Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений теории массопереноса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Адомавичюс, Эдуард Альбертасович

• Адомавичюс, Эдуард Альбертасович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Адомавичюс, Эдуард Альбертасович

Введение

1 Постановки основных краевых задач

1.1 Постановки основных краевых задач. Обзор предыдущих исследований

1.2 Функциональные пространства. Вспомогательные сведения

1.3 Некоторые дополнительные сведения

2 Разрешимость и единственность решений основных краевых задач

2.1 Существование слабого решения основных краевых задач

2.1.1 Определение слабого решения Задачи

2.1.2 Существование слабого решения Задачи 2.2 Единственность решения Задачи

2.3 Случай линейной задачи массопереноса.

3 Исследование экстремальных задач для системы уравнений теории массопереноса с неоднородными граничными условиями

3.1 Постановка и разрешимость обратных экстремальных задач

3.2 Существование множителей Лагранжа. Вывод системы оптимальности

3.2.1 Существование множителей Лагранжа.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений теории массопереноса»

В последнее десятилетие большое внимание уделяется исследованию задач оптимального управления термогидродинамическими процессами. В гидродинамике и тепловой конвекции указанные задачи возникли в связи с необходимостью установления наиболее эффективных механизмов управления термогидродинамическими полями и, в частности, с необходимостью создания течений, обладающих определенными динамическими и топологическими свойствами [73]. В экологии задачи такого рода возникли при решении актуальной проблемы защиты окружающей среды от антропогенного воздействия и, в частности, при решении задачи оптимального размещения предприятий вблизи экологически значимых зон [18,33,34,36].

Строгому теоретическому исследованию указанных задач посвящено боль шое количество работ, начиная с пионерских работ A.B. Фурсикова [43-45] и Ж. Лионса [32]. Наряду с задачами оптимального управления, большую роль в приложениях играют обратные задачи для уравнений гидродинамики. Важным классом этих задач применительно к процессам тепло- и массопереноса являются обратные задачи обнаружения или восстановления источников разного рода примесей, присутствующих в жидкости. Указанные задачи заключаются в нахождении неизвестных источников примеси по определенной информации о создаваемом этими источниками поле концентраций примеси. Задачи такого рода возникают в тех случаях, когда достоверная информация о параметрах источников примеси неизвестна. Кроме того, нередко приходится рассматривать ситуации, когда источник расположен в месте, недоступном для прямых измерений, причем информации о параметрах источника не разглашается либо скрывается. Неучтенные выбросы вредных примесей от таких источников могут представлять собой серьезную опасность для окружающей среды. Это указывает на актуальность исследования обратных задач обнаружения источников примеси. Еще один класс обратных задач, а именно класс обратных задач идентификации параметров среды, возникает в случае, когда неизвестными величинами являются, наряду с решением, некоторые коэффициенты рассматриваемых уравнений и их необходимо восстановить по определенной информации о решении.

Следует отметить, что исследование обратных задач может быть сведено к исследованию соответствующих экстремальных задач путем выбора подходящего функционала качества. Это позволяет применять для исследования обратных и экстремальных задач один и тот же математический аппарат, основанный на теории экстремальных задач.

Целью диссертационной работы, продолжающей исследования Г.В. Алексеева, является исследование разрешимости как прямых краевых, так и обратных экстремальных задач для стационарных уравнений теории мас-сопереноса, рассматриваемых при смешанных краевых условиях для концентрации и условии Дирихле для скорости.

Исходя из поставленной цели, были сформулированы следующие задачи:

1. Доказать теорему существования слабого решения стационарной системы Обербека-Буссинеска, рассматриваемой в ограниченной области с липшицевой границей при смешанных краевых условиях для концентрации и условии Дирихле для скорости.

2. Получить априорные оценки решения, позволяющие сделать вывод о его ограниченности в случае, когда данные краевой задачи (далее являющиеся управлениями) принадлежат ограниченным множествам.

3. Установить условия на исходные данные, при которых решение рассматриваемой краевой задачи для уравнений массопереноса единственно.

4. Исследовать разрешимость обратных экстремальных задач для стационарных уравнений массопереноса при указанных выше граничных условиях для концентрации и скорости.

5. Обосновать применение метода неопределенных множителей Лагран-жа, вывести и проанализировать системы оптимальности для определенных функционалов качества.

6. Установить достаточные условия единственности решения обратной экстремальной задачи для конкретных функционалов качества.

7. Распространить результаты построенной теории для уравнений Навье-Стокса и уравнений тепловой конвекции.

Перейдем к формулировке основных результатов диссертационной работы, написанной по материалам работ [1-5, 54] Указанная диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 105 наименований.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Адомавичюс, Эдуард Альбертасович

Заключение

В данном заключении сформулируем основные результаты диссертации.

1. Доказаны теоремы существования и единственности слабого решения стационарной системы уравнений массопереноса при смешанных краевых условиях для концентрации и неоднородных граничных условиях для скорости.

2. Получены априорные оценки решения, позволяющие сделать вывод о его ограниченности в случае, когда данные краевой задачи принадлежат ограниченным множествам.

3. Доказаны теоремы разрешимости экстремальных задач для системы уравнений массопереноса, обоснован принцип неопределенных множителей Лагранжа, выведены системы оптимальности в общем случае и для конкретных функционалов качества.

4. Получены условия регулярности множителей Лагранжа и установлены достаточные условия единственности решения экстремальной задачи для некоторых конкретных функционалов качества.

5. Результаты построенной теории распространены для уравнений Навье-Стокса и уравнений тепловой конвекции.

В заключение хочу выразить благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук, профессору Г.В. Алексееву за ценные советы и постоянное внимание к данной работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Адомавичюс, Эдуард Альбертасович, 2000 год

1. Адомавичюс Э.А. О разрешимости некоторых экстремальных задач для стационарных уравнений тепловой конвекции // Дальневосточный матем. сб. 1998. Вып. 5. С. 74-85.

2. Адомавичюс Э.А. Исследование разрешимости экстремальных задач массопереноса. Тез. докл. Дальневосточной математической школы-семинара им. акад. Е.В. Золотова. Владивосток. Дальнаука, 1999. С. 89.

3. Адомавичюс Э.А. Разрешимость и регулярность решений обратных задач массопереноса. Международная конференция Математические модели и методы их исследований (задачи механики сплошной среды, экологии технологических процессов), Красноярск, 1999. С. 5.

4. Адомавичюс Э.А., Алексеев Г.В. Теоретический анализ обратных экстремальных задач для стационарных уравнений массопереноса. Препринт N 7 ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1999.

5. Адомавичюс Э.А., Алексеев Г.В. Теоретический анализ обратных экстремальных задач для стационарных уравнений массопереноса II. Препринт N 18 ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1999.

6. Алексеев Г.В. Теоретический анализ стационарных задач граничного управления для уравнений тепловой конвекции. Препринт N 16 ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1996.

7. Г.В. Алексеев, Стационарные задачи граничного управления для уравнений тепловой конвекции // Докл. РАН. 1998. Т. 362. N 2. С. 174-177.

8. Г.В. Алексеев, Разрешимость стационарных задач граничного управления для уравнений тепловой конвекции // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, N 5. С. 982-998.

9. Алексеев Г.В. Обратные задачи обнаружения источников примеси в вязких жидкостях. Препринт N 8 ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Даль-наука, 1999.

10. Алексеев Г.В., Малыкин В.В. Численное исследование стационарных экстремальных задач для двумерных уравнений вязкой жидкости // Вычислительные технологии. 1993. Т. 2. N 5. С. 5-16.

11. Алексеев Г.В., Смышляев А.Б. Разрешимость неоднородных краевых задач для стационарных уравнений гидродинамики вязкой теплопроводной жидкости. Препринт N 6 ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Даль-наука, 1999.

12. Алексеев Г.В., Смышляев А.Б. Разрешимость экстремальных задач для стационарных уравнений тепловой конвекции с неоднородными граничными условиями. Препринт N 17 ИПМ ДВО РАН. Дальнаука. Владивосток, 1999.

13. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции. Препринт N 9 ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1997.

14. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции И. Препринт N 30 ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1998.

15. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Стационарные задачи оптимального управления для уравнений вязкой теплопроводной жидкости // Сибирский журнал индустриальной математики. 1998. T.l. N 2. С. 24-44.

16. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов A.A. Применение теоретико групповых методов в гидродинамике. М.: Наука. 1994.

17. Антонцев С.Н., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983.

18. Белолипецкий В.М., Шокин Ю.И. Математическое моделирование в . задачах защиты окружающей среды. Новосибирск: ИНФОЛИО-пресс,1997.

19. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука. 1989.

20. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Мир. 1981.

21. Дюво Г., Лионе Дж. Неравенства в механике и физике. М.: Наука. 1980.

22. Зарубин А.Г. Задача о стационарной свободной конвекции // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1968. Т. 8, N 6. С. 1378-1383.

23. Зарубин А.Г., Тиунчик М.Ф. О некоторых задачах механики с разрывными граничными условиями и негладкой границей // Дифференц. уря. 1978. Т. 14, N 9. С. 1632-1637.

24. Зарубин А.Г. Численный анализ начально-краевой задачи для уравнений тепловой конвекции // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 31, N 6. С. 471-473.

25. Зарубин А.Г. Начально-краевая задача для нестационарных уравнений тепловой конвекции // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35, N 5. С. 728-738.

26. Илларионов A.A., Чеботарев А.Ю. Существование слабых решений . смешанной стационарной задачи для уравнений Навье-Стокса. Препринт N 11 ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1999.

27. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука. 1974.

28. Кажихов A.B., Рагулин В.В. О задаче конвекции в вязкой жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1979. Вып. 40. С. 127-133.

29. Коренев Н.К. О некоторых задачах конвекции в вязкой несжимаемой жидкости // Вестник ЛГУ. 1971. Вып. 2, N 7. С. 29.

30. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжи-. маемой жидкости. М.: Наука. 1970.

31. Ландау Л.Д., Лившиц В.М. Гидродинамика. (Теоретическая физика. Т. VI.). М.: Наука. 1988.

32. Лионе Ж.Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука. 1987.

33. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982.

34. Марчук Г.И., Шутяев В.П. Сопряженные уравнения и методы возмущений в нелинейных задачах математической физики. М.: Наука, 1993.

35. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения. Выпуклые и невыпуклые функции энергии. Пер. под ред. Демьянова В.Ф. М.: Мир. 1989.

36. Пененко В.В., Алоян А.Е. Модели и методы для задач охраны окружающей среды. Новосибирск: Наука, 1985.

37. Прилепко А.И., Васин И.А. Разрешимость трехмерной обратной задачи для нелинейных уравнений Навье-Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1990. Т. 30. N 2. Р. 1540-1552.

38. Смышляев А.Б. Экстремальные задачи граничного управления для линейной системы уравнений тепловой конвекции // Дальневосточный матем. сб. 1998. Вып. 5. С. 86-101.

39. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. М.: Мир. 1981.

40. Терешко Д.А. Исследование обратных экстремальных задач для стационарных уравнений вязкой теплопроводной жидкости // Дальневосточный мат. сб. 1997. Вып. 4. С. 75-85.

41. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука. 1980.

42. Уховский М.Ф., Юдович В.И. Об уравнениях стационарной конвекции // Прикл. матем. и механика. 1963. Т. 27, N 2. С. 295-300.

43. Фурсиков A.B. О некоторых задачах управления и результатах, касающихся разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных систем Навье-Стокса и Эйлера // ДАН СССР. 1980. Т. 253. N 5. С 10661070.

44. Фурсиков A.B. Задачи управления и теоремы, касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных уравнений Навье-Стокса // Мат. сб. 1981. Т. 115. N 2. С. 281-306.

45. Фурсиков A.B. Свойства решений некоторых экстремальных задач, связанных с системой Навье-Стокса // Мат. сб. 1982. Т. 118. N 3. С. 323-349.

46. Чеботарев А.Ю. Граничные экстремальные задачи динамики вязкой несжимаемой жидкости // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34. N 5. С. 202-213.

47. Чеботарев А.Ю. Нормальные решения краевых задач для стационарных систем типа Навье-Стокса // Сиб. матем. журн. 1995. Т.36. N 4. С. 934-942.

48. Черняков П.С. О нестационарной свободной конвекции в ограниченной области // Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 1966. Т. 6, N 2, С. 283-303.

49. Эмануилов О.Ю. О некоторых задачах оптимального управления, связанных с системой Навье-Стокса // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. 1991. N 15. С. 108-127.

50. Юдович В.И. О возникновении конвекции // Прикл. матем. и механика. 1966. Т. 30, N 6. С. 1000-1005.

51. Юдович В.И. Свободная конвекция и ветвление // Прикл. матем. и механика. 1967. Т. 31, N 1. С. 101-111.

52. Abergel F., Temam R. On some control problems in fluid mechanics // Theoret. Comput. Fluid Mech. 1990. V.l. P.303-325.

53. Abergel F. and Casas E. Some optimal control problems of multistate equation appearing in fluid mechanics // Math. Modeling Numer. Anal. 1993. V. 27. P.223-247.

54. Alekseev G.V. and Malikin V.V. Optimal control problems for the stationary Navier-Stokes equations with boundary controls. Preprint. Institute of Appl. Math. Far Eastern Branch of RAS. Vladivostok. Dalnauka. 1993.

55. Alekseev G.V., Malikin V.V. Numerical analysis of optimal boundary control problems for Navier-Stokes equations // Comp. Fluid Dynamics J.1994. V. 3, N 1. P.l-26.

56. Alekseev G.V., Tereshko D.A. Solvability of the inverse extremal problem for the incompressible heatconducting fluid equations //J. Inverse Ill-posed Problems. 1998. V. 6. P. 581-621.

57. Burkardt J., Peterson J. Control of steady incompressible 2D channel flow // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger. Springer., 1995. P.lll-126.

58. Casas E. The Navier-Stokes equations coupled with the heat equation: analysis and control // Control Cybernet. 1994. V. 23, N 4. P. 605-620.

59. Casas E. Optimality conditions for some control problems of turbulent flows // Flow Control. 1.995. IMA V. 68. P. 127-147.

60. Casas E., Fernández L. A Green's formula for quasilinear elliptic operators // J. Math. Anal. Appl. 1989. V. 142. P. 62-72.

61. Cäpätinä Anca and Stavre Ruxandra. A control problem in bioconvective flow // J. Math. Kyoto Univ. (JMKYAZ). 1998. V. 37, N 4. P.585-595.

62. Conca C., Murat F. and Pironneau 0. The Stokes and Navier-Stokes equations with boundary conditions involving pressure // Japan. J. Math. Vol.20, No 2. 1994.

63. Desai M., Ito K. Optimal control of Navier-Stokes equations // SIAM J. Contr. Optim. 1994. V. 32, N 5. P.1428-1446.

64. Fattorini H., Srithäram S.S. Existence of optimal controls for viscous flow problems // Proc. of the Royal Soc. of London, Serie 1. 1992. V. 439. P.81-102.

65. Finn R., Solonnikov V. Gradient estimates for solutions of the Navier-Stokes equations // Topological methods in nonlinear analysis. J. of the Juliusz Schauder Center. 1997. V. 9. P. 29-39.

66. Fursikov A.V. Exact boudary zero controllability of three dimensional Navier-Stokes equations // J. of Dynamical and Control Syst. 1995. V. 1, N3. P. 325-350.

67. Fursikov A.V., Gunzburger M.D., Hou L.S. Boundary value problems and optimal boundary control for the Navier-Stokes system: the two-dimensional case // SIAM J. Contr. Optim. 1998. V. 36, N 3. P. 852-894.

68. Fursikov A.V., Imanuilov O.Yu. On exact boudary zero-controllability of two-dimensional Navier-Stokes equations // Acta Appl. Math. 1994. V. 37. P. 67-76.

69. Fursikov A.V., Imanuvilov O.Yu. On controllability of certain systems simulating a fluid flow // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger.• Springer., 1995. P.149-153.

70. Fursikov A.V., Imanuilov O.Yu. Local exact controllability of the Navier-Stokes equations // C.R. Acad. Sci. Paris, Série I. 1996. V. 323, N 3. P. 275-280.

71. Fursikov A.V., Imanuvilov O.Yu. Local exact boundary controllability of the Boussinesq equations // SIAM J. Contr. Optim. 1998. V. 36, N 2. P. 391-421.

72. Mohamed Gad-el-Hak. Flow control // Appl. Mech. Rev. 1989. V. 42, N 10. P.261-293.

73. Gaultier M., Lezaun M. Equations de Navier-Stokes couplées a des• équations de la chaleur: résolution par une méthode de pointe fixe en dimension infininie // Ann. Sc. Math. Québec. 1989. V. 13. P. 1-17.

74. Girault V. and Raviart P.-A. Finite element approximation of the Navier-Stokes equations. Lect. Notes in Math. Vol. 749. Springer-Verlag, Berlin, 1981.

75. Girault V. and Raviart P.-A. Finite element methods for Navier-Stokes equations. Springer-Verlag, New York, 1986.

76. Gunzburger M.D., Hou L. and Svobodny T.P. Numerical approximation of an optimal control problem associated with the Navier-Stokes equations // App. Math. Letters 1989. 2. N 1. P.29-31.

77. Gunzburger M.D., Hou L. and Svobodny T.P. Analysis and finite element approximation of optimal control problems for the stationary Navier-Stokes equations with distributed and Neumann controls // Math. Comp. 1991. V.57, N 195. P.123-151.

78. Gunzburger M., Hou L. and Svobodny T. Analysis and finite element approximation of optimal control problems for the stationary Navier-Stokes equations with Dirichlet conditions // Math. Modeling Numer. Anal. 1991. V.25. P.711-748.

79. Gunzburger M.D., Hou L. and Svobodny T.P. Boundary velocity control of incompressible flow with application to viscous drag reduction // SIAM J. Contr. Optim. 1'992. V. 30, N 1. P.167-182.

80. Gunzburger M.D., Hou L. and Svobodny T.P. The approximation of boundary control problems for fluid flows with an application to control by heating and cooling // Comput. Fluids. 1993. 22. P. 239-251.

81. Gunzburger M.D, Hou L., Svobodny T.P. Heating and cooling control of temperature distributions along boundaries of flow domains //J. Math. Systems Estim. Control. 1993. 3. P. 147-172.

82. Gunzburger M.D. and Hongchul Kim. Existence of an optimal solution of a shape control problem for the stationary Navier-Stokes equations // SIAM J. Contr. Optim. 1998. V.36, N 3. P.895-909.

83. Hopf E. Ein all gemeiner Endlichkeitssatz der Hydrodinamik // N. Math. Ann. 1940-1941, 117, P. 764-775.

84. Hou L. and Svobodny T.P. Optimization Problem for the Navier-Stokes Equations with Regular Boundary Controls // Journal of Math. Anal, and Appl. 1993. 177. P.342-367.

85. Ito K. Boundary temperature control for thermally coupled Navier-Stokes equations // ISNM, Int. Ser. Numer. Math. 1994. 118. P.211-230.

86. Ito K., Ravindran S.S. A reduced basis method for control problems goverened by PDEs. Preprint, Department of Mathematics, North Carolina State University, USA, 1997.

87. Ito K. and Ravindran S.S. Optimal control of thermally convected fluid flows // SIAM J. Sei. Comput. 1998. V. 19, N 6. P.1847-1869.

88. Yukio Kan-On, Kimiaki Narukawa and Yoshiaki Teramoto. On the equations of biconvective flow //J. Math. Kyoto Univ. (JMKYAZ). 1992. V. 32, N 1. P.135-153.

89. Lee Hyung-Chun. Existence of boundary optimal control for the Boussinesq equations // Korea, Seoul National University, Lect. Notes Ser. Seoul. 1997. V. 39, N 10. 11.P.

90. Levandowsky M., Childress W.S., Hunter S.H. and Spiegel E.A. A mathematical model of pattern formation by swimming microorganisms // J. Protozoology. 1975. V. 22. P.296-306.

91. Lukaszewicz G. On the stationary flows of viscous incompressible and heat-conducting fluids // Math. Methods in the Appl. Sci. 1988. V. 10. P. 329337.

92. Moribe Y. On the biconvection of Tetrahymena pyriformis. Master's thesis (in Japanese). Osaka University. 1973.

93. Morimoto H. On the existence of weak solutions of equation of natural convection // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. 1989. Sect. IA. V. 36. P. 87-102.

94. Morimoto H. On the existence and uniqueness of the stationary solution to the equations of natural convection // Tokyo J. Math. 1991. V. 14. P. 217-226.

95. Morimoto H. Non-stationary Boussinesq equations // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA. 1992. V. 39. P. 61-75.

96. Oeda K. Weak and strong solutions of the heat convection equations in regions with moving boundaries //J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA. 1989. V. 36. P. 491-536.

97. Oeda K. Stationary solutions of the heat convection equations in exterior domains // Proc. Japan Acad. Sci., Ser. A. 1997. V. 73, N 61. P. 111-115.

98. Shinbrot M., Kotorynski W.P. The initial value problem for viscous heat-conducting //J. Math. Analys. and Appl. 1974. V. 45. P. 1-22.

99. Svobodny T. Shape optimization and control of separating flow in hydrodynamics // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger. Springer., 1995. P. 325-339.

100. Temam R. Remarks on the control of turbulent flows // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger. Springer., 1995. P.357-371.

101. Vasin I.A. Inverse boundary value problems in viscous fluid dynamics // Ill-Posed Problems in Natural Sciences. Proc. Intern. Conf. Moscow. August, 19-25. 1991. VSP. Moscow. 1992. P. 423-430.

102. Yuh-Roung Ou. Mathematical modelling and numerical simulation in external flow control // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger. Springer., 1995. P.219-255.

103. Zarubin A.G. On an iterative method for approximate solution of an initial boundary value problem for the heat convection equation // Comput. Fluid Dynamics J. 1994. V. 4. P. 323-332.

104. Nicholas Zabaras and George Z. Yang. A functional optimization formulation and implementation of an inverse natural convection problem // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 1997. 144. P.245-274.