Оптимальные пространственные тела и особенности их движения в рамках модели локального взаимодействия среды и тела тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, доктор физико-математических наук Якунина, Галина Евгеньевна

• Якунина, Галина Евгеньевна
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Якунина, Галина Евгеньевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Модель взаимодействия среды и тела.

Введение.

§ 1.1. Модели силового воздействия газа на обтекаемое тело.

§ 1.2. Модели силового воздействия среды на тело при его высокоскоростном проникании в плотные среды.

Выводы.

ГЛАВА 2. Пространственные тела минимального сопротивления.

Введение.

§2.1. Постановка задачи о теле минимального сопротивления.

§2.2. Решение задачи о теле минимального сопротивления.

§2.3. Построение абсолютно-оптимальных тел (АОТ).

§2.4. Эффективность использования АОТ в рамках конкретных законов сопротивления.

Основные результаты.

ГЛАВА 3. Пространственные тела с максимальной длиной траектории инерционного движения.

Введение.

§3.1. Постановка задачи о теле с максимальной длиной траектории инерционного движения.

§3.2. Решение задачи о теле с максимальной длиной траектории инерционного движения.

§3.3. Тела с максимальной длиной траектории инерционного движения в рамках конкретных законов сопротивления.

Основные результаты.

ГЛАВА 4. Особенности движения оптимальных тел.

Введение.

§4.1. Постановка задачи динамики тела.

§4.2. Построение решения задачи плоского движения тела.

§4.3. Особенности пространственного движения оптимальных тел.

§4.4. Способы увеличения запаса устойчивости оптимальных тел.

Основные результаты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальные пространственные тела и особенности их движения в рамках модели локального взаимодействия среды и тела»

Построение тела, оптимального по одной из интегральных характеристик движения (сопротивлению или длине траектории инерционного движения), является актуальной проблемой механики. Интерес к этой области науки обусловлен, прежде всего, нуждами авиационно-космической промышленности и связан с необходимостью совершенствования ракетной и авиационной техники, которое возможно лишь при наличии подробных сведений об оптимальных формах головных частей ракет, крыльев и других элементов летательных аппаратов.

Сведения об оптимальных формах тел требуются и в других отраслях промышленности. Например, они нужны в горном и строительном деле при планировании и выполнении работ по получению проб грунта и пород, лежащих на разной глубине от земной поверхности, когда выбор формы пробойника, при которой он может, не разрушаясь, достичь нужной глубины, позволяет сделать эти работы более эффективными. Такие пробойники будут полезными и при установке нефтяных платформ, и при разработке месторождений, и знание их свойств даст возможность достичь желаемого результата с наименьшими энергетическими затратами.

Учитывая сложившуюся в последние годы тенденцию интенсивного развития космической техники^ можно предположить, что в ближайшее время важным приложением знаний об оптимальных формах может стать их использование при решении проблемы защиты космических объектов от столкновений с метеоритами или другими телами, траектория движения которых может пересечься с орбитой Земли. Известно, что кинетический удар по телу, при котором ударник на высокой скорости внедряется в тело с целью его разрушения или изменения траектории движения, является реальной альтернативой ядерно-водородному удару при защите Земли от столкновений с астероидами и кометами. При создании таких ударников сведения о характеристиках и особенностях движения оптимальных форм, предназначенных для высокоскоростного полета и последующего внедрения в плотные среды на заданную или максимально возможную глубину, могут оказаться крайне полезными.

Наибольший прогресс в области изучения свойств оптимальных форм достигнут в последние десятилетия благодаря бурному развитию вычислительной техники, когда стремительно возросшие вычислительные мощности стали позволять решать весьма сложные и громоздкие многопараметрические задачи. Однако заметим, что до сих пор число вариационных задач поиска оптимальных форм, которые удается решить точно, невелико. Это обусловлено тем, что решение задачи оптимизации формы тела по интегральным характеристикам движения возможно лишь при наличии соотношений, явно связывающих силы, действующие на поверхности контакта среды и тела, с формой его поверхности. Параметры среды при обтекании тела находятся из решения краевой задачи для системы дифференциальных уравнений в частных производных, которая на основе выбранной модели среды дополняется уравнениями состояния и соотношениями на сильных разрывах. Задача оптимизации формы тела в постановке, базирующейся на точных уравнениях такого рода, для большинства сред практически неразрешима. Даже при обтекании двумерных (плоских и осесимметричных) тел идеальным газом ее точное решение, а чаще сведение к краевой задаче, решаемой с гарантированной точностью методом характеристик, удается получить (см. [1]) лишь в исключительных случаях. Для большинства сред при сложном нагружении нет замкнутой системы уравнений, и это исключает для них даже возможность точной постановки задачи оптимизации формы тела. В этих случаях естественно искать упрощения, позволяющие найти приближенное решение. В первую очередь они делаются для сил, действующих на поверхности тела, для которых используются формулы, полученные из приближенных моделей.

Для оценочных расчетов сил, действующих на тело при его высокоскоростном движении в газе и плотных средах, широкое распространение получили формулы, найденные из локальных моделей. В основе этих моделей лежит предположение, что каждый элемент поверхности тела взаимодействует со средой независимо от других участков тела, и сила, действующая на него, зависит лишь от ориентации элемента относительно направления движения. Эта зависимость может включать в себя скорость движения и характеристики среды, которые считаются постоянными. Примером такой зависимости является формула Ньютона, широко используемая в гиперзвуковой аэродинамике для оценочных расчетов распределения давления на поверхности тела. При расчете напряжений на поверхности тела при его движении в плотных средах, таких как грунт и металл, хорошо зарекомендовали себя двучленные формулы, квадратичные по скорости, с постоянным слагаемым, характеризующим прочность среды. Использование таких формул позволяет записать силы, действующие на тело, в виде интегралов по его поверхности, которые дают связь сил с формой тела и методами вариационного исчисления могут быть исследованы на экстремум.

В предположении о локальном характере взаимодействия среды с элементом поверхности тела задача оптимизации пространственной формы тела по одной из интегральных характеристик движения была предметом многочисленных исследований. Однако даже в рамках конкретных законов сопротивления решение этой задачи непрямыми методами вариационного исчисления было найдено лишь при упрощающих предположениях относительно геометрии тела. Так, например, при поиске тел минимального сопротивления в газе, используя для записи нормальных напряжений на поверхности тела формулу Ньютона, в большинстве случаев рассматривались (см. [2]) тонкие, конические или гомотетичные тела, когда, сужая класс допустимых поверхностей, удавалось свести уравнения Эйлера к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Задача об оптимальной пространственной форме тела без ограничений на его геометрию и без ограничений на вид функции, задающей модель локального взаимодействия среды с поверхностью тела, до сих пор остается актуальной.

Касаясь вопроса применимости локальных моделей при оптимизации формы тела, заметим, что проведенное [3] для газа сравнение большого числа оптимальных двумерных профилей, найденных с использованием формулы Ньютона и в рамках приближенного, хотя и весьма точного нелокального подхода, показало уникальную работоспособность формулы Ньютона при построении оптимальных образующих. Установлено [3], что эта формула позволяет строить образующие, весьма близкие к оптимальным, причем даже для таких чисел Маха и толщин тел, для которых эта формула дает заведомо неверные распределения давления на теле. Результаты многочисленных теоретических и экспериментальных исследований аэродинамических характеристик пространственных тел по структуре близких к оптимальным, найденным в рамках локальных моделей, также полностью согласуются с основными выводами, полученными в рамках этих моделей, и это дает дополнительные аргументы в пользу использования их при решении задач построения оптимальных форм.

Оптимальные формы строятся при прямолинейном движении тела. Однако движение тела в реальной среде может быть возмущенным, и тогда, как показывают результаты теоретических и экспериментальных исследований, скорость центра масс тела может сильно отклоняться от своего начального направления, а траектория движения тела иметь изогнутый вид. Рост возмущений может привести к опрокидыванию тела, и тогда достижение теоретически предсказываемых характеристик движения невозможно. Лишь в случае, когда прямолинейное движение оптимального тела устойчиво к малым возмущениям начальных значений параметров движения, возможно эффективное использование тела для получения оптимальных характеристик. Исследование влияния возмущений на характеристики движения тела и поиск критерия его устойчивости - важные этапы изучения свойств оптимальных тел, результаты которых должны учитываться при построении их формы.

Настоящая диссертация посвящена решению актуальной проблемы -построению пространственных тел минимального сопротивления и тел с максимальной длиной траектории инерционного движения в средах, когда взаимодействие среды с элементом поверхности тела можно записать в рамках локальной модели. В работе задачи поиска оптимальных форм решаются без упрощающих ограничений на геометрию тела, причем построение тел минимального сопротивления проводится без ограничений на вид функции, задающей закон сопротивления. Формы тел с максимальной длиной траектории строятся в рамках двучленной модели локального взаимодействия, когда нормальные и касательные напряжения на поверхности тела представляются в виде двучленных формул, содержащих квадратичный по скорости член и постоянное слагаемое, характеризующее прочность среды. Для конкретных сред и конкретных законов сопротивления проводятся сравнения характеристик построенных тел и тел, найденных ранее из решений вариационных задач при упрощающих предположениях. Определяются области параметров, в которых построенные пространственные тела обладают по оптимизируемым характеристикам значительными преимуществами в сравнении с телами вращения. Исследуются характеристики плоского и пространственного движения оптимальных конических и пирамидальных тел, и ищется критерий устойчивости их прямолинейного движения. Проводится классификация оптимальных форм по устойчивости движения, и определяются области параметров, в которых по устойчивости движения отдавать предпочтение следует той или иной оптимальной форме тела. Апробация аналитических результатов выполняется на основе численного решения полной системы уравнений пространственного движения тела, построенного без упрощающих предположений на режим движения тела.

Работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Общий объем работы составляет 275 страниц и содержит 53 фигуры. В списке литературы находится 144 наименования.

Во введении показана актуальность темы диссертационной работы, сформулированы основные задачи исследования и описана структура работы.

Каждая глава содержит введение, в котором дается обзор литературы, посвященной рассматриваемой проблеме, формулируются задачи исследования, и описывается структура главы. В конце каждой главы приводится перечень основных выводов и результатов, полученных в ней.

Темы исследований, рассмотренные в главах, даны ниже.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Якунина, Галина Евгеньевна

Основные результаты

Глава 4 посвящена решению задачи динамики конических и пирамидальных тел, построенных из участков поверхности кругового конуса и плоскостей, касательных к нему. В случае если угол раствора конуса оптимален, то рассматриваемые тела будут относиться к классу оптимальных конфигураций, имеющих при прямолинейном движении в среде максимальную длину траектории. Решение задачи найдено в рамках двучленной MJIB, когда нормальные напряжения на поверхности тела представляются двучленной формулой (1.2.2), а касательные напряжения описываются моделью трения Кулона (1.2.6) или моделью постоянного трения (1.2.7). Аналитическое и численное решения задачи построены соответственно для плоского и пространственного движения тела. Основные результаты исследования, полученные на их основе, можно сформулировать следующим образом.

1). При безотрывном обтекании тел и малых возмущениях, наложенных в начальный момент времени на параметры прямолинейного движения, построено аналитическое решение задачи плоского движения тонких конических и пирамидальных тел, сформированных из участков поверхности кругового конуса и плоскостей, касательных к нему. Показано, что на основе решения можно выполнить полный параметрический анализ динамики тела и рассчитать силы и момент, действующие на тело вдоль его траектории.

2). Найден критерий устойчивости плоского движения тела, позволяющий при известных форме, массе и положении центра тяжести тела определить характер возмущенного движения тела. Показано, что форма тела является одним из важнейших факторов, влияющих на устойчивость движения, и что при одинаковой форме и одинаковом положении центра масс большим запасом устойчивости обладают тела с меньшей массой.

3). На основе численного решения задачи Коши системы уравнений движения, полученного без упрощающих предположений, проведена апробация аналитических результатов. При сравнении результатов численного и аналитического решений задачи динамики тела показано, что аналитическое решение, построенное для тонких пирамидальных и конических тел при упрощающих предположениях (4.2.9) и (4.2.18), дает хорошее приближение к точному решению задачи. Показано, что аналитическое решение можно использовать для определения характеристик движения тела и в случае неустойчивого типа движения, но лишь до появления зон отрыва среды на поверхности тела.

4). Проведено исследование пространственного движения оптимальных пирамидальных и конических тел и выявлены характерные особенности их трехмерного движения. Показано, что они существенно зависят от особенностей формы тела, и их следует учитывать при выборе оптимальной конфигурации тела.

5). Показано, что критерий устойчивости, найденный для плоского движения тонких пирамидальных и конических тел, позволяет и в случае произвольного задания малых возмущений параметров прямолинейного движения определить характер их развития. При этом для устойчивого движения тела при пространственном развитии возмущений необходимо, чтобы критерий устойчивости выполнялся для него по всем плоскостям симметрии.

6). В соответствии с критерием устойчивости определены области параметров, в которых при выборе конфигурации оптимального тела следует отдавать предпочтение звездообразной или ромбовидной форме. Показано, что, если прямолинейное движение тела устойчиво, то возмущения по крену не оказывают существенного влияния на характеристики движения тела, и его возмущенное пространственное движение можно представить в виде суперпозиции плоских движений, каждое из которых описывается найденным аналитическим решением плоской задачи.

7). Подтверждено, что при неустойчивом движении использование оптимальных тел в сравнении с другими телами не дает тех преимуществ по оптимизируемым характеристикам, которые получены для них при прямолинейном движении. Однако для оптимальных тел с параметрами из области устойчивого движения эти преимущества близки к величинам, найденным для них при оптимизации их формы.

8). Даны рекомендации по определению типа движения тела в рамках смешанной модели трения (1.2.8). Для устойчивого движения тела в этом случае достаточно, чтобы критерий устойчивости выполнялся для него в рамках модели постоянного трения. В то же время, показано, что при нарушении критерия устойчивости, записанного для модели трения Кулона, движение тела в рамках смешанной модели трения будет неустойчивым. Если же критерий устойчивости для модели трения Кулона выполняется, а для модели постоянного трения нет, то в этом случае устойчивость движения тела определяется по его начальной скорости в согласии с условием (4.3.2), выполнение которого предсказывает для тела устойчивый тип движения.

9). Найдены способы увеличения запаса устойчивости прямолинейного движения оптимальных тел. Показано, что формирование у оптимальных тел оперения является эффективным способом увеличения у них запаса устойчивости движения, что улучшает характеристики движения тел, приближая их к оптимальным значениям, найденным для тел при прямолинейном движении.

255

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе при условии, что силовое воздействие среды на тело можно описать в рамках МЛВ (см. главу 1), развита новая методика построения пространственных форм минимального сопротивления (см. главу 2) и форм, которые при прямолинейном инерционном движении в среде обеспечивают телу максимальную длину траектории (см. главу 3). При определенных допущениях моделями класса МЛВ описываются напряжения на поверхности тела при его высокоскоростном движении в газе и плотных средах типа грунтов и металлов. В работе проведено комплексное исследование свойств оптимальных тел и особенностей их движения (см. главу 4), в процессе выполнения которого получены следующие результаты.

1. Для произвольного закона сопротивления, записанного в рамках МЛВ, при заданных площади основания и ограничениях на длину и поперечные размеры тела найдены принципиально новые решения задачи о форме тела минимального сопротивления. Задача решена без упрощающих предположений на геометрию тела, и показано, что она имеет бесконечное множество решений, а формы оптимальных тел, названные абсолютно оптимальными телами (АОТ), образуются из участков поверхностей, нормаль к которым составляет с направлением движения некоторый оптимальный угол. Этот угол определяется скоростью движения и характеристиками среды через постоянные, входящие в закон сопротивления.

2. Создан новый метод построения пространственных АОТ, позволяющий строить оптимальные тела разных конфигураций, удовлетворяющих самым разным требованиям практики. Он основан на непрерывном сопряжении участков поверхностей кругового конуса, имеющего оптимальный угол раствора, и касающихся его плоскостей. В частности, используя метод, можно строить оптимальные звездообразные тела, самолетоподобные тела, тела заданной длины с оперением и тела с формой основания в виде круга.

3. Проведено сравнение сопротивлений АОТ с сопротивлениями эквивалентных им по геометрическим характеристикам оптимальных осесимметричных и пространственных тел, найденных ранее для конкретных моделей записи напряжений в рамках MJIB при упрощающих предположениях на геометрию тела. Показано, что в общем случае АОТ являются более эффективными телами, построенными для снижения сопротивления, чем тела, найденные ранее из решений вариационных задач при упрощающих предположениях.

4. В приближении тонкого тела для конкретных моделей записи напряжений получены соотношения, дающие в явном виде связь параметров среды и скорости движения тела с оптимальным углом. Показано, что при параметрах из области значений, наиболее часто используемой в практических расчетах, это приближение позволяет строить тела, сопротивление которых отличается от минимального сопротивления не более чем на 3%.

5. Впервые без упрощающих предположений на геометрию тела в рамках двучленной модели локального взаимодействия, найдено решение задачи о пространственной форме тел с максимальной длиной траектории инерционного движения. Показано, что структура поверхности этих тел та же, что и у тел минимального сопротивления, но оптимальный угол, используемый при их построении, в общем случае другой.

6. Для конкретных моделей записи напряжений, которые наиболее часто используются при расчете сил, действующих на тело при его высокоскоростном проникании в плотные среды, проведено сравнение глубин проникания построенных оптимальных тел и тел, эквивалентных им по заданным изопериметрическим условиям. Сравнения проведены для трех моделей записи касательных напряжений в рамках двучленной MJIB: модели трения Кулона, модели постоянного трения и смешанной модели трения. Показано, что в рамках этих моделей оптимальные пространственные тела, построенные в общем случае задания геометрических параметров, являются более эффективными телами, предназначенными для достижения большей глубины проникания, чем такие наиболее часто используемые в экспериментах конфигурации, как конические и оживальные тела вращения.

7. В рамках двучленной МЯВ в приближении тонкого тела для модели трения Кулона, модели постоянного трения и смешанной модели трения получены соотношения, дающие в явном виде связь параметров среды и скорости движения тела, имеющего максимальную длину траектории, с оптимальным углом. Показано, что это приближение позволяет строить тела, глубина проникания которых при параметрах из области значений, наиболее часто используемой в практических расчетах, отличается от максимальной глубины не более чем на 2%.

8. Для модели трения Кулона и модели постоянного трения проведено сравнение глубин проникания оптимальных тел и тел минимального сопротивления, найденных на начальном этапе движения. Показано, что для параметров из области значений, наиболее часто используемой в практических расчетах, глубины проникания таких тел отличаются друг от друга не более чем на 3%.

9. На основе экспериментальных результатов исследований процесса высокоскоростного внедрения твердого тела в плотные среды, полученных авторами разных стран, определены условия эффективного использования свойств оптимальных тел на практике, при которых построенные тела по достигаемой ими глубине проникания будут иметь значительные преимущества в сравнении с другими телами.

10. В рамках двучленной MJIB при безотрывном обтекании тел построена асимптотическая теория динамики тонких конических и пирамидальных тел и найдены критерии устойчивости их прямолинейного движения. Показано, что тела с отрицательным запасом статической устойчивости, движение которых в газе неустойчиво, в плотной среде могут двигаться устойчиво. При этом форма тела существенно влияет на устойчивость его движения, но при одинаковой форме тел и равных условиях погружения в среду более устойчивым является движение тела с меньшей массой.

11 .На основе численного решения задачи Коши системы уравнений движения, полученного без упрощающих предположений, проведена апробация аналитических результатов. При сравнении результатов численного и аналитического решений задачи динамики тела показано, что аналитическое решение, построенное для устойчивого движения тонких пирамидальных и конических тел при упрощающих предположениях, дает хорошее приближение к точному решению задачи. Найденное аналитическое решение можно использовать для определения характеристик движения тела и в случае неустойчивого типа движения, но лишь до появления зон отрыва среды на поверхности тела.

12.Проведено исследование пространственного движения оптимальных пирамидальных и конических тел и выявлены характерные особенности их трехмерного движения. Показано, что критерий устойчивости, найденный для плоского движения тонких пирамидальных и конических тел, позволяет и в случае произвольного задания малых возмущений параметров прямолинейного движения определить характер их развития. При этом для устойчивого движения тела при пространственном развитии возмущений необходимо, чтобы критерий устойчивости выполнялся для него по всем плоскостям симметрии.

13.Подтверждено, что при неустойчивом движении использование оптимальных тел в сравнении с другими телами не дает тех преимуществ по оптимизируемым характеристикам, которые получены для них при прямолинейном движении. Однако для оптимальных тел с параметрами из области устойчивого движения эти преимущества близки к величинам, найденным для них при оптимизации их формы.

14.5 рамках двучленной MJIB, используя результаты асимптотической теории динамики тонких тел, проведена классификация конических и пирамидальных оптимальных форм по устойчивости пространственного движения и определены области параметров, в которых при построении оптимального тела отдавать предпочтение следует той или иной его форме.

15.Показано, что, если прямолинейное движение тела устойчиво, то возмущения по крену не оказывают существенного влияния на характеристики движения тела, и его возмущенное пространственное движение можно представить в виде суперпозиции плоских движений, каждое из которых описывается найденным аналитическим решением плоской задачи.

16.Найдены способы увеличения запаса устойчивости прямолинейного движения оптимальных тел. Показано, что формирование у оптимальных тел оперения является эффективным способом увеличения у них запаса устойчивости, что улучшает характеристики движения тел, приближая их к оптимальным значениям, найденным для тел при прямолинейном движении.

Совокупность результатов, полученных в работе, позволяет говорить о создании научного направления в области построения оптимальных пространственных тел, движущихся в средах, когда взаимодействие среды с элементом поверхности тела можно записать в рамках локальной модели.

Созданный и развитый автором метод построения оптимальных тел дает возможность конструировать бесконечное множество тел, удовлетворяющих самым разным требованиям практики. Используя метод, можно строить оптимальные самолетоподобные тела и тела с формой основания в виде круга. Оптимальные формы с круговым основанием можно непрерывно сопрягать с цилиндрическим корпусом летательного аппарата и использовать при построении головных частей ракет. Такие формы позволят не только увеличить дальность полета ракеты, но и снизят риск их разрушения при попадании в плотную среду.

Полученные в работе теоретические результаты по исследованию характеристик движения оптимальных тел позволяют понять и дать оценку многим явлениям, наблюдаемым в экспериментах по динамике тел. В частности, из экспериментальных данных известно, что звездообразные тела, обладая меньшим сопротивлением, движутся в среде менее устойчиво, чем эквивалентные им по изопериметрическим условиям осесимметричные тела. Построенная теория динамики тел дает ответ на этот вопрос: запас устойчивости движения звездообразного тела всегда меньше запаса устойчивости эквивалентного ему конуса. Апробация аналитических результатов проведена в работе на основе численного решения задачи Коши полной системы уравнений движения тела, подтвердившей их достоверность. Все типы движений, наблюдаемые в экспериментах по высокоскоростному прониканию твердых тел в плотные среды, были получены в результате расчетов.

На основе результатов аналитических и численных исследований, выполненных в работе, проведена классификация оптимальных конических и пирамидальных тел по устойчивости движения и определены области параметров, в которых для них реализуется тот или иной тип движения. Указаны способы увеличения запаса устойчивости оптимального тела и показано, что формирование оперения у тела дает возможность улучшить его характеристики движения, максимально приблизив их к значениям, полученным для тела при оптимизации его формы. Подобные сведения необходимы и могут служить ориентирами при планировании и проведении экспериментов по изучению свойств и характеристик движения оптимальных тел в разных средах.

В заключение отметим, что предложенный в работе способ исследования свойств оптимальных тел может быть полезным не только при построении тел минимального сопротивления или тел с максимальной длиной траектории, но и при поиске тел, оптимальных по другим интегральным характеристикам движения, если последние могут быть представлены в рамках MJIB. Примером служит рассмотренный в работе случай построения формы тела с минимальным притоком тепла к поверхности, обтекаемой свободномолекулярным потоком газа.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Якунина, Галина Евгеньевна, 2006 год

1. Крайко А.Н. Вариационные задачи газовой динамики. М.: Наука, 1979. 447 с.

2. Теория оптимальных аэродинамических форм. Под ред. Миеле А. М.: Мир, 1969. 507 с.

3. Крайко А.Н., Пудовиков Д.Е., Якунина Г.Е. Теория аэродинамических форм, близких к оптимальным. М.: Янус-К, 2001. 132 с.

4. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. 424 с.

5. Абрамович Т.Н. Прикладная газовая динамика. М.: Наука, 1969. 824 с.

6. Паттерсон Г.Е. Молекулярное течение газов. М.: Физматгиз, 1960. 272 с.

7. Берд Г. Молекулярная газовая динамика. М.: Мир, 1981. 320 с.

8. Maxwell J.C. On the condition to be satisfied by a gas at the surface of a solid body. Scientific Papers 2, 704, 1879.

9. Баранцев Р.Г. Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми поверхностями. М.: Наука, 1975. 343 с.

10. Ю.Алексеева Е.В., Баранцев Р.Г. Локальный метод аэродинамического расчета в разреженном газе. Л.: Изд-во ЛГУ, 1976. 210 с.

11. И.Мирошин Р.Н., Халидов И.А. Теория локального взаимодействия. Л.: Изд-во ЛГУ, 1991.274 с.

12. Бунимович А.И., Дубинский А.В. Развитие, современное состояние и приложения теории локального взаимодействия // Изв. АН СССР, МЖГ, 1996, №3, С. 3-18.

13. Баранцев Р.Г., Васильев JI.A., Иванов Е.В., Козачек В.В., Минайчев АД., Михайлов JJ.B., Мурзов Н.В. Аэродинамический расчет в разреженном газе на основе гипотезы локальности // Аэродинамика разреженных газов. Л.: Изд-во ЛГУ. 1969. Вып. 4. С. 170-184.

14. Бунимович А.И. Соотношения между силами, действующими на тела, движущиеся в разреженном газе, в потоке света и в гиперзвуковом ньютоновском потоке // Изв. АН СССР. МЖГ. 1973. № 4. С. 89-95.

15. Деев А.А., Левин В.А., Пилюгин Н.Н. О форме тела с минимальным полным потоком лучистой энергии к его поверхности // Изв. АН СССР. МЖГ. 1976. №4. С. 84-89.

16. Баранцев Р.Г. Локальная теория передачи импульса и энергии на поверхности тел в разреженном газе // Математическое моделирование,аналитические и численные методы в теории переносов. Минск, 1982. С. 90-98.

17. Monaco R., Orsi А.Р. Molecular Gas-Flow over convex bodies: a physico-mathematical model for heat transfer calculation // Appl. Math. Model. 1980. V. 4. No. 5. P. 325-330.

18. Сагомонян А.Я. Проникание. M.: Изд. Моск. ун-та, 1974. 300 с.

19. Zukas J. A., Nicholas Т., Swift Н. F. and others. Impact Dynamics. A Wiley-Interscience Publication, N. Y., 1982. = ЗукасД. А., Николас Т., Свифт X. Ф. и др. Динамика удара. М.: Мир, 1985. 296 с.

20. Ведерников Ю.А., Щепановский В.А. Оптимизация реогазодинамических систем. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1995. 238 с.

21. Фомин В.М., Гулидов А.И., Сапожников Г.А. и др. Высокоскоростное взаимодействие тел. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999. 600 с.

22. Рахматулин X.A., Сагомонян А.Я., Алексеев H.A. Вопросы динамики грунтов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1964. 238 с.

23. Цытович Н.А. Механика грунтов. М.: Высшая школа, 1983. 289 с.

24. ЗА.Григорян С.С. Приближенное решение задачи о проникании тела в грунт // МЖГ. 1993. №4. с. 18-24.

25. Гердюков Н.Н., Иолев А.Г., Ковтун А.Д., Макаров Ю.М., Новиков С.А. Исследование сжимаемости песчаного грунта при ударно-волновом нагружении // ПМТФ. 1993. Т.34. №4. С. 55-58.

26. АА.Флитман Л.М. Дозвуковое осесимметричное обтекание тонких заостренных тел вращения упругопластическим потоком // МТТ. 1991. №4. С. 155-164.

27. А5.Сагомонян А.Я. Пробивание плиты тонким твердым снарядом // Вестн. Моск. ун-та, Математ. Механ. 1975. № 5. С. 104-110.

28. Forrestal M.J., Tzou D.Y., Askari Е., Longcope B.D. Penetration into ductile metal targets with rigid spherical-nose steel rods // Int. J. Impact. Engng. 1995. V. 16. P. 699-710.

29. Витман Ф.Ф., Степанов В.А. Влияние скорости деформирования на2 3сопротивление деформированию металлов при скоростях удара 10' -г 10J м/с // Некоторые проблемы прочности твердого тела. M.-JL: Изд-во АН СССР, 1959. С. 207-221.

30. Витман Ф.Ф., Златин Н.А. О процессе соударения деформируемых тел и его моделирования // Журн. Техн. Физики. 1963. Т. 33. Вып. 8. С. 982-989.

31. Бивин Ю.К., Викторов В.В., Коваленко Б.Я. Определение динамических характеристик грунтов методом пенетрации// Изв. АН СССР. МТТ. 1980. №3. С. 105-110.

32. Keer L.M., Xu Y.L., Luk V.K. Boundary effects in penetration and perforation // Trans. ASME J. Appl. Mech. 1998. V. 65. no. 2. P. 489-496.

33. Piekutowsky A. J., Forrestal M.J., Poormon K.L., Warren T.L. Penetration of 6364-T681 aluminum targets by ogival-nose projectiles with striking velocities between 0.5 and 3.0 km/s // Int. J. Impact Engng. 1999. V. 23. P. 723-734.

34. Chen E.P. Penetration into porous rock: a numerical study on sliding friction simulation. Theor. Appl. Frac. Mech. 11. 1989. P. 135-141.

35. Chen E.P. Finite simulation of perforation and penetration of aluminum targets by conical nosed steel rods // Mech. Mater. 1990. V. 10. P. 107-115.

36. Коханенко И.К., Маклаков С.Ф., Прищепа B.A. Определение предела прочности грунта на сдвиг при динамическом нагружении // Изв. АН СССР. МТТ. Т.36. 1990. №4. С. 182-184.

37. Гердюков Н.Н., Иолев А.Г., Новиков С.А. Определение динамического коэффициента трения песчаного грунта о жесткую стенку// ПМТФ. 1995. Т.37. №4. С. 185-187.

38. Chen X.W., Li Q.M. Deep penetration of a non-deformable projectile with different geometrical characteristics // Int. J. Impact Engng. 2002. V. 27. P. 619-637.

39. Григорян C.C. Новый закон трения и механизм крупномасштабных горных обвалов и оползней// ДАН СССР. 1979. Т.24. №4. С. 846-849.

40. Майкапар Г.И. О волновом сопротивлении неосесимметричных тел при сверхзвуковых скоростях. ПММ. 1959. т. 23. Вып. 2. С. 376-383.

41. Гонор A.JI. О пространственных телах наименьшего сопротивления при больших сверхзвуковых скоростях // ПММ. 1963. т. 27. вып. 1. С. 185-189.

42. Miele A., Saaris G.R. On the optimum transversal contour of a body at hypersonic speeds // Astronautica Acta. 1963. V. 9. № 3. P. 184-198.

43. Остапенко Н. А. Теория тонких тел вращения минимального сопротивления, двигающихся в плотных средах при смешанном законе трения на поверхности контакта // Проблемы современной механики / Под ред. С.С. Григоряна. М.: Изд-во МГУ, 1998. С. 168-178.

44. Остапенко Н.А., Якунина Г.Е. О телах наименьшего сопротивления, двигающихся в средах при наличии закона локальности // Изв. РАН. МЖГ. 1992. № 1.С. 95-106.

45. Гонор A.JI., Казаков М.Н., Швец A.M., Шеин В.И. Аэродинамические характеристики звездообразных тел при сверхзвуковых скоростях // Изв. АН СССР. МЖГ. 1971. № 1. С. 97-102.

46. Ш.Зубил М.А., Лапыгин В.И., Остапенко Н.А. Теоретическое и экспериментальное исследование структуры сверхзвукового обтекания тел звездообразной формы и их аэродинамических характеристик // Изв. АН СССР. МЖГ. 1982. № 3. С. 34-40.

47. Зубин М.А., Остапенко Н.А. Аэродинамические характеристики и запас статической устойчивости конических звездообразных тел при сверхзвуковых скоростях//Изв. РАН. МЖГ. 1992. № 6. С. 142-150.

48. Остапенко Н.А. Аэродинамическое сопротивление пространственных тел со звездообразным поперечным сечением при сверхзвуковых скоростях и проблемы его расчета // Изв. РАН . МЖГ. 1993. № 1. С. 57-69.

49. Foster N., Dulikravich G. Aerodynamic characteristics of star-shaped bodies at Mach numbers M= 3-5 // Journal of Spacecraft and Rockets. V. 34. № 1.1997. P. 36-42.

50. Sabean J., Lewis M., Mee D., Paull A. Performance study of a power law starbody // Journal of Spacecraft and Rockets. V. 36. № 5. 1999. P. 646-652.

51. Аргучищева M.A., Пилюгин H.H. Пространственные формы тел с минимальным нагревом поверхности при гиперзвуковом движении в атмосфере // Космические исследования. 1992. Т. 30. № 5. С. 615-628.

52. Аргучинцева М.А., Пилюгин Н.Н. Экстремальные задачи радиационной газовой динамики. М.: Изд-во МГУ, 1997. 197 с.

53. Аргучинцева М.А., Пилюгин Н.Н. Оптимальные формы пространственных тел с минимальным полным радиационным потоком к поверхности // ПМТФ. 2002. Т. 43. № 5. С. 55-68.

54. Черноусъко Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. М.: Наука, 1973. 238 с.

55. Бердичевский В.Л. О форме тела минимального сопротивления в гиперзвуковом потоке газа // Вестник МГУ. Серия математика, механика. 1975. № 3. С. 90-96.

56. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983.448 с.

57. Дубинский А. В. Некоторые классы оптимальных пространственных тел при обтекании в условиях гипотезы локального взаимодействия // В сб. Динамика разреженного газа и пограничного слоя. Препринт ВИНИТИ-4218-80. 1980. С. 50-68.

58. Bunimovich A.I., Dubinsky A. Mathematical models and methods of localized interaction theory. World Scientific, Singapore, 1995.

59. Гусаров А.А., Дворецкий B.M., Иванов М.Я., Левин B.A., Черный Г.Г. Теоретическое и экспериментальное исследование аэродинамических характеристик пространственных тел // Изв. АН СССР. МЖГ. 1979. № 3. С. 97-102.

60. Кравец В.В., ШвецА.И. О некоторых режимах сверхзвукового обтекания поликлиновых тел // ПМТФ. 1974. № 3.

61. Казаков М.Н., Кравец В.В., Швец А.И. Аэродинамические коэффициенты неконических тел со звездообразным поперечным сечением // Изв. АН СССР. МЖГ. 1974. № 6.

62. Гусаров А.А., Левин В.А. Пространственная форма тела минимального аэродинамического сопротивления в гиперзвуковом потоке газа // Изв. АН СССР. МЖГ. 1981. № 6. С. 98-103.

63. Якунина Г.Е. К построению оптимальных пространственных форм в рамках модели локального взаимодействия // ПММ. 2000. т. 64. Вып. 2. С. 299-310.

64. Якунина Г.Е. О пространственных формах минимального сопротивления Вестн. молодых ученых. 2000. Серия прикладная математика и механика. № 3. с. 77-85.

65. Якунина Г.Е. Об оптимальных неконических и несимметричных пространственных конфигурациях // ПММ. 2000. т. 64. Вып. 4. С. 605-614.

66. Yakunina G. Ye. Optimum three-dimensional hypersonic bodies within the framework of a local interaction model // AIAA Paper. No. 2001-1797. 11 p.

67. Yakunina G. Ye. Three-dimensional bodies of minimum total drag in hypersonic flow // J. Optimiz. Theory and Appl. 2002. V. 115. No. 2. P. 241265.

68. Yakunina G.Ye. Effects of sliding friction on the optimal 3D- nose geometry of rigid rods penetrating media // J. Optimiz. and Engng. 2005. V.6. No. 3. P. 315338.

69. Якунина Г.Е. Об оптимальных формах тел, движущихся в плотных средах // Доклады РАН. 2005. т. 405. № 4. С. 484-488.

70. Якунина Г.Е. Оптимальные формы движущихся в среде тел при учете трения // ПММ. 2005. т. 69. Вып. 5. С. 759-773.

71. Бунимович А.И., Дубинский А.В. Оптимальные тупоносые тела вращения в газе различной разреженности // Изв. АН СССР. МЖГ. 1980. № 3. С. 158-161.

72. Бунимович А.К, Кузъменко В.И. Аэродинамические и тепловые характеристики пространственных звездчатых тел в разреженном газе // Изв. АН СССР. МЖГ. 1983. №4. С. 181-183.

73. Конева К.А., Остапенко Н.А. Пространственные тела наименьшего сопротивления при движении в плотных средах в условиях смешанной модели трения // Вестник МГУ. 2004. Сер. 1. Математика, механика. № 3. С. 34-39.

74. Остапенко Н.А., Романченко В.И., Якунина Г.Е. Оптимальные формы пространственных тел с максимальной глубиной проникания в плотные среды // ПМТФ. 1994. № 4. С. 32-40.

75. Остапенко Н.А., Якунина Г.Е. О форме тонких пространственных тел с максимальной глубиной проникания в плотные среды // ПММ. 1999. т. 63. Вып. 6. С. 1018-1034.

76. Jones S.E., Rule W.K. On the optimal nose geometry for a rigid penetrator, including the effects of pressure-dependent friction // Int. J. Impact Engng. 2000, V. 24, P. 403-415.

77. Якунина Г.Е. О пространственных формах тела с максимальной глубиной проникания в плотные среды // Доклады РАН. 2001. т. 376. № 6. С. 768-771.

78. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 479 с.

79. Окунев Ю.М., Остапенко Н.А. О демпфировании колебаний летящего тела около центра масс в условиях квазистационарной модели аэродинамики // Математическое моделирование нестационарных задач в механике сплошных сред. М.: 1985. С. 67 78.

80. Фоллэ М.И. Сохранение вектора равнодействующей силы в плоскости угла атаки при сверхзвуковом обтекании тонких звездообразных тел // Изв. АН СССР. МЖГ. 1989. № 6. С. 135 141.

81. Окунев Ю.М., Садовничий В.А., Самсонов В.А., Черный Г.Г. Комплекс моделирования задач динамики полета // Математическое моделирование. М.: МГУ. 1996. С. 66-69.

82. Остапенко Н.А., Якунина Г.Е. Об особенностях движения тонкого тела в плотных средах//Доклады РАН. 1996. Т. 351. № 2. С. 192 195.

83. Окунев Ю.М., Садовничий В. А. Об особенностях решений одной динамической системы // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5. №2. С. 319-361.

84. Симонов И. В. Об устойчивости движения удлиненного тела вращения в упругопластической среде при отрыве потока // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 2. С. 311 -320.

85. Симонов И.В. О классификации траекторий плоскопараллельного движения тела вращения в прочной среде при отрыве потока // Доклады РАН. 2002. Т. 386. № 2. С. 198 202.

86. Якунина Г.Е. Динамика пирамидальных тел в рамках модели локального взаимодействия // ПММ. 2003. Т. 67. Вып. 1. С. 15 29.

87. Осипенко К.Ю., Симонов И.В. Модель пространственной динамики тела вращения при взаимодействии с малопрочной средой и несимметричной кавитацией // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 1. С. 143 153.

88. А\. Якунина Г.Е. О пространственном движении оптимальных пирамидальных тел // ПММ. 2005. Т. 69. Вып. 2. С. 258 268.142Ландау ДД, Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 1. Механика. М.: Наука, 1988.215 с.

89. Аэродинамика, устойчивость и управляемость сверхзвуковых самолетов / Под ред. Г.С. Бюшгенса. М.: Наука. Физматлит, 1998. 811 с.

90. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990. 128 с.