Оценка запаздывания и связи между колебательными системами по временным рядам в задачах радиофизики и биофизики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук Хорев, Владимир Сергеевич

• Хорев, Владимир Сергеевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Хорев, Владимир Сергеевич

Содержание

Введение

Глава 1 Оценка задержки взаимодействия при сильной связи

1.1 Введение

1.2 Метод моделирования фазовой динамики

1.3 Тестовые модели

1.4 Оценки времени задержки между связанными системами

1.4.1 Два однонаправленно связанных фазовых осциллятора

1.4.1.1 Влияние силы связи между осцилляторами на оценку времени задержки

в связи

1.4.1.2 Влияние расстройки частот на оценку времени задержки в связи

1.4.1.3 Влияние шума на оценку времени задержки в связи

1.4.2 Два однонаправленно связанных осциллятора Ван-дер-Поля

1.4.2.1 Зависимость оценки времени задержки в связи от длины ряда

1.4.2.2 Влияние измерительного шума на оценку времени задержки в связи

1.4.3. Система с двумя задержками

1.4.4. Гармонический сигнал, воздействующий на систему с задержкой

1.4.5. Осциллятор Ван-дер-Поля, связанный с системой с задержкой

1.5 Заключение

Глава 2 Оценка задержки взаимодействия процессов подсистем регуляции в сердечно-сосудистой системе человека

2.1 Введение

2.2 Материал и методы

2.3 Оценки времени задержки, полученные для групп испытуемых

2.4. Заключение

Глава 3 Метод определения времени задержки, основанный на методе поиска ближайших соседей

3.1. Введение

3.2. Оценки времени задержки, полученные для системы Маккея-Гласса

3.3. Определение задержки в системах более высокого порядка

3.4 Восстановление времен запаздывания в системах с двумя задержками

3.5 Восстановление времени задержки в системах с запаздыванием с двумя динамическими переменными

3.6. Выводы

Глава 4 Использование метода, основанного на поиске ближайших соседей, для восстановления параметров лазерных систем

4.1. Введение

4.2. Определение задержки по зашумленным временным рядам

4.3. Определение уровня обратной связи

4.4. Результаты для экспериментальной системы

4.5. Выводы

Заключение

Список сокращений

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценка запаздывания и связи между колебательными системами по временным рядам в задачах радиофизики и биофизики»

Введение

Системы с запаздывающей обратной связью чрезвычайно широко распространены в природе и технике. Обычно они моделируются дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом. Такие модели успешно применяются во многих разделах физики, биологии, физиологии и химии. Уравнения с запаздыванием используются, например, для моделирования и описания динамики изменения состава крови [1,2], процессов обработки информации внутри мозга [3], колебаний во многих радиофизических [4, 5, 6] и оптических [7,8] системах, в биологических моделях, описывающих динамику популяций [9, 10, 11], для моделирования процессов метаболизма в организме и распространения инфекционных заболеваний [12, 13], роста онкологических образований в организме [14], в моделях экологических взаимодействий [15, 16], в моделях химических реакций [17]. Это во многом объясняет высокую популярность уравнений с запаздыванием у исследователей в различных научных дисциплинах, в частности, задачи определения по временным рядам экспериментально наблюдаемых величин наличия, направленности и задержки взаимодействия между источниками сложных сигналов.

Изучение нелинейных динамических моделей систем с задержкой позволило продвинуться в понимании сложной динамики многих практически важных систем и процессов. При построении модельных уравнений систем с запаздыванием и исследовании взаимодействия колебательных систем по их временным рядам актуальной задачей является оценка времени задержки этих систем и запаздывающей связи между ними.

Разнообразие специфических ситуаций и сложность решения задачи оценки задержки взаимодействия в характерных для практики условиях нехватки данных, нестационарности временных рядов и наличия шумов привели к разработке большого числа подходов, которые были развиты в рамках теории информации и нелинейной динамики [18]. Для успешного решения конкретных задач анализа

связей по экспериментальным временным рядам требуется знание границ применимости и специфики того или иного подхода.

Задержка зачастую присутствует в фундаментальных физических взаимодействиях, лежащих в основе процессов жизнедеятельности. Согласно современным представлениям, состояние и степень активности подсистем регуляции деятельности сердечно-сосудистой системы являются чувствительным индикатором, отражающим степень развития различных патологий как в сердечно-сосудистой системе, так и в организме в целом [19]. Вместе с тем, до последнего времени предложенные количественные меры оценки степени активности этих подсистем основывались на простейших методах статистического и спектрального анализа, не учитывая особенностей взаимодействии этих подсистем [20]. Это можно объяснить сложностью сигналов исследуемых систем, анализ которых требует разработки специализированных методов, основанных на современных методах нелинейной динамики и динамического моделирования.

В диссертации описывается исследование возможностей метода определения времени запаздывания, основанного на моделировании фазовой динамики, в случае сильной связи, определение времени задержку между низкочастотными колебаниями в сердечно-сосудистой системе человека, а также оригинальная методика определения времени запаздывания, основанная на методе поиска ближайших соседей, и на ее основе предлагаются методы реконструкции для различных классов систем с запаздыванием. Показана высокая эффективность разработанных подходов по сравнению с другими известными, а также возможность успешного применения для восстановления параметров полупроводникового лазера по временному ряду интенсивности излучения.

Целью диссертационной работы является разработка и модернизация методов оценки времени задержки, а также исследование пределов применимости методов определения взаимодействия сложных колебательных систем по

временным рядам и приложение этих подходов к анализу физических и физиологических данных. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

• сопоставление на эталонных примерах различных методов, опирающихся на разные подходы, к выявлению взаимодействия между колебательными системами,

• исследование пределов применимости на эталонных радиофизических моделях и демонстрация работоспособности на реальных генераторах метода определения слабого взаимодействия между системами, использующего прогностическую модель фазовой динамики связанных осцилляторов, по коротким зашумленным рядам.

• разработка и модернизация подходов определения задержки в автоколебательных системах

• приложение метода выявления связи по временным рядам, базирующегося на построении прогностической модели фазовой динамики, к анализу сигналов, отражающих динамику процессов регуляции сердечно-сосудистой и дыхательной систем человека

Научная новизна

1. На эталонных радиофизических примерах проиллюстрированы количественные характеристики оценки времени задержки в связи, полученные с помощью различных методов выявления взаимодействия между колебательными системами (по анализу следования событий во временных рядах, анализу в пространстве состояний и построении прогностической модели фазовой динамики).

2. При однонаправленном воздействии с запаздыванием показана зависимость между коэффициентом связи и точностью определения задержки в связи между колебательными системами, которую необходимо учитывать для обеспечения

работоспособности подхода, основанного на построении прогностической модели фазовой динамики.

3. Для определения времени задержки по хаотическим временным рядам систем с запаздывающей обратной связью предложен оригинальный метод, основанный на методе поиска ближайших соседей.

4. Впервые произведена оценка направленности и задержки во взаимодействии процессов вегетативной регуляции в сердечно-сосудистой системе человека, имеющих собственную частоту около 0.1 Гц.

Достоверность полученных результатов обуславливается воспроизводимостью численных расчётов, их совпадением с теоретическими, а также соответствием результатов экспериментальных исследований и численного анализа.

Практическая значимость

1. Критический обзор и результаты сопоставления методов оценки связи имеют методическое значение и могут быть использованы в исследовательской практике и спецкурсах для студентов.

2. Проведенные исследования могут быть использованы для восстановления параметров полупроводникового лазера с оптической обратной связью по временным рядам колебаний интенсивности лазерного излучения.

3. Полученные значения оценок задержки во взаимодействии процессов вегетативной регуляции с частотой 0.1 Гц в сердечно-сосудистой системе человека могут быть использованы для задач медицинской диагностики.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Точная оценка времени задержки в связи между колебательными системами может быть получена даже при больших значениях коэффициента связи с помощью метода, основанного на моделировании фазовой динамики. Увеличение длины ряда и присутствие умеренного динамического шума

способствует более точному определению времени задержки в связи между осцилляторами.

2. Время задержки в воздействии системы медленной регуляции сердечного ритма на систему медленной регуляции кровенаполнения микроциркуляторного русла у пациентов, перенёсших инфаркт миокарда, больше, чем у здоровых людей, и уменьшается по мере восстановления функционального состояния сердечно-сосудистой системы.

3. Предложенный метод оценки времени запаздывания, основанный на поиске ближайших соседей векторов состояния временного ряда, позволяет восстановить времена запаздывания в автоколебательных системах различного порядка с задержкой при существенно более высоких уровнях шума, чем другие методы.

Личный вклад соискателя.

Основные результаты диссертации получены лично автором. Планирование и постановка экспериментов осуществлялись совместно с научным руководителем и другими соавторами. В совместных работах автором выполнялись компьютерные расчеты, включая обработку экспериментальных данных. Постановка задач, разработка методов их решения, выбор объектов исследования, объяснение и интерпретация результатов осуществлялись совместно с руководителем и другими соавторами.

Апробация результатов.

Основные результаты диссертации были представлены автором на:

• научных семинарах кафедры динамического моделирования и биомедицинской инженерии факультета нано- и биомедицинских технологий СГУ:

• международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» (ХАОС-2007, ХА002013), Саратов, 2007; 2013;

• всероссийских конференциях молодых ученых Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика, г. Саратов, 2007-2014;

• VII международной научно-технической конференции «Физика и радиоэлектроника в медицине и экологии - ФРЭМЭ 2006», г. Владимир, 2006;

• научных школах-конференциях «Нелинейные дни в Саратове для молодых», Саратов, 2006-2011;

• всероссийских научных школах-конференциях «Волновые явления в неоднородных средах», Звенигород, 2008, 2009;

• международной школе-семинаре «StatInfo-2009», Саратов, 2009.

• всероссийских научных школах-семинарах «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине», 2007- 2013

• всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем», Н. Новгород, 2008;

• научной конференции в рамках всероссийского конкурса инновационных проектов «Живые системы», г. Киров, 2006;

• Международной научной конференции «Nonlinear Dynamics of Deterministic and Stochastic Systems: Unraveling Complexity», г. Саратов, 2014 г;

• студенческих научных конференциях факультета нано- и биомедицинских технологий СГУ, Саратов, 2007-2011.

Соискатель является победителем Молодёжного Научно-Инновационного Конкурса 2013 (УМНИК-2013).

По результатам, изложенным в диссертационной работе, опубликовано 32 печатных работы, включая 5 статей в реферируемых журналах, входящем в перечень, рекомендованный ВАК: 3 статьи в реферируемых научных журналах, 24 статьи в сборниках трудов и тезисов конференций.

Глава 1 Оценка задержки взаимодействия при сильной связи 1.1 Введение

Задача определения характера связи между двумя колебательными системами по временным рядам, которые могут быть зашумлены и хаотичны, возникает в различных приложениях [21, 22]. Особенно сложно выявить направленность достаточно сильной связи, вызывающей синхронизацию систем, по коротким временным рядам — порядка нескольких десятков характерных периодов колебаний [23]. Для достижения успеха в этой сложной ситуации требуется высокая чувствительность метода диагностики связи, которую обеспечивает слежение за фазами колебаний [ 24 ], так как фаза является характеристикой процесса, чувствительной к внешним воздействиям на колебательную систему [25].

Один из наиболее чувствительных методов оценки связи между двумя осцилляторами был предложен в [26]. Он основан на моделировании фазовой динамики и применим в случае достаточно длинных временных рядов (несколько сотен характерных периодов) и малых шумов. В работе [27] метод обобщен на случай более коротких временных рядов и существенных шумов за счет специальных поправок и эмпирически найденного порогового значения характеристики связи, соответствующего 95%-ной доверительной вероятности вывода о наличии связи. Метод нашел применения в нейрофизиологии [28] и климатологии [29]. Он был развит далее в работе [30], где были предложены модифицированные характеристики связи и получено аналитическое выражение для доверительной вероятности, с которой можно сделать вывод о наличии связи. Однако оба упомянутых улучшения метода ориентированы на случай систем со слабой связью, описываемой в моделях членами невысокого порядка в уравнениях фазовой динамики, в связи с чем возникает вопрос о применимости метода в случае сильной связи.

С помощью метода моделирования фазовой динамики исследована задача выявления по временным рядам значимого взаимодействия двух колебательных систем, а также преимущественного направления и времени задержки в связи для случая сильной связи систем. Рассмотрены модельные системы связанных осцилляторов с различными видами функций связи.

1.2 Метод моделирования фазовой динамики

Для оценки направления взаимодействия между двумя колебательными системами по их временным рядам использован метод, основанный на моделировании фазовой динамики. Основная идея метода — оценить, насколько сильно зависят будущие значения фазы одной системы от текущего значения фазы другой системы. Для этого по исходным временным рядам (/1), ..., XI (Удт)} и {х2 (/1 ), ..., х2 (7ы )} от двух систем (где Ь = /А/ , Ш — интервал выборки, / = \ где N— длина ряда) рассчитываются временные ряды фаз колебаний ), ..., <рх (/м )} и {<р2 (/1 ), ..., (рг (/ы )}• На основе последних

строится эмпирическая математическая модель [26], по коэффициентам которой оцениваются характеристики связанности. По временным рядам фаз построим модель динамики в виде:

где (1) = 0 + т) - (1), к = 1, 2, г— конечный временной интервал, £к 0) — шумы с нулевым средним, — тригонометрические многочлены следующего вида:

(2)

[<Рг<Рх,аг) = «о2) + -Щ) + Р[^т{т(р2 -пср^,

т,п

где ак = (а(А)о , {(¿к)т,п }, {$к)т,п }) — векторы коэффициентов, к = 1,2. Диапазон суммирования, то есть набор значений индексов тип, определяющих, какие

слагаемые присутствуют в многочлене, может быть свой для каждого осциллятора [31]. А сами оценки силы воздействия у^2 рассчитываются следующим образом:

Данные оценки выводились для случая слабой связи, когда стационарное вероятностное распределение циклических фаз (<р i mod 2л, (pi mod 2я) является равномерным в квадрате [0, 2л) х [0, 2л) , а слагаемые в многочлене Fk при равномерной плотности распределения являются взаимно ортогональными функциями в этой области [31]. Вопрос о работоспособности данной методики в случае сильной связи остаётся открытым и требует дальнейшего исследования.

1.3 Тестовые модели

В качестве тестовых моделей выступали:

- фазовые осцилляторы;

- однонаправленно связанные осцилляторы Ван-дер-Поля.

Для широкого круга ситуаций фазовая динамика осцилляторов, имеющих ярко выраженный ритм, адекватно описывается стохастическими дифференциальными уравнениями [32], поэтому в качестве наиболее простой и универсальной модели взаимодействующих систем были выбраны однонаправленно связанные фазовые осцилляторы [33] следующего вида:

где /12 — частоты осцилляторов, ^12 (0 — белые шумы с нулевым средним, к — коэффициент связи между осцилляторами, А — задержка в связи между системами.

Для качественного описания динамики автоколебательных систем в ряде случаев хорошо подходит модель в виде осциллятора Ван-дер-Поля [34, 35].

(3)

d(pl/dt=fl+£l(t),

d(px!dt=/2+A:sin^1(/-J))+<f2(i),

(4)

Поэтому, в качестве второй базовой модели рассмотрим однонаправленно связанные осцилляторы Ван-дер-Поля:

где /1,2 — собственные частоты, X — коэффициент нелинейности, £1>2 — белые шумы с нулевым средним, к — коэффициент связи между осцилляторами, А — задержка в связи между системами.

1.3 Оценки времени задержки между связанными системами

1.3.1 Два однонаправленно связанных фазовых осциллятора

Рассмотрим зависимости оценки направления воздействия и времени запаздывания в связи от вариации различных параметров осцилляторов. При этом ответим на следующие вопросы:

- при каких условиях оценка времени задержки в связи остается несмещенной;

- при каких условиях вероятность ошибочных выводов о направлении и задержке в связи не превышает 5 %?

Кроме оценки количества ошибочных выводов, важен вопрос и о том, при каких условиях достаточно высока вероятность правильных выводов о направлении и задержке связи. Для ответа на эти вопросы рассчитываем зависимости оценок сил связи от пробного времени задержки по временному ряду. Смещение оценки определятся разницей между значением, заданным в уравнениях модели, и значением, полученным по временному ряду. 95% уровень значимости рассчитывался по 100 реализациям суррогатных рядов, полученных из исходных временных рядов фаз осцилляторов путём случайной перестановки участков ряда длительностью 2п. При таком способе приготовления суррогатных данных происходит разрушение связи между исследуемыми временными рядами при сохранении их основных свойств.

Ч /

(5)

1.4.1.1 Влияние силы связи между осцилляторами на оценку времени задержки в связи

Используемые для оценки времени задержки в связи временные ряды систем (4) были получены путём численного интегрирования уравнений методом Эйлера с шагом 0.02т1 при частотах /12 ~ 0.1. Каждое из начальных условий выбиралось случайно из отрезка [0..2л] (использовалось равномерное распределение).

На Рис. 1 представлены зависимости оценок сил связи (3) от пробного времени задержки. Видно, что максимум у 12 — оценки воздействия со стороны первого осциллятора на второй, соответствует реальному времени задержки в связи и превышает уровень значимости, рассчитанный по суррогатным данным. Оценки воздействия со стороны второго осциллятора на первый (721) не превышают 95% уровень значимости. Это свидетельствуют об отсутствии значимого взаимодействия со стороны второго осциллятора на первый.

О 20 40 60 80 100 Пробная задержка

0 20 40 60 80 100 Пробная задержка

Рис. 1. Зависимости оценок сил связи от пробного времени задержки при к=0.7, Д=40, расстройке частот 55 =0.02, длине ряда 350 характерных периодов и дисперсии шума о =0.8. Пунктирной линией показан 95% уровень значимости, рассчитанный по суррогатным рядам.

На Рис. 2(а) представлена зависимость оценки времени задержки в связи от коэффициента связи между системами. Видно, что оценки времени задержки в связи имеют меньший разброс и практически не смещены, когда коэффициент связи принимает значения выше 0.4. На Рис. 2(6) представлена зависимость индекса фазовой синхронизации от коэффициента связи между системами. Из графика видно, что с увеличением коэффициента связи уровень синхронизации между осцилляторами растёт по линейному закону. Однако, высокий уровень

синхронизации не мешает получению правильной оценки времени задержки в связи (см. рис. 2(а)).

1.4.1.2 Влияние расстройки частот на оценку времени задержки в связи

На рис. 2(в) представлена зависимость оценки времени задержки в связи от расстройки частот. Видно, что большая расстройка частот приводит к ухудшению оценок времени задержки в связи, что отражено на графике значительными отклонениями от значения реального времени задержки в связи между системами. На рис. 2(г) представлена зависимость индекса фазовой синхронизации от расстройки частот. Видно, что с увеличением расстройки значения индекса фазовой синхронизации немного уменьшаются.

1.4.1.3 Влияние шума на оценку времени задержки в связи

На рис. 2(д) и 2(е) представлены зависимости оценок времени задержки в связи от уровня шума при одинаковом коэффициенте связи и разной длине ряда. Из рис. 2(д) видно, что график оценки времени задержки имеет пологий вид. Можно сделать вывод, что значение оценки времени задержки в связи слабо зависит от уровня шума в случае достаточно длинного временного ряда при большом уровне связи. Из рис. 2(е), построенного для случая коротких временных рядов, видно, что при слабых уровнях шума оценки времени задержки определяются хуже и имеют тенденцию к смещению и увеличению разброса.

Кроме того, увеличивается риск получения ложного вывода о преимущественном направлении воздействия, поскольку для случая очень слабых шумов при сильной синхронизации можно получить значения оценок сил связи, превышающих 95% уровень значимости, рассчитанный с помощью суррогатных данных.

1.4.2 Два однонаправленно связанных осциллятора Ван-дер-Поля

Рассмотрим зависимости оценки направления воздействия и времени запаздывания в связи от шума в случае сильной связи. При этом ответим на следующие вопросы:

- возможно ли получение несмещенных оценок запаздывания при большом уровне шума;

- существует ли зависимость смещения оценок задержки в связи от силы связи;

- какой вклад вносит динамический и измерительный шум в динамику фазы осциллятора Ван-дер-Поля?

Для ответа на эти вопросы рассчитывались зависимости оценок сил связи от пробного времени задержки по временному ряду, а также автокорреляционная функция и распределение свернутой фазы.

6)

80 —

г)

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1 К

о.

80 -л

72 — 64 —

-е—&—о—&—е-

11111

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

55

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1

55

д)

«I

60 —| 50

40 —

30 -

"с|) ч|н ^ -ф-—^ |||

Ч 1 I 1 I 1 I 1 I

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

а а

Рис. 2. Зависимости (а — оценки времени задержки, б — индекса фазовой синхронизации (ИФС)) от коэффициента силы связи при а=0.6, Л=40, расстройке частот 8f =0.02 длине ряда N=350 характерных периодов, вертикальными ограничителями показан разброс относительно среднего. Зависимости (в — оценки времени задержки, г — ИФС) от расстройки частот при к=0.7, а=0.3, Д=40, N=350 характерных периодов, д — зависимости оценки времени задержки от уровня шума при к =0.7, Д=40, 8f =0.02, N=350 характерных периодов, е -зависимости оценки времени задержки от уровня шума при к=0.7, Д=40, =0.02, N=70 характерных периодов.

1.4.2.1 Зависимость оценки времени задержки в связи от длины ряда

Используемые для оценки времени задержки в связи временные ряды систем (5) были получены путём численного интегрирования уравнений методом Эйлера с шагом 0.01 при частотах/1д ~ 0.1. Участок, содержащий переходной процесс (50 характерных периодов) во временной ряд не записывался (фрагмент ряда хг приведён на рис. 3). Ошибка определения времени задержки в связи систем рассчитывалась следующим образом:

А

£=^^•100% (6) А

/V

где А — истинное время задержки в связи, а А — оценка, полученная из анализа временных рядов.

Рис. 3 Фрагмент временного ряда переменной х2 системы (5)

На рис. 4 представлена зависимость ошибки определения времени задержки в связи от длины ряда и уровня шума при большом значении коэффициента связи. Видно, что области, в которых ошибка мала, расположены в правой верхней части рисунка, то есть, при высоких значениях уровня шума и длины ряда. Таким образом, увеличение длины ряда позволяет более точно определить время запаздывания в связи систем. Кроме того, более точно определить задержку в связи позволяет увеличение уровня динамического шума.

Рис. 4. Оценки ошибки (в %) определения времени задержки в связи между осцилляторами системы (5) в зависимости от длины ряда и уровня шума при к=0.7, Л=40. Линиями с цифрами обозначены границы областей, имеющих одинаковый уровень ошибки.

1.4.2.2 Влияние измерительного шума на оценку времени задержки в связи

На Рис. 5 показаны распределения циклической фазы \|/ временных рядов осцилляторов (5) при различных уровнях нелинейности и дисперсии измерительного шума. Рисунки 5(а) и 5(в), соответствующие фазам сигналов систем в случае слабой нелинейности (X = 0.1), демонстрируют более равномерный характер распределения и, как следствие, дают возможность более точно рассчитать фазу [36], чем в случае сильной нелинейности (к = 1), Рис. 5(6) и 5(г).

Рис. 5. Распределения циклической фазы при к=0.9 и длине ряда 50 характерных периодов. Дисперсии измерительного шума а=0.2 для а) и б), с=0.9 для в) и г), А^ =0.1 для а) и в), Я],2=1 для б) и г).

Распределения у, представленные на 5(в) и 5(г) (для о = 0.9), носят менее плавный характер, чем представленные на Рис. 5(а) и 5(6) (для о = 0.3), соответственно, что объясняется более высоким уровнем измерительного шума в системах. Однако, существенной зависимости распределения \|/ от измерительного шума в широких пределах не наблюдается. Эти результаты указывают на то, что точность определения оценки запаздывания в связи в большей степени зависит от нелинейности взаимодействующих систем, чем от уровня шума.

1.4.3 Система с двумя задержками

Для проверки работоспособности метода в случае нескольких задержек при сильной связи в уравнение (5) был включён дополнительный член, определяющий связь с другой задержкой:

d2x

(Я, — x ) + x + ^ = О,

2 (7)

По временным рядам данной системы были построены зависимости оценок сил связи от пробного времени задержки для связанных осцилляторов Ван-дер-Поля. Как видно из Рис. 6, два максимума соответствуют заданным значениям задержки в системе (6) и метод работоспособен в случае, когда в связи между системами имеется две задержки.

0.00016 0.00012 ^ 8Е-005 4Е-005 0

0 2 4 6 8 10

Пробная задержка, с.

0.00016 0.00012 ^ 8Е-005 4Е-005 0

Рис. 6 Примеры зависимостей оценок сил связи от пробного времени задержки для связанных осцилляторов Ван-дер-Поля. Системы однонаправленно связаны, значения параметров систем принимают значения: Я/ =0.75, I2 =0.75, а^ =0.2, /ui =0.2, //2 =0.2, At=2 с, А2=4 с, coi=0.1 Гц., со2=0.101 Гц., длина рядов -180 характерных периодов (30 мин.).

Пробная задержка, с.

1.4.4 Гармонический сигнал, воздействующий на систему с задержкой

Поскольку модель системы с задержкой может быть использована для описания физиологической системы [37], в качестве наиболее общего случая было решено посмотреть определение задержки воздействия гармонического сигнала на систему с задержкой:

£У = -У + /я (Уг) + ~ У) + Результат обработки представлен на рис. 7.

Пробная задержка, с.

Пробная задержка, с.

Рис. 7 Примеры зависимостей оценок сил связи от пробного времени задержки в случае воздействия гармонического сигнала на систему с задержкой. Системы однонаправленно связаны, значения параметров систем принимают значения: А=3.3, =0.2, к= 0.2, А = 5 е., со=0.101 Гц. т=3.6 е., е=1.3, длина рядов -180 характерных периодов (30 мин.)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Хорев, Владимир Сергеевич, 2015 год

Список литературы

1. Mackey М.С., Glass L. Oscillations and chaos in physiological control systems // Science. -1977. -Vol. 197. -P. 287-289.

2. M. Wazewska-Czyzewska, A. Lasota, Mathematical problems of the dynamics of a system of red blood cells // Mat. Stos. -1976. №6. -P. 23^10.

3. Gribkov D., Gribkova V. Learning dynamics from nonstationary time series: Analysis of electroencephalograms // Physical Review E. -2000. -V. 61. -P. 65386545.

4. Кузнецов С.П. Сложная динамика генераторов с запаздывающей обратной связью (обзор) // Изв. ВУЗов, Радиофизика. -1982. -Т. 25. -С. 1410-1428.

5. Дмитриев А.С., Кяргинский Б.Е., Панас А.И., Старков С.О. Прямохаотические схемы передачи информации в сверхвысокочастотном диапазоне // Радиотехника и электроника. -2001. -Т. 46. -№ 2. - С. 224-233.

6 Bestehorn М., Grigorieva E.V., Haken Н., Kaschenko S.A. Order parameters for class-B lasers with a long time delayed feedback // Physica D, -2000, Vol. 145, -P.l 10129.

7. Ikeda K. Multiple-valued stationary state and its instability of the transmitted light by a ring cavity system// Optics Communications. -1979. -Vol. 30. -P. 257-261.

8. Усанов Д.А., Сагайдачный А.А., Скрипаль A.B., Фомин A.B. Взаимосвязь колебаний температуры и кровотока пальцев рук // Регионарное кровообращение и микроциркуляция. - 2012. №2, С. 309-318.

9. Hutchinson G.E., An Introduction to Population Ecology. Yale University Press, New Haven, -1978. - 260 P.

10. May R.M. Simple Mathematical Models with Very Complicated Dynamics // Nature. - 1976. - Vol. 261. - P. 459-467.

11. Kuang Y. Delay differential equations with applications in population dynamics Academic Press, Boston. -1993, -191 P.

12. Bocharov G.A., Rihan F.A. Numerical modelling in biosciences using delay differential equations // Journal of Computational and Applied Mathematics, -2000. Vol. 125. P. 183-199.

13. Белых JI.H., Марчук Г.И. Качественный анализ простейшей математической модели инфекционного заболевания // Математическое моделирование в иммунологии и медицине. Новосибирскск: Наука, -1982. С. 5-26.

14. Byrne Н.М., The effect of time delays on the dynamics of avascular tumor growth // Mathematical Biosciences, -1997, Vol. 144, №. 2, pp. 83-117.

15. Кащенко С.А. Релаксационные колебания в системе с запаздываниями, моделирующей задачу «хищник-жертва» // Моделирование и анализ информационных систем, -2013, Т.20, №1, С.52-98.

16. Briggs С.J., Nisbet R.M. and Murdoch W.W., Delayed feedback and multiple attractors in a host-parasitoid system // Journal of Mathematical Biology, -1999. №.38. -P. 317-345.

17. Epstein I.R., Delay effects and differential delay equations in chemical kinetics // Intern. Reviews in Physical Chemistry, -1992. №11. -P. 135-160.

18. Ikeda K., Matsumoto K. High-dimensional chaotic behavior in systems with time-delayed feedback // Physica D. -1987. -Vol. 29. -P. 223-235.

19 Флейшман A.H. Медленные колебания гемодинамики. Теория, практическое применение в клинической медицине и профилактике. -Новосибирск: НАУКА РАН, 1999. -264 с.

20 Баевский P.M. и др. Анализ вариабельности сердечного ритма при использовании различных электрокардиографических систем, Вестник аритмологии. 2001. №24. С. 1-23.

21. Arnold J, Lehnertz К, Grassberger Р and Elger C.E. an phase coherence as a measure for phase synchronization and its application to the EEG // Physica D. -1999. Vol.134-P. 419

22 Quian Quiroga R., Kraskov A., Kreuz Т., Grassberger P.A robust method for detecting interdependences: application to intracranially recorded EEG // Physical Review E. -2002. Vol. 65. 041903.

23 Smirnov D.A., Bodrov M.B., Perez Velazquez J.L, Wenneberg R.A., Bezruchko B.P. Estimation of coupling between oscillators from short time series via phase dynamics modeling: Limitations and application to EEG data // Chaos. -2005. Vol. 15. 024102

24 Smirnov D.A., Andrzejak R.G. Detection of weak directional coupling: phase dynamics approach versus state space approach // Physical Review E. -2005. Vol. 71. 036207

25 Пиковский A.C., Розенблюм М.Г., Курте Ю. Синхронизация: фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, -2002. - 832 с

26 Rosenblum M.G., Pikovsky A.S. Detecting direction of coupling in interacting oscillators // Physical Review E, -2001. Vol. 64. 045202.

27 Smirnov D.A., Bezruchko B.P., Estimation of interaction strength and direction from short and noisy time series // Physical Review E, -2003. Vol. 68, 046209.

28 Smirnov D.A., Barnikol U.B., Barnikol T.T., Bezruchko B.P., Hauptmann C., Buehrle C., Maarouf M., Sturm V., Freund H.-J., Tass P.A., The generation of Parkinsonian tremor as revealed by directional coupling analysis // Europhysics Letters., -2008. Vol. 83, 20003.

29 Mokhov 1.1., Smirnov D.A., El Nino Southern Oscillation drives North Atlantic Oscillation as revealed with nonlinear techniques from climatic indices // Geophysical Research Letters, -2006. Vol. 33, 024557.

30 Smirnov D.A., Bezruchko B.P., Detection of couplings in ensembles of stochastic oscillators // Physical Review E, -2009. Vol. 79, 046204.

31 Смирнов Д.А., Карпеев И.А., Безручко Б.П., Выявление связи между осцилляторами по коротким временным рядам: условие применимости метода моделирования фазовой динамики // Письма в ЖТФ, -2007, т. 33, вып. 4, с. 19-26.

32 Pikovsky A.S., Rosenblum M.G., Kurths J. Phase synchronization in regular and chaotic systems // International Journal of Bifurcation and Chaos. -2000. Vol. 10. P. 2291.

33 Ivanchenko M.V., Osipov G.V., Shalfeev V.D., Kurths J. Synchronization of two non-scalar-coupled limit-cycle oscillators // Physica D, -2004, vol. 189, nos. 1-2 , P. 830.

34 Schäfer С., Rosenblum M.G., Abel H.-H., Kurths J. Synchronization in the human cardiorespiratory system. //Physical Review E. -1999. Vol. 60. P. 857

35 Janson N.B., Balanov A.G., Anishchenko V.S., McClintock P.V.E. Phase synchronization between several interacting processes from univariate data // Physical Review E. -2002. Vol. 65. 036212.

36. Kralemann В., Cimponeriu L., Rosenblum M.G., Pikovsky A.S., and Mrowka R., Phase dynamics of coupled oscillators reconstructed from data // Physical Review E, -2008, Vol. 77, 066205.

37. Ringwood J.V. and Malpas S.C. Slow oscillations in blood pressure via a nonlinear feedback model // American Journal of Physiology. -2001 Vol. 280, №.4: R1105-984.

38. Урицкий B.M., Музалевская Н.И. В кн.: Биомедицинская информатика и эниология. СПб.: СПбИИиА РАН, -1985. С. 84-129.

39. Bespyatov A.B., Bodrov М.В., Gridnev V.l., Ponomarenko V.l., Prokhorov M.D. Experimental observation of synchronization between rhythms of cardiovascular system // Nonlinear Phenomena in Complex Systems., -2003, Vol. 6, №.4, P.885-893

40. Хорев B.C. Оценка направления взаимодействия между модельными системами связанных осцилляторов при сильной связи // Известия вузов: Прикладная нелинейная динамика. -2013. Т. 21, № 2. С. 52-60.

41. Whittam A.M. Heart rate and blood pressure variability in normal subjects compared with data from beat-to-beat models developed from de Boer's model of the cardiovascular system / Whittam A.M., Claytont R.H., Lord S.W. et al. // Physiological Measurement. -2000. -Vol. 21. - № 2. - P. 305

42. Bernardi L. Arterial baroreeeptor as determinants of 0.1 Hz and respiration-related changes in blood pressure and heart rate spectra. / Bernardi L., Passino C., Bernardi L, Rossi M, Fratino P, et al. Relationship between changes in human skin blood flow and autonomic tone // Microvascular Research. -1989; №37, P. 16-27

43. Rienzo M.Di, Mancia G., Parati G., Pedotti A., Zanchetti A. Frontiers of blood pressure and heart rate analysis. - Amsterdam: IOS Press, -1997. -272 p.

44. Bernardi L., Rossi M., Leuzzi S., Mevio E., Fornasari G., Calciati A., Orlandi C., Fratino P. Reduction of 0.1 Hz microcirculatory fluctuations as evidence of sympathetic dysfunction in insulin-dependent diabetes // Cardiovascular Research, -1997. Vol. 34. P. 185-191.

45. Bernardi L., Radaelli A., Solda' P.L., Coats A.J., Reeder M., Calciati A., Garrard C.S., Sleight P. Autonomic control of skin microvessels assessment by power spectrum of photoplethysmographic waves // Clinical Science -1996. Vol. 90 P. 345-355.

46. Wray D.W., Fadel P.J., Keller D.M., Ogoh S., Sander M., Raven P.B., Smith M.L. Dynamic carotid baroreflex control of the peripheral circulation during exersice in humans // Journal of Physiology, -2004, Vol. 559, iss. 2, p. 675-684

47. Ursino M. Interaction between carotid baroregulation and the pulsating heart: a mathematical model // American Physiological Society, -1998, p. H1733-H1747.

48. Kotani K., Struzik Z.R, Takamasu K., Stanley H.E., and Yamamoto Y., Model for complex heart rate dynamics in health and disease // Physical Review E, -2005, vol. 72, P. 041904.

49. Ursino M., Magosso E. Short-term autonomic control of cardiovascular function: a mini review with the help of mathematical models // Journal of Integrative Neuroscience, -2003, vol. 2, iss. 2, p. 219-247.

50. Ringwood J.V., Malpas S.C. Slow oscillations in blood pressure via a nonlineare feedback model // American Journal of Physiology - Regulatory, Integrative and Comparative Physiology., -2001, vol. 280, p. R1105-1115.

51. Караваев A.C., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Гриднев В.И., Киселев А.Р., Безручко Б.П., Посненкова О.М., Струнина А.Н., Шварц В.А. Методика

реконструкции модели системы симпатической барореф-лекторной регуляции артериального давления по экспериментальным временным рядам // Технологии живых систем. -2007. Т. 4. № 4. С. 34-41

52. Karavaev A.S., Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I., Kiselev A.R., Gridnev V.I., Ruban E.I., and Bezruchko B.P., Synchronization of low-frequency oscillations in the human cardiovascular system // Chaos. -2009. Vol. 19. P. 033112.

53. Kiselev A.R., Gridnev V.I., Karavaev A.S., Posnenkova O.M., Prokhorov M.D., Ponomaremko V.I., Bezruchko B.P. The Dynamics of 0.1 Hz Oscillations Synchronization in Cardiovascular System during the Treatment of Acute Myocardial Infarction Patients // Applied Medical Informatics. -2011. Vol. 28. Iss. 1. P. 1-8

54. Kiselev A.R., Gridnev V.I., Karavaev A.S., Posnenkova O.M., Prokhorov M.D., Ponomaremko V.I., Bezruchko B.P. The Dynamics of 0.1 Hz Oscillations Synchronization in Cardiovascular System during the Treatment of Acute Myocardial Infarction Patients // Applied Medical Informatics. -2011. Vol. 28. Iss. 1. P. 1-8

55. Киселев A.P., Гриднев В.И., Караваев A.C., Посненкова О.М., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Безручко Б.П., Шварц В.А. Оценка пятилетнего риска летального исхода и развития сердечно-сосудистых событий у пациентов с острым инфарктом миокарда на основе синхронизации 0.1 Гц-ритмов в сердечнососудистой системе // Саратовский научно-медицинский журнал, -2010, том 6, №2, с. 328-338.

56. Kiselev A.R., Gridnev V.I., Karavaev A.S., Posnenkova O.M., Prokhorov M.D., Ponomaremko V.I., Bezruchko B.P. The Dynamics of 0.1 Hz Oscillations Synchronization in Cardiovascular System during the Treatment of Acute Myocardial Infarction Patients // Applied Medical Informatics. -2011. Vol. 28. Iss. 1. P. 1-8

57. Киселев A.P., Гриднев В.И., Караваев A.C., Посненкова О.М., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Безручко Б.П., Шварц В.А. Оценка пятилетнего риска летального исхода и развития сердечно-сосудистых событий у пациентов с острым инфарктом миокарда на основе синхронизации 0.1 Гц-ритмов в сердечно-

сосудистой системе // Саратовский научно-медицинский журнал, -2010, том 6, №2, с. 328-338

58. Киселев А.Р., Хорев B.C., Гриднев В.И., Прохоров М.Д., Караваев А.С., Посненкова О.М., Пономаренко В.И., Безручко Б.П., Шварц В.А. Взаимодействие 0.1 Гц-колебаний в вариабельности ритма сердца и вариабельности кровенаполнения дисталыюго сосудистого русла // Физиология человека, -2012, Т.38, N.3, С.92-99.

59 Кульминский Д.Д., Боровкова Е.И., Хорев B.C., Миронов С.А. Разработка устройства суточного мониторинга состояния сердечно-сосудистой системы на основе анализа синхронизации ее ритмов // Бюллетень медицинских Интернет-конференций, -2014, Т.4, №.7, С.962-967

60. Hegger R., Biinner M.J., Kantz Н., Giaquinta A. Estimation of delay times from a delayed optical feedback laser experiment // Physical Review Letters. -1998. Vol. 81. P. 558-561.

61. Tian Y.-C., Gao F. Extraction of delay information from chaotic time series based on information entropy.// Physica D. -1997. Vol. 108. P. 113-118.

62. BUnner M.J., Meyer Т., Kittel A., Parisi J. Recovery of the time evolution equation of time-delay systems from time series// Physical Review E. -1997. Vol. 56. P. 5083-5089.

63. Voss H., Kurths J. Reconstruction of nonlinear time delay models from data by the use of optimal transformations// Physics Letters. A. -1997. Vol. 234. P. 336-344.

64. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Караваев A.C., Безручко Б.П. Определение параметров систем с запаздывающей обратной связью по хаотическим временным реализациям // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики, -2005, Т.127, №3, С.515-527

65. Horbelt W., Timmer J., Voss H.U. Parameter estimation in nonlinear delayed feedback systems from noisy data.// Physics Letters A. -2002. Vol. 299. P. 513-521.

66. Dai, С., Chen, W., Li, L., Zhu, Y., Yang, Y. , Seeker optimization algorithm for parameter estimation of time-delay chaotic systems // Physical Review E. -2011. Vol. 83. 036203.

67. Zunino L., Soriano M.C., Fischer I. Rosso, O. A.; Mirasso, C. R.;Permutation information theory approach to unveil delay dynamics from time series analysis // Physical Review E. -2010. Vol. 82. 046212.

68. Ma H., Xu В., Lin W., Feng J. Adaptive identification of time delays in nonlinear dynamical models// Physical Review E. -2010. Vol. 82. 066210.

69. Ortin S., Gutierrez J.M., Pesquera L., Vasquez H. Nonlinear dynamics extraction for time-delay systems using modular neural networks synchronization and prediction // Physica A. -2005. Vol. 351, P. 133-141.

70. Siefert M. Practical criterion for delay estimation using random perturbations // Physical Review E. -2007. Vol. 76. 026215.

71. Ponomarenko V.I. and Prokhorov M.D. Recovery of systems with a linear filter and nonlinear delay feedback in periodic regimes // Physical Review E. -2008. Vol.78. -P. 066207.

72. Yu D., Frasca M., Liu F. Control-based method to identify underlying delays of a nonlinear dynamical system.// Physical Review E. -2008. Vol. 78. 046209.

73. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Определение времени задержки по отклику системы на слабое импульсное воздействие // Письма в ЖТФ. -2009. Т. 35. Вып. 22. С. 71-78.

74. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Хорев B.C. «Восстановление времени запаздывания по временным рядам с применением метода ближайших соседей» // Письма в ЖТФ, -2013, Т.39, В. 15, С.32-39.

75. Farmer J.D., Sidorowich J.J. Predicting chaotic time series.// Physical Review Letters. -1987. Vol. 59. P. 845-848.

76. Garcia P., Jiménez J., Marcano A., Moleiro F. Local optimal metrics and nonlinear modeling of chaotic time series // Physical Review Letters. -1996. Vol. 76. P. 1449-1452.

77. Villermaux E. Memory-induced low frequency oscillations in closed convection boxes // Physical Review Letters. -1995. Vol. 75. P. 4618.

78. Прохоров М.Д., Пономаренко В.И., Хорев B.C. Определение времени задержки по временным рядам на основе метода ближайших соседей. // Известия вузов: Прикладная нелинейная динамика. -2014. Т. 22, №.1. С. 3-15

79. Усанов Д.А., Скрипаль А.В., Измерение микро- и нановибраций и перемещений с использованием полупроводниковых лазерных автодинов // Квантовая электроника, -2011. Т. 41, №.1. С. 86-94

80. Усанов Д.А., Скрипаль А.В., Кащавцев Е.О., Калинкин М.Ю. Определение амплитуды нановибраций с помощью полупроводникового лазерного автодина с учетом внешней оптической обратной связи // Нано- и микросистемная техника. -2012. №9. С. 43-49.

81. Усанов Д.А., Скрипаль А.В., Авдеев К.С. Изменение спектра сигнала лазерного полупроводникового автодина при фокусировке излучения // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. -2009. Т. 17. № 2. С. 54-65.

82. Усанов Д.А., Скрипаль А.В., Авдеев К.С.. Определение расстояния до объекта с помощью частотпомодулированного полупроводникового лазерного автодина // Письма в ЖТФ. 2007. Т. 33. Вып 21. С. 72-77.

83. Lang R., Kobayashi К. External optical feedback effects on semiconductor injection lasers // IEEE Journal of Quantum Electronics., -1980, Vol. 16, P.347-355.

84. Alsing P.M., Kovanis V., Gavrielides A., Erneux T. Lang and Kobayashi phase

equation // Physical Review A, -1996, Vol.53, P.4429-4434.

85. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Корюкин И.В. Определение параметров полупроводникового лазера с оптической обратной связью по временным рядам // Письма в ЖТФ, -2005, Т.31, №21, С.79-86

86. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I., Khorev V.S. Recovery of delay time from time series based on the nearest neighbor method // Physics Letters A., -2013, Vol.377, P. 3106-3111.