Методы интервального оценивания характеристик связи между осцилляторами по временным реализациям фаз колебаний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук Сидак Елена Владимировна

• Сидак Елена Владимировна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Сидак Елена Владимировна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ВЫЯВЛЕНИЕ СВЯЗИ МЕЖДУ КОЛЕБАТЕЛЬНЫМИ СИСТЕМАМИ С ОЦЕНКОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЗНАЧИМОСТИ

1.1. Выявление связи по временным рядам фаз с помощью коэффициента фазовой когерентности

1.1.1. Коэффициент фазовой когерентности

1.1.2. Статистические свойства оценки коэффициента фазовой когерентности

1.2. Статистическая значимость выводов о наличии связи на основе оценки коэффициента фазовой когерентности

1.2.1. Оценка статистической значимости на основе построения суррогатных данных

1.2.2. Аналитическая формула для уровня статистической значимости оценки коэффициента фазовой когерентности

1.3. Новый метод выявления связи с аналитической оценкой статистической значимости, основанный на анализе приращений фаз

1.4. Исследование применимости двух методов выявления связи в типичных ситуациях на эталонных системах

1.4.1. Фазовые осцилляторы с «синхронизующей» связью

1.4.2. Фазовые осцилляторы с «не синхронизующей» связью

1.4.3. Проверка степени общности результатов: негауссовы и не белые фазовые шумы

Заключение и выводы к главе

ГЛАВА 2. ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ВРЕМЕНИ ЗАПАЗДЫВАНИЯ СВЯЗИ МЕЖДУ ОСЦИЛЛЯТОРАМИ СО СЛАБО ВОЗМУЩЕННЫМ ПРЕДЕЛЬНЫМ ЦИКЛОМ

2.1. Выявление запаздывающей связи между осцилляторами на основе

моделирования фазовой динамики

2.1.1. Известный метод выявления направленной связи между осцилляторами на основе моделирования фазовой динамики

2.1.2. Выявление запаздывающих связей между осцилляторами

2.2. Интервальная оценка времени запаздывания связи для осцилляторов под действием белого шума

2.2.1. Известная точечная оценка времени запаздывания

2.2.2. Интервальная оценка времени запаздывания

2.2.3. Численный эксперимент

2.3. Интервальная оценка времени запаздывания для осцилляторов под действием шумов с ненулевыми временами корреляции

2.3.1. Особенности случая шумов с ненулевыми временами корреляции и обобщенная оценка времени запаздывания связи

2.3.2. Применение обобщенной оценки времени запаздывания связи для эталонных осцилляторов

2.3.3. Применение интервальной оценки времени запаздывания связи для осцилляторов Ван дер Поля

Заключение и выводы к главе

ГЛАВА 3. ОЦЕНКА ВРЕМЕНИ ЗАПАЗДЫВАНИЯ СВЯЗИ МЕЖДУ ОСЦИЛЛЯТОРАМИ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ СВОЙСТВАХ ФАЗОВОЙ ДИНАМИКИ

3.1. Нелинейные системы с хорошо определенной фазой

3.2. Огрубленные оценки времени запаздывания

3.3. Системы с трудностями при определении фазы

3.3.1. Линейные стохастические осцилляторы

3.3.2. Системы Лоренца

3.4. Приложение к анализу климатических данных

Заключение и выводы к главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

БЛАГОДАРНОСТИ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы интервального оценивания характеристик связи между осцилляторами по временным реализациям фаз колебаний»

ВВЕДЕНИЕ

Исследование динамики ансамблей связанных осцилляторов традиционно находится в центре внимания теории колебаний и радиофизики [1-4]. Известно, что режимы коллективной динамики (условия синхронизации, степень сложности наблюдаемой динамики) во многих ситуациях в большей степени определяются характером связей между осцилляторами, чем их индивидуальными свойствами [5-9] При этом, наряду с «прямой» задачей исследования динамики ансамблей с заданными связями, на практике важна «обратная» задача определения характера связей по наблюдаемому поведению осцилляторов - временным рядам характеризующих переменных [10-12]. Умение успешно решать последнюю задачу важно в фундаментальном плане для исследования сложных колебательных систем при дефиците информации о механизмах их функционирования (например, в климатологии при установлении причин вариаций климата с различными временными масштабами [13-14]) и востребовано при решении ряда прикладных задач (например, в нейрофизиологии для выявления взаимодействия между различными областями головного мозга при эпилепсии и болезни Паркинсона с целью разработки новых диагностических средств [15-19], кардиологии [20-22], коммуникационной технике [23]). Привлекают внимание задачи о выявлении связи между осцилляторами, а также о более детальных ее характеристиках, включая различение однонаправленной и двунаправленной связи и оценку «силы воздействия» в каждом направлении, выявление запаздывания связи и оценку времени запаздывания. Последнее важно, в частности, для оценки времени распространения возмущения в сложной среде (климатической системе [24], эпилептическом мозге и т.п.).

Для решения задачи выявления и количественной характеристики связи

между двумя осцилляторами, рассматриваемой в диссертационной работе,

5

существует ряд подходов: традиционные средства математической статистики и спектрального анализа (взаимная корреляционная функция, функция когерентности и др.); более узко ориентированные методы (оценка «направленных» связей на основе понятия причинности по Грейнджеру [25]); их нелинейные обобщения и новые идеи, развитые в рамках теории колебаний и нелинейной динамики (различные меры синхронизации [26], нелинейные варианты причинности по Грейнджеру [27], теоретико-информационные характеристики условных распределений вероятностей будущих состояний [28]). В последней группе выделяются методы, основанные на анализе фазовой динамики [29-31], который является базовым аппаратом теории колебаний и радиофизики. В последние годы на его основе развиваются и новые подходы, полезные при исследовании синхронизации хаотических систем, оценках направленных связей и т.д. Преимущества этого аппарата связаны с тем, что фаза колебаний - это переменная с высокой чувствительностью к внешним воздействиям на систему [31], а также с тем, что в фазовом приближении удается обойтись моделями малой размерности при сохранении в них существенных свойств исследуемой динамики [32].

В типичной на практике ситуации - относительно коротких (несколько

десятков характерных периодов) и зашумленных временных рядов помимо

получения численных значений характеристик связи (точечных оценок)

важно иметь обоснованные оценки их погрешностей - доверительные

интервалы (интервальные оценки), чтобы отличать надежные выводы о

характере связи от статистических флуктуаций точечных оценок. С точки

зрения математической статистики эти вопросы относятся к разделу

«проверка статистических гипотез». В задаче о выявлении связи проверяемой

«нулевой гипотезой» является предположение о том, что исследуемые

осцилляторы не связаны между собой. По оценкам характеристик связи,

полученным по временному ряду, гипотеза может быть опровергнута, т.е.

сделан вывод о наличии связи. Если вероятность опровержения верной

гипотезы (так называемый «уровень значимости» [34,35]) меньше некоторого

6

наперед заданного малого значения р, то сделанный вывод надежен. Обычно значение р = 0.05 считается достаточно малым на практике. Для проверки применимости метода выявления связи при заданных условиях (свойства систем, длине ряда и т.д.) по ансамблю временных рядов от несвязанных осцилляторов можно оценить вероятность f опровержения верной нулевой гипотезы об отсутствии связи и убедиться, что f не превышает заданного малого р. При ненулевом значении силы связи смысл величины f меняется, т.к. тогда она показывает долю временных реализаций, по которым используемый метод может опровергнуть ложную нулевую гипотезу, т.е. «почувствовать» наличие связи. Поэтому в статистике величину f называют тогда чувствительностью метода. Все аналогично и в задаче об оценке времени запаздывания связи.

Практические требования к методам интервального оценивания

характеристик связи состоят в том, чтобы они были «быстрыми» (с точки

зрения объема вычислений) для возможности анализа больших объемов

данных, а также применимыми (обеспечивали вероятность ошибочных

выводов не более заявленной р и достаточно большую чувствительность

для широкого круга систем. Распространенный в настоящее время подход к

интервальному оцениванию основан на использовании «суррогатных

данных» - сравнении полученных оценок связи с оценками, полученными по

ансамблю искусственно сгенерированных временных рядов, сохраняющих

некоторые свойства наблюдаемых данных (например, спектральный состав

сигналов) и специально обеспечивающих другие (например, нулевую связь).

Различие оценок, полученных по наблюдаемым и суррогатным данным,

позволяет сделать вывод о том, что исследуемые процессы не принадлежат к

такому классу процессов (например, являются связанными). Этот подход не

требует аналитических формул для уровня значимости или доверительного

интервала (которые чаще всего и отсутствуют для широких классов систем),

однако требует большого объема вычислений для каждого временного ряда и,

кроме того, связан с достаточно строгими предположениями о свойствах

7

систем, например, при использовании суррогатных данных с сохранением спектра мощности [36] выдвигается предположение о стационарности и гауссовости. Если эти свойства не выполняются для исследуемых систем, то вывод о наличии связи на основе суррогатного теста может быть ошибочным с вероятностью, значительно большей заявленного уровня р. Есть и немногочисленные методы выявления связи по фазам колебаний с аналитическим выражением для оценки уровня значимости, однако они также ориентированы на достаточно узкие классы систем, например, фазовые осцилляторы без собственной фазовой нелинейности [37,38].

Эти проблемы существенно ограничивают возможности надежного интервального оценивания характеристик связи между осцилляторами с различными свойствами динамики по временным реализациям фаз колебаний и требуют усовершенствования имеющихся и развития новых методов решения таких задач. Этим определяется актуальность темы диссертационной работы.

Цель диссертационной работы состоит в разработке методов, позволяющих на основе анализа фазовой динамики выявлять связь и оценивать время ее запаздывания с аналитической оценкой статистической значимости выводов для колебательных систем с различными свойствами динамики.

Для достижения цели решались следующие основные задачи.

1. Разработка метода обнаружения связи между осцилляторами с аналитической оценкой статистической значимости, применимого для широкого круга колебательных систем.

2. Разработка метода интервального оценивания времени запаздывания связи на основе моделирования наблюдаемой фазовой динамики для осцилляторов, которые представляет собой слабо возмущенные предельные циклы.

3. Разработка метода интервального оценивания времени запаздывания связи на основе моделирования фазовой динамики, применимого для осцилляторов с различными свойствами динамики, включая хаотические режимы нелинейных низкоразмерных систем и ситуации больших амплитудных флуктуаций.

В диссертационной работе проводилось тестирование методов в численных экспериментах на эталонных осцилляторах и их приложение для анализа связей между реальными сложными системами -

крупномасштабными климатическими процессами - по данным инструментальных наблюдений.

Структура и объем работы.

Во введении обосновывается актуальность рассматриваемых в работе проблем, определяются цели и основные задачи исследования, приводится обзор основных подходов, используемых для решения поставленных задач, кратко описывается содержание глав работы, формулируются результаты и положения, выносимые на защиту, раскрывается научная новизна и научно -практическое значение полученных результатов, их достоверность и личный вклад соискателя.

В первой главе рассматривается задача обнаружения связи между двумя колебательными системами по временным рядам фаз их колебаний с аналитической оценкой статистической значимости. Рассмотрены свойства оценки наиболее распространенной характеристики фазовой синхронности -коэффициента фазовой когерентности (КФК) [38], который представляет собой амплитуду первой Фурье-моды распределения разности фаз. В результате проведенного анализа показана недостаточность точечной оценки КФК для надежного выявления связей по относительно коротким временным рядам (длиной не более нескольких десятков характерных периодов колебаний). На примере связанных фазовых осцилляторов исследованы возможности известного подхода к выявлению связи, основанного на оценке

КФК [38] и аналитической формуле для уровня статистической значимости выводов о наличии связи. Показаны условия, при нарушении которых метод дает большую вероятность ошибочных выводов (наличие собственной фазовой нелинейности осцилляторов, короткие временные ряды - длиной менее 30-50 характерных периодов колебаний) или не чувствителен к наличию связи (связь между осцилляторами такова, что рост ее силы не приводит к повышению степени синхронности колебаний; наблюдаемый динамический режим близок к синхронному). Для решения задачи в таких ситуациях разработан дополнительный метод, основанный на расчете коэффициента корреляции приращений фаз (ККПФ), и получена аналитическая формула для оценки уровня значимости вывода о наличии связи, применимая для широкого круга колебательных систем (а именно, систем со стационарными приращениями фаз). В численных экспериментах показаны преимущества предложенного метода в указанных ситуациях.

Во второй главе рассматривается задача выявления запаздывающей

связи и интервальной оценки времени ее запаздывания по временным рядам

фаз. Для решения этой задачи известный метод выявления направленной

связи [39,40], основанный на эмпирическом моделировании наблюдаемой

фазовой динамики, адаптирован для выявления запаздывающих связей.

Предложена интервальная оценка времени запаздывания связи на основе

известной точечной оценки, формализма максимального правдоподобия и

учета корреляционных свойств шума в наблюдаемой фазовой динамике.

Оценка получена в предположении о том, что наблюдаемая фазовая динамика

адекватно описывается уравнением фазовых осцилляторов первого порядка

со случайными внешними воздействиями. Ее применимость показана на

ансамблях временных реализаций связанных фазовых осцилляторов под

действием как белого шума, так и шумов с различными ненулевыми

временами корреляции. Обсуждается эмпирический критерий для

диагностики применимости предложенной интервальной оценки,

основанный на наличии явного минимума на графике зависимости

10

остаточных ошибок модели фазовой динамики от пробного времени запаздывания.

В третьей главе разрабатывается интервальная оценка времени запаздывания связи между осцилляторами для ситуаций, в которых модель фазовой динамики в виде связанных фазовых осцилляторов первого порядка со случайными внешними воздействиями оказывается недостаточной. Это, во-первых, низкоразмерные нелинейные системы в хаотических или сильно возмущенных периодических режимах, когда на фазовую динамику могут существенно влиять амплитудные флуктуации, в свою очередь зависящие от фаз, что реализовано в диссертации на примере систем Ресслера. Во-вторых, это ситуации столь больших амплитудных флуктуаций, что фазы оказываются определенными не вполне корректно из-за действия шума (что реализовано на примере линейных стохастических осцилляторов) или особенностей хаотической динамики (что реализовано на примере систем Лоренца). На указанных примерах продемонстрировано, что в таких ситуациях предложенная в главе второй асимптотическая интервальная оценка времени запаздывания может оказаться неприменимой. Для таких ситуаций предложен диагностический критерий и огрубленная оценка времени запаздывания, эффективность которых проиллюстрирована на перечисленных эталонных системах с различными свойствами динамики. Обе предложенные интервальные оценки времени запаздывания связи применены для оценки связей между крупномасштабными климатическими процессами в продолжение работ [41,42], совместных с ИФА им. А.М. Обухова РАН. А именно, оценивалась связь между процессами Эль-Ниньо -Южное колебание и Северо-Атлантическое колебание. На основе интервального оценивания подтверждено прежнее предположение о наличии запаздывания в воздействии тихоокеанского процесса на атлантический, а прежняя точечная оценка запаздывания снабжена доверительным интервалом, характеризующим ее погрешность.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

На защиту выносятся следующие положения и результаты.

1) Предложенный метод выявления связи между осцилляторами, основанный на расчете коэффициента корреляции приращений фаз, с аналитической оценкой уровня статистической значимости, применим при условии стационарности приращений фаз. По сравнению с известным методом, основанным на оценке коэффициента фазовой когерентности, он оказывается более чувствительным к связям, не повышающим степень синхронности колебаний, и остается применимым при наличии фазовой нелинейности. Из-за отсутствия в предложенном методе оцениваемых параметров осцилляторов на его эффективность и надежность меньше влияет сокращение длины временного ряда и близость режима наблюдаемой динамики к синхронному.

2) Предложенный метод, основанный на моделировании фазовой динамики и асимптотическом формализме максимального правдоподобия, позволяет получать несмещенные точечные оценки времени запаздывания связи между колебательными системами вместе с доверительным интервалом, обеспечивающим вероятность ошибочных выводов о величине запаздывания, меньшую заданной малой величины. Метод применим для систем, фазовая динамика которых описывается уравнениями стохастических фазовых осцилляторов первого порядка, при различных корреляционных свойствах случайных внешних воздействий.

3) Предложенный огрубленный метод интервального оценивания времени запаздывания связи между колебательными системами обеспечивает заданную надежность выводов в ситуациях, когда модель фазовых осцилляторов первого порядка недостаточна из-за значительных амплитудных флуктуаций, вызванных низкоразмерной хаотической динамикой или интенсивными шумами.

Научная новизна результатов работы состоит в следующем.

За счет перехода к рассмотрению приращений фаз вместо разности мгновенных их значений предложен метод выявления связи между колебательными системами по временным рядам с аналитической оценкой уровня значимости, который применим для более широкого круга систем и более коротких рядов по сравнению с прежними методами.

На основе известной точечной оценки времени запаздывания связи между колебательными системами и формализма максимального правдоподобия предложена интервальная оценка (в предположении о том, что динамика систем представляет собой слабо возмущенный внешними шумами и взаимными связями предельный цикл). Это позволяет выявлять запаздывание связи и оценивать время запаздывания с заданной надежностью, что важно при анализе коротких зашумленных сигналов.

Для систем с более сложными свойствами фазовой динамики предложена огрубленная интервальная оценка времени запаздывания связи, гарантирующая заданную малую вероятность ошибочных выводов о величине запаздывания в случаях, когда фазовое приближение при описании динамики оказывается неполным.

Научное и практическое значение результатов работы.

Научное значение полученных результатов состоит в том, что они

показывают принципиальные возможности достоверного выявления связей и

оценки времени ее запаздывания по временным рядам фаз колебаний для

широкого класса колебательных систем и дают конкретные средства для

этого на основе аппарата статистической радиофизики и теории проверки

статистических гипотез. Применение этих методов для анализа связей между

крупномасштабными климатическими процессами Эль-Ниньо - Южное

колебание и Северо-Атлантическое колебание выявило запаздывание

воздействия тихоокеанского процесса на атлантический не менее 8 месяцев.

Это дополняет прежние точечные оценки этой величины (составлявшие

13

около двух лет) [41,42], что представляет интерес для теории климата при описании причинно-следственных связей в климатической системе Земли.

Практическое значение результатов состоит в том, что предложенные методы позволяют получать надежные выводы о связях между колебательными процессами различной физической природы в реалистичных условиях коротких временных рядов (несколько десятков характерных периодов) с минимальным объемом расчетов (за счет полученных аналитических выражений для доверительных интервалов и уровней значимости выводов). Последнее позволяет проводить анализ больших объемов данных за умеренное время, что расширяет круг возможных приложений к решению, в частности, биомедицинских задач, связанных с анализом колебательных процессов.

Достоверность научных выводов обусловлена теоретическим обоснованием разработанных методов оценки связей с позиций теории колебаний и математической статистики, тестированием методов на эталонных системах в численных экспериментах и установлением эмпирических критериев их применимости, согласованием результатов численных расчетов и аналитических выводов, совпадением ряда результатов с результатами других авторов.

Личный вклад соискателя. Участие в разработке теоретической основы методов оценки связей, создание компьютерных программ для реализации всех методов, проведение численных экспериментов и сравнительного анализа известных ранее и вновь предложенных методов, анализ реальных данных.

Апробация работы и публикации.

По теме диссертации опубликовано 30 работ, в том числе 10 статей в журналах, рекомендованных ВАК.

Результаты были представлены и обсуждались на всероссийских

школах «Нелинейные волны» (Нижний Новгород, 2008, 2016); международных школах «Хаотические автоколебания и образование структур» - ХАОС (Саратов, 2007, 2010, 2013); международных конференциях «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 2008), всероссийских школах-семинарах «Волновые явления в неоднородных средах» (Звенигород, 2009); научных конференциях «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015); школах-семинарах «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине» (Саратов, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015); на научных семинарах Саратовского филиала Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, кафедры динамического моделирования и биомедицинской инженерии Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского.

Проведенные исследования были поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований, Фондом содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере, программами РАН и Министерства образования и науки РФ, Российским научным фондом.

ГЛАВА 1. ВЫЯВЛЕНИЕ СВЯЗИ МЕЖДУ КОЛЕБАТЕЛЬНЫМИ СИСТЕМАМИ С ОЦЕНКОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЗНАЧИМОСТИ

Исследование поведения связанных колебательных систем - один из основных разделов радиофизики, теории колебаний и нелинейной динамики. Много работ посвящено изучению синхронизации колебательных систем [2,6-8,43], включая и «обратные задачи» обнаружения и количественной характеристики синхронных режимов по временным рядам [44-46]. Не менее часто возникает на практике и родственная задача - установить с достоверностью наличие связи между осцилляторами, в том числе и сравнительно слабой [37,38]. Умение решать такую задачу часто востребовано на практике в различных приложениях. Например, в нейрофизиологии [47,48] при изучении таких заболеваний, как эпилепсия [47] и болезнь Паркинсона [48], сопровождающихся нарушениями движений. Определенная степень взаимодействия между различными группами нейронов обеспечивает нормальное функционирование мозга [49], но слишком высокий уровень синхронизации сопутствует патологии. Выявление связей между различными группами нейронов по записям их электрической активности может дать дополнительную информацию о локализации очага патологии во время эпилептического припадка или при паркинсоновском треморе. В кардиологии подобная задача возникает, например, при исследовании взаимодействия медленных ритмов регуляции сердечно-сосудистой системы [21]. Оценка степени синхронизованности таких ритмов по временным записям электрокардиограммы и фотоплетизмограммы оказывается полезной при оценке эффективности принимаемых пациентами препаратов, поскольку при правильном лечении степень синхронизации увеличивается. Аналогичные вопросы возникают в науке о климате, где по временным рядам различных климатических

индексов важно уметь достоверно выявлять связи между климатическими процессами различных масштабов [41,42,50].

В данной главе рассматриваются подходы к выявлению связи между двумя колебательными системами на основе анализа фазовой динамики, при этом особенное внимание уделяется оценке статистической значимости выводов о наличии связи. В п.1.1 рассмотрен известный метод, основанный на расчете коэффициента фазовой когерентности (КФК), который представляет собой первую Фурье-моду распределения разности фаз [37,38,45] и широко используется в качестве индекса синхронизации. Приводятся результаты анализа вероятностных свойств оценки КФК, полученной по временным рядам различной (в том числе достаточно малой) длительности. В п.1.2 рассмотрено два подхода к оценке статистической значимости вывода о наличии связи на основе оценки КФК. Первый -широко распространенный подход, основанный на приготовлении суррогатных данных, что требует большого объема вычислений. Второй подход основан на использовании аналитических формул для оценки статистической значимости, которые получены в предположении о том, что фазовая динамика исследуемых систем подчиняется уравнениям фазовых осцилляторов первого порядка с нормальным белым шумом и без собственной фазовой нелинейности. При этом предполагается, что параметры этих осцилляторов могут быть точно оценены по данным наблюдений. Обсуждается вопрос о том, что нарушение этих свойств может вести к ложным выводам о наличии связи. В п.1.3. предлагается дополнительный (альтернативный) метод выявления связи между осцилляторами по временным рядам фаз, который позволяет обойти указанные трудности в широком круге ситуаций. Метод основан на переходе от анализа самих фаз к анализу их приращений и расчету коэффициента корреляции приращений фаз (ККПФ). Получена аналитическая формула для уровня значимости вывода о наличии связи при использовании оценки ККПФ. Применимость предложенного подхода в сопоставлении с известным,

17

основанным на оценке КФК, показана в численных экспериментах с фазовыми осцилляторами в п.1.4., где также обсуждаются условия его применимости для более широкого круга систем и иллюстрируются его эффективность в таких ситуациях.

1.1. Выявление связи по временным рядам фаз с помощью коэффициента фазовой когерентности

1.1.1. Коэффициент фазовой когерентности

Пусть имеется две колебательные системы, информация о динамике которых представлена парой временных реализаций наблюдаемых динамических переменных {хх (tx),..., хх (tN)} и {х2 (tx),..., х2 (tN)}, здесь t; = iAt, At - интервал выборки, N - длина ряда. Будем считать, что фаза этих систем корректно определена, и по временным рядам динамических переменных получены временные ряды фаз колебаний {ф1 (tr),..., ф1 (tN)} и {ф2 (tr ),..,ф2 (tN)}. Пусть осцилляторы связанны таким образом, что увеличение коэффициента связи между ними приводит к фазовой синхронизации, т.е. режиму, характеризующемуся постоянством разности фаз ф (t) - ф2 (t) = const.

Плотность распределения «свернутой» (принимающей значения от 0 до 2 л) мгновенной разности фаз 0(t) = ф (t) -ф2 (t) )шоё2л является дельта-функцией в режиме строгой синхронизации и не столь локализована в других режимах. Для оценки степени синхронности используют подходы, основанные на анализе плотности распределения разности фаз, т.е. на оценке «выраженности» пика в ней. В частности, популярны различные коэффициенты фазовой синхронизации, отражающие стабильность разности фаз колебаний, см. их сравнительный анализ в [51,52]. Наиболее широко распространенным является коэффициент фазовой когерентности, который

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сидак Елена Владимировна, 2016 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Анищенко, В.С. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах / В.С. Анищенко [и др.]; под ред. В.С. Анищенко. -Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. -544 с.

[2] Пиковский, А.С. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление / А.С. Пиковский, М.Г. Розенблюм, Ю. Куртс.-М.: Техносфера, 2003.-496 с.

[3] Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации / В.С. Афраймович [и др.]; под ред. А.В. Гапонова-Грехова, М.И. Рабиновича. -Горький: ИПФ АН СССР, 1989.-254 с.

[4] Ланда, П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы / П.С. Ланда. -М.: Наука, 1980.-360 с.

[5] Tass, P.A. Phase resetting in medicine and biology. Stochastic modelling and data analysis / P.A. Tass.-Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1999.-329 p.

[6] Mosekilde, E. Chaotic synchronization. Applications to Living Systems / E. Mosekilde, Yu Maistrenko., D Postnov. -Singapore: World Scientific, 2002.

[7] Osipov, G.V. Synchronization in oscillatory networks / G.V Osipov, J. Kurths, C. Zhou. -Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2007.

[8] Balanov, A. Synchronization: From simple to complex / A. Balanov, N. Janson, D. Postnov, O. Sosnovtseva. -Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2008.

[9] Матросов, В.В. Динамический хаос в фазовых системах / В.В Матросов, В.Д. Шалфеев. -Нижний Новгород: изд. ННГУ, 2009.

[10] Bezruchko, B.P. Extracting knowledge from time series: An introduction to nonlinear empirical modeling / B.P. Bezruchko, D.A. Smirnov. -Berlin, Heidelberg: Springer, 2010.

[11] Kralemann, B. Reconstructing phase dynamics of oscillator networks / B. Kralemann, M. Rosenblum, A. Pikovsky // Chaos. -2011. -V. 21. -P. 025104.

[12] Levnajic, Z. Network reconstruction from random phase-resetting / Z. Levnajic, A. Pikovsky // Physical Review Letters. -2011. -V. 107. -P. 034101.

[13] Мохов, И.И. Диагностика структуры климатической системы / И.И. Мохов. -Спб.: Гидрометеоиздат, 1993. -271 с.

[14] Мохов, И.И., Смирнов Д.А. Диагностика причинно-следственной связи солнечной активности и глобальной приповерхностной температуры Земли / И.И. Мохов, Д.А. Смирнов // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. -2008. -Т. 44. -С. 283-293.

[15] Pereda, E. Nonlinear multivariate analysis of neurophysiological signals / E. Pereda, R. Quian Quiroga, J. Bhattacharya // Progr. Neurobiol. -2005. -V. 77. -P. 1-37.

[16] Безручко, Б.П. Моделирование и диагностика взаимодействия нелинейных колебательных систем по хаотическим временным рядам (приложения в нейрофизиологии) / Б.П. Безручко [и др.] // Успехи физических наук. -2008. -Т. 178. -№ 3. -С. 323-329.

[17] Короновский, А.А. Вейвлеты в нейродинамике и нейрофизиологии / А.А. Короновский [и др.]. -М.: Физматлит, 2013. -271 с.

[18] Smirnov, D.A. The generation of parkinsonian tremor as revealed by directional coupling analysis / D.A. Smirnov [et al.] // Europhysics Letters. -2008. -V. 83. -P. 20003.

[19] Tass, P. The causal relationship between subcortical local field potential oscillations and parkinsonian resting tremor / P. Tass. [et al.] // J. Neural Engineering. -2010. -V. 7. -P. 016009

[20] Rosenblum, M.G. Identification of coupling direction: Application to cardiorespiratory interaction / M.G. Rosenblum, L. Cimponeriu, A. Bezerianos, A. Patzak, R. Mrowka // Physical Review E. -2002. -V. 65. -P. 041909.

[21] Karavaev, A.S. Synchronization of low-frequency oscillations in the human cardiovascular system / A.S. Karavaev [et al.] // -Chaos. -2009. -V. 19. -P. 033112.

[22] Suprunenko, Y.F. Chronotaxic systems: a new class of self-sustained nonautonomous oscillators / Y.F. Suprunenko, P.T. Clemson, A. Stefanovska // Physical Review Letters. -2013. -V. 111. -P. 024101.

[23] Hung, Y.-C. Chaotic communication via temporal transfer entropy/ Y.-

C. Hung, C.-K. Hu // Physical Review Letters. -2008. -V. 101. -P. 244102.

[24] Runge, J. Escaping the curse of dimensionality in estimating multivariate transfer entropy / J. Runge [et al.] // Physical Review Letters. -2012. -V. 108. -P. 258701.

[25] Granger, C.W.J. Investigating causal relations by econometric models and cross-spectral methods / C.W.J. Grange // Econometrica. -1969. -V. 37. -P. 424438.

[26] Kreuz, T. Measuring synchronization in coupled model systems: a comparison of different approaches / T. Kreuz [et al.] // Physica D. -2007. -V. 225. -P. 29-42.

[27] Marinazzo, D. Kernel method for nonlinear granger causality /

D. Marinazzo, M. Pellicoro, S. Stramaglia // Physical Review Letters. -2008. -V. 100. -P. 144103.

[28] Hlavackova-Schindler, K. Causality detection based on information-theoretic approaches in time series analysis / K. Hlavackova-Schindler // Physics Reports. 2007. -V. 441. -P. 1-46.

[29] Brea, J. Measuring direction in the coupling of biological oscillators: a case study for electroreceptors of paddlefish / J. Brea, D.F. Russell, A.B. Neiman // Chaos. -2006. -V. 16. -P. 026111.

[30] Kralemann, B. Uncovering interaction of coupled oscillators from data / B. Kralemann [et al.] // Physical Review E. -2007. -V. 76. -P. 055201.

[31] Smirnov, D.A. Detection of coupling in ensembles of stochastic oscillators / D.A. Smirnov, B.P. Bezruchko // Physical Review E. -2009. -V 79. -P. 046204.

[32] Малахов, А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах / А.Н. Малахов. -М.: Наука, 1968.

[33] Kuramoto, Y. Chemical oscillations. waves and turbulence / Y. Kuramoto. -Berlin: Springer-Verlag, 1984.

[34] Боровков, А.А. Математическая статистика / А.А. Боровков. -М.: Физматлит, 2007. -703 c.

[35] Lehmann, E. Testing statistical hypothesis / E. Lehmann. -Berlin: Springer, 1986.

[36] Schreiber, T. Improved surrogate data for nonlinearity tests / T. Schreiber, A. Schmitz // Phys. Rev. Lett. -1996. -V. 77. -P. 635.

[37] Allefeld, C. Testing for phase synchronization / C. Allefeld, J. Kurths // Int. J. Bif. -Chaos. -2004. -V. 14. -P. 405;

[38] Schelter, B. Testing for phase synchronization / B. Schelter [et al.] // Phys. Lett. A. -2007. -V. 366. -P. 382.

[39] Rosenblum, M.G. Detecting direction of coupling in interacting oscillators / M.G. Rosenblum, A.S. Pikovsky // Phys. Rev. E. -2001. -V. 64. -P. 045202(R).

[40] Smirnov, D.A. Estimation of interaction strength and direction from short and noisy time series / D.A. Smirnov, B.P. Bezruchko // Phys. Rev. E. -2003. -V. 68. -P. 046209.

[41] Mokhov, I.I. El Nino Southern Oscillation drives North Atlantic Oscillation as revealed with nonlinear techniques from climatic indices / I.I. Mokhov, D.A. Smirnov // Geophys. Res. Lett. -2006. -V. 33. -L03708.

[42] Мохов, И.И. Исследование взаимного влияния процессов Эль-Ниньо -Южное колебание и Северо-Атлантического и Арктического колебаний / И.И. Мохов, Д.А. Смирнов // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. -2006. -Т. 42. -№5. -С. 650-667.

[43] Анищенко, В.С. Статистические свойства динамического хаоса / В.С. Анищенко [и др.] // Успехи физических наук. -2005. -Т. 175. -С. 163.

[44] Anishchenko, V.S. Nonlinear dynamics of chaotic and stochastic systems / V.S. Anishchenko. -Berlin: Springer-Verlag, 2002.

[45] Mormann, F. Mean phase coherence as a measure for phase synchronization and its application to the EEG of epilepsy patients / F. Mormann [et al.] // Physica D. -2000. -V. 144. -№ 3-4. -P. 358-369.

[46] Rosenblum, M.G. Phase synchronization: from theory to data analysis / M.G. Rosenblum [et al.] // Neuro-informatics. Handbook of Biological Physics. -2000. -V. 4. -P. 279.

[47] Kraskov, A. / Kraskov, A. [et al.] // Epilepsia. -2002. -V. 43. -P. 48.

[48] Kiemel, T. Estimation of coupling strength in regenerated lamprey spinal cords based on a stochastic phase mode / T. Kiemel, A.H. Cohen // J. Comput. Neurosci. -1998. -V. 5. -P. 267-284.

[49] Kazantsev, V.B. Olivo-cerebellar clusterbased universal control system / Kazantsev, V.B. [et al.] // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. -2003. -V. 100. -№ 22. -P. 13064.

[50] Barnston, A.G. Classification, seasonality and persistence of low frequency atmopheric circulation patterns / A.G. Barnston, R.E. Livezey // Mon. Wea. Rev. -1987. -V. 115. -P. 1083.

[51] Kraskov, A. Synchronization and interdependence measures and their applications to the electroencephalogram of epilepsy patients and clustering of data. Dissertation (PhD thesis). / A. Kraskov. -Research Centre Julich, John von Neumann Institute for Computing, 2004. NIC Series. -V. 24. -90 p. http://www.fz-juelich.de/nic-series/volume24/nic-series-band24.pdf.

[52] Mormann, F. Measuring synchronization in coupled model systems: A comparison of different approaches / Mormann, F. [et al.] // Physica D. -2007. -V. 225. -P. 29.

[53] Romano, M.C. Synchronization analysis and recurrence in complex systems. Handbook of time series analysis. / M.C. Romano [et al.], Eds B. Chelter, M. Wunterhalder, J. Timmer. -Weinheim: Wiley-VCH Verlag, 2006.

[54] Dolan, K.T. Surrogate for nonlinear time series analysis / K.T. Dolan, M.L. Spano // Phys. Rev. E. -2001. -V. 64. -P. 046128.

[55] Бокс, Дж. Анализ временных рядов. Прогноз и управление / Дж. Бокс, Г. Дженкинс. -М: Мир, 1974. -406 с.

[56] Kantz, H. Nonlinear time series analysis / H. Kantz, T. Schreiber. -Cambridge: Cambridge University Press, 1997.

[57] Малинецкий, Г.Г. Современные проблемы нелинейной динамики / Г.Г. Малинецкий, А.Б. Потапов. -М.: Эдиториал УРСС, 2000. -336 c.

[58] Loskutov, E.M. Markov chain Monte Carlo method in Bayesian reconstruction of dynamical systems from noisy chaotic time series / E.M. Loskutov [et al.] // Phys. Rev. E. -2008. -V. 77. -P. 066214.

[59] Molkov, Y.I. Prognosis of qualitative system behavior by noisy, nonstationary, chaotic time series / Y.I. Molkov [et al.] // Phys. Rev. E. -2011. -V. 84. -P. 036215.

[60] Siegert, S. Analysis of data sets of stochastic systems / S. Siegert, R. Friedrich, J. Peinke // Phys. Lett. A. -1998. -V. 243. -P. 275-280.

[61] Siefert, M. On a quantitative method to analyze dynamical and measurement noise / Siefert, M. [et al.] // Europhys. Lett. -2003. -V. 61. -P. 466-472.

[62] Mukhin, D. N. Modified Bayesian approach for the reconstruction of dynamical systems from time series / Mukhin, D. N. [et al.] // Phys. Rev. E. -2006. -V. 73. -P.036211.

[63] Molkov, Ya.A. Random dynamical models from time series / Molkov, Ya.A. [et al.] // Phys. Rev. E. -2012. -V. 85. -P. 036216.

[64] Cimponeriu, L. Estimation of delay in coupling from time series / L. Cimponeriu, M. Rosenblum, A. Pikovsky // Phys. Rev. E. -2004. -V. 70. -P. 046213.

[65] Pikovsky, A.S., Rosenblum M.G., Kurths J. Phase synchronization in regular and chaotic systems / A.S. Pikovsky, M.G. Rosenblum, J. Kurths // Int. J. Bifurc. Chaos. -2000. -V. 10. -P. 2291-2305.

[66] Climate Change 2001: The Scientific Basis. Intergovernmental Panel on Climate Change. Edited by J.T. Houghton. [et al.] / Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2001. -881 pp.

[67] Lachaux, J.P. Studying single-trials of phase synchronous activity in the brain / Lachaux, J.P. [et al.] // Int. J. Bif. Chaos. -2000. -V. 10. -P. 2429-2455.

[68] Hramov, A.Ye. An approach to chaotic synchronization / A.Ye. Hramov., A.A. Koronovskii // Chaos. -2004. -V. 14. -P. 603-610.

[69] Torrence, C. A practical guide to wavelet analysis / C. Torrence, G.P. Compo // Bull. Am. Meteorol. Soc. -1998. -V. 79. -P.61-78.

[70] Короновский, А.А. Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения / А.А. Короновский, Храмов А.Е. -Москва: Физматлит, 2003. -176 с.