Оптимизация с ограничениями по прочности и аэроупругости при проектировании стреловидных крыльев тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Коандэ, Илья Иванович

• Коандэ, Илья Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Коандэ, Илья Иванович

ВВЕДЕНИЕ.

РАЗДЕЛ I. ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛОВОГО МАТЕРИАЛА В СТРЕЛОВИДНОМ КРЫЛЕ ПРИ ОБЕСПЕЧЕНИИ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ И ПРОЧНОСТИ

1.1 Стреловидное крыло минимальной массы при ограничении по прочности.

1.2 Минимизация массы стреловидного крыла при ограничении по несущей способности.

1.3 Применение метода возмущений для отыскания оптимальных распределений силового материала в стреловидных крыльях.

1.4 Оптимальное проектирование стреловидного крыла при совместных ограничениях по прочности и несущей способности.??.

РАЗДЕЛ 2. ОПТИМИЗАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЕЕСТКОСТЕЙ ПРИ

ПРОЕКТИРОВАНИИ КРЫЛЬЕВ С ПОДКОСАМИ С СКОЛЬЗЯЩИХ КРЫЛЬЕВ

2.5 Распределение силового материала в стреловидном крыле с подкосом.

2.6 Проектирование скользящего крыла минимальной массы при ограничении на потерю несущей способности.

РАЗДЕЛ 3, МАКСИМИЗАЦИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ЧАСТОТЫ

СВОБОДНЫХ ИЗГИБНЫХ И КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ БАЛОК ПРИ ПОСТОЯННОЙ МАССЕ

3.7 Об одной задаче оптимального проектирования колеблющихся балок.

3.8. Крыло с максимальной собственной частотой основного тона совместных изгибно-крутильных колебаний.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимизация с ограничениями по прочности и аэроупругости при проектировании стреловидных крыльев»

Оптимизация конструкций является интенсивно развивашцеп-/,СЯ: .областью механики деформированного твердого тела. Обьем работ по проектированию конструкций и, в частности, по оптимальному проектированию авиационных конструкций увеличивается с каждым годом. В то же время непрерывно возникающие новые требования, предъявляемые к конструкциям летательных аппаратов, обуславливают острую необходимость разработок и исследований в целом ряде новых областей оптимального проектирования. Стремительный рост скоростей в авиации с одновременным ростом требований к надежности и экономичности летательных аппаратов привел к качественно новым проблемам проектирования по сравнению с прежними даже десятилетней давности. Указанные обстоятельства привели при оптимальном проектировании элементов конструкций летательных аппаратов к необходимости учитывать наряду со статическими ограничениями по прочности, жесткости, несущей способности и такие факторы,как динамические и тепловые воздействия.

Повидимому одним из первых исследований в области оптимизации авиационных конструкций, выполненым с применением теории оптимального управления системами с распределенными параметрами была работа X. Эшли и С. Макинтоша [Ьд] . В этой работе, а также в работах X. Эшли, С. Ма.кинтоша и В. Витте (^54 , 833 формулировались задачи минимизации массы прямых крыльев большого удлинения при ограничениях по скорости крутильной дивергенции и минимизации веса панели,обтекаемой газом, при ограничении по скорости изгибной дивергенции. В непрерывной постановке были исследованы некоторые свойства оптимальных решений, в частности, для задачи о крутильной дивергенции, было найдено оптимальное распределение жесткости обшивки по размаху крыла. Задача минимизации массы крыльев большого удлинения при ограничении по скорости крутильной дивергенции рассматривалась в работе Ж. Арманда, и В. Витте [49 D при дополнительных ограничениях на минимальное значение жесткости ( толщины обшивки ) . В работе Н.В. Баничука[т] рассмотрено обобщение задачи минимизации массы крыла с ограничением по критической скорости дивергенции на случай упругой заделки и переменных параметров. Получено оптимальное решение задачи и с его помощью изучено влияние упругой заделки и переменности сечения крыла на оптимальное распределение жесткости по размаху. Задача минимизации массы панели,обтекаемой газом, при ограничении по скорости изгибной дивергенции ( дивергенции вдоль хорды крыла ) , была сформулирована X. Эшли и С. Макинтошем в приближении поршневой теории. Н.В.Баничуком и А.А. Мироновым рассматривалась аналогичная задача С8*3 с использованием точной гидродинамической схемы обтекания и при учете возникновения за искривленной панелыо бесконечной каверны. Применение развитого аппарата теории функции комплексного переменного и вариационного исчисления позволило найти оптимальное распределение жесткости по панели ( вдоль хорды крыла ) . Точное решение задачи об оптимальном распределении жесткости ( силового материала ) по панели шарнирно закрепленной вдоль краев и безотрывно обтекаемой идеальной жидкостью ( каверна отсутствует ) было найдено А.А.Мироновым. Полученное решение приведено в монографии £9"] . Использованные в этой задаче и в статье [в] методы решения внешней задачи и сведение к интегро-дифференциальным уравнениям были развиты Н.З.Баничуком и А.А.Мироновым в ра.ботах [10 - 12] по оптимально^ проектированию пластинок,колеблющихся в идеальной жидкости. Отметим также работу А.П.Сейраняна [39] , в которой была выявлена неточность в построении оптимального решения задачи об изгибной дивергенции приведенной в [54] .В качестве упругой модели применялась балочная схема крыла, а для подсчета аэродинамических сил - теория несущей полосы. Такие задачи. возникают при проектировании летательных аппаратов с крыльями изменяемой геометрии ( "скользящие", поворотные крылья ), имеющими на разных режимах полета различные углы стреловидности. В работе [17] В.И.Бирюком рассмотрена задача оптимального распределения силового материала по размаху крыла в системе свободного самолета в идеализированной балочной постановке. В качестве критерия оптимальности использовался функционал массы, а требования прочности и аэроупругости выступают в качестве ограничений. Автором в [,173 приводится решение в случае учета только одного ограничения по прочности, в случае учета ограниI

У ^ чения по прочности и тлатеру и в случае учета всех трех совместных ограничений. На основе анализа полученных в [" 17] результатов делается вывод о том, что огибающая решений,полученных из условия удовлетворения каждому критерию в отдельности, в данном случае не приводит к решению задачи в целом. Метода оптимизации, применяющиеся при оптимальном проектировании и расчетах на прочность элементов авиационных конструкций приведены в книге В.И.Бирюка, Е.К.Липина, В.М.Фролова [l8l . В этой работе авторами приводятся также общие принципы оптимизации и параметрические зависимости для весовых характеристик. Рассматриваются методы выбора конструктивно - силовой схемы, рационального проектирования, оптимизации силовых конструкций, моделируемых балкой и пластиной. Излагаются методы проектирования сложных конструкций с использованием принципа минимума энергии деформации и максимальной жесткости с учетом требований прочности и общей потери устойчивости. Вопросам нахождения оптимального распределения силового материала в конструкции крыльев посвящена монография И.С.Голубева [25^ , в которой в общем виде излагаются основы теории, включающие в себя обоснования требований к конструкций, выбор критерия качества, формулировку задачи оптимизации, а также и идею ее решения. На базе общепринятых аэродинамических теорий рассмотрены некоторые схемы определения аэродинамических характеристик несущих поверхностей и с их применением обсуждаются оптимизационные задачи для крыльев большого и малого удлинения. В книге [ 91 обсуждаются вопросы оптимального проектирования пластин, оптимизации анизотропных свойств упругих тел, оптимального проектирования при неполной информации, многоцелевой оптимизации. Излагаются также основные элементы постановок задач оптимального проектирования ( выбор модели, функций состояния и управляющих переменных, задание ограничений ) , указываются функционалы,характеризующие поредение упругих тел, обсуждаются вопроси применения вариационных принципов при постановках и решении задач оптимизации. В этой монографии исследованы и некоторые простые задачи оптимального проектирования одномерных элементов конструкций ( балки, колонны, криволинейные стержни, стержневые системы ), решение которых помогают выделить существенные ограничения, изучить их, изучить качественные особенности оптимальных форм и внутренней структуры конструкции и, что немаловажно, получить тесты, необходимые для проверки вычислительных алгоритмов и приближенных методов для двумерных задач. Методы оптимизации конструкций, основанные на дискретной постановке задач и нелинейном програмировании, излагаются в монографии [33] . Отметим описанную в этой монографии методику построения дискретных равнопрочных решений. Методы проектирования конструкций с ограничениями на напряжения разрабатывались Р. Дже-латли и JI. Берке [60 , 61] , В.Дваером, Р.Имертоном, Д.Од-жал во [ 59] , Р. Разани [76] , В.Дваером, Д.Розенбаумом, М.Шул-маном, Х.Пардо L58] . 3 [62] рассмотрены задачи минимизации массы крыльев при ограничениях на напряжения, смещения, скорость флатера и допустимые размеры. Оптимизация по жесткости силовой конструкции крыла посвящена работа В.М.Фролова и Г.В. Украинцева [43] . Цель этой работы - получить конструкции, обладающие наибольшей изгибной жесткостью, варьированием относительной толщины крыла и функцией распределения толщин силового материала при условии постоянства массы и удовлетворения некоторым аэродинамическим ограничениям. Задача оптимизации заключается в получении максимальной жесткости крыла путем рационального выбора закона распределения по размаху относительной толщины профиля крыла и приведенной толщины.

В число основных ограничений, которые следует учитывать при проектировании, входят требования на эффективность органов управления. Учет влияния соответствующих ограничений на оптимальное распределение силового материала в прямых крыльях большого удлинения рассмотрен Ю.Ф.Яремчуком ["4Б] и А.П.Сейраняном в работах [40 ,4jG ., Ю.Ф.Яремчуком разработан прямой метод выбора оптимальных жесткосных характеристик крыла при обеспечении требуемой эффективности органов управления. В работе [40J рассмотрена задача о крыле минимальной массы при ограничении по скорости, при которой реализуется заданное значение упругой эффективности элерона. Наилучшие распределения жесткостей в крыле минимальной массы получено с применением метода возмещений. В статье [41] изучены вопросы минимальной массы прямых крыльев летательных аппаратов при совместных ограничениях, наложенных на критические скорости реверса элерона и дивергенции. Отдельно рассмотрены случаи, когда ограничение по дивергенции или по реверсу становятся определяющими каждое в отдельности. Полученные А.П.Сейраняном в [41] результаты показывают, что варьированием толщин обшивки и других параметров конструкции при заданных ограничениях можно снизить массу в несколько раз. Максимизации эффективности элерона для стреловидного крыла большого удлинения посвящена работа В.И.Бирюка, А.В.Шаранюка и Ю.Ф.Яремчука [19] . Решение оптимизационной задачи получено при ограничениях снизу на управляющие параметры. Вопросы минимизации массы крыльев большого удлинения из армированных изотропных композиционных материалов при ограничениях по критическим скоростям дивергенции и реверса элерона рассмотрена Н.В.Баничуком и С.Ю.Ивановой Lis] . Найдены оптимальные распределения концентрации армирующих включений по размаху крыльев и оценены выигрыши по массе., полученных за счет оптимизации. Задача оптимизации массы крыла при ограницениях по прочности и частотам колебаний рассмотрены в работе В.Рао, Н.Янга, С.Рао [75] . В статье [.28] предложен метод оптимального проектирования конструкций, в которых предельное состояние силовых элементов определяются как требованиями прочности, так и требованиями устойчивости.

В отмеченных выше работах, за исключением нескольких, исследовались задачи оптимизации упругих элементов конструкций без учета влияния изменения формы на распределение инерционных характеристик. Динамические задачи оптимального проектирования были впервые рассмотрены М.Б.Крейном [34] , Ф.Киордсоном [бб]. В [34] решались задачи отыскания распределения погонной массы по струне, оптимизирующих частоты ее собственных колебаний. В работе 1бб] автором исследовались задачи распределения толщин балки, доставляющие максимум основной частоте поперечных колебаний. В этих задачах изменение частот при варьировании формы балки обусловлено как изменением инерционных свойств так и вариацией жесткосных характеристик. Впоследствии динамические задачи оптимального проектирования упругих элементов конструкций рассматривались в работах ряда авторов. Тэрнером в работе [82] приводится аналитическое решение задачи минимизациимасг сы стержня при заданной основной собственной частоты продольных; колебаний. На этом простом примере илюстрируется последовательность этапов применения классической теории вариационо ного исчисления,при помощи кторой выводятся необходимые условия стационарности искомого функционала и из которого аналитически находится оптимальное решение. Далее приводится пример решения оптимизационной задачи для более сложной конструкции, в расчетной схеме которой, предполагается конечное число элементов ( дискретизация ) и формулировка задачи осуществляется в матричной форме. Практически одновременно с выходом работы Тэрнера Тэйлор [80] предложил другой подход к решению этой же задачи об оптимальном распределении силового материала вдоль упругого стержня. В этой работе [80*3 приводится решение двойственной задачи: найти распределение массы вдоль стержня, для которого основная собственная частота имеет максимум при условии постоянства массы ( изопериметрическая зак дача ) . Ж.Арманд в работе Сэ2] расмотрел задачу проецирования свободно опертой пластинки минимальной массы, работающей на сдвиг и имеющей заданную величину собственной частоты, в предположении о наличии "конструктивной" массы. С применением общего критерия оптимального проектирования, сформулированного Прагером [73J , выведено уравнение для оптимального распределения перемещений, получено его единственное решение в замкнутой форме для пластинки произвольной формы, приведены результаты для квадратной, прямоугольной и круглой пластинок. Н.В. Бани чу 1-е ом и А.Аляироновым в tiol исследуется задача оптимизации частот упругой пластинки, совершающей колебания в идеальной жидкости. Авторами в [ 10] выводится интегро-дифференциальное уравнение, описывающее одномерные колебания пластинки, приводится постановка и исследование задачи оптимизации, излагается также численный алгоритм, с применением которого получены результаты. В работе [121 этих же авторов исследуется задача оптимизации для пластин, колеблющихся в безграничной массе идеальной жидкости ( отыскивается распределение толщин, для которого реализуется максимум фундаментальной частоты колебаний при фиксированном весе пластин ). В [12] исследуется и приводится аналитическое решение задачи оптимизации для тонких трехслойных панелей и показывается, что для этого случая необходимое условие является и достаточным. В этой же статье исследуется и ассимтотическое поведение распределений прогибов и толщин у краев оптимальной пластинки ( с,ссимтотику для оптимальных пластин, колеблющихся в вакууме,привел Ольхофф [бО]) . Им же в Г69] рассматривается задача максимизации значения высшей собственной частоты заданного номера поперечно колеблющиеся балки с геометрическими подобными поперечными сечениями при заданном обьеме и длине. С применением вариационного исчисления получены определяющие уравнения и решены численно для небольших значений номера собственной частоты ( для больших значений приводится простой метод получения оптимальных решений при помощи оптимальных масштабных балочных элементов ) . Автором в [69] приводится оптимальное решение для балок с любыми комбинациями свободных, свободно опертых и защемленных концов при любом заданном значении номера высшего собственного значения. Следует отметить, что полученные оптимальные решения обеспечивают оптимальные промежутки между двумя последовательными частотами. Продолжением и расширением работы £бЭ1 является статья £701 , в которой автором рассматриваются те же балки, с теми же функционалами качества, но.при этом учитываются дополнительные ограничения на минимальное значение поперечного сечения. При исследовании чувствительности оптимального собственного значения по отношению к геометрическим изменением формы для ряда полученных оптимальных решений обнаружено, что умеренные изменения больших поперечных сечений незначительно влияют на оптимальное значение функционала, однако малые изменения параметра, характеризующего ограничение снизу,приводит к существенным изменениям оптимальной собственной частоты. Исследованию поведения оптимальных решений в случае, когда нет предписанных заранее ограничений на минимум площадки поперечного сечения или максимум напряжения в конструкции, посвящена работа Н.Ольхоффа и Ф.Н.Ниордсона t7l"3 . Задачи нахождения стержней минимального обьема, у которых одна или несколько собственных частот продольных, крутильных или изгибных колебаний принимают фиксированные значения, рассматриваются В.Б. Гриневым и А.П.Филипповым в книге [231 . Функция задающая закон изменения поперечных сечений вдоль стержня,выступает в качестве управляющей, причем варьирование допускается в заданных пределах ( ограничена"сверху"и "снизу" ) . Оптимизация рассматривается как вариационная задача на условный экстремум, а необходимые условия оптимальности формулируются с помощью принципа Понтрягина С38] . Авторами в Г23] подчеркивается совпадение необходимых условий оптимальности для задачи максимизации некоторого функционала при фиксированном собственном значении и задач достижения экстремума собственного значения при условии постоянства этого же функционала, например, функционал массы. В книге затрагивается также вопрос управления спектрами частот связанных изгибно - крутильных колебаний. Следует отметить, что материал этой монографии L233 тесно связан с предыдущей работой этих же авторов [24] . Вопросы оптимальных процессов, соответствующим экстремальным значениям различных характеристик колебательных систем с конечным числом степеней свободы и системы с распределенными параметрами посвящена книга В.А.Троицкого С 42] . На основе известных приемах вариационного исчисления описываются методы оптимизации и с их применением изучаются оптимальные процессы в конкретных колебательных системах. Рассматриваются также задачи минимизации массы стержней при продольных и поперечных колебаниях. Задачи оптимизации собственных частот упругих тел при заданной массе рассматриваются также в книге З.А.Троицкого и Л.В.Петухова СЗб] . При решении задач оптимизации преимущественно используются аналитические приемы, которые основываются на результатах классической теории вариационного исчисления. В ЕЗб] приводятся многочисленные задачи оптимизации собственных частот колебаний, при решении которых поперечные сечения стержней или толщины пластин предполагались ограниченными.

Исследования в области оптимизации конструкций особенно интенсифицировались в конце шестидесятых годов - в начале восьмидесятых. Доказательством этого служит относительно частые появления новых обзоров - Васютинского и Брандта [85] в 1963г., Чжу и Прагера Г78] , Прагера Г74] в 1971г., Ниордсона и Педерсена Гб7] в 1973г., Розваны и Мруза, Г773 в 1977г. и Венкайи [841 в 1978г. Опубликованный ряд монографий ГЗб] ,[42], С37] , [24^ , С35] , \9] по этому вопросу доказывает прогресс, достигнутый до нашего времени и важность исследований в данной области. Достаточно обширная информация о состоянии исследований по этой тематике содержится в обзорах Г673 , [78"] , L^J а также в работе [15] .

Анализ статической жесткости, прочности, аэроупругости и других характеристик основан на представлении сложной конструкции в виде системы относительно простых элементов ( балки, пластины, оболочки и др. ). Например, самолет может рассматриваться как система перекрестных балок и оболочек, моделирующих изгибные и крутильные деформации элементов силовой конструкции ( крыльев, фюзеляжа, оперения ). При этом нагрузки,действующие на самолет»вычисляются в зависимости от режима полета и реали-: зующейся схемы обтекания конструкции по соответствующей аэродинамической теории. Расчет конструкции при фиксированной геометрии и распределении силового материала'сводится к численному интегрированию связанной системы дифференциальных уравнений и проверке выполнения ограничений по прочности, жесткости, устойчивости и другим характеристикам. Интегрируемая система обычно обладает высокой размерностью и содержит большое число параметров. Однако, при помощи современных вычислительных средств- эти расчеты проводятся достаточно эффективно.

По сравнению с прямым расчетом конструкции задача оптимального проектирования и отыскания наилучшего распределения силового материала ( жесткости ) , обеспечивающего минимум массы или экстремум некоторого другого показателя качества, связана с оценкой большого числа вариантов и оказывается значительно более сложной, наталкивается на серьезные математические трудности. Так, в ряде случаев, оптимальное проектирование сводится к решению вариационных задач с неизвестными границами и игровых задач оптимизации, для которых отсутствуют регулярные методы их исследования. Известные трудности связаны также с тем, что задачи оптимизации упругих тел относятся к числу нелинейных задач механики ( нелинейность обуславливается нелинейностью условий оптимальности ) . Приблизительно до середины 60-х годов исследования в области оптимизации конструкций концентрировались вокруг небольшого числа одномерных задач. Это связано с тем, что не было достаточно развитых математических методов оптимизации ( методов вариационного исчисления, теории оптимальных процессов, нелинейного програмирования и др. ) . Проведение же достаточно широких и общих исследований в области оптимизации конструкций стало возможным лишь в последующий период в связи с применением при оптимизации мощной электронно-вычислительной техники. Существуют различные подходы к решению задач оптимального проектирования.

Дискретный подход к решению задач, используемый на практике, связан с переходом к дискретной ( матричной ) модели описания конструкции, со сведением исходной задачи оптимизации к многомерной проблеме нелинейного программирования и с применением для расчетов развитых методов нелинейного програмирования. Положительная сторона этого подхода заключается в том, что имеется возможность достаточно хорошо моделировать сложные конструкции и потом оптимизировать. Слабость же метода выражается в том, что оптимизация проводится уже после того, как была сделана дискретизация, поэтому невозможно узнать, насколько найденный дискретный оптимум близок к истинному, Более того, в некоторых исключительных случаях этот вопрос вообще не имеет смысла, то есть на этом пути нельзя достичь оптимума при заданной точности. Широкое применение дискретного подхода при решении задач проилюстрировано в работах Г?5] ,187] , [88] , [бб] .

Несмотря на большую популярность указанного выше подхода, в настоящее время довольно интенсивно развивается направление основанное на классическом вариационном исчислении, восходящем к Эйлеру и Лагранжу. Среди первых работ с применением вариационных принципов отметим работы Тэрнера С82] }( классическая задача о стержне ) , Ниордсона £бб] ( задача оптимизации балки при заданной первой частоты колебаний ) , Ольхоффа [72] ( задача оптимального проектирования колеблющиеся круглой пластинки ) и другие. Рамки этого подхода были позднее расширены при помощи методов теории оптимального управления, которая является развитием классического вариационного исчисления. Эти методы существенно основываются на получении оптимальных решений для элементов конструкций при непрерывной постановки задачи и преимущественном использовании методов теории оптимального управления для конструкций с распределенными параметрами. Важной характеристикой этого направления является то, что получение необходимых условий оптимальности не связано с предварительной дискретизацией исходной системы. Отметим, что применение развитой теории оптимального управления к задачам двумерных конструкций приводит к системам уравнений в частных производных, для которых аналитические решения или найти невозможно, или же требуются для этого большие усилия, а численные решения находятся с большими затратами времени. Даже для простых конструкций, например, для трехслойной пластинки, при очень простом ограничении ( заданной основной частоте ) необходимые условия выражаются в виде уравнений в частных производных первого порядка ( см. [51] ) . В некоторых случаях, при внимательном рассмотрении, удается уменьшить число неизвестных и уравнений и даже найти аналитические решения, а в других случаях ( большинство ) решение находится численно. Одноко, следует заметить, что число задач, решенных аналитически,невелико.

Развитие методов оптимизации с применением вариационных принципов и теории оптимального управления к проектированию сложной конструкции с учетом большого числа ограничений невозможно без применения методов декомпозиции, без расчленения общей задачи на подзадачи для отдельных частей конструкции. Без исследования отдельных модельных задач не удается оценить влияние различных определяющих параметров на оптимальное решение. Поэтому представляется целесообразным получение решений для основных элементов конструкций при небольшом числе ограничений и разработка методов синтеза конструкций из оптимальных элементов. При проектировании оптимальных элементов или агрегированных частей конструкций оказываются особенно эффективными и находят широкое применение современные алгоритмы с использованием соотношений полученных при непрерывной постановке задачи. Это позволяет более детально провести анализ чувствительности для проектов с распределенными параметрами, изучить качественные закономерности в формировании оптимального облика конструкции, кроме того, такой подход дает возможность более строго исследовать оптимальное решение.

Работы , выполненные как в рамках дискретного подхода, основанного на нелинейном программировании, так и в рамках: континуального, базирующегося на теорию оптимального управления системами с распределенными параметрами, показали целесообразность выделения основных блоков в общем алгоритме решения задачи оптимизации. Блок решения прямой задачи расчета функций состояния, описывающих напряженно-деформированное состояние конструкции при заданных управляющих параметрах, и блок оптимизации, в котором на основе текущей информации о функциях состояния, методами математического програмировзния ( дискретный подход ) или методами оптимального управления системами с распределенными параметрами ( континуальный подход ) определяется приближение для управляющих функций, улучшающие функционал качества. При работе алгоритма происходит многократное обращение к указанным блокам и оптимальное решение формируется в процессе выполнения большого числа итераций. Опыт решения задач оптимального проектирования на ЭВМ показывает, что основное время работы алгоритма затрачивается на решении прямых задач. Кроме того, при рассмотрении несамосопряженных задач оптимизации на каждом шаге итерационной процедуры для определения сопряженных переменных, дополнительно решаются уравнения, которые по виду мало отличаются от уравнений определяющих функции состояния системы. Практически это приводит к удвоению числа операций, выполняемых: в первом, основном блоке алгоритма. Поэтому к методам, применяемых для решения прямых и сопряженных задач предъявляются жесткие требования по скорости счета. В этом направлении представляются перспективными алгоритмы,основанные на сочетании методов нелинейного програмирования и теории оптимального управления с методами конечных элементов и эффективными варационно-разностнътми и другими. Не менее существенным фактором, сильно влияющим на общее время сходимости метода последовательных приближений является достаточно хорошее определение величины шага градиента целевой функции и ограничений. Величина шага чаще всего определяется и корректируется в процессе счета. Пример такого определения приводится в работе

Сзо] , где автор для одного конкретного случая, на основе численных эксперементов, определяет закон, по которому вычисляется величина шага по градиенту целевой функции. Кроме того, оказывается, что при итерациях, когда происходит минимизация целевой функции, целесообразно тх^ебовать сравнительно низкий уровень точности удовлетворения ограничений и резко повышать ее до требуемой на шагах, когда производится их корректировка. Такое варьирование степени точности резко уменьшает число "выходов" из области допустимости, что также существенно сказывается на общее количество итераций сходимости алгоритма.

Кроме указанного выше численного метода,применяемого • как при дискретном так и при континуальном подходе при решении задач оптимального проектирования,с успехом используется метод возмущений. Этот метод открывает большие возможности при исследовании задач оптимизации конструкций и позволяет получить простые приближенные формулы, которые дают возможность проанализировать зависимость решения от параметров. Метод возмущений является особенно эффективным при решении многопараметрических задач. Этот метод широко используется при решении одномерных и двумерных задач оптимального проектирования ( см. [163 ,[4б], С 55] ).

Итак, из приведенного анализа работ по оптимальному проектированию конструкций следует, что значительная часть работ выполнено в рэмках дискретного подхода с последующим применением развитых методов нелинейного програмирования. Кроме того, следует также, что в силу повышения требований к современным конструкциям, особый интерес представляют задачи снижения их массы. Поэтому в настоящее время широко используются и интенсивно развиваются методы теории оптимизации систем с распределенными параметрами для оптимальных элементов летательных аппаратов. Развитию данного подхода и решению ряда новых задач оптимального проектирования крыльев большого удлинения и посвящена данная диссертационная работа, которая состоит из введения,

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Коандэ, Илья Иванович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе в рамках континуальных моделей разработана методика решения несамосопряженных задач оптимизации, основанная на введении- сопряженных переменных и применении алгоритмов последовательной оптимизации. Методика применена в диссертации для решения ряда новых оптимизационных задач по аэроупругости.

Получены оптимальные распределения силового материала вдоль крыла при ограничении на потерю несущей способности за счет упругих деформаций крыла, при ограничении на максимальное допустимое напряжение и при совместных ограничениях на прочность и потерю несущей способности. Показано, что максимальное значение оптимального распределения жесткости достигается в точке крепления крыла и монотонно убывает по мере удаления от него. Проанализированы зависимости оптимальной *массы крыла от коэффициента потери в подьемной силе крыла, от максимального допустимого напряжения и от угла стреловидности. Выявлено, в частности, что максимальное значение массы оптимального крыла достигается при угле стреловидности 45° . Этот факт подтвердился и при проведенном аналитическом исследовании этой зависимости в случае, когда жесткость на кручение значительно превышает жесткость на изгиб. На примере решения задачи оптимального распределения силового материала при ограничении на потерю несущей способности показано применение метода возмущений, позволяющего найти аналитическое решение задачи в данном приближении. Хорошая согласованность результатов полученных этим методом,с результатами, полученными при решении той же задачи численным алгоритмом является обоснованием применения последнего при решении таких задач оптимизации.

Рассмотрена задача оптимального проектирования крыла большого удлинения с подкосом. Произведен анализ зависимости решения от коэффициента потери в подъемной силе и от параметра, характеризующего подкосы различной жесткости. Выявлено, что для подкосов значительной жесткости максимум функции распределения силового материала достигается в точке крепления крыла с подкосом. На участке между этой точкой и точкой крепления крыла с фюзеляжем происходит существенное снижение количества силового материала, что указывает на целесообразность проектирования таких конструкций.

Получены оптимальные распределения жесткостей в скользящих крыльях при ограничении на потерю несущей способности и на рассогласование моментов аэродинамических сил в точке крепления крыла. Показано, что максимум функции распределения жесткостей достигается в точке крепления крыла, а по мере удаления от этой точки функция жесткости монотонно убывает. Важной особенностью таких крыльев является то, что значения функции жесткостей на равны друг другу в точке крепления к фюзеляжу,:, то есть наблюдается разрыв. Показаны качественные различия в оптимальных распределениях жесткостей при положительных и отрицательных значениях угла наклона крыла в точке крепления. Проведен анализ чувствительности оптимального распределения силового материала различным параметрам задачи.

Найдены оптимальные распределения жесткостей вдоль консольной балки из условия максимума минимальной из отдельно крутильных и изгкбных фундаментальных.частот. Построены области параметров, где критическими могут быть только изгибные пли только крутильные и, где критическими могут оказаться как изгибные так и крутильные частоты. Рассмотрен также случай совместных свободных колебаний, когда линия центров тяжести поперечного сечения не совпадает с линией аэродинамических фокусов. Проанализирована зависимость оптимального решения от величины растояния между указанными линиями. Проведено исследование чувствительности оптимального решения ск параметр/, характеризующему максимальны"! допустимый прогиб, вызванном действием заданной статической силы, приложенной к свободному концу балки .

В результате решения оптимизационных задал, выяснено, что полученные распределения силового материала приводят it значительному снижению массы крыла. В зависимости от различных параметров задач, выигрыши, по сравнению с соответствующими постоянными распределениями жесткостей вдоль крыла, составляют от 20%> до ЗОЯ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Коандэ, Илья Иванович, 1984 год

1. Албул А.В.К решению одного класса минимаксных задач оптимального управления.- В кн.: Известия АН МССР,серия физико-технических и математических наук, 1977,Н, с.5 - 10.

2. Албул А.В.,Баничук Н.В.,Бирюк В.И.,Коандэ И.И. Распределение силового материала в крыле минимального веса при ограничениях по прочности и несущей способности. В кн.:Уч. зап.ЦАГИ,1982,тЛ3,Ш,с.69 - 75.

3. Албул А.В.,Коандэ И.И. Об одном численном алгоритме оптимизации и приложения к оптимальному проектированию колеблющихся стержней. В кн.:Тезисы конференции молодых ученых по проблеме "Оптимизация конструкций при динамических нагрузках",Тарту,1979,с.30.

4. Албул А.В.,Баничук Н.В.,Коандэ И.И. Об одной динамической задаче оптимального проектирования. В кн.:Математические исследования,Кишинев,1981,вып.64,с.3 - 7.

5. Баничук Н.В.,Бирюк В.И.,Коандэ И.И.,Миронов А.А., Сейранян А.II. Крыло минимального веса при ограничении по несущей способности. В кн.:Уч.зап.ЦАГИ,1979,т.10,№1, с.90 - 98.

6. Баничук Н.В. Минимизация веса крыла при ограничении по скорости дивергенции. В кн.:Уч.зап.ЦАГИ,1978,т.9,№5,с.97-103.

7. Баничук Н.В.,Миронов А.А. Схема струйного обтекания для исследования равновесных форм упругих пластин в потоке жидкости и задачи оптимизации. В кн.:ШЕЛ,1979,т.43, вып. 1,с.83 - 90.

8. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. Москва, Наука,1980,256с.

9. Баничук Н.В.,Миронов А.А. Оптимизация частот колебаний упругой пластинки в идеальной жидкости. В кн.:ГШ, 1975, вып.5,с.889 - 899.

10. Баничук Н.В.,Миронов А.А. Оптимальное проектирование пластин в динамических задачах гидроупругости. В кн.:Труды Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин,Тбилиси,1975,с.35 - 44.

11. Баничук Н.В.,Миронов А.А. Задачи оптимизации пластин колеблющихся в идеальной жидкости. В кн.:ПММ,1976,т.40,вып.3,с.520 527.

12. Баничук Н.В.,Иванова С.Ю. Некоторые оптимальные задачи статической аэроупругости для крыльев из композиционных материалов.-В кн.: Известия АН Арм.ССР,Механика,I982,№3, с.35 -42.

13. Баничук Н.В.,Картвелишвили В.М.,Миронов А.А. Численное решение двумерных задач оптимизации упругих пластин. В кн.:Известия АН СССР,МТТ,1977,№1,с.68 - 78.

14. Баничук Н.В.,Картвелишвили В.М.,Миронов А.А. Задачи оптимизации с локальными критериями качества в теории изгиба пластин. В кн.:Известия АН СССР,МТТ,1978,№1,с Л 24 - 131.

15. Баничук Н.В. Об одной вариационной задаче с неизвестной границей и определении оптимальных форм упругих тел. В кн.:ПММ,т.39,1975,с.1082 - 1092.

16. Бирюк В.И. 0 задачах оптимального проектирования конструкций крыла из условий прочности и аэроупругости. В кн.:Уч.зап.ЦАГИ,1972,№4,е.65 - 76.

17. Бирюк В.И.,Липин Е.К.,Фролов В.М. Методы проектирования конструкций самолетов. М.'.Машиностроение, 1977,232с.

18. Бирюк В.И.,Шаранюк А.М.,Яремчук Ю.Ф. Оптимизация конструкций стреловидного крыла из условия эффективности элерона. В кн.:Уч.зап.ЦАГИ,1981,№4,с.162 - 166.

19. Бирюк В.И. О задаче оптимального проектирования конструкций крала из условий прочности и аэроупругости. В кн.: Уч.зан.ЦАГИ,1972,№2,с Л14 - 119.

20. Бисплингхофф Р.А.,Эшли Х*,Халфмэн Р.Л. Аэроупругость. М.:ИЛ,1958,800с.

21. Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремальных задач. Москва,МГУ,1970,118с.

22. Гринев В.Б.,Филиппов А.П. Оптимизация стержней по спектру собственных значений. Киев,Наук.Думка,1979,211с.

23. Гринев В.Б.,Филиппов А.П. Оптимизация элементов конструкций по механическим характеристикам. Киев,Наук.Думка, 1975,294с.

24. Голубев И.С. Аналитические методы проектирования конструкций крыльев. М.Машиностроение,1970,288с.

25. Гроссман Е.П. Курс вибрации частей самолета. Жуковский, ЦАГИ,1940,154с.

26. Гроссман Е.П., Пановко Я.Г. Упругие колебания частей самолета. Л.:ЛКВВИВ,1947,259с.

27. Дзюба А.С.,Липин Е.К. Оптимальное проектирование силовых конструкций минимального объема приограничениях по прочности и устойчивости. В кн.:Уч.зап.ЦАГИ,1980,т.11,И, с.58 - 71.

28. Картвелигавили В.М. Численное решение двух контактных задач для упругих пластин. В кн.:Известия АН СССР,МТТ, 1974,№6,с.68 - 72.

29. Картвелишвили В.М.,Миронов А.А.,Самсонов A.M. Численный метод решения задач оптимизации подкрепленных конструкций.- В кн.:Известия АН СССР,МТТ,1981,№2,с.93 103.

30. Коандэ И.И. Решениее некоторых несамосопряженных задач оптимизации веса в стреловидных крыльях. В кн.:Тезисы докладов четвертой всесоюзной конференции по оптимальному управлению в механических системах,М.,ИГЕ/1 АН СССР, 1982, с.104.

31. Коллатц JI. Задачи на собственные значения с техническими приложениями. М.,Наука,1968,503с.

32. Малков В.П.,Угодчиков А.Г. Оптимизация упругих систем.- М.:Наука,1981,288с.

33. Крейн М.Г. О некоторых задачах на максимум и минимум для характеристических чисел и о Ляпуновских зонах устойчивости. В кн.: IIMM,1951,т.15,вып.3,с.323 - 348.

34. Ольхофф. Оптимальное проектирование конструкций. М.:Мир, 1981,277с.

35. Петухов Л.В.,Троицкий В.А. Оптимизация формы упругих тел.- М.гНаука ,1982,432с.

36. Прагер В. Основы теории оптимального проектирования конструкций. М.:Мир,1977,110с.

37. Понтрягин Л.С.,Болтянский В.Г.,Грамкелидзе Р.В.,Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процесов. М.:Наука, 1976,392с.

38. Сейранян А.Г1. Задача минимизации веса крыла с обратной стреловидностью при ограничении по скорости дивергенции.- В кн.:Уч.зап.ДАГИ,1979,№6,с.81 89.

39. Сейранян А.П. Оптимальная задача об эффективности элерона.- В кн.:Известия АН Арм.ССР,Механика,1980,т.33,М,с.54 : 63.

40. Сейранян А.П. Оптимизация веса крыла при ограничениях по статической аэроупругости. В кн.:Известия АН СССР,МТТ, 1979, М, с.

41. Троицкий В.А. Оптимальные процессы колебаний механических систем. Ленинград,Машиностроение,1976,248с.

42. Украицев Г.В.,Фролов В.М. Метод оптимизации силовой конструкции крыла по жесткости при варьировании распределением относительной толщины профиля. В кн.:Уч.зап.ЦАГИ, 1972,т.З,М,с.65 - 76.

43. Феодосьев В.М. Сопротивление материалов. М.,Наука, 1974,560с.

44. Фын Я.Ц. Введение в теорию аэроупругости. М.,Физматгиз, 1959,360с.

45. Яремчук Ю.Ф. Исследование влияния параметров жесткости конструкции самолета на характеристики его органов управления. В кн.:Труды ЦАГИ,1977, №1831,130с.

46. Пархомовский Я.М. Об изгибно крутильных колебаниях крыла - В кн.:Уч.зап.ЦАга,1979,т.Ю,№5,с.60 - 70.ftmanc^ zf.L. Лррof ofti/va? Со/г в

47. Ыеогл^ iro S^d^c^utaC ор^ли'&ягЬ'ол:

48. Qvol пимеъесаб affbcQcA. ^zocet/i*^ pj-ЪЛМЛ

49. Si GMv&f / A., fate b. A M^cщт AFFDl- я, l/J, SJfy62. Go deb fr. c^ffm^1. И^- /№у P 3/4-Мб.6b. PicuuA E, -J. О^^га! duttf* tf

50. О^-^иЩ S&u&d fbocedtM do ЯкЛилЫм^и Sferijisd fbym^'es. -MM,1. JUS, Г6,6G. A/IW^h El. On Ш i^frW dut^x р/ 4 tefrvtixj (ым. Qua/Ы. jfpt. МаЛ.; ^

51. Vibte IV- x, Mcdk^fh S.&. hfitfy tt, fyf&'avftwамЬоеШ'с. l*-sum^^Gfo^j UruixA^bf, /w^?.

52. V&vtcayyA, V.e.-lnA J.A/U^m. мЖ, p. 2 03- 2.2-2^1. V46, P.fc Totf&yi & F. к В. fyftfc***»тчгЛос/ 1. Шд, fiJZ-^if. Ta^A Л^илл/ и^еЖсЛ-{Шил. . Р^з-^.

53. Ы RuoU& f O-S. JC& P/rff н^ЪЫ*'** М™p&S shuoU^i ^АоСиЛ. .1. Лцк0»7-т. Afpl /W 0МЕ/Щ