Оптические свойства ферромагнетиков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Соколов, А.В.

• Соколов, А.В.
• 1949

Оглавление диссертации Соколов, А.В.

В в е д е н к е . . . Л

ГЛАВА 1. ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ.

§ 1. Основные,'уравнения классической оптики . металлов.

§ 2. Основы-квантовой оптики металлов.

§ 3. Поглощение и дисперсия длинноволнового излучения-.¡>5-.-.-,-. 21'

§ 4. Дисперсия и поглощение в видимой й.', :Л' ультра-фиолетовой .области спектра;.-.;.

§ о. Применение"общей теории к случаю почти свободных электронов.

ГЛАЗА П. ОПТИЧЕСКИЕ - СВОЙСТВА ФЕРРОМАГНЕТИКОВ".

§ 6. Оптические свойства 'ферромагнетиков в длинноволновой области" спектра на ос-г' нове ( ь - с( )-обменной модели-.'.

§ 7. Оптические свойства ферромагнетиков в видимой и ультра-фиолетовой области спектра на основе (5.-^ )-обменной мо-дели.

ГЛАЗА Ш. .КЛАССИЧЕСКАЯ' ТЕОРИЯ МАГНЕТО--ОПТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ В ФЕРРО- . МАГНЕТИКАХ.

§ 8. Общие сведения о явлениях Шарадея и.',' ■

Керра в ферромагнетиках.-.

§ 9. Соотношение меаду амплитудами падающей и отраженной волны в случае" намагниченного ферромагнетика. Минимум'и' нуль-вра-^ щениё анализатора и 'поляризатора и закон взаимной обратимости.

§10. Основы макроскопического описания 'магнетооптических явлений в ферромагнетиках

- п

§ 11. Распространение плоской неоднородной волны внутри ферромагнитного металла

§ 12. Магнитное вращение й эллиптичность при прохождении' света через тонкие ' слои ферромагнетика (эффект Фарадея)

§ 13.' Полярный эффект ~ Керра .принормальном падении света.

§ 14. Полярный эффект'Керра'.при .наклонном'. падении света.

§ 15. Общие аюрмулы отражения при меридиональном намагничении. 4.

§ 16. Экваториальный эффект Керраг.

ГЛАВА 1У; КВАНТОВАЯ. Т£еРИН-МГН£ТеОПТИЧЕ.СШ: ЯВЛЕНИЙ ■ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ.

§ 1?. Попытки квантозо-механической трактовки магнетооптических явлений'в ферромагнетиках.

§ 18. Квантбво-механическая трактовка магнетооптических- явлений в ферромагнетиках на основе {5 - <1 )-обменнои модели

В ы в о д ы.

Математические добавления.

Л и т е р а т у р а.

Альбом рисунков';

ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА'ФЕРРОМАГНЕТИКОВ (кандидатская диссертация)

Предметом настоящей диссертации является квантово-механиче'ское описание оптических и магнето-оптических' свойств ферромагнетиков на основе модели вэаимо-деис^ующих внешних и внутренних электро

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптические свойства ферромагнетиков»

Бурно развивающаяся социалистическая промышленность нашей страны предъявляет все более повышенные требования к качеству применяемых, в. технике материалов и'; особенно,' металлов.

Ферромагнитные металлы в силу некоторых своих особенных физических свойств выделяются в особую группу; . имеющую весьма вакное значение в современной электро-тех-^ нике, радио-технике,•военном деле и т.д. В связи с этим' подробное изучение физических свойств металлов и, в частности, ферромагнетиков совершенно необходимо.

Именно поэтому исследованию ферромагнитных материалов, получившему наибольшее развитие в СССР, уделяется теперь столь большое значение-.

Для ещё более успешного практического использования металлов", необходимо не только экспериментальное исследование их свойств, но и глубокое теоретическое изучение с целью выяснения физических закономерностей происходящих.в них явлений при различных внешних уело-. виях.

Последней цели также служит квантово-механическая теория оптических свойств металлов, так как она дает возможность получать ценные сведения о внутреннем состоянии металла-, в частности о структуре энергетических уровней электронов".

Квантово-механическая оптика металлов, изучающая поведение системы электронов металла во внешнем электро-магнитном поле, представляет по существу многоэлектронную задачу;

Однако, теоретическое исследование оптических свойств металлов^'Упроводилось до сих пор на основе одноэлектронной теории металлической проводимости; Согласно этой теории действие на данный электрон других электронов проводимости и ионов металлической решетки заменяется "внешним" периодическим потенциальным полем. В своем стационарном состоянии электрон перемещается "свободно" через металл,' но если принять во внимание температурные колебания решетки-, электрон может совершать переходы в другие стационарные состояниям

Эти переходы обусловлены столкновениями электронов с колебаниями решетки (фононамиК

В рамках такой одноэлектронной модели были достигну-» ты значительные успехи при квантово-механическом описании оптических свойств металлов. В частности было показано-', что оптические постоянные металла можно выражать по известной классической формуле в зависимости от електричес-. кой проводимости (Г? для постоянного электрического поля, если только период колебания световой волны больше времени релаксации электронов проводимости'. Излучение весьма малой частоты действует на электроны практически как статическое электрическое поле: в казздый момент времени устанавливается ток, пропорциональный мгновенному значению напряженности электрического поля;;

При возрастании частоты электроны уже не в состоя-, нии следовать за изменениями напряженности поля, ток отстает по' фазе от возбуждающего поля и, кроме того;по своему абсолютному значению будет меньше-, чем при самых малых частотах-; Ясно', что этот эффект должен наступать тогда, когда период световых колебаний сделается сравнимым с временем релаксации \ Поэтому следует ожидать отклонений в поведении электронов от их поведения в статических полях',' как только частота световой волны ^ сделается равной величине обратной времени релаксации ^ [Если, наконец; период колебаний световой волны сделается меньше времени £ между двумя столкновениями, то удары вообще уже не имеют времени для того', чтобы повлиять заметным образом на функцию распределения и установить стационарный ток1» В этом случае уже не ток пропорционален мгновенному полю,' а ускорение/ т.е ; изменение тока во .времени, ток сдвинут по фазе на 90° относительно поля и поэтому является "безваттным"; поглощение исчезает, и остается, как следствие колебаний электронов^ только диэлектрическая постоянная, отличная от единицы".

Таким образом', в общем случае действие переменного поля световой волны на электроны металла может быть двояким. Соответственно этому в квантовой оптике металлов рассматривают два типа процессов: ускорение электронов и переходы электронов в более высокие энергетические! состояния-;

При малых частотах имеет основное значение ускоре-/ ние, при больших - переходы.

Поэтому различают три типа поглощения света металлами: 1) классическое поглощение-, при котором электроны ускоряются электрическим полем световой волны; 2) квантовое или собственное поглощение, соответствующее переходам электронов из одних состояний в другие1; и наконец 3) поглощение с участием колебаний решетки, при . котором, кррме электронов, возбуждаются так же и колеба- -ния решетки.

Используя эти представления и основываясь на одно-электронной модели кристалла Крониг,' Фуджиока и другие дали общие формулы квантовой дисперсии металлов-.

Однако*, наиболее успешными исследованиями в этой области следует отметить работы русских физиков - Шубина," Сергеева и Черниховского^' V. М.И:'.Сергеев для опи

- I ' , ИМ I -П4 сания оптических свойств металлов воспользовался весьма удобным методом матрицы плотности, введенной в квантовую механику Ландау", а так же Нейманом и Дира/сомт

Этот метод позволяет сравнительно просто ив наиболее общем виде изучать оптические свойства металлов'; • При этом и рассеяние и поглощение света в металле можно рассматривать одновременно, без использования какой-ли-бо искусственной связи между* ними5; Первым, и единственным расчетом оптических постоянных металла проведенным до конца для случая щелочных.металлов (калий,натрий) яв ляется расчет Сергеева и Черняховского в приближении почти свободных электронов'; Согласие теории с опытом оказалось удовлетворительным-.

Несмотря на указанные успехи квантово-механического описания оптического поведения металлов, оно' содержит в себе тот основной порок, что,основывается на одно-электронной модели*; Как мы уже видели", в основу этой мо^ дели положено•предположение о малости эффекта вэагого-действия мезду электронашг в кристалле по сравнению с их взаимодействием с ионами решетки;5

Факт наличия взаимодействия электронов учитывается лишь посредством учета принципа Паули. Хотя такая одно-электронная квантовая задача решается, далее, уже достаточно точно, тем не менее нет никаких оснований считать, •что, при отбрасывании электронного взаимодействия, не лишаются возможности учесть существеннейшие свойства реальных кристаллов1. Тем более в рамках такой модели нельзя выяснить природу связи мезду оптическими и ферромагнитными свойствами', ибо последние являются существенно коллективным эффектом системы взаимодействующих электронов;;

Первая многоэлектронная модель кристалла, так назыг, ваемая обменная модель, была предложена ЯЛ'Г.Френкелей/ Согласно этой модели в любой момент времени каждый И8 электронов всего кристалла находится около какого-нибудь

- б атома кристалла, Ери этом отнюдь не предполагается, что электроны•"привязаны" к атомам, а напротив они могут переходить от одного атома к другому-. Однако', из всех возмржных переходов обменная модель учитывает лишь переходы, которые сводятся к актам обмена местами мезду электронами-.

Тот факт," что обменная модель выбирает из всевозможных переходов лишь процессы обмена и является слабым местом этой схемы и ограничивает её применимость*. Ниже мы увидим', что использование обменной модели к описанию оптических свойств ферромагнетиков так не не дает возможности более полногр описания магнетооптических явле«? ний в ферромагнетиках-.

Известно, что обменная модель оказалась достаточной для принципиального объяснения природы ферромагнетизма,-но она не прило&има к описанию явлений в той или иной степени связанных с электропроводностью.

Поэтому эта модель пригодна лишь для описания наинизшего (изолированного) состояния диэлектрика*. Отсюда непосредственно следует, что эта многоэлектронная обменная модель так не не может.быть использована для изучения оптических свойств реального ферромагнитного металла1;

Для описания оптических свойств реальных ферромагнитных металлов', необходима более совершенная модель кристалла, в которой одновременно учитывались бы и взаимодействие мевду электронами и процессы ускорения электронов во внешних электрических полях.

В качестве первого приближения для такой модели. мы использовали модель предложенную С.В.Вонсовскш^/ -модель взаимодействующих внешних'и внутренних электронов, так навиваемую {$ гсС) - обменную модель. Эта модель дает возможность рассматривать и описывать с единой точки зрения электрические, магнитные и оптические свойства ферромагнитных металлов';.

В этой модели электроны в ферромагнитном кристалле условно разбиваются ~ 1) на "внутренние" { - электроны, соответственно электронам незаполненной Зб1т оболочки в изолированных атомах переходных металлов группы железа), которые в основном ответственны за ферромагнетизм и 2) на "внешние" ( 5 - электроны-, соответственно валентным электронам аирмов), которые в основном определяют электрические и оптические свойства металла;

Разделение электронов в кристаллической решетке на эти две группы, конечноу есть известная условность, :так как внешние 8 - электроны участвуют не только-в проводимости) но и в ферромагнетизме, а внутренние электроны так же не только в ферромагнетизме, но частично и в проводимости^ Однако'", выбор такого разделения в качестве исходного "нулевого" приближения для трактовки свойств металлов переходных групп и, в частности, ферромагнитных металлов, представляется вполне целесообразным*; Приняв такое разделение можно далее описывать состояния внешних электронов по одноэлектронной схеме, а внутренних по многоэлектронной обменной теории, а в качестве первого приближения учитывать взаимодействие между коллективом внутренних электронов и каадым из внешних Б ^ электро-нов.

Как было'показано /"Ь?/; состояния электронов определяются при этом не только "полем" ионов кристалла, но также и "молекулярным полем" "обменных сил" мезду коллективом с1 - электронов и 5 - электроном'^ А это в свою очередь приводит к тому, что эффективная масса и "время свободного пробега" 5 - электронов оказываются зависящими от самопроизвольной намагниченности металлов, что и объясняет, в конечном счете, все Фер V ромагнитные аномалии. ^

В данной диссертации исследуется зависимость и оптических постоянных (показателей преломления"Упогло-щения, отражательной и излучательной способности) ферромагнетиков от их самопроизвольной намагниченности^

На основе модели взаимодействущих внешних и внутренних электронов ферромагне-тика вычисляются диэлектрическая постоянная и удельная электропроводность в переменных электромагнитных полях (для крайних случаев длинных и коротких волн спектра):.

Упомянутые величины оказываются функциями-самопроизвольной намагниченности, что и обусловливает сут ществование ферромагнитных "аномалий" оптических свойств^

На основе той же (Б *?с1) - обменной модели дается общее квантовое-механическое объяснение, вращению плоскости поляризации и эллиптичности 'света при его прохождении через ферромагнетик (явление Фарадея-) и при его отражении л ■ от поверхности намагниченного ферромагнитного зеркала (магнетооптическое явление Керра)'; Получено два основных вывода: 1:) Угол вращения'плоскости поляризации и эллитич-ность света в обоих случаях растут пропорционально величине технической намагниченности образца;

2) Коэффициенты пропорциональности (постоянные Кундта и Керра) являются квадратичными функциями самопроизвольной намагниченноетит

Помимо того> дано, ещё одно доказательство^' высказанного С.В'.Вонсовским^ общего предположения о том, что во всеху так- называемых', ферромагнитных аномалиях раз- личных,свойств ферромагнетиков играют роль два фактора,' а именно," электрические (обменные) силы определяют само^ существование и величину коэффициентов той или иной ано^ малии, а магнитные (спин-орбитальные) силы обусловливают характер зависимости этой аномалии от величины и ориентации, результирующей (технической) намагниченности образца''. ■'.,.'

Полученные результаты ещё более убеждают в справедливости (б"-сС) - обменной модели и показывают/ что последняя полнее охватывает основные свойства реальных ферромагнитных металлов и позволяет лучше описывать как оптические аномалии ферромагнетиков, в отсутствии внешне?-го магнитного поля так и особенности их магнетооптическо го поведения;;

Оптика металлов представляет собой живой и весьма интересный раздел теории твердого тела'; В трудах:буржуаз ных учёных она почти не отошла от своего "классического" направления, основателем которого был Друде: по-прежнему оптические проблемы рассматриваются', как правило, вне комплексной проблемы металлического состояния, и усилия исследователей направлены к получению на опыте и теоретическим путём, "наиболее точных" значений оптических постоянных-;

Совершенно иное положение у нас в СССР.

Проблема металлического состояния решается сот ветскими учёными широким фронтом комплексных исследований на основе передового марксистского диалектического метода. Этот путь наиболее плодотворный в теоретическом отношении и перспективен в смысле практических приложений'. Естественно поэтому," что работы советских ученых в области квантовой оптики металлов до сих пор представляют собой последнее слово в этой области науки (например работы Сергеева и Чернихозского)'.

В результате предлагаемой работы дано толкование оптических свойств ферромагнетиков до.сих пор остававшихся загадочнымичИ не получивших теоретического объяснения адэкватного современному состоянию теории металлов?; Л V

Г Л А В'А 1 ОПТИЧЕСКИЕ'СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ

§ 1. Основные уравнения классической оптики металлов'

Распространение электромагнитных волн в однородной изотропной среде, обладающей металлической проводимостью трактуется на основе классической электродинамики.

Для описания распространения электромагнитных волн в металле на ряду с уравнениями Максвелла

ЧоЬН - ~ С1.2)

С > (1.1) с необходимо учесть также и соотношения, связывающие мевду собой значения основных векторов электромагнитного поля:

6" Е, Ыз) . где £ - диэлектрическая постоянная,^* - магнитная проницаемость и <Г- удельная электропроводность металла"; При этом будем рассматривать случай сред лишенных свободных зарядов*;

Тогда уравнения (1.1) и (1.2) можно представить в следующем виде: •

1.4) к

Совокупность уравнений (1.4) содержит всю оптику проводящих, т.н. поглощающих сред.

Из уравнений (1.4) стандартным способом молено по

-, лучить следующие телеграфные уравнения для векторов ЕиН

L ^ Q ¿1 ОД

At, syiH ^ 4srf/< jH - д н f (1ф5) tT ■с2' H ' ' .

Присутствие ялена с'Щ означает наличие затухания*;

-. -1st- ' ■ ■

Далее известно-,' что для волны с циклической частотой соуравнения (1t5) приводятся к волновым уравнениям обычного вида л Р - £ — г (1'б)

Однако, вместо действительной диэлектрической постоянной £ мы должны воспользоваться комплексной постоянной с'- с • ^ILiL ' ч е - ¿> - l —. (г.?)

СО

Отсюда следует", что металлооптика формально совпадает с оптикой прозрачных тел (изоляторов)^ если величину заменить комплексной величиной

Ну '

Л (п-~/Ц- , (1.8)

Сравнивая (1-.7) и (1.8) находим следующие полезные со^-отношения: и ~ п%

1.9)

71К

Уравнения №4) или эквивалентные им (1.5) удовлетворяются решениями ^

1.10) а все другие компоненты £ и Н равны'нулю; Здесь 1Ъ - показатель преломления", 1С - показатель поглощения-', Р и Р' - реальные амплитуды электрического и магнитного векторов^ ТГ ш ^ их фазыу'

Эти величины связаны следующими соотношениями:

V ■ ) > ■ (1.11)

1.12) п ч^-УН-."-'

Последнее соотношение указывает на наличие сдвига фазы магнитного вектора по отношению к фазе электричес-кого.

Решение (1 '.10) представляет плоскую электромаг

- ' • " у .№. нитную. волну частоты V . линейно поляризованной в нап-равлении х- и распространяющейся в направлении % е фазовой скоростью^ соответствующей показателю преломления гь и уменьшающей свою амплитуду соответственно показателю поглощения 1С к

Используя граничные условия на плоской поверхности металла,граничащего с вакуумом обйчным путем на

7 • ■ • ходят коэффициент отражения для случая перпендикулярного падениям ь в /Л};^ , ■ (1.15)

Зависимостью оптических постоянных от магнитной проницаемости.даже в ферромагнетиках в.спектральной области видимого светаУдеже начиная с длинно-волновых инфра-краеных лучейу можно полностью пренебречь,' г;к. при таких частотах электромагнитного поля магнитная про* ницаемость практически не отличается от единицы;

Принимая во внимание это замечание ш можем записать выражения, для оптических постоянных в следующем виде: П г у (1.14)

1.15)

Сг ^ (1.16) ~ ' [п++ тс1 /'

Для металлов электропроводность,настолько велика^ что ГиСг|">> £ и поэтому вместо (1.14^ 15:,16) получаем более простые соотношения

•< = N 7 Л (1ИГ) а- к ~~ 1 - • (1-18)

Опыты Гаге на и Рубенса^®/ в далекой инфра-кр'аснпй области спектра находятся в хорошем согласии с формулой (1.18) для разных металлов при комнатной температуре

1 О ¿1 и частотах до 3.10* сек.Ч

Для больших частот становятся заметными отклонег-ния опытных данных от теоретических предсказаний и в оптической области формула (1.18) не справедлива1; Причиной этого является некритическое использование при высоких частотах значений £ и , справедливых, на самом деле, лишь в случае медленно меняющихся з -полей5;

§ 2. Основы квантовой оптики металлов.

Мы видели в предыдущем параграфе", что формулы (1.17) и (1.18) справедливы лишь в далекой инфракрасной области спектра'. Для того чтобы получить результат с более широкой областью применимости^ Зи--.нером были установлены формулы^ основанные - на моде-' ли свободных электронов? с введением времени релаксации, а следовательно, и затухания происходящего вследствие-сопротивления металла^ Однако на выводе формул Друде-Зинера мы не будем останавливаться', а получим.их при рассмотрении дисперсии и поглощения металлов^в длинноволновой области спектра на основе квантовой одноэлектронной модели;

Превде всего остановимся на общих свойствах поглощения металлов^' Пусть на металл падает плоская световая волна с векторным потенциалом

Т Т . .

Л - ¿То -О- , (2.1) где К - волновой вектор световой волныС

Исследуем при каких условиях это излучение будет поглощено металлом? Вообще говоря',' для поглощения света может иметь значение взаимодействие электронов . с тепловыми колебания решетки^ Оно определенно играет-роль при достаточно малых частотах. Если период колебаний световой волны значительно больше времени релаксации, то такое поле световой волны действует на электроны практически как постоянное электрическое поле: б каждый момент времени устанавливается ток;, пропорциональный мгновенному значению напряженности электрического поля %6-Е * гДе ^ - значение проводимости

--- ■ (У ' ' . '. . ' при постоянных полях?:

В этом частном случае^' оптические свойства можно рассматривать, по феноменологическим, уравнениям классической электродинамики!

Во втором крайнем случае", когда период колебаний световой волны значительно меньше времени релаксации^ можно пренебречь взаимодействием электронов с коле баг-ниями решетки? В первом случае будет играть существен^ ную роль ускорение электронов электрическим полем^ Во втором случае будут иметь существенное значение квантовые переходы*;

Как мы .уже упоминали, соответственно этому различают: 1) "Классическое поглощение" или поглощение за счет ускорения электронов полем световой волны', 2) собственное или квантовое поглощение и 3) поглощение с учаг-стием решетки.

Сначала рассмотрим квантовое поглощение!"

По общему правилу квантовой механики, вероятность перехода электрона из начального состояния { ) в ко1 нечное состояние ( К 5 ) равна:

ТГ (2.2)

Л\ \ -с . где V/ и - матричный элемент .энергии возмущения имеет вид />

ЗдесьУ^ - собственные функции электронов в металле,

- постоянная Планка деленная ннДл" % €> и заряд и масса электрона^' с - скорость света,' волновый вектор электрона в металле и Ь - "номер зоны" -дополнительный параметр,необходимый для точного задания состояния электрона в металле^;

Выполняя интегрирование можно, убедиться в том", что вероятность перехода (2.2) еОДДОвДО? ЗВЯ9В?вв»®м только при резонансе, т.е. если

-Е{к<>)--ксО ~ о. , (2.4) г / ' I

Здесь энергия электрона в конечном состоянии, а

- в исходном состоянии. Поэтому вероятность перехода в единицу времени будет

При смещении координатной системы вдоль оси х^ов на. л" " •' параметр решетки^ а, подинтегральное выражение в (2.3) вследствие зависимости Л и ^ от координат умножится на величину ^(¿^Х)

Интеграл (2.3) отличен от нуля только в том случае если этот множитель равен единице, т.е;. если ( i =0 1,2.;.) (2.б)

Или в векторной форме

С - fC + К '"+ ?

2.7) где ^ - ^вектор обратной решетки';

Условия (2;7) называются правилами отбора или интерференционными условиями^ Вероятность переходов, не удовлетворяющая правилам отбора равна нулю.

Таким образом^' волновой вектор электрона после поглощения равен волнрвому вектору перед поглощением плюс волновой вектор поглощенного света (с точностью до вектора обратной решетки)?; Зч

В области видимого и ультрафиолетового света вол

9 т 4^-1 новое числом световой волны порядка 10>10г см , тогX

11 Г- К да как волновое число "к" электронов порядка обратного — 1 атомного расстояния> т.ег. 1С см . Следовательно, в этом случае К << к,и из (2.7) непосредственно следует; что волновой вектор электрона при поглощении света остается практически неизменным1; При рассмотрении рентгеновых лучей пренебрегать величиной К по сравнению с волновым, вектором электрона уже нельзя^

Какие переходы допускают условия (2г.4) и (2.6)? Изобразим'энергию как функцию к для всех возможных s (см.рис.1)'. Проведем прямую ífi)^ проходящую «ерез точку л' и зависящую от параметра К. Задавшись направлением распространения света т;е. параметра К ш можем ограничыться рассмотрением в одном измерении. Каадая точка

-ч,- \ Я пересечения этой прямой с какой-либо кривой энергиио^/Ч«^ дает решение уравнений (2.4) и (2.6) и тем самым во8мож-\^ ный переход'; Заметим, что если мы пренебрегаем волновым Т 1 вектором световой волны, то переходы совершаются по вертиЬ калиф' 1;

Из рисунка мы видим, что кагдому начальному состоя-! нию электрона соответствует в кадцой вышележащей полосе | одно состояние, в которое он может перейти при поглощении света^;. Каадый электрон обладает, дискретным спектром | абсорбции. Но так как частота абсорбции зависит от начального состояния (различные кривые энергии на рис.1 не параллельные друг другу), а электроны согласно статистике Ферми находятся в различных начальных состояниях, то металл обладает непрерывным спектром абсорбции. Поглощение света может происходить, разумеется, лишь тогда, когда начальный уровень занят электроном, а конечный не занят-; '

Никакие переходы в пределах одной полосы невозможны^ Причина этого такая же как и известного фактау что свободные электроны- не могут поглощать',; а только рассеивают свет', а именно: законы сохранения энергии и импульса^ В самом деле рассмотрим два состояния и ,, ^, ) одной и той .же полосы*;

Их энергии различаются на величину

-Мдк^-къ^й^у (2.8) где - скорость электрона в направление ^ .

Согласно закону сохранения- энергии (2;4) и интерференционному условию (2.7), частота света должна удовлетворять одновременно условиям

2тгу п 4 С . ; или — или ч/? (2;9) аЕ Щ ' ; и . (2И0)

7 ^ £

Условия (2'.9) и (2.10) несовместимы ибо 1С « С.

---■ • ■ - . . с

Отсюда следует*'," что как только частрта. V станет меньше некоторого определенного значения', никакие переходы невозможны;

Другими словами поглощение может наступить лишь при частотах больших,- чем некоторая предельная частота ■у0 , т.е. должна существовать резкая граница спектра поглощения. Однако у большинства металлов этого не наблюдается--. Вообще к истолкованию длинноволновой границы поглощения металлов следует подходить весьма осторожной Во-первых^ несовпадение теории с экспериментом может объясняться тем," что мы не учли столкновений^ Столкновения обусловливают конечное время жизни в каждом возбужденной состоянии и поэтому расширяют линии (Р поглощения кадцого электрона^' Во-вторых-*,' со стороны коротких волн к границам поглощения примыкают - как следует оквдать теоретически - более или менее широкие полосы- поглощения разделенные прозрачными промежутками^ или же полосы поглощения могут накладываться друг на I друга'-;"

§ 3. Поглощение' и дисперсия длинноволнового излучения-. т.е". при ^ - - (3-И)

Мы уже отмечали,' что излучение весьма малой частоты действует на электроны практически как постоянное электрическое поле: в каздый момент времени устанавливается ток, пропорциональный мгновенному значению напряженности -электрического поля. Однако', при возрастании частоты электроны не успевают следовать за изменениями напряженности поля, ток отстает по фазе от возбуждающего поля'! Это должно наступить тогда, когда период колебаний световой волны сделается сравнимым с временем релаксации С Г

Далее', если период колебаний света сделается меньше вре^ мени релаксации, то удары вообще уже не имеют времени \ для того,' чтобы повлиять.заметным образом на функцию распределения-и установить стационарный ток^ В этом случае уже не ток пропорционален мгнозеннрму полюУ а ускорение, т*.е^ изменение тока во времени; Ток при этом сдвинут по фазе на 90° относительно поля и поэтому яв-ляется "безваттным^ поглощение; исчезает'; и остается^ как следствие колебания электронов';; только диэлектрическая | постоянная-; отличная от единицы-;

Как и в общей теории, проводимости будем считать1,что энергия электрона зависит лишь от абсолютного значения волнового вектора й. При этом предположении функция распределения электронов в статическом поле может быть представлена в следующем виде :

Ы'^^'^М, (3.2) ■ откуда следует; что - - ~ а . (3.3) ^ - ^ //

Исходя из условия стационарности

Ъ) 44)- =0 / поле /удары и из общей формулы для изменения функции распределения под действием поля

3.5) можно показать*, что изменение функции распределения во времени благодаря столкновениям определяется формулой «« если обозначить обратное время столкновения .т. . I , . . . .

Ток соответствующий функции распределения <3';2) равен , с г (3.8) - .

Если ввести, вме.сто статического поля переменное

Ел-Р е«' , (3.9: то полная производная по времени от функции распредеде ния йуде.1 ,л 'г ■ ш:.М(з'ио)

Пусть ■ . <3.11> где - функция подлежащая определению;

Подставив (3.11) в (3.10) и учтя (3;6) получим дифференционное уравнение для определения ^ : .

Решение однородного уравнения ищем подстановкой ^ ^ ■;' Частное решение неоднородного уравнения отыскиваем в виде

СМЬтгЖ-г. В Я, п £ .

3^13)

Подставляя (3.13) в (3.12) получим

-■■--■--■-■• - - . /

Приравнивая коэффициенты при и С^ Х^п г т в правой и левой части найдем:; + 1 откуда

Общее решение будет Ът^-^г ' ом и А + В Се. . .

Приняв начальное условие о при о получим ■

С = -А-. Итак общее решение будет:'

3114)

Последний член в скобках связан с включением поля и затухает примерно в сек;',' поэтому его моано отбросить:. В таком случае ток согласно (3-.8) будет тГ / I '

- ^ с: Тм(3.15) У . / '

Из этой формулы видно , что при малых частотах'и У^ток находится в основном в фазе с возбуздающем полем (3^9);' при высоких частотах V»У"ток отстает от поля на 90° и по абсолютному значению меньше; чем при самых малых частотах";

Полный ток следует рассматривать состоящим из тока проводимости и токапсудазшрчрт^е* б-£ * — • №16)

Сравнивая (3;1о) и (3.16}, при учете (3^9), получим известные формулы Друде-Зинера .

V + о

Л \ - А - . (3.18) ' ■ " ■■

Интересно найти критическую частоту при которой проводимость и диэлектрическаяпост9янная начинают приближаться к значениям в вакууме, г.е, к 0 и 1 соответственно:;- ,

Для свободных электронов пк^гпу- ^ следовательно!1,

Ь-ь ------(3.19)

Для серебра ( У «=6.1022, Л =6И017<^е ) Г =4.10 12сек~1, чю соответствует ^критической" длине волны 75 л* % Экспери-мент дает 1', 7.10 сев

При больших частотах проводимость^ а следователь?» но, и поглощение тем болыле> чем больше ватухаяве (т^е^чем меньше, Т т.е; чем быстрее столкновения восстанавливают тепловое равновесие (противоположно соотношениям при низких частотах)?;

А А

Например для серебра при V «5.10 ( «6000 Я )

5 г ^ () 2 ~ 4.1013сек^-; тогда вак опыт дает т.е. в десять рае большее значение чем формула (8;17)£ Отсвда следует, что ток, воэбуадаемый в видимом свете путем лишь ускорения электронов^ для поглощения уже не играет никакой роли.' Поэтому поглощение в видимой и тем более в ультрафиолетовой области спектра сводится к другим причинам - квантовое поглощение (а возможно играют роль таг же и волны решетки)'. В случае малых частот для диэлектрической постоянной хороших проводников получается большое отрицательное значение.

Так, например-, для серебра

1(0)

Т 4.10

При более высоких частотах £ становится независимой от затухания Т - и от проводимости &

L.

J~ Cfm iM

Подставляя (3^19) в (3.18) получим для свободных элект-ронов . С =1 - —-г ' (3.20);

- 7т т у) - > - . .

Если учесть связь электронов, то вместо постоянной затухания до ~ -(3,21) жт Оо

Следует подставить т m lvE rnv • ■ где ~ - - —-1 ~ - ■ (3.22) и . тщ Ъ к? . кк . . . . . . есть сила осциллятора соответствующая "полосе поглощения при частоте нуль"'. Эта величина характеризует меру отклонения электронов от. полной свободы*; Тогда мы будем иметь

U • (3-23)

Эту формулу можно истолковать так', что только часть электронов в 1 см3) а именно-, J^L "участвуют в дисперсии-; Из формулы (3;22) следует, что для совершенно свободных электронов проводимости величина Li равна единице) а вообще говоря', несколько меньше единицы-;

Комбинируя (3v17) и (3.1'8) можно определить посгоянную затухания - . , (3.24), -.С . которая должна быть независимой от длины волны если теория справедлива!

Соотношение (3^.24) хррошо выполняется в области длинных волн, тогда как при коротких волнах согласие с опытом плохое;

Мы снова можем сделать-заключение, что теория, учитывающая только ускорение электронов^ справедлива лишь в далекой инфра-красной области и отказывается служить в вцдимой и тем более в у&трафиолетовой области спектра-; Однако, следует отметить', что формула- (3.23) для £ справедлива ещё далеко в видимой областиу напротив 'формула (3.17) для 6 - несправедлива;

В то время как в инфра-красной области спектра с уменьшением длины волны /о - делается меньше," как этого требует теория, в видимой она опять возрастает^ т.е . в этой области наряду с классическим-поглощением должно учитываться квантовое поглощением

Здесь интересно ещё отметить', что из (3;23) можно вычислить силу осциллятора Ь Она получается весьма мало зависимой от длины волны; это признак того,что (3.23) остается ещё справедливой при довольно коротких волнах.

Таким образом^ при дисперсии электроны; проводимости ведут себя в весьма значительной степени как свободные и лишь далеко в фиолетовой области появляется заметное отклонение^; Это заключение, конечно, справедливо для и. щелочных металлов5;

Особенно интересно^ численное значение величины ' Ь - ибо она есть мера "свободы" электронов и вместе с тем позволяет сделать заключение о ширине полос энергии (т;к. О - ^¿.^Зт — пропорционально - ширине полос энергии);

Так например, для ^ Ь =0',9 1 "М. электроны почти свободны", для

0, 7 для Слл. - 0,4;

§ 4. Дисперсия'-и-поглощение -в-видимой и ультра*-фиолетовой области спектра.

Со. времени появления в печати первых работ

Кронига^^ по квантово-механической теории дисперсии металлов эта область была предметом исследований ряда авторов^*Однако, наиболее успешными исследованиями в этой области, как мы у&еотмечали во введении следует считать, работы русских физиков Шубина, Сергеева и Черняховского^'^.

Мы будем здесь придерживаться изложения данного вопроса по методу Шубина-Сергеева*;

Итак будем описывать систему электронов металла при помощи матрицы плотности р ;; Уравнения движения для матрицы плотности ^ в обычных обозначениях.имеют вид: . , /Ул Г и . (4.1)где Н * оператор энергии электрона^

В общем случае представляет-собой оператор в конфигурационном пространстве всех координат электрона, включая и спиновую;

Однако в силу того, что в данном вопросе спин электрона не играет существенной роли, будем под матрицей плотности^ подразумевать матрицу-; сокращенную по спиновой козрдинате-г'

Если вид матрицы плотности системы известен, то среднее значение какой-либо физической величины этой системы, описываемой оператором равно л \

9 ¿4 ^ где £ р обозначает шпур соответствующей матрицы.

При вычислении, оптических констант по методу-: матрицы плотности презде всего определявтел поправка у' к "невозмущенной" матрице плотности ^ описывающей систему электронов в отсутствие световой волны:; Затем определяется полная плотность тока в точке л у ' " • где , а j - оператор тока, определяемый для электрона в электромагнитном поле равенством:

4.4) т Г . с ^/у г? —^

Р - оператор импульса электрона* А ^ векторный потенциал световой волны;;'

Среднее аначение плотности тока в "основной области" мояшо. представить в виде . С? ?

Определив квантово-механическое выражение для плотности тока и сравнивая его с плотностью тока по классической теории, легко определить £и 6" а следом вательнс^и оптические константы*;

Итак пусть на металл падает электромагнитная волна с векторным потенциалом:

4а)

- 30 . . . тогда оператор энергии Н будет иметь вид: н - н„ ■ (4:7) кп с 1 где Но - оператор энергии электрона в отсутствие поля

----- . . и Р -.оператор импульса электрона.

Подставляя (4.6) и (4.7) в (4.1), после несложных преоб-разований получим (

Р«' МЛ . (4*.8) щ 3 / ис ^ ' ^ ^ 7;

Ограничиваясь членами линейными относительно поля, можно в правой части последнего равенства вместо р ввять оператор плотности в отсутствии поля и в представлении квази^ импульса \ написать ^ - ,[/ тЧ -»о., О .ф^} или', поскольку - диагональна в представлении: . и —»V ~ - ТЧ «. у А

4.9) у где = У-—Ш} С4И0)

3 ' и интегрирование ведется пр "основной" области и .

Подставляя (4'.6) в (4.9) и интегрируя по времени получим: ттр ице

От сада для обусловленной полем поправки р' кислотности получаем:

• (4-1з)

Определим теперь плотность тока в точке возникающего' под действием поля.

Ограничиваясь^ как и ранее^ членами первого порядка относительно поля, можем записать плотность тока в еле** ^ дующем виде: или в представлении

Подставляя (4.13) в (4.14) и учитывая известные правила отбора для матричных элементов импульса:

4.15) получаем: . г ■ t ■ * ± Л тс■

Ограничиваясь ввдимой и ультрафиолетовой областью спектра,выражение (4.16) можно, упростить^пользуясь тем обстоятельством, что длина волны А в указанной области спектра значительно больше размеров "основной" области; В силу этого можно произвести усреднение по "основной" области^ которое аналогично усреднению по "физически.малому объему"^ производимому в класси~ ческой теории".

Пренебрегая волновым вектором световой волны по сравнению с волновым вектором электрона.и.следовательз. ^ но^ полагая |и усредняя, по "основной" области получаем для тока: С ' г) ~

-> у—е

ТУ

ОЗи! + Ш , 1? (4.17) ьсРа1

Используя соотношение выражение в фигурнас- скобках можно представить в следующем е

14 -Ф

1 / со^у " н- (4.18а)

186)

3 (4.18а) сумму по $$ разбиваем на две части", соответствующие и и в первой ив них меняем индексы суммирования 5^ $ при этом - ^

Ъ *

В результате мнимая часть выпадает и тогда для. (4;18а) имеем: хе т

Для преобразования (4,.18б) вместо переменных интегрирования введем новые переменные Ы , причем О)^ определяется из соотношения

4.20) а и и 1Г суть ортогональные координаты на поверхности СО^1- сок^-4- в пространстве ^ .

Учтя соотношения Дирихле .

-а

Я^ь) ' если * О в остальных случаях О У получаем для момента времени/ достаточно удаленного, от момента включения поля =0:

•»М&а^У "'¡^^яГ- V "11. где вместо с*^ следует положить +си;

- является якобианом преобразования^

Так как уравнение сои^си при замене &¿согласно (4.20) ' 5& • ■ ' / '- ' " переходит в то последнее выражение можно представить в виде

4.21)

Из (4.17)у (4/18а и б), (4:19) и (4.21) получаем для полного тока в металле: флт^т

57

-Ь тЧси "Г |соде | или вводя тензорные обозначения: тс£}а

ШШйи 1

4.23)

- эрмитовский тенэор и при. соответствущем выборе координатных осей может быть приведен к диагональному виду.'

Сравнивая (4*22) с током по классической теории:

Чъ ктг. с. с получаем для Ь. и С следующие выражения:

Если световая волна распространяется по оси £ и поляризована по оси эс^ т;е. Е^ЕХ, Еу =. = О', то для £ и ^ получаем хорошо известные формулы квантовой оптики металлов:

ПС

Л г

27)

6" = 1

55'

§ 5. Применение - общей - теории -к- случаю почти свободных электронов

В общие формулы дисперсии входят величины для вычисления которых необходимо знать точный вид собственных функций электронов металла) поэтому количественное сравнение их с опытом в общем случае пока невозможной

Однако,в частном случае почти. свободных электронов -волновые функции можно получить в явном виде и с грал * а следовательих помощью вычислить инте; но получить в явном виде £ и и наконец по ним. У У пользуясь формулами (1-.14), (1*15) и (1.16)^ получить значения для оптических констант металлам

Такие вычисления бЫли произведены Сергеевым и Черниховским, которые^пользуясь в качестве собственных функций электронов функциями Бриллюэна, получили численные значения оптических констант для калия и натрия и провели количественное сравнение с опытом. Волновая функция электрона в случае почти свободных электронов в первом приближении может быть представлена в виде:

I Ш А

Iй 2Л1 Их* г

V А

5.1)

Здесь 2 объем- основной облает^

V полный потенциал решетки у

- целочисленный вектор. За потенциал каздого иона решетки берем выражение употреблявшееся .рядом авторов в том числе и Нордгеймом: е-г С

5.2) в дальнейшем £ число валентных электронов на атом полагаем равный единице)'.

Множитель £ I характеризует собой экранирующее действие всех остальных электронов1; Тогда полный потенциал будет: 1

5.3)

При этом предполагается, что потенциал в данной точке решетки вызывается главным образом потенциалом от ближайшего иона, в силу чего мы имеем право перейти от интегрирования по основной области к интегрированию по элементарной ячейке. Вставляя (5.2) в (5.4) и интегрируя, получим:

Г а у

5.5) а

ГД6 V Теперь мы перейдем к вычислению матричных элементов импульса при переходе электрона из состояния в состояние^' г

5.6)

Вставив (5.1) в (5.6) непоследовательно отбрасывал при вычислении члены с квадратами V? получим:

Итгма

Г1Г

V. V

ЪТгФ

Выражая через (5.5) и вводя частоту с переходом по формуле ък

--Г л /и оЛ

5.7) связанную

5.8) . получаем: 4

5.9)

В случае наличия полного выра^ния электронов^ внутри сферы радиуса Р* в пространстве квазотшпульса электрона ^Д (для одновалентного металла (?г,03) плотно с внутри сферы ъ, и = 0 вне её;

Для диэлектрической постоянной тогда получаем:

5.10)

Подставляя (5.9) в (5.10) и интегрируя по всемД^ лежащим внутри сферы радиуса Р* .получим: а)

П / Л

-----да I : ^

X та* Ч ] /

5.11) У где

Согласно ' "Се I X ¿^ ^

00^ = ^2— /1 .(5.12) для удельной электропроводности <5~ имеем:

- - ^ где Оо^-- со йз соотношения (лкч = И

-) (5.13) Ъ ч

5.14) непосредственно следует:, что Из (5^14) видно, что поверхность ау^ со является плоскостью, расстояние которой от начала координат в пространстве квази-импульса равно:

1 ы^А ) ыа2- <} у

5.15)

Так как область, занятая электронами, ограничена сферой'радиуса Р„ , интегрирование Ы и V" производится по площади круга

Подставляя далее в (5.13) и принимая во.внимание сделанные замечания,' получаем: или, пользуясь С5';15)'имеем- окончательно:

Сь-^7/ыК. со О

УП

5.16) еслио^ и. нуль в остальных случаях.

Эти довольно сложные выражения не являются вполне правильными в деталях'. Кроме тех пренебрежений, которые указывались выш^ мы. не принимали во внимание того факта^ что плотность уровней возрастает или убывает к краям каждой энергетической полосы;

Вообще говоря^ это не сказывается на критической (0 циклической частоте из-за наличия правил отбора для ) г, Если, однако, поверхность фермиевского распределения летат близко к границ|э энергетической полосы", эффект возрастания плотности уровней становится существенным и приводит к разрыву у про-При помощи язврдной- £ V (1:.14) и (1.15) можно определить показа-, тели преломления к и поглощения к, Ч.При этом можно ограничиться лишь первыми восемью- членами суш", для которых

В таблице ¡1 дано сравнение теоретических значений и опытных данных для калия, полученных Айв сом и Бривгсоь/^/

Т а б лиц а 1.

Длина волны в| см • Опыт Т е о р и я г к ■ \ь /с

4;047И0~5 I 3,65 ■ " I 3,34 3,126 - 2,536 0,105 0,150 0~410 0,744 0,71 0,443 ' 0~080 ••0,049 о; 105 0,134 0 268 . 0,609"" 0,77 0,318 0 133 • '0,03"

Согласите меяду опытными и терретическими значениями оказывается достаточно хорошим, однако,-точного их совпадения нельзя ожидат^ из-за наличия в теории определенных приблиаеЕгай. (ем1рис?.2)'.

Список литературы диссертационного исследования Соколов, А.В., 1949 год

1. Рц^рюо. ркр. 76, 537,1932; Ш&гл^.фр. 81,297,1933-4. С.П.Шубин ДАН 3"; 15,1935.- ' . . . ■ .Сергеев и. Черниховский- ЖВТ$ 4^235,1934; Сергеев Ж8Т£',. . , V. .: 8,948,(1938)

2. Френкель 49,31 (1928); см.также ■•'.; ' 49,619,1928.

3. С.З.ЗонеоБСКий и Я.С.Шур, Ферромагнетизм, Гоетехиздат'.

4. АВильсон, Квантовая теория металлов, ОГИЗ . (1941)гдЛ"У,л 9. Г.Бете и: А'.Заммерфельд электронная теория металлов;■ . .¿ОНТИ , § 22.1937. ■

5. Пайерлс Р. Электронная теория металлов И*Л 1947г.11; Н.Е.7т ¿Шъцр;1ш< 26,238,1936 ; 27,395,1937Ч2„ Герлах, 23",368,1940. . \ \13., .%+нл.I .25,2С9,1936; £ и/ ,там же 25^213,

6. Ь.О^елп аЛ-Уа* ¿п)/ее* 3,289,1936; 6,439,1939.

7. К.И- 2.5.85 л 240",1933^ ' ■ '2о\ Р. МЫ ¡^ Лухк. /г/т. 39,625,'1912; 55',561,1918 • 26. \4iz3cA. У/сЫ-Ж™. 48,446', 18932?. Ргос. ркуч.:»г,¿о»¿о*. 29,1, (1917)

8. Т. Ь о г: а. Л^.^, . 38,887", 1912.28. :.:;носкову дан,31,112 (1941/

9. Я'.И.Френкель, ЖЭТФ, 12 в. 10,467 (1942)

10. М.М. Но сков", ДАН 53,® 5,417,1946; Л(ЭТ£ 17,954,1947 -31. :,;.!,;.Носков и А,В'* Соколов ЖЭТФ 17,969", 19471 32. \АЛ, Мои^ «¿^^¿¿ъ, (1908)'

11. Д.А.Цольдгашер, 46,71 (1892)

12. РЛшАг таМ*. 46,353(1892);48,122-и 49,690(1893); . 1 ; ■' '52,496(1894) 62,691 (1897)