части были найдены различные наборы универсальных констант, характеризующих переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода [37-40]. Затем в отображениях, полученных из семейства кубических и квинтичных полиномов методом Беирстоу [41], состоящем в подборе таких переменных, чтобы квадратичный полином являлся делителем исходного полинома, были найдены новые бифуркации и вскрыта роль сингулярности [42]. Далее в отображениях с нелинейностью, соответствующей особенностям типа "складка" или "зонтика Уит-ни", было прослежено возникновение разных типов универсального поведения [43]. Так было сконструировано двумерное отображение, являющееся гибридом одномерных отображений, демонстрирующих по отдельности каскад бифуркаций удвоения периода и касательную бифуркацию, где при встрече линий обеих бифуркаций возникла новая критическая ситуация, так называемый С тип [43, 44], найденная впоследствии в одной из базовых систем — осцилляторе Ресслера [45]. Ситуация, характерная для С типа критичности наблюдается также на экспериментальных бифуркационных диаграммах, полученных для различных радиофизических систем [6, 46-48].

Для проведения многопараметрического анализа и наблюдения различных типов критичности при "восхождении по коразмерности" [44] полезным инструментом оказывается теория катастроф. Через дискретизацию градиентной системы с потенциальной функцией в виде катастрофы Тома можно сконструио ровать новый класс отображений ("отображений катастроф" ) с интересными свойствами. Также возможно сконструировать двумерное отображение, демон

3 Вводимый нами термин "отображение катастрофы" следует отличать от предлагаемого в книге Постона и Споатра, означающего проекцию многообразия катастроф на плоскость параметров полинома [18]. стрирующее реализацию двух сценариев перехода к хаосу - через бифуркации удвоения периода и через разрушение квазипериодического режима - и обладающее всеми известными бифуркациями для двумерных отображений. В такой достаточно универсальной модели, демонстрирующей к тому же замечательное сходство с исследованной эмпирически радиофизической системой с запаздыванием [30], интересно пронаблюдать, как наличие бифуркации Неймарка- Са-кера (бифуркации рождения инвариантной окружности) влияет на тип критического поведения на пороге хаоса и структуру пространства параметров. Тем более что о важности этой бифуркации свидетельствует огромный класс приложений в биологии, технике (электрические цепи, ядерные установки) и в изучении колебаний в атмосфере и осцилляций магнитного поля Земли [49].

Цель работы состоит в систематическом численном исследовании осцилляторов под периодическим внешним воздействием с полиномиальной потенциальной функцией и специальных отображений с полиномиальной нелинейностью по схеме теории катастроф для выявления универсальных черт их динамики, структуры фазового пространства и пространства параметров, типов критического поведения на границе хаоса.

В работе решены следующие задачи:

• систематизации осцилляторов с полиномиальной потенциальной функцией под внешним гармоническим воздействием на основе схемы теории катастроф;

• систематизации отображений с полиномиальной нелинейностью на основе схемы теории катастроф по типу демонстрируемых феноменов;

• конструирования и исследования универсального модельного отображения для реализации двух сценариев перехода к хаосу - через каскад бифуркаций удвоения периода и разрушение квазипериодического решения.

• Предложена классификация нелинейных осцилляторов под внешним периодическим воздействием по схеме теории катастроф Тома. Выявлен единый универсальный сценарий эволюции конфигураций crossroad area и spring area на плоскости параметров нелинейности. Проведен сравнительный анализ динамики специальных отображений катастроф при восхождении по коразмерности.

• Сконструировано и исследовано универсальное модельное отображение, где реализуются два сценария перехода к хаосу - через удвоения периода и через разрушение квазипериодического решения. Обнаружено, что такая ситуация ассоциируется с реализацией С и Н типов критического поведения [44], а пространство параметров в этом случае характеризуется наличием последовательности так называемых точек FF и точек резонанса 1:2 R [50]. Указано на возможность встречи пределов последовательностей точек FF и точек резонанса 1:2 R, т.е. на пересечение критических линий типа С и Н в точке так называемого типа FQ [44].

• В универсальном модельном отображении, описывающем системы с двумя сценариями перехода к хаосу, продемонстрирована возможность нового устройства языков синхронизации, которое отличается от известного расположением областей удвоенного периода. Это сказывается на характере разрушения инвариантной окружности при переходе к хаосу через разрушение квазипериодического решения. Вскрыты особенности взаимодействия критических кривых [51] с аттракторами и их бассейнами притяжений.

• В универсальном модельном отображении найдена новая конфигурация бифуркационных линий типа "бабочка", соответствующая сечению катастрофы "бабочка" и отличная от известных конфигураций "сборка" и "ласточкин хвост". Для областей удвоенного периода внутри языка синхронизации обнаружено качественное подобие бифуркационного устройства в окрестности точек резонанса 1:2 R, а также разбиения на области по типу мультипликаторов.

Достоверность научных выводов работы основывается на воспроизводимости всех численных экспериментов, использовании отработанных численных методов, непротиворечивости с известными в литературе результатами, совпадении результатов аналитического рассмотрения и численного эксперимента.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Для неавтономных осцилляторов со всеми полиномиальными разложениями в виде катастроф Тома существуют конфигурации бифуркационных линий типа crossroad area и spring area во всех сечениях пространства параметров. Эволюция этих конфигураций при изменении амплитуды воздействия подчиняется единому универсальному сценарию. С повышением степени полинома этот сценарий неоднократно повторяется, приводя к увеличению числа конфигураций.

2. Отображения, соответствующие различным катастрофам с ростом коразмерности, демонстрируют усложнение структуры пространства параметров, появление конфигураций crossroad area и spring area, добавление новых типов критического поведения на пороге хаоса, реализацию феноменов комплексной динамики (множество Мандельброта) и свойств систем двух связанных отображений.

3. Ситуация реализации двух типов перехода к хаосу - через удвоения периода и через разрушение квазипериодического решения - ассоциируется с критическим поведением С типа. Дополнительно благодаря наличию бифуркации Неймарка-Сакера возникает последовательность точек резонанса 1:2 R. Последовательности точек резонанса 1:2 R сходятся к критическим точкам типа Н.

4. В универсальном модельном отображении, описывающем ситуацию реализации двух сценариев перехода к хаосу, возникает новая структура языков синхронизации, отличающаяся от известной расположением областей удвоенного периода. Это влияет на структуру разбиения языка синхронизации на области по типу мультипликаторов, характер гетероклинических пересечений инвариантных многообразий седлового периодического решения, сценарий взаимодействия критических кривых с аттракторами и их бассейнами притяжения, особенности разрушения инвариантной окружности. Бифуркационное устройство в окрестности точек резонанса 1:2 R и разбиение на области по типу мультипликаторов качественно подобны в различных областях удвоенного периода. В этих областях складывается новая конфигурация бифуркационных линий типа "бабочка".

Научно-практическая значимость работы и рекомендации по использованию

Результаты работы развивают теорию динамики осцилляторов с различного вида полиномиальной нелинейностью. Полученные результаты о наличии универсальных черт в динамике осцилляторов с полиномиальными потенциалами различного вида могут быть полезны в следующих прикладных задачах. Выбор аппроксимирующего полинома играет важную роль в задачах моделирования по временным рядам, а также при определении адекватности эквивалентных параметров нелинейного элемента электрической схемы и расчета их характеристик.

Предложенная классификация неавтономных осцилляторов и отображений по схеме теории катастроф полезна в методологическом плане для последовательного изучения феноменов нелинейной динамики. Путем сравнения рассматриваемого осциллятора или отображения с введенными эталонными моделями возможно качественно оценить структуру пространства параметров и типы критического поведения без проведения трудоемкого исследования. Результаты используются в учебном процессе в СГУ.

Результаты работы, полученные для универсального модельного отображения, могут быть перенесены на широкий класс систем с двумя сценариями перехода к хаосу - через каскад бифуркаций удвоения периода и через разрушение квазипериодического режима - в силу универсальности, присущей критической динамике и степени общности рассуждений при выводе модельного отображения. Поскольку наблюдение критической динамики высокой коразмерности возможно в электронных экспериментах, например, в системе двух нелинейных осцилляторов под периодическим воздействием [43, 44], рекомендуется постановка эксперимента с целью выявления возможной ситуации встречи критических линий типа С и Н в критической точке типа FQ. В качестве модели могут быть использованы, например, связанные осцилляторы Ван-дер-Поля или Ресслера под внешним периодическим воздействием.

Результаты работы, касающиеся системы связанных логистических отображений, могут быть по аналогии перенесены на систему связанных LRC-контуров с полупроводниковыми диодами под внешним периодическим воздействием [36, 48].

Апробация работы и публикации

Результаты диссертационной работы были представлены на Всероссийской школе-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых" (Саратов, 1997-2000 и 2003), VI Международном семинаре "Математика. Компьютер. Образование" (Москва, 1999), XI Международной зимней школе по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, 1999), V Международной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Н. Новгород, 1999), Международной школе для молодых ученых и студентов по оптике, лазерной физике и биофизике (Саратов, 1999), VII Всероссийской школе-семинаре "Волновые явления в неоднородных средах" (Красновидово, 2000), Международной межвузовской конференции "Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ" (Саратов, 2001), Международной конференции "Dynamic Days Europe" (Дрезден, Германия, 2001), Международной школе "Nonlinear Science Festival III" (Люнг-би, Дания, 2001), VI Международной школе-конференции "Chaotic oscillations and pattern formation" (Саратов, 2001), Международном семинаре "Control, Communication, and Synchronization in Chaotic Dynamical Systems" (Дрезден, Германия, 2001), Международной школе "Summer Institute of Mathematical Study in Bioinformatics" (Бостон, США, 2003), Международной школе "Complex Physical, Biological, and Social Systems" (Бостон, США, 2004), на научных семинарах математических факультетов Бостонского университета и Северо-восточного университета США, факультета нелинейных процессов СГУ и СО ИРЭ РАН.

По теме диссертации имеется 17 публикаций (3 статьи в российских и зарубежных журналах, 6 статей в сборниках трудов научных конференций, 8 тезисов докладов).

Результаты работы получены при поддержке грантов РФФИ №97-0216414, 00-02-17509, персонального гранта РФФИ для молодых исследователей №01-02-06390, АФГИР REC-006, Минобразования РФ №97-0-8.3-8.8, ФЦП "Интеграция" №696.2, 696.3, персонального гранта ФЦП "Интеграция" для молодых исследователей 2001, Danish Graduate School in Nonlinear Science 2000, 2001, Max-Plank Institute of Physical Complex Systems 2001, President of Northeaster University excellence grant 2003.

Личный вклад автора

Соискатель самостоятельно обеспечивал программирование задач и все численные исследования. Постановка задач, выбор моделей и методов, а также обобщение полученных результатов проведено совместно с научным руководителем и соавторами.

Диссертация состоит из введения, 3-х глав и заключения. Работа содержит 175 страниц текста, включая 62 рисунка, 17 таблиц, список литературы из 228 наименований на 24 страницах.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Кузнецова, Анна Юрьевна

3.8 Выводы.

Итак, в настоящей главе было сконструировано универсальное модельное отображение со всеми бифуркациями, характерными для двух измерений. Мы продемонстрировали для такого отображения возможность реализации двух сценариев перехода к хаосу - через удвоения периода и через разрушение квазипериодического решения. Было показано, что такая ситуация ассоциируется с определенным типом критичности - типом С, характеризующимся наличием последовательности терминальных точек FF. Благодаря наличию бифуркации Неймарка-Сакера, в этой системе дополнительно возникает последовательность точек резонанаса 1:2 R, сходящаяся к критическим точкам типа Н.

Было изучено устройство пространства параметров и фазового пространства введенного отображения. Построены карты режимов и бифуркационные диаграммы различных областей пространства параметров и языков синхронизации, где вычислены последовательности терминальных точек коразмерности два типа FF, точек резонанса 1:2 R и смешанные последовательности, состоящие частично из точек FF, а частично из точек резонанса 1:2 R. Посредством бифуркационного анализа показано, что последовательности точек FF с мультипликаторами а=1 и /3=-\, где встречаются линии бифуркации удвоения периода и касательной бифуркации, накапливаются к критическим точкам С типа. В то время как, последовательности точек резонанса 1:2 R с of=— 1 и /3=-1, где встречаются линии бифуркации удвоения периода и бифуркации Неймарка-Сакера, сходятся к критическим точкам Н типа.

Проведена оценка координат критической точки типа С, в которой показано существование бесконечного числа устойчивых и неустойчивых циклов с мультипликаторами равными критическим значениям. Продемонстрированы соответствующие этому типу скейлинговые свойства в пространстве параметров и на фазовой плоскости. Проведена оценка координат критических точек типа Н и значений мультипликаторов в этих точках.

Последовательности точек FF и точек резонанса 1:2 R могут реализо-вываться в разных областях плоскости параметров как независимо друг от друга, так и в сложной комбинации. Изменение типа точек может быть связано со встречей линии бифуркации Неймарка-Сакера. Последовательность точек резонанса 1:2 R возникает, когда терминальные точки линий удвоения периода ложатся на линию бифуркации Неймарка-Сакера.

При рассмотрении концов границ для языков синхронизации, возникающих над линией бифуркации Неймарка-Сакера, была найдена последовательность терминальных точек FF, сходящаяся к линии бифуркации Неймарка-Сакера, под которой накапливаются точки резонанса 1:2 R. Таким образом, было указано на возможность встречи на плоскости параметров пределов последовательности точек FF и R, что говорит о возможности пересечения критических линий типа С и Н в критической точке типа FQ. Изменение третьего параметра оказывает влияние на перемещение описываемого бифуркационного сценария на плоскости параметров из области квазипериодических решений в область хаоса. Поскольку наблюдение критической динамики высокой коразмерности возможно в электронных экспериментах, например, в системе двух нелинейных осцилляторов под периодическим воздействием [44], может быть рекомендована постановка эксперимента с целью выявления описанной ситуации.

Вариация третьего параметра приводит к трансформациям языков синхронизации периодов 3 и 4: области удвоения периода перемещаются из центра языка к его краям. Также происходит замена точек R на точки FF в смешанной последовательности, т. е. к образованию однородной последовательности точек FF.

Изучены особенности нового устройства языков синхронизации различных периодов с областями удвоенного периода по краям языка. Показано качественное подобие бифуркационного устройства областей удвоенного периода в окрестности точек резонанса 1:2 R. Найдена новая конфигурация бифуркационных линий "бабочка", в вершинах которой располагаются точка FF и точка резонанса 1:2 R, и прослежены её трансформации.

Исследовано разбиение языка синхронизации на области по типу мультипликаторов. Структура разбиения повторяется в областях удвоенного периода. В каждой области показаны трансформации инвариантных многообразий точек цикла, взаимодействия инвариантной окружности и критических кривых, связь этих взаимодействий со спецификой разрушения инвариантной окружности при переходе к хаосу.

Рассмотрены локальные и глобальные бифуркации. Описана ситуация, когда бифуркации удвоения периода седлового цикла развиваются без аналогичного каскада для устойчивого цикла. Найдена локальная бифуркация, в которой седло, многообразия которого составляет границу бассейна, становится полностью неустойчивой точкой. Исследованы трансформации бассейнов притяжения точек цикла и хаотических аттракторов при касании одной из границ бассейна критической кривой, приводящие к образованию "озер" с фрактальной структурой, фрактализации границ бассейна, слиянию многоленточного хаотического аттрактора в единый аттрактор, и его исчезновению.

Проведен сравнительный анализ динамики универсального модельного отображения с некоторыми эталонными системами: отображением Эно, отображением окружности, системой связанных неидентичных (и идентичных) логистических отображений и двумерным квадратичным отображением [182, 193]. Обнаружены отличительные черты сравнительно с первыми двумя системами в структуре языков синхронизации. Найдены общие черты с системой связанных логистических отображений, рассмотренных во второй главе, в трансформациях языков синхронизации. В этих трансформациях наблюдается переход от типичного устройства языков к новому устройству с расположением областей удвоенного периода по краям языка. При этом наблюдается разрыв линий удвоения периода линией бифуркации Неймарка-Сакера, появление точек резонанса 1:2 R, реализация С типа критического поведения.

Так же, как и для системы связанных идентичных логистических отображений квадратичного отображения, существует каскад бифуркаций удвоения периода седлового цикла без аналогичного каскада для устойчивого цикла. Обнаружены общие черты с квадратичным двумерным отображением в структуре и трансформациях бассейнов притяжения [193].

Возможность ренормгруппового описания для найденных типов критичности и степень общности рассуждений при выводе универсального модельного отображения говорят в пользу универсальности ситуаций разрушения фазовой синхронизации в предельной точке фейгенбаумовского каскада, а также наблюдения описанной новой структуры языка синхронизации в других системах. В качестве возможного примера укажем на исследованную эмпирически в работе [30] систему с запаздыванием (генератор специального вида), приводящуюся к двумерному отображению, демонстрирующему замечательное сходство с описанной в настоящей главе картиной.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе было проведено исследование поведения осцилляторов под периодическим внешним воздействием с полиномиальной потенциальной функцией и специальных отображений с полиномиальной нелинейностью для выявления влияния нелинейности на универсальные черты их динамики, структуру фазового пространства и пространства параметров, типы критического поведения на границе хаоса.

В частности, были рассмотрены следующие модели:

• осцилляторы под периодическим внешним воздействием с полиномиальной потенциальной функцией в виде катастроф "складка", "двойственная сборка" и "ласточкин хвост", обладающие убегающими на бесконечность решениями

• осцилляторы под периодическим внешним воздействием с полиномиальной потенциальной функцией в виде катастроф "сборка", "бабочка" и "звезда", обладающие только ограниченными решениями

• осцилляторы под периодическим внешним воздействием в точках катастроф "сборка"и"бабочка"

• одномерные отображения с полиномиальной нелинейностью в виде катастроф "складка", "сборка" и "ласточкин хвост"

• двумерные отображения с полиномиальной нелинейностью в виде катастроф "эллиптическая омбилика" и "гиперболическая омбилика", приводимых к комплексным неаналитическим отображениям и к системе двух неидентичных связанных логистических отображений

• двумерное необратимое универсальное модельное отображение

По результатам работы можно сделать следующие выводы: 1. Проведен сравнительный анализ динамики нелинейных осцилляторов под внешним периодическим воздействием при последовательном усложнении полиномиальных потенциальных функций в виде катастроф Тома. Показано, что особенности структуры пространства параметров

147 нелинейности могут быть упорядоченно представлены последовательностью конфигураций crossroad area и spring area, эволюционирующих с ростом амплитуды воздействия согласно универсальному сценарию, единому для осцилляторов, имеющих в сечении пространства параметров одинаковую катастрофу. Сложность пространства параметров осцилляторов с нелинейностью высокой степени вытекает из неоднократного повторения этого сценария. Чем выше степень полинома, тем большее число раз повторяется этот сценарий в заданном диапазоне амплитуды воздействия. Осцилляторы с катастрофами высокого порядка в одном из сечений пространства параметров могут иметь такую же эволюцию этих конфигураций, как и осцилляторы с катастрофами низшего порядка, которые они содержат.

2. Проведен сравнительный многопараметрический анализ динамики отображений с полиномиальной нелинейностью в виде катастроф Тома. Одновременное повышение степени нелинейности и коразмерности системы приводит к усложнению структуры пространства параметров, появлению конфигураций crossroad area и spring area, добавлению новых типов критического поведения на пороге хаоса и феноменов комплексной динамики (множество Мандельброта).

3. Для исследования систем, где реализуются два сценария перехода к хаосу - через бифуркации удвоения периода и через разрушение квазипериодического решения - сконструировано универсальное модельное отображение. Пространство параметров такой системы характеризуется последовательностями терминальных точек FF и точек резонанса 1:2 R, сходящимся к критическим точкам С и Н типов соответственно.

4. В универсальном модельном отображении найдено ранее не известное разбиение языка синхронизации на области, отличающиеся по типу мультипликаторов. Эта структура качественно повторяется внутри областей удвоенного периода языка синхронизации. Каждая область охарактеризована трансформациями инвариантных многообразий седлового периодического решения и расположением неподвижных точек периодического решения относительно критических линий. Выявлена связь этих взаимодействий с разрушением инвариантной окружности при переходе от квазипериодического решения к хаосу. Исследованы трансформации бассейнов притяжения точек циклов при касании одной из границ бассейна критической кривой, приводящие к образованию "озер" с фрактальной структурой, фрактализации границ бассейна, слиянию частей многоленточного хаотического аттрактора в единый аттрактор и его исчезновению.

5. В универсальном модельном отображении в языках синхронизации показано качественное подобие бифуркационного устройства областей удвоенного периода в окрестности точек резонанса 1:2 R и найдена конфигурация бифуркационных линий типа "бабочка".

6. Новый тип структуры языка синхронизации в универсальном модельном отображении и в связанных логистических отображениях возникает в результате эволюции известного типа с областями удвоений в центре языка при вариации третьего параметра. Появляется линия бифуркации Неймарка-Сакера, которая разрывает линии удвоения периода в центре языка, образуются точки резонанса 1:2 R и точки FF, последнее характерно для С типа критичности. Такая ситуация может быть общей для широкого класса связанных фейгенбаумовских систем при вариации параметра связи.

7. Проведен сравнительный анализ динамики универсального модельного отображения с некоторыми эталонными системами: отображением Эно, отображением окружности, системой связанных логистических отображений, двумерным квадратичным отображением. Обнаружены отличительные черты с первыми двумя системами в структуре языков синхронизации. Общие черты с системой связанных логистических отображений в трансформациях языков синхронизации. Общее для системы связанных идентичных отображений и квадратичного отображения в возможности бифуркаций удвоения периода седлового решения без аналогичного каскада для устойчивого решения. Общие черты с квадратичным двумерным отображением в структуре и трансформациях бассейнов притяжений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузнецова, Анна Юрьевна, 2005 год

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкнн С.Э. Теория колебаний. 2-е изд. М.: Физматлит, 1981, 586 С.

2. Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М.И. Л. И. Мандельштам и современная теория нелинейных колебаний. // УФН. 1979. Т. 128. С. 579-624.

3. Трубецков Д.И., Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Изд-во Физматлит, 1984, 432 С.

4. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987, 424 С.

5. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Изд-во Физматлит, 2001, 296 С.

6. Анищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б., Стрелкова Г.И., Шиманский-Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастичеёских системах. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003, 530 С.

7. Хаяси Т. Вынужденные колебания в нелинейных системах. М.: изд-во иностр. лит-ры, 1957, 204 С.

8. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. М.: Физматлит, 2002, 292 С.

9. MacDonald А.Н., Plischke М. Study of the driven damped pendulum: application to Josephson junctions and charge-density-wave systems // Phys. Rev. B. 1983. Vol. 27. P. 201-211.

10. Buzsaki G., Draguhn A. Neuronal oscillations in cortical networks. // Science. 2004. Vol. 304. P. 1926-1929.

11. Thompson J.M., Stewart H.B. Nonlinear Dynamics and Chaos. New York: Wiley, 2002, 460 P.

12. Kao Y.H., Huang J.C., Gou Y.S. Routes to chaos in the Duffing oscillator with a single potential well. //Phys. Let. A. 1988. Vol. 131. P. 91-97.

13. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Изд-во Московского университета, 1983, 128 С.

14. Arnold V.I., Afrajmovich V.S., IFyashenko Yu.S., Shilnikov L.P. Bifurcation theory and catastrophe theory. New York: Springer-Verlag, 1999, 288 P.

15. Постон Т., Стюард И. Теория катастроф и её применения. М.: Мир, 1980, 608 С.

16. Saunders Р.Т. An introduction to catastrophe theory. New York: Cambridge University Press, 1980, 168 P.

17. Woodcock A., Davis M. Catastrophe Theory. London: Penguin Books, 1980, 176 P.

18. Woodcock A.E.R., Poston T. A geometrical study of the elementary catastrophes. Lecture Notes in Mathematics №373. Berlin: Springer-Verlag, 1974.

19. Брёкер Т., Ланд ер JI. Дифференцируемые ростки и катастрофы. Волгоград: Платон, 1997, 208 С.

20. Lu Yung-Chen. Singularity theory and an introduction to catastrophe theory. New York: Springer-Verlag, 1976.

21. Анищенко B.C. Устойчивость, бифуркации, катастрофы. // Соровский образовательный журнал. 2000. Т. 6, №6, С. 105-109.

22. Mitra S., Sinha D.U. Catastrophe theory in some aspects of earth sciences. In: Catastrophe theory and applications. Ed. Sinha, D. K. New York: John Wiley and Sons, 1982, 170 P.

23. Parlitz U., Scheffczyk C., Kurz Т., Lauterborn W. On modeling driven oscillators by maps. // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1991. Vol. 1, №1, P. 261-264.

24. Parlitz U. Common Dynamical Features of periodically driven strictly Dissipative oscillators. //Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1991. Vol. 3, №3. P. 703-715.

25. Frouzakis C.E., Adomatis R.A., Kevrekidis I.G. An experimental computational study of subcriticality, hysteresis and global dynamics for a model adaptive control system. // Сотр. Chem. Eng. 1996. Vol. 20, Suppl. S1029-S1034.

26. Adomatis R.A., Kevrekidis I.G. Noninvertibility and the structure of basins of attraction in a model adaptive control system. // J. Nonlin. Sci. 1991.Vol. l.P. 95-105.

27. Gumowski I., Mira C. Recurrences and discrete dynamic systems. Lecture notes in mathematics. New York: Spriner-Verlag, 1980, 272 P.

28. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R. A variety of period-doubling universality classes in multi-parameter analysis of transition to chaos. // PhysicaD. 1997. Vol. 109. P. 91-112.

29. Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Кузнецов С.П., Селезнев Е.П. Новый тип критического поведения связанных систем при переходе к хаосу. // Докл. АН СССР. 1986. Т. 287, №3. С. 619-622.

30. Ни В. Introduction to real-space renormalization-group methods in critical and chaotic phenomena. // Phys. Rep. 1982. Vol. 91, №5. P. 233-295.

31. Ни В., Mao J.M. Period doubling: universality and critical point order. // Phys. Lett. A. 1982. Vol. 25, №6. P. 3259-3261.

32. Ни В., Satija I.I. A spectrum of universality classes in period doubling and period tripling. //Phys. Lett. A. 1983. Vol. 98. P. 143-150.

33. Van der Welle J.P., Capel H.W., Kluiving R. On the scaling factor a(z) and 5(z). //Phys. Lett. A. 1986. Vol. 119, №1. P. 15.

34. Bairstow L. Investigations related to the stability of the aeroplane. Reports and memorandums. №154, Advis. Comm. Aeronaut., 1914.

35. Billings L., Curry J.H. On invertible mappings of the plane: eruptions. // Chaos. 1996. Vol. 6. P. 108-129.

36. Kuznetsov S.P., Sataev I.R. Period-doubling for two-dimensional non-invertible maps: Renormalization group analysis and quantitative universality. //PhysicaD. 1997. Vol. 101. P. 249-269.

37. Kuznetsov S.P., Sataev I.R. New types of critical dynamics for two-dimensional maps. //Phys. Lett. A. 1992. Vol. 162. P. 236-242.

38. Kuznetsov S.P., Sataev I.R. Universality and scaling for the breakup of phase synchronization at the onset of chaos in a periodically driven Rossler oscillator. // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64, №4, P. 046214 (7 pages).

39. Дмитриев A.C., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989, 280 С.

40. Anishchenko V.S. Dynamical Chaos models and experiments. Appearance, routes and structure of chaos in simple dynamical systems. Singapur: World Scientific, 1995, 383 P.

41. Марсден Д., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и её приложения. М.: Мир, 1980, 368 С.

42. Kuznetsov Yu.A., Meijer H.G.E., van Veen L. The fold-flip bifurcation. // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2004. Vol. 14, №7. P. 2253-2282.

43. Mira C. De'termination pratique du domaine de stabilitye' d'un point dVquilibre d'une recurrence non-line'aire du deuxie'me order a' variables re'elles. // Comptes Rendus Acad. Sc. Paris A. 1964. Vol. 261, groupe 2. P. 5314-5317.

44. Астахов B.B., Безручко Б.П, Ерастова Е.Н., Селезнев Е.П. Виды колебаний и их эволюция в диссипативно связанных фейгенбаумовских системах. //ЖТФ. 1990. Т. 60, в. 10. С. 19-26.

45. Sheffczyk С., Parlitz U., Kurz Т., Knop W., Lauterborn W. Comparison of bifurcation structures of driven dissipative nonlinear oscillators // Phys. Rev. A. 1991. Vol. 43. P. 6495-6502.

46. Duffing G. Erzwungene Schwingungen bei vernderlicher Eigenfrequenz und ihre technische Bedeutung. Vieweg, Braunschweig, 1918.

47. Ueda Y. Strange attractors and the origin of chaos. // Nonlin. Sci. Today. 1992. Vol. 2. P. 1-16.

48. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972, 471 С.

49. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, Физматлит, 1997,496 С.

50. Баталова З.С., Неймарк Ю.И. Об одной динамической системе с гомоклинической структурой. // Изв. Высш. Учебн. Завед., Радиофизика. 1972. № 11. 101-108 С.

51. Белюстина Л.Н., Белых В.Н. О глобальной структуре разбиения фазового пространства одной неавтономной системы. // Дифференциальные уравнения. 1973. Т. 9, №4. С. 595-608.

52. Мооп W., Holmes Р.J. A magnetoelastic strange attractor. // Journal Sound Vib. 1979. Vol. 65. P. 285-296.

53. Li G.X., Moon F.C. Criteria for chaos of a three-well potential oscillator with homoclinic and heteroclinic orbits. // J. of Sound and Vibration. 1990. Vol. 136, № l.P. 17-34.

54. Szemplinska-Stupnicka W. Steady States in the twin potential oscillator: computer simulations and approximate analytical studies. // Chaos. 1993. Vol. 3,№3. P. 375-385.

55. Kloster N., Knudsen C. Bifurcations near 1:2 subharmonic resonance in a structural dynamics model. // Chaos, Solitons and Fractals. 1995. Vol. 5, №1. P. 50-66.

56. Thompson J.M.T. Chaos and fractal basin boundaries in engineering. In: The Nature of Chaos. Ed. Tom Mullin. Oxford University Press, 1993, 314 P.

57. Hayashi C., Ueda Y. Behavior of solutions for certain types of nonlinear differential equations of the second order. // Proc. 5th Int. Conf. Nonlinear Oscillations. Poznac. 1973. Vol. 14. P. 341-351.

58. Petersson J. Chaos new structural phase transition. // Z. Naturforschung A. 1990. Vol. 45. P. 958-964.

59. Klinker Т., Meyer-Ilse W., Lauterborn W. Period doubling and chaotic behavior in a driven Toda oscillator. // Phys. Lett. F. 1984. Vol. 101, №8. P. 371-375.

60. Huberman B.A., Crutchfield J.P. Chaotic States of Anharmonic Systems in Periodic Fields.//Phys. Rev. Lett. 1979. Vol. 43, №23. P. 1743.

61. Flytzanis Chr., Tang C.L. Light-Induced Critical Behavior in the Four-Wave Interaction in Nonlinear Systems. // Phys. Rev. Lett. 1980. Vol. 45. P. 441.

62. Goldstone J.A., Garmire E. Intrinsic Optical Bistability in Nonlinear Media. //Phys. Rev. Lett. 1984. Vol. 53. P. 910-913.

63. Huberman B.A., Grutchfield G.P., Packard N.H. Noise phenomena in Josephson junctions. //Appl. Phys. Lett. 1980. Vol. 37. P. 750-752.

64. Астахов B.B., Безручко Б.П., Селезнев Е.П. Исследование динамики нелинейного колебательного контура при гармоническом воздействии. //Радиотехника и электроника. 1987. Т. 32, №12. С. 2558-2566.

65. Безручко Б.П., Селезнев Е.П. Сложная динамика возбуждаемого осциллятора с кусочно-линейной характеристикой. // Письма в ЖТФ. 1994. Т. 20, вып. 19. С. 75-79.

66. Thompson J.M.T., Rainey R.C.T., Soliman M.S. Mechanics of ship capsize under direct and parametric wave excitation. // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1992. Vol. 338. P. 471-490.

67. Thompson J.M.T., Soliman M.S. Fractal control boundaries of driven oscillators and their relevance to safe engineering design. // Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1990. Vol. 428. P. 1-13.

68. Thompson J.M.T., Soliman M.S. Indeterminate jumps to resonance from a tangled saddle-node bifurcation. Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1991. Vol. 432. P. 101-111.

69. Thompson J.M.T. Chaotic phenomena triggering the escape from a potential well. //Proc. R. Soc. Lond. A. 1989. Vol. 421. P. 195-225.

70. Soliman M.S., Thompson J.M.T. Integrity measures quantifying the erosion of smooth and fractal basins of attraction. // J. Sound Vib. 1989. Vol. 135. P. 453-475.

71. Soliman M.S., Thompson J.M.T. Basin organization prior to a tangled saddle-node bifurcation. // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1991. Vol. 1. P. 107-119.

72. Soliman M.S., Thompson J.M.T. Global dynamics underlying sharp basin erosion in nonlinear driven oscillators. // Phys. Rev. A. 1992. Vol. 45. P. 3425-3431.

73. Soliman M.S., Thompson J.M.T. Indeterminate sub-critical bifurcations in parametric resonance. // Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1992. Vol. 438. P. 511518.

74. Soliman M.S. Predicting regimes of indeterminate jumps to resonance by assessing fractal boundaries in control space. // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1994. Vol. 4, №6. P. 1645-1653.

75. Virgin L.N. The nonlinear rolling response of a vessel including chaotic motions leading to capsize in regular seas. // Applied Ocean Research. 1987. Vol. 9, Issue 2. P. 89-95.

76. Herath J., Fesser K. Mode expansions and bifurcations in nonlinear single-well oscillators. //Phys. Lett. A. 1987. Vol. 120, №6. P. 265-268.

77. Holmes C., Holmes P. Second order averaging and bifurcations to subharmonics in Duffing's equation. // J. Sound. Vib. 1981. №78. P. 161174.

78. Novak S., Frehlich R.G. Transition to chaos in the Duffing oscillator. // Phys. Rev. A. 1982. Vol. 26, №6. P. 3660-3663.

79. Raty R., von Boehm J., Isomaki H.M. Absence of inversion-symmetric limit cycles of even periods and the chaotic motion of Duffing oscillator. // Phys. Lett. A. 1984. Vol. 103, № 6-7. P. 289-292.

80. Raty R., von Boehm J., Isomaki H.M. Chaotic motion of a periodically driven particle in an asymmetric potential well. // Phys. Rev. A. 1986. Vol. 34, №5. P. 4310-4315.

81. Swift J.W., Wiesenfeld K. Suppression of Period Doubling in Symmetric Systems. //Phys. Rev. Lett. 1984. Vol. 52. P. 705-708.

82. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields. New York: Springer, 1997, 480 P.

83. Holmes P.J. Nonlinear oscillator with a strange attractor. // Phil. Trans. Roy. Soc. London A. 1979. Vol. 292, №1394. P. 419-448.

84. Moon F.C. Fractal Boundary for Chaos in a Two-State Mechanical Oscillator. // Phys. Rev. Lett. 1984. №53. P. 962-964.

85. Moon F.C. Experiments on chaotic motions of a forced nonlinear oscillator: strange attractor. //J. of App. Mech. 1980. №47. P. 638-644.

86. Moon W., Holmes P.J. Strange Attractors and Chaos in Nonlinear Mechanics. // Journal Appl. Mech. 1983. Vol. 50. P. 1021-1032.

87. Moon F.C., Li G.X. Fractal basin boundaries and homoclinic orbits for periodic motions in a two well potential. // Phys. Rev. 1985. №55. P. 14391442.

88. Moon F.C., Li G.X. The Fractal Dimension of the Two-Well Potential Strange Attractor. // Physica D. 1985. Vol. 17. P. 99-108.

89. English V., Lauterborn W. Regular window structure of a double-well Duffing oscillator. //Phys. Rev. A. 1991. Vol. 44, №2. P. 916-924.

90. Hayashi C. Nonlinear Oscillations in Physical Systems. Princeton: Princeton University Press, 1986, 402 P.

91. Hayashi C. Selected Papers on Nonlinear Oscillations. Kyoto University, 1975, 249 P.

92. Hayashi C., Ueda Y., Kawakami H. Transformation theory as applied to the solutions of non-linear differential equations of the second order. // Int. J. Non-Linear Mech. 1969. Vol. 4. P. 235-255.

93. Ueda Y., Yoshida S. Attractor-basin phase portraits of the forced Duffing's oscillator. // Proc. European Conf. Circuit Theory Design. Paris. 1987. Vol. l.P. 281-286.

94. Ueda Y. Survey of Regular and Chaotic Phenomena in the Forced Duffing Oscillator. // Chaos, Solitons and Fractals. 1991. Vol. 1, №3. P. 199-231.

95. Mosekilde E. Topics in Nonlinear Dynamic. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1996, 380 P.

96. Li G.X. Chaotic vibrations of a Nonlinear System with Five Equilibrium States. M. S. Thesis, Cornell University, Ithaca, N. Y., 1984.

97. Bak P., Bohr Т., Jensen M.H. Mode-locking and the transition to chaos in dissipative systems. // Phys. Ser. 1984. Vol. 9. P. 50-58.

98. Miracky R.F., Clarke J., Koch R.H. Chaotic noise observed in a resistively shunted self-resonant Josephson tunnel junction. // Phys. Rev. Lett. 1983. Vol. 50. P. 856-859.

99. Yeh W.J., He D.R., Kao Y.H. Fractal dimension and self-similarity of the devils staircase in a Josephson-junction simulator. // Phys. Rev. Lett. 1984. Vol. 52. P. 480.

100. Yeh W.T., Kao Y.H. Intermittency in junctions. // Phys. Rev. Lett. 1983. Vol. 50. P. 856-859.

101. Yeh W.T., Kao Y.H. Intermittency in Josephson junctions. // Appl. Phys. Lett. 1983. Vol. 42. P. 229-301.

102. Kao Y.H., Huang J.C., Gou Y.S. Persistent properties of crises in Duffing oscillator. //Phys. Rev. A. 1987. Vol. 35, №12. P. 5228-5232.

103. Желудев Н.И., Макаров B.A., Матвеева A.B., Свирко Ю.П. Структура хаоса при возбуждении нелинейного осциллятора гармонической внешней силой. // Вестник МГУ. Сер. 3. 1984. Т. 25, №5. С. 106-109.

104. Chui S.T., Ma K.B. Nature of some chaotic states for Duffing's equation. // Phys. Rev. A. 1982. Vol. 26, №4. P. 2262-2265.

105. Elgin J.N., Forster D. Mechanism for chaos in the Duffing equation. // Phys. Lett. A. 1983. Vol. 94, №5. P. 195-197.

106. Крюков Б.И., Середович Г.И. О "странном" поведении решений уравнения Дуффинга. // Докл. АН СССР. 1981. Т. 258, №2. С. 311-314.

107. Beiersdorfer P., Wersinger J.M. Topology of the invariant manifolds of a period-doubling attractors for some forced nonlinear oscillators. // Phys. Lett. A. 1983. Vol. 96, №6. P. 269-272.

108. Hayashi C. The method of mapping with reference to the doubly asymptotic structure of invariant curves. // Int. J. Non-Linear Mech. 1980. Vol. 15, №415. P. 341-348.

109. Kawakami Н. The bifurcation pattern of periodic solutions observed in Duffing's equation. // Тр. IX Междунар. Конференции по нелинейным колебаниям. Киев, 1981. Киев: Наукова думка, 1984. Т. I. С. 162-165.

110. Arecchi F.T., Lisi F. Hopping mechanism generating 1 If noise in nonlinear systems. // Phys. Rev. Lett. 1982. Vol. 49, №2. P. 94-98.

111. Holmes P., Whitley D. On the attracting set for Duffing's equation. // PhysicaD. 1983. Vol. 7, №1-3. P. 111-123.

112. Гилмор P. Прикладная теория катастроф. T 1, 2. M.: Мир, 1984, 350 С.

113. Томпсон Дж.М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. М.: Мир, 1985, 254 С.

114. Marzec C.J., Spiegel Е.А. Ordinary differential equations with strange attractors. // J. Appl. Math. 1980. Vol. 38, №3. P. 403-421.

115. Komuro M., Tokunaga R., Matsumoto Т., Chua L., Hotta A. Global bifurcation analysis of the double scroll circuit. // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1991. Vol. 1. P. 139-182.

116. Bier M., Bountis T.C. Remerging Feigenbaum trees in dynamical systems. // Phys. Lett. A. 1984. Vol. 104. P. 239-244.

117. Chang S.J., Pendley P.R. Scaling and universal behavior on the bifurcation attractor. //Phys. Rev. A. 1986. Vol. 33, №6. P. 4092-4103.

118. Mackey R.S., Tresser C. Some flesh on the bifurcation structure of bimodal maps. //PhysicaD. 1987. Vol. 27. P. 412-422.

119. Ringland J., Schell M. Universal geometry in the parameter space of dissipative dynamical systems. //Europhys. Lett. 1990. Vol. 12. P. 595-601.

120. Gallas J.A.C., Catarina S. Structure of the parameter space of Henon map. //Phys. Rev. Lett. Vol. 70, №18. P. 2714-2717.

121. Gallas J.A.C. Structure of the parameter space of a ring cavity. // Appl. Phys. B. 1995. Vol. 60. P. 203-213.

122. Carcasses J., Mira C., Bosh M., Simo C., Tatjer J.C. Crossroad area -spring area transition. (1) Parameter plane representation. // Int. J. of Bif. and Chaos. 1991. Vol. 1. P. 183-196.

123. Mira C., Carcasses J. On the "crossroad area saddle area" and "crossroad area - spring area" transitions. // Int. J. of Bifurc. and Chaos. 1991. Vol. 1, №3. P. 641-655.

124. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990, 312 Р.

125. Grebogi С., Ott Е., Yorke, J.A. Chaotic Attractors in Crisis. // Phys. Rev. Lett. 1982. Vol. 48. P. 1507-1510.

126. Grebogi C., Ott E., Yorke, J.A. Crises, sadden changes in chaotic attractors, and transient chaos. // Physica D. 1983. Vol. 7. P. 181-200.

127. Ott E. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge university press, 1993,397 P.

128. Feigenbaum M.J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations. //J. Stat. Phys. 1978. Vol. 19, №1. P. 25-52.

129. Feigenbaum M.J. The universal metric properties of nonlinear transformations. //J. Stat. Phys. 1979. Vol. 21, №6. P. 669-706.

130. Фейгенбаум M. Универсальность в поведении нелинейных систем. //УФЫ. 1983. Т. 141, №2. С. 343-374.

131. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Критическая динамика одномерных отображений. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1993. Т. 1, №1-2. С. 15-33.

132. Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Гибрид удвоений периода и касательной бифуркации: количественная универсальность и двухпараметрический скейлинг. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1995. Т. 3, №4. С. 3-11.

133. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Критическая динамика одномерных отображений. Часть II. Двухпараметрический переход к хаосу. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1993. Т. 1, №2. С. 17-35.

134. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Коразмерность и типичность в контексте проблемы описания перехода к хаосу черезудвоение периода в диссипативных динамических системах. // Регулярная и хаотическая динамика. 1997. Т. 2, №314. С. 90-115.

135. Kuznetsov А.Р., Kuznetsov S.P., Sataev I.R. Variety of types of critical behavior and multistability in period-doubling systems with unidirectional coupling near the onset of chaos. // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1993. Vol. 3. P. 139-152.

136. Zisook A.B. The complete set of Hamiltonian intermittence scaling behaviors. // Commun. Math. Phys. 1984. Vol. 96. P. 361-371.

137. Ostlund S., Rand D., Sethna J., Siggia E. Universal properties of the transition from quasi-periodicity to chaos in dissipative systems. // Physica D. 1983. Vol. 8. P. 303-342.

138. Гольберг А.И., Синай Я.Г., Ханин K.M. Универсальные свойства последовательности утроения периода. // УМН. 1983. Т. 38, №1. С. 159160.

139. Cvitanovich P., Myrtheim J. Universality for period n-tuplings in complex mappings. // Phys. Lett. A. 1983. Vol. 94. P. 329-333.

140. Cvitanovich P., Myrtheim J. Complex universality. // Commun. Math. Phys. 1989. Vol. 121. P. 225-254.

141. Кузнецов С.П. Каскад удвоений периода в комплексном кубическом отображении. //Изв. вузов. ПНД. 1996. Т. 4, 5. С. 3-12.

142. Isaeva О. В., Kuznetsov S.P. On scaling properties of two-dimentional maps near the accumulation point of the period-tripling cascade. // Reg. Chaotic Dynam. 2000. Vol. 5, №4. P. 459-476.

143. Gunaratne G.H. Trajectory scaling for period tripling in near conformal mappings. // Phys. Rev. A. 1987. Vol. 36. P. 1834-1839.

144. Klein M. Mandelbrot set in a non-analytic map. // Zeitsch. Naturforch. A. 1988. Vol. 43. P. 819-820.

145. Crowe W.D., Hasson R., Rippon P.J., Strain-Clark P.E.D. On the structure of the Mandelbar set. // Nonlinearity. 1989. Vol. 2. P. 541-553.

146. Gonchenko V.S., Kuznetsov Yu.A., Meijer H.G.E. Bifurcation structure of the generalized Henon map. // Preprint 1296, Department of Mathematics, Utrecht University, 2004, pp. 24.http://www.math.ruu.nl/publications/Preprints/index.shtml.en

147. Robinson C. Dynamical systems: stability, symbolic dynamics and chaos. Boca Ration, Florida: CRS Press Inc., 1998, 506 P.

148. Aronson D.G., Chory M.A., Hall G.R., McGehee R.P. Bifurcation from an invariant circle for two-parameter families of maps of the plane: a computer-assisted study. // Commun. Math. Phys. 1982. Vol. 83. P. 303354.

149. Abraham R., Gardini L., Mira C. Chaos in discrete dynamical systems: a visual introduction in 2 dimentions. Springer-Verlag Telos, 1997, 246 P.

150. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: Издательство Саратовского университета, 1999, 368 С.

151. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1990, 240 С.166

152. Mira С. Chaotic dynamics: from the one-dimensional endomorphism to the two-dimensional diffeomorphism. Singapore: World Scientific, 1987, 427 P.

153. Arrowsmith D.K., Place C.M. Dynamical systems: differential equations, maps and chaotic behavior. London, Glasgow, New York, Tokyo, Melbourne, Madras: Chapman and Hall/CRC, 1992, 352 P.

154. Schreiber I., Dolnik M., Choc P., Marek M. Resonance behavior in two-parameter families of periodically forced oscillators. // Physics Letters A. 1988. Vol. 128. P. 66-70.

155. Frouzakis C.E., Adomaitis R.A., Kevrekidis I.G. Resonance phenomena in an adaptively-controlled system. // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1991. Vol. 1, №1. P. 83-106.

156. McGehee R.P., Peckham B.B. Arnold flames and resonance surface folds. // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1996. Vol. 6, №2. P. 315-336.

157. Helleman R.H.G. In: Fundamental Problems in Statistical Mechanics, ed. Cohen E.G.D. Vol. 5. Amsterdam: North-Holland, 1981, 338 P.

158. Лихтенберг А., Либерман M. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984, 528 С.

159. Arnold V.I. Mathematical methods of classical mechanics. Berlin: Springer, 1974.

160. Арнольд В.И. Потеря устойчивости автоколебаний вблизи резонансов. Нелинейные волны. М.: Наука, 1979. С. 116-130.

161. Peckham B.B. The necessity of the Hopf bifurcation for periodically forced oscillators. //Nonlinearity. 1990. Vol. 3. P. 261-280.

162. Peckham В.В., Kevrekidis I.G. Lighting Arnold flames: resonance in doubly forced periodic oscillators. //Nonlinearity. 2002. Vol. 15. P. 405428.

163. Arrowsmith D.K., Cartwright J.H.E., Lansbuiy A.N., Place C.M. The Bogdanov map: bifurcations, mode locking, and chaos in a dissipative system. //Int. J. Bifurcation and Chaos. 1993. Vol. 3. P. 803-842.

164. Frouzakis C.E., Gardini L., Kevrekidis L.G., Millerioux G., Mira C. On some properties of invariant sets of two-dimentional noninvertible maps. //Int. J. Bifurcation and Chaos. 1997. Vol. 7, № 6. P. 1167-1194.

165. Frouzakis C.E., Kevrekidis I.G., Peckham B.B. A route to computational chaos revisited: noninvertibility and the breakup of an invariant circle.//PhysicaD. 2003. Vol. 177, №1-4. P. 101-121.

166. Knudsen C. Janet Java nonlinear explorations tools. Danish Technical University, //www.fys.dtu.dk/~janet

167. Kostelich E.J., Yorke J.A., You Z. Plotting stable manifolds: error estimates and noninvertible maps. // Physica D. 1996. Vol. 93, №3-4. P. 210-222.

168. York J., Nusse H.E. Dynamics: numerical explorations. New York: Springer Verlag, 1998, 608 P.http:// www.ipst.umd.edu/dynamics,ftp://jims.umd.edu/pub/small

169. Cathala J.C. Basin properties in two-dimensional noninvertible maps. // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1998. Vol. 8, №11. P. 2147-2189.

170. Cathala J.C. About a new class of invariant areas generated by two-dimentional endomorphisms. // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2003. Vol. 13, №4. P. 905-933.

171. Mira С., Fournier-Primaret D., Gardini L., Kawakami H., Cathala J.C. Basin bifurcations of two-dimentional noninvertible maps: fractalization of basins. //Int. J. Bifurcation and Chaos. 1994. Vol. 4, №2. P. 343-381.

172. Афраймович B.C., Шильников Л.П. О малых периодических возмущениях автономных систем. // Докл. АН СССР. 1974. Т. 24, №4. С. 739-742.

173. Афраймович B.C., Шильников Л.П. Принцип кольца и задача о взаимодействии двух автоколебательных систем. // ПММ. 1977. Т. 42, №4. С. 618-627.

174. Афраймович B.C., Шильников Л.П. Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность. Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький: Изд-во Горьк. ун-та, 1983, С. 3-26.

175. Afraimovich V.S., Shilnikov L.P. Strange attractors and quasiattractors. Nonlinear dynamics and turbulence. Ed. G.I. Barenblatt, G. Loss, D.D. Joseph. Pitman, Boston, London, Melbourne, 1983, P. 1-34.

176. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990, 312 С.

177. Анищенко B.C., Летчфорд Т.Е., Сонечкин Д.М. Универсальные закономерности мягкого перехода к хаосу через режим двухчастотных колебаний. //ЖТФ. 1988. Т. 58, вып. 5. С. 849-858.

178. Stavans J., Heslot F., Libchaber A. Fixed winding number and the quasiperiodic route to chaos in a convective fluid. // Phys. Rev. Lett. 1985. Vol. 55. P. 596-599.

179. Lorenz E.N. Computational chaos a prelude to computational instability. // Physica D. 1989. Vol. 35. P. 299-317.

180. Frouzakis C.E. Dynamics of systems under control: Quantifying stability. PhD thesis, Princeton University, 1992.

181. Kitajima H., Kawakami H., Mira C. A method to calculate basin bifurcation sets for a two-dimensional noninvertible map. // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2000. Vol. 10, №8. P. 2001-2014.

182. Астахов B.B., Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Селезнев Е.П. Мультистабильные состояния диссипативно связанных фейген-баумовских систем. // Письма в ЖТФ. 1989. Т. 15, в.З. С. 60-65.

183. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Квазиоднородные стохастические движения и их разрушение в системе связанных нелинейных осцилляторов. // Изв. Вузов Сер. Радиофизика. 1988. Т. 31, в.5. С. 627-630.

184. Anishchenko V.S., Astakhov V.V., Vadivasova Т.Е., Sosnovtseva O.V., Wu C.W., Chua L.O. Dynamics of two coupled Chua's circuits. Int. J. Bifurcation and Chaos. 1995. V. 5 №6, P. 1677.

185. Ermentraut B. Simulating, analyzing, and animating dynamical systems: a guide to xppaut for researchers and students (software, environments, tools). Soc for industrial and applied math, 2002, 290 P.

186. Golubitsky M., Stewart I. Schaeffer D. G. Singularities and groups in bifurcation theory. Vol. I, II. New York: Springer-Verlag, 1985.

187. Whitney H. Mappings of the plane into the plane. // Ann. Math. 1955. Vol. 62. P. 374-470.

188. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Т. I. М.: Наука, 1982, 304 С.; Т. II. М.: Наука, 1984, 336 С.

189. Bischi G.-I., Gardini L., Mira С. Plane maps with denominator. I. Some generic properties. // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1999. Vol. 9, №1. P. 119-153.

190. Sander E. Homoclinic tangles for noninvertible maps. // Nonlinear Analysis. 2000. Vol. 41. P. 259-276.

191. Astakhov S.A., Seleznev Ye.P., Smirnov D.A. Multistability and Transient Processes in Coupled Period Doubling Systems. // Proceedings of the V International Specialist Workshop NDES. Moscow, 1997. P. 437-442.

192. Астахов C.A., Безручко Б.П., Селезнев Е.П., Смирнов Д.А. Эволюция бассейнов притяжения аттракторов связанных систем с удвоением периода. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1997. Т. 5, № 2-3. С. 87-99.

193. Mira С., Gardini L., Barugola A., Cathala J. С. Chaotic dynamics in two-dimensional noninvertible maps. (World Scientific Series on Nonlinear Science, Series A., vol. 20.) World Scientific Pub. Co. Inc. 1996. 607 P.

194. Millerioux G., Mira C. Homoclinic and heteroclinic situation specific to two-dimentional noninvertible maps. // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1997. Vol. 7, №1. P. 39-70.

195. Cathala J.C. Fractalization of basin boundary in two-dimentional noninvertible maps. // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1999. Vol. 9, №10, P. 1995-2025.

196. Newhouse S.E. The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms. 1979. Publ. Math IHES Vol. 50. P. 101-151.

197. Gonchenko S.V., Shil'nikov L.P., Turaev D.V. On models with non-rough Poincare homoclinic curves. // Physica D. 1993. Vol. 62. P. 1-14.

198. Shilnikov L.P. Mathematical problem of nonlinear dynamics: a tutorial. //Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1997. Vol. 7, №9. P. 1953-2001.

199. СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ*

200. Kuznetsova A.Yu., Kuznetsov A.P., Knudsen С., Mosekilde E. Catastrophe theoretic classification of nonlinear oscillators // Inter. J. Bifurcation and Chaos. 2004. Vol. 14, №4. P. 1241-1266.

201. Кузнецов А.П., Потапова А.Ю. Особенности сложной динамики нелинейных неавтономных осцилляторов с катастрофой Тома // Изв. Вузов Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т. 8, №6. С. 94-120.

202. До декабря 2001 г. Кузнецова А. Ю. носила фамилию Потапова.172

203. Потапова А.Ю. Компьютерное моделирование динамики осцилляторов в точках катастроф // "От порядка к хаосу" труды лаборатории "Теоретическая нелинейная динамика". Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 1998. С. 62-71.

204. Кузнецов А.П., Потапова А.Ю. Осцилляторы с потенциальными функциями, демонстрирующими катастрофы // Тез. докл. V международной конференции "Нелинейные колебания механических систем". Н. Новгород, 1999. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1999. С. 132.

205. Кузнецов А.П., Потапова А.Ю. Осцилляторы с катастрофами и атипичные осцилляторы // Тезисы XI международной школы-конференции по СВЧ электронике и радиофизике. Саратов, 1999. Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", С. 41.

206. Потапова А.Ю. Компьютерное моделирование динамики осцилляторов в точках катастроф и бифуркационных точках // Тез. докл. VI международной конференции "Математика. Компьютер. Образование". Пущино, 1999. М.: Изд-во МГУ, 1999. С. 222.

207. Иванов Ю.С., Кузнецова А.Ю. Отображение катастроф // Матер, науч. школы-конф. "Нелинейные дни в Саратове для молодых-2003". Саратов, 2003. Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2003. С. 46-50.

208. Потапова А.Ю. Классификация нелинейных осцилляторов по схеме теории катастроф // Матер, науч. школы-конф. "Нелинейные дни в Саратове для молодых-2000". Саратов, 2000. Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2000. С. 7-11.

209. Потапова А.Ю. Сложная динамика нелинейных осцилляторов с потенциалами, задаваемыми элементарными катастрофами Тома // Матер. науч. школы-конф. "Нелинейные дни в Саратове для молодых-99". Саратов, 1999. Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 1999. С. 14-17.

210. Потапова А.Ю. Компьютерное моделирование динамики осцилляторов в точках катастроф // Матер, науч. школы-конф. "Нелинейные дни в Саратове для молодых-98". Саратов, 1998. Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 1998. С. 37.1. БЛАГОДАРНОСТИ

211. Особую признательность выражаю за участие в обсуждении работы член-корреспонденту РАН, профессору, д.ф.-м.н. Трубецкову Дмитрию Ивановичу, к научной школе которого я имею честь принадлежать.