Реконструкция уравнений динамики и диагностика взаимодействия нелинейных колебательных систем по временным рядам тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, доктор физико-математических наук Смирнов, Дмитрий Алексеевич

• Смирнов, Дмитрий Алексеевич
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Смирнов, Дмитрий Алексеевич

ВВЕДЕНИЕ.

ЧАСТЬ I. Реконструкция уравнений динамики.

Глава 1. Оценка параметров хаотических систем.

1.1. Оценка параметров одномерных отображений.

1.1.1. Известные методы.

1.1.2. Оценка с использованием обратного отображения.

1.2. Оценка параметров в случае скрытых переменных.

1.2.1. Известные методы.

1.2.2. Модифицированный метод множественной стрельбы.

Основные результаты главы 1.

Глава 2. Восстановление нелинейных характеристик.

2.1. Оптимизация модельной функции.

2.2. Моделирование автоколебаний аристы дрозофилы.

2.2.1. Объект исследования и данные.

2.2.2. Предварительный анализ и выбор структуры модели.

2.2.3. Результаты моделирования.

2.2.4. Обсуждение.

2.3. Реконструкция уравнений неавтономных осцилляторов.

2.3.1. Особенности процедуры реконструкции.

2.3.2. Примеры эталонных осцилляторов.

2.4. Восстановление характеристик нелинейных элементов электрических цепей.

2.4.1. Контур с переключаемыми конденсаторами.

2.4.2. Контур с полупроводниковым диодом.

Основные результаты главы 2.

Глава 3. Реконструкция в случае черного ящика.

3.1. Известные методы реконструкции.

3.1.1. Реконструкция фазовой траектории.

3.1.2. Аппроксимация функций многих переменных.

3.2. Подбор динамических переменных.

3.3. Описание внешних воздействий.

3.4. Исследование динамической нестационарности.

3.3.1. Стационарность и нестационарность, эталонный пример.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Реконструкция уравнений динамики и диагностика взаимодействия нелинейных колебательных систем по временным рядам»

За почти вековую историю своего развития радиофизика и ее идейная база - теория колебаний - постоянно расширяли круг объектов исследования и приложений своих методов. Если сначала речь шла о способах генерации и преобразования регулярных сигналов для радиосвязи и локации, то в последние десятилетия в центре внимания находятся сложные и хаотические сигналы, нелинейные колебательные процессы в системах различной природы [113]. Модели и методы радиофизики активно используются в различных областях - от физики до биологии, медицины и наук о Земле.

Отличительной чертой современного периода исследования колебаний является также цифровая форма представления и обработки информации: сигналы на выходе большинства современных измерительных приборов имеют вид временных рядов - дискретных последовательностей значений наблюдаемых величин. Подходы и идеи теории колебаний, нелинейной динамики, статистической радиофизики оказываются особенно плодотворными при анализе сигналов, демонстрирующих колебательный характер, нерегулярность, признаки нелинейности. В этом круге задач выделяется проблема реконструкции уравнений динамики (построения математической модели) по временным рядам, поскольку при ее успешном решении полученные уравнения могут использоваться для целого ряда приложений - от прогноза [14-17] до диагностики взаимодействия исследуемых систем [18-23]. Последнее очень востребовано в физике и химии [18,19], кардиологии [20,21], нейрофизиологии [22], климатологии [23]. Этими обстоятельствами обусловлена важность и актуальность темы диссертации, что подробнее обосновывается ниже.

Актуальность работы. Построение математических моделей по временным рядам получило название «идентификации систем» в математической статистике [24] и «реконструкции динамических систем» - в нелинейной динамике [25-27]. Предшественницами современных задач реконструкции были задачи аппроксимации, и статистического исследования зависимостей между наблюдаемыми величинами. Долгое время наблюдаемые процессы моделировались с помощью- явных функций времени 77 = /(/), аппроксимирующих множество экспериментальных точек на плоскости (/, 77), где / -время, 77 - наблюдаемая. Целью моделирования был прогноз будущего развития процесса или сглаживание зашумленных данных. В начале XX века серьезный шаг в развитии методов эмпирического моделирования нерегулярных процессов был сделан в математической статистике, когда было предложено использовать линейные стохастические модели [28]. Этот подход практически не имел альтернатив в течение полувека (1920-е - 1970-е) и нашел многочисленные приложения, особенно для прогноза и автоматического управления [29]. Успехи нелинейной динамики, обосновавшей возможность хаотического поведения нелинейных динамических систем малой размерности, и развитие вычислительной техники открыли перспективы успешного моделирования сложных процессов на основе нелинейных разностных и дифференциальных уравнений [30,31].

Обсуждая современное состояние проблемы, воспользуемся сложившейся типовой схемой реконструкции уравнений движения, которая включает в себя несколько этапов. На первом получают временной ряд; на втором -выбирают структуру модельных уравнений, т.е. все, кроме конкретных значений параметров; на третьем - оценивают параметры (подгонка модели); в итоге проверяют, удовлетворительно ли полученная модель описывает наблюдаемый процесс. Предложены теоретические идеи, обосновывающие алгоритмы действия на каждом этапе. При выборе структуры уравнений - это теоремы Такенса для реконструкции вектора состояния [32] и обобщенная аппроксимационная теорема для задания оператора эволюции [33]; при оценке параметров - минимизация различных целевых функций; при проверке адекватности модели — расчет метрических и топологических характеристик 8 аттрактора [34] и т.д. Тем не менее, на практике получить удовлетворительную модель с помощью* существующих универсальных подходов. зачастую не удается. Одним из широко известных препятствий является так называемое «проклятие размерности» - резко возрастающие с ростом размерности модели трудности аппроксимации и требования к объему и качеству данных. Но и кроме этого на каждом этапе процедуры моделирования остаются» нерешенные проблемы, связанные с оценкой параметров хаотических систем, оптимизацией структуры модели, выбором динамических переменных. Сложившаяся ситуация требует развития практически эффективных методов для реконструкции уравнений нелинейных колебательных систем в реалистичных условиях коротких временных рядов, хаотичности наблюдаемых процессов, нестационарности и зашумленности. Одним из перспективных направлений представляется разработка методов, ориентированных на избранные классы систем и задач, учитывающих особенности этих классов при выборе структуры модели, расширяющих возможности физической интерпретации результатов моделирования.

Среди практических приложений реконструкции в настоящее время выделяется обнаружение и оценка связей (диагностика взаимодействия) между нелинейными системами по данным наблюдений. Эта задача является обратной по отношению к исследованию динамики в ансамблях нелинейных колебательных скстем. Во многих работах [35-39] показано, что динамика существенно зависит от структуры связей между элементами ансамбля. В частности, эти связи определяют виды синхронизации, простоту или сложность динамики, образование различных пространственно-временных структур. Поэтому оценка связей дает важную информацию при исследовании различных объектов, а методы решения этой задачи представляют значительный практический интерес. При этом особенное внимание уделяется возможности получения оценок по коротким и нестационарным сигналам, широко распространенным в физике, биологии, науках о Земле.

Существуют «непосредственные» (не опирающиеся на построение моделей) методы выявления зависимостей между процессами, включая корреляционный и спектральный анализ, теоретико-информационные и нелинейно-динамические характеристики. Однако для оценки направленных связей, т.е. для ответа на вопрос о том, влияет ли один процесс на другой и с какой «силой», наиболее подходящим инструментом оказывается реконструкция уравнений. С 1960-х гг. широко применяется линейная оценка «причинности по Грейнджеру», основанная на построении линейных авторегрессионных моделей и расчете улучшения прогноза одного процесса при учете в модели данных о другом процессе [40]. Она позволяет с надежностью установить факт наличия связей между линейными системами, но сталкивается с трудностями при решении более сложных задач. Во-первых, физическая интерпретация ее количественных характеристик не очевидна: не ясно, в какой степени они отражают влияние связей на те или иные свойства наблюдаемой динамики. Во-вторых, при анализе нелинейных систем линейная оценка причинности по Грейнджеру часто оказывается не пригодной даже для выявления связей. Попытки ее нелинейных обобщений, использующие реконструкцию уравнений в универсальном виде, сталкиваются с упомянутыми выше общими трудностями нелинейного моделирования по временным рядам и, как следствие, с недостоверностью выводов о наличии связей. Более перспективный нелинейный метод оценки связей, предложенный для исследования колебательных систем, допускающих введение фазы, основан на моделировании фазовой динамики [41]. Однако его известный вариант ориентирован на случай длинных стационарных сигналов. Для коротких или нестационарных временных рядов получаемые с его помощью результаты не надежны, т.к. не исследованы статистические свойства итоговых оценок связи и не предусмотрена оценка статистической значимости выводов. Таким образом, для исследования взаимодействий между сложными колебательными процессами различной природы на практике требуются новые подходы, позво

10 ляющие получать физически интерпретируемые характеристики связей и применимые для исследования нелинейных систем в реалистичных постановках достаточно коротких и зашумленных временных рядов, нелинейных и запаздывающих связей, многих взаимодействующих систем.

Наконец, следует отметить, что теоретические идеи нелинейной динамики, на которых основаны реконструкция динамических систем, диагностика связей, решение ряда других задач, и соответствующие методы обычно тестируются на эталонных динамических системах в численном эксперименте. При этом количество работ, посвященных их приложениям для анализа реальных процессов относительно мало. Поэтому в последние годы все настойчивее интерес научного сообщества к практическим приложениям идей и методов теории колебаний и нелинейной динамики в биофизике, физиологии, науках о Земле. Таким образом, актуальность темы диссертации связана с необходимостью развития практически эффективных методов для реконструкции уравнений и диагностики взаимодействия нелинейных систем в условиях дефицита данных и сложности наблюдаемой динамики, а также их востребованностью при исследовании нелинейных колебательных процессов различной природы.

Целью диссертационной работы является развитие методов реконструкции уравнений и диагностики взаимодействия нелинейных колебательных систем в условиях дефицита данных и сложности наблюдаемой динамики и их приложения для анализа колебательных процессов различной природы.

Для достижения цели решались следующие основные задачи.

1. Разработка комплекса методов, повышающих эффективность процедуры реконструкции уравнений динамики по временным рядам, включая оценку параметров хаотических систем при дефиците данных, оптимизацию модельных функций, подбор динамических переменных. Апробация развитых методов при моделировании радиотехнических и биологических систем.

11

2. Разработка и апробация комплекса методов для диагностики взаимодействия вк ансамблях нелинейных колебательных систем, ориентированного на получение достоверных выводов о- наличии связей и физически интерпретируемых характеристик связи по относительно коротким временным рядам.

3. Приложения развитых методов диагностики-взаимодействия для исследования колебательных процессов в реальных системах различной природы, включая радиотехнические, нейрофизиологические и климатические.

На защиту выносятся следующие положения и результаты.

1) Разработанные методы оценки параметров хаотических динамических систем по зашумленным временным рядам дают более точные результаты, чем известные подходы. А именно, модифицированный метод множественной стрельбы, допускающий разрывы фазовой траектории на интервале наблюдения, позволяет эффективно использовать сколь угодно длинные ряды и смягчает требования к стартовым догадкам для искомых параметров. Для одномерных отображений использование обратного отображения при расчете целевой функции дает оценки параметров, среднеквадратическая погрешность которых в типичном случае уменьшается с ростом длины временного ряда N как 1/Ы в отличие от закона \/-Лм для подходов, основанных на сегментировании ряда.

2) Разработанный комплекс методов для реконструкции уравнений динамики расширяет возможности моделирования нелинейных колебательных систем по временным рядам. Он включает в себя приемы подбора динамических переменных на основе тестирования аппроксимируемых зависимостей на однозначность и непрерывность, оптимизации модельных уравнений за счет исключения лишних слагаемых, описания внешних воздействий за счет использования многочленов с переменными коэффициентами. По сравнению с известными подходами это позволяет получать модели с меньшим числом динамических переменных, воспроизводящие наблюдаемую динамику в более широкой области фазового пространства.

12

3) Предложенный метод оценки динамического эффекта воздействий по временным рядам позволяет количественно охарактеризовать, в какой степени различные свойства одного процесса зависят от других наблюдаемых процессов (факторов). Он основан на построении эмпирической модели и анализе ее динамики при искусственных изменениях рассматриваемых факторов. Это дополняет широко используемые характеристики причинности по Грейнджеру, которые позволяют выявить наличие связей между исследуемыми системами, но не дают возможности оценить степень влияния этих связей на динамику.

4) Предложенный модифицированный метод моделирования фазовой динамики, основанный на учете корреляционных свойств фазовых шумов, позволяет с заданной доверительной вероятностью делать выводы о наличии связей между двумя нелинейными колебательными системами по временным рядам длиной от двадцати характерных периодов колебаний. Метод становится более чувствительным к слабой связи, чем известные подходы (оценка частной направленной когерентности и статистика ближайших соседей в пространствах состояний), при уменьшении коэффициентов диффузии фазы исследуемых систем и длины временного ряда.

5) Предложенные обобщения метода моделирования фазовой динамики позволяют выявлять структуру связей в ансамблях колебательных систем, получать физически интерпретируемые характеристики взаимодействий, оценивать связи, характеризующиеся нелинейностью произвольно высокого порядка, получать интервальные оценки времени запаздывания связей.

6) По эмпирическим данным за период 1856 - 2005 гг. выявлено влияние вариаций солнечной и вулканической активности и содержания углекислого газа в атмосфере на вариации глобальной приповерхностной температуры (ГПТ) с помощью оценки причинности по Грейнджеру. Согласно оценке динамического эффекта воздействий рост ГПТ в последние десятилетия объясняется эмпирической моделью только при учете в ней вариаций содержания ео2.

7) По эмпирическим данным за период с 1870 г. до начала XXI в. с помощью метода моделирования фазовой динамики и оценки причинности по Грейнджеру выявлены связи процесса Эль-Ниньо - Южное колебание (ЭНЮК) в Тихом океане с процессами в других регионах. А именно, обнаружены и количественно охарактеризованы воздействие ЭНЮК на СевероАтлантическое колебание, воздействие экваториальной атлантической моды на ЭНЮК и двунаправленная связь между ЭНЮК и индийским муссоном.

8) При анализе записей локальных потенциалов* с глубинных электродов и сигналов.акселерометров с помощью метода моделирования фазовой динамики и линейной и нелинейной оценок причинности по Грейнджеру выявлена двунаправленная связь между активностью субталамического ядра (структуры мозга в базальных ганглиях) и колебаниями противоположной руки при паркинсоновском треморе. Влияние колебаний руки на активность субталамического ядра обнаруживается и линейным, и нелинейными методами. Обратное воздействие выявляется только нелинейными методами и характеризуется запаздыванием от 200 до 400 миллисекунд.

Достоверность научных выводов обусловлена теоретическим обоснованием разработанных методов реконструкции уравнений и оценки связей с позиций нелинейной динамики и математической статистики, тестированием методов на эталонных системах в численных экспериментах и установлением эмпирических критериев их применимости, согласованием результатов численных расчетов и физических экспериментов, совпадением ряда результатов с результатами других авторов. При анализе физических, физиологических и климатических процессов достоверность подтверждается также проверкой адекватности эмпирических моделей, выполнением критериев применимости методов, высокой статистической значимостью выводов согласно аналитичек ским оценкам и воспроизводимостью результатов. I 14

Научная новизна результатов работы состоит в следующем.

Предложен оригинальный метод оценки параметров хаотических одномерных отображений по зашумленным временным рядам. Впервые показано, что модифицированный метод множественной стрельбы позволяет эффективно использовать для оценки параметров сколь угодно длинные хаотические ряды. Предложен и апробирован комплекс методов, повышающих эффективность реконструкции уравнений динамики нелинейных колебательных систем по временным рядам по сравнению с известными подходами.

Предложен метод оценки динамического эффекта воздействий различных факторов на исследуемый процесс, дополняющий широко используемую идею причинности по Грейнджеру. Разработан оригинальный комплекс методов для оценки связей между нелинейными колебательными системами в условиях относительно коротких временных рядов и существенных шумов.

На основе анализа направленных связей по эмпирическим данным выявлено и охарактеризовано воздействие различных факторов на вариации глобальной приповерхностной температуры. По эмпирическим данным выявлены связи процесса Эль-Ниньо/Южное колебание с другими крупномасштабными климатическими процессами: Северо-Атлантическим колебанием, экваториальной атлантической модой и индийским муссоном.

Впервые по эмпирическим данным выявлено воздействие субталамиче-ского ядра на колебания конечностей у пациентов с паркинсоновским тремором и получена оценка времени запаздывания этого воздействия. Показано, что в начале пик-волнового разряда у крыс линии \\^АО/Яу связь между ядрами таламуса и лобной корой (двунаправленная и асимметричная) резко усиливается. Показано, что автономные колебания аристы ИгоБоркПа те1апо%а$1ег, вызванные введением диметилсульфоксида, адекватно описываются с помощью уравнений автогенератора с одной степенью свободы, и получены характеристики диссипации и возвращающей силы для этой системы.

Научное и практическое значение результатов работы.

В распространенной на практике ситуации, когда структура модели полностью известна из физических соображений, а все параметры и переменные имеют физический смысл, но не могут быть измерены, предложенные методы позволяют получить оценки параметров хаотических систем и восстановить временные ряды скрытых переменных.

В ситуации, когда структура модельных уравнений- отчасти известна, а неизвестны входящие в них функции (характеристики объекта), которые не могут быть непосредственно измерены, предложенный метод оптимизации структуры уравнений позволяет восстановить эти характеристики по временным рядам. Он апробирован при восстановлении эквивалентных характеристик нелинейных элементов электрических цепей. Получен патент на изобретение.

В ситуации, когда структура модели неизвестна, предложенный комплекс методов для реконструкции уравнений позволяет получать модели, точнее воспроизводящие наблюдаемую динамику в широкой области фазового пространства по сравнению с известными подходами, что имеет универсальное значение для моделирования колебательных процессов различной природы.

Метод оценки динамического эффекта воздействий позволяет установить, в какой степени те или иные свойства исследуемого процесса обусловлены различными факторами, т.е. охарактеризовать важность воздействий и предсказать изменения в наблюдаемой динамике при вариации упомянутых факторов.

Предложенный комплекс методов оценки связей между нелинейными колебательными системами позволяет решать практически важные задачи диагностики структуры связей в ансамбле и оценки нелинейности и запаздывания связей по относительно коротким временным рядам с контролируемой надежностью; Последнее: обстоятельство» важно« при нестационарности; сигналов и дефиците данных, что типично в нейрофизиологиши геофизике.

Модели, автономных колебаний apucrbi Drosophila melanogaster и полученные- нелинейные характеристики* значимы для биофизических исследований. Поскольку многие свойства спонтанных отоакустических излучений ■ насекомых и позвоночных аналогичны, этирезультаты должны быть t востребованы, при дальнейших исследованиях физики усилителя в улитке уха позвоночных.

Выявленное с помощью реконструкции уравнений деление эпилептического припадка на квазистационарные сегменты может стать основой для дальнейшего нейрофизиологического, анализа, направленного на изучение и классификацию таких сегментов, приразличных формах эпилепсии.

Результаты анализа: связей между колебаниями конечностей и активностью подкорковых структур мозга во время спонтанного паркинсоновского тремора важны для дальнейшего^ развития нейрофизиологических представлений о его механизме. Результаты соответствуют гипотезе о том, что исследуемые структуры мозга играют активную роль в генерации тремора. Однако представления о петле обратной связи, содержащей только линии; проведения нервных сигналов в обоих направлениях, по-видимому, следует обновить.

Результаты анализа климатических данных расширяют сведения о характере связей между крупномасштабными климатическими процессами, что важно в теории климата для усовершенствования и исследования моделей земной климатической системы и построения прогнозов.

Разработанные в диссертации методы и программы используются при проведении научных исследований в Институте физики атмосферы им. A.M. Обухова РАН (г. Москва). Результаты работы внедрены в учебный процесс на факультете нано- и биомедицинских технологий Саратовского госуниверситета. Они составили основу монографий [340, 341], содержащих образовательную компоненту, предназначенную для студентов и аспирантов.

Личный вклад соискателя; Соискатель лично сформулировал, рассмотренные в диссертации задачи, разработал новые методы реконструкции уравнений и оценки связей и компьютерные программы для-их реализации, провел тестирование и. сравнительный, анализ этих методов, выполнил основную часть работ по анализу экспериментальных данных. Выбор направления исследований и интерпретация ряда результатов осуществлялись совместно с проф. Б.П. Безручко. Некоторые результаты по тестированию методов и анализу экспериментальных данных получены совместно с Т.В. Ди-каневым, М.Б. Бодровым, И.В. Сысоевым, A.C. Караваевым, B.C. Власки-ным, С.С. Козленко, П.И. Наконечным. Лабораторные радиотехнические макеты для тестирования развитых методов в физическом эксперименте разработаны Е.П. Селезневым и В.И. Пономаренко. Постановки задач анализа нейрофизиологических и климатических данных и интерпретация соответствующих результатов- осуществлены совместно со специалистами в этих областях (И.И. Мохов, P. Tass, Е.Ю. Ситникова, Е. van Luijtelaar, R. Stoop, M. Goepfert, J.-L. Perez Velazquez, R. Wennberg).

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации составили содержание докладов на всероссийских школах «Нелинейные волны» (Нижний Новгород, 2002; 2004; 2006; 2008; 2010); международных школах «Хаотические автоколебания и образование структур» - ХАОС (Саратов, 1998; 2001; 2004; 2007); международных симпозиумах «Topical problems of nonlinear wave physics» (Нижний Новгород, 2003; 2005; 2008), «Topical problems of Biophotonics» (Нижний Новгород, 2007; 2009), «Nonlinear Theory and its Applications» - NOLTA (Дрезден, Германия, 2000); международных семинарах «Nonlinear Dynamics of Electronic Systems» - NDES (Борнхольм, Дания, 1999; Делфт, Нидерланды, 2001; Рапперсвиль, Швейцария, 2009), «WE Heraues Seminar» (Бад Хонеф, Германия, 2001), «PASCAL» (Лавин, Швейцария, 2005); международных конференциях «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 1999; 2002; 2005; 2008), «Фундаменталь

18 ные проблемы физики» (Саратов, 2000), «Современные проблемы электроники СВЧ и радиофизики» (Саратов, 2001), «Synchronization of chaotic and stochastic oscillations» (Саратов, 2002), European Congress on Epileptology (Мадрид, Испания, 2002), IEEE on Circuits and Systems for Communications (Москва, 2004), «Dynamic Days» (Пальма-де-Майорка, Испания, 2004), «Идентификация систем и проблемы управления» - SICPRO (Москва, 2005), «Biomagnetism» (Ванкувер, Канада, 2006), «Nonlinear Dynamics, Chaos, and Applications» (Меллас, Крым, Украина, 2006); научно-практических конференциях «Системный анализ в проектировании и управлении» (Санкт-Петербург, 2004), «Новые технологии в экспериментальной биологии и медицине» (Ростов-на-Дону, 2007); научно-технических конференциях «Радиотехника и связь» (Саратов, 2005), «Физика и радиоэлектроника в медицине и экологии» (Суздаль, 2006); всероссийских симпозиумах «Медленные колебательные процессы в организме человека. Теоретические и прикладные аспекты нелинейной динамики в физиологии и медицине» (Новокузнецк, 2005; 2007); русско-японском семинаре по нейробиологии и нейродинамике «Bridging non-linear dynamics with cellular and molecular neuroscience» (Токио, Япония, 2008); всероссийских школах-семинарах «Волновые явления в неоднородных средах» (Звенигород, 2008; 2009); научных конференциях «Нано-электроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2006; 2007; 2008; 2009) и «Состав атмосферы. Атмосферное электричество. Климатические процессы» (Борок, 2008); школах-семинарах «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине» (Саратов, 2007; 2008; 2009); конкурсах работ молодых ученых им. И.В. Анисимкина (ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, Москва, 2005; 2006; 2007).

Результаты работы многократно обсуждались на научных семинарах Саратовского филиала Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, Института физики атмосферы им. A.M. Обухова (г. Москва), Института медицины и Института вычислений им. Дж. фон Неймана Ис

19 следовательского центра Юлих (Германия), Центра по анализу данных и моделированию Фрайбургского университета (Германия), научной группы нелинейной динамики Потсдамского университета (Германия), факультета эпилептологии Боннского университета (Германия), Института познания и информации Наймегенского университета (Нидерланды), университета Торонто (Канада), кафедры динамического моделирования и биомедицинской инженерии Саратовского государственного университета.

Работы были поддержаны грантом Президента РФ для молодых кандидатов наук, Российским фондом фундаментальных исследований, Фондом содействия отечественной науке, Американским фондом гражданских исследований и развития для государств бывшего Советского Союза (CRDF), Немецким научным фондом (DFG), ФЦНТП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники на 2002-2006 годы», программами РАН и Министерства образования и науки РФ.

По теме диссертации опубликовано 67 работ (без учета тезисов докладов), в том числе 2 монографии, 40 статей в журналах, рекомендованных ВАК, 5 статей в прочих журналах, монографиях и научных сборниках, 1 патент, 15 статей в сборниках трудов научных конференций, 4 учебно-методических пособия [340-406].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, девяти содержательных глав, сгруппированных в три части, заключения и списка литературы. Объем диссертации - 390 страниц, включая 111 рисунков, 5 таблиц и список литературы из 406 наименований.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Смирнов, Дмитрий Алексеевич

Основные результаты главы 9 опубликованы в работах [341, 361, 364, у 374, 376, 377, 379, 385, 386].

Заключение

В1.диссертационной работе развит и апробирован комплекс практически эффективных методов.для реконструкции уравнений динамики и.диагностики взаимодействия нелинейных колебательных систем по временным рядамв-условиях дефицита данных и сложности наблюдаемой динамики:

1. Для оценки параметров хаотических одномерных отображений по временным рядам предложен метод, дающий более точные результаты, чем известные подходы, при умеренном шуме1 наблюдений. Это преимущество растет с ростом длины ряда.

2. Показано, что при оценке параметров хаотических систем модифицированный метод множественной стрельбы, допускающий разрывы фазовой траектории модели на интервале наблюдения, позволяет использовать сколь угодно длинные временные ряды и смягчает требования к стартовым догадкам для искомых параметров1 и скрытых переменных.

3. Предложен метод подбора наиболее подходящего для построения модели варианта динамических переменных на основе тестирования аппроксимируемых зависимостей на однозначность и непрерывность.

4. Предложен метод оптимизации модельной функции на основе исключения лишних слагаемых, позволяющий получить модель, воспроизводящую наблюдаемую динамику в более широкой области фазового пространства, чем при использовании известных подходов.

5. Предложен способ описания внешних воздействий в эмпирической модели с помощью многочлена с переменными коэффициентами, что позволяет получать модели неавтономных систем с меньшим числом динамических переменных по сравнению с известными универсальными подходами.

6. Предложен метод оценки динамического эффекта воздействий различных факторов (процессов) на исследуемый процесс по временным рядам.

7. Предложен метод оценки связей между системами с переключениями.

8. Для диагностики связей между автоколебательными системами по коротким временным рядам предложен модифицированный метод моделирования фазовой динамики, основанный на учете корреляционных свойств фазовых шумов для контроля статистической значимости результатов.

9. Показано, что модифицированный метод моделирования фазовой динамики становится-более чувствительным к слабой связи, чем другие известные методы, при уменьшении коэффициента диффузии фазы исследуемых процессов и длины временного ряда. Показана его применимость для оценки связей между нейронными осцилляторами.

10. Предложены обобщения метода моделирования фазовой динамики для анализа направленных связей в ансамбле осцилляторов (характеристики связи интерпретируются физически, аналитическая формула для уровня статистической значимости выводов позволяет выявлять структуру связей с заданной надежностью), оценки нелинейных связей, выявления* запаздывающих связей и интервальной оценки времени запаздывания.

С помощью развитых методов в диссертационной работе получены новые результаты при исследовании колебательных процессов в радиотехнике, биофизике, нейрофизиологии, климатологии:

11. Показано, что адекватное описание автономных колебаний колебаний аристы Пго$орЫ1а melanogaster, вызванных введением диметилсульфок-сида, достигается с помощью уравнений автогенератора с одной степенью свободы. Получены характеристики диссипации и возвращающей силы.

12. Предложен способ получения эквивалентных характеристик нелинейных элементов электрических цепей в режимах больших амплитуд. Он апробирован в физическом эксперименте, получен патент на изобретение.

13. Проведен анализ динамической нестационарности электроэнцефалограмм пациентов с височной эпилепсией с помощью реконструкции уравнений. Выявлены последовательные динамически стационарные участки во время эпилептического припадка.

14. Проведен анализ взаимодействия* между активностью подкорковых структур мозга и колебаниями конечностей у пациентов с паркинсоновским тремором. Выявлена двунаправленная связь между этими процессами. Получены характеристики запаздывания и линейности/нелинейности воздействий.

15. Исследовано взаимодействие между различными областями мозга крыс генетической линии "\МАО/1Ц)' до, во время, и после пик-волновых разрядов. Установлено и количественно охарактеризовано усиление взаимодействия между ядрами таламуса и лобной корой в начале разряда.

16. Исследовано влияние солнечной и вулканической активности и содержания СОг в атмосфере на глобальную приповерхностную температуру (ГПТ). Показано, что при наличии влияния всех факторов рост ГПТ в последние десятилетия может быть объяснен только при учете СО2 в эмпирической модели.

17. Выявлено и количественно охарактеризовано воздействие процесса Эль-Ниньо/Южное колебание (ЭНКЖ) на Северо-Атлантическое колебание во второй половине XX века.

18. Исследована взаимосвязь процессов в экваториальных широтах Тихого и Атлантического океанов с использованием индексов ЭНКЖ и экваториальной атлантической моды (ЭАМ) по данным за период 1870-2006 гг. Выявлено и количественно охарактеризовано влияние ЭАМ на ЭНКЖ.

19. Проведен анализ взаимосвязи ЭНКЖ и индийского муссона по данным за период 1871—2006 гг. Установлено, что связь является двунаправленной, и получены характеристики ее. инерционности, нелинейности, вариаций во времени.

По мнению автора, полученные в диссертационной работе результаты вносят значительный вклад в развитие таких научных дисциплин, как теория колебаний, нелинейная динамика, статистическая радиофизика, и представляют большую практическую ценность для анализа нелинейных колебательных процессов различной природы по экспериментальным данным.

351

Благодарности

Выражаю искреннюю признательность своему научному консультанту профессору Борису Петровичу Безручко за постоянное внимание к работе, многочисленные полезные советы и участие в решении многих рассмотренных задач. Благодарю весь состав группы нелинейного динамического моделирования (сотрудников СФ ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН и Саратовского госуниверситета): д.ф.-м.н. Е.П. Селезнева и д.ф.-м.н. В.И. Пономаренко за обеспечение физического эксперимента и участие в ряде работ по теме диссертации; д.ф.-м.н. М.Д. Прохорова за полезное обсуждение работы в течение многих лет; к.ф.-м.н. Т.В. Диканева, к.ф.-м.н. И.В. Сысоева, к.ф.-м.н. A.C. Караваева, к.ф.-м.н. М.Б. Бодрова, И.В. Карпеева, B.C. Власкина, П.И. Наконечного, Е.В. Сидак за сотрудничество по ряду задач, рассмотренных в диссертации.

Для выполнения работы было исключительно полезным сотрудничество с коллегами-климатологами (чл.-корр. РАН И.И. Мохов и асп. С.С. Козленко, ИФА им. A.M. Обухова РАН), нейрофизиологами (P. Tass, J.-L. Perez Velazquez, R. Wennberg, Е.Ю. Ситникова, Е. van Luijtelaar) и физиками (R. Stoop, А. Kern, J. Timmer, В. Schelter, М. Winterhaider, R. Andrzejak).

Благодарю рецензентов работы проф. Н.М. Рыскина, проф. А.П. Кузнецова, проф. B.C. Анищенко за полезные замечания и советы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Смирнов, Дмитрий Алексеевич, 2010 год

1. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.

2. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.

3. Дмитриев А.С., Кислое В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989.

4. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.

5. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Физматлит, 1997.

6. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: изд-во СГУ, 1999.

7. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000.

8. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Наука, 2001.

9. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. М.: Физматлит, 2002.

10. Anishchenko V.S., Astakhov V.V., А.В. Neiman, et al. Nonlinear effects in chaotic and stochastic systems. Springer, Berlin, 2002.

11. Дмитриев А.С., Панас A.M. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. М.: Физматлит, 2002.

12. Матросов В.В., Шалфеев В.Д. Динамический хаос в фазовых системах. Н. Новгород: изд-во ННГУ, 2007.

13. Лоскутов А.Ю., Михайлов А. С. Основы теории сложных систем. М.Ижевск: Институт комп. исследований, 2007.

14. Farmer J.D., Sidorowich J.J. Predicting chaotic time series // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59. P. 845-848.

15. Макаренко Н.Г. Эмбедология и нейропрогноз // Труды V Всеросс. конф. «Нейроинформатика-2003». Москва; 2003. Ч. 1. С. 86-148^

16. Miyazaki J., Kinoshita S. Determination of a coupling, function in multicoupled oscillators //Phys. Rev. Lett. 2006. V. 96, 194101.19: Tokuda I.T. et al. Inferring phase equations from multivariate time series // Phys. Rev. Lett. 2007. V. 99; 064101.

17. Rosenblum M.G., Cimponeriu L., Bezerianos A., Patzak A., Mrowka R. Identification' of coupling direction: Application- to cardiorespiratory interaction // Phys. Rev. E, 2002. V. 65, 041909.

18. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I., Gridnev V.I., Bodrov M.B., Bespyatov A.B. Synchronization between main rhythmic processes in the human cardiovascular system//Phys. Rev. E, 2003. V. 68, 041913.

19. Pereda E., Quian Quiroga R, Bhattacharya J. Nonlinear multivariate analysis of neurophysiological signals // Progress in Neurobiology, 2005. V. 77, pp. 137.

20. Лъюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991.

21. Chaos and Its Reconstructions / Eds. G. Gouesbet, S. Meunier-Guttin-Cluzel, O. Menard. Nova Science Publishers, New York, 2003.

22. Павлов A.H., Янсон Н.Б., Анищенко B.C. Реконструкция динамическихсистем // Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44, вып.9. С. 1075-1092.

23. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974.

24. Abarbanel H.D.I. Analysis of observed chaotic data. Springer, New York, 1996.

25. Kantz H., Schreiber 71 Nonlinear time series analysis. Cambridge University Press, Cambridge; 1997.

26. Tokens F. Detecting strange attractors in* turbulence // Lec. Notes in Math., 1981. V. 898. P. 366-381.

27. Горбанъ A.H: Функции многих переменных и нейронные сети // Соросов-ский образовательный-журнал. 1998. № 12. С. 105-112.

28. Афраймович B.C., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации. Горький: ИПФ АН СССР, 1989.

29. Mosekilde Е., Maistrenko Yu., Postnov D. Chaotic synchronization. Applications to Living Systems. World Scientific, Singapore, 2002.

30. Boccaletti S., Kurths J., Osipov G., Valladares D., Zhou C. The synchronization of chaotic systems // Phys. Rep. 2002. V.366. P.l.

31. Пиковский А.С., Розенблюм М.Г., Курте Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003.

32. Osipov G.V.,. Kurths Ji, Zhou- С. Synchronization in oscillatory networks; Springer, Berlin; 2007.

33. Granger C.W.J. Investigating causal relations, by econometric models and cr0ss-spectral?meth0dsi//Econometrica^ 1969; ¥.37:.Б:424-438;

34. Rosenblum M.G., Pikovsky A.S. Detecting1direction ofcoupling inunteracting oscillators // Phys. Rev. E, 2001. V. 64, 045202(R).

35. Гинсберг КС., Басанов Д.М: Идентификация и задачи управления // Труды IV межд. конф. SICPRO. М.: ИЛУ РАН, 2005. С. 56-63.

36. Timmer J., Rust H., Horbelt W., Voss H. Parametric, nonparametric and parametric modelling of archaotic circuit time series. Phys. Lett. A, 2000. V. 274. P. 123-134.

37. Horbelt W., Timmer J., Btinner MJJ., Meiicci, R. Giofini M. Identifying physical properties of a GO2 laser by dynamical modeling of measured time series // Phys. Rev. E, 2001. V. 64. 016222.

38. Tokuda I., Parlitz U., Illing L., Kennel M:, Abarbanel H.D.I. Parameter estimation for neurons // Experimental Chaos, Proceedings of the 7th Experimental Chaos Conference, San Diego, USA, 2002.

39. Swameye I., Muller T.G., Timmer J., Sandra O., Klingmuller U. Identification of nucleocytoplasmic cycling as a remote sensor in cellular signaling by data-based modeling. // Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 2003. V 100. P. 1028-1033.

40. Pisarenko V.F., Sornette D. Statistical methods of parameter estimation for de-terministically chaotic time series //Phys. Rev. E, 2004. V. 69. 036122.

41. Jaeger L., Kanrz H. Unbiased reconstruction of the dynamics underlying anoisy chaotic time series // Chaos. 1996. V. 6. P: 440-450.

42. McSharry P:E., Smith L.A: Better Nonlinear Models from Noisy Data: Attrac-tors with Maximum Likelihood // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83. P. 4285-4288.

43. Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А., Логунов М.Ю: Анализ погрешности восстановления, параметров нелинейного отображения по зашумленным хаотическим временным рядам // Изв. вузов. Радиофизика; 2002. Т. 45, № 1. С. 55-66.

44. Judd К. Chaotic time series reconstruction by the Bayesian paradigm: Right results by wrong methods? // Phys. Rev. E. 2003. V. 67. 026212.

45. Horbelt W., Timmer J. Asymptotic scaling laws for precision of parameter estimates in dynamical systems // Phys. Lett. A. 2003. V. 310. P. 269-280.

46. Bock H.G. Numerical treatment of inverse problems in chemical reaction kinetics // Modelling of Chemical Reaction Systems / Eds. K.H. Ebert, P. Deuflhard, W. Jaeger, et al. Springer, New York, 1981. P: 102-125.

47. Baake E., Baake M, Bock H.J., Briggs KM. Fitting ordinary differential equations to chaotic data // Phys. Rev. A. 1992. V. 45. P. 5524-5529.

48. Breeden J.L., Hubler A. Reconstructing equations of motion from experimental data with unobserved variables I I Phys. Rev. A. 1990. V. 42. P. 5817-5826.

49. Parlitz U. Estimating model parameters from time series by auto-synchronization // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. P. 1232-1235.

50. Voss H.U., Timmer J., Kurths J. Nonlinear dynamical system identification from uncertain and indirect measurements // Int. J. Bif. Chaos. 2004. V. 14. P. 1905-1933.

51. Аносов О.Л., Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А. Минимаксная процедура идентификации хаотических систем по наблюдаемой временной последовательности // Радиотехника и электроника, 1997. Т. 42, № 3. С. 313-319.

52. Фейгин A.M., Молъков Я.И., Мухин Д.Н., Лоскутов Е.М. Прогноз качественного поведения динамической системы по хаотическому временному ряду // Изв. ВУЗов. Радиофизика, 2001. Т. 44, № 5-6. С. 376-399.

53. Farmer J.D., Sidorowich J.J. Optimal shadowing and noise reduction // Physica D, 1991. V. 47. P. 373-392.

54. Andreyev Yu.V., Dmitriev A.S., EJremova E.V. II Phys. Rev. E, 2002. V. 65. 046220.

55. Ибрагимов И.А., Хасъминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука, 1979. 528 с.

56. Деннис Дж., Шнабелъ Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. М.: Мир, 1988. 440 с.

57. Horbelt W. Maximum likelihood-estimation in dynamical systems: PhD thesis. University of Freiburg, Freiburg, 2001. http://webber.physik.uni-freiburg.de/~horbelt/diss/.

58. Mukhin D.N., FeiginA.M., Loskutov E.M., Molkov Ya.I. Modified Bayesian approach for the reconstruction of dynamical systems from time series // Phys. Rev. E, 2006. V. 73.036211.

59. Loskutov E.M., Molkov Ya.I., Mukhin D.N., Feigin A.M. Markov chain Monte. Carlo method in Bayesian reconstruction of dynamical systems from noisy chaotic time series // Phys. Rev. E, 2008. V. 77. 066214.

60. Hegger R., Kantz H., Schmuser F., et al. Dynamical properties of a ferroelectric capacitors observed through nonlinear time series analysis // Chaos. 1998. V. 8. P. 727-754.

61. Aguirre L.A., Freitas U.S., Letellier C., Maquet J. Structure-selection techniques applied to continuous-time nonlinear models // Physica D. 2001. V. 158. P. 1-18.

62. Judd K., Mees A.I. On selecting models for nonlinear time series // Physica D. 1995. V. 82. P. 426-444.

63. Goepfert M.C., Robert D. Active auditory mechanics in mosquitoes // Proc. R. Soc. Lond. В 2001. V. 268. P. 333-339.

64. Goepfert M.C., Robert D. Motion generation by Drosophila mechanosensory neurons //Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 2003. V. 100. P. 5514-5519.

65. Goepfert M:C., HumpfriesA.D.L., Albert J.T., Robert D., Hendrich O. Power gain exhibited by motile neurons in Drosophila ears- // Proc. Natl: Acad. Sci. U.S.A. 2005. V. 102. P: 325-330.

66. Gold T. Hearing-II: The physical, basis of the action of the1 cochlea // Proc. R. Soc. Lond. B; 1948, V. 135: P: 492-498.

67. Kennedy H.J., Crawford A. C., Fettiplace R. Force generation by mammalian hair bundles supports a role in cochlear amplification // Nature, 2005. V. 433. P. 880-883.

68. Martin P., Mehta A.D., Hudspeth A.J. Negative hair-bundle stiffness betrays a mechanism for mechanical amplification by the hair cell // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 2000. V. 97. P. 12026-12031.

69. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Гидродинамика. M.: Наука, 1986.

70. Choe Y., Magnasco M.O., Hudspeth A.J. A model for amplification of hair-bundle motion by cyclical binding of Ca2+ to mechanoelectrical-transduction channels //Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 1998. V. 95. P. 15321-15326.

71. Camalet S., Duke Т., Julicher F., Prost J. Auditory sensitivity provided by self-tuned critical oscillations of hair cells // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 2000. V. 97. V. 3183-3188.

72. Eguyluz V.M., Ospeck M., Choe Y., Hudspeth A.J., Magnasco M.O. Essential nonlinearities in hearing // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84. P. 5232-5235.

73. Duke Т., Julicher F. Active.traveling wave in the cochleat// Phys. Rev. Lett. 2003. V. 90: 158101.

74. Magnasco M.O. A wave traveling over a Hopf instability shapes the cochlear tuning curve // Phys. Rev. Lett. 2003'. V. 90:058101. P. 1-4.

75. Kern A., Stoop R. Essential role of couplings between hearing nonlinearities // Phys. Rev. Lett. 2003. V. 91:128101.

76. Stoop R., Kern A. Two-tone suppression and combination tone generation as computations performed by the Hopf cochlea // Phys. Rev. Lett. 2004. V. 93:268103.

77. Julicher F., Andor D., Duke T. Physical basis of two-tone interference in hearing // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 2001. V. 98. P. 9080-9085.

78. Sisto R., Moleti A. Modeling otoacoustic emissions by active nonlinear oscillators // J. Acoust. Soc. Am. 1999. V. 106. P. 1893-1906.

79. Scheffczyk G., Parlitz U., Kurz Т., Knop W., Lauterborn W. Comparison of bifurcation structures of driven dissipative nonlinear oscillators // Phys. Rev. A, 1991, V.43, No. 12. P.6495-6502.

80. Пасынков B.B., Чиркин JI.K, Шинков А.Д. Полупроводниковые приборы. М.: Высшая школа, 1981. 488 с.

81. Степаненко И.П. Основы микроэлектроники. М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. 431 с.

82. Linsay P.S. Period doubling and chaotic behavior in a driven anharmonic oscillator//Phys. Rev. Lett. 1981. V. 47. P. 1349-1352.

83. Testa J., Perez J., Jeffries C. Evidence for universal behavior of a driven nonlinear oscillator // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 48. P. 714-717.

84. Klinker Т., Meyer-Ilse W., Lauterborn W. Period doubling and chaotic behavior in a driven Toda oscillator // Phys. Lett. A, 1984. V. 101. P. 371-375.

85. Bronson S.D., Dewey D., Linsay P.S. Self-replicating attractor of a driven semiconductor oscillator // Phys. Rev. A, 1983. V. 28. P. 1201-1203.

86. Астахов В.В., Безручко Б.П., Селезнев Е.П. Исследование динамики нелинейного колебательного контура при гармоническом воздействии // Радиотехника и электроника, 1987. Т. 32*, №12. С. 2558-2566.

87. Matsumoto Т., Chua L.O., Тапака S. Simplest chaotic nonautonomous circuit //Phys: Rev. A, 1984. V. 30: P. 1155-1158:

88. Максимов А. С., Максимов-H:А. Динамика нелинейного колебательного конутра с р-п-переходом при различных напряжениях смещения и воздействии внешнего гармонического сигнала // ЖТФ, 1989. Т. 59; № 8. С. 147-149.

89. Кипчапгов А.А: Особенности сложной динамики неавтономного нелинейного контура//Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1989. Т. 33, № 2. С. 182-190.

90. Grutchfield J.P., McNamara B.S. Equations of motion from a data series // Complex Systems. 1987. V. 1. P. 417-452.

91. Cremers J., Hubler A. Construction of differential» equations from experimental data // Z. Naturforschung A. 1987. V. 42. P. 797-802.

92. Broomhead D.S., Lowe D. Multivariable functional .interpolation and adaptive networks // Complex systems. 1988. V. 2. P. 321-355.

93. Abarbanel H.D.I., Brown R., Kadtke J.B. Prediction and system identification in chaotic nonlinear systems: time series with broadband spectra // Phys. Lett. A. 1989. V. 138. P. 401-408.

94. Breeden J.L., Hubler A. Reconstructing equations of motion from experimental data with unobserved variables // Phys. Rev. A. 1990. V. 42. P. 58175826.

95. Mees A.I. Dynamical systems and tesselations: Detecting determinism in data // Int. J. Bif. Chaos. 1991. V. 1. P. 777-794.

96. Gouesbet G. Reconstruction of the vector fields of continuous dynamical systems from scalar time series // Phys. Rev. A. 1991. V. 43. P. 5321-5331.

97. Giona M., Lentini F., Cimagalli V. Functional reconstruction and local prediction of chaotic time series // Phys. Rev. E. 1991. V.44. P. 3496-3502.

98. Smith L.A. Identification and prediction of low-dimensional dynamics I I

99. PhysicaD. 1992. V. 58. P. 50-76.

100. Гликлих Ю.Е. Что такое гладкое многообразие // Соросовский1 образовательный журнал. 1998. № 11. С. 155-159.

101. Макаренко Н.Г. Фракталы, аттракторы, нейронные сети и все такое // «Нейроинформатика-2002». М., 2002. Ч. 2. С. 121-169.

102. Sauer Т., Yorke J.A., Casdagli М. Embedology // J. Stat. Phys. 1991. V. 65, №3-4. P. 579-616.

103. Gibson J.F., Farmer J.D., Casdagli M, Eubank S. An analytic approach to practical state space reconstruction // Physica D. 1992. V. 57. P. 1-30.

104. Fraser A.M., Swinney H.L. Independent coordinates for strange attractors from mutual information // Phys. Rev. A. 1986. V. 33. P. 1131-1140.

105. Liebert W., Schuster H.G. Proper choice the of time delay for the analysis of chaotic time series // Phys. Lett. A. 1989. V. 142. P. 107-111.

106. Eckmann J.P., Ruelle D. Ergodic theory of chaos and strange attractors // Rev. Mod. Phys. 1985. V. 57. P. 617-656.

107. Judd K., Mees A.I. Embedding as a modeling problem // Physica D. 1998. V. 120. P. 273-286.

108. Kennel M.B., Brown R., Abarbanel H.D.I. Determining embedding dimension for phase-space reconstruction using a geometrical construction // Phys.Rev. A. 1992. V. 45. P. 3403-3411.

109. Broomhead D.S., King G.P. Extracting qualitative dynamics from experimental data // Physica D. 1986. V. 20. P. 217-236.

110. Grassberger P., Procaccia I Measuring the strangeness of strange attractors // Physica D. 1983. V. 9. P. 189-208.

111. Ланда П.С., Розенблюм М.Г. Сравнение методов конструирования фазового пространства и определения размерности аттрактора по экспериментальным данным // ЖТФ. 1989. Т. 59, № 11. С. 1-8.

112. Brown R., Rulkov N.F., Tracy E.R. Modeling and synchronizing chaotic systems from experimental data // Phys. Lett. A. 1994. V. 194. P. 71-76.

113. Huang N.E., Shen Z, Long S.R. The empirical'1 mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis // Proc. R. Soc. Lond. A. 1998. V. 454. P. 903-995.

114. Cao L., Mees A.I., Judd■ K. Dynamics from multivariate time series // PhysicaD. 1998. V. 121. P. 75-88.

115. Cellucci C.J., Albano A.M., Rapp P.E. Comparative study of embedding methods // Phys. Rev. E. 2003. V. 67. 066210.

116. Павлов A.H., Янсон Н.Б., Анищенко B.C. Применение статистических методов при решении задачи глобальной реконструкции // Письма в ЖТФ. 1997. Т. 23, № 8. С. 7-13.

117. Павлов А.Н., Янсон Н.Б., Капитаниак Т., Анищенко В. С. Реконструкция динамических систем по сигналам малой длительности // Письма в ЖТФ. 1999. Т. 25, №11. С. 7-13.

118. Abarbanel H.D.I., Brown R, Sidorowich J.J., Tsimring L.S. The analysis of observed chaotic data in physical systems // Rev. Mod. Phys. 1993. V. 65. P. 1331-1392.

119. Kugiumtzis D., Lingjaerde O.C., Christophers en N. Regularized local linear prediction of chaotic time series // Physica D. 1998. V. 112. P. 344-360.

120. Schroer C., Sauer Т., Ott E., Yorke J. Predicting chaos most of the time from embeddings with self-intersections // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 80. P. 14101413.

121. JuddK., Small M. Towards long-term-prediction // Physica D. 2000. V. 136. P. 31-44.

122. Small M, Judd K. Comparisons of new nonlinear modeling techniques with applications to infant respiration // Physica D. 1998. V.l 17.P.283-298.

123. Small M, Judd K., Mees A. Modelling continuous processes from data // Phys. Rev. E. 2002. V. 65. 046704.

124. Molkov Ya.I., Mukhin D.N., Loskutov E.M., Feigin A.M. Using the minimum description length principle for global reconstruction of dynamic systems from noisy time series // Phys. Rev. E, 2009. V. 80. 046207.

125. Schwartz G. Estimating the order of a model // Ann. Stat. 1978. V. 6. P. 461464.

126. Rissanen J. Stochastic complexity in statistical inquiry. World Scientific, Singapore, 1989.

127. Gouesbet G., Letellier C. Global vector-field approximation by using a multivariate polynomial L2 approximation on nets // Phys. Rev. E. 1994. V. 49. P. 4955-4972.

128. Грибков Д.А., Грибкова В.В., Кравцов Ю.А., и др. Восстановление структуры динамической системы по временным рядам // Радиотехника и электроника. 1994. Т. 39, вып. 2. С. 269-277.

129. Грибков Д.А., Грибкова В.В., Кравцов Ю.А. и др. Построение по экспериментальным данным модели систем стабилизации резонансной частоты и температуры секции линейного ускорителя электронов // Вестник МГУ. 1994. Сер. 3. Т. 35, № 1. С. 96-98.

130. Янсон Н.Б., Павлов А.Н., Баланов А.Г., Анищенко B.C. Задача реконструкции математической модели применительно к электрокардиограмме //

131. Письма в ЖТФ. 1996. Т. 22, вып. 16. С. 57-62.

132. Letellier С., Le Sceller L., Gouesbet G., et al. Recovering deterministic behavior from experimental time series in mixing reactor // AIChE Journal. 1997. V. 43, №9. P. 2194-2202.

133. Letellier C., Le Sceller L., Maréchal E., et al. Global vector field reconstruction from a chaotic experimental signal in copper electrodissolution // Phys. Rev. E. 1995. V. 51. P. 4262-4266.

134. Letellier C., Maquet J., Labro H., et al. Analyzing chaotic behavior in a Be-lousov-Zhabotinskyi reaction by using a global vector field reconstruction // J. Phys. Chem. 1998. V. 102. P. 10265-10273.

135. Letellier C., Macquet J., Le Sceller L., et al. On the non-equivalence of observables in phase space reconstructions from recorded time series // J. Phys. A: Math. Gen. 1998. V. 31. P. 7913-7927.

136. Letellier C., Aguirre L.A. Investigating nonlinear dynamics from time series: The influence of symmetries and the choice of observables // Chaos: 2002. V. 12. P. 549-558.

137. Small M., Tse C.K. Optimal embedding: A modelling paradigm // Physica D. 2004. V. 194. P. 283-296.

138. Kaplan D.T. Exceptional events as evidence for determinism // Physica D, 1994, Vol. 73, P. 738-748.

139. Anishchenko V.S., Pavlov A.N. Global reconstruction in application to multichannel communication // Phys. Rev. E. 1998. V. 57. P. 2455-2457.

140. Schreiber T. Interdisciplinary application of nonlinear time series methods // Phys. Rep. 1999. V. 308. P. 1-64.

141. Hively L.M., Gaily P.C., Protopopescu V.A. Detecting dynamical change in nonlinear time series // Phys. Lett. A, 1999. V. 258. P. 103-114.

142. Eckmann J.P., Kamphorst S.O., Ruelle D. Recurrence plots of dynamical systems // Europhys. Letters. 1987. V. 4. P. 973-977.

143. Schreiber T. Detecting and Analyzing Nonstationarity in a Time Series Using.Nonlinear Gross Predictions // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 843-846.

144. Schiff N.D., Labar D:R., Victor J.D. Common dynamics in temporal lobe seizures and absence // Neuroscience. 1999. V. 91. P. 417-428.

145. Gribkov D., Gribkova V. teaming dynamics from nonstationary time'series: analysis of electroencephalograms // Phys. Rev. E. 2000. V.63. P. 6538-6545.

146. PalusM. Nonlinearity in'normal human EEG: cycles, temporal-asymmetry, nonstationarity and randomness, not chaos // Biol. Gybern. 1996. V. 75. P. 389396.

147. Blanco S., Garcia H., Quian Quiroga R., Romanelli L., Rosso O.A. Station-arity of the EEG series // IEEE Engineering in Medicine and Biology. 1995. V. 4. P. 395.

148. Каплан А.Я. Нестационарность ЭЭГ: методологический и экспериментальный анализ // Успехи физиол. наук. 1998: Т.29. № 3. С. 35-55*

149. Kohlmorgen J., Muller К R., Rittweger J., Pavelzik К. Identification of non-stationary dynamics in physiological recordings// Biol. Cybern. 2000. V. 83. P. 73-84.

150. Voss H.U., Schwache A., Kurths J., Mitschke F. Equations of motion from chaotic data: A driven optical fiber ring resonator // Phys. Lett. A. 1999. V. 256. P. 47-54.

151. Шишкин C.JI., Бродский Б.Е., Дарховский Б.С., Каплан А.Я. ЭЭГ как нестационарный сигнал, подход к анализу на основе непараметрической статистики // Физиол. человека, 1997. Т. 23. №.4. С. 124-126.

152. Jefferys J.G.R. Basic mechanisms of focal epilepsies // Exp. Neurol. 1990. V. 75. P. 127-162

153. Franaszczuk P.J., Bergey J.K, Durka P. J., Eisenberg H.M. Time-frequencyanalysis using the matching pursuit algorithm applied to seizures* originating from the mesial temporal lobe // Electroencephalogr. Clin. Neurophysiol. 1998. V. 106. P. 513-521.

154. Manuca R., Savit R. Stationary and nonstationary time series analysis // PhysicaD. 1996. V. 99. P. 134-161.

155. Dejin Yu., Weiping Lu., Harrison R.G. Space time-index plots for probing dynamical nonstationarity // Phys. Lett A. 1998. V. 250. P. 323-327.

156. Rieke C., Stemickel K., Andrzejak R.G., Elger C.E., David P., Lehnertz K. Measuring nonstationarity by analyzing the loss of recurrence in dynamical systems // Phys. Rev. Lett. 2002. V. 88. P. 24-27.

157. Кендалл Дж., Стъюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973.

158. Кендалл Дж., Стъюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука, 1976.

159. Айвазян С.А. Статистическое исследование зависимостей. М.: Металлургия, 1968.

160. Rulkov N.F., Sushchik М.М., Tsimring L.S., Abarbanel H.D.I. Generalized synchronization of chaos in directionally coupled chaotic systems // Phys. Rev. E. 1995. V.51. P.980-994.

161. Cenys A., Lasiene G., Pyragas К Estimation of interrelation between chaotic observables // Physica D. 1991. V.52. P.332-337.

162. SchiffSJ., So P., Chang Т., Burke R.E., Sauer T. Detecting dynamical interdependence and generalized synchrony through mutual prediction in a neural ensemble // Phys. Rev. E. 1996. V.54. P.6708-6724.

163. Le Van Quyen M, Martinerie J., Adam C., Varela F. Nonlinear analyses of interictal EEG map the brain interdependences in human focal epilepsy // PhysicaD, 1999. V. 127. P. 250-266.

164. Arnhold J., Lehnertz K, Grassberger P., Elger C.E. A robust method for detecting interdependences: application to intracranially recorded EEG // Physica

165. D, 1999. V. 134. P. 419-430.

166. Mormann F., Lehnertz K., David P:, Elger C.E. Mean phase coherence as a measure for phase synchronization and its application to the EEG of epilepsy patients // Physica D, 2000. V. 144. P. 358-369.

167. Pikovsky A.S., Rosenblum -M. G., Kurths J. Phase synchronization in regular and chaotic systems // Int. J: Bifurc. Chaos, 2000. V. 10. P. 2291-2305.

168. Quian Quiroga R., Kreuz T., Grassberger P. Event synchronization: a simple and fast method to measure synchronicity and time delay patterns // Phys. Rev. E, 2002. V. 66. 041904.

169. Galan R.F., Ritz R., Szyszka P., Herz A. V.M. Uncovering short-time correlations between multichannel recordings of brain activity: A phase-space approach // Int. J Bifurc. Chaos, 2004. V. 14. P. 585-597.

170. Blinowska K.J., Kus R., Kaminski M. Granger causality and information flow in multivariate processes // Phys. Rev. E, 2004. V.70. 050902(R).

171. Baccala L.A., Sameshima K. Partial directed coherence: a new concept in neural"structure determination//Biol. Cybern., 2001. V. 84. P. 463-474.

172. Schreiber T. Measuring information transfer I I Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. p. 461-464.

173. Palus M., Komarek V., Hrncir Z., Sterbova K. Synchronization as adjustment of information rates: Detection from bivariate time series // Phys. Rev. E, 2001. V. 63.046211.

174. Verdes P.F. Assessing causality from multivariate time series // Phys. Rev.1. E, 2005. V. 72. 026222.

175. Hlavackova-Schindler K., Palus M, Vejmelka M., Bhattacharya J. Causality detection based on information-theoretic approaches in time series analysis //

176. Phys. Rep., 2007. V. 441-. P. 1-46.

177. Vejmelka M, Palus M. Inferring the directionality of coupling with conditional mutual information // Phys. Rev. E, 2008. V. 77. 026214.

178. Feldmann U., Bhattacharya J. Predictability improvement as an asymmetrical-measure of interdependence in bivariate time series // Int. J Bifurc. Chaos, 2004. V. 14. P. 505-514.

179. Ancona N., Marinazzo D., Stramaglia S. Radial basis function approach to nonlinear Granger causality of time series // Phys. Rev. E, 2004. V. 70. 056221.

180. Tass P. A. A model of desynchronizing deep brain stimulation with a demand-controlled coordinated reset of neural subpopulations// Biol. Cybern. 2003. V. 89. P. 81-88.

181. Climate Change 2007: The Physical Science Basis. Contribution of Working Group I to the Fourth Assessment Report of the Intergovernmental Panel on Climate Change, edited by Solomon S. et al. Cambridge Univ. Press, Cambridge. 2007. 996 pp.

182. Moore J., Grins ted A., Jevrejeva S. Is there evidence for sunspot forcing of climate at multi-year and decadal periods? // Geophys. Res. Lett. 2006. V. 33. LI7705, doi: 10.1029/2006GL026501.

183. Anishchenko V.S., Silchenko A.N., Khovanov I.A. Synchronization of switching processes in coupled Lorenz systems // Phys. Rev. E, 1998. V. 57. P. 316322.

184. Сюсань У. Семейство схемы Чуа // ТИИЭР, 1987. Т. 75, № 8. С. 55-65.

185. Kiemel Т., Cohen А.Н. Estimation of coupling strength in regenerated lamprey spinal cords based on a stochastic phase model // J. Comput. Neurosci. 1998. V. 5. P. 267-284.

186. Kiemel Т., Gormley KM., Guan L., Williams T.L., Cohen A.H. Estimating the strength and direction of functional coupling in the lamprey spinal cord // J. Comput. Neurosci. 2003. V. 15. P. 233-245.

187. Palus M., Stefanovska A. Direction of coupling from phases of interacting oscillators: An information-theoretic approach // Phys. Rev. E, 2003. V. 67. 055201(R).

188. Brea J., Russell D.F., NeimanA.B., Measuring direction in the coupling of biological oscillators: A case study for electroreceptors of paddlefish // Chaos; 2006. V. 16. 026111.

189. Kralemann В., Cimponeriu L., Rosenblum M., Pikovsky A., Mrowka R. Uncovering interaction of coupled oscillators from data // Phys. Rev. E, 2007. V. 76. 055201.

190. Kralemann В., Cimponeriu L., Rosenblum M., Pikovsky A., Mrowka R. Phase dynamics of coupled oscillators reconstructed from data // Phys. Rev. E, 2008. V. 77. 066205.

191. Gabor D. Theory of communication // J. IEEE, 1946. V. 93. P. 429-459.

192. Lachaux J.P., Rodriguez E., Le Van Quyen M., et al. Studying single-trials of phase synchronous activity in the brain // Int. J. Bif. Chaos, 2000. V. 10. P. 2429-2455.

193. Torrence C., Compo G.P. A practical guide to wavelet analysis //.Bull. Am. Meteorol. Soc. 1998. V. 79. P.61-78.

194. Hramov A. Ye., Koronovskii A.A. An approach to chaotic synchronization // Chaos, 2004. V. 14. P. 603-610.

195. Kuramoto Y. Chemical Oscillations, Waves and Turbulence. SpringerVerlag, Berlin, 1984.

196. Bezruchko B.P., Ponomarenko V.I., Rosenblum M.G., Pikovsky A.S. Characterizing direction of coupling from experimental observations // Chaos, 2003. V. 13. P. 179-184.

197. СеберДж. Линейный регрессионный анализ. М.: Мир. 1974.

198. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М.: Наука, 1979. 448 с.

199. Theiler J. Spurious dimension from correlation algorithms applied to limitedtime-series data // Phys. Rev. A, 1986. V. 34. P. 2427-2432.

200. Zheng Z., Ни G. Generalized synchronization versus phase synchronization // Phys. Rev. E, 2000. V. 62. P. 7882-7885.

201. Hanley J., McNeil B.J. The meaning and use of the area under a receiver operating characteristic (ROC) curve //Radiology, 1982. V. 143. P. 29-36.

202. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Окрокверцхов Г.А., Стрелкова Г.И. Статистические свойства динамического хаоса // УФН, 2005. Т. 175. С. 163-179.

203. Handbook of Time Series Analysis, edited by M. Winterhalder, B. Schelter, J. Timmer. Berlin: Wiley-VCH, 2006.

204. Izhikevich E.M. Neural excitability, spiking and bursting // Int.- J. Bifurc. Chaos, 2000. V. 10. P. 1171-1266.

205. Hodgkin A.L., Huxley A.F. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve // J. Physiol. 1952. V. 117. P. 500-544.

206. FitzHugh R. Impulses and physiological states in theoretical model of nerve membrane //Biophys. J. 1961. V. 1. P. 445-446.

207. Morris C., Lecar H. Voltage oscillations in the barnacle giant muscle fiber // Biophys. J., 1981. V. 35. P. 193-213.

208. Hindmarsh J.L., Rose R.M. A model of neuronal bursting using three coupled first order differential equations // Proc. R. Soc. London B, 1984. V. 221. P. 87-102.

209. Pikovsky A.S., Kurths J. Coherence resonance in a noise-driven excitable system // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 775-778.

210. Sosnovtseva O.V., FominA.I., Postnov D.E., Anishchenko V.S. Clustering ofnoise-induced oscillations //Phys. Rev. E, 2001. V. 64. 026204.

211. Makarov V.A., Nekorkin V.I:, Velarde M.G. Spiking Behavior in.a Noise-Driven System Combining Oscillatory and Excitatory Properties // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86. P. 3431-3434.

212. Terman D. Chaotic spikes arising from a model of bursting in excitable membranes // SIAM J. Appl. Math. 1991. V. 51. P. 1418-1450.

213. Mirolo R.E., Strogatz S.H. Synchronization of pulse-coupled biological oscillators // SIAM J. Appl'. Math. 1990. V. 50. P. 1645-1662.

214. Ermentrout G.B., Kopell N. Oscillator death in systems of coupled neural oscillators // SIAM J. Appl. Math., 1990. V. 50. P. 125-146.

215. Kazantsev V.B., Nekorkin V.I., Binczak S., et al. Spiking dynamics of interacting oscillatory neurons // Chaos, 2005. V. 15. 023103.

216. Eguia M.C., Rabinovich M.I., Abarbanel H.D.I. Information transmission and recovery in neural communications channels // Phys. Rev. E, 2000. V. 62. P. 7111-7122.

217. Kori H., Kuramoto Y. Slow switching in globally coupled oscillators: robustness and occurrence through delayed coupling // Phys. Rev. E, 2001. V. 63. 046214.

218. Mackey M.C., GlassL. Oscillation and chaos in physiological control systems // Science, 1977. V. 197. P. 287-289.

219. Cimponeriu L., Rosenblum M., Pikovsky A. Estimation of delay in coupling from time series // Phys. Rev. E, 2004. V. 70. 046213.

220. Eichler M. Graphical modelling of dynamic relationships in multivariate time series // in Handbook of Time Series Analysis, edited by M. Winterhalder, B. Schelter, J. Timmer. Wiley-VCH, Berlin, 2006. P. 335-367.

221. Wang S. Chen Y., Ding M., Feng J., Stein J.F., et al. Revealing the dynamic causal interdependence between neural and muscular signals in parkinsonian tremor // J. Franklin Institute, 2007. V. 344. P. 180-195.

222. Osterhage H., Mormann F., Wagner Т., Lehnertz К Detecting directional coupling in the human epileptic brain: Limitations and potential pitfalls // Phys. Rev. E, 2008. V. 77.011914.

223. Wang W., Anderson B.T., Kaufmann R.K, Myneni R.B. The relation between the North Atlantic Oscillation and SSTs in the North Atlantic basin // J. Climate, 2004. V. 17. P. 4752-4759.

224. Mosedale T.J., Stephenson D.B., Collins M., Mills T.C. Granger causality of coupled climate processes: Ocean feedback on the North Atlantic Oscillation // J. Climate, 2006. V. 19. P. 1182-1194.

225. Timme M. Revealing network connectivity from response dynamics // Phys. Rev. Lett. 2007. V. 98. 224101.

226. Schreiber Т., Schmitz A. Improved surrogate data for nonlinearity tests // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. P. 635-638.

227. Арансон КС., Гапонов-Грехов A.B., Рабинович М.И. Развитие хаоса в ансамблях динамических структур // ЖЭТФ, 1985. Т. 89, № 1. С. 92-104.

228. Thompson J.M.T., Stewart H.B. Nonlinear Dynamics and Chaos. New York: Wiley, 1987.

229. Bünner M.J., Popp M., Meyer Th., et al. Tool to recover scalar time-delay systems from experimental time series // Phys. Rev. E. 1996. V. 54. P. 30823085.

230. Bünner M.J., Ciofini M., Giaquinta A., et al. Reconstruction of systems with delayed feedback//Eur. Phys. J. D. 2000. V. 10. P. 165-185.

231. Voss H. U., Kurths J. Reconstruction of non-linear time delay models from data by the use of optimal transformations // Phys. Lett. A, 1997. V. 234. P. 336-344.

232. Voss H.U., Kurths J. Reconstruction of nonlinear time delay models fromoptical data // Chaos, Solitons & Fractals, 1999. V. 10. P. 805-809.

233. Horbelt W., Timmer J:, Voss H. U. Parameter estimation in nonlinear delayed" feedback systems from noisy data // Phys. Lett. A, 2002. V. 299. P. 513-521.

234. BezruchkoBlP., Karavaev A.S., Ponomarenko-V.I., Prokhorov M.D. Reconstruction of time-delay systems from chaotic time series // Phys. Rev. E, 2001. V. 64. 056216.

235. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I., Karavaev A.S., Bezruchko B.P. Reconstruction of time-delayed feedback systems from time series // PhysicaD. 2005. V. 203. P. 209-223.

236. Tziperman E., Cane M.A., Zebiak S.E., Xue Y., Blumenthal B. Locking of El Nino's peak time to the end of the calendar year in the delayed oscillator picture ofENSO//J. Climate, 1998. V. 11. P. 2191-2199.

237. Llinas R., Jahnsen H. Electrophysiology of mammalian thalamic neurones in vitro //Nature, 1982. V. 297. P. 406-408.

238. Pare D., Curro'Dossi R., Steriade M. Neuronal basis of the parkinsonian resting tremor//Neuroscience, 1990. V. 35. P. 217-226.

239. Lenz F.A. , Kwan H.C., Martin R.L., Tasker R.R., Dostrovsky J.O., et at Single unit analysis of the human ventral thalamic nuclear group, tremor related activity in functionally identified cells // Brain, 1994. V. 117. P. 531543.

240. Nini A., Feingold A., Slovin H., Bergman H. Neurons in the globus pallidus do not show correlated activity in the normal monkey, but phase-locked oscillations appear in the mptp model of parkinsonism // J. Neurophysiol. 1995. V. 74. P. 1800-1805.

241. Rivlin-Etzion M., Marmor O., Heimer G., Raz A., Nini A., Bergman H. Basal ganglia oscillations and pathophysiology of movement disorders // Current Opinion in Neurobiology, 2006. V. 16. P. 629-637.

242. Benabid A.L., Pollak P., Gervason C., Hoffmann D., Gao D.M., Hommel M., Perret J.E., De Rougemont J. Long-term suppression of tremor by chronic stimulation of the ventral intermediate thalamic nucleus // The Lancet, 1991. V. 337. P. 403-406.

243. Tass P.A., Majtanik M. Long-term anti-kindling effects of desynchronizing brain stimulation: a theoretical study // Biol. Cybern. 2006. V. 94. P. 58-66.

244. Tass P.A. Phase resetting in medicine and biology — stochastic modelling and data analysis. Berlin: Springer, 1999.

245. Stilles R., Pozos R. A mechanical-reflex oscillator hypothesis for parkinsonian hand tremor // J. Appl. Physiol., 1976. V. 40. P. 990-998.

246. Brown P. Oscillatory nature of human basal ganglia activity: relationship to the pathophysiology of parkinson's disease // Mov. Disord., 2003. V. 18. P. 357-363.

247. Bartlett M.S. Stochastic Processes. Cambridge: Cambridge University Press, 1978.

248. Dietz V. Spinal cord pattern; generators: for locomotion I I Glin. NeurophysioU, 2003. V: 114. P. 1379-1389:

249. Panayiotopoulos C.P. Absence epilepsies // in Epilepsy: a: comprehensive textbook; edited^ by J.J: Engel, T.A. Pedley. Lippincott-Raven Publishers: Philadelphia, 1997. P. 2327-2346.

250. Coenen A.M.L., van Luijtelaar E.L.J.M. Genetic animal models for absence epilepsy: a review of the WAG/Rij strain of rats // Behavioural Genetics, 2003. V. 33. P. 635-655.

251. Midzianovskaia I.S., Kuznetsova G.Di, Coenen A.M., Spiridonov A.M., van Luijtelaar E.L. Electrophysiological and pharmacological? characteristics of two « types of spike-wave discharges in WAG/Rij rats // Brain Research, 2001. V. 911. P. 62-70.

252. Sitnikova E., van Luijtelaar E. Cortical and thalamic coherence during spike-wave seizures in WAG/Rij rats//Epilepsy Res., 2006. V. 71. P. .159-180:

253. Steriade M. Sleep, epilepsy and thalamic reticular inhibitory neurons I I Trends in Neurosciences, 2005. V. 28. P; 317-324.

254. Meeren H., van Luijtelaar E., Lopes da Silva F., Coenen A. Evolving concepts on the pathophysiology of absence seizures: the cortical focus theory// Arch. Neurol., 2005. V. 62. P. 371-406.

255. Vergnes M., Marescaux C., Depaulis A., Micheletti G., Warter J.M. Spontaneous spike and wave discharges in thalamus and cortex in a rat model of genetic petit mal-like seizures//Exp. Neurol., 1987. V. 96. P. 127-136.

256. Jones E.G. The Thalamus. Plenium Press: New York, 1985.

257. Meeren H.K., Pijn J.P., van Luijtelaar E.L., Coenen A.M., Lopes da Silva F.H. Cortical focus drives widespread corticothalamic networks during spontaneous absence seizures in rats // J. Neurosci., 2002. V. 22. P. 1480-1495.

258. Inoue M., Duysens J., Vossen J.M., Coenen A.M. Thalamic multiple-unit activity underlying spike-wave discharges in anesthetized rats // Brain Research, 1993. V. 612. P. 35-40.

259. Seidenbecher Т., Staak R., Pape H.C. Relations between cortical, and thalamic cellular activities during absence seizures in rats // Eur. J: Neurosci. 1998. V. 10. P. 1103-1112.

260. Polack P.O., Guillemain I., Ни E., Deransart C., Depaulis A., Charpier S. Deep layer somatosensory cortical neurons initiate spike-and-wave discharges in a genetic model of absence seizures // J. Neurosci. 2007. V. 27. P. 65906599.

261. Climate Research Unit (University of East Anglia): http:// www.cru.uea.ac.uk

262. Lean J., Rottman G., Harder J., Kopp G. Source contributions to new understanding of global change and solar variability // Solar Physics, 2005. V. 230. P. 27-53.

263. Sato M., Hansen J.E., McGormick M.P., Pollack J.B. Stratospheric aerosol optical depths, 1850-1990 // J. Geophys. Res., 1993. V. 98. P. 22987-22994.

264. Conway T.J., Tans P.P., Waterman L.S., Thoning K. W., Kitzis D.R., Masarie K.A., Zhang N. Evidence of interannual variability of the carbon cycle from the NOAA/CMDL global air sampling network // J. Geophys. Res., 1994. V. 99. P. 22831-22855.

265. CLIVAR Initial Implementation Plan. 1998. WCRP No. 103. WMO/TD No.869. ICPO No. 14. 313 pp., http://www.clivar.dkrz.de/hp.html.

266. Climate Change 2001: The Scientific Basis. Intergovernmental Panel on Climate Change. Edited by Houghton J.T., Ding Y., Griggs D J., Noguer M., et al. Cambridge: Cambridge Univ. Press. 2001. 881 pp.

267. Арпе К, Бенгтссон JI., Голицын Г.С., Мохов И.И., Семенов В.А., Спо-рышев П.В. Анализ и моделирование изменения гидрологического режима в бассейне Каспийского моря // Доклады акад. наук, 1999. Т. 366. № 2.1. С. 248-259.

268. Агре К., Bengtsson L., Golitsyn G.S., Mokhov I.L., Semenov V.A., Spory-shev P:V. Connections between Caspian> Sea level variability and ENSO // Geophys. Res. Lett. 2000. V.27. P. 2693-2696.

269. Bjerknes J. Atmospheric teleconnections from the equatorial Pacific // Mon. Wea. Rev. 1969. V. 97. P. 163-172.

270. Wallace J.M., Gutzler D.S. Teleconnections in the geopotential height field during the northern hemisphere winter // Mon. Wea. Rev. 1981. V.109. P.784-812.

271. Rogers J.C. The association between the North Atlantic Oscillation and the Southern Oscillation in the North Hemisphere // Mon. Wea. Rev. 1984. V. 112. P. 1999-2015.

272. Hurrell J. W. Decadal trends in the North Atlantic Oscillation: Regional temperatures and precipitation // Science, 1995. V. 269. P. 676-679.

273. Hurrell J. W., van Loon H. Decadal variations associated with the North Atlantic Oscillation // Climate. Change, 1997. V. 36. P. 301-326.

274. Wallace J.M. North Atlantic Oscillation / Northern Hemisphere annual mode: Two paradigms one phenomenon // Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 2000. V. 126. P. 791-805.

275. Barnston A.G., Livezey R.E. Classification, seasonality, and persistence of low frequency atmospheric circulation patterns // Mon. Wea. Rev. 1987. V. 115. P. 1083-1126.

276. Мохов И.И., Петухов В.К. Пространственно-временные климатические структуры. 4.1, II. М.: ИФА АН СССР. 1989. 191 с.

277. Philander S.G.H. El Nino, La Nina and the Southern Oscillation. London: Academic Press. 1990. 289 pp.

278. The TOGA decade: Reviewing the progress of El Nino research and prediction. Edited by D.L.T. Anderson, E.S. Sarachik, P.J. Webster, L.M. Rothstein // J. Geophys. Res. 1998. V.103. No. C7. P. 14167-14510.

279. Гущина ДЮ., ПетросянцМ.А. О связи температуры поверхности экваториальной части Тихого океана с циркуляцией скорости ветра в центрах действия атмосферы // Метеорология и гидрология, 1998. № 12. С. 5-22.

280. Мохов И.И., Елисеев А.В., Хворостьянов Д.В. Эволюция характеристик климатической изменчивости, связанной с явлениями Эль-Ниньо/Ла-Нинья // Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 2000. Т. 36. С. 741-751.

281. Deser С. On the teleconnectivity of the "Arctic Oscillation" // Geophys. Res. Lett. 2000. V. 27. P. 779-782.

282. Безверхний В.А. Развитие метода вейвлет-преобразования для анализа геофизических данных // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана, 2001. Т. 37. С. 630-638.

283. Wanner H., Bronnimann S., Casty С., Gyalistras D., Luterbacher J., Schmutz C., Stephenson D.B., Xoplaki E. North Atlantic oscillation-concepts and studies // Surv. Geophys. 2001. V. 22. P. 321-382.

284. Pozo-Vazquez D., Esteban-Parra M.J., Rodrigo F.S., Castro-Diez Y. The association between ENSO and winter atmospheric circulation and temperature in the North Atlantic region // J. Climate, 2001. V. 14. P. 3408-3420.

285. Полонский А.Б., Башарин ДБ. О влиянии Северо-Атлантического и Южного колебаний на изменчивость температуры воздуха в Европейско

286. Средиземноморском регионе // Изв. АН. Физика атмосферы, и океана, 2002. Т. 38. С. 135-145.

287. MerkebU., Latif M. A high resolution AGC1VD study of the El Nino impact on the North Atlantic / European sector // Geophys. Res. Lett. 2002. V.29(9), 1291. doi: 10.1029/2001GL013726.

288. Lin H., Derome J., Greatbath R.J., Peterson K.A., Lu J. Tropical links of the Arctic Oscillation // Geophys. Res. Lett. 2002. V.29(20), 1943, doi: 10:1029/2002GL015 822.

289. Jevrejeva S., Moore J., Grinsted A. Influence of the Arctic Oscillation and El Nino Southern Oscillation (ENSO) on ice conditions in the Baltic Sea: The wavelet approach // J. Geophys. Res. 2003. V. 108(D21), 4677, doi: 10.1029/2003JD003417.

290. Mokhov I.I., Khvorostyanov D.V., Eliseev A.V. Decadal and longer term changes in El Nino Southern Oscillation characteristics // Intern. J. Climatol. 2004. V.24.P.401-414.

291. Grinsted A., Moore J. C., Jevrejeva S. Application of the cross wavelet transform and wavelet coherence to geophysical time series // Nonlin. Proc. Geophys., 2004. V. 11. P. 561-566.

292. URL: http://www.ncep.noaa.gov.

293. Mokhov LI. Climate changes: Analyses of global cycles // Ann. Geophys. 1993. V.12 (Suppl. II). P. C334.

294. Мохов И.И. Диагностика структуры климатической системы и ее эволюции в годовом ходе и межгодовой изменчивости. Дисс. на соиск. уч. степ, докт.физ.-мат. наук. М.: ИФАРАН. 1995. 64 с.

295. Merle J. Variabilité thermique annuelle de l'océan Atlantique equatorial

296. Est. L'hypothese d'un "El Nino" Atlantique // Oceanol. 1980. Acta 3. P. 209220.

297. Zebiak S.E. Air-sea interaction in the equatorial Atlantic region // J. Climate, 1993. V.6. P.1567-1586.

298. Keenlyside N.S., Latif M. Understanding equatorial Atlantic interannual variability // J. Climate; 2007. V. 20. P. 131-142.

299. Latif.M., Grótzner A. The equatorial Atlantic oscillation and its response to ENSO. // Climate Dynamics, 2000. V. 16. P. 213-218.

300. Chang P., Fang Y., Saravanan R, Ji L., Seidel H. The cause of the fragile relationship between the Pacific El Niño and the Atlantic Niño // Nature, 2006. P. 324-328, doi: 10.1038/nature05053.

301. Бышев В.И. Синоптическая и крупномасштабная изменчивость океана и атмосферы. М.: Наука. 2003.

302. Maraun D., Kurths J. Epochs of phase coherence between El Nino/Southern Oscillation and Indian monsoon // Geophys. Res. Lett. 2005. V. 32, LI5709, doi: 10.1029/2005GL023225.

303. Zhou, Т., Zhang L., Li H. Changes in global land monsoon area and total rainfall accumulation over the last half century // Geophys. Res. Lett., 2008. V. 35, LI6707, doi:10.1029/2008GL034881.

304. Walker G.T., Bliss E.W. World weather V // Mem. R. Meteorol. Soc., 1932. V. 4. P. 3-84.

305. Kripalani, R.H., Kulkarni A. Rainfall variability over Southeast Asia: Connections with Indian monsoon and ENSO extremes: New perspectives // Int. J. Climatol., 1997. V. 17. P. 1155-1168.

306. Kumar K.K., Rajagopalan В., Cane A.M. On the weakening relationship between the Indian monsoon and ENSO// Science, 1999. V. 284. C. 2156-2159'.

307. Krishnamurthy V., Goswami B.N. Indian monsoon-ENSO relationship» on interdecadal timescale // J. Climate, 2000: V. 13. P: 579-595.

308. Kripalani R.H., Kulkarni A: Monsoon rainfall'variations and teleconnections over South and East Asia // Int. J. Climatol., 2001. V. 21. P: 603-616.'

309. Sarkar S.-, Singh R.P., Kafatos M. Further evidences for the weakening relationship of Indian rainfall and'ENSO over India // Geophys. Res. Lett:, 2004. V. 31, L13209, doi:10.1029/2004GL020259.

310. Zubair L., Ropelewski C.F. The strengthening relationship between ENSO and Northeast Monsoon, rainfall'over Sri Lanka and Southern India // J. Climate, 2006. V. 19. P. 1667-1675.

311. Yim S.-Y., Jhun J.-G., Yeh S.-W. Decadal change in the relationship between east Asian-western North Pacific summer monsoons and ENSO in the mid-1990s // Geophys. Res. Lett. 2008. V.35,L20711, doi:10.1029/2008GL035751.

312. Reynolds R.W., Smith T.M. Improved global sea surface temperature analyses // J. Climate, 1994. V. 7. P. 929-948.

313. Mooley D.A., Parthasarathy B. Fluctuations in all-India summer,monsoon rainfall during 1871-1978 // Clim. Change, 1984. V. 6. P. 287-301.

314. Безручко Б.П., Смирнов Д. А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды". Саратов: ГосУНЦ "Колледж", 2005. 320 с.

315. Bezruchko В.Р., Smirnov D.A. Extracting knowledge from time series: An introduction to nonlinear empirical modeling. Berlin: Springer, 2010. in press.

316. Безручко Б.П., Селезнев Е.П., Смирнов ДА. Реконструкция уравнений неавтономного нелинейного осциллятора по временному ряду: модели, эксперимент // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 1999. Т. 7, № 1. С. 49-67.

317. Bezruchko В., Smirnov D. Constructing nonautonomous differential equations from a time series // Phys. Rev. E, 2001. V. 63, 016207.

318. Bezruchko В., Dikanev Т., Smirnov D. Role of transient processes for reconstruction of model equations from time series I I Phys. Rev. E, 2001. V. 64, 036210.

319. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Метод восстановления уравнений с гармоническим внешним воздействием по временному ряду // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 200 Г. Т. 9, № 2. С. 27-38.

320. Безручко Б.П., Диканев Т.В., Смирнов Д.А. Глобальная- реконструкция модельных уравнений по реализации переходного,процесса // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2001. Т. 9, № 3. С. 3-14'.

321. Smirnov D., Bezruchko В., Seleznev Ye. Choice of dynamical variables for global reconstruction of model equations from time series // Phys. Rev. E, 2002. V. 65, 026205.

322. Безручко Б.П., Диканев Т.В., Смирнов Д.А. Тестирование на однозначность и непрерывность при глобальной реконструкции модельных уравнений по временным рядам // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2002. Т. 10, № 4. С. 69-81.

323. Smirnov D., Bezruchko В. Estimation of interaction strength and direction from short and noisy time series // Phys. Rev. E, 2003. V. 68, 046209.

324. Смирнов Д.А., Сысоев И.В., Селезнев Е.П., Безручко Б.П. Реконструкция моделей неавтономных систем с дискретным спектром воздействия // Письма в ЖТФ, 2003. Т. 29, № 19. С. 69-76.

325. Диканев Т.В., Смирнов Д.А., Пономаренко В.И., Безручко Б.П. Three subproblems of global model reconstruction from time series and their peculiarities // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2003. Т. 11, №. 3. С. 165-178.

326. Смирнов ДА., Бодров М.Б., Безручко Б.П. Оценка связанности междуосцилляторами по временным рядам путем моделирования фазовой динамики: пределы применимости метода // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2004. Т. 12, № 6. С. 79-92.

327. Безручко Б.П., Смирнов Д.А., Сысоев И*.В. Реконструкция при наличии скрытых переменных (модифицированный алгоритм Бока) // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2004. Т. 12, № 6. С. 93-104.

328. Smirnov D.A., Andrzejak R.G. Detection of weak directional coupling: phase dynamics approach versus state space approach // Phys. Rev. E, 2005. V. 71, 036207.

329. Smirnov D.A., Vlaskin V.S., Ponomarenko V.I. Estimation of parameters in one-dimensional maps from noisy chaotic time series // Phys. Lett. A, 2005. V. 336. P. 448-458.

330. Smirnov D.A., Bodrov M.B., Perez Velazquez J.L., Wennberg R.A., Bez-ruchko B.P. Estimation of coupling-between oscillators from short time series via phase dynamics modeling: limitations and application to EEG data // Chaos, 2005. V. 15. 024102.

331. Dikanev Т., Smirnov D., Wennberg R., Perez Velazquez J.L., Bezruchko B. EEG nonstationarity during intracranially recorded seizures: statistical and dynamical analysis // Clin. Neurophysiol., 2005. V. 116. P. 1796-1807.

332. Смирнов Д.А., Власкин B.C., Пономаренко В.И. Метод оценки параметров одномерных отображений по хаотическим временным рядам // Письма в ЖТФ, 2005. Т. 31, № 3. С. 18-26.

333. Смирнов Д.А. Диагностика слабой связанности между автоколебательными системами по коротким временным рядам: метод и приложения // Радиотехника и электроника, 2006. Т. 51, № 5. С. 569-579.

334. Mokhov /./., Smirnov D.A. El Nino Southern Oscillation drives North Atlantic Oscillation as revealed with nonlinear techniques from climatic indices // Geophys. Res. Lett., 2006. V. 33, L03708, doi:10.1029/2005GL024557.

335. Stoop R., Kern A., Goepfert M.C., Smirnov D.A., Dikanev T.V., Bezrucko

336. Мдхов И.И., Смирное Д.А. Исследование взаимного влияния.процессов Эль-Ниньо Южное колебание и Северо-Атлантического и Арктического колебаний нелинейными методами // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана, 2006. Т. 42, № 5. С. 650-667.

337. Смирнов Д.А., Бодров М.Б., Безручко Б.П. Интервальные оценки связанности между системами1 с переключениями // Письма в ЖТФ, 2006. Т. 32, № 18. С. 73-81.

338. Смирнов Д.А., Диканев Т.В., Веннберг Р., Перес Веласкес X.-JI., Безручко Б.П. Динамическая нестационарность в электроэнцефалограммах при височной эпилепсии // Биомед. технологии и радиоэлектроника, 2006. № 12. С. 26-32.

339. Диканев Т.В., Смирнов ДА., Гепферт М., Керн А'., Ступ Р., Безручко Б.П. Эмпирическая автоколебательная-модель слуховой системы дрозофилы // Биомед. технологии и радиоэлектроника, 2006. № 12. С. 54-60.

340. Smirnov D., Schelter В., Winterhalder М, Timmer J. Revealing direction of coupling between neuronal oscillators from time series: Phase dynamics modeling versus partial directed coherence // Chaos, 2007. V. 17. 013111.

341. Смирнов Д. А., Карпеев И. А., Безручко Б.П. Выявление связи между осцилляторами по коротким временным рядам: условие применимости метода моделирования фазовой динамики // Письма в ЖТФ, 2007. Т. 33, № 4. С. 19-26.

342. Безручко Б.П., Смирнов ДА., Зборовский А.В., Сидак Е.В., Иванов Р.Н., Беспятов А.Б.' Реконструкция по временному ряду и задачи диагностики

343. Технология живых систем, 2007. Т. 4, № 3. С. 49-56.

344. Smirnov D:, Barnikol U.B., Barnikol Т.Т., Bezruchko В.P., Hauptmann С., Buehrle С., Maarouf M, Sturm V., Freund H.-Jl, Tass P.A. The generation.of Parkinsonian tremor as revealed by directional coupling analysis // Europhys. Lett., 2008. V. 83, 20003.

345. Sitnikova E., Dikanev Т., Smirnov D., Bezruchko В., van Luijtelaar G. Granger causality: Cortico-thalamic interdependencies during absence seizures in WAG/Rij rats // J. Neuroscience Methods, 2008. V. 170. P. 245-254.

346. Мохов ИМ, Смирнов Д.А. Диагностика причинно-следственной связи, солнечной активности и глобальной приповерхностной температуры Земли// Изв: РАН1. Физика атмосферы и океана, 2008. Т. 44, № 3. G. 283-293.

347. Смирнов ДА., Сидак Е.В., Безручко Б.П. Статистические свойства оценки коэффициента фазовой синхронизации // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2008. Т. 16, № 2. С. 109-119.

348. Мохов И.И., Смирнов Д.А. Эмпирические оценки воздействия естественных и антропогенных факторов на глобальную приповерхностную температуру // Доклады академии наук, 2009. Т. 426, № 5. С. 679:684.

349. Козленко С. С., Мохов ИИ, Смирнов Д.А. Анализ причинно-следственных связей между Эль-Ниньо в Тихом океане и его аналогом в экваториальной Атлантике // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана, 2009. Т. 42, № 6. С. 754-763.

350. Smirnov D.A., Bezruchko В.P. Detection of couplings in ensembles of stochastic oscillators // Phys. Rev. E, 2009. V. 79. 046204.

351. Smirnov D.A., Mokhov II. From Granger causality to long-term causality: Application to climatic data // Phys. Rev. E, 2009. V. 80. 016208.

352. Смирнов Д.А. Выявление нелинейных связей между стохастическими осцилляторами по временным рядам // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2010: Т. 18, № 2. С. 16-38.

353. Smirnov D.A., Bezruchko В.Р. Nonlinear dynamical models from chaotic time series: methods and applications // in Handbook of Time Series Analysis, eds. M. Winterhalder, B. Schelter, J. Timmer, Berlin, Wiley-VCH, 2006. P. 181-212.

354. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Современные проблемы моделирования по временным рядам // Известия Саратовского госуниверситета, серия "физика", 2006. Т. 6, № 1. С. 3-27.

355. Bezruchko B.P., Dikanev Т. V., Smirnov D.A. Informational value of different parts of a time series for reconstruction of a dynamical system // Proceedings of International Symposium NOLTA (Dresden, Germany), 2000. V. 2. P. 709712.

356. Bezruchko B.P., Seleznev Ye.P., Smirnov D.A. On the possibility of constructing a bifurcational diagram from an experimental time series // Proceedings of International Symposium NOLTA (Dresden, Germany), 2000. V. 2. P. 775-778.

357. Smirnov D. Hierarchy of phenomenological models for harmonically driven systems // Proceedings of the IX International Specialist Workshop NDES (Delft, The Netherlands), 2001. P. 201-204.

358. Bezruchko В., Seleznev Ye., Smirnov D. Test of an experimental dependency for continuity // Proceedings of the IX International Specialist Workshop NDES (Delft, The Netherlands), 2001. P. 205-208.

359. Смирнов Д.А., Бодров М.Б., Безручко Б.П. Идентификация связи междунелинейными осцилляторами по хаотическим временным'рядам,// Труды-IV- Международной конференции "Идентификация« систем w проблемы управления" (SICPRO-2005), Москва, 2005. С. 1875-1890.

360. Безручко Б.П, Зборовский A.B., Смирнов Д.А. Реконструкция по временному ряду и задачи диагностики // VII Международная научно-техническая конференция "Физика и радиоэлектроника в медицине и экологии ФРЭМЭ 2006". Суздаль, 2006. С. 112-114.

361. Смирнов Д.А., Сидак Е.С., Безручко Б.П. Выявление нелинейной связи между осцилляторами по временному ряду // Материалы 8 Всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем", Нижний Новгород, 2008. С. 307-314.

362. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Статистическое моделирование по временным рядам (учебно-методическое пособие). Саратов, ГосУНЦ «Колледж», 2000. 23 с.

363. Безручко Б.П., Смирнов ДА. Построение модельных отображений по хаотическим временным рядам (учебно-методическое пособие). Саратов, ГосУНЦ «Колледж», 2000. 38 с.

364. Безручко Б.П., Смирнов ДА. Реконструкция обыкновенных дифференциальных уравнений по временным рядам (учебно-методическое пособие). Саратов, ГосУНЦ «Колледж», 2000. 46 с.

365. Безручко Б.П, Левин Ю.И., Смирнов ДА. Моделирование неавтономных систем по временным рядам (учебно-методическое пособие). Саратов, ГосУНЦ «Колледж», 2001. 44 с.